HOOFDSTUK II BIJZONDERE THEORETISCHE VERDELINGEN. Continue Verdelingen 1
A. De uniforme (of rechthoekige) verdeling Kansdichtheid en cumulatieve frequentiefunctie Voor x < a f(x) = 0 F(x) = 0 Voor a x b f(x) = 1 b a F(x) = x b a a Voor x > b f(x) = 0 F(x) = 1 De kansmassa wordt gelijk verdeeld over het interval [a ; b]
Parameters µ = a+ b ~ a+ b x = = µ (symmetrische verdeling) σ = ( b a) 1 σ = ( b a) 1 x 0 = niet éénduidig (volledig interval [a ; b]) 3
Grafisch 4
B. De normale verdeling (verdeling van Gauss) Deze is de bekendste en meest gebruikte theoretische verdeling, zowel voor de theorie als in toepassingen. Beschouw een frequentietabel of histogram: 5
Indien men het aantal metingen verhoogt en de klassen kleiner en kleiner maakt gaat de histogram over in een vloeiende kromme met een klokvorm Definitie Een veranderlijke G is normaal verdeeld wanneer haar frequentiefunctie wordt gegeven ( x a) 1 f(x) = πb e b b > 0 waar a en b konstanten zijn Notatie G ~ N(a, b) 6
Grafische voorstelling 7
Eigenschappen Men stelt vast dat f(x) > 0 voor elke x en dat de integraal van f(x) tussen - en + gelijk is aan 1 (geen bewijs) Bovendien: f(x) bereikt een maximum voor x=a f(x) is symmetrisch t.o.v. x=a f(x) heeft twee buigpunten: x=a-b en x=a+b Parameters µ = a (omdat f(x) symmetrisch is t.o.v. a) ~ x = a x 0 = a σ = b (geen bewijs) σ = b G ~ N(µ, σ) 8
Eigenschap Als G ~ N(µ, σ ) en G ~ N(µ, σ ) en G en G zijn onafhankelijk dan is G = G + G ~ N(µ, σ) met µ = µ + µ en σ = σ ' " + σ 9
De gestandardiseerde normale verdeling Voor de kumulatieve functie van een normale verdeling bestaat geen éénvoudige formule. Men heeft een tabel nodig om kansen betreffende de normale verdeling te berekenen. Het is wel mogelijk één enkele tabel te gebruiken (i.p.v. een tabel voor elke waarde van µ en σ) omdat elke N(µ, σ) verdeling kan teruggebracht worden tot één bijzonder geval, de gestandardiseerde normale verdeling. Deze verdeling is een speciaal geval van de normale verdeling met a=0 en b=1. Bijgevolg is µ=0 en σ=1. Notatie Z ~ N(0, 1) 10
Grafische voorstelling Kansdichtheid f(x) = 1 π e x 11
Cumulatieve frequentiefunctie Φ(k) = k t 1 e dt = P(Z k) π 1
Eigenschappen X ~ N(µ, σ) Z = X µ σ ~ N(0, 1) Φ(-k) = P(Z -k) = P(Z k) = 1 - P(Z k) = 1 - Φ(k) P(Z k) = 1 - Φ(k) P(k Z t) = P(k < Z < t) = Φ(t) - Φ(k) 13
Gebruik van de tabel voor N(0, 1) om algemene problemen i.v.m. normale verdelingen op te lossen Kansen in verband met de normale verdeling (NV) zijn moeilijk te berekenen. Hiervoor is een komputer nodig. Belangrijke waarden werden echter reeds berekend en afgedrukt in een tabel die met een bepaalde nauwkeurigheid de berekening van de kansen mogelijk maakt. Deze tabel geeft de kumulatieve functie van de gestandardiseerde normale verdeling (SNV), en dit voor waarden gaande van 0,00 tot 4,19. Voor grotere waarden is de functie ongeveer gelijk aan 1. 14
Voorbeelden 1. X ~ N(µ, σ) P(k < X < t) = P( k µ σ < Z < t µ σ ). Men vraagt k zodat P(X < k) = α, voor een gegeven α Uit P(Z < k µ σ ) = α bepaalt men k µ σ en daaruit k 15
Spreiding van een normale verdeling Als G ~ N(µ, σ) en Z ~ N(0, 1) dan is P( µ - 3 σ < G < µ + 3 σ ) = P( - 3 < Z < 3 ) 50% P( µ - σ < G < µ + σ ) = P( -1 < Z < 1 ) 68% P( µ - 1,96 σ < G < µ + 1,96 σ )= P( -1,96 < Z < 1,96 ) 95% P( µ - σ < G < µ + σ ) = P( - < Z < ) 95,4% P( µ - 3σ < G < µ + 3σ ) = P( -3 < Z < 3 ) 99,7% 16
Bij het toetsen van hypothesen betreffende de normale verdeling moet men dikwijls de waarde µ α bepalen zodat: P[-µ α Z µ α ] = 1-α (voor een gegeven α) Voorbeeld Indien α=0,05 dan is µ α =1,96 (tabel) 17
Benadering van een binomiale verdeling door een normale verdeling Zij G ~ B(n, p), dan is E[G] = np en Var[G] = npq Stel Z = G np npq Dan is E[Z] = ( np np) npq = 0 Var[Z] = ( npq + 0 ) = 1 npq 18
Stelling van de Moivre Als n dan komt de verdeling van Z dicht bij een N(0, 1) verdeling. In de praktijk past men de benadering toe zodra: n 30 0,1 p 0,9 B(n, p) N(np, npq ) 19
Opmerking B(n, p) is diskreet, terwijl N(np, npq ) kontinu is. Men moet rekening houden met de niet gehele waarden Voorbeeld P(4 G 6) voor G ~ B(n, p) Als de voorwaarden op n en p voldaan zijn berekent men: P(3,5 Z 6,5) voor Z ~ N(np, npq ) 0
NV χ Student Fisher Definitie Z ~ N(µ, σ) G i ~ N(0, 1) G ~ N(0,1), Z ~ χ n Z 1 ~ χ n1, Z ~ χ n χ G Z n = G 1 +G+ +Gn T = F Zn = 1 1 Z n Grafiek Parameters µ, σ n (vrijheidsgraden) n (vrijheidsgraden) n 1, n Gemiddelde µ n 0 n n Eigenschap symmetrisch (µ) > 0 symmetrisch (0) > 0 1