Uitwerkingen Hertentamen E.K.T., november. We berekenen eerst het volume van de gases: V : :6 : m. Bij aanvang is de es gevuld tot een druk van :4 6 Pa bij een temperatuur van 9 K. We berekenen het aantal mol N bij aanvang: N pv(rt):4 6 :(8: 9) 6:5. Aan het einde van de barbecue is de gastemperatuur T 8 K en de gasdruk p :5 5 Pa. Ook nu berekenen we het aantal mol gas in de es: N pv(rt):5 5 :(8: 8) :55. De hoeveelheid gas die is gebruikt is dus gelijk aan: N N 4:95 mol. Vermenigvuldigen met de molaire massa levert de massa van het verbruikte propaan: M 4:95 :44 : kg.. R f(v)dv 4 m! v exp mv dv (a) De verdeling is genormeerd. Dit betekent dat de totale kans gelijk is aan : f(v) dv. vα v gem v rms f(v) 5 5 (b) v (m/s). v α v β.5 f(v)..5 5 5 (c) v (m/s)
(d) v Z Z v f(v) dv 4 m 4 m 4 m m Dan geldt p v q m. v 4 exp mv Z 8 s v 4 exp mv (m) 5 (e) De gemiddelde kinetische energie van een deeltje m v m ( m).. Een drieniveau systeem met equidistante niveau's en geen ontaarding. (a) exp f exp + exp + exp exp f exp exp + exp f exp exp + (b) f + f + f voor alle temperaturen (normering). (c) Als T! geldt!. Dan geldt exp i! en exp i!. Dan geldt: f!, f!, f!. Als T! geldt!. Dan geldt exp i exp i!. In dat geval geldt f f f!. (d) We hebben net gezien dat bij heel lage temperaturen alle deeltjes in de grondtoestand zijn (f ). De totale energie van N deeltjes is dan E N. Bij heel hoge temperaturen zijn de deeltjes gelijkelijk verdeeld over de drie toestanden (f f f ). De energie is dan E N( + + )N ( + +).!! dv dv
..8.6 f f i.4 f. f 4 5 4. Om de aard van de stroming te kunnen bepalen moeten we eerst de gemiddelde vrije weglengte in het gas bepalen: ` [ p nd ]. We moeten dan eerst de dichtheid van het gas in het vaatje bepalen: n p() 5:(:8 ) 8:45 m. De gemiddelde vrije weglengte wordt dan: ` [ p nd ] [ p 8:45 9 ] : mm. (a) Voor het kleine gaatje geldt dat de diameter aanzienlijk kleiner is dan de gemiddelde vrije weglengte hier zal dus Knudsen stroming optreden. Voor de buis geldt dat de afmetingen er van veel groter zijn dan de gemiddelde vrije weglengte daar treedt dan Poiseuille stroming op. (b) We moeten niet vergeten dat ook buiten het vaatje stikstof gas aanwezig is. De Knudsen stroom wordt dus bepaald door het dichtheidsverschil! Bij de Poiseuille stroom is daar al rekening mee gehouden! I Knudsen 4 n v R I Poiseuille nr4 p 8 L, met n het dichtheidsverschil tussen binnen en buiten. (c) We berekenen eerst de Knudsen stroom daarvoor moeten we de gemiddelde snelheid in het gas uitrekenen: v q 8 RT(M) q 8 8: ( :8) 476 m/s. Het dichtheidsverschil tussen binnen en buiten: nn pp 5. Het dichtheidsverschil is dus /5 maal de dichtheid binnen. I Knudsen (4) (8:45 5) 476 (5 5 ) :6 4 s. Om de Poiseuille stroom uit te rekenen moeten we eerst de viscositeit uitrekenen: nm` v 8:45 (:86: ) : 476 :85 5 Pa.s. De Poiseuille stroom is I Poiseuille (nr 4 p)(8 L) (8:45 )(8 :85 5 L) :79 4 L s. Gelijke Knudsen en Poiseuille stroming gebeurt dan als L :79 m. 5. (a) Voor gasvormig Argon geldt dat, bij alle temperaturen C v R. dit is een atomair gas met slechts drie vrijheidsgraden per deeltje. Voor gasvormig O geldt het volgende: bij lage temperatuur geldt C v 5 R translatie- en rotatie-vrijheidsgraden doen mee. Bij hogere temperatuur geldt
4 C v 7R immers dan doen ook de vibratie-vrijheidsgraad me. Dit gebeurt bij een temperatuur van ongeveer 5 K. 4 C v (R) 4 T (K) (b) De warmtecapaciteit bij constant volume wordt gegeven door C v dudt. Bij lage temperatuur (T <T ) geldt dan: C v / T, bij iets hogere temperatuur (T <T <T ): C v is constant, en voor T >T geldt: C v. C v T (K) 6. Een. mm dik glazen raam met daaromheen. mm dikke stationaire lagen lucht. De temperatuur van het glas aan de binnenkant is T, die aan de buitenkant is T. (a) (b) Er staat een warmtestroom die overal even groot is. In de kamer geldt: j lucht (T kamer d lucht. In de ruit geldt: j glas T glas d glas. In de buitenlucht geldt: j lucht T buiten d lucht. Uit de eerste en derde vergelijking volgt: T kamer T buiten. Uit de eerste en twede vergelijking volgt: T kamer d lucht d glas glas lucht T glas glas lucht T glas T glas Voor het totale temperatuurverschil kunnen we nuschrijven: T kamer T buiten (+:5)T glas. Hieruit volgt dat T glas (:5) 9:76 C.
5 (c) Aangezien de warmtegeleidingscoecient van lucht keer zo klein is als die van lucht moet het glas keer zo dik zijn. De gewenste glasdikte is dus 6 mm. 7. (a) Als de kraan ver open staat zodat de gemiddelde vrije weglengte veel kleiner is dan de opening van de kraan zijn wij in het regime van vrije molekulaire stroming. Dan geldt dat er drukevenwicht wordt bereikt: p w p k. De verhouding van de dichtheden volgt dan uit de ideale gas wet: n p. Dat geeft n w n k T k T w 4. (b) Bij heel kleine kraanopening zijn wij in het regime van Knudsen stroming. Dan krijgen we een thermomolekulair q drukverschil omdat de deeltjesstromen gelijk zijn: n 4 w v w n 4 k v k. Omschrijven resulteert in p w p T w ( w ) p k p Tk ( k ) oftewel p w p k T w T k. De dichtheden zijn dan omgekeerd evenredig aan de snelheden dus n w n k q T k T w. q 8 RT(M) q 8 8: 9( :8) 47 m/s. 8. (a) De diusiecoecient wordt gegeven door D ` v. Berekenen we eerst v We moeten dan eerst de dichtheid van het gas in de kubus bepalen: n p() : 5 (:8 9) :47 5 m. De gemiddelde vrije weglengte wordt dan: ` [ p nd ] [ p :47 5 9 ] : m. De diusiecoecient is dus gelijk aan: D : 7 47:59 5 m /s. (b) Nu maken we gebruik van de resultaten over een dronkemanswandeling: de rms afstand L rms p N ` met N het aantal stappen. Voor ons geval geldt dan p N Lrms ` : 7. Het aantal stappen is dus 4. De gemiddelde tijd van een stap `v : 7 47 : s. Het kost dus : 4 seconden om naar de andere kant van de kubus te diunderen. Een andere manier om dit antwoord te verkrijgen gaat als volgt: In t seconden legt het deeltje een afstand v t af. Dit is gelijk aan het aantal stappen maal de gemiddelde vrije weglengte: v t N `. Dus geldt N v t`. Invullen in de uitdrukking voor de afstand geeft: L rms p` v t. Dan geldt t L rms(` v ). (c) Als we de druk met een factor honderd verlagen neemt de deeltjesdichtheid met een factor honderd af. De gemiddelde vrije weglengte neemt dan ook met een factor toe. Uit de laatste uitdrukking volgt dan dat de tijd met een factor afneemt. Dit gaat goed zolang de gemiddelde vrije weglengte veel kleiner wordt dan de maat van de kubus. Bij p 5 Pa is ` 7 m. Bij p Pa is ` m. We kunnen dus zeggen dat de tijd steeds met een factor afneemt totdat de druk ongeveer Pa bedraagt. Daarna komen we in het Knudsen regime en wordt de reistijd bepaalt door het vrije vliegen: t v : ms. Bij p Pa geldt t s. Bij p Pa geldt t : s. Bij p Pa geldt t : s.
Bij p Pa geldt t : ms. Bij p 5 Pa geldt t : ms. 6