V Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R IV.0 Inleiding
V. Homogene kwadratische vormen Een vorm als H (, ) = 5 4 + 8 heet een homogene kwadratische vorm naar de twee variabelen en. Een vorm als K (, ) = 6 + 4 + 9 50 00 50 heet een inhomogene kwadratische vorm naar de twee variabelen en. Bij homogene kwadratische vormen komen de variabelen alleen in de macht voor, d.w.z. alleen, en kunnen in de vorm voorkomen. Bij inhomogene kwadratische vormen kunnen de variabelen ook in de macht aanwezig zijn, d.w.z. en kunnen voorkomen, en de variabelen kunnen in de macht 0 aanwezig zijn. Bij de tweede vorm komt bij het getal 0 50 de variabele voor in de macht 0 omdat = en =. 0 In deze en in de volgende paragraaf zijn we geïnteresseerd in de isolijnen van een homogene kwadratische vorm. Een isolijn is de kromme die in een assenstelsel (, ) ontstaat als een homogene kwadratische vorm in twee variabelen en constant is. Zo levert H (, ) = 36 bij het bovenstaande voorbeeld de vergelijking 5 4 + 8 = 36 Het zal blijken dat dit de vergelijking is voor een ellips. De isolijnen van de inhomogene kwadratische vormen komen in V.3 aan bod. Bij het onderzoek naar homogene kwadratische vormen zullen we gebruiken dat dergelijke vormen kunnen worden gedefinieerd met behulp van smmetrische transformaties in R. Voorbeeld Gegeven: De homogene kwadratische vorm H (, ) = 5 4 + 8 Gevraagd: Toon aan dat H (, ) kan worden uitgedrukt als het een inproduct, ( A ), waarbij = en A een smmetrische transformatie in Oplossing: smmetrische matri 5 A = 8 5 4 + 8 = 5 + 8 = (5 ) + ( + 8 ) 5 5 = i = i + 8 8 = ia =, A ( ) R met
Uit het voorbeeld blijkt dus dat een homogene kwadratische vorm in twee variabelen kan worden gedefinieerd met behulp van een smmetrische transformatiea in R. Definitie De met een smmetrische transformatie A in R geassocieerde homogene kwadratische vorm H in de variabele vector wordt gedefinieerd door H ( ) =, A ( ) dus door het inproduct van de vector met zijn A -beeld A ( ) Stelling p q Als A = de matri is bij de smmetrische transformatie A in q s is de geassocieerde homogene kwadratische vorm H ( ) = H (, ) = p + q + s R en = dan Bewijs p q p + q, A ( ) = ia = i = i q s q + s = ( p + q ) + ( q + s ) = p + q + s Het belang van het definiëren van een homogene kwadratische vorm via een smmetrische transformatie A in R ligt in de eigenwaarden en, en in de orthonormale eigenvectoren e en e van de smmetrische transformatie. In IV.3 is besproken, en met een voorbeeld toegelicht, dat deze eigenvectoren e en e een orthonormaal assenstelsel (, ) vastleggen die de zogenoemde haakse assen van de smmetrische transformatie vormen. Definitie De hoofdassen van de homogene kwadratische vorm H ( ) =, A ( ) in assen van de smmetrische transformatie A. R zijn de haakse Opmerking De ontbinding de variabele vector = in R naar de hoofdassen van de homogene kwadratische vorm H ( ) =, A ( ) in R wordt genoteerd als = e + e waarbij e en e de orthonormale eigenvectoren zijn van de smmetrische transformatie A bij resp. de eigenwaarden en. 3
Stelling Als de variabele vector in R van de homogene kwadratische vorm H ( ) =, A ( ) wordt ontbonden naar de hoofdassen van de smmetrische transformatie A dan geldt H ( ) = h(, ) waarbij h(, ) = + Bewijs Er geldt Gevolg A ( ) = A ( e + e ) = A ( e) + A ( e ) behoud optelling transformatie = A ( e) + A ( e ) behoud schaling transformatie = e + e eigenwaarden transformatie H ( ) =, A ( ) = e + e, e + e = e, e + e, e + e, e + e, e lineariteit inproduct = + 0 + 0 + orthonormaliteit = + Hierbij is dus gebruikt dat e en e orthonormale eigenvectoren van A zijn. Opmerking De vergelijking van de isolijn H ( ) = c wordt ten opzichte van de hoofdassen, dus ten opzichte van de haakse assen van A h(, ) = c d.w.z. + = c Het is juist deze hoofdassengedaante van de vergelijking van een isolijn van een homogene kwadratische vorm die ons in staat stelt de algemene kenmerken ervan te analseren Voorbeeld Gegeven Gegeven de isolijn van een homogene kwadratische vorm in R 5 4 + 8 = 36 Gevraagd a) De matri van de smmetrische transformatie A in R waarmee deze vergelijking is geassocieerd. b) De eigenwaarden en de orthonormale eigenvectoren van A c) De hoofdassengedaante van de kwadratische vergelijking. d) Teken in een figuur het standaard assenstelsel (, ), de hoofdassen (, ) en de kromme gegeven door de vergelijking in c). 4
Oplossing 5 a) A = 8 b) De eigenwaarden van deze smmetrische transformatie zijn = 4 en = 9, en bijbehorende orthonormale eigenvectoren: * e = en e = e = 5 5 (zie opgave V.. of het voorbeeld van IV.3.) c) Volgens de stelling levert de ontbinding = e + e naar de hoofdassen voor de kwadratische vergelijking 4 + 9 = 36 waaruit de zogenoemde hoofdassenvorm volgt ( ) + ( ) = 3 d) De -hoofdas ligt in de richting van de eigenvector v = bij de eigenwaarde = 4. De -hoofdas is hierop loodrecht getekend. De hoofdassen en zijn van dezelfde schaal voorzien als het standaard assenstelsel. De -waarden variëren van -3 tot 3 en de -waarden van - tot, zoals ook uit de volgende tabel blijkt. (Zie ook opgave V..). Met behulp van deze tabel kan de kromme worden getekend ten opzichte van de hoofdassen en 0,,49,80,80,49, 0-3 -,5 - - 0,5 3 0 -, -,49 -,80 - -,80 -,49, 0 Bij het tekenen van de kromme is verder gebruikt dat zijn maimum bereikt in = 3 en zijn minimum in = 3. De raaklijnen staan daar loodrecht op de -as. Verder is gebruikt dat zijn maimum bereikt in = en zijn minimum in =. De raaklijnen staan daar loodrecht op de -as. Opmerkingen ) De kromme blijkt een scheef staande ellips te zijn. De lijnen door het midden 0 bezitten snijpunten met de ellips waarvan de grootste afstand 6 is (langs de -as) en de kleinste afstand 4 (langs de -as). Men zegt dat de lange as van de ellips lengte 6 heeft 5
en de korte as lengte 4. De hoofdassen van de smmetrische transformatie vallen dus hier samen met de korte en lange as van de gevonden ellips. ) De algemene gedaante van de hoofdassenvorm van een ellips is + = a b Hierin zijn a en b positieve reële getallen. Als a > b is de lange as langs -as met lengte a en de korte as langs de -as met lengte b. Als a < b is de korte as langs -as met lengte a en de lange as langs de - as met lengte b. Als a = b is er sprake van een cirkel met straal a. 3) De ellips is niet de enige isolijn die kan ontstaan bij een homogene kwadratische vorm. In de volgende paragraaf worden de isolijnen van homogene kwadratische vormen in R geclassificeerd met behulp van de ontbinding van de variabele vector naar de hoofdassen en de laatste stelling. Opgaven V.. De homogene kwadratische vorm H (, ) = 5 4 + 8 is geassocieerd met de smmetrische transformatie A in R vastgelegd door de matri 5 A = 8 a) Toon met behulp van de karakteristieke vergelijking aan dat voor de eigenwaarden van A geldt = 4 en = 9 * b) Toon aan dat de vectoren e = en e = e = 5 5 eigenvectoren van A zijn bij resp. = 4 en = 9 V.. Ga door berekening na of de tabel bij het laatste voorbeeld juist is V..3 Gegeven is de vergelijking voor de isolijn bij een homogene kwadratische vorm 9 6 + 7 = 7 a) Teken in een assenstelsel (, ) de hoofdassen van de smmetrische transformatie A waarmee deze vergelijking is geassocieerd. b) Toon aan dat ten opzichte van de hoofdassen geldt, bij geschikte keuze van de variabelen en ( ) + ( ) = 3 c) Teken met behulp van deze hoofdassen de elliptische kromme gegeven door homogene kwadratische vergelijking d) Hoe groot is de lange as van de ellips en hoe groot de korte? V..4 Gegeven is de vergelijking voor de isolijn bij een homogene kwadratische vorm + 3 = 6 6
a) Teken in een assenstelsel (, ) de hoofdassen van de smmetrische transformatie A waarmee deze vergelijking is geassocieerd. b) Toon aan dat ten opzichte van de hoofdassen geldt, bij geschikte keuze van de variabelen en ( ) + ( ) = 4 c) Teken met behulp van deze hoofdassen de elliptische kromme gegeven door homogene kwadratische vergelijking d) Hoe groot is de lange as van de ellips en hoe groot de korte? V..5 Gegeven is de homogene kwadratische vorm H (, ) = 6 + 9 a) Bepaal de matri A die de smmetrische transformatiea in R vastlegt waarmee deze homogene kwadratische vorm is geassocieerd b) Bereken de eigenwaarden van de smmetrische transformatiea c) Bereken twee eigenvectoren van lengte behorend bij deze twee eigenwaarden d) Teken in een assenstelsel (, ) de hoofdassen van de smmetrische transformatie A e) Toon aan dat voor H ( ) = h(, ) bij geschikte keuze van en geldt h(, ) = 0 f) Teken de isolijn gegeven door g) Teken de isolijn gegeven door h) Wat geldt voor isolijn geven door 6 + 9 = 0 6 + 9 = 40 V..6 Gegeven is de homogene kwadratische vorm H (, ) = + 6 7 6 + 9 = 0? a) Bepaal de matri A die de smmetrische transformatie A in R vastlegt waarmee deze homogene kwadratische vorm is geassocieerd b) Bereken de eigenwaarden van de smmetrische transformatie A c) Bereken twee eigenvectoren van lengte behorend bij deze twee eigenwaarden d) Teken in een assenstelsel (, ) de hoofdassen van de smmetrische transformatie A e) Toon aan dat voor H ( ) = h(, ) bij geschikte keuze van en geldt h(, ) = 8 7
V. Classificatie vergelijkingen in R voor isolijnen van homogene kwadratische vormen In de voorgaande paragraaf zijn als isolijnen bij een homogene kwadratische vorm in twee variabelen ellipsen getekend. Voordat we tot een classificatie van dergelijke isolijnen overgaan zullen we aan de hand van een voorbeeld laten zien dat er ook hperbolen mogelijk zijn. Uit de classificatie zal blijken dat de isolijn bij een homogene kwadratische vorm soms punt is en soms ook een paar van rechte lijnen, naast de mogelijkheden van ellips en hperbool. Voorbeeld Gegeven: De vergelijking van een isolijn bij een homogene kwadratische vorm + 4 + 5 = 0 Gevraagd: Teken de kromme in een standaard assenstelsel (, ) met behulp van de hoofdassen van de smmetrische transformatiea in R waarmee de homogene kwadratische vorm is geassocieerd. Oplossing: Voordat er kan worden getekend moeten er een aantal stappen worden uitgevoerd. Stap : De matri A die de smmetrische transformatie vastlegt A = 4 Stap : De eigenwaarden van de smmetrische transformatie A Er geldt A I = 4 Uit A I = 0 volgt (opgave V..) = 0 en = 5 Stap 3: Eigenvectoren en de hoofdassen. Stel v = is eigenvector bij = 0 v + v + v = 0 v = = 0 = 0 4 v v + 4v v + 4v = 0 v v = 4 Dus v = 3 is eigenvector bij = 0 en ook 4v = is zo n eigenvector. 4 3 De lijn : 3 = is hoofdas van A bij = 0 4 * 3 De vector 4v = is eigenvector bij = 5 4 De lijn : 4 = is hoofdas van A bij = 5 3 Stap 4: De vergelijking van de isolijn ten opzichte van de hoofdassen. Uit h(, ) = + en h(, ) = 0 volgt 0 5 = 0 3 4 3 4 8
dus ( ) + = Dit is de hoofdassengedaante van een hperbool Stap 5: De asmptoten van de hperbool. De asmptoten (d.w.z. rechte lijnen waartoe een kromme steeds meer nadert naar mate men verder van de oorsprong O is verwijderd ) worden volgens de tweede hierna volgende stelling gegeven door + ( ) = 0 ( + )( + ) = 0 = of = = of = Stap 6: Tabel en grafiek Teken de hoofdassen (, ) met behulp van de 4 eigenvector 4v = en breng op deze assen 3 een schaal aan die dezelfde is als die van de standaard assen (, ). Teken de asmptoten en bereken enkele punten. -5.9 -.9-4,73 -,73-3, -, -,5 0,75-0,75-0 0 0 - - 0 0,5 0,75-0,75 3, -, 4,73 -,73 5.9 -.9 Bij het tekenen is verder gebruikt dat de hperbool de -hoofdas op twee plaatsen loodrecht doorsnijdt. Uit de laatste stelling van de vorige paragraaf volgt direct Stelling Als de variabele vector in A = c R uit de homogene kwadratische vergelijking, ( ) wordt ontbonden naar de hoofdassen van de smmetrische transformatie A in ontstaat de vergelijking + = c waarbij en de eigenwaarden van de smmetrische transformatiea R dan Bewijs Direct gevolg van de laatste stelling uit de vorige paragraaf 9
Opmerkingen bij de tabel ) De volgende tabel geeft een overzicht van de mogelijke vergelijkingen en krommen die ten opzichte van de hoofdassen kunnen ontstaan bij isolijnen van homogene kwadratische vormen. In de hoofdasgedaante zijn a en b positieve getallen die worden gedefinieerd met behulp van, en c. ) Bijvoorbeeld als + = c met c 0 dan + = c c Als geldt dat 0 < en > 0 wordt a gedefinieerd door c = a = c c c a en b door = b = c b c 3) Verder is het de gewoonte om als één van de eigenwaarden van een smmetrische transformatie A in R gelijk 0 is dit te noteren als = 0 4) Ellips en hperbool zijn kegelsneden. De parabool is ook een kegelsnede. Uit het overzicht blijkt dat bij de isolijnen van homogene kwadratische vormen de parabool niet voorkomt. Een parabool kan alleen ontstaan als isolijn van een inhomogene kwadratische vorm. Deze isolijnen zijn het onderwerp van de volgende paragraaf c = 0 c 0 + = c Hoofdasgedaante Naam Bijzonderheden 0 = ± a 0 = ± b 0 = 0 0 = ± c a 0 = ± c b 0 = ± c a = 0 Alleen de oorsprong + = 0 Puntkegelsnede a b voldoet Twee snijdende = 0 Vergelijkingen ± = 0 a b lijnen a b Twee = 0 samenvallende Vergelijking = 0 lijnen Lengte halve lange assen + = Ellips a b a en b Snijdt de -as in ( ± a,0) = Hperbool a b Asmptoten ± = 0 a b Snijdt de -as in (0, ± b) a b Asmptoten ± = 0 a b a b Lege kegelsnede Geen oplossingen Twee = a evenwijdige Vergelijkingen = ± a lijnen = a Lege kegelsnede Geen oplossingen In de volgende figuren zijn een aantal kegelsneden gegeven. Hierbij is de -hoofdas horizontaal genomen en de -hoofdas verticaal 0
Ellips: a + = Hperbool: b a = Hperbool: b a + b = Bij de hperbolen is te zien dat er rechte lijnen zijn waartoe deze krommen steeds dichter naderen naar mate de punten op de krommen verder van de oorsprong O verwijderd zijn. Als dergelijke lijnen bij een kromme bestaan dan heten deze lijnen de asmptoten van een kromme. Voor de asmptoten van een hperbool geldt de volgende stelling Stelling De asmptoten van de hperbool met vergelijking vergelijking a b = 0 a b = worden gegeven door de Bewijs We geven het bewijs voor het eerste kwadrant. Laat ten opzichte van de hoofdassen het punt ( p, q ) op de hperbool = a b liggen en laat ( p, q + ε ) een punt zijn op = 0. De verticale afstand tussen a b deze punten is ε. Voor het punt ( p, q + ε ) geldt p ( q + ε ) = 0 a b p q q Gevolg ε ε = + a b b b Omdat ( p, q) op de hperbool ligt volgt hier weer uit met als gevolg qε ε + = (oplossing hierbijε = q + q + b > 0 ) b b b ε b 0 < ε = < q q q
b Als p dan q waardoor 0 q. Omdat ε ligt tussen 0 en b betekent dit ook q ε 0. Naar mate het punt ( p, q) op de hperbool verder is verwijderd van de oorsprong O wordt de verticale afstand ε tussen dit punt op de hperbool en de lijn = 0 dus steeds a b kleiner. Opgaven V.. De smmetrische transformatie A in R wordt vastgelegd door de matri A =. 4 Bereken de eigenwaarden van deze transformatie. V.. Gegeven de vergelijking + 4 + 5 = 0 van de isolijn van een homogene kwadratische vorm in R. Gebruik de resultaten uit het voorbeeld van deze paragraaf om deze isolijn te tekenen in een standaard assenstelsel (, ) V.. Bewijs dat uit a = volgt ± = 0 b a b 0 V..3 Formuleer een vergelijkbare stelling als boven voor de asmptoten van de hperbool a + b = V..4 Gegeven de vergelijking van een isolijn bij een homogene kwadratische vorm 8 + 34 8 = 5 Teken de kromme in een standaard assenstelsel (, ) met behulp van de hoofdassen van de smmetrische transformatiea in R waarmee de vergelijking is geassocieerd. V..5 Gegeven de vergelijking van een isolijn bij een homogene kwadratische vorm 4 + 3 = 4 Teken de kromme in een standaard assenstelsel (, ) met behulp van de hoofdassen van de smmetrische transformatiea in R waarmee de vergelijking is geassocieerd. V..6 Gegeven de vergelijking van een isolijn bij een homogene kwadratische vorm 4 = 4 Teken de kromme in een assenstelsel (, ) met behulp van de hoofdassen van de smmetrische transformatiea in R waarmee de vergelijking is geassocieerd.
V..7 Gegeven de vergelijking van een isolijn bij een homogene kwadratische vorm + 0 + 5 = 5 a) Teken de kromme in een standaard assenstelsel (, ) met behulp van de hoofdassen van de smmetrische transformatiea in R waarmee de vergelijking is geassocieerd. b) Gebruik + 0 + 5 = ( + 5 ) om de in a) gevonden lijnen direct in en uit te drukken. V..8 Gegeven de vergelijking van een isolijn bij een homogene kwadratische vorm p + 4 + p = 6 Ten opzichte van de hoofdassen (, ) wordt deze vergelijking ( p + ) + ( p ) = 6 a) Toon dit aan. Voor verschillende waarden van p ontstaan er andere soorten kegelsneden. b) Classificeer deze kegelsneden naar de waarden van p. V..9 Gegeven de vergelijking van een isolijn bij een homogene kwadratische vorm p + q + p = c a) Bewijs dat ten opzichte van de hoofdassen (, ) geldt van de smmetrische transformatie in R waarmee de vergelijking is geassocieerd: ( p + q) + ( p q) = c b) Stel p = en c = 8. Bespreek welke soort krommen door de vergelijking worden gegeven bij verschillende waarden van q. V..0 Bij de homogene kwadratische vorm H (, ) = p + q + s heeft de bijbehorende smmetrische transformatie A in p > 0. Bewijs dat geldt ( ) R determinant 0 en geldt H (, ) = p + s als q > o ( ) H (, ) = p s als q < 0 Dit betekent dat de homogene kwadratische vorm waarvan de bijbehorende smmetrische transformatie determinant nul heeft het kwadraat is van een homogene lineaire vorm. V.. Gebruik het resultaat uit opgave V..0 om direct de lijnen te tekenen in een assenstelsel (, ) behorend bij de vergelijking 4 + 9 = 9, dus niet met behulp van de hoofdassen (, ). 3
V.3 Isolijnen bij inhomogene kwadratische vormen In de vorige paragraaf is gebleken dat als isolijn van een homogene kwadratische vorm de kegelsneden ellips en hperbool kunnen ontstaan. Ook de parabool is een kegelsnede, maar die kan alleen ontstaan als de isolijn van een inhomogene kwadratische vorm en niet als isolijn van een homogene kwadratische vorm. Bij de analse van dergelijke vormen wordt gebruik gemaakt van het homogene deel ervan, terwijl er verder sprake is van een lineair deel en een scalair deel. Voorbeeld Gegeven: De inhomogene kwadratische vorm K (, ) = 6 + 4 + 9 50 00 + 00 Gevraagd: Toon aan dat K(, ) = K( ) kan worden uitgedrukt als de som van een homogeen deel H ( ) =, A ( ), waarbij = en A een smmetrische transformatie in een lineair deel L( ) = b, en een scalair deel d Oplossing - Homogeen deel H (, ) = 6 + 4 + 9 = 6 + + + 9 = (6 + ) + ( + 9 ) 6 + 6 = i = i + 9 9 A = ia =, ( ) 6 De matri van de smmetrische transformatiea is dus A = 9 - Lineair deel 50 L(, ) = 50 00 = i = b, 00 50 De bijbehorende vector is dus b = 00 - Scalair deel d = 00 R, een Het voorbeeld leidt tot de 4
Definitie In R wordt vanuit een smmetrische transformatie A, een vector b en een scalar d de met deze grootheden geassocieerde inhomogene kwadratische vorm K in de variabele vector gedefinieerd door K( ) =, A ( ) + b, + d dus door een som van het inproduct van de vector met zijn A -beeld A ( ), het inproduct van de vector b met de vector en de scalar d. H ( ) =, A ( ) heet het homogene deel van de kwadratische vorm K( ). L( ) = b, heet het lineaire deel van de kwadratische vorm K( ). Met behulp van het homogene deel H ( ) =, A ( ) stelt men de haakse assen (, ) op van de smmetrische transformatie A door eigenwaarden en van deze transformatie te bepalen en vervolgens de orthonormale eigenvectoren e en e. Dit gaat hetzelfde als in de vorige paragrafen. Echter nu moet ook het inproduct van het lineaire deel L( ) = b, worden uitgedrukt ten opzichte van deze haakse assen. Dit blijkt uit de volgende Stelling Als bij de inhomogene kwadratische vorm K( ) =, A ( ) + b, + d in R de variabele vector wordt ontbonden naar de haakse assen van de smmetrische transformatie A volgens = e + e, waarbij e en e de orthonormale eigenvectoren zijn van de smmetrische transformatie bij resp. de eigenwaarden en, dan geldt K( ) = k(, ) met k = + + b + b + d (, ) en met b = e, b en b = e, b Bewijs Het bewijs dat H ( ) =, A ( ) = + is reeds gegeven in V. b b Als b = en = geldt voor het lineaire deel L( ) = b, = i = b + b. b b Ten opzichte van de orthonormale haakse assen geldt b = be + be waarbij de kentallen worden berekend met de inproducten b = e, b en b = e, b. (Zie over het inproduct aanhangsel van IV.3 of meer uitgebreid I.5.) Het inproduct van b en is ten opzichte van de haakse assen L( ) = b, = b + b, wat ook wordt genoteerd als l(, ) = b + b. 5
Het volgende laat zien hoe met deze stelling kan worden gewerkt. Voorbeeld Gegeven: Een standaard assenstelsel, ) en de inhomogene kwadratische vorm ( K (, ) = 6 + 4 + 9 50 00 + 00 Gevraagd a) Toon met behulp van de haakse assen van de met de vorm geassocieerde smmetrische lineaire transformatie in R aan dat de isolijn K(, ) = 50 van deze inhomogene kwadratische vorm een parabool is. b) Teken deze parabool in het assenstelsel (, ) met behulp van de haakse assen van de smmetrische lineaire transformatie. Oplossing a) Stap De geassocieerde smmetrische lineaire transformatie A in R. De matri die deze smmetrische transformatie vastlegt is 6 A = 9 Stap De eigenwaarden van de smmetrische lineaire transformatie. 6 0 6 Er geldt A I = = 9 0 9 A I = 0 levert: (6 )(9 ) = 0 5 = 0 = 5 = 0 Stap 3 Orthonormale eigenvectoren van de smmetrische lineaire transformatie. v v 6 v v 6v + 5v A = = 5 = 9 v + 9 5 6v + = 5v v = v + 9 = 5 v = Dus 3 4 v 4 = is een eigenvector bij = 5. Ook 3v = is zo n eigenvector. 3 4 e = 3v = is een eigenvector met lengte bij de eigenwaarde = 5. 3v 5 3 * 3 e = e = is een eigenvector met lengte bij de eigenwaarde = 0. 5 4 Stap 4 Herschrijven van het homogene deel van de kwadratische vorm. H ( ) = 6 + 4 + 9 = + = 5 Stap 5 Herschrijven van het lineaire deel van de kwadratische vorm. 50 L( ) = 50 00 = i = b, 00 4 3 4 3 6
50 Dus b = 00 Voor de kentallen van deze vector ten opzichte van de orthonormale basis e, e geldt 4 50 b = e, b = i = ( 4 ( 50) + 3 ( 00) ) = 00 5 3 00 5 3 50 b = e, b = i = (( 3) ( 50) + 4 ( 00) ) = 50 5 4 00 5 Dit zijn dus ook de kentallen van de vector b ten opzichte van de haakse assen van de smmetrische lineaire transformatie A. Gevolg voor het lineaire deel L( ) = b, = b + b = 50 00 Stap 6 De vergelijking van de isolijn van de inhomogene kwadratische vorm ten opzichte van de haakse assen (, ) van de smmetrische transformatiea. Voor de vergelijking van de gegeven isolijn geldt H ( ) + L( ) + 00 = 50 en dus volgens de stappen 4 en 5: 5 00 50 + 00 = 50 = + 3 Dit is de vergelijking van een parabool. 4 b) Teken de -as in de richting van 3v = 3 * 3 en de -as in de richting van 3v = en 4 voorzie deze assen van dezelfde schaal als de standaard assen, ). ( Voor = + geldt de tabel 3-5,5 0 3,5 3,5 4 3 5 5,5 Opmerkingen ) In feite wordt het onderzoek naar een kwadratische vorm eerst verricht door een onderzoek van het homogene deel van de vorm zoals dat ook in de vorige paragrafen is gedaan. Als er ook een lineair deel is bij de kwadratische vorm wordt vervolgens dit lineaire deel herschreven naar haakse assen van de smmetrische transformatie die zijn gevonden bij het onderzoek van het homogene deel. 7
) De parabool ontstaat dus bij de isolijn van een inhomogene kwadratische vorm in R K( ) =, A ( ) + b, + d als de smmetrische transformatie A een eigenwaarde 0 heeft, dus als 0 en = 0, en als verder geldt b = e, b 0. In dat geval levert de vergelijking van de isolijn K( ) = c ten opzichte van de haakse assen van de smmetrische transformatie b + b + b + d = c = a + b + c met a =, b = en c = c d b b 3) In het geval dat 0 en 0 levert de isolijn K( ) = c ten opzichte van de haakse assen (, ) de vergelijking + + b + b + d = c Door een nieuwe variabele vector = s en een geschikte keuze van de vector s kan hierbij deze vergelijking altijd herschreven worden naar de hoofdassengedaante + = c die in de vorige paragraaf is besproken. Doel van de rest van deze paragraaf is te onderzoeken wat de meetkundige betekenis is van deze nieuwe variabele vector is en hoe de geschikte keuze voor de vector s kan worden gemaakt. De variabele vector in de vergelijking van een isolijn in een plat vlak van een kwadratische vorm is in dat vlak een variabele positievector vanuit de oorsprong O van het standaard assenstelsel. Dus als in het vlak een punt P vastlegt geldt = OP. Door de keuze van een andere oorsprong O wordt hetzelfde punt P vastgelegd door een nieuwe positievector die we met aangeven en waarvoor geldt = O P. Stelling Als een positievector is van een punt P in het platte vlak vanuit de oorsprong O en is de positievector van hetzelfde punt P vanuit een tweede oorsprong O dan geldt = s waarbij s de positievector van O vanuit O, dus s = OO Bewijs Uit de figuur blijkt O P = OP OO dus = s We zijn geïnteresseerd in het verband tussen de kentallen van de vectoren, en s ten opzichte van de orthonormale eigenvectoren e en e van een smmetrische transformatie A in R. Ten opzichte van deze basis geldt Samen met = s = e + e = e + e s = se + se levert dit voor de kentallen ten opzichte van de haakse assen. = s en = s 8
Definitie In een plat vlak ontstaan de haakse assen (, ) van A door de oorsprong O, waarbij A een smmetrische transformatie is in R, uit een verschuiving volgens een vector s van O naar O van de haakse assen (, ) van A door de oorsprong O. Opmerkingen ) In de figuur zijn de staarten van de eigenvectoren e en e van een smmetrische transformatie A in R met de staarten getekend in de nieuwe oorsprong O. De haakse assen (, ) door O liggen langs deze vectoren. = e + e betekent dat deze positievector ten opzicht van de haakse assen (, ) ) de kentallen en heeft. Het is deze meetkundige eigenschap van de kentallen van de nieuwe variabele vector waar we mee zullen gaan werken nadat de vergelijking voor de isolijn van een inhomogene kwadratische vorm is herschreven naar de hoofdassenvorm. Voor we verder gaan met de hoofdassengedaante van ellips en hperbool geven we een voorbeeld van nieuwe haakse assen (, ) bij de zojuist geanalseerde parabool. Voorbeeld Gegeven Ten opzichte van de haakse assen (, ) door O behorend bij de orthonormale 4 * 3 eigenvectoren e = en e = e = van een smmetrische transformatie in 5 3 5 4 R is de isovergelijking van een inhomogene kwadratische vorm 4 + 6 = 0-0 5,5 3 = -3 - = 4,5 Er wordt een nieuwe variabele vector = e + e,5-0,5 gevormd door 0 0 = 3,5 0,5 4 3 0 = 5 5,5 3 4,5 In de tabel rechts zijn enkele waarden van de oude kentallen en gegeven en de bijbehorende waarden van de nieuwe kentallen en. De keuze van de nieuwe variabele vector is zodanig dat de top T van de parabool eerst werd gegeven door (, ) = (,) en nu door (, ) = (0,0) Gevraagd a) Er geldt = s. Geef de kentallen van de vector s ten opzichte van de basis e, e. Geef ook de kentallen van s ten opzichte van het standaard assenstelsel (, ) b) Teken in een standaard assenstelsel (, ) de haakse assen (, ) door O van de smmetrische transformatie waarbij s = OO. T T T T 9
c) Teken met behulp van de tabel de isolijn van de kwadratische vorm ten opzichte van deze haakse assen (, ) d) Geef de formule voor het verband tussen en bij deze isolijn. Oplossing a) = en = s dus s =, = en = s dus s =. 4 3 Ook geldt s = se + se = + = 5 3 5 4 b) De oorsprong O heeft als positievector s = 4 De -as is gericht volgens de vector v = 5e = en 3 * de -as volgens de nevenvector v. Op de assen (, ) is dezelfde schaal aangebracht als op de standaard assen (, ) c) De punten zijn getekend met de in de tabel gegeven waarden voor en. d) = = + = = + Invullen 4 + 6 = 0 levert + + + + = ( ) 4( ) ( ) 6 0 + 4 + 4 4 8 + 6 = 0 = 0 = Opmerkingen ) De vorm = a is de standaardgedaante voor een parabool. De bedoeling van het voorbeeld is om te laten zien dat door een geschikte keuze van de vector s in de overgang = s van de variabele vector naar een variabele vector de vergelijking voor een parabool in deze standaardgedaante kan worden gebracht. ) De keuze van de vector s is in het voorbeeld gemaakt op grond van de tabel in en door ervoor te zorgen dat de top van de parabool komt te liggen in de oorsprong O en vervolgens zijn = + s en = + s ingevuld in de isovergelijking met de variabelen en. De techniek van kwadraat afsplitsen (zie aanhangsel) levert een veel directere manier om tot deze standaardgedaante te komen. Bij dit voorbeeld 4 + 6 = 0 ( ) 6 0 + = ( ) ( ) = 0 De keuze = en = levert dan de standaardgedaante = 0 = 3) Ook bij het in de hoofdassengedaante brengen van ellips en hperbool zullen we na de volgende stelling gebruik maken van deze techniek van kwadraat afsplitsen. 0
Stelling In R is gegeven de inhomogene kwadratische vorm K( ) =, A ( ) + b, + d waarina een smmetrische transformatie is. Hieruit wordt met = s een vorm K ( ) = K( + s) gedefinieerd. Voor deze laatste vorm geldt K ( ) =, A ( ) + b, + d met b = A ( s) + b en d = d + A ( s) + b, s. Als de eigenwaarden van A beide ongelijk 0 zijn bestaat er een vector s in b = A ( s) + b = 0 R zodanig dat Bewijs K ( ) = K( + s) = + s, A ( + s) + b, + s + d = + s, A ( ) + A ( s) + b, + s + d lineariteita =, A ( ) +, A ( s) + s, A ( ) + s, A ( s) + b, + b, s + d lineariteit inproduct =, A ( ) +, A ( s) + A ( s), ) + b, + d + s, A ( s) + b, s smmetrie A =, A ( ) + A ( s) + b, + d + A ( s) + b, s lineariteit inproduct Als e en e orthonormale eigenvectoren vana behorend bij de resp. eigenwaarden en, dan geldt s = se + se, b = b e + b e en b = A ( s) + b = A ( se + se ) + be + be = sa ( e ) + sa ( e ) + be + be lineariteit A = s e + s e + be + be eigenwaarden A = ( s + b ) e + (s + b ) e haakjes maken Als de eigenwaarden vana ongelijk nul zijn, dus als 0 en 0, dan is b = 0 b b s = se + se = e e als Opmerkingen ) Bij twee eigenwaarden ongelijk 0 is het dus volgens de stelling altijd mogelijk om door een geschikte keuze van de nieuwe positievector volgens = s het lineaire deel van een inhomogene kwadratische vorm in R weg te transformeren, omdat bij een geschikte keuze van s geldt L ( ) = b, = A ( s) + b, = 0, = 0 ) In de praktijk zullen we dit wegtransformeren altijd uitvoeren met behulp van kwadraat afsplitsen en niet met de formules in het bewijs. De betekenis van de stelling is echter dat nu is bewezen dat dit altijd mogelijk is als de bijbehorende smmetrische transformatie twee eigenwaarden ongelijk 0 heeft. 3) Als het lineaire deel is weggetransformeerd dan is er sprake van hoofdassen volgens
Definitie Als een in R gegeven de inhomogene kwadratische vorm K( ) =, A ( ) + b, + d, waarina een smmetrische transformatie is, door = s de gedaante aanneemt K ( ) =, A ( ) + d dan heet deze gedaante de homogene gedaante van de kwadratische vorm. De haakse assen van A door de oorsprong O, waarbij OO = s, heten dan de hoofdassen van de kwadratische vorm. Voorbeeld Gegeven: Een standaard assenstelsel (, ) in het platte vlak en de inhomogene kwadratische vorm K ( ) = K (, ) = 7 + 0 9 858 04 + 600 Gevraagd a) Herleid het homogene deel van de kwadratische vorm naar de haakse assen door O van de bijbehorende smmetrische transformatie b) Herleid het lineaire deel van de kwadratische vorm naar de haakse assen door O van de bijbehorende smmetrische transformatie. c) Herleid met behulp van kwadraatafsplitsing de kwadratische vorm naar zijn homogene gedaante. d) Geef de hoofdassenvorm van de vergelijking van de isolijn K ( ) = 43. e) Teken in een standaard assenstelsel (, ) de hoofdassen van de kwadratische vorm en teken vervolgens de isolijn. Oplossing a) H (, ) = 7 + 0 9 Stap De geassocieerde smmetrische lineaire transformatie A in R. De matri die deze smmetrische transformatie vastlegt is A 7 60 = 60 9 Stap De eigenwaarden van de smmetrische lineaire transformatie. 7 60 0 7 60 Er geldt A I = = 60 9 0 60 9 A I = 0 levert: (7 )( 9 ) = 0 = 5 = 7 Stap 3 Orthonormale eigenvectoren van de smmetrische lineaire transformatie. Dus v v 7 60 v v 7v + 60 5v A = = 5 = 60 9 60v 9 5 7v + 60 = 5v v = 60v 9 = 5 v = 5 5
5 v = is een eigenvector bij = 5. Ook 5v = is zo n eigenvector. 5 e = 5v = is een eigenvector met lengte bij de eigenwaarde = 5. 5v 3 5 * 5 e = e = is een eigenvector met lengte bij de eigenwaarde = 7. 3 Stap 4 Herschrijven van het homogene deel van de kwadratische vorm. H ( ) = 7 + 0 9 = + = 5 7 b) Stap 5 Herschrijven van het lineaire deel van de kwadratische vorm. 858 L( ) = 858 04 = i = b, 04 858 Dus b = 04 Voor de kentallen van deze vector ten opzichte van de orthonormale basis e, e geldt 858 b = e, b = i = ( ( 858) + 5 ( 04) ) = 83 3 5 04 3 5 858 b = e, b = i = (( 5)( 03) + ( 04) ) = 34 3 04 3 Dit zijn dus ook de kentallen van de vector b ten opzichte van de haakse assen van de smmetrische lineaire transformatie A. Gevolg voor het lineaire deel L( ) = b, = b + b = 83 34 c) K k ( ) = (. ) = 5 7 83 34 + 600 Stap 6 Kwadraat afsplitsen van de kwadratische vorm t.o.v. de haakse assen k(. ) = 5( 6 ) 7( ) + 600 = + + 5( 8) 5 8 7( ) 7 600 5( 8) 7( ) 6 = Noem = 8 = dan k (. ) = 5 7 6 d) Stap 7 Hoofdassengedaante isolijn k (. ) = 43 betekent 5 7 6 = 43 5 7 = 468 5 7 468 468 ( ) ( ) = 3 = 3
Dit is dus de hoofdassengedaante van een hperbool. e) Stap 8 Hoofdassen en isolijn tekenen - Voor de positievector van de oorsprong O geldt wegens stap 6 s = 8 en s =, en wegens stap 3 5 7 OO = s = se + se = 8 + = 3 5 3 4 - De -hoofdas gaat door O en is gericht volgens de vector 3 3 6 e = = 3 5 5. De -hoofdas gaat ook door O en staat loodrecht op de -hoofdas. - De hperbool heeft asmptoten ( ) ( ) = 0 ( ) = ( ) = = 3 3 3 3 - ( ) ( ) = geeft de tabel 3-6 3,64-3,64-5,67 -,67-4,76 -,76-3,5,0 -,0-3 0 0 3 0 0 3,5,0 -,0 4,76 -,76 5,67 -,67 6 3,64-3,64 Opmerking De analse van een isolijn van een inhomogene kwadratische vorm in een plat vlak met standaard assen verloopt dus in een aantal stappen I Analse van het homogene deel Stap De geassocieerde smmetrische lineaire transformatie A in R. Stap De eigenwaarden van de smmetrische lineaire transformatie. Stap 3 Orthonormale eigenvectoren van de smmetrische lineaire transformatie. Stap 4 Herschrijven van het homogene deel van de kwadratische vorm. II Analse van het lineaire deel Stap 5 Herschrijven van het lineaire deel van de kwadratische vorm. III Hoofdassen en hoofdassengedaante Stap 6 Kwadraat afsplitsen van de kwadratische vorm t.o.v. de haakse assen Stap 7 Hoofdassengedaante isolijn IV Tekenen van de isolijn Stap 8 Hoofdassen en isolijn tekenen 4
Aanhangsel: Kwadraatafsplitsen De probleemstelling in dit aanhangsel is de volgende Gegeven: Een reële kwadratische vorm naar de variabele k( ) = + b + d Gevraagd: Een zodanige waarde van waarde van s in = s dat het lineaire deel wordt weggetransformeerd, d.w.z. zodanig dat voor k ( ) = k( + s ) geldt k ( ) = + d Oplossing: Dit kan met behulp van kwadraatafsplitsen. Hoe werkt dit? De essentie van kwadraatafsplitsen is: Voeg aan kwadraat ook af. Aldus p p + = + + ( ) ( ) p p = ( + ) ( ) p p p + p het kwadraat van toe en trek dit Voorbeeld Gegeven: Gevraagd: Oplossing: De reële kwadratische vorm naar de variabele k( ) = 4 4 + 7 Een zodanige waarde van waarde van s in = s dat het lineaire deel wordt weggetransformeerd.. Haal bij 4 4 het getal 4 buiten haken en ga dan kwadraatafsplitsen tussen de haken 4 4 + 7 = 4( 6 ) + 7 = + + 4( 6 3 3 ) 7 ( ) = 4 ( 3) 3 + 7 = Kies = 3, dus met s = 3, dan ( ) = 4 9 k 4( 3) 9 Opmerkingen ) De generalisatie naar k = + + b + b + d met twee variabelen spreekt (, ) voor zich. ) Kwadraatafsplitsen levert ook de oplossingen van de reële kwadratische vergelijking a + b + c = 0 zonder dat de a, b, c formule wordt gebruikt. Voorbeeld Gegeven: Gevraagd: Oplossing: De kwadratische vergelijking + 6 5 = 0 Los deze vergelijking op met behulp van kwadraatafsplitsen. + 6 + 5 = 0 ( + 8 ) + 5 = 0 + + + = ( 8 4 4 ) 5 0 5
( ) ( + 4) 4 + 5 = 0 + = ( 4) 7 0 ( + 4) = 7 7 7 + 4 = + 4 = = 4 + 34 = 4 34 Opgaven V.3. Gegeven een standaard assenstelsel (, ) in het platte vlak en de inhomogene kwadratische vorm K ( ) = K (, ) = 9 6 + 7 + 6 0 + 4 0 + 8 a) Herleid het homogene deel van de kwadratische vorm naar de haakse assen door O van de bijbehorende smmetrische transformatie b) Herleid het lineaire deel van de kwadratische vorm naar de haakse assen door O van de bijbehorende smmetrische transformatie. c) Herleid met behulp van kwadraatafsplitsing de kwadratische vorm naar zijn homogene gedaante. d) Geef de hoofdassenvorm van de vergelijking van de isolijn K ( ) = 50. e) Teken in een standaard assenstelsel (, ) de hoofdassen van de kwadratische vorm en teken vervolgens de isolijn. V.3. Gegeven een standaard assenstelsel (, ) in het platte vlak en de inhomogene kwadratische vorm K ( ) = K (, ) = 44 + 0 + 5 559 46 + 69 a) Herleid het homogene deel van de kwadratische vorm naar de haakse assen door O van de bijbehorende smmetrische transformatie b) Herleid het lineaire deel van de kwadratische vorm naar de haakse assen door O van de bijbehorende smmetrische transformatie. c) Teken in een standaard assenstelsel, ) de isolijn K ( ) = 0. ( V.3. Gegeven een standaard assenstelsel (, ) in het platte vlak en de inhomogene kwadratische vorm K ( ) = K (, ) = 08 + 3 7 + 0 590 5 a) Herleid het homogene deel van de kwadratische vorm naar de haakse assen door O van de bijbehorende smmetrische transformatie b) Herleid het lineaire deel van de kwadratische vorm naar de haakse assen door O van de bijbehorende smmetrische transformatie. c) Herleid met behulp van kwadraatafsplitsing de kwadratische vorm naar zijn homogene gedaante. d) Geef de hoofdassenvorm van de vergelijking van de isolijn K ( ) = 500. e) Teken in een standaard assenstelsel (, ) de hoofdassen van de kwadratische vorm en teken vervolgens de isolijn. 6