TECHNISCHE UNIVERSITEIT DELFT Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Opleiding Elektrotechniek EE1200 - Klassieke en Kwantummechanica - deel A Tentamen 7 november 2013 9:00-12:00 Aanwijzingen: Sclirijf elke opgave op een apart vel. Schrijf op elk vel de juiste code, EE1200-A. Schrijf op elk ingeleverd vel duidelijk je naam en studienummer. Schrijf op het eerste vel het totaal aantal ingeleverde vellen op. Geef de afleiding van de antwoorden. Geef de einduitkomst alleen met de significante cijfers en de juiste eenheden. Begin afleidingen bij de definitie (van een grootheid). Werk zo lang mogelijk symbolisch, vul pas op het eind getalwaarden in (indien van toepassing). Dit kan punten schelen. Argumentatie vinden wij belangrijker dan de simpele uitkomst. Als je bij een vraag geen antwoord hebt gevonden, terwijl het antwoord nodig is in een volgende vraag, gebruik dan als antwoord 1 of een andere waarschijnlijke waarde.
Opgave 1 Vliegende Hollanders (20 punten, 3+4 + 4 + 5 + 4) Voor liet SBS-6 televisieprogramma "Vliegende Hollanders" trekt een aantal BN-ers naar een skischans. De springers starten in rust op een hoogte h van 80 meter boven de grond. Vei-volgens glijden ze wrijvingsloos over de schans en worden ze aan het einde gelanceerd. Ze vliegen door de lucht tot het moment van landing. Het laagste punt van de schans bevindt zich op grondniveau en het einde van de schans (bij de afsprong) heeft een hoogte van 10 meter boven de grond en maakt een hoek van +10 graden met de horizontaal. Eén en ander is in onderstaande figuur aangegeven. Beschouw de schansspringer wrijvingsloos. als een puntmassa en de schans als a) Beargumenteer of behoud van impuls en behoud van mechanische energie van toepassing is op de schansspringer. b) Met welke snelheid komt de schansspringer los van de schans? Bespreek hoe realistisch deze berekende snelheid is t.o.v de snelheid die je in het echt zou verwachten. c) Geef 4 formules die de snelheid v en versnelling a van de schansspringer in de x- en y-richting weergeven als functie van de tijd vanaf het moment dat de springer van de schans is losgekomen. d) Hoe lang is de schans springer in de lucht? e) Wat is de horizontale afstand vanaf het loslaatpunt tot de landingsplek?
Opgave 2 De veer en de looping (20 punten, 2 + 3 + 6 + 4 + 5) Een massa nii (50 l<:g) wordt door middel van een veer met veerconstante ki (15 kn/m) weggeschoten over een wrijvingsloze weg. Deze massa mi botst vervolgens op een tweede veer met veerconstante /c2 (25 l<n/m). Deze tweede veer is bevestigd aan een massa m2 (3 kg) en deze massa is voorlopig verankerd in de weg en kan niet bewegen. Ga ervan uit dat beide veren massaloos zijn. Er is ook zwaaitel<tacht aanwezig met een valversnelling g (9.81 m/s ). d 1 ni, Op het moment / = 0 is de eerste veer ingedruld met Xj (0.5 meter) ten opzichte van de evenwichtslengte. P A K E E N N I E U W V E L a) Welke formules gelden er voor de kracht en energie met betrekldng tot een ideale veer? Noem een verschil met realistische veren. b) Bereken hoe ver de tweede veer met veerconstante /c2 maximaal wordt ingedrul<t, oftewel X2,i,!ax. Precies op het moment dat de tweede veer maximaal is ingedrukt, wordt de massa ontkoppeld van de weg. Op dit moment mag je stellen dat het totale systeem van de twee massa's, mj en m2 en de veer /c^ in rust is. De tweede veer k2 zal zich uitzetten en de twee massa's wegduwen.
c) Wat zijn de snellieden v; en V2 van de twee massa's mi en m2 als de veer zich helemaal ontspannen heeft? Vanaf het moment dat de snelheid V2 heeft, glijdt het over een weg met een afstand d waar een kinetische wrijvingcoëfficiënt heerst met juk= 2. Het glijdt over een onbekende afstand d naar een wrijvingsloze looping met een straal (10 meter). (mocht je bij opgave (c) de snelheid V2 niet hebben kunnen vinden, neem dan V2=30 m/s) d) Bereken het verlies aan kinetisch energie als de massa m2 over een afstand d glijdt. e) Wat is de maximale afstand d, ax zodanig dat de massa 1112 deze looping nog steeds succesvol kan doorlopen? HINT: bereken eerst de snelheid die nodig is om het hoogste punt in de looping nog net in de cirkelbaan te blijven.
Opgave 3 Rotatie (20 punten, 4 + 4 + 6 + 6) Een set van 6 Icogels, zoals omschreven in tabel 1, roh op tijdstip t = 0 van een helling (0 = 25 ) naar beneden over een afstand van 25 meter zonder te slippen. Tijdens het rollen is er sprake van wrijving. Verder geldt dat ju^ =0.15, m = 250 gram en i? = 25mm. tabel 1 type kogel massa straal A hol 2m R massief m R C hol m R D massief 2m R E hol m 2R F massief m 2R P A K E E N N I E U W V E L a) Rangschik de kogels A t/m F in volgorde van aankomst zonder iets echt uit te rekenen. Leg uit hoe je aan die volgorde komt. b) Maak een duidelijke tekening van één van de kogels op de helling met daarin alle la-achten, een xy-assenstelsel en een definitie van de positieve richting voor rotatie en translatie. c) Bereken met behulp van de 2^ wet van Newton voor rotatie en translatie de versnelling van een kogel met / ^ = PmR^. (mmp = massamiddelpunt). d) Bereken met behulp van behoud van mechanische energie hoe lang een 2 2 massieve kogel (/? = ^) en holle kogel (/? = ^) er over doet om beneden te komen. Klopt jouw antwoord met het antwoord op (a)?
Opgave 4 Botsingen (20 punten, 4 + 4 + 6 + 6 ) Een Icogel met een massa van m = 53 gram wordt met een snellieid VQ=360 '^^^y,. afgeschoten. Deze Icogel botst met een stilstaand blok met een massa Mj=530 gram. De twee massa's bewegen vei-volgens samen wrijvingsloos verder in de positieve x-richting over een horizontale tafel. P A K E E N N I E U W V E L a) Leg van elk van de volgende beweringen uit of ze waar of niet waar zijn. 1. De kinetische energie is behouden tijdens de botsing. 2. De impuls is behouden na de botsing. 3. De totale mechanische energie is behouden tijdens de botsing. 4. De impuls is behouden tijdens de botsing. b) Bereken de snelheid van het kogel-blok-systeem na de botsing en vervolgens hoeveel joule aan wannte is ontstaan in het blok. Verwaarloos vanaf nu de massa van de kogel. Massa M; botst vervolgens volledig elastisch met een stilstaande even grote massa M2 = Mj. c) Laat met behulp van de juiste behoudswetten zien dat de snelheid van massa M2 na de botsing gelijk is aan de snelheid van massa Mj voor de botsing en dat na de botsing massa Mj stilstaat. Massa M2 valt na de botsing uiteen in twee stuklcen. Eén stuk met een massa heeft daarna een snelheid v=3i + 2j. d) Bereken de grootte en richting van de snelheid van het andere stuk.