Portfolio-optimalisatie

Portfolio-optimalisatie Abdelhak Chahid Mohamed, Tom Schotel 28 februari 2013

Voorwoord Dit dictaat is geschreven ter voorbereiding op de presentatie van 5 maart die gegeven zal worden door twee adviseurs bij Ernst & Young. Ernst & Young is een internationaal opererend bedrijf dat zich onder andere bezig houdt met accountancy en belastingadvies. We zullen ons richten op de wiskunde gebruikt door de risicomanagement-tak van het bedrijf, waar vooral mensen werken met een achtergrond in econometrie, wiskunde, bedrijfswiskunde, statistiek en (bedrijfs)economie.

Inhoudsopgave 1 Inleiding 4 2 Portfolio-theorie in twee effecten 6 3 Algemenere portfolio s 9 4 Opgaven 11 5 Bronvermelding 12 3

1 Inleiding Op de effectenbeurs worden effecten zoals aandelen en obligaties verhandeld. Investeringen in zulke effecten kunnen in twee brede categorieën ingedeeld worden: risicovolle en riscovrije investeringen. Bij risicovolle investeringen kan gedacht worden aan aandelen of opties, en bij risicovrije investeringen aan staatsobligaties of geld dat op een spaarrekening gezet wordt tegen rente. Algemeen gezegd is van een risicovrije investering is de toekomstige waarde (vrijwel) zeker, terwijl de toekomstige waarde van een risicovolle investering niet gegarandeerd is. We zullen in dit hoofdstuk de benodigde concepten introduceren aan de hand van de specifieke situatie dat er twee effecten verhandeld worden op de beurs. We lichten de intuïtie achter de begrippen enigszins toe en geven een aantal voorbeelden. In het volgende hoofdstuk zullen we naar een algemenere situatie kijken en staan ook enkele bewijzen centraal. Voorbeeld 1.1. Stel dat op de beurs twee aandelen A en B verhandeld worden. Een investeerder bezit een bedrag van W 0 en wil dit hele bedrag investeren. De vraag die we later zullen onderzoeken is hoeveel hij het best in ieder aandeel kan investeren. Zij x A en x B het aantal aandelen A respectievelijk B dat gekocht wordt. We zeggen dat het paar (x A, x B ) een zogenaamde portfolio vormt. De waarde van aandelen kan veranderen met de tijd; we geven dit weer door S A (t) en S B (t) te schrijven voor de waarde van aandeel A respectievelijk B op tijdstip t. Hieruit volgt dat de totale waarde van de portfolio op tijdstip t gelijk is aan V (t) := x A S A (t) + x B S B (t). We zullen in deze paragraaf onder andere onderscheid maken tussen slechts twee tijdsperiodes: tijdstip t = 0 en tijdstip t = 1. De zogenaamde portfolio-gewichten w i van effect i geven we aan met w i = x is i (0) V (0) Deze gewichten geven aan hoeveel relatief geïnvesteerd is in effect i. In het bijzonder is de teller gelijk aan het totale bedrag dat in effect i is geïnvesteerd. De som van al zulke proporties is vanzelfsprekend 1, wat ook in te zien is als volgt: 4

w A + w B = x AS A (0)+x B S B (0) V (0) = V (0) V (0) = 1 We maken nu enkele aannames over de aandelenmarkt: Aanname 1.1. De prijs van een aandeel op tijdstip t = 1 is een random variable met minstens twee verschillende waarden en hoogstens eindig veel waarden. De toekomstige prijs A(1) van een risicovrije belegging op tijdstip t = 1 is een bekend getal. Aanname 1.2. Alle prijzen die we beschouwen zijn strikt positief, A(t) > 0 en S(t) > 0 voor t = 0, 1. Aanname 1.3. Een investeerder iedere gewenste hoeveelheid x effecten bezitten, d.w.z. If x R. Merk op dat de laatste aanname bijvoorbeeld impliceert dat men ook een negatieve hoeveelheid aandelen kan bezitten. Het is bijvoorbeeld mogelijk om een aandeel te short-sellen. Hierbij leent een investeerder een aandeel en verkoopt het direct, waarna op een later tijdstip het aandeel teruggekocht en teruggegeven wordt. Als het aandeel gedaald is, zal de investeerder voor een lagere prijs het aandeel terug kunnen kopen, en dus winst maken. Als het aandeel gestegen is, zal de investeerder echter het aandeel tegen een hogere prijs moeten kopen en verlies maken. Stel dat bank A in New York voor elke Britse pond 1,62 dollar wil betalen, terwijl bank B ponden verkoopt voor 1,60 dollar per pond. Neem in deze specifieke situatie aan dat zonder rente te betalen geld geleend kan worden. Een investeerder zou door geld te lenen, ponden in te kopen bij bank B en ze te verkopen aan bank A winst kunnen maken zonder enig risico te lopen op verlies. Dit komt erop neer dat de banken geld weggeven. De mogelijkheid om geld te verdienen zonder begininvestering noemen we arbitrage. Als zo n situatie voor zou komen zou door de toenemende vraag de wisselkoers weer in evenwicht gebracht worden, waardoor zulke situaties in werkelijkheid slechts zeer kort duren. We doen dan ook de volgende Aanname 1.4. In de aandelenmarkt komt geen arbitrage voor, d.w.z. er is geen portfolio met V (0) = 0 en V (1) > 0 met positieve kans. 5

2 Portfolio-theorie in twee effecten We zullen nu een aantal begrippen invoeren die een maat geven van de winstgevendheid van een investering. Definitie 2.1. De rate of return K C van een aandeel C tussen periode t = 0 en t = 1 definiëren we als de random variable K C (0, 1) := S C(1) S C (0). S C (0) De rate of return is te interpreteren als de winst (of verlies) per euro die geïnvesteerd is. Op soortgelijke wijze: Definitie 2.2. De rate of return K A van een risicovrije belegging C tussen periode t = 0 en t = 1 definiëren we als het getal K C (0, 1) := A C(1) A C (0). A C (0) Definitie 2.3. De logarithmic return k C van een aandeel C tussen periode t = 0 en t = 1 definiëren we als de random variable k C (0, 1) := ln S C(1) S C (0) Definitie 2.4. De logarithmic return k A van een risicovrije belegging C tussen periode t = 0 en t = 1 definiëren we als het getal k C (0, 1) := ln A C(1) A C (0) De logarithmic return heeft de wiskundig handige eigenschap dat hij additief is, d.w.z. k C (k, k + 2) = k C (k, k + 1) + k C (k + 1, k + 2) voor alle k N. De logarithmic return over een grotere periode kan dus gevonden worden door de logarithmic returns over de periodes waaruit hij bestaat bij elkaar op te tellen. Voorbeeld 2.1. Stel dat we 10000 euro willen investeren, d.w.z. W 0 = $10000. Op de markt kunnen we een obligatie kopen voor A(0) = 100 6

die A(1) = 110 waard zal zijn op tijdstip t = 1. Ook kunnen we een aandeel kopen voor S(0) = 80 dat op tijd t = 1 waard zal zijn: { 100 met kans 0.8 S(1) = 60 met kans 0.2 Stel verder dat we 50 aandelen en dus 60 obligaties kopen. Dan is de waarde van onze portfolio op tijdstip t = 1: { 11600 als het aandeel stijgt V (1) = 9600 als het aandeel daalt en de rate of return is { 0.16 als het aandeel stijgt K p (0, 1) = 0.04 als het aandeel daalt De verwachtingswaarde van de return is nu E(K V ) = 0.16 0.8 0.04 0.2 = 0.12, oftwel 12%. Het risico van deze investering is definiëren we als de standaardafwijking σ V van de random variable K V, in dit geval σ V = (0.16 0.12) 2 0.8 + ( 0.04 0.12) 2 0.2 = 0.08 We zullen dit vergelijken met een andere portfolio. Als we 0 aandelen en 100 obligaties kopen, dan is de hele investering risicovrij. We weten dan zeker dat K A = 0.1 en het risico van de investering is σ V = 0. Als er de keuze is tussen twee portfolio s met dezelfde verwachtingswaarde zullen veel investeerders de voorkeur geven aan de investering met het minste risico. Een gokker zou liever kiezen voor een portfolio die 50% kans geeft op 100 euro winst en 50% kans op 100 euro verlies, terwijl de investeerder liever geen risico loopt en niets investeert. Andersom zal vaak bij twee portfolio s met hetzelfde risico de voorkeur gegeven worden aan de investering met de hoogste verwachtingswaarde. Dit brengt ons tot de volgende aanname en definities: Aanname 2.1. Investeerders zijn risico-avers, oftewel: gegeven de keuze tussen twee beleggingen met dezelfde verwachtingswaarde zullen ze de belegging met het minste risico prefereren. Definitie 2.5. We zeggen dat een effect S 1 met verwachtingswaarde µ 1 en standaardafwijking σ 1 een ander effect S 2 met verwachtingswaarde µ 2 en standaardafwijking σ 2 domineert als µ 1 µ 2 en σ 1 σ 2 7

Definitie 2.6. Een portfolio heet efficiënt als er geen portfolio is (behalve de portfolio zelf) die de portfolio domineert. De verzameling van alle mogelijke efficiënte portfolio s noemen we de efficient frontier. Een efficiënte portfolio heeft de hoogste verwachte return van alle mogelijke portfolio s met dezelfde standaardafwijking (risico). Een rationele investeerder zal altijd voor een efficiënte portfolio kiezen, maar welke portfolio hij kiest zal afhangen van zijn persoonlijke voorkeur. Hij zal bijvoorbeeld de voorkeur kunnen geven aan een portfolio met een hoge verwachtingswaarde en een hoog risico in plaats van een portfolio met een lage verwachtingswaarde en een laag risico. Stelling 2.1. De return K V op een portfolio (x 1, x 2 ) wordt gegeven door K V = w 1 K 1 + w 2 K 2, waar K i de return is op effect i. Bewijs: er geldt dat V (0) = x 1 S 1 (0) + x 2 S 2 (0) en V (1) = x 1 S 1 (0)(1 + K 1 ) + x 2 S 2 (0)(1 + K 2 ) dus = V (0)(w 1 (1 + K 1 ) + w 2 (1 + K 2 )), K V = V (1) V (0) V (0) = w 1 K 1 + w 2 K 2. Gevolg: E(K V ) = w 1 E(K 1 ) + w 2 E(K 2 ) Stelling 2.2. De variantie σv 2 van de return K V van een portfolio (x 1, x 2 ) wordt gegeven door σ 2 V := Var(K V ) = w 2 1 Var(K 1) + w 2 2 Var(K 2) + 2w 1 w 2 Cov(K 1, K 2 ), waar K i de return is op effect i. Bewijs: we gebruiken de vorige stelling en de lineariteit van de covariantie: Var(K V ) = Cov(K V, K V ) = Cov(w 1 K 1 + w 2 K 2, w 1 K 1 + w 2 K 2 ) = w 2 1Var(K 1 ) + w 2 2Var(K 2 ) + 2w 1 w 2 Cov(K 1, K 2 ). 8

Stelling 2.3. Als voor een portfolio (x 1, x 2 ) geldt dat x 1 0, x 2 0 (shortselling is niet toegestaan) dan σv 2 van de portfolio niet groter zijn dan de variantie van de return van zijn componenten, m.a.w σv 2 max{σ2 1, σ2 2.} Bewijs: neem zonder verlies van algemeenheid aan dat σ1 2 σ2 2. Omdat w 1, w 2 0, is w 1 σ 1 + w 2 σ 2 (w 1 + w 2 )σ 2 = σ 2. Omdat voor de correlatiecoëfficient ρ 12 := Cov(K 1,K 2 ) σ 1 σ 2 geldt dat 1 ρ 12 1 (dit is een standaardresultaat uit de kansrekening), volgt dat σ 2 V = w 2 1σ 2 1 + w 2 2σ 2 2 + 2w 1 w 2 ρ 12 σ 1 σ 2 w 2 1σ 2 1 + w 2 2σ 2 2 + 2w 1 w 2 σ 1 σ 2 =(w 1 σ 1 + w 2 σ 2 ) 2 σ 2 2. 3 Algemenere portfolio s Definitie 3.1. Een portfolio is een vector (x 1 (t),..., x n (t)), waarbij x i (t) het aantal van effect i is dat een investeerder op tijdstip t bezit. De waarde van effect i op tijdstip t geven we aan met S i (t). De waarde van een portfolio van n effecten op tijdstip t is V (t) := n i=1 x is i (t). Het portfoliogewicht w i van effect i definiëren we als w i := x is i (0) V (0). Definieer 1 := (1,..., 1) als de vector met 1 op alle n posities. Zetten we de gewichten in een vector w = (w 1,..., w n ), dan geldt vanwege het feit dat de som van alle gewichten 1 moet zijn dat 1 = 1 w T. Definieer µ i := E(K i ) als de verwachte return van effect i en definieer m := (µ 1,..., µ n ). De covarianties tussen returns zullen we aangeven met c ij = Cov(K i, K j ) en we zullen deze schrijven in een n n covariantie-matrix c 1,1 c 1,2 c 1,n c 2,1 c 2,2 c 2,n C n,n =....... c n,1 c n,2 c n,n We nemen aan dat deze matrix een een inverse heeft. 9

Stelling 3.1. De verwachte return µ V := E(K V ) van een portfolio en de variantie van de return σv 2 := V ar(k v) van een portfolio met gewichtsvector w zijn gegeven door µ V = m w T, σ 2 V = wc wt. Bewijs: de identiteit voor µ v volgt uit de lineariteit van de verwachtingswaarde: µ V = E(K V ) = E( n i=1 w ik i ) = n i=1 w iµ i = m w T Voor σ 2 V zullen we gebruik maken van de lineariteit van de covariantie: σ 2 V = Var(K V ) = Var( = Cov( = n w i K i, i=1 n w i K i ) i=1 n w j K j ) j=1 n w i w j c ij = wc w T. i,j=1 We bepalen nu de portfolio met de kleinste variantie van alle mogelijke portfolio s, die de minimum variance portfolio heet. Daarna bepalen we de portfolio vinden met de kleinste variantie van alle portfolio s met een specifieke verwachte return µ V, die de minimum variance line heet. Stelling 3.2. De portfolio met de kleinste variantie σ V portfolio s heeft gewichten van alle mogelijke w = 1C 1 1C 1, aannemende dat de noemer niet gelijk is aan 0. 1T Bewijs: we minimaliseren F ( w) := σv 2 = wc wt onder de voorwaarde dat 1 = 1 w T. We zullen de Lagrangemultiplicatormethode gebruiken. Laat F (w, λ) := wc w T λ 1 w T, waar λ een Lagrange-multiplicator is. Gelijkstellen aan 0 van de partiële afgeleiden van F geeft 2 wc λ 1 = 0, waaruit volgt dat w = λ 2 1C 1. Substitueren in de vergelijking van de voorwaarde geeft 1 = λ 2 1C 1 1 T waarin we het feit gebruiken dat C 1 een symmetrische matrix is, omdat C dat ook is. Na oplossen voor λ in w = λ 2 1C 1 volgt na substitie van λ de 10

gevraagde formule. Stelling 3.3. De portfolio met de kleinste variantie σ V van alle mogelijke portfolio s met verwachte return µ V heeft gewichten w = 1 1C 1 m T µ V mc 1 m T 1C 1 1 T 1C 1 + mc 1 1 T 1C 1 1 T 1 mc 1 1 T µ V 1C 1 m T mc 1 m T mc 1 aannemende dat de determinant in de noemer niet gelijk is aan 0. Bewijs: we minimaliseren F ( w) := σv 2 = wc wt onder de voorwaarden dat 1 = 1 w T en µ V = m w T. De rest van het bewijs is soortgelijk aan het bovenstaande en vermelden we hier niet. 4 Opgaven Opgave 1: Laat zien dat de conclusie van Stelling 2.3 niet hoeft te gelden als shortselling is toegestaan. Opgave 2: Download het Excelbestand met de dataset. In deze dataset zijn de zogenaamde closing prices van tien aandelen gegeven, de prijzen aan het einde van de handelsdag (met dank aan Hans Hellemons). a) Bereken de logarithmic returns voor elke week (behalve de eerste) voor elk aandeel. b) Bereken de covariantiematrix van de portfolio (gebruikmakend van de log returns berekend bij onderdeel a). Hint: gebruik de functie COVAR. c) Bereken de gemiddelde returns voor elk aandeel. Lever het Excel-document dat je hebt gemaakt in inclusief uitwerkingen., 11

5 Bronvermelding Modern portfolio theory, 1950 to date (Edwin J. Elton, Martin J. Gruber, 1997) An introduction to Modern Portfolio Theory - Markowitz, CAP-M, APT and Black-Litterman (Dr. Graeme West, 2006) Mathematics for Finance: An Introduction to Financial Engineering (Marek Capinski, Tomasz Zastawniak, 2003) Bank balance sheet optimization (H.J.A. Hellemons, 2012) Landsberger, J. (n.d.). Citing Websites. In Study Guides and Strategies. Retrieved May 13, 2005, from http://www.studygs.net/citation.htm. Modern Portfolio Theory (toegankelijk via http://cgi.di.uoa.gr/ vassilis/aee/mpttextbook.pdf op 28 februari 2013) Introduction to Portfolio Theory (toegankelijk via http://faculty.washington.edu/ezivot/econ424/ introductionportfoliotheory.pdf op 28 februari 2013) 12