GONIOMETRIE MAAR DAN ANDERS
Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 3 Docentenhandleiding... 5 BIJLAGEN... 10 Goniometrie, leerling blad 1... 10 INTRODUCTIE sinusoïde... 11 WISKUNDIGE DENKACTIVITEIT GONIOMETRIE... 13 TOETSVRAAG OVER SINUSOIDE... 15 2
Achtergrondinformatie Auteurs: John de Groot; e- mail: J.deGroot@pallasathenecollege.nl Yassine Kessar; e- mail: y.kessar@atscholen.nl Arjan Otterspeer; e- mail: osa@vanlodenstein.nl Mirjam Remmelink; e- mail: m.remmelink@pascalcollege.org Jacoliene van Wijk; e- mail: wyk@hetbaarnschlyceum.nl Waaruit bestaat het materiaal? Het materiaal is een "docentenhandleiding" met aanvullende materiaal daarin ter aanvulling/vervanging op hoofdstuk, Goniometrie, van G&R 4-5 Wiskunde B VWO. Wat was de aanleiding om dit te ontwerpen? De auteurs voelden zich ongelukkig bij de gekozen volgorde in het hoofdstuk van G&R; ze waren het niet eens met "formules geven" zonder bewijs. (Bijvoorbeeld de som- formules: die kunnen zo mooi afgeleid worden, en die worden er bij G&R zomaar 'ingegooid'). Daarnaast scoren leerlingen slecht. De auteurs wilden ook meer toepassingen in het materiaal, en meer combinatie met meetkunde. Wat zijn de ervaringen met dit materiaal? Een voorwaarde voor het uitproberen is het lezen van de achtergrondartikelen die de auteurs bijleveren: Vakantiecursus 2012: Een GeoGebra- ondersteunde benadering van sinus en cosinus, door André Heck, Universiteit van Amsterdam (2 documenten) ERVARINGEN BIJ DE INTRODUCTIE VAN PERIODIEKE BEWEGINGEN, deel 3 Lesson Study, een artikel van Nelly Verhoef en Mark Timmer in Euclides 88-4. Onderdelen van het materiaal (bv. het werken met de 'eenheidsvierhoek') zijn uitgeprobeerd. Wat zijn de aanbevelingen voor verdere ontwerpen? Het losse materiaal samenvatten tot leerlingmateriaal; daarnaast nog een toets maken Verder onderzoek: er is niet heel veel literatuur over waarom dit nu zo'n moeilijk onderwerp is, waarom het misgaat, wat er in de hoofden gebeurt. Doelgroep: VWO wiskunde B Wiskunde A: vier stappen Wiskunde B 4-5 Getal en Ruimte, VWO: literatuur, achtergrond. Opbouw Stappen: 0. advies: cirkel op meerdere manieren laten passeren: punten op gelijke afstand van een punt, cirkel als wortel (getal - x kwadraat ), wat betekent pi, benoemen van periodieke functies,... 1. Tekening van vierkant naar 30 hoek, Geogebra applets Film, x en y apart de sinus en de cosinus. 3
2. SOSCASTOA + rekenregels, "low threshold, high ceiling" 1, somformules naar verdubbelingsformules, formuleblad examen. Minimale winst: onthouden dat de sinus de y richting is en de cosinus de x- richting. Maximale winst: het kunnen bewijzen van de regels die in het boek staan. 3. Paragraaf.1 4. Paragraaf.3 + opgave getijdentabel 5. Paragraaf.4. Paragraaf.2 7. Paragraaf.5 8. Toetsing opgave, onderdeel 7 Feedback door/via: Module voor de betasterren maken Master wiskunde, onderzoeksvoorstel, praktijkonderzoek, 2-3 lessen draaien Leerlingen die verticaal door de stof heen gaan 1 "Low threshold, high ceiling"- taken zijn geschikt voor de meeste leerlingen: ze hebben ingebouwde ondersteuning voor degenen voor wie dat nodig is, maar ze bieden tevens veel uitdaging voor degenen die dat nodig hebben. 4
Docentenhandleiding Lesmodule aansluitend/vervangend bij hoofdstuk Goniometrische functies, Getal en Ruimte Voorkennis: Exacte waarden van goniometrische verhoudingen Sluit aan bij hoofdstuk 4 boek 1. Exacte waarden van driehoeken, uitleg en opgave 1, 2, 3: @Volgens het boek? Opgave 4: de gegeven formules zou je nu direct kunnen bewijzen volgens bijgaand schema. Voordeel: de leerlingen zie al dat je de lengte van een lijnstuk kunt uitdrukken in een sinus of cosinus of het product etc. van beide, dus dat je abstracte berekeningen kunt doen met de sinus en cosinus (voorloper op paragraaf.2 en.5) 5
Paragraaf.1: Eenheidscirkel en radiaal Introductie van het fenomeen radiaal door middel van tekenen van hoogte/omtrek grafieken van de volgende figuur, met pen en papier: Vervolgens: horizontale positie tegen de afgelegde weg verticale positie tegen de afgelegde weg ruit en/of achthoek tegen de afgelegde weg Als je dit in groepen doet, kun je verschillende groepen laten werken aan verschillende figuren en deze dan met elkaar vergelijken. Resultaat onder andere:
En dan de les verder via het digibord en Geogebra met de juiste app: En dan dus: 7
Dan vervolgens weer aanhaken bij de voorkennis en in stappen de overgang uitleggen naar de uitdrukking voor s(x) @ uitschrijven. Maken: A5, O, 7, 8, 10, 11 Exacte waarden cirkel uitleggen Maken: 12 t/m 1 Paragraaf.3: Transformaties bij sinusoiden Voorstel:.2 Later behandelen. Eerst nog aansluiten op het tekenen van paragraaf.1, namelijk Hoe ziet de sinusoïde er uit als: je de cirkel optilt de straal van de cirkel groter maakt op een ander punt begint met tekenen Dan kunnen alle opgaven gemaakt worden! 8
Paragraaf.4: Sinusoïden tekenen Alle opgaven kunnen worden gemaakt. Paragraaf.2 Goniometrische vergelijkingen Brug leggen naar meetkunde, Pythagoras: sin! x + cos! x = 1 Rekenen met sinus en cosinus, paragraaf volgen. Paragraaf.5: Goniometrische functies differentiëren Paragraaf volgen. 9
BIJLAGEN Goniometrie, leerling blad 1 Gegeven is de volgende driehoek, met een hoek van 90 graden, een hoek a en een zijde met lengte 1. 1. Als je terugdenkt aan SOSCASTOA, wat weet je dan van zijde BC ten opzichte van hoek a? En van zijde AC? 10
INTRODUCTIE sinusoïde Applet sinusoïde: Deze applet kan gebruikt worden ter verduidelijking van een aantal bijzondere punten van de sinusoïde/ eenheidscirkel: http://www.walter- fendt.de/m14nl/sincostan_nl.htm Om het verschil aan de duiden of we op de x- as of y- as letten tijdens het schrijven van de grafiek:http://catcode.com/trig/trig08.html Een praktisch voorbeeld van een sinusvorm: http://commons.wikimedia.org/wiki/file:spring_resonance_simple.gif?uselang=nl Een steen in het water geeft een trilling en golf (sinusoïde): http://www.youtube.com/watch?v=ggbh1cxakto en dit zelf via scherm voordoen: http://phet.colorado.edu/sims/wave- on- a- string/wave- on- a- string_nl.html Een praktische opdracht: PRAKTISCHE OPDRACHT "Het getij voorjaar 2003 HAVO- 5 wb1/wb12 docent: Gl soort opdracht: benodigdheden: informatiebronnen: groepsopdracht voor groepjes van 2 of 3 personen - grafische rekenmachine - pc met Internetaansluiting - schrijfwaren - grafiekenpapier http://www.getij.nl Moderne Wiskunde havo B1 deel 2 hfdst. A4, A7 Inleiding In veel wiskundeboeken worden periodieke functies geïntroduceerd met behulp van getijgrafieken. Daarover gaat de opdracht 1 hieronder. Opdracht 2 gaat over een praktische toepassing van periodieke functies. Opdracht 1 a Welke factoren spelen zoal een rol bij het ontstaan van eb en vloed? b Hoe komt het dat het verschil tussen eb en vloed op sommige plaatsen veel groter is dan op andere plaatsen? c Print de tabel en grafiek die de hoog- en laagwaterstanden in Vlissingen weergeven, en maak een zo goed mogelijk passende sinus- of cosinusformule bij deze tabel en grafiek. Vermeld datum en tijdstip bij de tabel en grafiek. d Doe hetzelfde voor de waterstanden in Den Helder. e Geef een verklaring voor de verschillen in de grafieken van Vlissingen en Den Helder. Opdracht 2 Schrijf een artikeltje over een praktische toepassing van sinus- of cosinusformules. Kijk daarvoor bijvoorbeeld eens in het biologie-, natuurkunde- of scheikundeboek. Je kunt natuurlijk ook op Internet naar voorbeelden van sinus- of cosinustoepassingen zoeken. 11
Kats Je artikel moet in elk geval een formule en een grafiek (met toelichting) bevatten. Geef een duidelijke uitleg bij de gevonden toepassing, zodat ook een buitenstaander snapt waar het over gaat. Wat moet je op xxx inleveren? de antwoorden op de vragen van opdracht 1 het artikel van opdracht 2 een nauwkeurige bronvermelding een logboek met daarin de taakverdeling binnen je groepje (wie heeft er wat gedaan), problemen die je gaandeweg tegenkwam, of je het een moeilijke praktische opdracht vond of niet, enzovoorts. Puntenverdeling: opdracht 1: opdracht 2: bronvermelding: logboek: originaliteit: verzorging: Totaal: 45 punten 30 punten 5 punten 5 punten 10 punten 5 punten + 100 punten Cijfer = 0,1 aantal punten Bovenkant formulier home 0 0 20131107 07-11-2013 Datum Locatie Kats 07-11- 2013 Voorspelde hoog- en laagwaters(cm). do 7 nov 05:5 11:4 18 2-15 3 Tijdzone Nederlandse tijd 18:1 19 5 Referentievlak Onderkant formulier NAP LLWS=NAP - 178 cm LAT=NAP - 190 cm vr 8 nov 00:0 5 0:3 5 12:3-13 7 17 3-15 19:0 2 19 0 za 9 nov 00:5 4-13 0 07:2 1 3 13:3 0-15 7 19:5 18 1 zo 10 nov 0: 57 02:0-12 2 08:1 5 15 2 WAARSCHUWING bij springtij en doodtij 14:3 0-15 5 12
WISKUNDIGE DENKACTIVITEIT GONIOMETRIE Eenheidscirkel Gegeven is een cirkel c in een assenstelsel, met middelpunt M in de oorsprong en met straal 1. We noemen deze cirkel ook wel de eenheidscirkel. Getekend zijn drie lijnstukken AM, BM en CM. Zie de tekening hieronder. y a. Bereken de hoek die lijn AM maakt met de positieve x- as. Maak gebruik van de gegeven figuur hierboven door daarin eerst de y- coördinaat van punt A af te lezen. b. De x- coördinaat en de y- coördinaat van punt B zijn hetzelfde. Bereken de coördinaten van punt B. Rond af op twee decimalen. x Lijn MC maakt een hoek van 0 met de positieve x- as. c. Bereken met behulp van de afgelezen x- coördinaat en de tangens de y- coördinaat van C in drie decimalen nauwkeurig. d. Wat valt je op aan de coördinaten van punt A en punt C. e. De y- coördinaat van punt C is ook exact te berekenen met de stelling van Pythagoras. Geef de exacte coördinaten van punt A en punt C. f. Teken een eenheidscirkel in een assenstelsel met een x- as en y- as van - 5 tot 5. Construeer op de eenheidscirkel het punt D, waarvoor geldt: tan( D) = 3, waarbij D de hoek is 4 van lijn MD met de positieve x- as. 13
Uitwerkingen a. De y- coördinaat van punt A is 0,5. En AM = 1 x A 2 + y A 2 = AM 2 x A 2 + 0, 5 2 = 1 2 x A = 0, 75 0,8 tan( AMX) = y A x A = 0, 5 0, 75 AMX = 30 (Of met de oorspronkelijke gegevens en de sinus.) b. Als de x- en y- coördinaat van een punt op de cirkel hetzelfde zijn, dan is de hoek 45 met de positieve x- as. x B 2 + y B 2 = BM 2 x B 2 + x B 2 = 1 2 2x B 2 = 1 x B 2 = 1 2 x B = 1 2 0, 71 Dus: B(0,71; 0,71) c. CMY = 90 CMX = 90 0 = 30 De x- coördinaat van punt C is 0,5. tan( AMY ) = x C = 0, 5 y C y C = y C 0, 5 tan(30 ) 0,8 d. x A = y C en x C = y A e. Met behulp van de stelling van Pythagoras krijg je: A 1 2 3, 1 2 en C 1 2, 1 2 3. f. 14
TOETSVRAAG OVER SINUSOIDE OPGAVE 4 (I) p Hieronder zie je een stuk van de getijdentabel van Scheveningen. De waarden die hierin staan zijn de hoogste (vloed) en laagste (eb) standen van het water. Als je meer metingen zou doen en je zou deze waarden in een assenstelsel zetten, zie je een verloop dat lijkt op dat van de grafiek van de functie f t = sin (t). Maak aanpassingen (transformaties) aan de formule van f, zodat deze passend wordt bij de gegevens. Je mag flink wat vereenvoudigingen toepassen (afronden en middelen). Het belangrijkst is het, dat je je werkwijze duidelijk weergeeft. Oktober 2013 Eb/Vloed Tijdstip Waterhoogte boven NAP Dinsdag 29 oktober Eb 17:5-5 cm Vloed 23:14 94 cm Woensdag 30 oktober Eb :55-45 cm Vloed 11:55 7 cm Eb 19:3-57 cm Donderdag 31 oktober Vloed 0:14 109 cm Eb 8:3-54 cm Vloed 12:5 91 cm Eb 20:34-2 cm Figuur 1: Getijdentabel Scheveningen (bron: http://scheveningen.info) Uitwerking: OPGAVE 4 Uitrekenen van een gemiddelde ebstand en gemiddelde vloedstand o.i.d. (min = - 54,8 en max = 92,5) (1p) Evenwichtsstand (18,85) en amplitude (73,5) (1p) Gemiddelde periode (12,) (2p) Bepalen van d (17!" ) of t=0 kiezen om 20:35 op 29 oktober (1p) +!",!!!"!!! f t = 18,85 + 73,5 sin!",!!!" x 17!",!!!"! Onderbouwde afwijkingen zijn uiteraard ook goed. (1p) 15
1