Op ontdekking naar wiskundige formules
|
|
- Johan Bauwens
- 7 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Op ontdekking naar wiskundige formules Een voorbeeld van good practice met focus op het wiskundige denken Dag van de wiskunde 26/11/2016
2 Opleiding KULeuven Korte voorstelling Doctoraat in getaltheorie via F.W.O. Vlaanderen (o.l.v. J. Denef & J. Oesterlé) Postdoc in Parijs (Orsay) bij B. Perrin-Riou Docent-onderzoeker aan de Universiteit Utrecht (oa. de lerarenopleiding) o.l.v. F. Beukers Leraar secundair, o.a. in een technische school en in een zwarte school Docent in de Ba lager onderwijs Vorselaar Docent/praktijkassistent aan de UAntwerpen Verleden in de VWO/IMO Lid onderwijsraad UAntwerpen Lid van de commissie van de Wiskunde B-dag Redactielid van Matematika v šoli Verbonden met talrijke praktische onderwijsvernieuwingen 1
3 Inleidend vb. Met n afbetalingen van één euro met vaste tussenperioden aan een vaste rente i kan je vandaag A(n,i) geld ontlenen. Formule annuïteiten: Oefening: hoeveel kan je ontlenen als je maandelijks 500 euro kan afbetalen op 20 jaar tegen een (jaar)rente van 0,5%? Obstakels: euro 1 euro - Jaarrente rente tussen twee afbetalingen - Eerste afbetaling binnen twee maanden 2
4 Inspirerende quotes From the very beginning of his education, the child should experience the joy of discovery. (A. Whitehead) Mathematical notation no more is mathematics than musical notation is music... It is in its performance that it comes alive, it exists not on the page but in our minds. (K. Devlin) La tâche de l'éducateur est de faire repasser l'esprit de l'enfant par où a passé celui de ses pères, en passant rapidement par certaines étapes mais en n'en supprimant aucune. (H. Poincaré)!! Het woord wiskunde komt van «Wisconst» (S. Stevin ): de kunst van het zeker weten. 3
5 Zelfontdekkend werken Aan de slag in groepen van 2. Geobord of nagelbord (rooster met spaties 1 cm). Meten met lat is dus niet nodig. Figuren maken met elastiek en spijkers tellen die (1) binnen de figuur liggen; (2) op de rand van de figuur liggen Oplijsten van figuren (beschrijf in woorden EENDUIDIG of teken op constructieblad) en resultaten van de telling + berekening oppervlakte 4
6 Voorbeeld opdracht 1 Rechthoek met zijden 3 en 5 cm heeft oppervlakte 15 cm 2. Spijkers binnen de rechthoek (grijs): 8 Spijkers op rand van de rechthoek (wit): 16 5
7 Opdrachten 1-8 Conclusie (Stelling van Pick) De oppervlakte (in cm 2 ) van een roosterveelhoek is gelijk aan het aantal spijkers binnen de figuur + de helft van het aantal spijkers op de rand - 1 Oppervlakte van zwaanfiguur is gelijk aan /2-1 = 35 cm 2. Laten verwoorden wanneer deze formule van pas (kan) komen en wanneer niet 6
8 Geldt dit altijd? Ondanks de overtuigende cijfers in de tabel, toch de nood laten aanvoelen van argumentatie Idee (cfr opdracht 3): betegelen met rechthoeken en driehoeken + additiviteit 7
9 En verder Wat als de spijkers niet 1 cm uit elkaar staan, maar bv ½ cm? Wat als de spijkers niet in een vierkant staan, maar in rechthoeken? Conclusie: Oppervlakte figuur is steeds gelijk aan (spijkergetal 1) x oppervlakte van de roosterbasisfiguur Nu: werken aan opdrachten 9 e.v. 8
10 Opdrachten 9 e.v. Verschillende opdrachten, behalve de allerlaatste. Conclusie bij figuren met gaten : oppervlakte is gelijk aan (spijkergetal 1 + aantal gaten) x opp basisfiguur Merk op dat aantal gaten samenhangt met aantal elastiekjes die nodig zijn Bewijs: pas originele formule toe op grote figuur zonder gaten en op alle gaten afzonderlijk 9
11 Doorsnijding op roosterpunt Doorsnijdingen Opsplitsen in verschillende figuren met oorspronkelijke formule, leidt tot: opp figuur is gelijk aan (spijkergetal - 1 ½ x (aantal zelfdoorsnijdingen)) x opp basisfiguur 10
12 Doorsnijdingen (vervolg) Multipliciteit van een doorsnede Vb. multipliciteit is hier 4 Leidt tot conclusie: opp figuur is gelijk aan (spijkergetal - 1 ½ x (aantal zelfdoorsnijdingen geteld met multipliciteit)) x opp basisfiguur Bewijs: via opsplitsing in deelfiguren en daarop toepassen van oorspronkelijke formule 11
13 Wat als de doorsnijding niet op een roosterpunt valt? Geen formule mogelijk Doorsnijdingen (vervolg) tenzij je je rooster aanpast 12
14 Ook combineren kan Bovenstaande combineren kan uiteraard 13
15 Tot slot: alternatieve manier Alle verschillende gevallen kunnen in één keer worden behandeld door elke spijker te tellen met zijn correct gedeelte, nl. het gedeelte waaronder de spijker de figuur ziet. Goniometrie? 14
16 Na de wiskunde de didactiek A teacher has great opportunity. If he fills his allotted time with drilling his students in routine operations he kills their interest, hampers their intellectual development and misuses his opportunity. But if he challenges the curiosity of his students by setting them problems proportionate to their knowledge, and helps them solve their problems with stimulating questions, he may give them a taste for, and some means of, independent thinking (G. Pólya) Since learning is the sum of each person s experiences, and since success in meeting a challenge is a powerful motivator, blending experience with new content helps students to organize the new content. (J. Zull) Is dit zelfontdekkend leren zinvol in de klas(sen) waar je staat? Algemene reacties na het uitvoeren van de workshop? 15
17 Didactische conclusies Begrip hoe een formule tot stand komt + nood aan argumentatie/bewijs, zorgt voor een beter begrijpen van wiskunde (en meer zelfvertrouwen) Deze les kan dienen als discussie bij het bespreken van andere formules Zorg voor een leuk deel met kans tot persoonlijke toets Tactiele opdrachten in een les wiskunde Variatie in lessen wordt heel erg geapprecieerd De les eens letterlijk uit handen geven Veel aandacht voor het ontdekken en verwoorden is cruciaal Inhoudelijke differentiatie mogelijk 16
18 Didactische conclusies (2) Laat de stapjes bij de opbouw van een formules duidelijk zien - Een lijst waar je een duidelijke systematiek in herkent - Een formule die goed lijkt te werken - De ontdekking van een tegenvoorbeeld - Dit leidt tot een verbetering/veralgemening van je eerste formule - Nood aan argumentatie wanneer de formule geldt: voorwaarden/bewijs Laat de verschillende stappen van de opbouw van een bewijs zien - Check de formule in eenvoudige gevallen - Ga van daaruit naar de moeilijkere gevallen - Probeer te beargumenteren dat je daarmee alles kan bekomen 17
19 Uit gesprek/enquête studenten Zeg in eigen woorden wat een formule voor jou inhoudt. Totaal akkoord - Iets wat wordt aangereikt door leerkracht - Iets wat je altijd mag gebruiken -! Truc om oefeningen op te lossen Een formule is enkel een truc om oefeningen op te lossen Akkoord Neutraal Niet akkoord Totaal niet akkoord j j Er is een leerkracht nodig om een formule te ontdekken Totaal akkoord Akkoord Neutraal Niet akkoord Totaal niet akkoord
20 Gebrek aan weten wat je juist doet, voorwaarden, flexibiliteit in gebruik Verwoording is weinig aanwezig Focus op de opbouw en redenering achter een formule is erg nodig. Betekenis van een voorwaarde. 19
21 Leerlingen Observaties/feedback bij uitvoeren van zo n lessen - gaan zelfstandig (in kleine groep) aan de slag - hebben heel wat moeite met (correct) verwoorden - appreciëren het verschil in lesaanpak Feedback lln.: mijn reflectie over de les van dinsdag is uiterst lovend. Ik vond het ontzettend prettig om zelf eens op onderzoek te gaan. Het was een uiterst interessante les! Ook de samenwerking vond ik goed verlopen, samen zijn we tot mooie inzichten gekomen. Ik vond de andere manier van werken dinsdag heel aangenaam. Het was een leuk gevoel zelf dingen te kunnen ontdekken. Het is wel jammer dat we niet voldoende tijd hadden om alles af te werken. Ik hoop dat we in de toekomst nog vaker zo een dingen zullen doen. Feedback leraar: Ik voel me wat schuldig. Ik zag vandaag S. openbloeien terwijl ik in december ze nog heb moeten terechtwijzen dat ze er niet zou komen op deze manier. Ik was er van overtuigd dat dit aan haar inzet en inzicht lag, maar als ik het plezier en het succes zie waarmee ze vandaag wiskunde deed, zet me dat wel aan het denken. 20
22 Onderwijsvernieuwing op schoolmaat We zijn op zoek naar: school/lerarenteams die willen meewerken vanuit hun context aan één werkpunt ivm wiskundedidactiek. Dus: leraren in een school bepalen eigenlijk zelf onderzoeksvraag en definiëren verbeteringen - Vb.1 (puur wiskundig): Hoe kunnen we het begrip gelijkvormigheid beter uitwerken? - Vb.2 (breder):hoe kunnen we het wiskunde-curriculum integreren in extra muros activiteiten? Zo wordt vakdidactiek, gezien als ontwerpwetenschap: vanuit de dagdagelijkse en school specifieke vragen op zoek naar (wetenschappelijk ondersteunde) verbeteringen van de praktijk. Onderzoek dat komt vanuit de basis i.p.v. top-down I.s.m. universiteit van Bonn interesse: laat het weten (zie mailadres titelpagina) Referenties: - Krainer K., Action Research, Journal of Mathematics Teacher Education (2009), p Krainer K., Teachers as Stakeholders in Mathematics Educations Research, Proceedings of the 35 th conference of the International Group of Psychology of Mathematics Education (PME 2011), vol. 1, p
23 Nog vragen/bemerkingen? Referenties: - Herremans A., Calculating areas by counting nails, Proceedings of the 1st International Conference on Learning and Teaching Mathematics, Maribor - ISBN Ljubljana, Institute of Education (2012), p Herremans A., Hoe komt een formule tot stand?, Wiskunde en onderwijs - ISSN (2015), p Op laatste bladzijde: een voorbeeld van samenvattende conclusie voor leerlingen na het zelfontdekkende leren 22
24 Conclusies Formules Wanneer je een veelhoek hebt op een spijkerbord, dan kan je daaraan een spijkergetal associëren: dat is het aantal spijker in het inwendige van je figuur plus de helft van het aantal spijkers op de rand van de figuur. Voor eenvoudige veelhoeken is de oppervlakte dan gelijk aan (OPP. BASISFIGUUR) X (SPIJKERGETAL 1). * Voor meer ingewikkelde figuren kon je de formule verfijnen tot (OPP. BASISFIGUUR) X (SPIJKERGETAL + # GATEN 0,5 X # ZELFDOORSNIJDINGEN 1). Deze formule is handig voor iets ingewikkeldere figuren, waar ze zeker tijdswinst oplevert. In het voorbeeld tellen we 33 inwendige en 34 randspijkers. Dat levert een spijkergetal van 50. Verder zijn er twee gaten en twee zelfdoorsnijdingen. We besluiten dat de oppervlakte van de figuur gelijk is aan ( ) x de oppervlakte van een basisvierkantje. Het bewijs van de eenvoudige formule vertrekt van rechthoekige driehoeken en toont dan aan dat de som van 2 figuren waar de formule voldoet, opnieuw een figuur is waar de formule standhoudt (met een moeilijk woord: we bewijzen het additief karakter van de formule). * De Oostenrijkse wiskundige Georg Alexander Pick ( ) beschreef deze formule voor het eerst in Hij stierf in een nazi-concentratiekamp. Veel belangrijker dan het resultaat is de weg er naar toe. In lessen en boeken vind je vaak enkel de afgewerkte eindformule terug. Daarom lijken ze erg moeilijk toegankelijk, of denk je dat je dit nooit zelf kan vinden. Doch eer die afgewerkte formule er komt, heeft die al een hele weg doorlopen die in vele gevallen vele jaren duurt. We onderscheiden verschillende stappen: Experimenteren en verzamelen van cijfermateriaal (opdrachten 1-3) Een logisch en eenvoudig idee (spijkergetal uit opdracht 4) Het vinden en verwoorden van een systematiek (verschil tussen oppervlakte en spijkergetal lijkt steeds 1 te zijn) Zoeken naar argumenten waarom je gevonde systematiek altijd opgaat Het vinden van tegenvoorbeelden bij je eerste idee (figuren met gaten, zelfdoorsnijdingen) Het verfijnen van de formule zodat die meer algemeen geldig is (aanpassingen voor ander rooster, voor figuren met gaten ) Het opleggen van voorwaarden waaronder de formule geldig is (doorsnijdingen moeten steeds op een spijker gebeuren) Meestal vind je in een les of boek dus enkel de laatste twee stappen. Dat betekent ook dat het dus heel normaal is dat jij niet elke formule direct ziet, vaak was dat ook het geval voor de mensen die de formule hebben gevonden! Ook mogelijke stappen bij de opbouw van een wiskundig bewijs, vind je hier terug: check de formule in eenvoudige gevallen (rechthoek, rechthoekige driehoeken) ga van daar naar de moeilijkere situaties (additiviteit) probeer aan te tonen dat je elke situatie de baas kan als je stap 1 en 2 kan (deze stap hebben we niet gedaan en is hier heel moeilijk) maak gebruik van de originele formule om de veralgemeende versies ervan aan te tonen
Hoe komt een formule tot stand?
Hoe komt een formule tot stand? Een voorbeeld van good practice met focus op het wiskundige denken Adriaan.Herremans@UAntwerpen.be Dag van de wiskunde 14/11/2015 Opleiding KULeuven Korte voorstelling Doctoraat
Nadere informatieOpdrachtbladen (I) Hoe komt een formule tot stand?
Opdrachtbladen (I) Hoe komt een formule tot stand? Adriaan Herremans Dag van de wiskunde Kortrijk 14/11/2015 Hieronder vinden jullie opdrachten. Je werkt samen met je buur en kan overleggen met je overburen.
Nadere informatieOpdrachtbladen (II) Hoe komt een formule tot stand?
Opdrachtbladen (II) Hoe komt een formule tot stand? Adriaan Herremans Dag van de wiskunde Kortrijk 14/11/2015 Hieronder vinden jullie opdrachten. Je werkt samen met je buur en kan overleggen met je overburen.
Nadere informatie19 De stelling van Pick
19 De stelling van Pick 19.1 Historiek De Oostenrijkse wiskundige Georg Alexander Pick werd in 1859 geboren in Wenen en werd in 1942, omwille van zijn Joodse afkomst, gedeporteerd naar het concentratiekamp
Nadere informatieDe stelling van Pick. Dion Gijswijt
Sommige wiskundige stellingen zijn zo fantastisch simpel en elegant, dat je je afvraagt: Waarom ben ik daar niet op gekomen! Dit stukje gaat over precies zo n stelling: eenvoudiger dan de stelling van
Nadere informatieDe stelling van Pick. Dion Gijswijt
Sommige wiskundige stellingen zijn zo fantastisch simpel en elegant, dat je je afvraagt: Waarom ben ik daar niet op gekomen! Dit stukje gaat over precies zo n stelling: eenvoudiger dan de stelling van
Nadere informatieTORPEDO TORPEDO. Een digitale leeromgeving voor de ontwikkeling van reken-wiskundig probleemoplossend vermogen
Een digitale leeromgeving voor de ontwikkeling van reken-wiskundig probleemoplossend vermogen Reken-wiskundig probleemoplossend vermogen Reken-wiskundig probleemoplossend vermogen stelt mensen in staat
Nadere informatieBinnenklasdifferentiatie voor iedereen.. door Stéphanie De Bruyne
Binnenklasdifferentiatie voor iedereen.. door Stéphanie De Bruyne Stephanie.De.Bruyne1@gmail.com Een korte kennismaking Waarom? Reproductie sociale ongelijkheid Hervorming secundair onderwijs PISA resultaten
Nadere informatieUitdager van de maand. Rekenen Wiskunde, Groep 8. Algemeen. Titel. Roosterveelhoeken. Cognitieve doelen en vaardigheden voor excellente leerlingen
Uitdager van de maand Roosterveelhoeken Rekenen Wiskunde, Groep 8 Algemeen Titel Roosterveelhoeken Cognitieve doelen en vaardigheden voor excellente leerlingen De oppervlakte van een figuur (met vierkante
Nadere informatieDiep in de problemen. Rogier Bos & Paul Drijvers Freudenthal Instituut Universiteit Utrecht. Hogeschool Utrecht
Diep in de problemen zitten Rogier Bos & Paul Drijvers Freudenthal Instituut Universiteit Utrecht 02-02-2019 Hogeschool Utrecht Doelen van deze werkgroep Probleemoplossen ervaren Probleemoplossen observeren
Nadere informatieIk kom er soms tijdens de les achter dat ik mijn schoolspullen niet bij mij heb of niet compleet
1 2 3 4 MATERIAL PREPARING LESSON ATTITUDE TOWARD WORK Ik kom er vaak tijdens de les achter dat ik mijn schoolspullen niet bij mij heb Ik kom er soms tijdens de les achter dat ik mijn schoolspullen niet
Nadere informatieLeerdoelen en succescriteria in de wiskundelessen.
Leerdoelen en succescriteria in de wiskundelessen tom.robijns@ucll.be marieke.vandersmissen@ucll.be Aanleiding Integreren van relevante nieuwe inzichten over wat werkt in onderwijs in een nieuw ontwikkeld
Nadere informatieFabel Positieve feedback in het schrijfschrift zorgt ervoor dat kinderen leesbaar leren schrijven.
Fabel of feit? Auteurs: Annelies de Hoop & Johannes Noordstar Goed zo! Kinderen leren leesbaar schrijven door positieve feedback. Kerndoel van het schrijfonderwijs is dat leerlingen gedurende de basisschool
Nadere informatieAnalytische en andere soorten meetkunde van Mavo tot Maple. Utrecht, 9 januari 2016 Wintersymposium KWG Jeroen Spandaw j.g.spandaw@tudelft.
Analytische en andere soorten meetkunde van Mavo tot Maple Utrecht, 9 januari 2016 Wintersymposium KWG Jeroen Spandaw j.g.spandaw@tudelft.nl Puzzel mavo 3 Puzzel mavo 3 Puzzel mavo 3 Veronderstel: zijde
Nadere informatieZinvol realiseren van competenties in de derde graad Visie en werkvormen
Zinvol realiseren van competenties in de derde graad Visie en werkvormen T 3 Symposium, Oostende Onze-Lieve-Vrouwecollege Brugge dinsdag 19 augustus 2014 Voorwoord What is teaching? http:/vimeo.com/48768091
Nadere informatieHet authentieke portfolio als instrument in het zelfsturend leren van professionals
1 Het authentieke portfolio als instrument in het zelfsturend leren van professionals Next Learning, 22 april 2015 Michael Bots, Kenniscenter de Kempel 2 Voordat we beginnen.. Wat verstaan we onder een
Nadere informatieREKENEN WORDT WISKUNDE
REKENEN WORDT WISKUNDE Tine Wijnants Actieonderzoek Bachelor Secundair Onderwijs, KHLim Waarom haken sommige leerlingen af tijdens de lessen wiskunde? Wat maakt het Secundair Onderwijs zo anders dan het
Nadere informatieEngels op Niveau A2 Workshops Woordkennis 1
A2 Workshops Woordkennis 1 A2 Workshops Woordkennis 1 A2 Woordkennis 1 Bestuderen Hoe leer je 2000 woorden? Als je een nieuwe taal wilt spreken en schrijven, heb je vooral veel nieuwe woorden nodig. Je
Nadere informatieInstructie voor Docenten. Hoofdstuk 13 OMTREK EN OPPERVLAKTE
Instructie voor Docenten Hoofdstuk 13 OMTREK EN OPPERVLAKTE Instructie voor docenten H13: OMTREK EN OPPERVLAKTE DOELEN VAN DIT HOOFDSTUK: Leerlingen weten wat de begrippen omtrek en oppervlakte betekenen.
Nadere informatieJoos Vandewalle. wiskunde voor iedereen
Joos Vandewalle wiskunde voor iedereen Hoe kan je het wiskundig denken laten groeien en bloeien bij alle leerlingen? Joos Vandewalle Op basis van de ideeën van Jo Boaler Youcubed Mythes over wiskunde Mythes
Nadere informatieCreatief denken. 11 maart 2016
11 maart 2016 Rekenen-wiskunde en creatief denken SLO nationaal expertisecentrum leerplanontwikkeling NRCD 11 maart 2016 Marc van Zanten, SLO & UU http://curriculumvandetoekomst.slo.nl/21e-eeuwse-vaardigheden/
Nadere informatieLESSON STUDY SUI LIN GOEI VU AMSTERDAM HOGESCHOOL WINDESHEIM DOOR SAMENWERKEN DE LES VERSTERKEN MAATSCHAPPELIJKE IMPACT ALFA- EN GAMMAWETENSCHAPPEN
LESSON STUDY DOOR SAMENWERKEN DE LES VERSTERKEN MAATSCHAPPELIJKE IMPACT ALFA- EN GAMMAWETENSCHAPPEN 7 DECEMBER 2017 SESSIE ONDERWIJS EN PEDAGOGIEK SUI LIN GOEI VU AMSTERDAM HOGESCHOOL WINDESHEIM nr. 1
Nadere informatieTPACK-NL vragenlijst een toelichting
TPACK-NL vragenlijst een toelichting Petra Fisser & Joke Voogt Universiteit Twente Curriculumontwerp & Onderwijsinnovatie http://www.tpack.nl In dit document is de Nederlandse versie van de TPACK vragenlijst
Nadere informatiegelijkvormigheid handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek
gelijkvormigheid inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek gelijkvormigheid gelijkvormigheid 1 de grote lijn hoofdlijn de zijlijn
Nadere informatieWiskunde C vwo. Workshop Noordhoff wiskundecongres 19 november 2015 Jan Dijkhuis en Sabine de Waal. Programma
Wiskunde C vwo Workshop Noordhoff wiskundecongres 19 november 2015 Jan Dijkhuis en Sabine de Waal Programma 1. Vorm en ruimte in Getal & Ruimte 2. Logisch redeneren in Getal & Ruimte 1. Examenprogramma
Nadere informatieVELOV-leergemeenschap Digitaal Leren
VELOV-leergemeenschap Digitaal Leren Welke richting slaan we in met de lerarenopleiding? Hoe is het om in 2020 in de lerarenopleiding te studeren? Hoe ziet de leraar van de toekomst eruit? Zijn mobiele
Nadere informatieHet gaat niet om de verpakking, maar om wat er in zit!
Het gaat niet om de verpakking, maar om wat er in zit! U-talent opdracht Wiskunde Havo 3 (eventueel vwo 3) Inleiding Het verpakken en vervoeren van producten is een belangrijk onderwerp in de commerciële
Nadere informatieFeedback conceptvisie BEWEGEN & SPORT
Feedback conceptvisie BEWEGEN & SPORT Reactieformulier Curriculum.nu visie Negen ontwikkelteams, leraren en schoolleiders werken aan de actualisatie van het curriculum voor alle leerlingen in het primair
Nadere informatieVlaams Lerend Netwerk STEM SO. Voorstel Model voor het STEMonderwijs
Vlaams Lerend Netwerk STEM SO Voorstel Model voor het STEMonderwijs Een STEM-reform kan zeker niet slagen zonder de onderwijsactoren zelf, leraren en leerlingen deel van de oplossing te laten zijn (Dancy,
Nadere informatieCreatief onderzoekend leren
Creatief onderzoekend leren De onderwijskundige: Wouter van Joolingen Universiteit Twente GW/IST Het probleem Te weinig bèta's Te laag niveau? Leidt tot economische rampspoed. Hoe dan? Beta is spelen?
Nadere informatieWiskundige Denkactiviteiten (WDA)
Wiskundige Denkactiviteiten (WDA) SLO nationaal expertisecentrum leerplanontwikkeling 28 september 2016 Peter van Wijk Programma Voorbeelden van WDA s Wat zijn WDA s? Hoe zie je dit terug in de centrale
Nadere informatieAXIOMATIEK VAN GETALLEN, vergezichten vanuit mijn ivoren toren
AXIOMATIEK VAN GETALLEN, vergezichten vanuit mijn ivoren toren Bas Edixhoven Universiteit Leiden KNAW symposium Rekenen, 30 juni 2014 Wat volgt is slechts mijn eigen mening. Deze aantekeningen zal ik op
Nadere informatieSyllabus Leren Modelleren
Syllabus Leren Modelleren Januari / februari 2014 Hervormd Lyceum Zuid Klas B1B SCHRIJF HIER JE NAAM: LES 1 Syllabus Modelleren; Les 1: Zoekproblemen Klas B1B Inleiding In de lessen voor de kerstvakantie
Nadere informatiePolyatheorie. Erik Verraedt 2011-2012
2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding 4 2 Enkele telproblemen 5 2.1 Probleem 1........................................ 5 2.2 Probleem 2........................................ 5 2.3 Probleem 3........................................
Nadere informatieEen exploratieve studie naar de relatie tussen geïntegreerd STEM-onderwijs en STEM-vaardigheden op secundair niveau
Een exploratieve studie naar de relatie tussen geïntegreerd STEM-onderwijs en STEM-vaardigheden op secundair niveau dr. H. Knipprath ing. J. De Meester STEM Science Engineering Technology Mathematics 2
Nadere informatiePortfolio wiskunde. zelfstandig en gedifferentieerd maken van oefeningen
Het portfolio wiskunde: zelfstandig en gedifferentieerd maken van oefeningen Dag van de wiskunde - Werkwinkel 8 Onze-Lieve-Vrouwecollege Brugge zaterdag 14 november 2015 Deze werkwinkel... gaat over didactiek
Nadere informatie3 Formules. 8 x 6 = x 3 = 12. r-w-w b-w-w g-w-w r-w-r b-w-r g-w-r r-z-w b-z-w g-z-w r-z-r b-z-r g-z-r 6 x 7 = x 100 = 500.
31 32 1 2 8 x 6 = 48 3 Formules 4 x 3 = 12 r-w-w b-w-w g-w-w r-w-r b-w-r g-w-r r-z-w b-z-w g-z-w r-z-r b-z-r g-z-r 6 x 7 = 42 12 5 x 0 = 500 5 0 12 x 150 = 1800 12 12 x 200 = 2400 1440 : 12 = 120 3 4 29
Nadere informatieJoTondeur (VUB), Koen Aesaert & Johan van Braak (UGent)
JoTondeur (VUB), Koen Aesaert & Johan van Braak (UGent) Inhoud Context en theorie ICT-competenties studentleraren Strategieën lerarenopleiding (SQD) Probleemstelling Methode Survey Multilevel analyse Resultaten
Nadere informatieOnderwijs voor de 21 ste eeuw. Kris Van den Branden
Onderwijs voor de 21 ste eeuw Kris Van den Branden Is ons onderwijs nog mee met de tijd? Met de deur in huis De wereld is drastisch veranderd, de school niet. En dus falen onze scholen niet. Ze zijn gewoon
Nadere informatieNieuwe didactiek vwo 2 en 3 Connect College: resultaten van een onderzoek. Prof. dr. Perry den Brok
Nieuwe didactiek vwo 2 en 3 Connect College: resultaten van een onderzoek Prof. dr. Perry den Brok Betrokkenen Connect College (opdrachtgever) Kennisnet (subsidie onderzoek) Technische Universiteit Eindhoven
Nadere informatieWELKOM! Wil je op je A4 opschrijven wat je nu weet over Lesson Study? Evelien van Geffen 12 mei 2016
WELKOM! Wil je op je A4 opschrijven wat je nu weet over Lesson Study? Evelien van Geffen e.c.van.geffen@hva.nl 12 mei 2016 1 UITKOMSTEN VORIG ONDERZOEK Een aantal conclusies uit het onderzoek van Amagir,
Nadere informatieContent and Language Integrated Learning in de moderne vreemde talenles
Content and Language Integrated Learning in de moderne vreemde talenles Tessa Mearns 2 juni 2017 Bij ons leer je de wereld kennen 1 Doelen Aan het eind van deze workshop kunt u.. voorbeelden geven van
Nadere informatieMotiverende beoordelingsvormen in de Lichamelijke Opvoeding. Project 4/05/2015. Missie onderzoeksgroep sportpedagogiek UGent
Motiverende beoordelingsvormen in de Lichamelijke Opvoeding Met dank aan Project ENW project binnen doctoraat Sport Pedagogiek UGent Samenwerking tussen partnerinstellingen die opleiding tot leraar lichamelijke
Nadere informatieTitel: Creatief met (kilo) gram Groep 5 rekenen 1
Titel: Creatief met (kilo) gram Groep 5 rekenen 1 De leerlingen gaan in deze les op een speelse en kritische manier een verdieping leggen in de begrippen kilogram en gram aangezien de meeste leerlingen
Nadere informatieWISKUNDIGE TAALVAARDIGHEDEN
WISKUNDIGE TLVRDIGHEDEN Derde graad 1 Het begrijpen van wiskundige uitdrukkingen in eenvoudige situaties (zowel mondeling als 1V4 2V3 3V3 (a-b-c) schriftelijk) 2 het begrijpen van figuren, tekeningen,
Nadere informatieLVSO. Research for Students
LVSO Research for Students Overzicht 1. Introductie tot Student Onderzoek en LVSO 2. Voorstelling projecten en labo s 3. Praktische handleiding tot het statuut 4. LVSO Café I. Introductie tot Student Onderzoek
Nadere informatieMarketing & Communications DNS.be 2010 & 2011. 28 april 2011
Marketing & Communications DNS.be 2010 & 2011 28 april 2011 CENTR Marketing Workshop April 2011 - Helsinki 2 Agenda Campaign 2010: Goal Campaign Results & Learnings Market research: Goal Outcome Learnings
Nadere informatieVakdidactische kennis als perspectief op samenwerking tussen gammavakken
Vakdidactische kennis als perspectief op samenwerking tussen gammavakken Hanneke Tuithof: Universiteit Utrecht en Fontys Lerarenopleiding Tilburg. Tuur de Beer, Jefta Bego, Tim Simonse, Eefje Smit en Annemieke
Nadere informatieFeedbackrijke didactiek Lesideeën en opdrachten. Sergej Visser
Feedbackrijke didactiek Lesideeën en opdrachten Sergej Visser Formatief evalueren 29 oktober 2017 Sergej Visser Programma bla Feedbackrijke didactiek: wat is dat? PDCA-cyclus: kennis & kunde meetbaar maken
Nadere informatievan sinus en cosinus André Heck Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam a.j.p.heck@uva.nl
Een GeoGebraondersteunde benadering van sinus en cosinus André Heck Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Universiteit van Amsterdam a.j.p.heck@uva.nl Het probleem: De sinusgrafiek 2 De sinusgrafiek
Nadere informatieHET ONDERWIJS IN FINLAND Studiereis 13-20 maart 2016
HET ONDERWIJS IN FINLAND Studiereis 13-20 maart 2016 The Education System of Finland and Education in Rovaniemi The aim is a school that functions as a learning organisation that: l a s r e s: v s a ran
Nadere informatieSTEM@school. 1. Aanleiding STEM@school 2. STEM@school 3. Kader voor een geïntegreerde STEM-didactiek: 4. Ontwikkelwerk
STEM@school STEM@school 1. Aanleiding STEM@school 2. STEM@school 3. Kader voor een geïntegreerde STEM-didactiek: 4. Ontwikkelwerk ROSE studie (2010) Aanleiding STEM@school ROSE studie (2010) Aanleiding
Nadere informatieHoezo denkactiviteiten?
Hoezo denkactiviteiten? Paul Drijvers, Freudenthal Instituut Peter van Wijk, ctwo/aps 2011-11-05 350 450 100 N F P H Afstand tot F Afstand tot P 350 450 100 N F P H 350 450 100 N F P H Is dit een wiskundige
Nadere informatieeen buddy bij de wieg Perinatale coaching van maatschappelijk kwetsbare zwangeren An De Craecker Arteveldehogeschool Gent
een buddy bij de wieg Perinatale coaching van maatschappelijk kwetsbare zwangeren An De Craecker Arteveldehogeschool Gent een buddy bij de wieg 1. Research 2. Project: het buddy-model 1. Wetenschappelijk
Nadere informatie52. Op weg naar rijkere breukenlessen
52. Op weg naar rijkere breukenlessen Op naar rijkere breukenlessen Maaike Koopman, Marieke Thurlings en Perry den Brok Onderzoek naar breukenlessen: introductie PROO onderzoek (411-10-703) De rol van
Nadere informatiePreschool Kindergarten
Preschool Kindergarten Objectives Students will recognize the values of numerals 1 to 10. Students will use objects to solve addition problems with sums from 1 to 10. Materials Needed Large number cards
Nadere informatieAmsterdam University of Applied Sciences. Leren redeneren en experimenteren met concept cartoons Kruit, P.M. Link to publication
Amsterdam University of Applied Sciences Leren redeneren en experimenteren met concept cartoons Kruit, P.M. Link to publication Citation for published version (APA): Kruit, P. (2012). Leren redeneren en
Nadere informatieSTEM academies voor kwetsbare jongeren in Brussel.
STEM academies voor kwetsbare jongeren in Brussel Jan.Sermeus@odisee.be Jelle.DeSchrijver@odisee.be http://odifiks.odisee.be/ 1 STEM academies 9 14 jaar, 4 x 2 uur aandacht voor kansengroepen focus op
Nadere informatieCOGNITIEVE DISSONANTIE EN ROKERS COGNITIVE DISSONANCE AND SMOKERS
COGNITIEVE DISSONANTIE EN ROKERS Gezondheidsgedrag als compensatie voor de schadelijke gevolgen van roken COGNITIVE DISSONANCE AND SMOKERS Health behaviour as compensation for the harmful effects of smoking
Nadere informatieCEVA-DRIEHOEKEN. Eindwerk wiskunde 2010. Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi. Soetemans Dokus
CEVA-DRIEHOEKEN Eindwerk wiskunde 010 Heilige-Drievuldigheidscollege 6WeWIi Soetemans Dokus Inhoud 1. Inleiding... 4 1.1. Info over Giovanni Ceva... 4 1.. Wat zijn Ceva-driehoeken?... 4 1.3. Enkele voorbeelden...
Nadere informatieRaakvlakken wi-, sk-, na-, biodidactiek
19-05-16 1 Raakvlakken wi-, sk-, na-, biodidactiek in de ULO 19-05-16 2 Een oud probleem Bij natuurkunde weten de leerlingen weinig meer van de kennis opgedaan bij wiskunde en omgekeerd we moeten ervoor
Nadere informatieVELOV conferentie 26 februari 2015 Wim Lauwers, Katrien Goossens, Leen Alaerts, Koen Crul, Lysbeth Jans, Lode Vermeersch, contact:
VELOV conferentie 26 februari 2015 Wim Lauwers, Katrien Goossens, Leen Alaerts, Koen Crul, Lysbeth Jans, Lode Vermeersch, contact: wim.lauwers@ucll.be ONDERZOEK VRAGEN EN KADER Hoe cultuureducatie integreren
Nadere informatieWiskundigen aan het werk. het lerarenberoep
: het lerarenberoep oudstudentenvereniging QED, Universiteit Gent Onze-Lieve-Vrouwecollege Brugge woensdag 4 maart 2015 Inhoud 1 Over mezelf 2 Over de job Studie, werk en geografie De uitdaging Aanbrengen
Nadere informatieMaking Shift Happen OVER LOAD
Making Shift Happen OVER LOAD WAT ELKE LERAAR MOET WETEN COGNITIEVE BELASTING IN DE KLAS Tim Surma @timsurma Education is a technology that tries to make up for what the human mind is innately bad at.
Nadere informatieEuropese puzzel: op zoek naar goede praktijken als antwoord op noden van studenten
Europese puzzel: op zoek naar goede praktijken als antwoord op noden van studenten Overzicht Introductie en doelstellingen Werkwijze Resultaten Website: Map of needs: Needbox en Toolbox Inspiratie Vragen
Nadere informatieVandaag 11/22/11$ ALS WE KIEZEN VOOR BEWIJZEN, LATEN WE DAN NIET TOVEREN. Moeilijk onderdeel van de leerstof
2 3 ALS WE KIEZEN VOOR BEWIJZEN, LATEN WE DAN NIET TOVEREN ErasmushogeschoolBrussel Lerarenopleiding LSO anne.schatteman@ehb.be Vandaag 2 Moeilijk onderdeel van de leerstof 3 Bewijzen worden behandeld
Nadere informatieEen combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010
Een combinatorische oplossing voor vraag 10 van de LIMO 2010 Stijn Vermeeren (University of Leeds) 16 juni 2010 Samenvatting Probleem 10 van de Landelijke Interuniversitaire Mathematische Olympiade 2010vraagt
Nadere informatieWorkshop voorbereiden Authentieke instructiemodel
Workshop voorbereiden Authentieke instructiemodel Workshop voorbereiden Uitleg Start De workshop start met een echte, herkenbare en uitdagende situatie. (v.b. het is een probleem, een prestatie, het heeft
Nadere informatieWat leren lerarenopleiders* van conferentie-deelname?
Wat leren lerarenopleiders* van conferentie-deelname? Dr. ir. Quinta Kools, Dr. Rita Schildwacht Fontys Lerarenopleiding Tilburg, lectoraat professionalisering van leraren en lerarenopleiders context Conferentie
Nadere informatieWe geven hier een definitie uit de school van de grote Amerikaanse vakdidacticus biologie Joseph Novak, gemaakt door Wandersee (2002) blz. 129.
7.6 Zorgen voor samenhang ecologie Conceptmap maken Marcel Kamp Het maken van een conceptmap is een werkvorm die bij uitstek samenhang in het denken bevordert. In Ecologie leren en onderwijzen wordt op
Nadere informatieA. Cooreman. 6 MV 3D volume, constructies en problemen
A. Cooreman Ink ijke xe mp la ar MV 3D volume, constructies en problemen Leerjaar kk Groep 2 Remediëring 1 3 2 3 Naam: D/201/13280/ ISBN 9 7892 18 i.s.m 7 8 Klas: digitaal Legende iconen Leer dit vanbuiten.
Nadere informatieKritisch Denken met Rationale
Docentendag Maatschappijleer 2018 Kritisch Denken met Rationale Timo ter Berg & Daan van Riet Kritisch Denken Inhoud 1. Introductie 2. Belang Kritisch Denken (= KD) 3. Wat is KD? 4. Hoe ontwikkel je KD-vaardigheden?
Nadere informatieProjectdefinitie. Plan van aanpak
Projectplan DOT2 Projectdefinitie ICT is niet meer weg te denken uit ons onderwijs (Hasselt, 2014). Als (toekomstige) leerkracht is het belangrijk dat je daar op inspeelt en kennis hebt van de laatste
Nadere informatieBinnenklasdifferentiatie Leerkansen voor alle leerlingen
Binnenklasdifferentiatie Leerkansen voor alle leerlingen Katrien Struyven Vrije Universiteit Brussel Vakgroep Educa;ewetenschappen In memoriam Georges Tibau 1 Getting started Geef voor elke vraag aan,
Nadere informatieICT in het onderwijs
ICT in het onderwijs Wilfred Rubens DNA-middag, Interstudie NDO Foto: turtlemom_nancy Bron: Digital Birmingham Technologische ontwikkelingen (o.a. breedband) + inzichten in didactiek = potentie voor onderwijs
Nadere informatieDe professionele leergemeenschap met een onderzoekende cultuur. Masterclass 3
De professionele leergemeenschap met een onderzoekende cultuur Masterclass 3 De professionele leergemeenschap met een onderzoekende cultuur Thomas Friedman (2005) The world is flat Onderwijs is zeer traag
Nadere informatiePDA s gericht op praktijkonderzoek in de lerarenopleiding Themagroep Professionele Georgia, Ontwikkeling 36, bold van Leraren Opleiders voor en door
PDA s gericht op praktijkonderzoek in de lerarenopleiding Themagroep Professionele Georgia, Ontwikkeling 36, bold van Leraren Opleiders voor en door onderzoek Context Belang van praktijkonderzoek (en het
Nadere informatiePROFESSIONAL LEARNING COMMUNITIES IN ACTIE
PROFESSIONAL LEARNING COMMUNITIES IN ACTIE VELON Congres, Papendal, Arnhem, 26 & 27 maart 2015 Lysbeth Jans, Wim Lauwers, Lode Vermeersch, Katrien Goossens, Leen Alaerts, Koen Crul LERARENOPLEIDINGEN Leerkracht
Nadere informatieWiskunde 1b Oppervlakte
PROFESSIONELE BACHELOR IN HET ONDERWIJS SECUNDAIR ONDERWIJS Auteur: Greet Verhelst, Eddy Greunlinx Lector: Academiejaar 2016-2017 Inhoudsopgave 1 Veelhoekig gebied... 4 2 van een veelhoekig gebied...
Nadere informatieCambridge International Examinations Cambridge International General Certificate of Secondary Education
Cambridge International Examinations Cambridge International General Certificate of Secondary Education *6934808096* FIRST LANGUAGE DUTCH 0503/02 Paper 2 Writing May/June 2018 2 hours Candidates answer
Nadere informatieLEERPLANSTUDIE Tweede graad TSO/KSO leerplan d
LEERPLANSTUDIE Tweede graad TSO/KSO leerplan d 1 Leerplannen Eerste graad A-stroom (D/2009/7841/003) In voege sinds 1 september 2009 Tweede graad KSO/TSO (D/2002/0279/048) In voege sinds 1 september 2002
Nadere informatieAlle opgaven tellen even zwaar, 10 punten per opgave.
WAT IS WISKUNDE (English version on the other side) Maandag 5 november 2012, 13.30 1.30 uur Gebruik voor iedere opgave een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer op elk vel. Alle opgaven tellen even
Nadere informatieGelijkheid ervaren met de hangmobiel: algebra in groep 7
Gelijkheid ervaren met de hangmobiel: algebra in groep 7 Mara Otten Promovendus Universiteit Utrecht Begeleiders: Prof. Dr. Marja van den Heuvel Panhuizen (Universiteit Utrecht) Dr. Michiel Veldhuis (Universiteit
Nadere informatieLEER STUDEREN MET Spaced Practice SPREID JE STUDEERMOMENTEN IN DE TIJD
Spaced Practice SPREID JE STUDEERMOMENTEN IN DE TIJD Start je planning voor je toetsen vroeg genoeg en maak hiervoor dagelijks een beetje tijd vrij. 5 uren verspreid over 2 weken is beter dan 5 uur aan
Nadere informatieUniversity of Groningen
University of Groningen Opvoeding op school en in het gezin. Onderzoek naar de samenhang tussen opvoeding en de houding van jongeren ten opzichte van sociale grenzen Mooren, Francisca Catharina Theodora
Nadere informatieVoting Wiser. The Effect of Voting Advice Applications on Political Understanding. J. van de Pol
Voting Wiser. The Effect of Voting Advice Applications on Political Understanding. J. van de Pol Nederlandse samenvatting 140 Kieswijzers of stemhulpen in de wetenschappelijke literatuur aangeduid als
Nadere informatieTOETSEN EN EXAMINEREN IN HET HOGER ONDERWIJS
TOETSEN EN EXAMINEREN IN HET HOGER ONDERWIJS Centrale vraag: Hoe kunnen we de praktijk van evalueren optimaliseren om zo een kwaliteitsvolle, gebalanceerde evaluatiepraktijk te realiseren? DE KRACHT VAN
Nadere informatieUniversity of Groningen. Vrije en reguliere scholen vergeleken Steenbergen, Hilligje
University of Groningen Vrije en reguliere scholen vergeleken Steenbergen, Hilligje IMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish to cite from it. Please
Nadere informatieO Mundo WERKEN MET ANDERSTALIGE PRENTENBOEKEN IN DE KLAS
O Mundo WERKEN MET ANDERSTALIGE PRENTENBOEKEN IN DE KLAS Vooraf: the danger of a single story http://www.ted.com/talks/chimamanda_adichie_the_danger_of_a_sin gle_story?language=nl Welkom Voorstelling Doel
Nadere informatieThe training courses are only offered in Dutch.
Training courses NWO Academy Do you want to focus on the competencies we want to develop throughout the organisation, on what is important for your job and working in projects, or on strengthening your
Nadere informatieStrategisch lezen voor beroep en studie
Strategisch lezen voor beroep en studie Roos Scharten (Expertisecentrum Nederlands) Georgia Vasilaras (ROC de Leijgraaf) Edith Vissers (KPC Groep) 9 december 2015 Leijgraaf: het uitgangspunt! Elke professional
Nadere informatieFeedback middels formatief toetsen
Feedback middels formatief toetsen Studiedag Mbo Taalacademie Kim Schildkamp Contact: k.schildkamp@utwente.nl Formatief toetsen en feedback Waar denkt u aan bij de termen formatief toetsen en feedback?
Nadere informatieVlaams Lerend Netwerk STEM SO. Voorstel STEM model
Vlaams Lerend Netwerk STEM SO Voorstel STEM model Een STEM-reform kan zeker niet slagen zonder de onderwijsactoren zelf, leraren en leerlingen deel van de oplossing te laten zijn (Dancy, & Henderson, 2008)
Nadere informatieklas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf
Checklist 3 HAVO wiskunde klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf 1. Hoofdstuk 1 - lineaire problemen Ik weet dat de formule y = a x + b hoort bij de grafiek hiernaast. Ik kan bij een lineaire formule de
Nadere informatieReflecteren met onderbouwleerlingen is zinvol! Maar waarom en hoe?
Reflecteren met onderbouwleerlingen is zinvol! Maar waarom en hoe? Figuur 1: Leerlingen reflecteren samen. Daltonschool de Bongerd in Oene Bernadette Palm Het belang van reflecteren Het vergroten van kennis;
Nadere informatieTopic 10-5 Meeting Children s Intellectual Needs
Topic 10-5 Meeting Children s Intellectual Needs In this topic, you will learn how to help children develop the ability to reason and use complex thought, as well as The role of play in intellectual development
Nadere informatieJohn Dewey en de betekenis van kunst en cultuur voor opvoeding en onderwijs
John Dewey en de betekenis van kunst en cultuur voor opvoeding en onderwijs Joop Berding LKCA, Utrecht 30 november 2016 www.joopberding.nl @joopberding www.facebook.com/ikbenookeenmens 1999 2011 2016 Start
Nadere informatieA HISTORICAL ANGLE, A SURVEY OF RECENT LITERATURE ON THE USE AND VALUE OF THE HISTORY IN GEOMETRICAL EDUCATION...17
INHOUDSOPGAVE 1 INLEIDING...11 1.1 ACHTERGROND...11 1.2 DOELSTELLING...11 1.3 UITVOERING...12 1.3.1 Literatuuronderzoek...12 1.3.2 Onderwijsontwerp...13 1.3.2.1 De 17 e -eeuwse Nederlandse landmeter...
Nadere informatieOverzicht curriculum VU
Overzicht curriculum VU Opbouw van de opleiding Ter realisatie van de gedefinieerde eindkwalificaties biedt de VU een daarbij passend samenhangend onderwijsprogramma aan. Het onderwijsprogramma bestaat
Nadere informatieAcademisch schrijven Inleiding
- In this essay/paper/thesis I shall examine/investigate/evaluate/analyze Algemene inleiding van het werkstuk In this essay/paper/thesis I shall examine/investigate/evaluate/analyze To answer this question,
Nadere informatie