SUDOKU S EN WISKUNDE

Transcriptie

1 SUDOKU S EN WISKUNDE KLAAS PIETER HART Inleiding Hoewel ze reeds geruime tijd bestaan sinds 1979 in de V.S. onder de naam Number Place, sinds 1986 in Japan onder the nam Nanpure Sudoku zijn de Sudoku-puzzels pas het afgelop jaar in onze buurt e ware rage gaan vorm, eerst in Groot-Brittanië nu ook in Nederland. Voor deg die nog in zalige onwetdheid verker: hier is e Sudoku-puzzel (nummer 80 uit [7]): De bedoeling is in elk vak e cijfer van 1 tot met 9 te plaats zó dat in elke rij, elke kolom in elk 3 3-blok (vetomlijnd) elk cijfer éénmaal voorkomt. E goedgestelde Sudoku heeft precies één oplossing dat is iets dat we in onze beschouwing altijd mee zull nem. De reactie op de Sudoku s verschilt van persoon tot persoon maar onder wiskundig merk ik vooral de neiging tot uitzoek-hoe-het-allemaal-in-elkaar-zit. Voor deg die daar nog niet de tijd voor hebb gehad of gom zal ik in deze bijdrage e paar wiskundige aspect van de puzzels belicht. De keuze voor onderstaande onderwerp is tot stand gekom door rond te vrag door eig voorkeur. (1) Sudoku s tell. (2) Moeilijkheisgraad vaststell. (3) Hoeveel cijfers moet m minimaal gev? (4) Sudoku is moeilijk. Voor de goede orde: ik beperk mij in dit artikel tot de gewone, 9 9, Sudoku s, voornamelijk om de omvang van het verhaal binn bepaalde perk te houd ook omdat de variaties wiskundig niet veel nieuws oplever. Om bepaalde ideeën te illustrer gebruik ik Baby-Sudoku s, met e 4 4-speelveld. 1. Sudoku s tell E veel gestelde vraag, ook op opgeworp, is Hoeveel puzzels zijn er eiglijk?. Die vraag is nog niet beantwoord; hij is ook nog niet helemaal goed gesteld omdat bepaalde aspect van Sudoku s nog niet zijn opgehelderd. Date: Monday at 13:05:37 (cet). 1

2 2 KLAAS PIETER HART E indicatie dat die telling e niet-triviale onderneming zal zijn krijg we als we bekijk hoe de verzameling van alle ingevulde Sudoku-vierkant geteld is zi hoe groot die verzameling wel niet is Baby-Sudoku s tell. Om te lat zi hoe zo n telling in zijn werk gaat tell we Baby-Sudoku-vierkant. De bedoeling is dit diagram, net als in het 9 9-geval, te vull met de cijfers 1, 2, 3 4 wel zo dat elk cijfer in elke rij, kolom of blok precies één keer voorkomt. Om al deze invulling te tell heeft het zin eerst ev na te dk of het niet handiger kan dan door alle vierkant uit te schrijv te tell. Het grote probleem bij die aanpak is het risco van toch wel erg veel hooi op de vork het gevaar van het miss van e paar vierkant. Het is zaak het werk verstandig in te del zo de telling tot overzichtelijke werkjes te reducer. De eerste stap geeft e forse reductie: tel alle de vierkant die als volgt beginn: Als we deze geteld hebb kunn we het resultaat met 4! vermigvuldig om het eindresultaat te krijg: elke permutatie van {1, 2, 3, 4} levert e andere linkerbovhoek met evveel aanvulling als het speciale voorbeeld. We gaan nog ev door met verdel; de eerste rij kan op twee manier word aangevuld: Beide hebb evveel completering: verwissel de laatste kolomm. We werk verder met het linker vierkant, dat represteert dus 48 groep die allemaal ev groot zijn. Door de tweede rij ook aan te vull ontstaan weer twee mogelijkhed: Nu is er ge overduidelijke red waarom deze evveel completering zoud hebb (het zou kunn maar we wet het niet... ), daarom bekijk we ze apart. We kunn de eerste kolom nog aanvull, verwisseling van de laatste rij laat zi dat we, in beide gevall het werk kunn halver. De posities van 2 4

3 SUDOKU S EN WISKUNDE 3 ligg dan ook vast Links hebb we nog twee mogelijkhed maar rechts nog maar één: Nu terugrek: links krijg we 4 completering rechts 2. Dus elk van de 48 groep heeft 6 elemt; dus in totaal zijn er 48 6 = 288 Baby-Sudokuvierkant. Belangrijke punt uit deze telling: we verdeeld de vierkant in groep, eerst 4! = 24 elk van die nog in twee, allemaal ev groot. Eén zo n groep verdeeld we in twee groep die niet meer ev groot war maar wel redelijk snel te tell Sudoku-vierkant tell. Dezelfde strategie is gebruikt om de Sudokuvierkant te tell. Begin met dat reduceert het werk met e factor 9!. De eerste telling werkte met aanvulling van de eerste drie rij verdeelde die in, uiteindelijk, 71 equivaltieklass van aanvulling met per klasse telks evveel completering. De verdeling kwam tot stand door allerlei symmetrieën uit te buit: kolompermutaties binn de blokk, permutaties van de blokk zelf, hernummering zovoort. Die 71 telling werd, met bruut geweld, door de computer gedaan. De telling gav 44 verschillde uitkomst; ig speurwerk levered nog wat equivalties op waardoor m inderdaad het aantal klass tot die 44 kon reducer. Zie de slides voor e aantal voorbeeld van het soort reducties dat toegepast werd. Het resultaat. Er zijn Sudoku-vierkant. E rechtgeaarde wiskundige vraagt zich natuurlijk af: zijn die echt allemaal verschilld? Natuurlijk niet: permutatie van de cijfers geeft niet wezlijk andere Sudoku s, net als permutatie van rij/kolomm binn de dikke rij/kolomm of permutatie van de dikke rij/kolomm zelf. Verder kunn we nog roter spiegel in de diagonal. De hierbij behorde Sudoku-symmetriegroep is ook

4 4 KLAAS PIETER HART bepaald het resultaat is dat er maar echt verschillde Sudukovierkant zijn. Alle informatie over deze telling is te vind via [5]. In [4] wordt beschrev hoe die symmetriegroep kan help om wel heel snel e boekje met Sudoku-puzzels in elkaar te zett. 2. Moeilijkheidsgraad E andere vraag die vaak terugkwam: Hoe bepal ze de moeilijkheidsgraad? Hier is ge eduidig wiskundig antwoord op te gev want moeilijkheid is e subjectief begrip. De gang van zak is in het algeme als volgt: m laat de puzzel door e programma oploss daarbij bijhoud wat voor oplosstapp word gebruikt. De aard van de gebruikte stapp bepaalt de moeilijkheidsgraad De NWD-classificatie van Sudoku s. Bij het voorbereid van mijn lezing heb ik e programmaatje geschrev dat e paar stapp die ikzelf veel gebruik implemteert. Die stapp zijn wegstrep: systematisch de rij, kolomm blokk aflop door gegev cijfers uit andere cell af te strep zi wat overblijft uniciteit controler: zoek per cijfer uit of er in e rij, kolom of blok nog maar één mogelijke positie vrij is rij/kolom in blok: als e cijfer binn e blok in nog maar één rij kan zitt kun je het in de rest van die rij wegstrep (evzo voor kolomm) Uitgaande van deze stapp kom we tot de volgde classificatie van Sudoku s, de NWD-classificatie van Sudoku s: makkelijk: kan met wegstrep beetje moeilijk: kan niet alléén met wegstrep maar heeft uniciteitscontroles nodig moeilijk: heeft al onze stapp nodig heel moeilijk: lukt niet met mijn programmaatje Op de slides zijn voorbeeld van alle vier moeilijkheidsgrad te vind. Zie [1, 3] voor nog meer voorbeeld van oplosstapp. 3. Hoeveel zaadjes? E nog onopgelost probleem is: hoeveel cijfers moet minimaal gegev word om de puzzel uniek oplosbaar te do zijn? Je moet zeker 8 verschillde cijfers gev anders kun je uit e oplossing e andere mak door de niet gegev cijfers om te wissel. Verder is er e grote collectie van puzzels met 17 gegev cijfers gevond maar (nog) ge kele met 16, zie [9]. Ik heb nog ge bewijs gezi dat er ge puzzel met 8 gegev cijfers is Zaadjes voor Baby-Sudoku. Voor Baby-Sudoku is met de hand evoudig vast te stell dat 4 cijfers goeg is: Het is ook evoudig met de hand vast te stell dat drie niet goeg is. Met moet in ieder geval drie verschillde cijfers gebruik; we prober dus met 1, 2 3 e

5 SUDOKU S EN WISKUNDE 5 puzzel te mak. Na diverse symmetrie-argumt kom je uit op de de volgde mogelijkhed met vaste posities voor 1 2 zes mogelijkhed voor 3. Ev spel met de zes afzonderlijke diagrammetjes leert dat ge van deze e unieke oplossing heeft Kan het met acht? Net als bij het tell wordt het werk bij de stap van Baby- naar echte Sudoku schier oneindig veel groter. Met symmetrie-overweging kom we tot waarbij inderdaad leeg betekt: met acht cijfers zal tminste één 3 3-blok leeg blijv. De overige cijfers 4, 5, 6, 7 8 moet zó gezaaid word dat in elke dikke rij/kolom zeker twee rij/kolomm iets krijg; anders kun je door verwisseling van die twee rij/kolomm e andere oplossing creër. Omdat de cijfers verschilld zijn zijn alle de posities van belang: er zijn ( ) 69 5 = willekeurige zaaiing, daarvan valt e redelijk aantal af maar er blijv goeg mogelijkhed over... ; het lijkt onbegonn werk die met de hand na te lop. Kansreking. Het totaal aantal puzzels met acht verschillde zaadjes is snel geteld: kies acht posities, kies acht cijfers verdeel die. Het resultaat is ( ) ( ) 8! = puzzels. De verhouding tuss het aantal zaaiing, 1, , het aantal Sudoku-vierkant, 6, , is ongeveer 1 : Die verhouding wordt alle maar kleiner als we alle goede zaaiing bekijk. Het lijkt dus nogal onwaarschijnlijk dat er e puzzel met acht zaadjes is maar helemaal sluitd is dit argumt natuurlijk niet Hoe zit het met neg (of meer)? De situatie bij acht zaadjes, zoals bov geschetst, is nog redelijk overzichtelijk maar bij neg of meer wordt de zaak aanzilijk gecompliceerder. Omdat er cijfers meer dan één keer voor kunn kom moet m echt op de plaatsing gaan lett zo wordt de zoekruimte aanzilijk groter. 4. Sudoku is moeilijk Wie e Sudoku-oplosser schrijft zal merk dat er altijd wel e puzzel is die het programma nog niet aankan wie de fora op, bijvoorbeeld, bezoekt ziet dat er nog steeds over nieuwe oplosstapp wordt nagedacht. Dat is niet geheel verwonderlijk want Sudoku s behor tot e klasse van problem die, met de huidige stand van de knis, als moeilijk word betiteld.

6 6 KLAAS PIETER HART Het verschil tuss makkelijke moeilijke problem zal ik hieronder aan de hand van twee voorbeeld duidelijk prober te mak Makkelijke problem. Het uitrek van e n n determinant is makkelijk. Dat wil zegg, na ig dkwerk. Wie de officiële recursieve definite door middel van ontwikkel naar de eerste rij implemteert overleeft het uitrek van e determinant niet. De ontwikkelformule komt namelijk naar op het uitvoer van veel meer dan n! vermigvuldiging bij n = 25 wordt dat 25! 1, (e computer die vermigvuldiging per seconde kan uitvoer doet er dus zeker jaar over). Door de matrix eerst op driehoeksvorm te brg dan de diagonaalelemt te vermigvuldig reduceert m het werk tot n+(n 1)+ +1+(n 1) = 1 2 n n 1 vermigvuldiging. Bij n = 25 wordt dat 349, e redelijk tijdsbesparing. Het uitrek van determinant is iets dat in polynomiale tijd gedaan kan word; dat wil zegg: er is e polynoom p met de eigschap dat de rektijd bij e invoer ter grootte n niet langer duurt dan p(n) tijdsehed. Voor het determinant-uitrek hebb we dus p(n) = 1 2 n n 1 gevond. De letter P staat voor de klasse van dergelijke problem; bepal of e getal n priem is is ook in P als functie van het aantal cijfers van n, zie [11]. Dit zijn de makkelijke problem; de rest is moeilijk Moeilijke problem. E bekd combinatorisch probleem is het volgde: Gegev e eindige verzameling e overdekking van die verzameling, dun die overdekking uit tot e disjuncte overdekking. Zo n probleem is met behulp van e matrix met null te coder. De punt van de verzameling kom overe met de kolomm de rij gev de verzameling uit de overdekking weer. E 1 op de positie (i, j) in de matrix geeft aan dat punt j tot de i-de verzameling behoort. Hier is e voorbeeld, waarin de vetgedrukte rij e disjuncte overdekking vorm Voor dit probleem is (nog) ge polynomiaal algoritme bekd, dus we wet (nog) niet of het tot P behoort. Op dit momt is het dus e moeilijk probleem. Het behoort wel tot de klasse NP, dat zijn problem waarvan het verifiër dat e oplossing inderdaad correct is wel in P zit. De N staat voor Non-deterministic : het oploss is polynomiaal als je maar e orakel tot je beschikking hebt dat op cruciale momt tijds het oploss duidelijke informatie in de goede richting geeft (dat kan dus ook e oplossing zijn). Het overdekkingsprobleem is wat NP-volledig heet: als m kan bewijz dat dit probleem toch in P zit dan heeft m gelijk bewez dat P = NP. De geldigheid van die laatste gelijkheid is één van de Clay Millium-problem; het vaststell of ontkracht daarvan levert e miljo dollar op. Andere NP-volledige problem: het handelsreizigerprobleem Minesweeper. Voor meer over P = NP zie [2, 11] Sudoku is NP-volledig. We zull zo dadelijk zi dat het oploss van Sudoku s e speciaal geval van het oploss van overdekkingsproblem is. Dit laat zi dat het oploss van willekeurige Sudoku s tot de klasse NP behoort.

7 SUDOKU S EN WISKUNDE 7 Aan de andere kant: het completer van partiële Latijnse vierkant, ook e bekd NP-volledig probleem, kan m oploss door Sudoku s op te loss; dit maakt het algeme Sudoku-probleem dus ook NP-volledig. E (partieel) n n Latijns vierkant wordt hierbij gerelateerd aan e n 2 n 2 Sudoku. Dat gaat eiglijk redelijk evoudig, we construer eerst e speciale Sudoku: elke completering van deze Sudoku hoort bij e 3 3 Latijns vierkant omgekeerd: 3a 1 2 3d 4 5 3g 7 8 3b 4 5 3e 7 8 3h 1 2 3c 7 8 3f 1 2 3i a d g b e h c f i In het algeme relateert m n n-latijnse vierkant aan n 2 n 2 -Sudoku s. Dus elk algoritme dat (willekeurige) Sudoku s oplost kan ook aangewd word om partiële Latijnse vierkant te completer. Dat Sudoku inderdaad de status van NP-volledig heeft is ook te zi aan de oplosstapp die op de bovgoemde fora besprok word: die kom vaak neer op het onderzoek van elk tweetal/drietal/... in iedere rij, iedere kolom of ieder blok. Dat komt uiteindelijk neer op het onderzoek van elke deelverzameling van zo n rij, kolom of blok. Dit betekt dat, dankzij die variant mee, e doorsnee gericht oplosprogramma voor e n 2 n 2 -Sudoku al gauw (veel meer dan) 2 n2 stapp zal moet do. E polynomiaal algoritme voor Sudoku zal er derhalve heel anders uit moet zi dan de standaard oplossers die voor het 9 9-geval zijn geschrev Back-tracking. Sudoku s zijn ook met bruut geweld op te loss: probeer gewoon één voor één de vakk te vull ga telks terug als je vastloopt. Deze methode werkt altijd maar kost nogal wat tijd ruimte: zo n programma werkt normaal gesprok recursief dat betekt dat er voortdurd e heleboel uitgesteld werk op de stapel blijft staan. Zie [6] voor e evoudige beschrijving van dit proces. Voor alle duidelijkheid: back-tracking werkt zeker niet in polynomiale tijd (het zou in polynomiale tijd werk als iedere keer het juiste cijfer gekoz wordt).

8 8 KLAAS PIETER HART Nu is Sudoku te herformuler tot e overdekkingsprobleem. Voor 9 9-Sudoku e verzameling met 324 punt e overdekking met 729 deelverzameling (die all precies vier punt hebb). De zaadjes kom dat overe met verzameling uit de overdekking die zeker in de te construer uitdunning moet zitt. In [12] wordt de vertaling netjes uitgelegd; het is de moeite waard die pagina ev met p papier bij de hand door te lez om wat schetsjes te kunn mak. Voor het overdekkingsprobleem is e algeme algoritme opgesteld dat, vertaald naar de Sudoku-situatie, neerkomt op back-track, waarbij telks e cel met e minimaal aantal mogelijkhed wordt gekoz. Het is daarmee e mix van wegstrep back-track. Zie [12] voor e volledige beschrijving van het algoritme, links voor meer informatie ook programma s die het algoritme implemter. Waarschuwing: zelfs e Baby-Sudoku geeft aanleiding tot e matrix met 64 kolomm; m kan de uitvoering van het algoritme beter aan de computer overlat. Referties [1] Andries Brouwer, Solving sudokus, [2] Clay Mathematics Institute, Millnium Prize Problems, [3] Matthijs Coster, Sudoku wiskundig bekek, Pythagoras, januari 2006 [4] Michel Dekking, Meta Sudoku: hoe produceer je e puzzelboekje voor e habbekrats, Volkskrant. Origineel via [5] Bertram Felghauer Frazer Jarvis, There are Sudoku grids, [6] Jos Groot, Sudoku met de computer, Pythagoras, februari 2006 [7] The Guardian, Sudoku, 100 original puzzles, Guardian Books, 2005 [8] The Guardian, Sudoku classic, [9] Gordon Royle, Minimum Sudoku, [10] Neil J. A. Sloane, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequces, zie vooral A (Latijnse vierkant) A (Sudoku-vierkant) [11] Wikipedia, Complexity classes P and NP, classes P and NP [12] Wikipedia, Dancing Links, Links [13] Wikipedia, Sudoku, Faculteit EWI, TU Delft, Postbus 5031, 2600 GA address: [email protected] URL: Delft