Tentamen Wiskunde A. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Transcriptie

1 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde A Datum: 24 juni 2013 Tijd: uur Aantal opgaven: 7 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een redenering, een berekening of een toelichting op het gebruik van de grafische rekenmachine zien hoe het antwoord verkregen is. Als deze ontbreekt worden voor het antwoord meestal geen punten toegekend. Schrijf leesbaar en met inkt. Gebruik geen tipp-ex o.i.d.. Gebruik van een potlood is alleen toegestaan bij het tekenen van grafieken. Bij het tentamen kunt u gebruik maken van een (grafische) rekenmachine van een type dat goedgekeurd is voor het Centraal Examen Wiskunde van het vwo. Overige hulpmiddelen, zoals formulekaart, BINAS en tabellenboek zijn NIET toegestaan. Op pagina 5 is een lijst van formules afgedrukt; op de laatste drie pagina s vindt u tabellen van de binomiale en de normale kansverdeling. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen is verboden. Op vindt u vanaf eind deze week: de uitwerkingen van dit tentamen; de stand van zaken van de correctie van het tentamen. U wordt dringend verzocht om de Open Universiteit niet te bellen of te mailen over uw uitslag. Deze wordt zo spoedig mogelijk naar u opgestuurd. Te behalen punten per onderdeel: Opgave a b c d e 5 Totaal Cijfer = behaald aantal punten

2 1 Vader Turf wil zijn tweeling, Billie en Bessie, met ingang van volgende jaar iedere maand zakgeld gaan geven. Bessie wil in januari 10 eurocent zakgeld en vervolgens elke maand het dubbele van de voorgaande maand. Billie wil in januari starten met 14 euro en vervolgens elke maand twee euro meer dan de vorige maand. 3 pt a Stel een formule op die laat zien welk bedrag Bessie volgens haar voorstel zou krijgen in maand n, beginnend met januari van volgend jaar als maand 1. Wat voor soort rij vormen deze bedragen? 3 pt b Stel ook een formule op die laat zien welk bedrag Billie volgens zijn voorstel zou krijgen in maand n, beginnend met januari van volgend jaar als maand 1. Wat voor soort rij vormen deze bedragen? Vader Turf heeft wat gerekend aan de bedragen die Billie en Bessie als zakgeld ontvangen en hij spreekt met Billie af dat hij de komende tien jaar het door hem gewenste zakgeld krijgt. 3 pt c Welk bedrag ontvangt Billie in deze tien jaar in totaal aan zakgeld? Vader Turf spreekt met Bessie af dat zij het voorgestelde zakgeld krijgt zolang dit bedrag per maand niet hoger is dan 250 euro. Vanaf de maand dat het bedrag dat Bessie volgens haar voorstel krijgt groter is dan 250 euro, krijgt zij 250 euro zakgeld per maand. 3 pt d Wat is het nummer van de eerste maand waarin Bessie 250 euro zakgeld krijgt? 2 De vraag naar een goed hangt af van de prijs. Voor een zeker goed wordt het verband tussen de prijs p (in euro) en de vraag q (in duizendtallen) gegeven door p = 8 2,7 0,1q. 3 pt a Neem q = 41 3 en bereken de bijbehorende prijs algebraïsch. 4 pt b Werk de formule p = 8 2,7 0,1q om tot een formule die q geeft als een functie van p. 3 pt c Toon aan dat het gegeven model in overeenstemming is met de regel: Hoe hoger de prijs, des te minder wil men er van kopen. 2 pt d Bereken algebraïsch de vraag als de prijs 0,25 euro per stuk is. c CCVW 2013 pagina 1 van 8

3 3 De gemeente Fytsinga wil een fietspad aanleggen van A naar B door een natuurgebied (de grijze strook in de figuur hieronder). B A 7 km D C 4 km De kosten voor een fietspad langs de rand van het natuurgebied (van A in de richting van C) zijn euro per kilometer. De kosten voor een fietspad dwars door het natuurgebied zijn euro per kilometer. De gemeente is op zoek naar een punt D op de weg AC zodanig dat de totale kosten van het fietspad zo klein mogelijk zijn. 2 pt a Wat zijn de totale kosten van het fietspad als het pad van A naar B via C loopt? Noem de afstand van A naar D in km x. 3 pt b Laat zien dat de afstand van D naar B in km dan geschreven kan worden als x 2 14x + 65 en toon aan dat de totale kosten van de weg van A via D naar B (in tienduizenden euro s) dan te schrijven zijn als T K(x) = 3x + 5 x 2 14x pt c Bepaal de afgeleide functie van T K(x) en bereken met behulp van deze afgeleide algebraïsch hoe groot de afstand AD is als de kosten voor de aanleg van het fietspad minimaal zijn. Bij het begroten is men vergeten de kosten van de lantarenpalen mee te rekenen. Iedere kilometer wordt euro duurder, ongeacht waar het fietspad loopt. 3 pt d Beredeneer, zonder te rekenen, of het punt met minimale kosten op dezelfde plaats blijft liggen, meer in de richting van A zal schuiven of meer in de richting van C zal schuiven. 4 Meneer Voeten heeft zes paar schoenen, vijf zwarte paren en één bruin paar. Op de kleur na zijn de paren identiek. De 12 schoenen staan door elkaar in een kast. Meneer Voeten pakt s ochtends aselect twee schoenen uit de kast (zonder terugleggen). 3 pt a Wat is de kans dat meneer Voeten het bruine paar pakt? 3 pt b Bereken de verwachtingswaarde van het aantal bruine schoenen dat meneer Voeten pakt. 5 pt c Bereken de kans dat de twee schoenen die meneer Voeten pakt, geen passend paar vormen. c CCVW 2013 pagina 2 van 8

4 5 De onderwijsinspectie vergelijkt de resultaten van eindexamenleerlingen op de schoolexamens (SE) met hun resultaten op het Centraal Examen (CE). Als er te grote afwijkingen zijn, kan dat aanleiding zijn om de betreffende school aan een nader onderzoek te onderwerpen. Van de 20 eindexamenkandidaten van het Pythagoras College zijn de resultaten bij Wiskunde A: leerling SE CE leerling SE CE 1 6,7 6,9 11 6,9 6,5 2 6,1 6,8 12 4,9 4,7 3 7,3 5,6 13 6,8 7,2 4 4,8 4,3 14 8,0 7,1 5 5,7 4,6 15 8,8 8,4 6 9,4 8,2 16 6,4 5,7 7 6,6 7,3 17 5,8 5,6 8 8,5 6,0 18 7,4 7,8 9 5,8 5,3 19 8,2 7,8 10 6,2 6,5 20 6,5 6,0 Als SE en CE van hetzelfde niveau zijn, mag je verwachten dat de kans dat een willekeurige leerling hoger scoort op het SE dan op het CE gelijk is aan 0,5. De onderwijsinspectie wil dit toetsen met behulp van een tekentoets, waarbij het vermoeden is dat leerlingen hoger op het SE scoren dan op het CE. 2 pt a Hoe zal de onderwijsinspectie nulhypothese en alternatief formuleren? 6 pt b Wat is de uitkomst van deze toetsingsprocedure bij een onbetrouwbaarheidsdrempel van α = 0,05? Bij het CE is voor een zeer groot aantal kandidaten de tijd genoteerd die zij nodig hadden voor het maken van elke opgave. De tijd die de kandidaten nodig hadden voor de eerste opgave was normaal verdeeld met een gemiddelde van 9 minuten en een standaardafwijking van 1 minuut. 3 pt c Bereken de kans dat een willekeurige kandidaat langer dan 8 minuten en 30 seconden, maar korter dan 9 minuten en 45 seconden nodig had voor de eerste opgave. De tweede opgave van het CE kostte de leerlingen gemiddeld 15 minuten. 99% van de kandidaten had minder dan 25 minuten nodig voor deze opgave en de tijd die de kandidaten nodig hadden voor de tweede opgave was weer normaal verdeeld. 3 pt d Wat was de standaardafwijking van de tijd die de kandidaten nodig hadden voor de tweede opgave? Geef het antwoord in seconden nauwkeurig. Ook de tijd die de kandidaten nodig hadden voor opgave 3 van het CE was normaal verdeeld. De gemiddelde tijd voor opgave 3 was 4 minuten en de standaardafwijking was 30 seconden. Bij een controle wordt het werk van 9 willekeurig gekozen kandidaten geïnspecteerd. 5 pt e Bereken de kans dat deze 9 kandidaten in totaal meer dan 40 minuten nodig hadden voor opgave 3. c CCVW 2013 pagina 3 van 8

5 6 De functie f wordt gegeven door f (x) = 4x 4 3x 3 + 2x 2 x. 5 pt a Stel algebraïsch een vergelijking op voor de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (1,2). De functie g wordt gegeven door g(x) = x 2 3x 2. Punten A en B zijn de punten op de grafiek van g waarin de raaklijn evenwijdig loopt aan de lijn y = x. 5 pt b Bereken de x-coördinaten van punten A en B algebraïsch. 7 Hieronder ziet u een deel van de grafiek van de functie f (x) = sin ( 3(x 1 18 π)). y x Bij het beantwoorden van de volgende vragen mag u geen gebruik maken van de mogelijkheden die de grafische rekenmachine biedt voor het oplossen van vergelijkingen en het bepalen van maxima. 3 pt a Toon met een berekening aan dat de grafiek van f door de oorsprong (0,0) gaat. 3 pt b Toon aan dat f een maximum heeft voor x = 2 9 π. In de figuur ziet u naast de oorsprong nog drie snijpunten van de grafiek van f met de x-as. 4 pt c Bereken de x-coördinaten van deze drie snijpunten. c CCVW 2013 pagina 4 van 8

6 Lijst van formules voor het voortentamen Wiskunde A Kansrekening Voor alle toevalsvariabelen X en Y geldt: E(X + Y) = E(X) + E(Y) Voor onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt: σ(x + Y) = σ 2 (X) + σ 2 (Y) n-wet: Bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten geldt voor de som S en voor het gemiddelde X van de uitkomsten X: E(S ) = n E(X) E(X) = E(X) σ(s ) = n σ(x) σ(x) = σ(x) n Binomiale verdeling Voor de binomiaal verdeelde toevalsvariabele X, waarbij n het aantal experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt: ( ) n P(X = k) = p k (1 p) n k met k = 0, 1, 2,..., n k Verwachting: E(X) = n p Standaardafwijking: σ(x) = n p (1 p) Normale verdeling Voor een toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde µ en standaardafwijking σ geldt: Z = X µ ( is standaard normaal verdeeld en P(X < g) = P Z < g µ ) σ σ Differentiëren naam van de regel functie afgeleide Somregel s(x) = f (x) + g(x) s (x) = f (x) + g (x) Productregel p(x) = f (x) g(x) p (x) = f (x) g(x) + f (x) g (x) Quotiëntregel q(x) = f (x) g(x) q (x) = f (x) g(x) f (x) g (x) (g(x)) 2 Kettingregel k(x) = f (g(x)) k (x) = f (g(x)) g (x) of dk dx = d f dg dg dx Logaritmen regel voorwaarden g log a + g log b = g log ab g > 0, g 1, a > 0, b > 0 g log a g log b = g log a b g > 0, g 1, a > 0, b > 0 g log a p = p glog a g > 0, g 1, a > 0 g log a = p log a p log g g > 0, g 1, a > 0, p > 0, p 1 Rijen Rekenkundige rij: Som = 1 2 aantal termen (u e + u l ) Meetkundige rij: In beide formules geldt: Som = u l+1 u e (r 1) r 1 e = rangnummer eerste term; l = rangnummer laatste term. pagina 5 van 8

7 pagina 6 van 8

8 pagina 7 van 8

9 pagina 8 van 8

10 Uitwerkingen Tentamen Wiskunde A 24 juni 2013 Opgave 1a Voor deze bedragen geldt A(n) = A(n 1) 2, deze bedragen vormen dus een meetkundige rij. Met A(1) = 0,10 volgt A(2) = 0,10 2, A(3) = A(2) 2 = A(1) 2 2 etc. dus A(n) = 0,10 2 n 1 [= 0,05 2 n ] Opgave 1b Voor deze bedragen geldt A(n) = A(n 1) + 2, deze bedragen vormen dus een rekenkundige rij. Met A(1) = 14 volgt A(2) = A(1) + 2, A(3) = A(2) + 2 = A(1) etc. dus A(n) = 14 + (n 1) 2 [= n] Opgave 1c Dit bedrag wordt gegeven door Som = (A(1) + A(120))... = 60 (14 + ( )) = = euro. Opgave 1d Op te lossen: 0,10 2 n 1 = 250 of 0,05 2 n = 250 Mogelijkheid 1: Dit geeft 2 n 1 = 2500 n 1 = 2 log 2500 n = log ,3 of 2 n = 5000 n = 2 log ,3 Mogelijkheid 2: Op de GR invoeren Y1 = 0.1 * 2 ˆ (X-1) of Y1 = 0.05 * 2 ˆ X en Y2 = 250 De intersectfunctie geeft dan n 12,3 Mogelijkheid 3: Bereken A(n) = 0,10 2 n 1 = 0,05 2 n voor een aantal waarden van n, dan zie je A(12) = 204,80 en A(13) = 409,60. De eerste maand waarin Bessie 250 euro zakgeld krijgt is zodoende maand 13. Opgave 2a 2,7 0, = = = = 4 3 De prijs wordt dus gegeven door p = 8 4/3 Dit is gelijk aan ( 3 8 ) 4 = 2 4 = 16 Opgave 2b p = 8 2,7 0,1q geeft 2,7 0,1q = 8 log p Hieruit volgt 0,1q = 2,7 8 log p Dit geeft q = log p

11 Uitwerkingen Tentamen Wiskunde A 24 juni 2013 Opgave 2c De grafiek van 8 log p is stijgend. De grafiek van q = log p is dus dalend. Als p toeneemt, neemt q dus af. Alternatief: De grafiek van p = 8 2,7 0,1q = 8 2,7 ( 10 8 ) q is dalend. De grafiek van de inverse functie p q is dus ook dalend. Als p toeneemt, neemt q dus af. Opgave 2d 8 2 log 0,25 log 0,25 = 2 = 2 log 8 3 Mag ook berekend worden met LOG(0,25) / LOG(8) op de rekenmachine. Dit geeft q = log 0,25 = Alternatief: = , de vraag is dus stuks. p = 8 2,7 0,1q met p = 0,25 geeft 0,25 = 8 2,7 0,1q 2 2 = 2 3 (2,7 0,1q) Hieruit volgt 2 = 8,1 0,3q 0,3q = 10,1 q = Opgave 3a AC is 7 km van euro per km, dit kost euro. CB is 4 km van euro per km, dit kost euro. De totale kosten zijn dus euro. Opgave 3b DB 2 = DC 2 + CB 2 = (7 x) = 49 14x + x = x 2 14x + 65 AD is x km van euro per km, dit kost 3x euro. DB is x 2 14x + 65 km van euro per km, dit kost 5 x 2 14x euro. De totale kosten zijn dus ( 3x + 5 x 2 14x + 65 ) euro.

12 Uitwerkingen Tentamen Wiskunde A 24 juni 2013 Opgave 3c Schrijf T K(x) = 3x + 5 k(x) met k(x) = x 2 14x + 65 k(x) = f (u(x)) met f (u) = u en u(x) = x 2 14x + 65 f (u) = 1 2 u = 1 2 x 2 14x + 65 ; u (x) = 2x 14 Dit geeft k (x) = f (u) u (x) = x 7 x 2 14x + 65 Hieruit volgt T K (x) = k (x) = 3 + T K (x) = 0 5x 35 x 2 14x x 35 x 2 14x + 65 = 3 5x 35 = 3 x 2 14x + 65 Kwadrateren geeft 25x 2 350x = 9x 2 126x Hieruit volgt 16x 2 224x = 0 x 2 14x + 40 = 0 (x 4)(x 10) = 0 x = 4 x = 10 Alleen x = 4 voldoet. Opgave 3d Een kortere route wordt relatief voordeliger. Het punt met minimale kosten zal dus richting A opschuiven. Opgave 4a 10) ( 12 2 ) 2 Deze kans wordt gegeven door of door (2 2) ( 10 Deze kans is gelijk aan = 1 ( 12 2 ) Opgave 4b Ook bij trekken zonder terugleggen geldt E(X) = np. In dit geval geldt n = 2 en p = Dit geeft E(X) = = 1 3. Opgave 4c P(eerste schoen zwart links en tweede schoen niet zwart rechts) = = P(eerste schoen zwart rechts en tweede schoen niet zwart links) = = P(eerste schoen bruin en tweede schoen zwart) = = P(geen passend paar) = = = Alternatief: P(zwart paar) = (5 1) ( 5 1) ( 12 2 ) = = P(bruin paar) = antwoord a P(geen passend paar) = antwoord a = 66 = = 20 33

13 Uitwerkingen Tentamen Wiskunde A 24 juni 2013 Opgave 5a We toetsen of de proportie p van de leerlingen die hoger voor het SE dan voor het CE scoort groter is dan 0,5. De nulhypothese is dan H 0 : p = 0,5 De alternatieve hypothese is H 1 : p > 0,5 Alternatief: We kunnen ook toetsen of de de proportie p van de leerlingen die lager voor het SE dan voor het CE scoort kleiner is dan 0,5. De nulhypothese is dan H 0 : p = 0,5 De alternatieve hypothese is H 1 : p < 0,5 Opgave 5b Bij 14 van de 20 kandidaten is de score voor het SE hoger dan voor het CE. De overschrijdingskans wordt dus gegeven door P(X 14), waarbij X binomiaal verdeeld is met n = 20 en p = 0,5. Deze kans is gelijk aan 1 P(X 13) 1 0,9423 = 0,0577 Deze kans is groter dan α = 0,05 De nulhypothese wordt dus niet verworpen, er is niet genoeg reden om aan te nemen dat de kandidaten hoger scoren voor het SE dan voor het CE. Alternatief: Bij 6 van de 20 kandidaten is de score voor het SE lager dan voor het CE. De overschrijdingskans wordt dus gegeven door P(X 6), waarbij X binomiaal verdeeld is met n = 20 en p = 0,5. Deze kans is gelijk aan 0,0577 Deze kans is groter dan α = 0,05 De nulhypothese wordt dus niet verworpen, er is niet genoeg reden om aan te nemen dat de kandidaten hoger scoren voor het SE dan voor het CE. Opgave 5c Met GR: Deze kans wordt gegeven door P(8,5 < X < 9,75) waarbij X normaal verdeeld is met µ = 9 en σ = 1. Deze kans berekenen we met normalcdf( 8.5, 9.75, 9, 1). Antwoord: 0, Mag verder afgerond worden, op minimaal 2 cijfers achter de komma. Met tabel: Deze kans wordt gegeven door P( 0,5 < Z < 0,75) waarbij Z standaard-normaal verdeeld is. Deze kans berekenen we met P(Z < 0,75) P(Z < 0,5) = tabelwaarde bij 0,75 tabelwaarde bij -0,5... = 0,7734 0,3085 = 0,4649

14 Uitwerkingen Tentamen Wiskunde A 24 juni 2013 Opgave 5d invnorm(0,99) 2,326 of teruglezen in de tabel: P(Z < 2,33) = 0,9901 of tabel met overschrijdingskansen gebruiken: P(Z > 2,326) = 0,01 Z = X µ geeft dan σ = X µ = σ Z 2,326 4, of σ = 4,292 2, ,299 = 257,94, 60 4,292 = 257,52 dus afgerond op hele seconden is de standaardafwijking 258 seconden (= 4 minuten en 18 seconden). Opgave 5e T, de totale tijd die deze 9 kandidaten nodig hadden voor opgave 3, is normaal verdeeld met een gemiddelde van 4 9 = 36 minuten. σ T = 30 9 = 90 seconden = 1,5 minuut. P(T > 40) ( wordt gegeven ) door normalcdf(40,1e99,36,1.5) of door P Z > P(Z > 2,67) 1.5 Deze kans is gelijk aan 0,00383 of aan 1 0,9962 = 0,0038 Opgave 6a f (x) = 16x 3 9x 2 + 4x 1 We zoeken dus de vergelijking van de rechte lijn door (1,0) met richtingscoëfficiënt f (1) = = 10 Invullen van y = 2, a = 10 en x = 1 in y = ax + b geeft 2 = b b = 2 10 = 8 De vergelijking is dus y = 10x 8 Opgave 6b f 1 (3x 2) (x 2) 3 (x) = (3x 2) 2 f (x) = 1 1 (3x 2) (x 2) 3 = (3x 2) 2 Dit geeft 3x 2 3x + 6 = 9x 2 12x + 4 9x 2 12x = 0 x(9x 12) = 0 x = 0 9x 12 = 0 x = 0 x = 12 9 = 4 3 Opgave 7a f (0) = sin ( 3( π)) = sin( 1 6 π) sin( 1 6 π) = 1 2 Dus f (0) = ( 1 2 ) = 2 2 = 0

15 Uitwerkingen Tentamen Wiskunde A 24 juni 2013 Opgave 7b f ( 2 9 π) = sin ( 3( 2 9 π 1 18 π)) = sin ( 2 3 π 1 6 π) = sin( 1 2 π) De maximale waarde van de sinus is sin( 1 2 π) = 1 De maximale waarde van f is zodoende f ( 2 9 π) = sin( 1 2π) (= = 6) Opgave 7c De grafiek van f is symmetrisch in de lijn x = 2 9 π. Voor het derde snijpunt van links met de x-as geldt dus x = π = 4 9 π. De periode van f is 2π 3 = 2 3 π Voor het vierde snijpunt met de x-as geldt dus x = 2 3 π Voor het eerste snijpunt met de x-as geldt x = 4 9 π 2 3 π = 2 9 π