Auteur Its Academy Laatst gewijzigd Licentie Webadres 29 November 2014 CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie http://maken.wikiwijs.nl/46161 Dit lesmateriaal is gemaakt met Wikiwijsleermiddelenplein. Wikiwijsleermiddelenplein is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, vergelijkt, maakt en deelt. Stel zo voor iedere onderwijssituatie de optimale leermiddelenmix samen.
Inhoudsopgave 7.1 Dubbele implicatie 7.2 Pijlen bij het oplossen van vergelijkingen 7.3 Begripsdefinities en de dubbele implicatie Over dit lesmateriaal Pagina 1
7.1 Dubbele implicatie Als p? q en q? p allebei waar zijn, dan schrijven we p? q en dat wordt wel uitgesproken als: p dan en slechts dan als q p desda q p is gelijkgeldig met q Een uitspraak van de vorm p?q heet ook wel: een dubbele implicatie of equivalentie. Het betekent: in alle gevallen dat p geldt, geldt ook q, en ook omgekeerd: in alle gevallen dat q geldt, geldt ook p. Er is een precieze overlap tussen de gevallen dat p geldt en dat q geldt. Voorbeeld Bij een driehoek met zijden a, b en c: als a 2 =b 2 +c 2, dan heeft de driehoek een rechte hoek tussen zijden b en c. als de driehoek een rechte hoek heeft tussen zijden b en c, dan a 2 =b 2 +c 2. Dus bij een driehoek met zijden a, b en c: voor zijden a, b en c geldt a 2 =b 2 +c 2? er is een rechte hoek tussen zijden b en c. Voorbeeld Voor een natuurlijk getal x: als x een zesvoud is, dan is x zowel even als een drievoud. als x zowel even als een drievoud is, dan is x een zesvoud. Dus voor een natuurlijk getal x: x is een zesvoud? x is zowel even als een drievoud. Nodige en voldoende voorwaarde Een kenmerk p heet een nodige voorwaarde voor q, als q niet kan optreden zonder dat p op-treedt. Dus zodra q optreedt heb je altijd p, dus q?p. Kenmerk p heet een voldoende voorwaarde voor q als, om q te krijgen het voldoende is om p te hebben. Dus zodra je p hebt, krijg je q, dus p?q. Een voorwaarde is nodig en voldoende als hij gelijkgeldig is met q. Bijvoorbeeld: "gelijke zijden" is een nodige voorwaarde voor een vierhoek om vierkant te zijn, maar die voorwaarde is niet voldoende. Vraagstuk 1 Hieronder staan vier voorwaarden. Per voorwaarde kun je aangeven of hij nodig is, voldoende is, allebei of geen van beide. Plaats een X bij de juiste voorwaarde. Pagina 2
klik hier Pagina 3
7.2 Pijlen bij het oplossen van vergelijkingen Bij het oplossen van vergelijkingen worden vaak pijltjes gebruikt. x 2-5x + 6 = 0? (x - 2) (x - 3) = 0? x - 2 = 0 of x - 3 = 0? x = 2 of x = 3 Daarmee is de vergelijking opgelost. Het idee is namelijk dat je laat zien dat x 2-5x + 6 = 0? x = 2 of x = 3 Wil x dus voldoen aan de vergelijking links, dan moet x voldoen aan de vergelijking rechts. Dus x is een oplossing als x=2 of als x=3. Andersom als x gelijk aan 2 of 3 is, dan voldoet hij aan de vergelijking. Sommige stappen in het oplossen van vergelijkingen zijn echter niet omkeerbaar. Bekijk de volgende uitwerking: x+2=x?(x+2)2=x2?x+2=x2?x2?x?2=0? x = -1 of x = 2 Hierin is de eerste stap niet omkeerbaar. Voor x=?1 is x+2=x niet waar, want er staat dan 1=?1, terwijl(x+2)2 wel waar is, want dat komt neer op 1 = 1. De serie stappen levert wel: x+2=x? x=-1? x = 2 Hier staat dat áls x een oplossing is, x gelijk aan -1 of 2 is. Maar of -1 en 2 wel echt oplossingen zijn, moet je nog controleren. En dan blijkt dat -1 vals is. Bij het oplossen van een vergelijking met een wortel is het vaak handig beide leden te kwadrateren. Maar let op, door het kwadrateren verlies je equivalentie en zul je de gevonden mogelijke oplossingen moeten controleren. x=y?x2=y2 maar niet x 2 = y 2? x = y Pagina 4
Als twee getallen gelijk zijn, dan zijn hun kwadraten ook gelijk. Maar als de kwadraten van twee getallen gelijk zijn, dan zijn het nog geen gelijke getallen, bijvoorbeeld (-1) 2 = (1) 2 is waar, maar 1 = -1 is niet waar. Vraagstuk 2 Onderzoek welke implicatiepijl(en) ingevuld kunnen worden zodat er een ware bewering ontstaat. Als de dubbele implicatie mag, kies die dan. De variabelen x,y en c staan voor willekeurige reële getallen. klik hier Vraagstuk 3 Wat is er precies fout aan het onderstaande 'bewijs'? Vervang de foute dubbele implicatie door de juiste enkele pijl. Stelling : 2 = 3 Bewijs : 4-10 = 9-15 klik hier?4?10+254=9?15+254?22?2?2?(52)+254=32?2?3?(52)+254?(2?52)2=(3?52)2?2?52=3?52?2=3 QED Pagina 5
7.3 Begripsdefinities en de dubbele implicatie Begripsdefinities en desda Vergelijk: 1. Een bakker is een mens, 2. Een bakker is iemand die beroepshalve brood bakt. Bij 1 wordt iets over bakkers verteld, bij 2 wordt uitgelegd wat een bakker is. Zin 2 is een definitie van het begrip bakker. Het verschil is in dagelijkse taal niet aan te geven, in de wiskunde met pijlen wel: 1. x is een bakker? x is een mens 2. x is een bakker? x is iemand die beroepshalve brood bakt. Bij een goede definitie gaat het altijd om desda: het begrip dat je definieert moet altijd kunnen vervangen worden door waar het mee gedefinieerd wordt. Dubbelzinnigheid van "is" Bij begripsdefinities zien we de dubbelzinnigheid van het woordje "is". Deze speelt ook bij uitspraken over objecten. Vergelijk: 1. 2 is even 2. 2 is 1+1 Bij a) wordt een eigenschap van 2 gegeven, bij b) zijn twee dingen aan elkaar gelijk: 2 en 1+1. Het verschil komt goed tot uitdrukking als we de beweringen in formuletaal weergeven: 1. 2?? 2. 2 = 1 + 1 Vraagstuk 4 Wel of geen definitie kn.nu/e5d0t Welke van de volgende beweringen zijn goede definities? Iets is koud als het een lage temperatuur heeft. a. Wel definitie b. Niet waar Als een wezen een mier is, dan is het een sociaal insect. a. Wel definitie b. Geen definitie Pagina 6
Een mandoline is een snaarinstrument. a. Wel definitie b. Geen definitie Een puppy is een jonge hond. a. Wel definitie b. Geen definitie 2 is een irrationaal getal. a. Wel definitie b. Geen definitie Een vierkant heeft vier rechte hoeken. a. Wel definitie b. Geen definitie Een mannelijk rund is een stier. a. Wel definitie b. Geen definitie Vraagstuk 5 Gelijkheid of verzameling kn.nu/2r9un Hieronder staan beweringen met daarin het woordje "is". Het woord "is" kan gaan om gelijkheid, maar het kan ook betekenen "behoort tot een verzameling". Geef aan of het gaat om een gelijkheid (=) of om het behoren tot een verzameling ( ). is de verhouding tussen diameter en omtrek van een cirke Pagina 7
a. Verzameling b. Gelijkheid N is de verzameling {0,1,2,3,...} a. Verzameling b. Gelijkheid 5 is deler van 25 a. Verzameling b. Gelijkheid h is de hoogte van de piramide ABCDE a. Verzameling b. Gelijkheid 2 is irrationaal a. Verzameling b. Gelijkheid Vraagstuk 6 Soms proberen mensen het probleem met de dubbele pijlen te omzeilen door het woordje "dus" te gebruiken. Maar ook dan kan het misgaan. Welk woordje "dus" is in het onderstaande bewijs niet terecht: klik hier Pagina 8
Antwoorden Antwoorden: Wel of geen definitie Iets is koud als het een lage temperatuur heeft. 1. Wel definitie 2. Niet waar Als een wezen een mier is, dan is het een sociaal insect. 1. Wel definitie Er zijn misschien ook andere sociale insecten 2. Geen definitie Er zijn misschien ook andere sociale insecten Een mandoline is een snaarinstrument. 1. Wel definitie Een viool is ook een snaarinstrument 2. Geen definitie Een viool is ook een snaarinstrument Een puppy is een jonge hond. 1. Wel definitie 2. Geen definitie 2 is een irrationaal getal. 1. Wel definitie 2+1 is ook een irrationaal getal 2. Geen definitie 2+1 is ook een irrationaal getal Pagina 9
Een vierkant heeft vier rechte hoeken. 1. Wel definitie Een rechthoek heeft ook vier rechte hoeken 2. Geen definitie Een rechthoek heeft ook vier rechte hoeken Een mannelijk rund is een stier. 1. Wel definitie 2. Geen definitie Antwoorden: Gelijkheid of verzameling is de verhouding tussen diameter en omtrek van een cirke 1. Verzameling 2. Gelijkheid N is de verzameling {0,1,2,3,...} 1. Verzameling 2. Gelijkheid 5 is deler van 25 1. Verzameling 2. Gelijkheid h is de hoogte van de piramide ABCDE 1. Verzameling 2. Gelijkheid Pagina 10
2 is irrationaal 1. Verzameling 2. Gelijkheid Pagina 11
Over dit lesmateriaal Colofon Dit materiaal is achtereenvolgens ontwikkeld en getest in een SURF-project (2008-2011: e-klassen als voertuig voor aansluiting VO-HO) en een IIO-project (2011-2015: e-klassen&pal-student). In het SURF project zijn in samenwerking met vakdocenten van VO-scholen, universiteiten en hogescholen e-modules ontwikkeld voor Informatica, Wiskunde D en NLT. In het IIO-project (Innovatie Impuls Onderwijs) zijn in zo n samenwerking modules ontwikkeld voor de vakken Biologie, Natuurkunde en Scheikunde (bovenbouw havo/vwo). Meer dan 40 scholen waren bij deze ontwikkeling betrokken. Organisatie en begeleiding van uitvoering en ontwikkeling is gecoördineerd vanuit Bètapartners/Its Academy, een samenwerkingsverband tussen scholen en vervolgopleidingen. Zie ook www.itsacademy.nl De auteurs hebben bij de ontwikkeling van de module gebruik gemaakt van materiaal van derden en daarvoor toestemming verkregen. Bij het achterhalen en voldoen van de rechten op teksten, illustraties, en andere gegevens is de grootst mogelijke zorgvuldigheid betracht. Mochten er desondanks personen of instanties zijn die rechten menen te kunnen doen gelden op tekstgedeeltes, illustraties, enz. van een module, dan worden zij verzocht zich in verbinding te stellen met de programmamanager van de Its Academy (zie website). Gebruiksvoorwaarden: creative commons cc-by sa 3.0 Handleidingen, toetsen en achtergrondmateriaal zijn voor docenten verkrijgbaar via de bètasteunpunten. Auteur Its Academy Laatst gewijzigd 29 November 2014 om 21:48 Licentie Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om: het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden. Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie Aanvullende informatie over dit lesmateriaal Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar: Leerniveau VWO 6; VWO 4; VWO 5; Pagina 12
Leerinhoud en doelen Wiskundig redeneren; Wiskunde D; Inzicht en handelen; Eindgebruiker leerling/student Moeilijkheidsgraad gemiddeld Trefwoorden e-klassen rearrangeerbaar Pagina 13