Capita Selecta: Grafieken en Lijsten

Transcriptie

1 capita.nb Capita Selecta: Grafieken en Lijsten André Heck AMSTEL Instituut, Universiteit van Amsterdam Å Inleiding Resultaten van berekeningen worden vaak grafisch weergegeven. Je weet al hoe je de grafiek van een functie, bijvoorbeeld x # sin þþþþ x, tekent: In[]:= Plot Abs Sin x, x, -6 * Pi, 6 * Pi ; In "Klassieke Natuurkunde: Golven en trillingen" wordt deze grafiek verfraaid d.m.v. opties: In[]:= Plot Abs Sin x, x, -6 * Pi, 6 * Pi, PlotStyle Hue, AspectRatio 4, Ticks Range -6 * Pi, 6 * Pi, * Pi, None ; -6 p -4 p - p p 4 p 6 p In deze les leer je dergelijke methoden en technieken op het gebied van het tekenen van grafieken met Mathematica. In de wiskunde en haar toepassing komt het vaak voor dat je een serie gegevens getallen volgens eenzelfde recept wilt bewerken. Lijsten maken het mogelijk om dat op een korte en systematische manier te doen. Een voorbeeld uit "Simuleren en modelleren"; een som over de bevolkingsgroei in de VS tussen 79 en 99.

2 capita.nb In[3]:= years = Table 79 + n, n,, ; pop = 3.9, 5.3, 7., 9.6,.9, 7., 3., 3.4, 38.6, 5., 6.9, 76., 9., 5.7,.8, 3.7, 5.7, 79.3, 3.3, 6.5, 48.7 ; data = Table years i, pop i, i,, ; logdata = Table years i, Log pop i, i,, ; ListPlot data, AxesOrigin 78,, Prolog PointSize.5 ; In[8]:= ListPlot logdata, AxesOrigin 78, Log 3, Prolog PointSize.5 ; In deze les leer je met lijsten in Mathematica om te gaan. Dit is een begin van leren programmeren in Mathematica. Dit notebook is een korte selectie uit de laatste twee notebooks horende bij de Mathematica introductie. Werk dit Mathematica notebook aandachtig door en maak de oefeningen. Succes! Å Telkens opnieuw beginnen met In[9]:= Clear "ë" ; Off General::"spell" ; Het eerste commando maakt toegewezen waarden en definities van alle gebruikte symbolen die alleen uit kleine letters bestaan ongedaan. Het tweede commando onderdrukt meldingen over mogelijke spelfouten.

3 capita.nb 3 Å Opties Als je Mathematica een grafiek van een functie laat tekenen, dan maakt het pakket allerlei keuzes: het kiest bijvoorbeeld het bereik van de grafiek, welke merktekens langs de assen staan en waar, lijndiktes, etc. Vaak is dit goed, maar soms is het niet naar wens en moet je zelf sturing geven. Bekijk de grafiek van de functie x # x 3 - x op het interval (-,): In[]:= Plot x^3 - x^, x, -, ; Als je alle functiewaarden op het gegeven domein wilt zien, dan kun je de optie PlotRange de waarde All geven (schrijf de optie als substitutieregel): In[]:= Plot x ^ 3 - x ^, x, -,, PlotRange All ; Je kunt ook zelf een bereik opgeven: In[3]:= Show %, PlotRange -.5, ; We hebben hier nog meer gedaan: we gebruiken Show commando om de grafiek opnieuw te tekenen onder nieuwe condities. Voorwaarde om dit commando te gebruiken is wel dat er geen nieuwe functiewaarden meer uitgerekend hoeven te worden. Je kunt bijvoorbeeld wel vragen om de grafiek te tekenen zonder de assen.

4 capita.nb 4 In[4]:= Show %, Axes False ; Maar je kunt Show niet gebruiken met de optie PlotPoints om het aantal punten in de grafiek in te stellen; hiervoor is echt een nieuwe berekening nodig. In[5]:= Show %, PlotPoints ; Graphics::optx : Unknown option PlotPoints in ú Graphics ú. Je kunt informatie over een optie krijgen op de bekende manier: In[6]:=? PlotPoints PlotPoints is an option for plotting functions that specifies how many sample points to use. More Er zijn twee manieren om een overzicht van de opties van het Plot-commando te krijgen: In[7]:=?? Plot Plot f, x, xmin, xmax generates a plot of f as a function of x from xmin to xmax. Plot f, f,..., x, xmin, xmax plots several functions fi. More Attributes Plot = HoldAll, Protected Options Plot = AspectRatio þþþþþþþþþþþþþþþþ þþþþ GoldenRatio, Axes Automatic, AxesLabel None, AxesOrigin Automatic, AxesStyle Automatic, Background Automatic, ColorOutput Automatic, Compiled True, DefaultColor Automatic, Epilog, Frame False, FrameLabel None, FrameStyle Automatic, FrameTicks Automatic, GridLines None, ImageSize Automatic, MaxBend., PlotDivision 3., PlotLabel None, PlotPoints 5, PlotRange Automatic, PlotRegion Automatic, PlotStyle Automatic, Prolog, RotateLabel True, Ticks Automatic, DefaultFont $DefaultFont, DisplayFunction $DisplayFunction, FormatType $FormatType, TextStyle $TextStyle In[8]:= Options Plot þþþþþþþþþþþþþþþþ þþþþþþþþþþþþþþþþ Out[8]= AspectRatio, Axes Automatic, AxesLabel None, GoldenRatio AxesOrigin Automatic, AxesStyle Automatic, Background Automatic, ColorOutput Automatic, Compiled True, DefaultColor Automatic, Epilog, Frame False, FrameLabel None, FrameStyle Automatic, FrameTicks Automatic, GridLines None, ImageSize Automatic, MaxBend., PlotDivision 3., PlotLabel None, PlotPoints 5, PlotRange Automatic, PlotRegion Automatic, PlotStyle Automatic, Prolog, RotateLabel True, Ticks Automatic, DefaultFont $DefaultFont, DisplayFunction $DisplayFunction, FormatType $FormatType, TextStyle $TextStyle

5 capita.nb 5 Je ziet hier nogal vaak als waarde van een optie Automatic verschijnen: dit betekent dat Mathematica een ingebouwd algoritme gebruikt. We bespreken enkele veel gebruikte opties. Bekijk ze eens voordat je de oefeningen maakt. é PlotRange Bij de instelling Automatic wordt de verdeling van functiewaarden bekeken en op basis hiervan wordt een tekengebied gekozen; extreme waarden worden niet getekend. Je kunt dit ook combineren met vastgestelde grenzen: In[9]:= Plot x^3 - x^, x, -,, PlotRange -, Automatic ; é PlotStyle De stijl van een getekende lijn kun je vastleggen in de optie PlotStyle. Als je deze de waarde Thickness[.5] geeft, dan krijg je een dikke lijn; met GrayLevel[.5] krijg je een grijze lijn en met PlotStyle -> {Thickness[.5], GrayLevel[.5]} krijg je een dikke grijze lijn: In[]:= Plot x ^ 3 - x ^, x, -,, PlotStyle Thickness.5, GrayLevel.5 ; Je kunt ook stippellijntjes specificeren:

6 capita.nb 6 In[]:= Plot x ^ 3 - x ^, x, -,, PlotStyle Dashing. ; Of kleuren kiezen. Dit kan op meerdere manieren: Hue[h] kleurenschema op basis van verzadiging h tussen en. RGBColor[r,g,b] kleurenschema met rood-groen-blauw-waarden r, g, en b tussen en. In[]:= Plot x^3 - x^, x, -,, PlotStyle Hue ; In[3]:= Plot x ^ 3 - x ^, x, -,, PlotStyle RGBColor,, ; Als je Engelse namen wilt gebruiken, dan moet je eerst het Graphics Colors pakket laden: In[4]:= << Graphics Colors In[5]:= Plot x^3 - x^, x, -,, PlotStyle Green ; é Diverse kleurenkaarten De volgende opdrachten geven diverse kleurenkaarten voor GrayLevel, Hue en RGBColor. Ze zijn louter en alleen bedoeld als naslagkaarten; de code hoef je (nog) niet te snappen:

7 capita.nb 7 In[6]:= Show Graphics Join Table GrayLevel i 5, Rectangle i,, i +, 8, i,, 5, Table Text i 5., 5 * i +.5, -, i,, 5, AspectRatio Automatic ; In[7]:= Show Graphics Join Table Hue i 5, Rectangle i,, i +, 8, i,, 5, Table Hue i 5., Text i 5., 5 * i +.5, -, i,, 5, AspectRatio Automatic ; In[8]:= rgkleuren = Table RGBColor i, j,, j,,,., i,,,. ; merktekens =,, 5,.5,,,,, 5,.5,, ; In[3]:= Show Graphics RasterArray rgkleuren, Frame Automatic, FrameTicks merktekens, AspectRatio Automatic, FrameLabel r, g, RotateLabel False, PlotLabel -> "RGB r,g, kleurenschema" ; RGB r,g, kleurenschema.5 g r In[3]:= rbkleuren = Table RGBColor i,, j, j,,,., i,,,. ;

8 capita.nb 8 In[3]:= Show Graphics RasterArray rbkleuren, Frame Automatic, FrameTicks merktekens, AspectRatio Automatic, FrameLabel r, b, RotateLabel False, PlotLabel -> "RGB r,,b kleurenschema" ; RGB r,,b kleurenschema.5 b r In[33]:= gbkleuren = Table RGBColor, i, j, j,,,., i,,,. ; In[34]:= Show Graphics RasterArray gbkleuren, Frame Automatic, FrameTicks merktekens, AspectRatio Automatic, FrameLabel g, b, RotateLabel False, PlotLabel -> "RGB,g,b kleurenschema" ; RGB,g,b kleurenschema.5 b g é PlotLabel, AxesLabel en Ticks Het volgende voorbeeld moge duidelijk maken hoe je - titels en teksten bij de assen kunt plaatsen, - markeringen naar keuze maakt.

9 capita.nb 9 In[35]:= titel = "grafiek van Sin x ^" Out[35]= grafiek van Sin x ^ In[36]:= asteksten = x, Sin x ^ Out[36]= x, Sin x In[37]:= markers = Range, * Pi, Pi, Automatic Out[37]=, p þþþþ, p, 3 p þþþþþþþþ,, Automatic p In[38]:= Plot Sin x ^, x,, * Pi, PlotLabel titel, AxesLabel asteksten, Ticks markers ; Sin xgrafiek van Sin x ^ p þþþþ p 3 p þþþþþþþþ x p Je kunt het allemaal zo mooi maken als je zelf wilt. Een voorbeeld van letterkeuze en notatiekeuze: In[39]:= lbl = StringForm "grafiek van ", Sin x ^ Out[39]= grafiek van Sin x In[4]:= titel = StyleForm TraditionalForm lbl, FontSize 5, FontWeight -> "Bold", FontSlant "Italic" ; asteksten = x, None ; Plot Sin x ^, x,, * Pi, PlotLabel titel, AxesLabel asteksten, Ticks markers ; grafiek van sin p þþþþ p 3 p þþþþþþþþ x x p é Gridlines Met GridLines geef je aan of je "ruitjespapier" wilt.

10 capita.nb In[43]:= Plot x ^, x, -3, 3, PlotRange All, GridLines Automatic ; é AspectRatio Met AspectRatio stel je de schaling van de grafiek in (standaardwaarde geeft guldensnede verhouding). De waarde Automatic geeft een - schaling zoals het volgende voorbeeld illustreert. In[44]:= ParametricPlot Cos t, Sin t, t,, * Pi ; In[45]:= ParametricPlot Cos t, Sin t, t,, * Pi, AspectRatio Automatic ; Het verschil tussen AspectRatio en AspectRatio Automatic komt het best tot uiting in het volgende voorbeeld:

11 capita.nb In[46]:= ParametricPlot Cos t, Sin t, t,, * Pi, PlotRange -,, -,, AspectRatio ; In[47]:= ParametricPlot Cos t, Sin t, t,, * Pi, PlotRange -,, -,, AspectRatio Automatic ; é Oefeningen. De grafiek van de tangens ziet er in Mathematica niet zo mooi uit: In[48]:= Plot Tan x, x, -5, 5 ; Verbeter de grafische weergave.. Je kunt in Mathematica grafieken van meerdere functies in één figuur tekenen. Je moet dan het eerste argument van het Plot commando vervangen door een lijst van functies. Je kunt dan ook lijsten gebruiken voor de waarde van een optie om ze per functie te laten werken. De algemene vorm is dus Plot[ {f[x], f[x],...}, {x, xmin, xmax}, optie {o, o,...}]

12 capita.nb (i) Teken de grafiek van sin x en sin x in één figuur. (ii) Teken de grafiek van sin x en sin x in één figuur, met de eerste rood-gekleurd en de tweede groen-gestreept. (iii) Laad het Graphics Legend pakket via In[49]:= << Graphics Legend Je kunt nu de optie PlotLegend gebruiken om een bijschrijft toe te voegen aan de grafiek. Doe dit voor de twee gegeven functies. Å 3-dimensionale grafieken In[5]:= Clear "ë" ; Met een 3-dimensionale grafiek (kortweg 3D-grafiek genoemd) kun je formules bestuderen die onbekenden bevatten. De twee onbekenden bepalen het grondvlak van de grafiek. De waarde van de formule wordt op de verticale as uitgezet. Er vormt zich een gebogen vlak dat bij elk punt in het grondvlak de bijbehorende waarde van de formule aangeeft. Het maken van een 3D-grafiek is net zo eenvoudig als bij een D-grafiek: alleen gebruik je nu het commando Plot3D en enkele andere opties om de grafiek naar je eigen smaak in te richten. In[5]:= Clear "ë" ; Plot3D Exp -x^ - y^, x, -,, y, -, ; Nieuwe opties zijn: ViewPoint Het tekenen van een 3D-grafiek in twee dimensies op het computerscherm of op papier gebeurt gewoonlijk via projectie. Het centrum van de projectie heet in Mathematica het ViewPoint. Hieronder staat de standaardwaarde: In[53]:= Options Plot3D, ViewPoint Out[53]= ViewPoint.3, -.4,. Het coördinatenstelsel van het gezichtspunt is gecentreerd op het centrum van de getekende kubusrand en dusdanig geschaald dat de langste ribbe lengte heeft. De coördinaten hebben dus niets te maken met de coördinaten van de getekende formule.

13 capita.nb 3 Laten we eens van onderen en van grotere afstand tegen dezelfde grafiek aankijken. In[54]:= Plot3D Exp -x^ - y^, x, -,, y, -,, ViewPoint 4, -.5, - ; Je kunt in het menu Input de optie 3D ViewPoint Selector kiezen, handmatig een geschik gezichtspunt uitzoeken en dit als optie in een incompleet Plot3D commando plakken. PlotPoints, Shading, Mesh, etc. Je kunt ook de kleuring van het oppervlak en de fijnmazigheid van het rooster van het grondvlak beïnvloeden: In[55]:= Plot3D Exp -x^ - y^, x, -,, y, -,, PlotPoints 3, 3, Shading False ; In[56]:= Plot3D Exp -x^ - y^, x, -,, y, -,, PlotPoints 5, 5, ColorFunction Hue, Mesh False ;

14 capita.nb 4 é Oefeningen 3. Maak de volgende formule: - sin x - cos y Teken de grafiek voor x tussen -3 en + en y tussen - en. Kloppen de afmetingen van het grondvalk met de ingevoerde waarden? 4. Hier is nog een formule: + sin x + cos y Maak er een grafiek van en combineer deze grafiek met de vorige in één figuur Å Speciale grafieken In[57]:= Clear "ë" ; Mathematica kan meer dan grafieken van functies in één of twee veranderlijken tekenen. We geven enkele voorbeelden zonder veel commentaar. Bekijk ze eens voordat je de oefeningen maakt. é Geparametriseerde krommen In[58]:= ParametricPlot t * Cos t, t * Sin t, t,, 8 * Pi, AspectRatio Automatic ; In[59]:= ParametricPlot3D t * Cos t, t * Sin t, t, t,, 8 * Pi, ViewPoint 3,, ;

15 capita.nb 5 é Speciale grafieken uit extra Mathematica pakketten Met LogPlot en LogLogPlot kun je grafieken van functies tekenen in logaritmische of dubbel-logaritmische schaal. Maar zie wat er gebeurt als je de commando s zo maar aanroept: In[6]:= LogPlot x ^ + ^ x, x,.,, PlotPoints ; Op zichzelf een correct commando, maar Mathematica weet nog niet wat het betekent. De code is opgeborgen in een pakket, Graphics Graphics genaamd, en dit moet je eerst ophalen in het systeem. Er bestaan nog meer speciale grafieken-pakketten en je kunt ze allemaal gebruiken als je de zogenaamde context Graphics binnenhaalt. Maar dit moet je wel doen voordat je een procedure aanroept. Daarom verwijderen we eerst de door ons ingevoerde, foutieve LogPlot en halen daarna de Graphics context binnen: In[6]:= Remove LogPlot ; << Graphics ; Nu werkt het LogPlot commando wel goed: In[63]:= LogPlot x ^ + ^ x, x,.,, PlotPoints ; We geven nog enkele voorbeelden van speciale grafieken: In[64]:= LogLogPlot x ^ + ^ x, x,.,, PlotPoints ;

16 capita.nb 6 In[65]:= PolarPlot Cos t * 4 * Sin t ^ -, t,, * Pi ; In[66]:= PlotVectorField Sin x, Cos y, x,, Pi, y,, Pi ; é Animaties Je kunt in Mathematica bewegende beelden, oftewel animaties, maken. Er zijn 3 manieren, waarvan we er twee bespreken:. Animate - Je plaatst in de tekenopdracht een parameter, - je zet om de opdracht Animate en - je geeft een gebied op waardoor de animatie-parameter loopt. Mathematica maakt dan een serie grafieken onder elkaar. - Selecteer ze allemaal door de juiste groepshaak rechts te kiezen met de linkermuisknop. - Voor de overzichtelijkheid kun je dubbelklikken om alleen het eerste plaatje in beeld te houden. - Je zet de animatie aan met ÇY of door in het menu Cell de optie Animate Selected Graphics te kiezen. - Links onderin het notebook verschijnt een controlepaneel om bijvoorbeeld de snelheid van de animatie te regelen. Prober het hieronder uit:

17 capita.nb 7 In[67]:= Plot Sin x, x,, 6 * Pi ; In[68]:= Animate Plot Sin x + t, x,, 6 * Pi, t,, * Pi ; ShowAnimation Je kunt ook een rijtje graphische objecten, die wellicht op verschillende wijzen gemaakt zijn, als animatie afspelen met het commando ShowAnimation. We behandelen dit niet verder. 3. Via het user interface. Je kunt ook een opeenvolgende serie van grafieken maken, deze figuren selecteren en via de menu-optie Animate Selected Graphics achter elkaar tonen als ware het een tekenfilm. We geven het voorbeeld van een animatie van een slinger, afkomstig uit "Klassieke natuurkunde: Golven en Trillingen". In[69]:= a =.95; T = Min 3, Abs 4 * EllipticK a ^ 4 ; bwp = f t + Sin f t ç, f ç, f ç a Out[7]= Sin f t + f t ==, f ==, f ==.95 In[7]:= opl = First NDSolve bwp, f, t,, T Out[7]= f InterpolatingFunction.,.6576, <> In[73]:= Do Show Graphics Line,, Sin f t, -Cos f t, Disk Sin f t, -Cos f t,.. opl, PlotRange -.,., -.,., AspectRatio Automatic, t,, T - T 5, T 5 ;

18 capita.nb 8 é Oefeningen 5. Teken de grafiek van de Catenoide die gedefiieerd is door de parameterisering t, z # cos t cosh z, sin t cosh z, z waarbij b t b p, - b z b. 6. Het vectorveld van de gradient van een (scalaire) functie f op het x-y vlak is het vectorveld van noemen dit ook wel het vectorveld van de potentiaalfunctie f. f þþþþþþ x, f þþþþþþ. We y Teken het vectorveld van de potentiaal f x, y = ln x + + y - ln x - + y, horende bij het electrisch veld van twee parallelle lijnladingen. 7. Maak een animatie van en rondraaiende spiraal. Å Werken met lijsten Gegevens worden vaak opgeslagen in de vorm van lijsten. In deze sectie leer je hoe hier mee om te gaan. é Het maken van lijsten en selecteren van lijstelementen In[74]:= Clear "ë" ; In Mathematica is een lijst een rijtje van objecten geplaatst tussen accolades. Bijvoorbeeld: In[75]:= Out[75]= Sin x, Cos x, Tan x Sin x, Cos x, Tan x Vaak is het handig de procedure Table te gebruiken om lijsten te maken. In de volgende twee opdrachten maken we een lijst van kwadraten van de eerste natuurlijke getallen en een lijst van de even getallen tussen 5 en 75. In[76]:= kwadraten = Table i ^, i,, Out[76]=, 4, 9, 6, 5, 36, 49, 64, 8, In[77]:= even = Table i, i, 5, 75, Out[77]= 5, 5, 54, 56, 58, 6, 6, 64, 66, 68, 7, 7, 74

19 capita.nb 9 De algemene vorm van de opdracht is Table[ uitdrukking, iterator ] waarbij de iterator het aantal te genereren lijstelementen bepaalt. De meest algemene vorm van een iterator is {var, min, max, stapgrootte} Dan wordt de gegeven expressie herhaalde malen geevalueerd, startend met var = min en eindigend bij var = max, waarbij var in elke stap met stapgrootte opgehoogd wordt. Note bene: i.p.v. de opdracht Table[i, {i,,,}] mag je ook het kortere Range[,,] gebruiken om een lijst van de even getallen tussen en te krijgen. Elementen uit een lijst kun je gemakkelijk selecteren: telling van links naar rechts begint bij en als je bijvoorbeeld het 5 e element van bovenstaande lijst van kwadraten wilt hebben, dan kun je intoetsen In[78]:= kwadraten 5 Out[78]= 5 Als je negatieve indices gebruikt dan wordt neerwaarts geteld van rechts naar links: In[79]:= kwadraten - Out[79]= Om het eerste en laatste element van een lijst te selecteren mag je ook de commando s First en Last gebruiken. Je kunt ook meerdere lijstelementen tegelijkertijd kiezen en het antwoord is op zijn beurt een lijst: In[8]:= kwadraten, -, Out[8]=,, Een lijstelement kun je een andere waarde geven en daarmee verandert eigenlijk de hele lijst: In[8]:= kwadraten Out[8]=, 4, 9, 6, 5, 36, 49, 64, 8, In[8]:= kwadraten 3 = "IX"; kwadraten Out[83]=, 4, IX, 6, 5, 36, 49, 64, 8, é Operaties op lijsten In[84]:= Clear "ë" é Herrangschikking Mathematica heeft verschillende commando s om lijsten te herrangschikken:

20 capita.nb In[85]:= lijst = Table Random Integer,, 6, Out[85]= 4,,,,, 5, 6,, 4, Onderstaande commando s mogen voor zich spreken In[86]:= Sort lijst Out[86]=,,,,,, 4, 4, 5, 6 In[87]:= Reverse % Out[87]= 6, 5, 4, 4,,,,,, In[88]:= RotateLeft % Out[88]= 5, 4, 4,,,,,,, 6 é Combinatie Mathematica heeft verschillende commando s om lijsten te combineren: In[89]:= L =,, 3 ; L =, 3, 4 ; Vergelijk de resultaten van onderstaande opdrachten. In[9]:= Union L, L Out[9]=,, 3, 4 In[9]:= Join L, L Out[9]=,, 3,, 3, 4 In[93]:= L, L Out[93]=,, 3,, 3, 4 é Aanpassing Een element van een bestaande lijst kun je een andere waarde geven en daarmee verandert eigenlijk de hele lijst. Een voorbeeld: In[94]:= oneven =, 3, 5, 7, 9 ; In[95]:= oneven = "I"; oneven Out[96]= I, 3, 5, 7, 9 Met PrependTo en AppendTo voeg je elementen voor of achteraan toe aan een lijst:

21 capita.nb In[97]:= AppendTo oneven, ; oneven Out[98]= I, 3, 5, 7, 9, In[99]:= PrependTo oneven, ; oneven Out[]=, I, 3, 5, 7, 9, Er zijn nog meer operaties op lijsten die het aantal lijstelementen veranderen. Maar deze wijzigen niet stilzwijgend een toewijzing van een lijst, zoals onderstaand voorbeeld illustreert. In[]:= oneven Out[]=, I, 3, 5, 7, 9, In[]:= Rest oneven Out[]= I, 3, 5, 7, 9, In[3]:= oneven Out[3]=, I, 3, 5, 7, 9, Om met dergelijke commando s een lijst te wijzigen moet je expliciet een toewijzing doen. In onderstaande opdracht worden de eerste twee lijstelelementen weggelaten in oneven en het resultaat wordt op zijn beurt aan deze variabele toegewezen. In[4]:= oneven = Drop oneven,, Out[4]= 3, 5, 7, 9, In[5]:= priemen = Take oneven,, 3 Out[5]= 3, 5, 7 In[6]:= priemen = Append priemen, Out[6]= 3, 5, 7, Tussen twee haakjes, het aantal lijstelementen bepaal je met Length. In[7]:= Length priemen Out[7]= 4 é Verandering van vorm Mathematica biedt mogelijkheden om snel de vorm van een lijst te veranderen. Een paar voorbeelden. In[8]:= L = Table i, i,, Out[8]=,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

22 capita.nb Met Partition kun je een lijst opsplitsen. Het resultaat is een lijst van lijsten, die opgevat kan worden als een tabel: In[9]:= T = Partition lijst, Out[9]= 4,,,,, 5, 6,, 4, In[]:= TableForm T Out[]//TableForm= In[]:= Dimensions T Out[]= 5, Inderdaad, een tabel met 5 rijen en kolommen. In[]:= T = Partition lijst, 5 Out[]= 4,,,,, 5, 6,, 4, In[3]:= TableForm T Out[3]//TableForm= In[4]:= Dimensions T Out[4]=, 5 De gespiegelde tabel krijg je met Transpose: In[5]:= T3 = Transpose T Out[5]= 4, 5,, 6,,,, 4,, In[6]:= TableForm T3 Out[6]//TableForm= Je kunt een lijst van lijsten of een ingewikkeldere structuur van geneste lijsten plat slaan tot een enkelvoudige lijst met het commando Flatten. In[7]:= T3 Out[7]= 4, 5,, 6,,,, 4,, In[8]:= Flatten T3 Out[8]= 4, 5,, 6,,,, 4,,

23 capita.nb 3 Met andere woorden: alle accolades met uitzondering van de buitenste twee worden weggehaald met Flatten. é Grafieken van lijsten van getallen In[9]:= Clear "ë" Met het commando ListPlot kun je lijsten van getallen grafisch weergeven. In[]:= kwadraten = Table i ^, i,, Out[]=, 4, 9, 6, 5, 36, 49, 64, 8, In[]:= ListPlot kwadraten ; Door een enkele optie toe te voegen kun je de punten in de grafiek beter zichtbaar maken: In[]:= ListPlot kwadraten, PlotStyle PointSize.3 ; En je kunt het natuurlijk altijd zo mooi maken als je zelf wilt:

24 capita.nb 4 In[3]:= ListPlot kwadraten, PlotLabel StyleForm "kwadraten", FontFamily -> "Times-Bold", FontSize -> 6, Background GrayLevel.9, PlotStyle PointSize.3, GridLines Range, Automatic, AxesOrigin,, AxesLabel StyleForm n, FontSize 4, StyleForm n ^, FontSize 4 ; n kwadraten n Het commando ListPlot kun je ook gebruiken om de grafiek van een lijst van puntenparen te tekenen. In[4]:= xydata =,,, 3,,, 3,, 4, 3, 5, ; In[5]:= ListPlot xydata, PlotStyle PointSize. ; Er bestaat een optie PlotJoined, die bij de waarde True de punten met rechte lijnen verbindt. In[6]:= ListPlot xydata, PlotJoined True ;

25 capita.nb 5 Als je de gegevens in twee lijsten hebt en tegen elkaar uit wilt zetten, dan moet je lijstoperaties gebruiken om de juiste puntenparen aan te maken. Bijvoorbeeld: In[7]:= x =,,, 3, 4, 5 ; y =, 3,,, 3, ; xy = Transpose x, y Out[9]=,,, 3,,, 3,, 4, 3, 5, é Rekenen met lijsten In[3]:= Clear "ë" We bekijken de lijst van eerste priemgetallen In[3]:= priemen = Table Prime i, i,, Out[3]=, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3, 9 Mathematica is in staat om precies dezelfde berekening op alle lijstelementen los te laten. Bijvoorbeeld, om overal af te trekken: In[3]:= priemen - Out[3]=,, 4, 6,,, 6, 8,, 8 Of elk element te kwadrateren: In[33]:= priemen^ Out[33]= 4, 9, 5, 49,, 69, 89, 36, 59, 84 Worteltrekken en numeriek benaderen zijn twee andere voorbeelden: In[34]:= Sqrt priemen Out[34]=, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3, 9 In[35]:= N % Out[35]=.44,.735,.367,.64575, 3.366, , 4.3, , , Mathematica weet dat dit kan doordat de Sqrt functie en het commando N de eigenschap Listable hebben. Dit kun je eenvoudig controlleren. In[36]:=?? Sqrt Sqrt z gives the square root of z. More Attributes Sqrt = Listable, NumericFunction, Protected Een zelfgemaakte functie heeft deze eigenschap niet, met bijkomende gevolgen. Als voorbeeld dient de volgende functie die de priemdelers van een natuurlijk getal groter dan opsomt. In[37]:= priemdelers n_integer? # > & := First Transpose FactorInteger n

26 capita.nb 6 In[38]:= priemdelers Out[38]=, 5 In[39]:= L = Range, Out[39]=, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, In[4]:= priemdelers L Out[4]= priemdelers, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Op een lijst van getallen werkt de functie niet. Allicht want de functie heeft niet de eigenschap Listable. In[4]:=?? priemdelers Global priemdelers priemdelers n_integer? # > & := First Transpose FactorInteger n Wil je deze functie toch toegepast zien op elk lijstelement afzonderlijk, dan moet je de procedure Map van stal halen: In[4]:= Map priemdelers, L Out[4]=, 3,, 5,, 3, 7,, 3,, 5 Map[ commando, lijst] past het commando toe op elk element van lijst. I.p.v. het commando Map zie je ook wel eens de volgende infix-notatie: In[43]:= priemdelers ë L Out[43]=, 3,, 5,, 3, 7,, 3,, 5 Je kunt ook de procedure zelf de eigenschap Listable geven via SetAttributes: In[44]:= SetAttributes priemdelers, Listable In[45]:= priemdelers, 5, 3 Out[45]=, 5, 5,, 3, 5 Soms wil je niet dat een commando op elk lijstelement afzonderlijk toegepast wordt, maar wil je de lijst helemaal vervangen, bijvoorbeeld door de som van de lijstelementen. Je kunt dit doen op verschillende manieren, maar er bestaat een hele efficiënte methode in een functionele programmeerstijl. Eerst maar eens kijken hoe uitdrukkingen er intern in Mathematica uitzien. Vergelijk x + y en {x, y}: In[46]:= FullForm x + y Out[46]//FullForm= Plus x, y In[47]:= FullForm x, y Out[47]//FullForm= List x, y

27 capita.nb 7 Het verschil tussen de som en de lijst is alleen de aanduiding Plus en List voor de soort uitdrukking. Als je in staat bent om List door Plus te vervangen, dan heb je een lijst vervangen door de som van de lijstelementen. In Mathematica doe je dit met het commando Apply. In[48]:= Apply Plus, x, y Out[48]= x + y En omgekeerd: In[49]:= Out[49]= Apply List, x + y x, y In het algemeen ziet een expressie er intern in Mathematica altijd uit als Kop[ argument en ] Apply[ naam, Å] vervangt de Kop door de naam. Nog twee voorbeelden ter illustratie en tevens om het gebruik van een verkorte te introduceren: In[5]:= Apply Subtract, x ç y ç Out[5]= x - y == In[5]:= Apply Times, x, y, z Out[5]= x y z In[5]:= Plus ëë x, y, z Out[5]= x + y + z é Oefeningen 8. Maak een lijst van de eerste oneven positive getallen (d.w.z,, 3, 5,.., 39) d.m.v. (i) Range (ii) Table (iii) Selecteer hieruit de priemgetallen (hint: Select en PrimeQ zijn nuttige commando s) 9. (i) Ga na wat Mathematica oplevert als je de volgende commando s toepast op de onderstaande lijst In[53]:= Clear g ; lijst = a, b, c, d, e, f ; In[55]:= Map g, lijst Out[55]= g a, b, g c, d, g e, f In[56]:= MapAt g, lijst, Out[56]= g a, b, c, d, e, f

28 capita.nb 8 In[57]:= MapAll g, lijst Out[57]= g g g a, g b, g g c, g d, g g e, g f In[58]:= Apply g, lijst Out[58]= g a, b, c, d, e, f In[59]:= Apply g, lijst, Out[59]= g a, b, g c, d, g e, f (ii) Beschouw de geneste lijst als een tabel: In[6]:= TableForm lijst Out[6]//TableForm= a b c d e f Bedenk een efficiënte manier in functionele programmeerstijl om van de gegeven lijst een nieuwe lijst te maken bestaande uit alleen de tweede kolom, dw.z {b,d,f}. Hoe krijg je op efficiënte wijze de eerste kolom. Definieer de functie gemiddelde die het gemiddelde van een lijst getallen uitrekent: In[6]:= gemiddelde lijst_ := Pas de functie toe op de lijst van eerste natuurlijke getallen