Inhoud Voorwoord v Het metrieke stelsel vii Inhoud ix Trefwoordenlijst x 1 Basis 1.1 1.1 Veel voorkomende berekeningen 1.1 1.2 Van punt tot vlak 1.4 1.3 Oppervlakten berekenen 1.12 1.4 Zelf tekenen 1.16 1.5 Constructies in het terrein 1.19 1.6 Stereo 1.21 1.7 Schoolopdrachten 1.23 1.8 Praktijkopdrachten 1.33 2 Meten 2.1 2.1 Kaarten 2.1 2.2 Materialen en technieken 2.3 2.3 Meten en schetsen 2.12 2.4 Praktijkopdrachten 2.16 3 Waterpassen 3.1 3.1 De techniek van het waterpassen 3.2 3.2 De laser 3.4 3.3 Hoogtemeting 3.21 3.4 Schoolopdrachten 3.24 3.5 Praktijkopdrachten 3.26 ix
Trefwoordenlijst aftrekken 1.2 congruent 1.21 deeltal 1.3 deler 1.3 diagonalen 1.9 exponent 1.2 grondtal 1.2 kwadrant 3.21 leerdoelen 1.1 normaalmethode 3.21 optellen 1.2 sexagesimale stelsel 1.3 terugzichten 2.9 tussenzichten 2.8 vermenigvuldigen 1.2 voetpunt 2.7 vooruitzichten 2.9 x
1 Basis Oriëntatie Voor velen van ons was wiskunde op de middelbare school een regelrechte ramp. Temeer omdat we ons geregeld afvroegen wat het nut ervan was. Welnu, bij het vak Landmeetkunde blijkt onmiddellijk het nut. Bij het uitzetten van een tuin, zullen we regelmatig gebruik moeten maken van de wiskundige kennis, die we op de middelbare school hebben gehad. Het vervelende is, dat veel van deze kennis is weggezakt. Daarom herhalen we in dit hoofdstuk nog even de wiskundige highlights, die we nodig hebben voor de landmeetkunde. Eerst herhalen we enkele veel gebruikte berekeningen. Vervolgens gaat het om bewerkingen uit de meetkunde. Tot slot doen we de stereometrie even dunnetjes over. In deze hele uitgave maken we gebruik van het metrieke stelsel. De ervaring leert, dat dit nogal eens problemen oplevert, vooral waar het gaat om inhoudsmaten. Om het terugzoeken te vergemakkelijken hebben we het metrieke stelsel als bijlage voorin opgenomen. Leerdoelen Na dit hoofdstuk kun je de belangrijkste berekeningen toepassen; meetkundige bewerkingen toepassen, die je nodig hebt bij landmeetkunde. 1.1 Veel voorkomende berekeningen Belangrijke berekeningen zijn: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen en worteltrekken. In het schema zie je de bijbehorende voorbeelden. berekening uitkomst bijvoorbeeld optellen som 3 + 4 = 7 aftrekken verschil 6-2 = 4 vermenigvuldigen product 6 x 3 = 18 delen quotiënt 8 : 4 = 2 machtsverheffen macht 3² = 9 worteltrekken wortel 16 = 4 De meeste van deze bewerkingen spreken voor zich. Alleen delen, machtsverheffen en worteltrekken lichten we even toe. Delen 8 : 4 kunnen we ook op een andere manier noteren, namelijk 8/4. Hierin is 8 de teller en 4 de noemer. Breuken met dezelfde noemer zijn gelijknamige breuken. Deze breuken kun je gewoon bij elkaar optellen. Daarbij tel je de tellers bij elkaar op. De noemers blijven hetzelfde. 1.1
Dus: 3/4 + 6/4 = 9/4. Hetzelfde geldt voor aftrekken. Dus: 5/16-3/16 = 2/16. Voor het optellen en aftrekken van breuken met ongelijke noemers moet je de noemers eerst gelijkwaardig maken. De teller wordt met hetzelfde getal vermenigvuldigd als de noemer. Dus 1 /3 + 3 /4 wordt 4 /12 + 9 /12 = 13 /12 wordt 1 1 /12 En 3 /5-1 /6 wordt 18 /30-5 /30 = 13 /30 Machtsverheffen In het voorbeeld 3² = 9 onderscheiden we drie getallen: 3 is het grondtal 2 is de exponent 9 is de macht. grondtal Het grondtal is het getal dat we een aantal keren met zichzelf gaan vermenigvuldigen. exponent De exponent geeft aan hoe vaak we het grondtal met zichzelf vermenigvuldigen. De macht is de uitkomst van dit product. Dus 3² staat voor 3 x 3. Ander voorbeeld: 5 4 betekent het grondtal 5 4 keer met zichzelf vermenigvuldigen, dus: 5 x 5 x 5 x 5 = 625. Worteltrekken Worteltrekken is eigenlijk het omgekeerde van machtsverheffen. Bijvoorbeeld: 9 = 3. Als ik 3 met zichzelf vermenigvuldig, krijg ik 9. Met andere woorden: als ik de uitkomst met zichzelf vermenigvuldig, krijg ik het oorspronkelijke getal. Cijfers achter de komma Met de komst van de rekenmachine is vrijwel al het handwerk overbodig geworden, maar wat doe je als je in een tuin staat en je hebt geen rekenmachine bij je? Daarom geven we toch nog enkele rekenregels. Een breuk kun je laten staan, maar je kunt hem ook uitrekenen, 1/4 = 0,25. Je geeft hem dan aan in (twee) cijfers achter de komma; we zeggen in (twee) decimalen. In 0,25 is de twee een groter getal dan de 5. De 2 is namelijk 2/10 en de 5 is 5/100. De waarde van een cijfer in een getal is dus afhankelijk van de plaats die hij heeft. Elk plaats naar rechts is 10 maal kleiner. De eerste plaats na de komma is 10 maal kleiner dan de plaats voor de komma; de tweede plaats achter de komma is 100 maal kleiner. optellen aftrekken Werken met decimalen Bij het optellen met de hand moet je de overeenkomstige decimalen netjes onder elkaar zetten, anders tel je decimalen met verschillende waarden bij elkaar op en krijg je een verkeerde uitkomst. Hetzelfde geldt voor aftrekken. vermenigvuldigen Vermenigvuldig je 1/10 met 1/10, dan is het product 1/100. In decimalen: 0,1 x 0,1 = 0,01. Of 1/100 x 1/100 = 1/10000. Ofwel 0,01 x 0,01 = 0,0001. Uit deze voorbeelden blijkt, dat bij vermenigvuldigen van decimale getallen de uitkomst zoveel cijfers achter de komma heeft als in de beide getallen samen staan. Ander voorbeeld 0, 5 x 0,5 = 0,25. 1.2
deler en deeltal Bij staartdelingen heb je een deler en een deeltal. Stel dat je 4, 4 moet delen door 1,1. dan is 4,4 het deeltal en 1,1 de deler. Het deeltal komt tussen de deelstrepen: /4,4\. De deler komt voor de deelstreep, dus 1,1/...\. Werk eerst de komma in de deler weg en verplaats daarna de komma in het deeltal een gelijk aantal plaatsen naar rechts. Zo dus: 3,44/4,73462\ wordt: 344/473,462\ Hierbij vermenigvuldig je beide getallen eigenlijk met 100 en dat heeft geen invloed op de uiteindelijke uitkomst. Delingen komen meestal niet uit, zoals dat heet. Dit betekent dat je moet afronden. Afronden doe je door het quotiënt een decimaal nauwkeuriger te bepalen dan de kleinste decimaal van de getallen die je door elkaar deelt. Bijvoorbeeld 2,44 : 3,547 reken uit je uit op vier decimalen, dus 0,6879. Daarna rond je af. Hierbij wordt een 5 en hoger naar boven afgerond, dus 0,688. Rekenen met eenheden Tot dusver hebben we niet met eenheden gerekend. In praktijk van de landmeetkunde doen we dit wel. Bijvoorbeeld hoeveel meter lang is een tuin en hoeveel kubieke meter grond moet erin? Meters en kubieke meters zijn eenheden. Ze horen thuis in het zogenaamde metrieke stelsel. Basis van het metrieke stelsel is de meter. De meter is afgeleid van de meridiaanboog tussen Duinkerken en Barcelona. De standaardmeter is gemaakt van platina en wordt in Parijs bewaard. In het begin van dit boek hebben we alle eenheden van het metrieke stelsel gezet. Je kunt ze dan makkelijk terugvinden. Andere eenheden zijn bijvoorbeeld procenten en graden. Procenten Procenten geef je aan met %. 1% is 1 per 100 of 1/100 deel. 20% is 20 per honderd of 20/100 deel. Promille wil zeggen per duizend. 3 betekent 3 per 1000 of 3/1000 deel. sexagesimale stelsel Graden Hoeken geef je weer in graden of in gon. Deze eenheden zijn beide gebaseerd op de omtrek van een cirkel. Oude meetinstrumenten maken gebruik van het zogenaamde sexagesimale stelsel. De hoeken worden daarbij gemeten in graden en deze graden zijn verdeeld in minuten en seconden. Er geldt: 1 graad is 60 minuten en 1 minuut is 60 seconden. Anders geschreven: 1 = 60 en 1 = 60. Een hoek van 17.34.29 wil zeggen 17 graden, 34 minuten en 29 seconden. Op moderne instrumenten vind je de centesimale verdeling. Hierbij is een cirkel verdeeld in 400 gon. Iedere gon is 100 centigon en iedere centigon is 100 centicentigon. Bijvoorbeeld 12 g 1206 wil zeggen 12 gon, 12 centigon en 6 centicentigon. 1.3
1.2 Van punt tot vlak Teken een punt, zei de leraar wiskunde. Hoe groot? vroeg de leerling. Punten hebben geen afmeting. Hoe kun je dan een punt tekenen? Punten hebben geen dimensie in de wiskunde, maar zet je een aantal punten achter elkaar dan krijg je een lijn. Logisch toch? Een lijn Lijnen zijn 1-dimensionaal, dat wil zeggen dat ze één afmeting hebben: de lengte. Er zijn rechte, gebroken, gebogen en onderbroken lijnen (zie figuur 1.1). Figuur 1.1 a rechte lijn; b gebroken lijn; c gebogen lijn; d. onderbroken lijn. Twee lijnen Twee lijnen kunnen evenwijdig aan elkaar lopen of elkaar snijden (zie figuur 1.2). In het laatste geval hebben ze een snijpunt. Figuur 1.2 Snijdende lijnen. S = snijpunt. 1.4
Hoeken Twee snijdende lijnen vormen met elkaar een hoek (zie figuur 1.3). In deze figuur is punt A het hoekpunt. AB en AC zijn de benen van de hoek. Figuur 1.3 We spreken van hoek A ( A) of BAC. De middelste letter geeft het hoekpunt aan. Er zijn verschillende typen hoeken (zie figuur 1.4). Dit hangt af van de grootte van de hoek in graden. Eén graad (1 ) is het 1/360 deel van een cirkel. Figuur 1.4 a Gestrekte hoek: de benen liggen in elkaars verlengde. Een gestrekte hoek is 180. b Rechte hoek: de benen staan loodrecht op elkaar. Een rechte hoek is 90. c Een stompe hoek is een hoek die groter is dan 90 (> 90 ). Een scherpe hoek is een hoek die kleiner is dan 90 (< 90 ). Drie lijnen Drie lijnen die elkaar snijden, vormen een driehoek. Een driehoek bestaat uit een basis en twee zijden. De som van de hoeken van een driehoek is 180 (zie figuur 1.5). Figuur 1.5 In deze driehoek is AB de basis, AC en BC zijn de benen. 1.5
Sommige driehoeken hebben iets speciaals (zie figuur 1.6). a b c Figuur 1.6 a Een rechthoekige driehoek. Hierin is hoek A 90. AC en AB zijn de rechthoekzijden. BC is de schuine zijde ofwel hypotenusa. b Een gelijkbenige driehoek: de benen zijn even lang (AC = BC); de basishoeken zijn even groot A = B. c Een gelijkzijdige driehoek: alle zijden zijn even lang (AB = AC = BC) en alle hoeken even groot A = B = C. Iedere hoek is dus 60. Stelling van Pythagoras In figuur 1.7 zie je dat tegenover hoek A lijn a ligt, tegenover B lijn b en tegenover C lijn c. In een rechthoekige driehoek geldt nu: a² = b² + c². In woorden: de som van de kwadraten van de rechthoekszijden is gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde. Dit staat bekend als de stelling van Pythagoras. Figuur 1.7 In een rechthoekige driehoek geldt: a² = b² + c². Als je a en b weet, kun je c berekenen. Anders gezegd als twee zijden bekend zijn, kun je de derde berekenen. Kijk maar. Stel b = 4 en c = 3. Bereken a. Er geldt a²= b²+ c², ofwel a²= 4² + 3² = 25. Dus a = 25 = 5. Of stel: a = 5 en c = 3. Er geldt: b²= a² - c², dus b² = 5² - 3² = 16. Dus b = 16 =4. Of stel: a = 5 en b = 4. Er geldt: c² = a² - b², ofwel c² = 5² - 4² = 9. Dus c = 9 = 3. Een lijn in een driehoek Er zijn verschillende bijzondere lijnen in een driehoek. Loodlijn of hoogtelijn 1.6
In figuur 1.8 is CD de loodlijn. Hij verbindt de tophoek (C) met de basis (AB) onder een hoek van 90. Figuur 1.8 AB = de basis van de driehoek. Hoekpunt C = de top van de driehoek. Zwaartelijn In figuur 1.9 is AD de zwaartelijn. Hij gaat van een hoekpunt (A) naar het midden van de tegenoverliggende zijde (CB). De zwaartelijn verdeelt de driehoek in twee even grote stukken. Er geldt dus: oppervlakte ACD = oppervlakte ABD. Figuur 1.9 AD is een zwaartelijn. Er geldt CD = BD. Deellijn of bissectrice In figuur 1.10 verdeelt lijn AD hoek A precies door midden. Als CAB 80 is, dan zijn CAD en DAB allebei 40. Hiervoor heb je een gradenboog nodig. Figuur 1.10 AD is een deellijn. Hij verdeelt hoek A in twee gelijke hoeken. 1.7
Middenloodlijn In figuur 1.11 deelt lijn DE lijn AB loodrecht middendoor. Figuur 1.11 DE is een middenloodlijn. Er geldt: AD = DB en EDB is 90. Vier lijnen Vier lijnen die elkaar snijden, geven een vierhoek. De som van de 4 hoeken is 360. Er zijn verschillende typen vierhoeken (zie figuur 1.12). a b c 1.8