Wiskunde De Normale en Binomiale Verdeling. Geschreven door P.F.Lammertsma voor mijn lieve Avigail

Wiskunde De Normale en Binomiale Verdeling Geschreven door P.F.Lammertsma voor mijn lieve Avigail

Opmerkingen vooraf Wiskunde Pagina 2 uit 20 Opmerkingen vooraf Pak je rekenmachine, de TI-83, erbij en doe alles na. Zo zul je beter begrijpen wat je aan het doen bent. Alle functies die we op de rekenmachine gaan gebruiken, vind je in het menu DISTR: DISTR 2nd VARS Je ziet dan het volgende scherm: DISTR DRAW 1:normalpdf( 2:normalcdf( 3:invNorm( 4:tpdf( 5:tcdf( 6:x²pdf( 7:x²cdf( Verder naar beneden zie je: DISTR DRAW 9:Fcdf( 0:binompdf( A:binomcdf( B:poissionpdf( C:poissoncdf( D:geometpdf( E:geometcdf( We gaan de volgende functies gebruiken: normalcdf (toets 2) invnorm (toets 3) binompdf (toets 0) binomcdf (toets A) Je moet je niet proberen voor te stellen wat bij deze functies gebeurt. Zo raak je alleen maar in de war. Kijk gewoon naar welke uitkomsten je hebt en welke je wil hebben. Kies dan een functie die het beste erbij past, en werk daarmee verder. Tekeningen maken zijn voor je zelf handig, maar voor de docent niet zo. Pak een kladblaadje erbij en maak gerust wat snelle aantekeningen. Als het bij je uitleg helpt, neem ze op je antwoordenblad over. Aan het eind van de hoofdstuk over Normale Verdeling staat een stukje over het werken met normaal waarschijnlijkheidspapier. Ik weet niet of je dit hoeft te kennen, maar ik heb het maar heel snel behandeld. Deze uitleg zal je hopelijk helpen met het aanpakken van een opdracht over kansverdelingen. Kijk altijd goed naar de gegevens: zo kan je bepalen of het over een normale of binomiale verdeling gaat! Veel succes! Histogram Wiskunde Pagina 2 uit 20

Histogram Wiskunde Pagina 3 uit 20 Histogram Om een opzetje te geven voor normale verdelingen, gaan we eerst kijken naar histogrammen. Zodra een histogram een soort klok-vorm krijgt, noemen we het een normale verdeling. Bijvoorbeeld, deze histogram: Lijkt erg veel op een klok-vormig normale verdeling: De volgende functies hebben betrekking tot binomiaal verdeelde variabelen. Aan het einde van de hoofdstuk over Normale Verdeling vind je hoe je het gemiddelde, variantie en standaarddeviatie van een normaal verdeelde variable vindt. (Een binomiaal verdeeld variabele heeft de waarden n en p.) (Een normaal verdeeld variablele heeft de waarden en.) µ Histogram Wiskunde Pagina 3 uit 20

Histogram Wiskunde Pagina 4 uit 20 Je kan het gemiddelde berekenen als je alle waarden bij de histogram weet. Het gemiddelde is eigenlijk gewoon de verwachtingswaarde, E(X). E(X) = n p Functie op de rekenmachine: aantalkeer * kans Je kan de variantie berekenen als je alle waarden bij de histogram weet. De variantie is Var(X). Var(X) = n p (1 p) Functie op de rekenmachine: aantalkeer * kans * (1 - kans) De standaardafwijking of standaarddeviatie berekenen als de variantie weet. De standaarddeviatie is σ(x). σ(x) = Var(X) Functie op de rekenmachine: (variantie) Om een overzicht te krijgen van hoe dit allemaal eruit ziet: σ(x) Var(X) µ(x) Histogram Wiskunde Pagina 4 uit 20

Histogram Wiskunde Pagina 5 uit 20 Voorbeelden Een leerling legt een multiple-choice toets af van 40 vragen, ieder één uit 4 mogelijkheden. Hij heeft niet geleerd, en maakt voor iedere vraag een volstrekt willekeurige gok. Wat is het verwachte juiste aantal vragen? E(X) = n p Invullen op de rekenmachine: aantalkeer * kans 40 * 0.25 Dit geeft de verwachtingswaarde, in dit geval 10. Het antwoord is 10 juiste antwoorden. Wat is de variantie? Var(X) = n p (1 p) Invullen op de rekenmachine: aantalkeer * kans * (1 - kans) 40 * 0.25 * 0.75 Dit geeft de variantie, in dit geval 7,5. Overigens is het ook mogelijk om de variantie te berekenen door de verwachtingswaarde te vermenigvuligen met de kans op een foute antwoord. Var(X) = E(X) (1 p) 10 * 0.75 Dit geeft dezelfde variantie, namelijk 7,5. Het antwoord is dus een variantie van 7,5. Wat is de standaarddeviatie? σ(x) = Var(X) Invullen op de rekenmachine: (variantie) Dit geeft de standaarddeviatie, in dit geval de wortel van 7,5 2,73. Het antwoord is dus ongeveer 2,73. Je kan dit het beste opschrijven als de wortel van 7,5. Histogram Wiskunde Pagina 5 uit 20

Normale Verdeling Wiskunde Pagina 6 uit 20 Normale Verdeling Als je een opdracht krijgt die over een bepaalde onderzoek gaat, waarbij een gemiddelde en standaarddeviatie gegeven is, heb je te maken met een normale verdeling. Je zal weten wanneer je normale verdeling toe moet passen, want bij de opdracht staat er dan meestal... is bij benadering normaal verdeeld. Als dat niet zo is, zijn er verschillende manieren om dit te ontdekken. Ten eerste, kan je gewoon kijken naar de histogram en beredeneren of het lijkt op de normaal verdelingscurve. Dit is heel grof, en geeft alleen een idee. Als het er echt heel netjes in past, dan is het waarschijnlijk normaal verdeeld. Als je geen histogram erbij krijgt, is dit geen handige methode, want je zou te lang bezig zijn met een histogram tekenen. Als je normaal waarschijnlijkheidspapier hebt en een tabel van waardes krijgt, teken de cululatieve relatieve frequenties van sommige of alle punten erop. Trek een rechte lijn waar je die ongeveer kan plaatsen. Als alle punten ongeveer op de lijn zitten, is het normaal verdeeld. Zie het einde van dit hoofdstuk voor meet hulp. Hier zie je de normale verdelingscurve. Zoals we gezien hebben, past het vrij goed op een normaal verdeelde histogram. σ ondergrens P bovengrens µ µ is het gemiddelde σ is de standaarddeviatie P is de kans (of oppervlakte) Normale Verdeling Wiskunde Pagina 6 uit 20

Normale Verdeling Wiskunde Pagina 7 uit 20 We hoeven niet meer naar de histogram te kijken. Van nu af aan gaan we alleen werken met deze curve. Dit is hoe de normale verdeling eruit ziet. P is de kans het grijze gedeelte in de tekening en komt overeen met de oppervlakte. Deze zijn natuurlijk hetzelfde. (De oppervlakte van de normale verdeling is 1.) Je kan de kans uitrekenen als je deze waarden weet: ondergrens, bovengrens, gemiddelde, standaarddeviatie Functie in de rekenmachine: normalcdf(ondergrens,bovengrens,gemiddelde,standaarddeviatie) Deze functie geeft de kans. NB.: Als de ondergrens oneindig klein is (zoals in de tekening), vul dan 0 in. Als de bovengrens oneindig groot is, vul dan 1E99 in. Je kan het gemiddelde uitrekenen als je deze waarden weet: kans, bovengrens, standaarddeviatie Functie in de rekenmachine: bovengrens (standaarddeviatie * invnorm(kans)) Deze functie geeft het gemiddelde. NB.: Deze is niet afgerond! Rond het antwoord af zodat het uitkomst overeenkomt met de vraag, en schrijf het op zodat de leraar ook snapt waarom je zo afgerond hebt. Vaak wordt bijvoorbeeld gevraagd naar het kleinste gemiddelde bij een kans gelijk aan of minder dan X. Je moet dan gaan afronden zodat je het juiste anwoord krijgt. Je antwoord kan je controleren door de eerste methode met normalcdf erop toe te passen. De kans moet dan inderdaan gelijk aan of kleiner zijn! (Er is verder op een voorbeeld van dit situatie.) Normale Verdeling Wiskunde Pagina 7 uit 20

Normale Verdeling Wiskunde Pagina 8 uit 20 Je kan het gemiddelde uitrekenen op dezelfde manier als hiervoor genoemd, als je deze waarden weet: kans, ondergrens, standaarddeviatie Spiegel de normaal verdeling zodat je bijvoorbeeld dit krijgt: σ σ 60 25 85 P Nu heb je de bovengrens in plaats van een ondergrens, namelijk bovengrens = 35. De kans blijft hetzelfde: de situatie is hetzelfde. Pas het andere methode toe om het gemiddelde uit te rekenen. P 35 25 60 Je kan de bovengrens uitrekenen als je deze waarden weet: kans, gemiddelde, standaarddeviatie In het plaatje hiernaast zie je hoe de situatie eruit ziet. bovengrens Functie in de rekenmachine: P invnorm(kans, gemiddelde,standaarddeviatie) Deze functie geeft de bovengrens. µ σ NB.: NB.: Hier is het antwoord ook niet afgerond. Denk goed na over hoe je het antwoord moet afronden om een correcte antwoord te geven. Ook hier kan je de normale verdeling spiegelen, als je wel de ondergrens weet maar niet de bovengrens. De functie normalpdf zullen jullie nooit hoeven gebruiken en wordt dus ook niet behandeld. Normale Verdeling Wiskunde Pagina 8 uit 20

Normale Verdeling Wiskunde Pagina 9 uit 20 Voorbeelden Voorbeeld 1 Een fabriek maakt batterijen, en wil graag dat zijn producten zo lang mogelijk meegaan. Daarom doen ze dagelijks steekproeven om te kijken hoe lang de batterijen meegaan. Ervaring leert dat de standaarddeviatie 50 minuten is. Het gemiddelde is echter nog niet bekend. De fabrikant wil ervoor zorgen dat hoogstens 7% van de baterijen uit een dagproductie een levensduur heeft van minder dan 8,5 uur. Bereken in minuten nauwkeurig de kleinste waarde van µ waarvoor dit nog het geval is. Lange antwoord De levensduur X van die dag is normaal verdeeld met µ =? σ = 50 minuten Hoogstens 7% van de dagproductie heeft een levensduur van minder dan 8,5 uur. We gaan eerst 8,5 uur herschrijven naar 510 minuten. Ze willen dus weten bij welke waarde van µ (het gemiddelde) de kans op een batterij met een korte levensduur hooguit 0,07 is (7%). Dus: gevraagd wordt naar X zodat: P(X < 510) 0,07. σ = 50 Q =? De getekende verdeling wordt weergegeven in het plaatje hiernaast. 0,07 510 µ =? Omdat een normale verdeling een standaardvorm heeft, kunnen we met een functie van de rekenmachine bepalen met hoeveel we de standaarddeviate (σ = 50 minuten) moeten vermenigvuldigen om Q te krijgen. De functie hoeft alleen te weten wat de kans hierop is, we hebben immers op de grafiek al aangegeven dat we zoeken naar Q die leidt naar een kans van 7%. Voer dit in op je rekenmachine: invnorm(0,07) Het resultaat geeft de verhouding tussen σ en Q die wij zoeken. Dit is in dit geval 1,4757. Normale Verdeling Wiskunde Pagina 9 uit 20

Normale Verdeling Wiskunde Pagina 10 uit 20 Dit betekent dat Q = σ -1,4757 = 50-1,4757 = -73,785 Kijk nog eens naar de grafiek. We weten nu wat Q is. µ = 510 Q = 510 - -73,785 = 510 + 73,785 = 583,785 Ze vragen echter naar gehele minuten, dus deze antwoord is niet helemaal goed. Denk eens na: de kans is 7% of minder. Als we antwoorden met µ = 583 minuten (Q omhoog afronden naar 73), verschuift de lijn voor µ op de grafiek naar links. Dat geeft hetzelfde effect als de lijn voor 510 naar rechts schuiven. Dit zie je in het plaatje hiernaast. Dit is dus niet goed. We zijn juist op zoek naar een gemiddelde waarvoor geldt dat de kans P 0,07. > 0,07 510 µ = 583 We proberen het opnieuw door Q omlaag af te ronden naar 74. Dan krijgen we µ = 584, en het plaatje hiernaast. Inderdaad, de oppervlakte is minder dan 0,07, en dat werd ook gevraagd. Het antwoord is dus 584 minuten. Korte antwoord Voer dit in op je rekenmachine: 510 (50 * invnorm(0,07)) Dit is het gemiddelde. Rond het antwoord af. < 0,07 510 µ = 584 Controleer het antwoord met: normalcdf(0,510,gemiddelde,50) Dit moet een waarde geven dan kleiner of gelijk aan 0,07 is. normalcdf(0,510,583,50) normalcdf(0,510,584,50) geeft 0,07215 > 0,07 en is dus niet goed. geeft 0,06944 < 0,07 en is dus wel goed. Geef het antwoord: µ = 584 minuten Normale Verdeling Wiskunde Pagina 10 uit 20

Normale Verdeling Wiskunde Pagina 11 uit 20 Voorbeeld 2a Onderzoekers gaan na wat de levensduur van muizen is. Ze ontdekken dat dit bij benadering normaal is verdeeld met een gemiddelde van 33 maanden en een standaarddeviatie van 2,7 maanden. Bereken hoeveel procent van deze muizen de leeftijd van 36 maanden bereikt. Antwoord De levensduur X van de muizen is normaal verdeeld met µ = 33 maanden σ = 2,7 maanden Wat ze eigenlijk vragen is: wat is de kans op het behalen van 36 maanden of langer? Een tekening maakt de situatie wat begrijpelijker, zie de tekening hiernaast. Verder weten we de onder- en bovengrens: ondergrens = 36 bovengrens = oneindig σ = 2,7 33 36 P =? Voer deze gegevens in op de rekenmachine: normalcdf(ondergrens,bovengrens,gemiddelde,standaarddeviatie) normalcdf(36,1e99,33,2.7) Dit geeft de kans (oppervlakte) dat getekend is in de figuur. In dit geval is dat 0,1333. Maak van je antwoord een procent (vermenigvuldig met 100), en rond het netjes af. Het antwoord is 13%. Controle Controleer het antwoord: invnorm(kans,gemiddelde,standaarddeviatie) invnorm(0,13,33,2.7) Dit geeft de bovengrens, in dit geval 29,96. Niet vergeten dat een normale verdeling symmetrisch is! We nemen het verschil tussen het gemiddelde en de bovengrens: 33 + (33-29,96) We zien nu dat 13% van de muizen 36,04 maanden wordt (dat is meer dan 36 maanden). Het antwoord is goed. Bij deze vraag wordt niet gemeldt dat het percentage excpliciet boven de 36 maanden zou moeten zijn. In dit geval is het wel zo, maar je afgeronde antwoord niet precies meer klopt, geeft dat niet. De controle is gewoon om te kijken of je antwoord dicht in de buurt zat. Normale Verdeling Wiskunde Pagina 11 uit 20

Normale Verdeling Wiskunde Pagina 12 uit 20 Voorbeeld 2b De onderzoekers gaan nu muizen onderzoeken met een caloriearm dieet. Ze willen weten of deze muizen langer leven. Ze gaan onder andere kijken naar de maximum leeftijd. Hiermee wordt de levensduur bedoeld die door slechts 0,1% van de muizen overschreden wordt. Muizen van deze nieuwe dieet hebben een gemiddelde levensduur van 45 maanden met een standaarddeviatie van 2,1 maanden. Van de muizen met het caloriearme dieet leeft een groot percentage langer dan de maximale levensduur van muizen met het gewone dieet. Bereken dit percentage. Antwoord Gevraagd wordt het percentage muizen met een caloriearm dieet dat langer leeft dan de maximale levensduur van muizen met een gewoon dieet. Bepaal eerst de maximale levensduur van muizen met een gewoon dieet. De levensduur X van de gewone muizen is normaal verdeeld met µ = 33 maanden σ = 2,7 maanden We moeten de ondergrens bepalen van de oppervlakte die hiernaast is getekend. σ = 2,7 Eerst moeten we de situatie omdraaien. De normaal verdeling is symmetrisch, dus we kunnen eventjes voor het gemak de ondergrens en bovengrens omdraaien. Dan krijgen we de volgende hieronder. 33? P = 0,001 We weten alleen de bovegrens niet, dus we kunnen de rest invoeren op de rekenmachine: invnorm(kans, gemiddelde,standaarddeviatie) invnorm(0.001,33,2.7) Dit geeft de bovengrens, in dit geval 24,66. σ = 2,7 Nu moeten we weer de hele handel omdraaien, om van de bovengrens de ondergrens te krijgen.? 33 Dit is gelukkig vrij eenvoudig: P = 0,001 33 + (33 24,66) Dit geeft de bovengrens zoals getekend in de bovenste figuur, namelijk 41,34. 41,34 maanden is de maximale leeftijd van een gewone muis. Hiermee kunnen we verder werken. Normale Verdeling Wiskunde Pagina 12 uit 20

Normale Verdeling Wiskunde Pagina 13 uit 20 De vraag luidt verder: hoeveel muizen met een caloriearm dieet overschrijden deze leeftijd? Voor caloriearme muizen, wordt de levensduur X normaal verdeeld met µ = 45 maanden σ = 2,1 maanden σ = 2,1 We draaien weer de situatie om, om te kijken hoeveel caloriearme muizen deze leeftijd niet bereiken. De situatie wordt hiernaast getekend. P =? 41,34 45 We kunnen dit in invullen in de rekenmachine: normalcdf(ondergrens, bovengrens, gemiddelde, standaarddeviatie) normalcdf(0,41.34,45,2.1) Dit geeft de overvlakte zoals getekend in de figuur hierboven, in dit geval 0,0408. We zijn echter op zoek naar de percentage muizen die wél deze leeftijd behalen. Dat is gewoon het andere deel: 1 0,0408 Het aantal muizen die 41,34 maanden of ouder wordt is dus 0,9592. Vermenigvuldig met 100 en rond het netjes af, en er komt 96% uit. Zoals je bij de afronding ziet, is het niet echt 96%. In werkelijkheid is het minder. 95% zou een nauwkeuriger antwoord zijn, maar dat is verkeerd afgerond. Bij deze vraag wordt niet gemeldt dat het percentage excpliciet boven de maximum leeftijd van 41,34 maanden zou moeten zijn. Daarom moet je gewoon afronden naar 96%, en niet 95%. Het antwoord is dus 96%. Normale Verdeling Wiskunde Pagina 13 uit 20

Normale Verdeling Wiskunde Pagina 14 uit 20 Waarden van invoeren in een lijst op de rekenmachine Bij een opdracht over normale verdelingen kan je een tabel met gegevens krijgen, zoals dit: 2,8 2,9 3,2 3,2 3,4 3,4 3,5 3,5 3,6 3,6 3,7 3,8 3,8 3,9 4,2 Deze kan je in een lijst op je rekenmachine invoeren. Dit doe je op de volgende manier: Ga naar de STAT menu door op het knopje te drukken. STAT Je ziet dan dit scherm: EDIT CALC TESTS 1:Edit 2:SortA( 3:SortB( 4:ClrList 5:SetUpEditor Onderaan de pagina heb ik een histogram van de waarden gemaakt. Dat kan ook op de rekenmachine, maar eist wat meer kennis over zijn werking. Heel snel en in het kort: - Kies Plot1 in het menu STAT PLOT, zet hem op On, kies de histogram, en vul L1 in als Xlist; - Zet alle functies uit in het scherm Y=; - Stel de correcte zoom in als ZOOMSTAT in het menu ZOOM; - Druk op GRAPH. Druk 1 voor Edit Vul alle waarden in het tabel in zoals dit: L1 L2 L3 1 2.8 2.9 3.2 3.2 3.4 3.4 3.5 L1(1)=2.8 De histogram is hiernaast afgebeeld. Het lijkt niet echt echt normaal verdeeld! Op het volgende pagina zullen we ontdekken dat het toch wél normaal verdeeld is. Normale Verdeling Wiskunde Pagina 14 uit 20

Normale Verdeling Wiskunde Pagina 15 uit 20 Het gemiddelde, de standaarddeviatie en variantie voor een lijst opvragen Ga naar de STAT menu door op het knopje te drukken. STAT Druk eenmaal op > en op 1 voor 1-Var Stats Voeg L1 achter deze functie toe door deze combinatie van toetsen te drukken: L1 2nd 1 1-Var Stats L1 Druk ENTER en je krijgt alle gegevens van deze plot. We hoeven alleen naar deze waarden te kijken: x=3.5 x=.3596294389 Het gemiddelde is 3,5 en standaarddeviatie is 0,36. De variantie is het kwadraat van de standaarddevaitie, Var(X) = (X) 2 = 0,1293. We kunnen nu kijken naar de spreiding van de waardes: ze liggen tussen 2,8 en 4,2. De vuistregel voor een normale verdeling is dat 95% van de waardes tussen 2 en + 2 moeten liggen. 100% van de waardes liggen tussen 2,78 en 4,22, dus is het tóch normaal verdeeld! De 1-Var Stats methode kan je voor ieder lijst gebruiken. Als je dus een tabel krijgt met waarden en je wilt het gemiddelde, de standaarddeviatie of variantie weten, moet je de waarden invoeren in een lijst, en de 1-Var Stats methode erop toepassen. Tenzij deze al gegeven zijn dat vaak het geval is want dan doe je overbodig werk! Normale Verdeling Wiskunde Pagina 15 uit 20

Normale Verdeling Wiskunde Pagina 16 uit 20 Werken met normaal waarschijnlijkheidspapier Als je dit niet hoef te kennen, sla het over. Eerst moeten we de frequenties van de waardes bepalen, en de cumulatieve relatieve frequenties berekenen. Uitgezet in een tabel, ziet het er zo uit: waarde frequentie relatieve culatieve relatieve frequentie frequentie in % 2,8 1 1/15 1/15 6,7 2,9 1 1/15 2/15 13,3 3,0 0 0/15 2/15 13,3 3,1 0 0/15 2/15 13,3 3,2 2 2/15 4/15 26,7 3,3 0 0/15 4/15 26,7 3,4 2 2/15 6/15 40 3,5 2 2/15 8/15 53,3 3,6 2 2/15 10/15 66,7 3,7 1 1/15 11/15 73,3 3,8 2 2/15 13/15 86,7 3,9 1 1/15 14/15 93,3 4,0 0 0/15 14/15 93,3 4,1 0 0/15 14/15 93,3 4,2 1 1/15 15/15 100 Je moet nu de cumulatieve relatieve frequenties in procenten uitzetten op de normaal waarschijnlijkheidspapier. Het ziet er zo uit: 100% 90% 80% 70% 50% 30% 20% 10% 0% Zoals je ziet, gaat het lijn ongeveer door alle punten. Het is normaal verdeeld. Normale Verdeling Wiskunde Pagina 16 uit 20

Binomiale Verdeling Wiskunde Pagina 17 uit 20 Binomiale Verdeling Terwijl we het bij de normale verdeling steeds over het gemiddelde en standaarddeviatie hebben, gaat het bij de binomiale verdeling alleen om het aantal keer n en de kans p. Als de opdracht krijgt die te maken heeft met n keer een handeling uitvoeren waarbij de kans p is, heb je te maken met een binomiale verdeling. Bijvoorbeeld: Binomiaal n = 60 p = 1/6 Normaal = E(X) = n p = 60 1/6 = 10 σ = σ(x) = Var(X) = n p (1 p) = 60 1/6 5/6 = 50/6 Verder is de vergelijkingscurve hetzelfde. Je kan de precieskans uitrekenen als je deze waarden weet: preciesaantal, totaalaantal, totaalkans Functie in de rekenmachine: binompdf(totaalaantal,totaalkans,preciesaantal) Deze functie geeft de kans op precies preciesaantal uit totaalaantal bij een kans van totaalkans. Je kan de hoogstenskans uitrekenen als je deze waarden weet: hoogstensaantal, totaalaantal, totaalkans Functie in de rekenmachine: binomcdf(totaalaantal,totaalkans,hoogstensaantal) Deze functie geeft de kans op hoogstens hoogstensaantal uit totaalaantal bij een kans van totaalkans. Deze notering kan nogal verwarrend zijn. Kijk naar de voorbeelden voor meer uitleg. Binomiale Verdeling Wiskunde Pagina 17 uit 20

Binomiale Verdeling Wiskunde Pagina 18 uit 20 Voorbeelden Voorbeeld 1 Gegeven zijn de vazen A en B. A bevat 8 rode en 2 witte knikkers. B bevat 3 rode en 6 witte knikkers. Men trekt aselect en met terugleggen uit A en uit B één knikker. Van beide getrokken wordt de kleur genoteerd. Deze trekking wordt tien maal uitgevoerd. Bereken in drie decimalen nauwkeurig de kans dat bij meer dan vijf van de tien trekkingen de twee getrokken knikkers van kleur verschillen. Antwoord Met trekt uit A en B elk één knikker. Er zijn maar twee situaties waarbij de kleur kan verschillen, namelijk: - A: wit B: rood - A: rood B: wit De kans op de eerste situatie is: 2/10 * 3/9 Namelijk: er zijn 2 witte uit de 10 knikkers in A en 3 rode uit de 9 knikkers in B. De kans op de tweede situatie is: 8/10 * 6/9 Deze kansen moeten we optellen: 2/10 * 3/9 + 8/10 * 6/9 De uitkomst hiervan is de kans op twee van kleur verschillende knikkers, in dit geval 0,6. De vraag luid verder: wat is de kans dat dit bij meer dan vijf van de tien trekkinging gebeurt? We draaien de situatie om zodat we krijgen: wat is de kans dat dit bij hooguit vijf van de tien trekkingen gebeurt? Dit is gemakkelijker om in de rekenmachine te stoppen: binomcdf(totaalaantal,totaalkans,hoogstensaantal) binomcdf(10,0.6,5) Het antwoord is de kans hooguit vijf van de tien trekkingen van verschillende kleuren zijn is 0,3669. Dus de kans dat meer dan vijf van de tien trekkingen van verschillende kleuren zijn is: 1 0,3669 De uitkomst hiervan is gelijk ook het juiste antwoord: 0,633. Binomiale Verdeling Wiskunde Pagina 18 uit 20

Binomiale Verdeling Wiskunde Pagina 19 uit 20 Voorbeeld 2 Twee reizigers willen een last-minute ticket voor een vlucht kopen. Als er over een halfuur nog vleigtuigstoelen onbezet zijn, kunnen ze gelijk mee. Op dit moment zijn er nog 94 stoelen vrij. Er zijn echter nog 100 gereserveerde reizigers vóór hun! Voor ieder gereserveerde reiziger geldt: de kans dat hij/zij zich in de komende halfuur meldt, is gelijk aan 0,85. Bereken in drie decimalen nauwkeurig de kans dat beide reizigers met de vlucht mee kunnen. Antwoord We nemen X is het aantal passagiers dat komt opdagen. Dan is X binomiaal verdeeld met n = 100 (aantal passagiers dat zich nog niet heeft aangemeld) p = 0,85 (kans dat een passagier zich in de komende halfuur meldt) Er zijn nu nog 94 stoelen vrij. Om de twee reizigers mee te laten, moeten er maximaal 92 passagiers op komen dagen. We willen dus de kans dat hoogstens 92 van de 100 passagiers op komt dagen, ieder met een kans van 0,85. Dit kan je invoeren op je rekenmachine: binomcdf(totaalaantal,totaalkans,hoogstensaantal) binomcdf(100,0.85,92) Het resultaat is gelijk ook het juiste antwoord: de kans is 0,988 dat beide reizigers mee kunnen. Binomiale Verdeling Wiskunde Pagina 19 uit 20

Binomiale Verdeling Wiskunde Pagina 20 uit 20 Voorbeeld 3 Twee vrienden spelen een kaartenspel. Het spel houdt in dat ieder speler een kaart trekt, en het hoogste kaart wint. Er wordt dan teruggelegd en opnieuw geschud. Het valt één van de spelers op dat hij al na tien potjes al twee keer de klavertwee in handen heeft gehad. De speler vraagt zich af wat de kans is op precies twee keer dezelfde kaart na tien trekkingen met teruglegging. (De trekkingen van de andere speler worden niet meegerekend.) Bereken deze kans in drie decimalen nauwkeurig. Antwoord 1 Bij deze vraag worden er uit 52 kaarten 10 keer een kaart getrokken met teruglegging. Bij deze 52 kaarten is er 1 klavertwee. We nemen X is het aantal keer klavertwee voorkomt van de 10 trekkingen. Dan is X binomiaal verdeeld met n = 10 p = 1/52 Dit kunnen we invoeren op de rekenmachine: binompdf(totaalaantal,totaalkans,preciesaantal) binompdf(10,1/52,2) Dit geeft gelijk ook het juiste antwoord: 0,014. Antwoord 2 Je kunt ook handmatig de som oplossen. De kans op twee keer een klavertwee is (1/52) 2. De kans op geen klavertwee is (51/52) 8. De aantal mogelijkheden is 10 boven 2. Dit kan je invoeren op je rekenmachine: (10 ncr 2)*(1/52)^2*(51/52)^8 (De functie ncr vindt je in het menu MATH, onder de laatste kolom, PRB, als nummer 3.) Dit geeft gelijk ook het juiste antwoord: 0,014. Binomiale Verdeling Wiskunde Pagina 20 uit 20