Werkwinkel Wiskunde & Jongleren met Wiskunde

Werkwinkel Wiskunde & Jongleren met Wiskunde Karsten Naert UGent Vakgroep Wiskunde 29 november 2013 Hoofdstuk 0 1 / 37

Over mij... Assistent en doctoraatsstudent Taken: Onderzoek Onderwijs Dienstverlening Karsten.Naert@UGent.be http://cage.ugent.be/~kn/werkwinkel_jongleren_ kortrijk.pdf Hoofdstuk 0 2 / 37

Wiskunde is: Abstractie maken van de werkelijkheid Redeneren met deze abstracte gegevens (Zie ook: http://www.wiskunde.ugent.be/kiezen/wat.php) Toegepast op jongleerpatronen: abstraheren = achterwege laten van details redeneren = meer te weten komen over jongleerpatronen Gebaseerd op boek: The Mathematics of Juggling, door Burkard Polster Hoofdstuk 0 3 / 37

Hoofdstuk 1 Siteswap: een notatie voor jongleren Hoofdstuk 1 Siteswap: een notatie voor jongleren 4 / 37

Hoe jongleerpatronen communiceren? (Meer algemeen: hoe complexe informatie overdragen?) Letterlijke weergave? Foto video? Schematische weergave? Nadeel: sommige dingen zijn niet te zien Voordeel: andere dingen worden duidelijker! Hoofdstuk 1 Siteswap: een notatie voor jongleren 5 / 37

Het jongleerdiagram: Een metronoom tikt oneindig lang. Op de even tikken werpt de linkerhand, op de oneven tikken werpt de rechterhand. We veronderstellen periodiciteit. Het aantal tellen dat een bal in de lucht blijft tellen. Hoofdstuk 1 Siteswap: een notatie voor jongleren 6 / 37

Een tweede voorbeeld: [441] Een zekere essentie van het patroon wordt zichtbaar, andere aspecten worden onzichtbaar: Timing van de handen. (Hot patato versus lazy juggling) Beweging van de armen. (Bv. Mill s Mess) Hoofdstuk 1 Siteswap: een notatie voor jongleren 7 / 37

Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 8 / 37

Vraag Waarin verschillen even worpen van oneven worpen? Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 9 / 37

Vraag Waarin verschillen even worpen van oneven worpen? Even worpen gaan naar dezelfde hand. Oneven worpen gaan naar de andere hand. Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 9 / 37

Vraag Hoe ziet een 1-worp eruit? Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 10 / 37

Vraag Hoe ziet een 1-worp eruit? [1] lage worp [31] 2-ball shower [441] [531] Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 10 / 37

Vraag Hoe ziet een 2-worp eruit? Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 11 / 37

Vraag Hoe ziet een 2-worp eruit? [2] rust [42] twee in één hand met bal in andere hand [342] Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 11 / 37

Vraag Hoe ziet een 0-worp eruit? Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 12 / 37

Vraag Hoe ziet een 0-worp eruit? [0] leeg patroon [20], [40], [60] één, twee, drie in één hand [4440] twee in één hand, één in de andere Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 12 / 37

Vraag Hoe zien de patronen [531] en [513] eruit? Wat is het aantal ballen? Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 13 / 37

Vraag Hoe ziet het patroon [n] eruit? Wat is het aantal ballen? Hieronder [3] en [4]: Hoe ziet [5] eruit? [6]? Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 14 / 37

Vraag Hoe ziet het patroon [n] eruit? Wat is het aantal ballen? Hieronder [3] en [4]: Hoe ziet [5] eruit? [6]? Oneven: n-balwaterval Even: n-balfontein (n/2 in elke hand, asynchroon) Bemerk het verschil even versus oneven. Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 14 / 37

Het patroon [7] Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 15 / 37

Shower, bijvoorbeeld met 2 ballen: Vraag Hoe noteert men dit patroon? Voor de 3-balshower? Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 16 / 37

Shower, bijvoorbeeld met 2 ballen: Vraag Hoe noteert men dit patroon? Voor de 3-balshower? [31]: 2 ballen Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 16 / 37

Shower, bijvoorbeeld met 2 ballen: Vraag Hoe noteert men dit patroon? Voor de 3-balshower? [31]: 2 ballen [51]: 3 ballen Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 16 / 37

Shower, bijvoorbeeld met 2 ballen: Vraag Hoe noteert men dit patroon? Voor de 3-balshower? [31]: 2 ballen [51]: 3 ballen [71]: 4 ballen Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 16 / 37

Shower, bijvoorbeeld met 2 ballen: Vraag Hoe noteert men dit patroon? Voor de 3-balshower? [31]: 2 ballen [51]: 3 ballen [71]: 4 ballen in het algemeen [(2n 1)1]: n ballen Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 16 / 37

Vraag Is het patroon [98... ] jongleerbaar? Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 17 / 37

Vraag Is het patroon [98... ] jongleerbaar? Neen, meer algemeen: het patroon [(n + 1)n... ] bestaat niet! Hoofdstuk 2 Eenvoudige redeneringen maken 17 / 37

Hoofdstuk 3 Moeilijke redeneringen maken Hoofdstuk 3 Moeilijke redeneringen maken 18 / 37

Het aantal ballen Patroon Aantal ballen [531] 3 [441] 3 [4440] 3 [n] n [(2n 1)1] n [(2n)0] n Algemene regel? Hoofdstuk 3 Moeilijke redeneringen maken 19 / 37

De gemiddelden-stelling Stelling Als [a 1, a 2,..., a n ] een jongleerpatroon is, dan is het aantal ballen gelijk aan het gemiddelde van de cijfers a 1 tot a n. Bewijs Zie later. (Na het verplattingsalgoritme.) Hoofdstuk 3 Moeilijke redeneringen maken 20 / 37

Bewijs van de gemiddelden-stelling Bewijs Tussen haakjes: een direct bewijs is mogelijk als volgt. Zij b de hoogste worp die voorkomt, en m het aantal ballen, dan is ( S b)m i S a i ( S + b)m. Delen door S en limiet S nemen: m lim S 1 S a i m. Omwille van periodiciteit is de limiet van het gemiddelde gelijk aan het gemiddelde over een periode. Dus lim S 1 S i S a i = 1 n n a n = m. i S i=1 Hoofdstuk 3 Moeilijke redeneringen maken 21 / 37

De gemiddelden-test Gegeven is een rij cijfers [a 1, a 2,..., a n ]. Is dit een geldig (jongleerbaar) patroon? De test Als [a 1, a 2,..., a n ] een jongleerpatroon is, dan moet een geheel getal zijn. a 1 + a 2 + + a n n Voorbeeld: [7435] is geen jongleerpatroon want 7+4+3+5 4 = 19 4 is geen geheel getal. Maar: ook [987] zou een patroon zou kunnen zijn: = 8; we zagen al dat dit niet het geval is. 9+8+7 3 = 24 3 Hoofdstuk 3 Moeilijke redeneringen maken 22 / 37

De omgekeerde stelling Vraag Als a 1 + a 2 + + a n n een geheel getal is, is dan een permutatie van [a 1, a 2,..., a n ] een jongleerpatroon? (Antwoord: Ja! Maar dit is helemaal niet eenvoudig om ook aan te tonen.) Hoofdstuk 3 Moeilijke redeneringen maken 23 / 37

Hoofdstuk 4 Siteswap en afplatten Hoofdstuk 4 Siteswap en afplatten 24 / 37

Site-swapping en cyclisch permuteren Doel: jongleerpatronen omzetten in andere jongleerpatronen. Twee methodes: Cyclisch permuteren, bv. [531] [315] (Let op: niet [513], enkel cyclisch.) Site-swap uitvoeren: [ab... ] [(a l)(b + l)... ] Idee achter site-swap is: twee worpen van plaats veranderen. (l = b a + 1) Hoofdstuk 4 Siteswap en afplatten 25 / 37

Siteswap, illustratie Hoofdstuk 4 Siteswap en afplatten 26 / 37

Site-swapping en cyclisch permuteren Opmerkingen: Siteswap en cyclische permutaties zijn arithmetische bewerkingen; zij zetten jongleerbare patronen om in jongleerbare patronen en niet-jongleerbare patronen in niet-jongleerbare De som van de cijfers en het aantal cijfers blijven hetzelfde na een cyclische permutatie en na een siteswap Hoofdstuk 4 Siteswap en afplatten 27 / 37

Het verplattingsalgoritme We krijgen een patroon gegeven en willen bepalen of dit patroon jongleerbaar is. Doorloop volgend algoritme: 1. Zijn alle cijfers gelijk? ja: het patroon is jongleerbaar nee: ga naar stap 2 2. Voer een cyclische permutatie uit, zodanig dat het eerste cijfer van het patroon zo groot mogelijk wordt en het tweede cijfer verschilt van het eerste. Het patroon begint nu met [ab... ]. Is nu a = b + 1? ja : het patroon is niet jongleerbaar nee: ga naar stap 3 3. Voer een siteswap uit van de eerste twee posities. Als het patroon [ab... ] was, wordt het [(a l)(b + l)... ]. Ga naar stap 1. Hoofdstuk 4 Siteswap en afplatten 28 / 37

Voorbeelden (dubbele pijlen zijn sitewaps, enkele zijn cyclische permutaties): 642 = 552 525 = 345 534 = 444 514 = 244 424 = 334 433 Waarom werkt dit? Hoofdstuk 4 Siteswap en afplatten 29 / 37

Voorbeelden (dubbele pijlen zijn sitewaps, enkele zijn cyclische permutaties): 642 = 552 525 = 345 534 = 444 514 = 244 424 = 334 433 Waarom werkt dit? Het aantal grootste cijfers neemt elke siteswap af; maar de som van de cijfers blijft hetzelfde. Dus we kunnen maar een eindig aantal stappen doorlopen en moeten vroeg of laat in één van de twee eindpunten (patroon is jongleerbaar of niet) terecht komen. Hoofdstuk 4 Siteswap en afplatten 29 / 37

Opmerking: dit algoritme bewijst de stelling over gemiddelden. Bewijs Hoofdstuk 4 Siteswap en afplatten 30 / 37

Opmerking: dit algoritme bewijst de stelling over gemiddelden. Bewijs Stel dat een patroon jongleerbaar is. Doorloop dan het platslageralgoritme met dit patroon. De som van de cijfers verandert niet. Het aantal cijfers verandert niet. Dus het gemiddelde van de cijfers is hetzelfde voor en na het doorlopen van het algoritme Het aantal ballen blijft hetzelfde. Na het doorlopen van het algoritme, is het patroon van de vorm [aaaa... ] Dus is het gemiddelde van de cijfers gelijk aan het aantal ballen. Dus was dit ook vóór het doorlopen van het algoritme al het geval. Hoofdstuk 4 Siteswap en afplatten 30 / 37

Hoofdstuk 5 Jongleerkaartjes en het aantal patronen Hoofdstuk 5 Jongleerkaartjes en het aantal patronen 31 / 37

Jongleerkaartjes Hoofdstuk 5 Jongleerkaartjes en het aantal patronen 32 / 37

Jongleerkaartjes Hoofdstuk 5 Jongleerkaartjes en het aantal patronen 33 / 37

Het aantal patronen Stelling 1. Het aantal jongleerpatronen met periode p en ten hoogste b ballen bedraagt (b + 1) p. 2. Het aantal jongleerpatronen met periode p en precies b ballen bedraagt (b + 1) p b p. 3. Het aantal minimale patronen met b ballen en periode p, bedraagt 1 µ(p/d) ( (b + 1) d b d ) ). p d p Bewijs Bewijs maakt gebruik van jongleerkaartjes. Hoofdstuk 5 Jongleerkaartjes en het aantal patronen 34 / 37

Hoofdstuk 6 Meer weten? Hoofdstuk 6 Meer weten? 35 / 37

En verder... Vele mogelijke manieren om de complexiteit te verhogen: Multiplex-jongleren Meerdere personen of meerdere armen Jongleren met antiballen of antiworpen Hoofdstuk 6 Meer weten? 36 / 37

Meer weten? The Mathematics of Juggling Burkard Polster Jongleersimulaties op internet: http://www.flasharcade.com/arcade-games/play/ juggling-simulator-game.html http://www.youtube.com Hoofdstuk 6 Meer weten? 37 / 37