Geometrische Optica met Matrices

Transcriptie

1 Geometrische Optica met Matrices Dr. Sc. J. Vanderhaeghen Een lichtstraal ertrekt ana het inalslak op een astand y tot de optische as en maakt een hoek θ met de optische as. Na doorgang door een optisch systeem komt de lichtstraal toe op het uitgangslak onder een hoek θ 2 met de optische as en op een astand y 2 tot de optische as. y n y 2 n 2 2 De oergang an het inalslak tot het uitgangslak kan weergegeen worden door de transermatrix: y2 n2θ2 = A B C y D nθ Waarij AD BC =.. De transermatrix.. De translatiematrix y 2 =y +dtanθ = y +θ (θ = θ 2, translatie oer een astand d, tanθ = θ oor kleine hoeken) θ 2 θ n y 2 y d d is steeds positie. y2 = d/n nθ2 y nθ

2 .2 De reractiematrix sinφ = y/r R is positie(negatie) als het krommingsmiddelpunt rechts(links) an het rekend opperlak ligt. Wet an Snellius sinθi sinθr = n2 n nθi = n2θr (sinθ = θ oor kleine hoeken) θi = θ + φ θr = θ2 + φ nθi = nθ + nφ = nθ + ny/r n2θr = n2θ2 + n2φ = n2θ2 + n2y2/r nθ + ny R n2y2 = n2θ2 + R y = y2 n2θ2 = nθ n2 n y R y2 n2θ2 = n2 n y nθ R p = n2 n R

3 p is het rekend ermogen an het rekend opperlak. De eenheid an p is dioptrie. Ze is positie oor een conergerend en negatie oor een diergerend opperlak..3 De lensmatrix Deze estaat uit 2 reractiematrices en één translatiematrix. S = d/n2 n2 n R n n2 R2 Voor een lens in lucht n = n2 = n n is de rekingsindex an het rekend opperlak. Voor een dunne lens d = S = n d/n n R2 R S = d/n p2 p p2 = n R2 p = n R S = p2 p S = p2 p = (p + p2) S = / = (n ) R R2

4 2. Karakteristieke stralen 2. Straal die eenwijdig met de optische as inalt De ector an het inalslak y wordt dan eronden met de ector an het uitgangslak y2 θ2 door : y2 θ2 = y / y2 = y θ2 = y/ y = y 2 θ Straal die door het optisch middelpunt gaat. De ector an het inalslak wordt dan eronden met de ector an het uitgangslak y2 θ θ2 door : y2 = θ2 / θ y2 = θ2 = θ θ 2 θ 2.3 Straal die door het randpunt inalt. De ector an het inalslak y wordt dan eronden met de ector an het y/ uitgangslak y2 door : θ2

5 y2 θ2 = / y y/ y2 = y θ2 = 3. Eigenschappen an lenzen met matrices 3. De lenzenormule en de lineaire ergroting Beschouw een oorwerp gelegen op een astand oor een lens met randpuntsastand. Het eeld wordt geormd op een astand. De ector die oereenstemt met het oorwerp is y θ. De ector die oereenstemt met het eeld op een astand achter de lens is y θ. B y B / y V De transermatrix wordt oorgesteld door de matrixermeniguldiging an 3 matrices, 2 translatiematrices en de lensmatrix. / De resulterende transermatrix is D C B A / / Veronderstel een puntron op de optische as y =. Beschouw 2 stralen anuit de puntron. De eerste olgens de optische as, de tweede onder een hoek θ. De eerste straal gaat rechtdoor, terwijl de tweede straal geroken wordt en een hoek θ maakt met de optische as. Het eeldpunt wordt geormd op de optische as op een astand ten opzichte an de lens. Deze astand wordt geonden door y en y gelijk aan nul te stellen. B / / θ y =y 2

6 Dit leert de lenzenormule B = geet dus de lenzenormule. Voor een reëel (irtueel) oorwerp is > (<) o het oorwerp staat oor (achter) de lens. Voor een reëel (irtueel) eeld is > (<) o het staat achter (oor) de lens. Voor het eeldlak heen we y / B y Voor y erkrijgt men y = y A geet dus de lineaire ergroting G G =

7 4. De spiegelmatrix θ 2 θ α R φ α y = y 2 θ 2 y = y = Rsinφ = Rφ = R/2 θ + α = φ α + φ = θ φ θ + φ = θ θ = (θ 2φ) θ = θ y = (θ R y ) 2 θ = θ = θ y y θ = / = y θ

8 5. Oeeningen 5. Spiegels Een oorwerp an 2 cm hoogte staat op cm oor een holle spiegel met hoodrandpuntsastand 5 cm. Bepaal de eigenschappen an het eeld.

9 5.2 Lenzen Een oorwerp wordt ageeeld op een scherm, dat geplaatst is op een astand D an het oorwerp. Men maakt geruik an een lens met randpuntsastand. De astand tussen het oorwerp en de lens edraagt x. De astand tussen de lens en het scherm edraagt D-x. Op welke astand x moet het oorwerp geplaatst worden oor de lens om een eeld op het scherm te leeren? Hoeeel edraagt de astand tussen twee mogelijke posities an het oorwerp?

10 Een oorwerp eindt zich op 3 cm oor een conergerende lens met randpuntsastand an 2 cm. Bepaal de eigenschappen an het eeld. Op een astand an,6 m plaatst men een oorwerp oor een diergerende lens met randpuntsastand,4 m. Bepaal de eigenschappen an het eeld.

11 Een oorwerp wordt geplaatst op cm oor een conergerende lens met randpuntsastand an 5 cm. Aan de andere kant an de lens staat een holle spiegel met randpuntsastand an 4 cm. De astand tussen de lens en de spiegel edraagt 8 cm. Vind de positie, aard en ergroting an het uiteindelijke eeld.

12 Een oorwerp met hoogte 5 cm wordt op een astand an 5 cm geplaatst oor een conergerende lens (L) met randpuntsastand cm. Na de lens L plaatst men op 8 cm een conergerende lens (L2) met randpuntsastand 2 cm. Gee de plaats, aard en de grootte an het uiteindelijke eeld.

13 Een lakke spiegel staat loodrecht op de hoodas an een conergerende lens met randpuntsastand 5 cm. De astand an de lens tot de spiegel edraagt 2,5 cm. Aan de andere kant an de lens staat loodrecht op de hoodas een lichtende pijl. Deze is 2 cm lang en eindt zich op 7,5 cm an de lens. Waar wordt het eeld an de pijl geormd en hoe groot is het eeld, als men aanneemt dat de stralen na reking door de lens op de spiegel worden teruggekaatst en daarna weer door de lens allen?

14 Een lens met sterkte 5 dioptrie wordt cm oor een lens met sterkte dioptrie geplaatst. Gee de eigenschappen an het eeld als het oorwerp zich 6 cm oor de eerste lens eindt. Biliograie P.P. Banerjee and T.C. Poon, Contemporary Optical Image Processing with Matla, st ed., Elseier, 2.