Beslissen met poorten Inhoud Beslissen met poorten...1 Verzamelingen...2 Verzamelingenleer...2 VENN-diagram...2 Logica...3 Booleaanse algebra...4 Waarheidstabel...5 Logische negatie...5 Logische conjunctie...5 Logische implicatie...5 Logische equivalentie...5 Logische poorten...6 De AND-poort...7...7...7...7 De OR-poort...8...8...8...8 De XOR-poort...9...9...9...9 De NOT-poort...10...10...10...10 De NAND-poort...11...11...11...11 De NOR-poort...12...12...12...12 De XNOR-poort...13...13...13...13 Thysen Pieter 1 / 13 Cursus
Verzamelingen Verzamelingenleer De verzamelingenleer vormt sinds het begin van de twintigste eeuw een van de grondslagen van de wiskunde. De verzamelingenleer betreft de bestudering en formalisering van het begrip verzameling, en ondersteunt daarmee de axiomatische onderbouwing van andere deelgebieden van de wiskunde. De verzamelingenleer werd door de Duitse wiskundige Georg Cantor ontwikkeld aan het eind van de 19e eeuw. De verzamelingenleer kent basisbegrippen als: Deelverzameling; Doorsnede en vereniging van twee verzamelingen; Lege verzameling. VENN-diagram Venn-diagrammen zijn een grafische representatie van wiskundige verzamelingen en zijn genoemd naar John Venn. Allerlei eigenschappen van verzamelingen laten zich met deze diagrammen goed illustreren. A (deelverzameling) B (deelverzameling) a AND b (doorsnede) a OR b (vereniging) NOT a a AND NOT b a XOR b a XNOR b Thysen Pieter 2 / 13 Cursus
Logica De Logica of redeneerkunst is de wetenschap die zich bezighoudt met de formele regels van het redeneren. Traditioneel wordt de logica door de filosofie 1 bestudeerd, maar zij wordt ook tot de wiskunde 2 gerekend. Logica stamt van het Griekse woord λόγος of logos, dat kan betekenen: betekenis, woord, idee, argument, rede of principe. Logica of formele logica is de leer van het strenge betoog, en omvat sinds Aristoteles als hoofdbestanddelen: De leer van de bewering; De leer van de definitie; De leer van de gevolgtrekking; De leer van het wetenschappelijke bewijs. Er zijn verschillende soorten logica s ontwikkeld, waaronder: Syllogisme: de eerste formele logica (ontwikkeld door Aristoteles); Propositielogica: eenvoudige beweringen die al dan niet waar kunnen zijn; Modale logica: formaliseert modaliteiten; Niet-monotone logica: het toevoegen van kennis kan leiden tot het verwerpen van eerder geldige conclusies; Tijdslogica: formaliseert temporele informatie; Booleaanse logica: elke uitspraak kent maar twee mogelijke antwoorden: waar, wat we aanduiden met 1, en onwaar, wat we aanduiden met 0. Meerwaardige logica (Fuzzy logic): een uitspraak kent bijvoorbeeld drie of zelfs oneindig veel mogelijke antwoorden; Preferentiële logica (a-logica): wordt gebruikt in de Managementtheorie. Paraconsistente logica: verwerpt contradicties niet, maar neemt deze op; Wiskundige logica. 1 De filosofie of wijsbegeerte is de oudste theoretische discipline (5de eeuw vóór Christus) die het verlangen heeft en streeft naar kennis en wijsheid. 2 Wiskunde is een van de oudste wetenschappen. Zij is een formele wetenschap waarvan de gebruikelijke definitie is: het bestuderen van patronen en structuren. Met strikt logische redeneringen doet de wiskunde uitspraken (stellingen) over gedefinieerde objecten en formuleert de verbanden daartussen. Thysen Pieter 3 / 13 Cursus
Booleaanse algebra In de wiskunde, met name de abstracte algebra, en in de informatica 3 is een Booleaanse algebra of Boole-algebra een algebraïsche structuur met de logische operatoren AND (en), OR (of) en NOT (niet). Deze operatoren zijn direct gerelateerd aan de begrippen doorsnede, vereniging en complement uit de verzamelingenleer. De Booleaanse operatoren zijn genoemd naar de Brit George Boole, die ze in het midden van de 19e eeuw invoerde. Booleaanse algebra is een poging om algebraïsche technieken te gebruiken teneinde te kunnen omgaan met logische uitdrukkingen. De Booleaanse algebra vindt bijvoorbeeld zijn toepassing in het samenstellen van digitale elektronische schakelingen, zoals die onder andere in computers worden gebruikt. Een Boole-algebra bestaat uit een verzameling A, voorzien van twee binaire bewerkingen "en" (Engels: "meet") (logische AND), "of" (Engels: "join") (logische OR), een unaire bewerking "niet" (logische NOT) en twee elementen 0 (logische FALSE) en 1 (logische TRUE): naam Engelse naam symbolen en meet, and, of join, or, + niet not, 0 false 0 1 true 1 Andere bewerkingen zijn: naam Engelse naam symbool niet-en nand a b niet-of nor a b exclusieve of xor a b a b Er is sprake van een Boole-algebra indien voldaan is aan de volgende axioma's: Commutativiteit Associativiteit Distributiviteit Absorptie Complement a b= b a a b= b a a b c = a b c a b c = a b c a b c = a b a c a b c = a b a c a a b =a a a b =a a a=1 a a=0 3 Informatica kan worden omschreven als de wetenschap die zich bezighoudt met de beheersing van complexiteit, onder andere op het vlak van informatie en gegevens, communicatie, softwarebouw en technisch-wetenschappelijk rekenen. Thysen Pieter 4 / 13 Cursus
Waarheidstabel Een waarheidstabel is een mathematische tabel die aan het einde van de 19e eeuw werd ontwikkeld door Charles Peirce. De tabel wordt in de logica, en dan met name in de propositielogica, gebruikt om te beslissen of een logische uitdrukking al dan niet waar is en of een argument al dan niet valide is. Waarheidstabellen kunnen worden gebruikt om de waarheidswaarden weer te geven van logische operatoren (zoals "en", "of", "niet" en "als...dan") bij alle combinaties van waarden. In waarheidstabellen kan men de waarheid of onwaarheid van een propositie op verschillende manieren aanduiden. Een manier is om simpelweg "waar" of "onwaar" te schrijven maar men gebruikt meestal een T voor true (Engels voor waar) en F voor false (onwaar). Ook gebruikt men de 1 voor waar en 0 voor onwaar. Logische negatie a a 0 1 1 0 De negatie heeft 1 argument. De teruggegeven waarde is altijd het tegengestelde van de waarde van het argument. Men spreekt ( A) uit als "niet A". Logische conjunctie a b a b De logische conjunctie heeft twee argumenten. Stel dat deze A en B heten. A en B kunnen 0 0 0 allebei ofwel waar ofwel onwaar zijn. Voor elke combinatie geeft "en" een waarheidswaarde terug: als A en B beide waar zijn is dit T, anders F. Men spreekt ( 0 1 0 a b ) uit als "A en B". 1 0 0 1 1 1 Logische implicatie a b a b 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 De logische implicatie heeft twee argumenten. De teruggegeven waarde is enkel T als het eerste argument F is, en als beide argumenten T zijn. Men spreekt (A B) uit als "als A dan B". Logische equivalentie a b a b 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 De logische equivalentie ( ) heeft twee argumenten. De teruggegeven waarde is T als beide argumenten dezelfde waarde hebben. Men spreekt (A B) uit als "A dan en slechts dan als B". Thysen Pieter 5 / 13 Cursus
Logische poorten Logische poorten zijn schakelingen 4 die werken volgens de Booleaanse Logica. De meest kenmerkende eigenschappen van logische schakelingen zijn: Functioneel: ze hebben maar twee verschillende uitvoermogelijkheden, die kunnen worden geïnterpreteerd als één en nul, waar en niet waar, hoog en laag; Technisch: ze hebben één of meerdere ingangen en maar één uitgang. Logische poorten zijn voornamelijk opgebouwd uit elektronische componenten zoals transistoren, weerstanden en dioden, maar ze kunnen ook bestaan uit elektromagnetische relais 5, fluidics, optische of mechanische elementen. Logische schakelingen kunnen worden gestuurd met het invoeren van elektrische spanningen, in de meeste digitale elektronica gebruikt men van origine 5 volt-logica (TTL 6 ), welke een spanning groter dan ongeveer 4 volt gebruikt voor een logische hoog (een '1'), en een spanning lager dan 0,5 volt gebruikt voor een logisch laag signaal (een '0'). Maar in veel modernere logica gebruikt men uit oogpunt van energiezuinigheid logica die gebruik maakt van 3,3 volt, en in zeer sterk geïntegreerde logica zoals CPU's gebruikt men zelfs nog lagere spanningen zoals 1,8 volt. Hier volgt een overzicht van de standaard logische poorten: De AND-poort (EN-poort): geeft slechts een 1 als uitvoer als alle invoer een 1 is; Een OR-poort (OF-poort): geeft een 1 als minimaal één van de ingangen ook een 1 is; De XOR-poort (exclusive OR, EXOF): geeft alleen 1 als één van de ingangen waar is; Een NOT-poort (NIET-poort of invertor): inverteert een signaal (1 wordt 0 en omgekeerd), deze poort heeft slechts 1 invoer; De NAND-poort (NotAND, NEN-poort): geeft een 1 als er minimaal een invoer 1 is; De NOR-poort (NotOR, NOF-poort): geeft een 1 als geen van beide poorten 1 is; De XNOR-poort (coïncidentiepoort): kijkt of beide invoerwaarden gelijk zijn. Met een combinatie van de 3 elementaire poorten (AND, NOT, OR) kan je de overige poorten opbouwen: De NAND-poort : AND-poort + NOT-poort; De NOR-poort : OR-poort + NOT-poort; De XNOR-poort : XOR-poort + NOT-poort. De XOR-poort kan worden opgebouwd uit een combinatie van NOT-, AND- en OR-poorten: 4 Een schakeling (ook wel circuit) is een samenstelsel van elektrische componenten waarmee diverse functies kunnen worden schakelingen worden over het algemeen gekenschetst door een iconische representatie (het schema) waarmee elektronici elkaar duidelijk maken hoe schakelingen precies in elkaar zitten. 5 Een relais is een door een elektromagneet bediende schakelaar. 6 Transistor-transistorlogica of TTL is een standaard voor digitale logica. Thysen Pieter 6 / 13 Cursus
De AND-poort De AND-poort (Nederlands: EN-poort) is een digitale elektronische schakeling. De poort bezit twee of meer ingangen en 1 uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1, als alle ingangen 1 zijn. In een transistor-schakelcircuit (zonder relais, b.v. Een IC 7 ) wordt een AND-poort altijd opgebouwd met een NAND-schakeling als basis. Hier wordt dan een invertor achter gezet waardoor een AND-werking ontstaat. Hiervoor zijn dus altijd minimaal 3 transistoren 8 nodig. Amerikaans (boven) en IEC-symbool van een AND met twee ingangen. VENN-diagram (2 verzamelingen) Waarheidstabel (2 ingangen) a AND b a b Uit ONWAAR ONWAAR ONWAAR ONWAAR WAAR ONWAAR WAAR ONWAAR ONWAAR WAAR WAAR WAAR In de schakeling met relais bezit elk relais een maakkontakt. De stroomkring met de contacten is slechts gesloten, wanneer alle relais bekrachtigd zijn. AND-poorten worden, meestal in groepen of in combinatie met geïntegreerde schakeling Meestal is het positieve logica; een logische 1 correspondeert met een hoge spanning. 7 Geïntegreerde schakeling (van het Engelse Integrated Circuit (IC)) is de officiële Nederlandse naam voor wat ook wel een chip wordt genoemd. 8 De transistor is de belangrijkste actieve halfgeleider binnen de elektronica. Hij dient vooral om elektronische signalen te versterken of te schakelen. Thysen Pieter 7 / 13 Cursus
De OR-poort De OR-poort' (Nederlands: OF-poort) is een digitale elektronische schakeling. De poort bezit twee of meer ingangen en 1 uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1, als minstens één ingang 1 is. In een transistor-schakelcircuit (zonder relais, b.v. Een IC) wordt een OR-poort altijd opgebouwd met een NAND-schakeling als basis. Hier worden dan nog eens 2 invertors voor de ingangen gezet waardoor er een OR-werking ontstaat. Amerikaans (boven) en IEC-symbool van een OR met twee ingangen. VENN-diagram (2 verzamelingen) Waarheidstabel (2 ingangen) a OR b a b Uit ONWAAR ONWAAR ONWAAR ONWAAR WAAR WAAR WAAR ONWAAR WAAR WAAR WAAR WAAR In de schakeling met relais bezit elk relais een maakkontakt. De stroomkring met de contacten is gesloten, wanneer minstens éen relais bekrachtigd is. OR-poorten worden, meestal in groepen of in combinatie met geïntegreerde schakelingen Meestal is het positieve logica; een logische 1 correspondeert met een hoge spanning. Thysen Pieter 8 / 13 Cursus
De XOR-poort De Exclusive OR (XOR) (Nederlands: EXOF-poort) is een booleaanse operator. De XOR-poort is een logische bouwsteen van digitale schakelingen. De poort heeft twee of meer ingangen en 1 uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 1 als precies één ingang 1 is. De bepaling exclusief heeft betrekking op het wederzijds uitsluitende karakter van de ingangen voor de functie. XOR vergelijkt booleaanse waarden en daarvan moet er precies één waar (1) zijn. Daar komt ook de naam exclusive OR vandaan: het is hetzelfde als OR, maar is niet waar als meer dan één ingang waar is. In zekere zin is de slaapkamerspaarschakeling 9 een huis-tuin-en-keukenvoorbeeld van de XOR-operator. Amerikaans (boven) en IEC-symbool van een XOR met twee ingangen. Venn-diagram (2 verzamelingen) Waarheidstabel (2 ingangen) a XOR b a b Uit ONWAAR ONWAAR ONWAAR ONWAAR WAAR WAAR WAAR ONWAAR WAAR WAAR WAAR ONWAAR In de schakeling met relais is de logische opbouw niet eenvoudig aan te wijzen. Elk relais bezit een wisselkontakt. De stroomkring met de contacten is gesloten, wanneer slechts éen van beide relais bekrachtigd is. XOR-poorten worden, meestal in groepen of in combinatie met geïntegreerde schakeling Meestal is het positieve logica; een logische 1 correspondeert met een hoge spanning. 9 Slaapkamerspaarschakeling, waarbij drie wisselschakelaars worden toegepast om maximaal een van twee lampen in te schakelen. Deze vindt zijn toepassing met name in hotels, en is bedoeld om te voorkomen dat beide lampen (bijvoorbeeld de kamerverlichting en een lamp boven de wastafel) langdurig tegelijkertijd branden, en zodoende energie te besparen. De eerste twee schakelaars vormen een normale wisselschakeling: een bij de toegangsdeur en een bij het bed. De derde schakelaar wordt bij de wastafel geplaatst. Deze derde wisselschakelaar dient als keuzeschakelaar tussen de plafondlamp en de lamp boven de wastafel. Met deze schakelaar kan het licht dus niet uitgeschakeld worden, dat gebeurt via de beide andere schakelaars. Thysen Pieter 9 / 13 Cursus
De NOT-poort De NOT-poort of inverter (Nederlands: NIET-poort) is een digitale elektronische schakeling. De poort bezit één ingang en één uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 0, als de ingang 1 is. Amerikaans (boven) en IEC-symbool van een NOT met een ingang. VENN-diagram (2 verzamelingen) Waarheidstabel NOT a a Uit 0 1 1 0 In deze schakeling bezit het relais een verbreekcontact. De stroomkring met het contact is geopend, wanneer het relais bekrachtigd is. NOT-poorten worden, meestal in groepen of in combinatie met geïntegreerde schakeling Het komt voor positieve en negatieve logica op hetzelfde neer; het maakt niet uit, of een logische 1 correspondeert met een hoge of een lage spanning. Thysen Pieter 10 / 13 Cursus
De NAND-poort De NAND-poort (Nederlands: NEN-poort) is een digitale elektronische schakeling. De poort bezit twee of meer ingangen en 1 uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 0, als alle ingangen 1 zijn. De NAND-poort is in een transistor-schakelschema het basiscircuit voor de overige logische poorten, aangezien er maar 2 transistors benodigd zijn. Door middel van o.a. inventors kunnen alle overige logische poorten gerealiseerd worden (AND, OR, NOR, XOR etc.). Amerikaans (boven) en IEC-symbool van een NAND met twee ingangen. VENN-diagram (2 verzamelingen) Waarheidstabel (2 ingangen) a NAND b a b Uit 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 In de schakeling met relais bezit elk relais een verbreekkontakt. De stroomkring met de contacten is slechts geopend, wanneer alle relais bekrachtigd zijn. NAND-poorten worden, meestal in groepen of in combinatie met geïntegreerde schakeling Meestal is het positieve logica; een logische 1 correspondeert met een hoge spanning. Thysen Pieter 11 / 13 Cursus
De NOR-poort De NOR-poort (Nederlands: NOF-poort) is een digitale elektronische schakeling. De poort bezit twee of meer ingangen en 1 uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 0, als minstens één ingang 1 is. Amerikaans (boven) en IEC-symbool van een NOR met twee ingangen. VENN-diagram (2 verzamelingen) Waarheidstabel (2 ingangen) a NOR b a b Uit 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 In de schakeling met relais heeft elk relais een verbreekkontakt. De stroomkring met de contacten is geopend, wanneer minstens éen van de relais bekrachtigd is. NOR-poorten worden, meestal in groepen of in combinatie met geïntegreerde schakeling Meestal is het positieve logica; een logische 1 correspondeert met een hoge spanning. Thysen Pieter 12 / 13 Cursus
De XNOR-poort De XNOR-poort (Nederlands: EXNOF-poort of exclusieve NOF-poort) is een digitale elektronische schakeling. De poort bezit twee of meer ingangen en 1 uitgang. De logische toestand van de uitgang is uitsluitend 0, als precies één ingang 1 is. De bepaling exclusief heeft betrekking op het wederzijds uitsluitende karakter van de ingangen voor de functie. Amerikaans (boven) en IEC-symbool van een XNOR met twee ingangen. VENN-diagram (2 verzamelingen) Waarheidstabel (2 ingangen) a XNOR b a b Uit 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 In de schakeling met relais is de logische opbouw niet eenvoudig aan te wijzen. Elk relais bezit een wisselkontakt. De stroomkring met de contacten is gesloten, wanneer beide relais of geen van beide bekrachtigd zijn. XNOR-poorten worden, meestal in groepen of in combinatie met geïntegreerde schakeling Meestal is het positieve logica; een logische 1 correspondeert met een hoge spanning. Thysen Pieter 13 / 13 Cursus