Naam: Patrick Damen Datum: 17 juni 2003
INHOUDSOPGAVE Algemeen 2 Vraag 1 3 Vraag 2 8 Vraag 3 11 Vraag 4 14 Vraag 5 17 Vraag 6 19 pagina: 1 van 20
Algemeen Om de zestal vragen van de opgave niet-lineaire mechanica met behulp van het rekenprogramma Dr. rame te beantwoorden, is het onderstaande simpele portaal met belasting bedacht: Gegevens HEA 200 2 m 0,1 C HEA 200 D A = 5383 mm 2 I y = 3692 x 10 4 mm 4 W y;pl = 429,5 x 10 3 mm 3 h = 190 mm HEA 200 A HEA 200 Materiaalgegevens E = 210000 N/mm 2 f y;d = 235 N/mm 2 2 m Plastisch moment HEA 200 B M y,pl = W y;pl f y;d = 101 knm 5 m Normaalkracht HEA 200 N pl = A f y;d = 1265 kn Hieronder volgen een drietal opmerkingen met betrekking tot de gekozen belasting en geometrie van het portaal: 1. Het portaal wordt belast door zowel een horizontale als vertikale belasting, wat nodig is om het zogenaamde tweede-orde effect te kunnen bekijken. (zie vraag 1) 2. De vertikale belasting zal bij het bezwijkmechanisme met plastische scharnieren in C en D geen arbeid verricht, waardoor de plastische bezwijkbelasting onbepaald is. Door nu een horizontale belasting op het portaal te zetten, zal het portaal een bepaalde plastische bezwijkbelasting hebben. (zie vraag 3) 3. De profilering van alle staven is gelijk gekozen. Om er nu voor te zorgen dat de punten C en D niet tegelijkertijd het theoretisch plastisch moment M y;pl = 101 knm bereiken, is de lengte van kolom AC en BD ongelijk gekozen. Hierdoor kan in het last-verplaatsings-diagram aangegeven worden wanneer welke scharnier gaat vloeien. (zie vraag 3). (Opmerking: Wanneer de kolommen even lang zijn zullen C en D echter ook niet tegelijk gaan vloeien. Immers de normaalkracht in beide kolommen zal anders zijn) De bovenstaande opmerkingen worden nader uitgelegd bij de vraag, die tussen haakjes vermeld staat. pagina: 2 van 20
VRAAG 1 De horizontale verplaatsing in de punten C en D kan berekend worden met een zogenaamde eerste-orde elastische berekening, ook wel lineair elastische berekening genoemd. Hierbij wordt gekeken naar de evenwichtssituatie in onvervormde toestand. De horizontale verplaatsing in C en D zal in dit geval alleen bepaald worden door de grote van de horizontale belasting en is gelijk aan u 1. (zie onderstaande figuur). De grote van de vertikale belasting speelt in een lineair elastische berekening geen enkele rol voor het bepalen van de horizontale verplaatsing van de punten C en D. Let wel, de vertikale belasting is wel van belang voor de grootte van de normaalkracht in de beide kolommen. De horizontale verplaatsing in de punten C en D kan ook berekend worden met behulp van een tweede-orde elastische berekening, ook wel geometrisch niet lineaire berekening genoemd. Hierbij wordt gekeken naar de evenwichtssituatie in vervormde toestand. De horizontale verplaatsing in de punten C en D wordt in dit geval niet alleen bepaald door de horizontale belasting maar ook door de vertikale belasting en is gelijk aan u 2 (zie onderstaande figuur). De vertikale belasting veroorzaakt in deze situatie voor een extra verplaatsing. De horizontale verplaatsing u 2 in de punten C en D, berekend met behulp van de tweede-orde elastisch berekening, is dan ook groter dan de verplaatsing u 1, welke berekend is met de eerste-orde elastische berekening. Het verschijnsel dat een vertikale kracht de horizontale verplaatsing beïnvloedt, wordt het tweede-orde effect genoemd. Tussen de verplaatsingen u 1 en u 2 bestaat de volgende benadering, alleen in bijzondere gevallen exact: u 2 n = n - 1 u 1 waarin k n = De vergrotingsfactor n is gelijk aan de knikkracht van het portaal gedeeld door de vertikale belasting. In de onderstaande figuur is het verschil tussen de eerste- en tweede-orde berekening weergegeven 0,1 Vertikale belasting geen invloed op u 1 U 1, 0,1 Vertikale belasting wel invloed op u 2 U 2 Eerste-orde berekening: Evenwichtssituatie onvervormde toestand Tweede-orde berekening: Evenwichtssituatie vervormde toestand Een tweede-orde berekening levert dus grotere verplaatsingen op, wat uiteindelijk resulteert in grotere momenten in de kolommen en ligger. Een tweede-orde berekening levert dus naast grotere verplaatsingen ook grotere momenten in de staven. pagina: 3 van 20
DR. RAME Eerste-orde elastisch iguur 1: Verplaatsingen eerste-orde berekening met =500 kn. iguur 2: Momentenlijnen eerste-orde berekening met =500 kn. pagina: 4 van 20
Tweede-orde elastisch iguur 3: Verplaatsingen tweede-orde berekening met =500 kn. iguur 4: Momentenlijnen tweede-orde berekening met =500 kn. pagina: 5 van 20
Knikbelasting, tweede-orde elastisch Verplaatsingen iguur 5: Knikbelasting portaal, tweede-orde berekening. Uit de resultaten blijkt, geheel volgens verwachting, dat de eerste-orde verplaatsing u 1 kleiner is dan de tweede-orde verplaatsing u 2. De volgende verplaatsingen zijn berekend: Berekeningsmethode Horizontale verplaatsing punten C en D [mm] Eerste-orde elastisch u 1 = 37,3 mm (zie figuur 1) Tweede-orde elastisch u 2 = 52,6 mm (zie figuur 3) Controle: De tweede-orde verplaatsing u 2 kan ook berekend worden met behulp van de onderstaande formule: n k u2 = u1, waarin n = n - 1 Met: u 1 = 37,3 mm (zie figuur 3) = 500 kn u 2 = 53,6 52,6 mm (verschil circa 2 %) k = 1640 kn (zie figuur 5) Conclusie: Het tweede-orde effect vergroot de horizontale verplaatsing van de punten C en D. In dit geval neemt de horizontale verplaatsing zelfs toe met ruim 40 %. pagina: 6 van 20
Momenten Het tweede-orde effect zorgt ervoor dat de horizontale verplaatsingen toenemen, wat een toename van het maximale moment in de staven tot gevolg heeft. Uit de resultaten blijkt dan ook dat de momenten, berekend met de eerste-orde berekeningen, kleiner zijn dan de momenten, die berekend zijn met de tweede-orde berekeningen. De volgende momenten zijn berekend: Berekeningsmethode Maximaal moment ligger CD [knm] Eerste-orde elastisch M 1 = 77 knm (zie figuur 2) Tweede-orde elastisch M 2 = 108 knm (zie figuur 4) Conclusie: Het tweede-orde effect vergroot de maximale momenten in de staven. In dit geval neemt het maximale moment in de ligger CD toe met ruim 40 %. Knikbelasting portaal De knikbelasting voor het portaal is bepaald met behulp van het rekenprogramma Dr. rame door de belasting stapsgewijs te verhogen. Uit de resultaten blijkt dat het uitknikken van kolom BD maatgevend is voor de grootte van de knikbelasting van het portaal. Dit resultaat is geheel volgens verwachting aangezien kolom BD het zwaarst belast wordt, terwijl de systeemlengte van deze kolom het grootst is. Op het moment dat kolom BD uitknikt zal in dit geval het gehele portaal bezwijken. In figuur 5 is af te lezen dat de knikkracht k, waarbij kolom BD uitknikt en het gehele portaal bezwijkt, gelijk is aan 1640 kn. Conclusie: De knikbelasting van het portaal wordt bepaald door het uitknikken van kolom BD en is gelijk aan 1640 kn pagina: 7 van 20
VRAAG 2 Walsspanningen, initiële krommingen en onbedoelde excentriciteiten kunnen een belangrijke invloed hebben op de stijfheid en draagkracht van een portaal. Deze toevallige afwijkingen zouden eigenlijk in het model ingevoerd moeten worden, wat nogal arbeidsintensief is. De afwijkingen kunnen ook in rekening gebracht worden door middel van een truc, aangezien initiële spanningen en vormafwijkingen namelijk als belangrijkste effect hebben dat de stijfheid van een element wordt gereduceerd. Experimenteel is voor walsprofielen een functie bepaald waarmee de schijnbare reductie van de buigstijfheid door initiële spanningen en vormafwijkingen in rekening wordt gebracht. In de onderstaande figuur is deze functie, welke in het rekenprogramma Dr. rame is ingebouwd, te zien. EIeff / EI N/ N pl DR. RAME iguur 6: Schijnbare reductie buigstijfheid door initiële spanningen en vormafwijkingen. De tweede-orde elastische berekeningen van vraag 1 worden nu opnieuw uitgevoerd, terwijl de zogenaamde load dependent EI wordt aangevinkt. Wanneer Dr. rame rekent met de effectieve stijfheid in plaats van de werkelijke stijfheid, zoals in vraag 1, worden de initiële spanningen en vormafwijkingen automatisch in rekening gebracht, waardoor de werkelijkheid beter benaderd wordt. Door de nieuwe resultaten te vergelijken met de resultaten van vraag 1, kan de invloed van de gereduceerde stijfheid in kaart gebracht worden. pagina: 8 van 20
Tweede-orde elastisch met gereduceerde stijfheid iguur 7: Verplaatsingen tweede-orde berekening incl. gereduceerde stijfheid met =500 kn Knikbelasting, tweede-orde elastisch met gereduceerde stijfheid iguur 8: Knikbelasting portaal, tweede-orde berekening incl. gereduceerde stijfheid. pagina: 9 van 20
Verplaatsingen Uit de resultaten blijkt dat door het in rekening brengen van initiële spanningen en vormafwijkingen de maximale verplaatsing in de punten C en D groter is geworden. Een toename van de verplaatsing is ook te verwachten aangezien de stijfheid, van voornamelijk de kolommen, gereduceerd wordt. De reductie van de stijfheid kan bepaald worden met behulp van figuur 6. De gemiddelde optredende normaalkracht in kolommen is gelijk aan 500 kn (zie figuur 7), terwijl N pl gelijk is aan 1265 kn (zie figuur pagina 1). Voor N / N pl = 500/1265 = 0,40 kan afgelezen worden dat de factor EI eff / EI gelijk is aan 0,88. De verwachting is dan ook dat de verplaatsingen zullen toenemen met ongeveer 10 %. De volgende verplaatsingen zijn berekend: Berekeningsmethode Horizontale verplaatsing punten C en D [mm] Exclusief gereduceerde EI u = 52,6 mm (zie figuur 3) Inclusief gereduceerde EI u = 58,0 mm (zie figuur 7) Conclusie: Het in rekening brengen van initiële spanningen en vormafwijkingen door middel van een gereduceerde stijfheid zorgt ervoor dat de maximale verplaatsing vergroot wordt van 52,6 mm naar 58,0 mm, wat in dit geval een toename is van ruim 10 %. Door de toename van de maximale verplaatsing zal ook het maximale moment in het portaal toenemen. Knikbelasting portaal De knikbelasting voor het portaal is opnieuw bepaald met behulp van het rekenprogramma Dr. rame door de belasting stapsgewijs te verhogen. Uit de resultaten blijkt opnieuw dat het uitknikken van kolom BD maatgevend is voor de grootte van de knikbelasting van het portaal. Echter de knikkracht k, waarbij kolom BD uitknikt en het gehele portaal bezwijkt, is door de gereduceerde stijfheid aanzienlijk lager geworden, namelijk 920 kn (zie figuur 8). Dit is een afname van circa 45 %. De gereduceerde stijfheid heeft in dit geval dus een veel grotere invloed. Dit is te begrijpen wanneer de figuren 6 en 8 bekeken worden. De normaalkracht in de kolommen is nu aanzienlijk groter, waardoor de verhouding N / N pl groter is. Een grote verhouding N / N pl betekent een sterke reductie van de buigstijfheid, waardoor de knikbelasting in dit geval sterk is afgenomen. Conclusie: De gereduceerde stijfheid heeft een grote invloed op de knikbelasting van het portaal, deze neemt namelijk met circa 45 % af. De sterke reductie van de buigstijfheid wordt veroorzaakt door de hoge normaalkrachten in de kolommen. (zie ook figuur 6). pagina: 10 van 20
VRAAG 3 De plastische bezwijkbelasting van het relatief simpel portaal, waarin alle staven een volplastisch moment M p hebben dat gelijk is aan 101 knm, kan vrij eenvoudig met de hand uitgerekend worden. Het portaal is 1-voudig statisch onbepaald, zodat er ten hoogste 1+1=2 plastische scharnieren nodig zijn om een bezwijkmechanisme te vormen. In de punten C en D kunnen plastische scharnieren ontstaan, waardoor het aantal bezwijkmechanisme voor dit portaal gelijk is aan één, zie onderstaande figuur. C u D u 2 m 0,1 θ M p M p M p M p A ½ θ 2 m M p = 101 knm B 5 m iguur 9: Bezwijkmechanisme met plastische scharnieren in C en D. Het rotatiecentrum van staaf CD ligt op het snijpunt van de pendel -richtingen van de staven AC en BD. Dit rotatiecentrum ligt dus in het oneindige, doordat de staven AC en BD evenwijdig aan elkaar lopen. Staaf CD transleert uitsluitend en roteert dus niet. De punten C en D verplaatsen beide over dezelfde afstand u, zodat de rotatie van AC tweemaal die van staaf BD is. In de bovenstaande figuur zijn de plaats en richting van de volplastische momenten aangegeven. De virtuele arbeid geeft: δa = - M p δθ - M p 0 - M p 0 - M p ½ δθ + 2 0 + 0,1 2 δθ = 0 ---------- ------------------ ------------ -------------------------------- staaf AC CD BD belasting De vertikale belasting verricht dus géén arbeid zodat alleen de horizontale belasting arbeid verricht. De bezwijkbelasting is nu gelijk aan: p 3 M = 2 0,2 p 3 101 = 2 = 758 kn 0,2 Opmerking: In deze berekening is de invloed van de normaalkracht op het plastisch moment verwaarloosd. pagina: 11 van 20
DR. RAME In de knooppunten C en D worden nu plastische scharnieren gedefinieerd, waarna de belasting stapsgewijs wordt opgevoerd totdat de bezwijkbelasting van het portaal bereikt wordt. De bezwijkbelasting wordt bereikt op het moment dat in de beide knooppunten het volplastisch moment van 101 knm ontstaat. Gezien de geometrie van de constructie zal in knooppunt C het eerste volplastisch moment ontstaan, waarna in een later stadium in knooppunt D het volplastisch moment ontstaat, zodat er een bezwijkmechanisme gevormd is. Deze berekening is een eerste-orde berekening waarbij zowel de versteviging van het staal als de gereduceerde stijfheid uitgezet is. Last-verplaatsingsdiagram In de onderstaande figuur is de last-verplaatsingsdiagram te zien van de eerste-orde plastische berekening zonder versteviging en gereduceerde stijfheid. Last-verplaatsingsdiagram plastische berekening 800 760 720 680 640 600 560 520 480 440 400 360 320 280 240 200 160 120 80 40 0 Kracht [kn] = 751 kn vloei scharnier D = 649 kn vloei scharnier C 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 Horizontale verplaatsing punt C en D [mm] Eerste-orde plastische berekening, zonder versteviging, zonder gereduceerde stijfheid Uit de bovenstaande grafiek volgt dat het eerste scharnier zijn volplastisch moment bereikt bij =649 kn, terwijl het tweede scharnier bij = 751 kn zijn volplastisch moment bereikt. Bij het verhogen van de belasting van 649 kn naar 751 kn blijft pagina: 12 van 20
het moment in scharnier C steeds gelijk aan het volplastisch moment. Tegelijkertijd neemt het moment in knooppunt D langzaam toe totdat ook daar het volplastisch moment bereikt wordt. In dit traject vindt er herverdeling van krachten plaats. Op het moment dat het tweede scharnier gaat vloeien zal de constructie bezwijken. Hieruit volgt dat de bezwijkbelasting p voor het portaal gelijk is aan 751 kn. De bezwijkbelasting berekent met behulp van Dr. rame is nagenoeg gelijk aan de bezwijkbelasting welke met een handberekening bepaald is. Vergelijking van beide bezwijkbelastingen laat zien dat het verschil kleiner is dan 1 %. (Dr. rame: p = 751 kn, handberekening: p = 758 kn ) pagina: 13 van 20
VRAAG 4 In de voorgaande berekening is uitgegaan van lineair elastisch ideaal plastisch materiaalgedrag. Dit houdt in dat de capaciteit van het materiaal zodra het gaat vloeien onveranderd blijft. Anders gezegd treedt er bij dit materiaalgedrag geen versteviging op. Tijdens de berekening was dit materiaalgedrag duidelijk te zien in knooppunt C van het portaal. Het volplastisch moment in knooppunt C wordt bereikt bij een belasting = 649 kn, zodat het knooppunt gaat vloeien. Bij het verhogen van de belasting tot de bezwijkbelasting blijft het moment in C gelijk aan het volplastisch moment en blijft dus onveranderd. Er treedt hier geen versteviging op. Om de invloed van versteviging van het staal te bekijken wordt er nu opnieuw een eerste-orde plastische berekening uitgevoerd waarbij rekening gehouden wordt met versteviging van het materiaal. Hierdoor zal het materiaal in het plastische gebied sterker worden, zodat de verwachting is dat het moment in knooppunt C groter wordt dan het volplastisch moment. Tevens zullen de vervormingen in het plastische gebied kleiner zijn en zal de uiteindelijke bezwijkbelasting groter zijn. DR. RAME Last-verplaatsingsdiagram Last-verplaatsingsdiagram plastische berekening 800 760 720 680 640 600 560 520 480 440 400 360 320 280 240 200 160 120 80 40 0 Kracht [kn] = 803 kn vloei scharnier D Plastisch gebied = 751 kn = 649 kn vloei scharnier C Elastisch gebied 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 Horizontale verplaatsing punt C en D [mm] Eerste-orde plastische berekening, zonder versteviging, zonder gereduceerde stijfheid Eerste-orde plastische berekening, met versteviging, zonder gereduceerde stijfheid pagina: 14 van 20
Uit de grafiek op de vorige pagina blijkt het volgende: 1. In het elastische gebied is er geen verschil tussen de eerste-orde plastische berekening met en zonder versteviging. Dit is logisch aangezien versteviging alleen optreedt bij plastische vervorming. 2. Bij een gelijke kracht is de verplaatsing bij materiaal met versteviging kleiner dan bij materiaal zonder versteviging. Dit is te verklaren uit het feit dat materiaal met versteviging in het plastische gebied sterker wordt, dit materiaal heeft als het ware nog een reserve. Doordat het materiaal sterker wordt, zullen de verplaatsing die optreden bij een bepaalde kracht kleiner worden. 3. De bezwijklast voor het materiaal met versteviging is groter dan bij het materiaal zonder versteviging. Net als bij punt 2 is dit te verklaren doordat het materiaal met versteviging in het plastische gebied sterker wordt. De bezwijklast neemt in dit geval toe van =751 kn naar =803 kn, wat een toename is van circa 7 %. In de onderstaande figuur zijn de momentenlijnen in de staven te zien net voor bezwijken. Geheel volgens de verwachting is het moment in knooppunt C groter dan het volplastisch moment van 101 knm. In de onderstaande figuur is te zien dat het moment is toegenomen tot 110 knm iguur 10: Momentenlijnen staven, eerste-orde plastische berekening met versteviging Het tweede-orde effect, waarbij de vertikale belasting de horizontale verplaatsing beïnvloedt, zorgt ervoor dat de horizontale verplaatsingen vergroot worden, met als gevolg dat ook de momenten in de staven groter worden. Hierdoor zullen de knooppunten C en D eerder hun volplastisch moment bereiken, wat inhoud dat het portaal dus eerder zal bezwijken. Om de invloed van het tweede-orde effect te zien wordt een nieuwe berekening uitgevoerd, namelijk een tweede-orde plastische berekening zonder versteviging en gereduceerde stijfheid. pagina: 15 van 20
DR. RAME Last-verplaatsingsdiagram In de onderstaande figuur zijn de last-verplaatsingsdiagrammen te zien van zowel de eerste-orde als tweede-orde plastische berekening zonder versteviging en gereduceerde stijfheid. Last-verplaatsingsdiagram plastische berekening 800 760 720 680 640 600 560 520 480 440 400 360 320 280 240 200 160 120 80 40 0 Kracht [kn] = 751 kn vloei scharnier D = 649 kn vloei scharnier C = 476 kn vloei scharnier C 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 Horizontale verplaatsing punt C en D [mm] Eerste-orde plastische berekening, zonder versteviging, zonder gereduceerde stijfheid Tweede-orde plastische berekening, zonder versteviging, zonder gereduceerde stijfheid Uit de bovenstaande figuur is duidelijk de invloed van het tweede-orde effect te zien, namelijk een sterke reductie van de bezwijklast. De bezwijklast neemt, in vergelijk met de eerste-orde berekening, af van =751 kn naar =476 kn. Het blijkt dus dat, zodra scharnier C begint te vloeien, het evenwicht van de vervormde toestand instabiel wordt, met als gevolg dat het portaal bezwijkt. De bezwijkbelasting wordt dus al bereikt, voordat een volledig mechanisme is ontstaan. Met andere woorden: de elementaire bezwijkbelasting wordt gereduceerd als gevolg van tweede-orde effecten. pagina: 16 van 20
VRAAG 5 De maximale belasting max, waarbij de constructie bezwijkt, kan geschat worden uit de kniklast knik en de eerste-orde plastische bezwijklast plastisch. Hiervoor geldt de onderstaande formule, ook wel de formule van Merchant genoemd: 1 max = 1 plastisch Om te controleren hoe nauwkeurig de bovenstaande formule is voor het gekozen portaal, wordt voor een aantal gevallen de maximale berekende bezwijklast en geschatte bezwijklast met elkaar vergeleken. Hieronder volgt nog eenmaal de lastverplaatsingsdiagrammen van zowel de eerste-orde als tweede-orde plastische berekeningen. Hieruit kan uiteindelijk vrij eenvoudig zowel de maximale bezwijklast max ( tweede-orde plastische berekening) als de eerste-orde plastische bezwijklast plastisch afgelezen worden. DR. RAME Last-verplaatsingsdiagram + 1 knik Last-verplaatsingsdiagram plastische berekening 800 760 720 680 640 600 560 520 480 440 400 360 320 280 240 200 160 120 80 40 0 Kracht [kn] max = 476 kn max = 465 kn plastisch = 803 kn plastisch = 751 kn 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 Horizontale verplaatsing punt C en D [mm] Eerste-orde plastische berekening, zonder versteviging, zonder gereduceerde stijfheid Eerste-orde plastische berekening, met versteviging, zonder gereduceerde stijfheid Tweede-orde plastische berekening, met/zonder versteviging, zonder gereduceerde stijfhei Tweede-orde plastische berekening, met/zonder versteviging, met gereduceerde stijfheid pagina: 17 van 20
In de onderstaande tabel is een overzicht gegeven waarin de maximale belasting, welke berekend is met behulp van Dr. rame, vergeleken wordt met de maximale belasting berekend met behulp van de formule van Merchant. Situatie geen versteviging geen gereduceerde EI geen versteviging wel gereduceerde EI wel versteviging geen gereduceerde EI wel versteviging wel gereduceerde EI max [kn] knik [kn] plastisch [kn] Dr. rame 1) Merchant Verschil zie vraag1 en 2. eerste-orde 2) 476 515 +8 % 1640 751 465 413-11 % 920 751 476 539 +13 % 1640 803 465 429-8 % 920 803 Opmerking: 1) Voor het bepalen van max met behulp van een tweede-orde berekening in Dr. rame maakt het in dit geval niet uit of de versteviging van het staal wel of niet meegenomen wordt. Het blijkt dat zodra scharnier C het volplastisch moment bereikt, het gehele portaal bezwijkt. De bezwijkbelasting wordt al bereikt voordat een volledig mechanisme is ontstaan. In scharnier C zal hierdoor geen enkele plastische vervorming optreden. Hierdoor is de maximale belasting onafhankelijk van de versteviging. 2) Voor het bepalen van plastisch met behulp van een eerste-orde berekening in Dr. rame is het niet mogelijk om met een gereduceerde stijfheid te rekenen, waarmee de initiële spanningen en vormafwijkingen in rekening worden gebracht. Aangezien de gereduceerde stijfheid niet lineair afhankelijk is van de normaalkracht in de staven wordt dit verschijnsel dus gemodelleerd als fysisch niet-lineair gedrag welke in een eerste-orde plastische berekening niet meegenomen kan worden. Conclusie: Uit de bovenstaande tabel blijkt dat de formule van Merchant een redelijke schatting geeft voor de maximale bezwijklast max. De afwijking tussen de bezwijklasten max, welke berekend zijn met behulp van een tweede-orde plastische berekening in Dr. rame en met behulp van de formule van Merchant, is in de ordergrootte van 10 %. pagina: 18 van 20
VRAAG 6 Voor het beoordelen van de ductiliteit is het nodig om gebruik te maken van een ander rekenmodel. Het huidige rekenmodel wordt instabiel zodra het volplastisch moment in C bereikt wordt. Hierdoor is het niet mogelijk om te bepalen welke verplaatsing de punten C en D ondergaan na het bereiken van de maximale belasting max. Zodoende kan de ductiliteit van het portaal niet beoordeeld worden. Rekenmodel ductiliteit De belangrijkste parameter om het gedrag van het portaal te beschrijven is de horizontale verplaatsing in de punten C en D. Door in het punt C een roloplegging te definiëren, kan de horizontale verplaatsing in dit punt relatief eenvoudig voorgeschreven worden. Hiermee kan voorkomen worden dat het rekenmodel instabiel wordt zodra het punt C zijn volplastisch moment bereikt. Hieronder is het rekenmodel te zien, welke gebruikt is om te bepalen wat er gebeurt na het bereiken van de maximale belasting max. C HEA 200 D 2 m HEA 200 A HEA 200 2 m B 5 m Werkwijze bepalen last-verplaatsingsdiagram 1. Dubbelklikken roloplegging punt C, zodat een waarde ingevoerd kan worden voor de horizontale verplaatsing. (voorgeschreven verplaatsing). 2. De verticale krachten in de punten C en D zodanig aanpassen dat geldt dat de horizontale reactiekracht in punt C gelijk is aan 0,1 x. Bij de voorgeschreven verplaatsing kan op deze wijze de bijbehorende kracht gevonden worden. 3. De horizontale verplaatsing van punt C stapsgewijs verhogen en de stappen 1 en 2 herhalen om zodoende genoeg punten te krijgen voor een lastverplaatsingsdiagram. Het uiteindelijk gevonden last-verplaatsingsdiagram is te zien op de volgende pagina. pagina: 19 van 20
Last-verplaatsingsdiagram t.b.v. ductiliteit Last-verplaatsingsdiagram plastische berekening 500 475 450 425 400 375 350 325 300 275 250 225 200 175 150 125 100 75 50 Kracht [kn] = max = 464 kn scharnier C vloeit = 428 kn scharnier D vloeit 25 0 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500 Horizontale verplaatsing punten C en D [mm] Tweede-orde plastische berekening, met versteviging en gereduceerde stijfheid t.b.v. ductiliteit De maximale bezwijkbelasting max is gelijk aan 464 kn. Uit de bovenstaande figuur blijkt dat de belasting, waarbij het portaal in evenwicht is, direct na het bereiken van de maximale belasting afneemt. In dit traject is het evenwicht labiel, aangezien de belasting moet afnemen teneinde bij voortschrijdende uitwijking u het evenwicht te handhaven. pagina: 20 van 20