Uitwerkingen opgaven hoofdstuk 5 5. Arbeid Opgave Bij alle vragen geldt, dat de arbeid bepaald wordt door kracht, verplaatsing en de hoek tussen de kracht en de verplaatsing. Door het tekenen van de kracht en de verplaatsing kun je zonder formule bepalen of er arbeid is verricht, en, als er arbeid is verricht, wat het teken van die arbeid is. Hiervoor gelden de volgende regels: 0 α < 90 ; er is arbeid verricht, het teken is positief; als de verplaatsing 0 m is, of als α = 90, is er geen arbeid verricht; 90 < α 80 ; er is arbeid verricht, het teken is negatief. Maak dus bij elke situatie een schets, teken daarin de krachten, en geef met een pijl de richting van de verplaatsing aan. situatie welke krachten treden er op? a omhoog tillen spierkracht boekentas zwaartekracht b boekentas hangt aan kapstokkracht kapstok zwaartekracht c zelf omhooghouden spierkracht van tas zwaartekracht d vallen van een ei zwaartekracht wrijvingskracht e fietsen met constante spierkracht snelheid wrijvingskracht zwaartekracht normaalkracht f optrekken auto motorkracht wrijvingskracht zwaartekracht normaalkracht g kogel beweegt recht omhoog zwaartekracht wrijvingskracht verricht de kracht arbeid? ja ja nee nee nee nee ja ja ja ja nee nee ja ja nee nee ja ja is de arbeid positief of negatief? positief negatief positief negatief positief negatief positief negatief negatief negatief Opgave Opgave 3 a De arbeid verricht door de zwaartekracht kun je berekenen met W zw = F zw s cos α. F zw = m g; omdat het altijd om dezelfde bal gaat, is F zw in alle situaties gelijk. Het verschil in arbeid verricht door de zwaartekracht wordt dus bepaald door de verplaatsing s. In situatie c is de verplaatsing het kleinst. b De arbeid verricht door de wrijvingskracht wordt berekend met W wr = F wr s cos α. De grootte van de wrijvingskracht F wr is in alle situaties gelijk. Het verschil in arbeid verricht door de wrijvingskracht wordt bepaald door de doorlopen weg. De doorlopen weg is het langst in situatie b. a F zw = m g = 0 9,8=,8 0 3 N UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 van 39
W zw = F zw s cos α =,8 0 3 4,30 cos 80 = 5,06 0 3 Nm b Op de massa werken twee krachten, de zwaartekracht en de spankracht. De snelheid is constant, dus de versnelling is nul. Dan is de resulterende kracht nul. De spankracht is dus in grootte gelijk aan de zwaartekracht. c W trek = F trek s cos α =,8 0 3 4,30 cos 0 = +5,06 0 3 Nm Opmerking Je had ook meteen kunnen zeggen dat de arbeid +5,06 0 3 Nm was. Het enige verschil met vraag a is de richting van de kracht, waardoor de arbeid van F span positief is. Opgave 4 a Zie figuur 5.. W wr = F wr s cos α = 0,40 0 3 84 cos 80 = 3,4 0 4 Nm Figuur 5. b Zie figuur 5.. Eerste manier De kar beweegt omhoog; de zwaartekracht werkt naar beneden de door de zwaartekracht verrichte arbeid is negatief. W zw = F zw h F zw = m g m = m kar + 8 m inzittende = 50 + 8 70 = 80 kg F zw = 80 9,8 = 7,95 0 3 N We bepalen h met behulp van ABC. BC sin 60 = BC = AB sin 60 AB BC = h = 84 sin 60 = 7,7 m W zw = F zw h = 7,95 0 3 7,7 = 5,8 0 5 Nm Tweede manier W zw = F zw s cos α F zw = m g m = m kar + 8 m inzittende = 50 + 8 70 = 80 kg F zw = 80 9,8 = 7,95 0 3 N W zw = 7,95 0 3 84 cos 50 = 5,8 0 5 Nm c Zie figuur 5.. F span = F zw,x + F wr We bepalen F zw,x met behulp van ABC. ZQ Fzw,x sin 60 = = Fzw,x = Fzw sin 60 ZP F zw UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 van 39
F 3 3 zw,x = Fzw sin 60 = 7,95 0 sin 60 = 6,88 0 N F span = F zw,x + F wr = 6,88 0 3 + 0,40 0 3 = 7,3 0 3 N d Zie figuur 5.. W span = F span s cos α = 7,3 0 3 84 cos 0 = +6, 0 5 Nm Opgave 5 a Zie figuur 5.. De slee beweegt met constante snelheid in de X-richting. Er zijn vier krachten die een rol spelen. De zwaartekracht en de normaalkracht werken verticaal, de trekkracht werkt schuin omhoog, en de wrijvingskracht werkt horizontaal. De trekkracht moet ontbonden worden in een X- en een Y-component. Uit de constante snelheid volgt dat de resulterende kracht in horizontale richting 0 is F trek,x = F wr In de Y-richting vindt geen beweging plaats F res,y = 0 N F trek,y + F n F zw = 0 Figuur 5. b F trek,x = F wr = 80 N Zie figuur 5.. We bepalen F trek met behulp van ABC. AB AB cos 35 = AC = AC cos 35 Ftrek,x 80 Ftrek = = = 98 N cos35 cos 35 c F trek,y + F n F zw = 0 We bepalen F trek,y met behulp van ABC. Zie figuur 5.. Eerste manier BC sin 35 = BC = AC sin 35 AC F = F sin 35 = 97,7 sin 35 = 56,0 N trek,y trek Tweede manier De stelling van Pythagoras: AC = AB + BC F = F + F 97, 7 = 80 + F F = 97, 7 80 = 56, N trek,y trek,y F zw = 9,8 = 6 N F n = F zw F trek,y = 6 56 =,6 0 N trek trek,x trek,y UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 3 van 39
d W trek = F trek,x s cos 0 = 80 5,0 = +4,0 0 Nm e W wr = F wr s cos α = 80 5,0 ( ) = 4,0 0 Nm f W n = F n s cos α; W zw = F zw s cos α Voor beide krachten geldt: α = 90, want zowel F n als F zw staan loodrecht op de bewegingsrichting; cos 90 = 0 W n = 0 Nm en W zw = 0 Nm Opgave 6 Opgave 7 a s = a t = 0,89 60 =,6 0 3 m b F motor = F res = m a = 3,69 0 5 0,89 = 3,3 0 5 N c W motor = F motor s cos α = 3,3 0 5,6 0 3 (+) = +5,3 0 8 Nm d W motor = F motor s cos α De arbeid die verricht wordt door de motorkracht wordt bepaald door de grootte van de motorkracht F motor en de verplaatsing s. De motorkracht is in beide situaties gelijk, maar de verplaatsing in de eerste seconde is minder dan de verplaatsing in de zestigste seconde W motor is gedurende de zestigste seconde groter dan gedurende de eerste seconde. a Eerste manier Zie figuur 5.3a. De arbeid die de spierkracht verricht, volgt uit de oppervlakte onder de (F,u)- grafiek van 3,0 cm tot 9,0 cm. W spier = oppervlakte A + oppervlakte A A = (9,0 3,0) 0 0,4 = 0,05 Nm A = (9,0 3,0) 0 (,6 0,4) = 0,05 Nm W spier = 0,05 + 0,05 = +5,0 0 Nm Tweede manier Zie figuur 5.3b. De gemiddelde trekkracht: F gem = 0,84 N De arbeid die de spierkracht verricht, volgt uit de oppervlakte onder de (F,u)- grafiek van 3,0 cm tot 9,0 cm. W spier = oppervlakte A 3 A 3 = (9,0 3,0) 0 0,84 = 0,0504 Nm W spier = +5,0 0 Nm Figuur 5.3a Figuur 5.3b UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 4 van 39
b Eerste manier Zie figuur 5.4a. De arbeid die de spierkracht verricht, volgt uit de oppervlakte onder de (F,u)- grafiek van 0,0 cm tot 4,0 cm. W spier = oppervlakte A = 0,4 cm,0 cm komt overeen met N 0,0 m = 0,0 Nm W spier = 0,4 0,0 = +0, Nm Tweede manier Zie figuur 5.4b. De gemiddelde trekkracht: F gem = 5, N De arbeid die de spierkracht verricht, volgt uit de oppervlakte onder de (F,u)- grafiek van 0,0 cm tot 4,0 cm. W spier = oppervlakte A 4 + A 5 W spier = A 4 + A 5 = (4,0) 0 5, = +0, Nm Figuur 5.4a Figuur 5.4b 5. Energievormen Opgave 8 a E kin = mv de grootte van E kin wordt bepaald door de massa m en snelheid v. b De grootste invloed heeft de snelheid, want in de formule staat v. c E zw = m g h. Die grootheden zijn: massa m, valversnelling g en de hoogte h van het voorwerp ten opzichte van de grond. Opgave 9 a Zie figuur 5.5. E zw = m g h: de eenheid van zwaarte-energie in basiseenheden: [E zw ] = Nm; de m eenheid van versnelling: [g] = ; de eenheid van hoogte: [h] = m. s b E kin = mv : de eenheid van bewegingsenergie in basiseenheden: [E kin ] = Nm; m de eenheid van massa: [m] = kg; de eenheid van snelheid: [ v ] =. s c Q = F wr s: de eenheid van warmte Q: [Q] = Nm; de eenheid van kracht: [F] = N; de eenheid van afgelegde weg: [s] = m. d E veer = Cu : de eenheid van veerenergie in basiseenheden: [E veer ] = Nm; de N eenheid van veerconstante: [ C ] = ; de eenheid van uitrekking: [u] = m. m UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 5 van 39
Figuur 5.5 Opgave 0 a W dozen = F dozen s cos α; F dozen = m g, waarbij m de totale massa van de dozen is. Of de tegelzetter de dozen nu in twee keer ( 3 dozen) of in drie keer (3 dozen) naar boven brengt, maakt voor de totale massa van de dozen niet uit. De totale massa van de dozen is in beide gevallen hetzelfde. In beide gevallen is de te verrichten arbeid dus even groot. b De totale arbeid die de tegelzetter heeft verricht, wordt bepaald door de verticale verplaatsing en door de zwaartekracht op de dozen en zijn eigen lichaam samen. Hij moet ook arbeid verrichten om zijn eigen lichaam naar boven te brengen. Opgave a Zie figuur 5.6. E zw = F zw h F zw = m g = 44 9,8 = 43 N I: van H naar O h = 3 m E zw = 43 ( 3) = 5,6 0 3 J II: van L naar R h = 0 m E zw = 0 J III: van R naar H h = 6,5 m E zw =43 (6,5) =,8 0 3 J IV: van H geheel rond naar H h = 0 m E zw = 0 J UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 6 van 39
Figuur 5.6 b I: W zw = 5,6 0 3 J, want de zwaartekracht en de verplaatsing wijzen beide dezelfde kant op (naar beneden). II: W zw = 0 J, want er is geen verticale verplaatsing. III: W zw =,8 0 3 J, want de zwaartekracht en de verplaatsing wijzen een verschillende kant op (de zwaartekracht naar beneden en de verticale verplaatsing omhoog). IV: W zw = 0 J, want er is geen verticale verplaatsing. c De zwaartekracht verandert niet bij het omkeren van de draairichting in vergelijking met vraag a en b. Ook de hoogteverschillen veranderen in alle vier de gevallen niet. De antwoorden veranderen dus ook niet. Opgave a E zw = F zw h F zw = m totaal g = (55 + 0) 9,8 = 638 N We bepalen h met behulp van ABC. Zie figuur 5.7a. BC sin 5,0 = BC = AC sin 5,0 h = 00 sin 5,0 = 8,7 m AC E zw = F zw h = 638 8,7 = 5,6 0 3 J Figuur 5.7a b E kin = mv 5 v = 5 km/h = m/s = 6,94 m/s 3,6 = = 3 E kin 65 6, 94, 6 0 J c Q = F wr s 4,0 0 3 = F wr 00 F wr = 40 N d E totaal,chem = E zw + Q E zw = 5,6 0 3 J (zie onderdeel a van deze opgave) Q = F wr s = 5 00 =,50 0 3 J E totaal,chem = 5,6 0 3 +,50 0 3 = 8, 0 3 J e Eerste manier Zie figuur 5.7b. Noem de bedoelde kracht F. UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 7 van 39
Bekijk alleen de krachten en krachtcomponenten die langs de helling werken. Samen met F zijn dat er drie. De grootte van de resulterende kracht langs de helling is 0, omdat de snelheid constant is. F = F zw,x + F wr Nu moeten we F zw,x bepalen met behulp van ABZ. Zie figuur 5.7b. BZ sinα = BZ = AZ sinα AZ F = 638 sin 5,0 = 55,6 N zw,x F wr = 5 N F = 55,6 + 5 = 8 N Figuur 5.7b Tweede manier De chemische energie zorgt ervoor dat Kirsten arbeid kan verrichten. De arbeid die Kirsten heeft verricht, wordt bepaald door de voortstuwingskracht langs de helling en de verplaatsing langs de helling. De benodigde chemische energie heb je berekend bij vraag d. E totaal,chem = F s = 8, 0 3 J F 00 = 8, 0 3 F = 8 N f Bij een chemisch proces wordt slechts een gedeelte van de energie gebruikt voor nuttige arbeid (het nuttige arbeidsdeel). Het andere deel wordt omgezet in warmte. Er moet dus altijd meer chemische energie omgezet worden dan gebruikt kan worden voor nuttige arbeid. 5.3 Arbeid en kinetische energie; wet behoud van energie Opgave 3 E zw E kin E veer Q W zw W wr W veer E chem (arbeidsdeel) a + x + + x x b + x x x x x c 0 0 x + 0 x d 0 x + + x x e 0 x 0 x 0 x 0 x UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 8 van 39
Opgave 4 a s(t) = at 0 = 9,8 t t =,43 s v(t) = at = 9,8,43 = 4 m/s b F s = E E = m v m v zw kin,eind kin,begin eind begin F zw = m g = 0,00 9,8 = 0,96 N 0,96 0 = 0, 00 v 0, 00 0,96 = 0, 00 v v = 4 m/s eind eind eind De oplossingen van opgave 4, vraag c en d, met de TI c Voor de zwaarte-energie geldt: E zw = mgh. Vul in voor h: h(t) = 0 s(t) E zw = mg(0 s(t)). Vul in voor s(t): s(t) = 9,8 t E zw = mg (0 9,8 t ). Op de grafische rekenmachine is E zw = Y en t = X. Het resultaat is Y = 0.0 * 9.8 * (0 4.905X ). Zie figuur 5.8a. Figuur 5.8a Figuur 5.8b Figuur 5.8c d Voor de kinetische energie geldt: E kin = mv. Vul voor de snelheid in v(t) = at: E kin = m (a t). Op de grafische rekenmachine is E kin = Y en t = X. Denk aan het bereik. Het resultaat is Y = * 0.0 * (9.8 * X). Zie figuur 5.9a en b. Laat je beide grafieken tekenen door je GR; dan krijg je figuur 5.9c en d. Figuur 5.9a Figuur 5.9b Figuur 5.9c Figuur 5.9d UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 9 van 39
De oplossingen van opgave 4, vraag c en d, met de Casio c Voor de zwaarte-energie geldt: E zw = mgh. Vul in voor h: h(t) = 0 s(t) E zw = mg(0 s(t)). Vul in voor s(t): s(t) = 9,8 t E zw = mg (0 9,8 t ). Op de grafische rekenmachine is E zw = Y en t = X. Het resultaat is Y = 0.0*9.8*(0 4.905 X ). Zie figuur 5.0a, b en c. Figuur 5.0a Figuur 5.0b Figuur 5.0c d Voor de kinetische energie geldt: E kin = mv. Vul voor de snelheid in v(t) = at: E kin = m (a t). Op de grafische rekenmachine is E kin = Y en t = X. Denk aan het bereik. Het resultaat is Y = * 0.0 * (9.8 * X). Zie figuur 5.a en b. Laat je beide grafieken tekenen door je GR; dan krijg je figuur 5.c en d. Figuur 5.a Figuur 5.b Figuur 5.c Figuur 5.d Opgave 5 Opgave 6 v begin = 36 km/h = 0 m/s; v eind = 0 m/s De remafstand: s = 5 m. De massa van Xander en zijn fiets: m totaal = 75 kg. F s = E wr kin E = m v m v = 75 0 75 0 = 3750 J kin eind begin F 5 = 3750 wr F = wr,5 0 N De snelheid is constant, dus de versnelling is nul. Dan is de resulterende kracht nul. Er is een trekkracht, dus er moet een tegenwerkende kracht zijn die even groot is als de trekkracht, maar tegengesteld gericht. Dat is de wrijvingskracht. UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 0 van 39
Opgave 7 W zw + W wr = E kin,eind E kin,begin W zw = F zw h F zw = m g = 75 9,8 = 736 N W zw = 736 5 =,04 0 3 J W wr = F wr s = 5 80 =,0 0 3 J, want de wrijvingskracht en de verplaatsing wijzen een verschillende kant op. E kin,begin = 0, want de beginsnelheid is 0 m/s E kin,eind =,04 0 3,0 0 3 = 9,04 0 3 J 3 3 m v = 9,04 0 75 v = 9,04 0 eind v = 6 m/s eind eind Opgave 8 Zie de figuren 5.a en b. In figuur 5.a bewegen de armen van de speelster omhoog, dus er wordt tegen de bal geslagen. In figuur 5.b bewegen de armen juist iets omlaag. De snelheidsverandering zal in het eerste geval dus groter zijn dan in het tweede geval. De kinetische energie van de teruggespeelde bal is dus in het eerste geval groter dan in het tweede geval. Figuur 5.a Figuur 5.b Opgave 9 Opgave 0 a De snelheid is constant, dus de versnelling is nul. Dan is de resulterende kracht nul. Er is een wrijvingskracht, dus er moet een voortbewegende kracht zijn die even groot is als de wrijvingskracht, maar tegengesteld gericht. Dus F voortbeweging = 4 N. b v begin = 0 km/h = 5,56 m/s; v eind = 0 m/s De massa van Anita en haar fiets: m = 75 kg. F wr = 4 N E = F s kin wr E = m v m v = 75 0 75 5,56 = 59 J kin eind begin 4 s = 59 s = 83 m v begin = 50 m/s; v eind = 0 m/s De massa van de bal: m bal = 0,5 kg. De remafstand: s = 0 cm = 0,0 m. E = F s kin rem E = m v m v = 0,5 0 0,5 50 = 87,5 J kin bal eind bal begin F 0,0 = 87,5 rem F = = rem 3,9 0 N,9 kn UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 van 39
Opgave Opgave a W totaal = W zw,joep + W spier,maremca + W wr W zw,joep = F zw,joep h F zw,joep = m Joep g = 96 9,8 = 94 N W zw,joep = 94 5,0 = 4,7 0 3 J = 4,7 kj W totaal = 4,7 +, 0,30 = 6,6 kj. b W totaal = E kin,eind E kin,begin E kin,begin = 0, want de beginsnelheid is 0 m/s E kin,eind = 6,6 kj = 6,6 0 3 J E kin,eind = E kin,maremca+kar,hor + E kin,joep,hor + E kin,joep,vert E kin,maremca+kar,hor = m Maremca+kar v ; E kin,joep,hor = E kin,joep,vert = mjoep vvert hor ; mjoep vhor De verticale snelheid van Joep is gelijk aan 0,5 keer de horizontale snelheid v = 0,5 v Joep,vert Joep,hor E kin,joep,vert = m v = m (0, 5 v ) = 0, 035 m v W totaal = E kin,eind E kin,begin = m Maremca+kar v hor + mjoep vhor + 0,035 mjoep vhor 6,6 0 3 = 06 v hor + 96 v hor + 0, 035 96 v hor 6,6 0 3 = 53 v hor + 48 v hor + 3 v hor = 04 v hor v hor = 8,0 m/s Joep vert Joep hor Joep hor W zw = F zw h F zw = m totaal g = 980 9,8 = 964 N Nu bepalen we h met behulp van ABC. Zie figuur 5.3. BC sin0 = BC = AC sin0 AC h = 00 sin0 = 7, 36 m W zw = F zw h = 964 7,36 = 67 0 3 J v begin = 0 km/h = 33,33 m/s; v eind = 80 km/h =, m/s 3 Ekin,begin = m vbegin = 980 33,33 = 544 0 J 3 Ekin,eind = m veind = 980, = 4 0 J W + W = E E zw wr kin,eind kin,begin 67 0 3 + W wr = 4 0 3 544 0 3 W wr = 469 0 3 J W wr = F wr s F wr 00 = 469 0 3 F wr = 4,69 0 3 N Figuur 5.3 UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 van 39
5.4 Wet van behoud van energie Opmerking Alle vragen die met behulp van de energiebalans worden opgelost, kunnen in principe ook met behulp van de wet van arbeid en kinetische energie worden opgelost. Opgave 3 Om de hoogte van de lat te bepalen moet je kijken naar: het zwaartepunt van Eef op het moment dat hij over de lat gaat, en de hoogte van de lat. De hoogte van het zwaartepunt wordt bepaald door de afzet en de hoeveelheid bewegingsenergie van Eef. Deze is bij de twee sprongen gelijk. Dat betekent dat bij beide sprongen het zwaartepunt dezelfde maximale hoogte krijgt: h Z,A = h Z,B = h Z. Uit de figuren blijkt dat bij sprong B de afstand tussen het zwaartepunt en de lat kleiner is dan bij sprong A, dus is h Z h B < h Z h A. Dan is h B > h A. Bij B ligt de lat dus hoger. Figuur 5.4a Figuur 5.4b Opgave 4 a Je ondervindt rolweerstand en luchtweerstand. Deze wrijvingskrachten werken tegen de bewegingsrichting in. De resulterende kracht op jou en je fiets is nul. Dat betekent dat er ook een kracht moet zijn met de bewegingsrichting mee. Dat is de trapkracht die het gevolg is van je spierkracht. b Warmte c Proces : chemische energie warmte + chemische energie (arbeidsdeel) [of: chemische energie warmte + spierarbeid] Proces : chemische energie (arbeidsdeel) warmte [of: spierarbeid warmte] d Proces : in de balans staan dezelfde grootheden, maar daarvan zijn de waarden veranderd Proces : chemische energie (arbeidsdeel) warmte + zwaarte-energie UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 3 van 39
Opgave 5 a Zie figuur 5.5. Figuur 5.5 E zw,a + E kin,a = E zw,b m g h + m v = m g h A A B Delen door m levert: g h + v = g h A A B 9,8 35 + = 9,8 h B h B = 60 m b Volgens de wet van behoud van energie verandert de totale hoeveelheid energie niet. Er is geen wrijvingskracht, dus is er onderweg geen warmte geproduceerd. De totale energie bij het passeren van A is daarom gelijk aan die bij de start. Dan is [E zw,a + E kin,a ] omhoog = [E zw,a + E kin,a ] omlaag. In beide gevallen is E zw,a even groot, dus is in beide gevallen E kin,a even groot. Dan is de snelheid in beide gevallen m/s. c De energiebalans: E zw,a + E kin,a = E zw,max + Q. De maximale hoogte hangt samen met de maximale zwaarte-energie E zw,max. Door de wrijving wordt een deel van de beschikbare energie in warmte Q omgezet de maximale zwaarte-energie E zw,max is dus kleiner dan bij vraag a h max is kleiner dan bij vraag a. d Er zijn twee redenen waarom de snelheid kleiner is dan m/s: de valhoogte van het hoogste punt naar A is kleiner dan bij vraag a is berekend; de luchtweerstand werkt ook tijdens de val, waardoor er weer warmte ontstaat, ten koste van de andere energiesoorten. Opgave 6 Zie figuur 5.6. De energiebalans: E zw,a = E kin,b + Q. Hierbij is de zwaarte-energie in B gelijk aan nul gesteld. E zw, A = F zw h = m g MC Figuur 5.6 Bereken MC met behulp van MCB. Zie figuur 5.6. UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 4 van 39
MC cos 70 = MB = MC cos 70 MC = 0,4 cos 70 = 0,44 m MB E zw, A = m g MC = 3 0 3 9,8 0,44 = 4,38 0 J Q = F wr s = F wr cirkelboog AB Bepaal de cirkelboog AB met behulp van figuur 5.6. AMB = 90 + 70 = 60 e 60 cirkelboog AB is het deel van één cirkelomtrek 360 60 60 cirkelboog AB = π r = π 0, 4 =,7 m 360 360 Q = F wr cirkelboog AB = 0,05,7 =,76 0 J E zw,a = E kin,b + Q 4,38 0 = m v B +,76 0 3 3 0 v B =,6 0 v =,69 B v B =,3 m/s Opgave 7 a Zie figuur 5.7a. De energiebalans: E kin,a = E kin,b + E zw,b. Hierbij is de zwaarte-energie in A gelijk aan nul gesteld. m v = m v + m g h A Delen door m levert: B v = v + g h A B 7,4 = v B + 9,8 (3,30,65) v = 4,0 B v B = 6,5 m/s Figuur 5.7a Figuur 5.7b b Zie figuur 5.7b. Bepaal v hor met behulp van BSR. AP cosα = AP = AQ cosα AQ v = v cosα = 7,4 cos60 = 3,7 m/s hor A UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 5 van 39
De snelheid in horizontale richting v hor verandert niet, omdat de wrijving wordt verwaarloosd. Bepaal β met behulp van BSR. BS vhor 3,7 cos β = = = = 0,569 β = 55 BR v 6,5 B Opgave 8 a De energiebalans: E zw,a = E kin,b. Hierbij is de zwaarte-energie in B gelijk aan nul gesteld. E zw,a = F zw h = m g AD Bepaal AD met behulp van ADB. Zie figuur 5.8. AD cos55 = AD = AB cos55 AD = 50 cos55 = 8,7 m AB m g AD = m v Delen door m levert: 9,8 8,7 = v B B g AD = v B v = 563 v B = 4 m/s B Figuur 5.8 b Zie figuur 5.8. De algemene energiebalans is E zw,a = E zw,c + E kin,c + Q. Als C hoger zou liggen dan A, dan zou E zw,c > E zw,a. Dat kan niet, want de kinetische energie en de ontwikkelde warmte zijn beide altijd positief. Als C even hoog zou liggen als A, dan zou E zw,c = E zw,a. Dat kan alleen als zowel E kin,c als Q nul is. In de praktijk is Q niet nul, en dan zou dus de kinetische energie negatief moeten zijn. Opgave 9 De snelheid voor het botsen met de vloer: v voor = 6,0 m/s de bewegingsenergie vlak voor het botsen Ekin,voor = m vvoor = m 6,0 = 8,0 m Tijdens de botsing met de grond raakt de bal 56% van zijn energie kwijt vlak na de botsing is er nog 44% van de bewegingsenergie over E kin,na = 0,44 8,0 m = 7,9 m De energiebalans: E kin,na = E zw E zw = F zw h = m g h m g h = 7,9 m Delen door m levert: g h = 7,9 7,9 h = = 0,8 m 9,8 UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 6 van 39
Opgave 30 a De gevraagde energiebalans volgt uit de algemene balans: E totaal,begin = E totaal,eind (E zw,a + E zw,b + E kin,b + E kin,a ) begin = (E zw,a + E zw,b + E kin,b + E kin,a ) eind Zie figuur 5.9a. In de beginsituatie staat blok B op de grond (E zw,b ) begin = 0 In de beginsituatie bewegen blokken A en B nog niet (E kin,b + E kin,a ) begin = 0 Zie figuur 5.9b. In de eindsituatie raakt blok A de grond (E zw,a ) eind = 0 de energiebalans wordt dus: (E zw,a ) begin = (E zw,b + E kin,b + E kin,a ) eind Figuur 5.9a Figuur 5.9b b De energiebalans: (E zw,a ) begin = (E zw,b + E kin,b + E kin,a ) eind m g h = m g h + m v + m v A B B A 3,5 9,8 4,0 =,5 9,8 4,0 +,5 v + 3,5 v 37,3 = 98, + 3,0 v v = 3, v = 3,6 m/s Opgave 3 a Zie figuur 5.0. E totaal = E zw,a = 0,5 9,8,80 = 9,0 J Figuur 5.0 De oplossingen van opgave 3, vraag b t/m f met de TI b Y = de zwaarte-energie = E zw Gebruik in je rekenmachine X in plaats van h. Y = 0.5 * 9.8 * X, waarbij 0.60 m X.80 m UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 7 van 39
c Y = de kinetische energie = E kin E totaal = E zw + E kin = 9,0 Y + Y = 9,0 Y = 9,0 Y Y = 9.0 0.5 * 9.8 * X, waarbij 0.60 m X.80 m Zie figuur 5.a, b en c. Figuur 5.a Figuur 5.b Figuur 5.c d Natuurkundig gezien hebben in deze opgave de waarden X < 0.60 en X >.80 geen betekenis. Dit betekent wiskundig dat voor het domein van X geldt 0.60 m X.80 m. Plot de grafieken en bepaal het snijpunt: X = 0,90 m. Zie figuur 5.a en b. Figuur 5.a Figuur 5.b e De horizontale as begint bij 0,60 m en begint dus in punt B. In B is de snelheid maximaal, en op,80 m hoogte (bij A) is de snelheid nul. Dat betekent dat je moet kiezen tussen de figuren a, b en c. Na het loslaten van de kogel in A (op,80 m hoogte) valt hij eerst vrij steil naar beneden, waardoor de snelheid snel toeneemt. Bij het naderen van B is het hoogteverschil niet meer zo groot, en neemt de snelheid steeds langzamer toe. Als je de diagrammen dus van rechts naar links leest, zie je dat figuur 5.53a in het kernboek de situatie het best weergeeft. f Y = de kinetische energie = E kin E kin = m v = 0.5 v = 0.55 v Y = 0.55 v Y Y 0.55 v = Y v = v = 0.55 0.55 Y Y3 = 0.55 Plot de grafiek. Zie figuur 5.3a en b. Conclusie: de juiste weergave is figuur 5.53a in het kernboek. UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 8 van 39
Figuur 5.3a Figuur 5.3b De oplossingen van vraag b t/m f met de Casio b Y = de zwaarte-energie = E zw Gebruik in je rekenmachine X in plaats van h. Y = 0.5 9.8 X, waarbij 0.60 m X.80 m c Y = de kinetische energie = E kin E totaal = E zw + E kin = 9,0 Y + Y = 9,0 Y = 9,0 Y Y = 9.0 0.5 * 9.8 * X, waarbij 0.60 m X.80 m Zie figuur 5.4a, b en c. Figuur 5.4a Figuur 5.4b Figuur 5.4c d Natuurkundig gezien hebben in deze opgave de waarden X < 0.60 en X >.80 geen betekenis. Dit betekent wiskundig dat voor het domein van X geldt 0.60 m X.80 m. Plot de grafieken en bepaal het snijpunt: X = 0,90 m. Zie figuur 5.5. Figuur 5.5 e De horizontale as begint bij 0,60 m en begint dus in punt B. In B is de snelheid maximaal, en op,80 m hoogte (bij A) is de snelheid nul. Dat betekent dat je moet kiezen tussen de figuren a, b en c. Na het loslaten van de kogel in A (op,80 m hoogte) valt hij eerst vrij steil naar beneden, waardoor de snelheid snel toeneemt. Bij het naderen van B is het hoogteverschil niet meer zo groot, en neemt de snelheid steeds langzamer toe. Als je de diagrammen dus van rechts naar links leest, zie je dat figuur 5.53a in het kernboek de situatie het best weergeeft. f Y = de kinetische energie = E kin E kin = m v = 0.5 v = 0.55 v Y = 0.55 v UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 9 van 39
Y Y 0.55 v = Y v = v = 0.55 0.55 Y Y3 = 0.55 Plot de grafiek. Zie figuur 5.6a en b. Je conclusie is dat de juiste weergave is: figuur 5.53a in het kernboek. Figuur 5.6a Figuur 5.6b Opgave 3 a De energievormen zijn: bewegingsenergie van de polsstokhoogspringer + stok; zwaarte-energie van de polsstokhoogspringer + stok; veerenergie van de polsstok; wrijvingsenergie met de lucht; veerenergie van het matras; warmte. b Zie figuur 5.7a en b. Figuur 5.7a Figuur 5.7b De energiebalans voor de situaties A en B: (E zw,polsstok ) A + (E zw,atleet ) A + (E kin,polsstok ) A + (E kin,atleet ) A = (E zw,polsstok ) B + (E zw,atleet ) B (E zw,polsstok ) A = m polstok g h A =,3 9,8 0,90 = 0,3 J (E zw,atleet ) A = m atleet g h A = 80 9,8 0,90 = 706,3 J (E kin,polsstok ) A = mpolstok vpolstok =,3 8,8 = 89, J (E kin,atleet ) A = m v = 80 8,8 = 3097, 6 J atleet atleet (E zw,polsstok ) B = m polstok g h B,stok =,3 9,8 4,80 = 54, J (het zwaartepunt van de stok ligt in het midden van de stok) 0,3 + 706,3 + 89, + 3097,6 = 54, + (E zw,atleet ) B (E zw,atleet ) B = 3859 J (E zw,atleet ) B = m atleet g h atleet = 80 9,8 h atleet = 3859 J h atleet = 4,9 m UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 0 van 39
Opgave 33 a Lees in figuur 5.57 in het kernboek de zwaarte-energie af van Joop op het platform: E zw,p = 3,3 0 3 J, en het hoogteverschil tussen P en het laagste punt: h = 35 m. E zw,p = F zw h = m g h 3,3 0 3 = m 9,8 35 m = 68 kg b Zie figuur 5.8. De energiebalans voor de val van P naar R: E zw,p = E zw,r + E kin,r Hierbij is de zwaarte-energie in D gelijk aan nul gesteld. E zw,p = m g h R = 68 9,8 35 = 3,3 0 3 J E zw,r = m g h R = 68 9,8 0 = 3,3 0 3 J E kin,r = 0,0 0 3 J 3 0,0 0 = 68 v v = 94 R v = 7 m/s R R Figuur 5.8 c De kinetische energie vind je met behulp van de energiebalans. Van nul tot 5 m staan alleen de zwaarte-energie en de kinetische energie in de energiebalans. Van 5 m tot 35 m speelt ook de veerenergie een rol. De energiebalans voor het traject 0-5 m: E zw,p = E kin,x + E zw,x E kin,x = E zw, P E zw,x Teken de grafiek van E kin voor 0-5 m Zie de lichtgroene lijn in figuur 5.9. Figuur 5.9 UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 van 39
De energiebalans voor het traject 5-35 m: E zw,p = E kin,x + E zw,x + E veer,x E kin,x = E zw,p E zw,x E veer,x Teken de grafiek van E kin voor 5-35 m. Zie de donkergroene lijn in figuur 5.9. d Als wrijvingskrachten een rol spelen, wordt niet alle veerenergie weer omgezet in zwaarte-energie. Dat betekent dat de springer minder hoog terugveert dan waar hij is begonnen. De oplossingen van opgave 33, vraag d met de TI Bepaal het maximum van de snelheid. Dit kan op verschillende manieren. Vul allereerst bovenstaande vergelijking in op je GR (zie figuur 5.30a). Eerste manier Gebruik TRACE. Zie figuur 5.30b. Figuur 5.30a Figuur 5.30b Tweede manier Gebruik TBLSET en TABLE. Zie figuur 5.3a en b. Figuur 5.3a Figuur 5.3b Derde manier Gebruik CALC 4:maximum. Zie figuur 5.3c. Figuur 5.3c v max = 9 m/s UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 van 39
De oplossingen van opgave 33, vraag d met de Casio Bepaal het maximum van de snelheid. Dit kan op verschillende manieren. Vul allereerst de vergelijking in op je GR. ( 68 9.8 X 58 ( X 5 ) ) ( 68 ) Y = Laat dan de GR je grafiek tekenen. Zie figuur 5.3a en b. Eerste manier Gebruik TRACE. Zie figuur 5.3c. Tweede manier Gebruik G-Solv F MAX. Zie figuur 5.3d. v max = 9 m/s Figuur 5.3a Figuur 5.3b Figuur 5.3c e Voor de kinetische energie geldt: E kin,x = E zw,p E zw,x E zw,p = m g h R = 3,3 0 3 J E kin (x) = 3,3 0 3 E zw (x) E veer (x) Voor de zwaarte-energie geldt voor 5 m x < 35 m: E zw (x) = 3,3 0 3 m g x = 3,3 0 3 68 9,8 x Voor de veerenergie geldt voor 5 m x < 35 m: E veer (x) = 58 (x 5) E kin (x) = 3,3 0 3 E zw (x) E veer (x) E kin (x) = 3,3 0 3 (3,3 0 3 68 9,8 x) 58 (x 5) E kin (x) = 3,3 0 3 3,3 0 3 + 68 9,8 x 58 (x 5) E kin (x) = 68 9,8 x 58 (x 5) UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 3 van 39
= 68 9,8 x 58 (x 5) m v x 68 v x = 68 9,8 x 58 (x 5) ( 68 9.8 X 58 ( X 5) ) ( 68) vx = Y = f De maximale waarde van de kinetische energie volgt uit het diagram van figuur 5.9: E kin,max = 0 3 J E kin,max = m v max 3 68 v = 0 max max max v = 353 v = 9 m/s Opgave 34 Zie figuur 5.33. v A = 50 km/h = 3,9 m/s; v B = 70 km/h = 9,4 m/s Twee precies dezelfde auto s A en B m A = m B = m De energiebalans voor auto A: (E kin,a ) begin = Q ( ) Q = m va,begin = m 3,9 = 96, 6 m De energiebalans voor auto B: (E kin,b ) begin = Q + (E kin,b ) bij file m v = Q + m v B,begin ( ) B bij file m 9, 4 96,6 m m vb bij file = + 88, m = 96,6 m + m v B bij file m v = 9,6 m Delen door m: v = 9,6 B bij file v = 83, B bij file v = 4 m/s = 49 km/h B B bij file Figuur 5.33 5.5 Vermogen en rendement Opgave 35 a Met het rendement van de gloeilamp wordt bedoeld het percentage van de opgenomen elektrische energie dat wordt omgezet in zichtbaar licht. b Bij een kuikenbroedmachine gaat het om de hoeveelheid geleverde warmte, en niet om de hoeveelheid zichtbaar licht. De hoeveelheid geleverde warmte is 95% van de opgenomen energie uit het stopcontact. Dus is het rendement van een gloeilamp als warmtebron groter dan als lichtbron. UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 4 van 39
Opgave 36 Opgave 37 Opgave 38 Opgave 39 Opgave 40 Opgave 4 Opgave 4 De gebruikte eenheid, kw, is de eenheid van vermogen. Als een installatie een vermogen levert van 685 kw betekent dat, dat de installatie iedere seconde 685 kj energie levert. Dus is het niet juist dat in het artikel staat dat dit in een jaar gebeurt. De toevoeging per jaar moet dus weggelaten worden. De energieomzetting vindt in zeer korte tijd plaats. In de formule is de noemer dus erg klein, en daardoor is het vermogen groot. P = F vogel v F zw = m g = 40 0 3 9,8 = 0,39 N Deze vogel stijgt met een constante snelheid F vogel = F zw = 0,39 N P = 0,39,33 = 0,5 W Ezw P = t E zw = m g h De massa van het per minuut verplaatste water: m = ρ V = 0,998 0 3 30 =,30 0 5 kg E zw =,30 0 5 9,8 6,0 = 7,65 0 6 J 6 7,65 0 5 P = =,3 0 W 60 v = 35 km/h = 87,5 m/s P = F wr,totaal v 397 0 3 = F wr,totaal 87,5 F wr,totaal = 4,54 0 3 N F wr,totaal = F wr,rol + F wr,lucht 4,54 0 3 = 0,80 0 3 + F wr,lucht F wr,lucht = 3,74 0 3 N F = c ρ A v wr,lucht w De c w -waarde voor de Ferrari is 0,33. De dichtheid van lucht kun je opzoeken in BINAS: ρ =,93 kgm 3 3,74 0 3 = 0,33,93 A (87,5) A =,3 m Eomgezet P = t In de vorige opgave heb je gelezen, dat de luchtwrijving afhankelijk is van de snelheid van de auto. Dat betekent dat, als de snelheid van de auto toeneemt, de luchtwrijving toeneemt. En dat betekent weer dat de motorkracht ook moet toenemen. In de formule P = F v wordt behalve v dus ook F groter. Hierdoor kan de snelheid niet zes keer zo groot worden. E zw = m g h = 530 9,8 0 =,50 0 5 J 5 Ezw,50 0 4 Pnuttig = = =,50 0 W t 6,0 UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 5 van 39
η P nuttig = P in 00% 4 Pnuttig,50 0 4 Pin = 00% = 00% =,8 0 W η 90% Opgave 43 Opgave 44 E zw,totaal = m totaal g h = (60 + 5) 9,8 5,8 = 4,7 0 3 J Enuttig Ezw,totaal η = 00% = 00% E E in sjouwen 3 Ezw,totaal 4, 7 0 3 Esjouwen = 00% = 00% =,3 0 J η 0% De energie die Inges lichaam in, minuut in rust omzet: E rust = 65, 60 = 4,9 0 3 J De totale energie die Inges lichaam moet leveren: E tot = E rust + E sjouwen =,3 0 3 + 4,9 0 3 =,6 0 4 J a v auto = 90 km/h de auto legt in één uur een afstand af van 90 km. Zie figuur 5.6 in het kernboek. Bij een snelheid van 90 km/h is het benzineverbruik 6,0 liter per 00 km. het aantal liters nodig om 90 km te rijden = 90 6,0 5,4 00 = het benzineverbruik in uur = 5,4 liter 5, 4 3 het benzineverbruik in seconde = =,5 0 liter 3600 b De chemische energie van de benzine per seconde: E chem =,5 0 3 33 0 6 = 4,95 0 4 J 4 Echem 4,95 0 4 Pin = = = 4,95 0 W t,00 c v auto = 90 km/h de auto legt in één uur een afstand af van 90 km. Zie figuur 5.6 in het kernboek. Bij een snelheid van 80 km/h is het benzineverbruik 6,3 liter per 00 km. het aantal liters nodig om 80 km te rijden = 80 6,3 9,34 00 = het benzineverbruik in uur = 9,3 liter 9,34 3 het benzineverbruik in seconde = = 8,5 0 liter 3600 De chemische energie van de benzine per seconde: E chem = 8,5 0 3 33 0 6 =,69 0 5 J 5 Echem,69 0 5 Pin = = =,69 0 W t,00 Het topvermogen P top = 76 kw. Zie figuur 5.6 in het kernboek. 3 Ptop 76 0 η = 00% = 00% = 8% 5 P,69 0 in UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 6 van 39
Opgave 45 De remweg is 0 m. De buitenstraal van de band is 9 cm. de omtrek van de band = π r band = π 0,9 =,8 m 0 het voorwiel heeft tijdens het remmen = keer rondgedraaid,8 de remschijf ter hoogte van de remblokjes heeft ook keer rondgedraaid. de afgelegde weg van de remschijf ter hoogte van de remblokjes: π r = π 0,3 = 8,98 m s = ( ) ( ) De kinetische energie van de auto met inzittenden: 4 Ekin,tot = m v = 850 5 = 9,56 0 J de warmte die in de remschijf ontstaat: Q = 0,34 9,56 0 4 = 3,5 0 4 J Q = F wr s 3,5 0 4 = F wr 8,98 F wr = 3,6 0 3 N 5.6 Toepassingen in het dagelijks leven Opgave 46 Opgave 47 a Bij verwaarlozing van de massa van de katrol is de verandering van zwaarte-energie voor beide situaties gelijk. b In beide gevallen moet de spierkracht een gelijke arbeid verrichten: W spier bij takel = W zw = W spier bij katrol Noem s de lengte van het touw dat ingehaald moet worden. Dan is, met W = F s, F spier bij takel s bij takel = F spier bij katrtol s bij katrol De spierkracht bij de takel (losse katrol) is de helft van de spierkracht bij de vaste katrol: F spier bij takel = F spier bij katrol Dan is s bij takel = s bij katrol a Op de balk werken telkens twee krachten, de zwaartekracht F zw en de spierkracht F spier. De grootte van de spierkracht wordt bepaald met behulp van de momentenwet. Het draaipunt van de balk is punt D (zie figuur 5.34). De momentenwet voor Piet (P): F zw Z D = F spier,p PD De momentenwet voor Richard (R): F zw Z D = F spier,r RD F zw is in beide situaties hetzelfde. RD < PD F spier,r > F spier,p Figuur 5.34 UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 7 van 39
b Veronderstel dat het optillen van de balk met constante snelheid gebeurt. Dan geldt de wet van kinetische energie en arbeid W = E kin = 0. Noem nu het hoogteverschil van einde P h P, en het hoogteverschil van R h R. Er is gegeven dat het einde P in beide gevallen tot dezelfde hoogte wordt opgetild, dus ook Z komt in beide gevallen even hoog. Noteer: h Z = hoogteverschil van Z. Dan geldt: voor het optillen bij P: W = F spier,p h P F zw h Z = 0 voor het optillen bij Q: W = F spier,r h R F zw h Z = 0 Dan moet er gelden F spier,p h P = F spier,r h R In beide gevallen is dus door de spierkracht even veel arbeid verricht. Opmerking Uit het bovenstaande blijkt dat de arbeid die de spierkracht verricht in beide gevallen gelijk is aan F zw h Z. Maar F zw h Z = mg h Z = zwaarte-energie van de balk ten opzichte van de grond. De arbeid die de spierkracht verricht, vinden we dus terug als toename van de zwaarte-energie van de balk. Opgave 48 Opgave 49 Opgave 50 Van een auto die frontaal tegen een boom botst, zal de kreukelzone ingedeukt worden. Door de kreukelzone is de remafstand van de auto groter dan de remafstand van iemand die zonder veiligheidsgordel voorin zit en tegen het stuur en de ruit tot stilstand komt. Bij een kleine auto is de rolweerstand kleiner dan bij een grote auto. Bij een kleine auto is de totale luchtweerstand kleiner dan bij een grote auto. Een kleinere auto heeft een kleinere massa, en dat betekent minder motorarbeid. Vergelijk daarvoor twee auto s met verschillende massa, die vanuit stilstand optrekken tot dezelfde eindsnelheid v eind. Afgezien van de wrijvingskracht levert de motorkracht de arbeid die zorgt voor de toename van de kinetische energie, dus: W motor = E kin,eind E kin,begin = mv eind 0 = mv eind Bij gelijke eindsnelheid wordt de arbeid die de motorkracht moet verrichten dus bepaald door de massa van de auto. Een kleinere massa betekent minder motorarbeid, dus een lager energieverbruik. a W rem = E kin W rem = F rem s cos 80º = F rem s E kin = E kin,eind E kin,begin = 0 mv = mv begin F rem s = mv F rem s = mv begin begin mv mv begin begin s = b F rem s = F mva mvb sa = en sb = F F v A = 50 km/h; v B = 70 km/h begin UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 8 van 39
mv B s F B ( vb) (70) = = = = sa ( v mv A A ) (50) F de remafstand bij 70 km/h is dus,0 keer zo groot als bij 50 km/h.,0 Opgave 5 Opgave 5 a W zw = F zw h cos α F zw = m g = 0 9,8 = 96 N W zw = 96 0,8 cos 80 =,6 0 J De wet van kinetische energie en arbeid: W spier + W zw = E kin E kin = E kin,eind E kin,begin = mv mv = 0, want v eind begin eind = v begin W spier + W zw = 0 W spier =,6 0 J Opmerking Uit E kin = 0 J en de wet van kinetische energie en arbeid volgt: W spier = F zw h Q Maar W spier = mg h Q = zwaarte-energie van de koffer op hoogte Q ten opzichte van P. De arbeid die de spierkracht van de reiziger verricht, is dus gelijk aan de toename van de zwaarte-energie van de koffer. b W spier = F spier s cos α,6 0 = F spier 6, cos 0 F spier = 6 N a De wet van kinetische energie en arbeid: W rem = E kin Kies in figuur 5.79 van het kernboek een bepaalde beginsnelheid: v begin = 30 m/s Lees bij deze snelheid de bijbehorende waarde voor de remweg af: s rem = 66 m E kin = E kin,eind E kin,begin = mv mv eind begin v eind = 0 m/s en v begin = 30 m/s 5 E kin = 800 0 800 30 = 3, 6 0 J W rem = F rem s rem cos α 3,6 0 5 = F rem 66 ( ) F rem = 5,4 0 3 N b De stopafstand = de afstand afgelegd in de reactietijd + remafstand. De stopafstand is de blauwe lijn in figuur 5.80 van het kernboek. De remafstand is de rode lijn in figuur 5.80 van het kernboek het verschil in afstand tussen de blauwe en de rode lijn is de afstand die wordt afgelegd in de reactietijd. Kies in figuur 5.80 van het kernboek een bepaalde beginsnelheid: v begin = 30 m/s Bepaal het verschil in afstand afgelegd in de reactietijd: s extra =,0 m,0 de reactietijd t reactie = = 0,37 s 30 c s stop = s rem + s reactie v begin = 0 km/h = 33,3 m/s s reactie = v begin t reactie = 33,3 0,36 = m UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 9 van 39
De wet van kinetische energie en arbeid: W rem = E kin E kin = mv mv = 5 eind begin 800 0 800 33,3 = 4, 4 0 J F rem s rem cos α = 4,4 0 5 5,4 0 3 s rem ( ) = 4,4 0 5 s rem = 8 m s stop = s rem + s reactie = 8 + = 94 m d De twee-secondenregel bij normale omstandigheden: s veilig = v t = 33,3 = 67 m Opgave 53 a De remafstand is afhankelijk van de grip van de banden op het wegdek. Van belang hierbij zijn: de grootte van het contactoppervlak van de band met het wegdek, het profiel van de band en de temperatuur van de band. b Redenen zijn: auto s die over klinkers rijden produceren meer geluid dan auto s die over asfalt of beton rijden; het aanleggen van de bestrating in een woonerf is makkelijker; het is makkelijker om reparaties aan bijvoorbeeld de riolering uit te voeren; het regenwater kan makkelijk tussen de klinkers weg. c De wet van kinetische energie en arbeid: W rem = E kin E kin = mv mv = eind begin 000 0 000 vbegin = 500 vbegin In woonerven bestaat het wegdek meestal uit klinkers. Lees in figuur 5.8 van het kernboek af bij klinkers: F wr = 9,0 kn = 9,0 0 3 N W rem = E kin F rem s rem cos α = 500 v begin 9,0 0 3 s rem cos 80 = 500 s rem = 0, 0556 v begin v begin s veilig = s rem + s reactie s reactie = v begin t reactie = v begin 0,50 = 0,50 v begin s veilig = 0,0556 v begin + 0,50 v begin Een veilige stopafstand in een woonerf zou 4,0 m kunnen zijn: s veilig = 4,0 m s rem + s reactie = s veilig 0,0556 v + 0,5 v begin = 4,0 begin Los deze vergelijking met behulp van de GR grafisch op: Y = 0.0556X + 0.5X Y = 4.0 Met de GR van TI en Intersection Druk op Y=. Voer beide vergelijkingen in (zie figuur 5.35a). Druk op WINDOW en pas het scherm aan (zie figuur 5.35b). Druk op GRAPH (zie figuur 5.35c). Druk op ND CALC en vervolgens op 5. Druk drie keer op ENTER (zie figuur 5.35d). De veilige snelheid is dus: v = 5, m/s = 8 km/h. UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 30 van 39
Figuur 5.35a Figuur 5.35b Figuur 5.35c Figuur 5.35d Met de GR van TI en Solver Druk op MATH. Ga naar 0:Solver. Vul in achter eqn: 0=0.0556X + 0.5X 4 (zie figuur 5.36a). Druk op ENTER. Zet een willekeurige waarde achter X= en zet de knipperende cursor achter dit getal. Druk op ALPHA SOLVE, en je krijgt voor X de waarde 5, (zie figuur 5.36b). De veilige snelheid is dus v = 5, m/s = 8 km/h. Figuur 5.36a Figuur 5.36b Met de GR van Casio en Intersect Ga naar en druk op EXE of druk op 5. Voer beide vergelijkingen in (zie figuur 5.37a). Druk op SHIFT F3 (V-WIN); pas het scherm aan (zie figuur 5.37b). Druk op EXIT. Druk op F6 (DRAW) (zie figuur 5.37c). Druk op SHIFT F5 (G-SLV), en vervolgens nog een keer op F5 (ISCT) (zie figuur 5.37d). De veilige snelheid is dus v = 5, m/s = 8 km/h. UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 3 van 39
Figuur 5.37a Figuur 5.37b Figuur 5.37c Figuur 5.37d Met de GR van Casio en Solver Ga naar en druk op EXE of druk op ALPHA en vervolgens op A. Druk op F3 (SOLV). Vul in achter eq: 0.0556X + 0.5X=4.0 (zie figuur 5.38a). Druk op EXE. Zet een willekeurige waarde achter X= en druk op EXE en vervolgens op. (De zwarte balk moet op X= staan.) Druk op F6 (SOLV). X=5, (zie figuur 5.38b). De veilige snelheid is dus v = 5, m/s = 8 km/h. Figuur 5.38a Figuur 5.38b Met de GR van Casio en polynomen ax + bx + c = 0 (de a,b,c-formule) Ga naar en druk op EXE of druk op ALPHA en vervolgens op A. Druk op F (Polynomial) (zie figuur 5.39a). Druk op F (). Vul in onder a: 0.0556. Druk op EXE. Vul in onder b: 0.5. Druk op EXE. Vul in onder c: 4.0 (de vergelijking is immers: 0.0556X + 0.5X 4.0 = 0) (zie figuur 5.39b). Druk op EXE of druk op F (SOLV). X=5, (zie figuur 5.39c). UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 3 van 39
(Met de (a,b,c)-formule vind je altijd twee oplossingen; de negatieve oplossing vervalt in dit geval.) De veilige snelheid is dus v = 5, m/s = 8 km/h. Figuur 5.39a Figuur 5.39b Figuur 5.39c d De snelheid in vraag c was 5, m/s de snelheid wordt de helft v =,55 m/s De wet van kinetische energie en arbeid: W rem = E kin E kin = mv mv = 3 eind begin 000 0 000,55 = 3, 5 0 J De klinkers zijn nu nat geworden lees in figuur 5.8 van het kernboek af bij natte klinkers: F wr = 4,5 kn = 4,5 0 3 N W rem = E kin F rem s rem cos α = 500 v begin 4,5 0 3 s rem cos 80 = 3,5 0 3 J s rem = 0,73 m s reactie = v begin t reactie =,55 0,50 =,8 m s stop = s rem + s reactie = 0,73 +,8 =,0 m de snelheid mag groter zijn dan de helft van 5, m/s als men binnen dezelfde afstand (4,0 m) tot stilstand wil komen. Opgave 54 a Deze verplaatsing is gelijk aan de oppervlakte onder de (snelheid, tijd)- grafiek. A = (0,0) = 0,4 m A = (0,0) (6,0,0) = 0,04 m A = (0, 04 0, 0) (, 0) = 0, m s = A + A + A 3 = 0,40 m b Gedurende die tijd ondervindt de pop geen afremmende kracht. De pop blijft dan voortbewegen met de snelheid die de auto voor de botsing had, en die is in figuur 5.40a af te lezen: v begin = 6,0 m/s. c De wet van kinetische energie en arbeid: W rem = E kin E kin = mv mv = eind begin 4, 4,0 4, 6 = 504 J W rem = E kin = 504 J F rem 0,0 cos 80 = 504 F rem = 5,0 kn d Zie figuur 5.40b. De versnelling kun je bepalen in een (v,t)-diagram door de steilheid te bepalen: UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 33 van 39
v ( veind vbegin ) a = = t ( t t ) eind begin (6,0 4,0) a = = 00 m/s (0,07 0,06) Tweede wet van Newton: F = m a F rem = 4, 00 = 5,0 kn Figuur 5.40a Figuur 5.40b e De veiligheidsgordel dient om de kracht tijdens de botsing te verkleinen. Om dit te bereiken wordt getracht de remweg te verlengen. UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 34 van 39
W rem = E kin = mv mv eind begin W rem = F rem s rem cos α Bij een bepaalde beginsnelheid wordt W rem bepaald door de remkracht en de remweg. Maak je de remweg langer, dan wordt de remkracht dus kleiner. f Bij het uitrekken van een autogordel wordt een deel van de bewegingsenergie van de bestuurder omgezet in veerenergie van de veiligheidsgordel. g Zie figuur 5.40c. De afstand die het poppenhoofd aflegt ten opzichte van de grond bij gebruik van de gordel, s gordel, is gelijk aan de oppervlakte onder de (v,t)-grafiek voor het poppenhoofd met gordel. s gordel = A + A + A 3 periode : 0 t 0,0 s; v,gem = 5,5 m/s A = 0,0 5,5 = 0,3 m periode : 0,0 s t 0,04 s; v,gem = 3,5 m/s A = (0,04 0,0) 3,5 = 0,7 m periode 3: 0,04 s t 0,09 s; v 3,gem = 6,0 m/s A 3 = (0,09 0,04) 6,0 = 0,30 m s gordel = 0,3 + 0,7 + 0,30 = 0,88 m Zie figuur 5.40d. De afstand ten opzichte van de grond die het poppenhoofd aflegt: s max = A 4 = 0,06 6,0 = 0,96 m de kleinste afstand d tussen het hoofd en de voorruit: d = s max s gordel = 0,96 0,88 = 0,08 m (8 cm) Figuur 5.40c UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 35 van 39
Figuur 5.40d h Zie figuur 5.40e. Figuur 5.40e De kracht die optrad bij de botsing van het poppenhoofd zonder gordel: F = m a v (6,0 4,0) a = = = 00 m/s t (0,07 0,06) De kracht waarmee het poppenhoofd wordt vertraagd met gordel: F = m a v (0,0,0) a = = = 40 m/s t (0,09 0,04) UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 36 van 39
F m a a F m a a = = = = 40 00 0, F is 0% van F Opgave 55 a Zie figuur 5.4. Figuur 5.4 De overbrengingsverhouding is de verhouding tussen het aantal omwentelingen van de motoras en het aantal omwentelingen van de wielas. Bedenk daarbij dat de tandwielen die contact met elkaar hebben een gelijk aantal tanden verdraaien. Als wielas () één keer ronddraait, dan draait as () drie keer rond. Als as () drie keer ronddraait, dan draait as (3) zes keer rond. Als as (3) zes keer ronddraait, dan draait de motoras (4) keer rond aantal omwentelingen motoras : aantal omwentelingen wielas = : b De motorkracht verandert niet. Als wrijvingskrachten buiten beschouwing worden gelaten, dan is de arbeid bij de motoras gelijk aan de arbeid bij de wielas: F motoras s motoras = F wielas s wielas Als de overbrenging kleiner wordt, dan wordt het aantal omwentelingen van de wielas groter bij gelijkblijvend aantal omwentelingen van de motoras. Dat betekent dat s wielas groter wordt, en daarmee dat F wielas kleiner wordt. c Zie figuur 5.84 in het kernboek. Bij 50 km/h is het benzineverbruik in de derde versnelling: 8,4 liter per 00 km. Bij 50 km/h is het benzineverbruik in de tweede versnelling: 4,4 liter per 00 km. het verschil in verbruik: 6,0 liter de procentuele toename: 6,0 00% 7% 8,4 = d Figuur 5.84 in het kernboek is gemaakt door een auto op een rollenbank te plaatsen. De auto blijft dan op zijn plaats staan. De enige wrijvingskracht die dan optreedt, is de rolwrijving. Er treedt geen luchtwrijving op. Normaal neemt de luchtwrijving toe bij hogere snelheden, en dit heeft een groter brandstofgebruik tot gevolg. Opgave 56 a Auto rijdt met een constante snelheid van 00 km/h de motorkracht is even groot als de wrijvingskracht. v = 00 km/h = 7,8 m/s De totale weerstand bij deze snelheid (zie figuur 5.85 in het kernboek): F wr = 580 N F motor = 580 N UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 37 van 39
het vermogen van de auto P auto, = F wr v = 580 7,8 =,60 0 4 W = 6,0 kw b Als de snelheid groter wordt, dan neemt de totale weerstand verhoudingsgewijs meer toe. Als de snelheid bijvoorbeeld twee keer zo groot wordt, wordt de luchtweerstand vier keer zo groot. Hierdoor zal bij een vermogen van 45 kw de snelheid minder dan 80 km/h zijn. c De auto rijdt met een constante snelheid van 00 km/h auto legt een afstand van 00 km af in uur = 3600 s P auto, =,60 0 4 W =,60 0 4 J per seconde De nuttig verbruikte energie in uur: E nuttig =,60 0 4 3600 = 5,76 0 7 J Het rendement = % De totaal verbruikte energie in uur: 7 Enuttig 5,67 0 8 Etotaal = 00% = 00% =, 74 0 J η het aantal liters benzine dat nodig is om die energie te leveren: 8,74 0 n = = 8,3 per 00 km 6 33 0 het benzineverbruik is dus 8,3 liter per 00 km. d De snelheid wordt vergroot van 80 km/h tot 0 km/h v = 40 km/h =, m/s. De versnelling van auto : a =,0 m/s v v, a = t = = =, s t a,0 v begin = 80 km/h =, m/s; v eind = 00 km/h = 33,33 m/s E kin = mv mv = eind begin 900 33,33 900, =,78 0 5 J 5 Ekin,78 0 P = = =,50 0 4 W = 5,0 kw t, Het vermogen bij 80 km/h vinden we als volgt. De totale weerstand bij deze snelheid (zie figuur 5.85 in het kernboek): F wr = 430 N F motor = 430 N P motor bij 80 km/h = 430, = 9,56 0 4 W = 9,56 kw De toename van het vermogen = 5,0 9,56 = 5,44 kw 3 5,44 0 De procentuele toename: 00% =,6 0 % 3 9,56 0 e De totale weerstand bij 80 km/h (zie figuur 5.85 in het kernboek): F wr,80 = 430 N F motor,80 = 430 N De nuttig verbruikte energie bij 80 km/h gedurende een half uur: E 80 = F motor,80 40 0 3 =,7 0 7 J De totale weerstand bij 00 km/h (zie figuur 5.85 in het kernboek): F wr,0 = 800 N F motor,0 = 430 N UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 38 van 39
De nuttig verbruikte energie bij 80 km/h gedurende een half uur: E 0 = F motor,0 60 0 3 = 4,80 0 7 J de in totaal nuttig verbruikte energie over 00 km: E nuttig = E 80 + E 0 =,7 0 7 + 4,80 0 7 = 6,5 0 7 J Het rendement = % De totaal verbruikte energie in een half uur: 7 Enuttig 6,5 0 8 Etotaal = 00% = 00% = 3,0 0 J η het aantal liters benzine dat nodig is om die energie te leveren: 8 3,0 0 n = = 9, 4 liter 6 33 0 De toename van het aantal liters = 9,4 8,3 =, liter de procentuele toename:, 00% 3% 8,3 = UITWERKINGEN OPGAVEN VWO HOOFDSTUK 5 39 van 39