STABILITEITSSTUDIE EN KOSTPRIJSVERGELIJKING VAN OP TORSIE BELASTE WELFSELLIGGERS

Transcriptie

1 XIOS HOGESCHOOL LIMBURG DEPARTEMENT INDUSTRIËLE WETENSCHAPPEN EN TECHNOLOGIE STABILITEITSSTUDIE EN KOSTPRIJSVERGELIJKING VAN OP TORSIE BELASTE WELFSELLIGGERS Kristof LEYSSEN Afstudeerwerk ingediend tot het behalen van het diploma van master in de industriële wetenschappen: bouwkunde Promotoren: ir. G. Janssen & ir. M. Verhuizen (Mathieu Gijbels NV) ir. D. Vanlommel (XIOS Hogeschool Limburg) Academiejaar

2

3 A. Dankwoord Deze thesis is het sluitstuk voor het behalen van de graad industrieel ingenieur bouwkunde aan de Xios Hogeschool Limburg. Het is het bewijs dat ik de nodige kennis en zelfstandigheid bezit om een bouwkundige probleemstelling op een wetenschappelijke manier te analyseren. Aangezien dit een zeer belangrijk onderdeel is van mijn opleiding, wil ik dan ook iedereen bedanken die op één of andere manier heeft bijgedragen tot deze thesis. Enkele mensen zou ik graag in het bijzonder willen vermelden. Eerst en vooral gaat mijn dank uit naar uit naar mijn externe promotoren Ir. Gert Janssen en Ir. Mark Verhuizen die mij op elk moment met deskundige raad hebben bijgestaan. Daarnaast wil ik ook mijn interne promotor Ir. Dieter Vanlommel bedanken voor zijn advies en begeleiding gedurende het volledige jaar. Ook wil ik mijn ouders bedanken voor de morele en financiële steun die zij mij in de loop van de jaren gegeven hebben. Zonder hen zou het nooit mogelijk geweest zijn deze opleiding te doorlopen. Tot slot wil ik graag nog een dankwoordje aan mijn vriendin toewijzen. Ook zij is voor mij een grote steun geweest om deze opleiding tot een goed einde te brengen.

4 B. Abstract De doelstelling van deze thesis is om de huidige constructiemethode van op wringing belaste welfselliggers proberen te verbeteren. De nu gangbare methode herleidt aan de hand van wapening de excentriciteit van de dwarskracht, die zorgt voor een wringmoment, tot nul. Deze studie zoekt naar alternatieve constructiemethodes waarbij de voornaamste eis is dat de stabiliteit gegarandeerd blijft. De tweede voorwaarde is dat deze nieuwe ontwerpen ook economisch en praktisch voordeliger zijn. Nog een extra uitdaging is om de stutten onder de welfselliggers, die voor de huidig toegepaste methode onontbeerlijk zijn, overbodig te maken. Bij afwezigheid van zulke stutten zal het werkgemak op de lager gelegen verdieping en de toegangsmogelijkheden tot het centrum van de werf duidelijk verbeteren. Deze thesis behandelt twee mogelijke oplossingsmethodes: de eerste nieuwe methode probeert aan de eerder vermelde eisen te voldoen door een groter en dus ook sterker profiel te gebruiken. De extra capaciteit aan spanningsopname die zo n profiel bezit, gaat dan integraal naar de mogelijkheid om het wringmoment op te nemen. De tweede oplossing bestaat erin om in de dwarsdoorsnede een groot kokerprofiel te creëren. Concreet probeert men een koker te bekomen met een hoogte die gelijk is aan de profielhoogte door een stalen plaat tussen de boven en onderflens van het profiel te lassen. Zo ontstaat er een koker waardoor de wringstijfheid van het profiel veel groter wordt. De opbouw van deze thesis bestaat uit twee grote delen: ten eerste een stabiliteitsstudie naar de haalbaarheid van de oplossingen en naar de geschikte profielkeuze. Deze studie gebeurt aan de hand van excel-bestanden waarin op basis van zelf in te geven vormparameters alle relevante spanningen bepaald en gecontroleerd worden. Deze excel-bestanden hebben als doel snelle en handige werktools te zijn. Concreet bestaan ze uit volgende onderwerpen: snedekrachten, afschuiving, zuivere (st.-venant-) wringing en belemmerde wringing. Ten tweede beschrijft deze thesis een financiële studie, die een vergelijkende kostprijsberekening maakt tussen de bestaande constructiemethode en de twee in deze thesis voorgestelde alternatieven. Tot slot vermeldt deze thesis op basis van alle verzamelde resultaten en rekening houdend met alle relevante aspecten uit beide studies, een conclusie die de optimale constructiemethode naar voor schuift. Er zijn dus twee mogelijke uitkomsten: ofwel vertoont een alternatieve methode beduidend betere resultaten, en dan kan men deze nieuwe constructiemethode toepassen met deze thesis als theoretisch bewijsmateriaal. Ofwel bewijst deze thesis dat de huidige constructiemethode de optimale is, en dan is deze studie een technisch onderbouwd argument om de gangbare methode te blijven handhaven.

5 C. Inhoudsregister D Bedrijfsvoorstelling... VI 1. Algemene beschrijving Probleemstelling Huidige oplossingsmethode Doelstelling Oplossingsmethode Oplossingsmethode Nota Oplossingsmethode Snedekrachten Schematische voorstelling Staalkwaliteit Profiel Classificatie Resultaten Weerstandbiedende krachten Controles Afschuiving Zwaartepunt Hoofdtraagheidsassen Nieuw assenstelsel Dwarskrachtenmiddelpunt Schuifspanningen Zuivere wringing... 36

6 2.4. Belemmerde wringing Sektoriële traagheidsmoment Bimoment Normaalspanningen Schuifspanningen Controle Controle van de normaalspanningen Controle van de schuifspanningen Controle in GGT Oplossingsmethode Snedekrachten Afschuiving Zwaartepunt Hoofdtraagheidsassen Nieuw assenstelsel Dwarskrachtenmiddelpunt Schuifspanningen Zuivere wringing Belemmerde wringing Controle Controle van de schuifspanningen Controle in GGT resultaten van de stabiliteitsvergelijking Financiële vergelijking.. 81

7 6. Conclusie Lijsten Symbolenlijst Lijst van gebruikte figuren Lijst van gebruikte modules Appendices / Bijlagen Bijlage A: Visual Basic modules Bijlage B: wringing, algemene theorie Bijlage C: welving Bijlage D: foto s Logboek Bibliografie 116

8 D. Voorstelling bedrijf Mijn thesis werd opgebouwd op aanvraag van en in samenwerking met het het bouwbedrijf Mathieu Gijbels. Dit bedrijf maakt deel uit van een grote structuur met als naam: Gijbels Group. Deze bouw en vastgoed firma bestaat uit 3 onafhankelijk van elkaar werkende divisies. Ieder van deze divisies is actief in de bouwwereld, maar op andere markten, met specifieke klanten en producten. Onderstaande figuur geeft een overzicht van de structuur. figuur 1, overzicht van de Gijbels Group Mathieu Gijbels NV is een ernstige en flexibele bouwonderneming die gespecialiseerd is in bedrijfs- en kantoorbouw. Men werkt voornamelijk in opdracht van privé ondernemers, garagebedrijven en projectontwikkelaars.het bedrijf tracht te antwoorden op alle bouwbehoeften van de klant en zal op die manier al hun bouwnoden wegnemen. Binnen dit concept hoeft de klant nooit meer elders te gaan zoeken naar oplossingen voor hun bouwproblemen. Het bedrijf wil een oerdegelijke, betrouwbare bouwpartner zijn die streeft naar klantentevredenheid op lange termijn. Enkele cijfers Oprichting: 1969 Aantal werknemers: 260 Omzet in 2001: 50,1 miljoen euro Winst in 2001: 1,66 miljoen euro

9 De opdeling van Mathieu Gijbels NV gebeurt volgens onderstaande matrixstructuur. figuur 2, de matrixstructuur Verticaal wordt de matrix opgedeeld in business units op basis van de geografische ligging van de klanten. De 4 regionale business units zijn: - Limburg (+ Antwerpse kempen) - Wallonië - Rest van Vlaanderen - Buitenland (vooral Nederland maar ook Duitsland, Frankrijk) De structuur kan zonder grote structurele verschuivingen een business unit extra creëren. Dit is een pluspunt voor de mogelijke groei van het bedrijf. Horizontaal maakte men de indeling naar de verschillede soorten werknemers in het bedrijf en hun bijhorende taken. Alle bouwgerelateerde functies, dat zijn de functies die in een business unit zitten (bouwadviseur, werfleider, calculator, tekenaar, engineering, ) maar ook veiligheid, engineering en de planning worden aangestuurd door de coördinator: technisch directeur. Alles wat met financiën, ICT en controling te maken heeft wordt bestuurd door de coördinator: financieel directeur. Tot slot wordt alles wat marketing, communicatie en human resources inhoudt, in goede banen geleid door de coördinator: marketing directeur. Op het kruispunt van deze groepen staat de afgevaardigd bestuurder. Renovatie is een stuk moeilijker omdat het meer risico s inhoud en vereist daarom het werk van specialisten. Daarom loopt deze afdeling loopt dwars door de regionale business units en zal deze dus in alle 4 de regio s opereren. Hetzelfde principe geldt ook voor service (plus onderhoud). Alle units kunnen beroep doen op deze twee specialisaties.

10 Algemene beschrijving 1.1 Probleemstelling De problematiek van deze thesis handelt over wringing in stalen HEA en IPE profielen. Er moet gezocht worden naar structurele ontwerpen van stalen liggers die de opgewekte wringmomenten kunnen opvangen en de hierdoor optredende schuif- en vooral normaalspanningen kunnen weerstaan. Een mogelijke optie is pas een oplossing als de ligger niet in een bezwijkgrenstoestand belandt en de vervormingen beperkt blijven. Bij een standaard ontwerp van het afdragen van welfsels die dragen op een stalen ligger, zullen de welfsels boven op de bovenflens van de ligger geplaatst worden. Wanneer de welfsels met de nodige zorg geplaatst worden, zullen de verticale krachten quasi recht boven het lijf van de ligger aangrijpen. De werklijn van de kracht zal dan door de hartlijn van het lijf gaan. Aangezien het H- of I-profiel dubbel symmetrisch is, zal het dwarskrachtenmiddelpunt van het profiel ook in die hartlijn van het lijf liggen. De conclusie is dus dat de werklijn van de kracht door het dwarskrachtenmiddelpunt gaat en er dus geen torsie opgewekt wordt. De aangrijpende krachten zullen ook via het lijf naar de steunpunten (die uitgevoerd kunnen worden als kolommen, dragende muren, etc.) overgebracht worden.(zie figuur 3) figuur 3; dwarsdoorsnede HEA 300 Hoofdstuk 1: Algemene beschrijving

11 - 2 - Het gevolg van deze constructie is dat de belasting op de ligger zich voltrekt als een uniform verdeelde verticale last ten gevolge van het eigengewicht van de ligger en de welfsels en de gebruiksbelasting. (zie figuur 4) De ligger wordt zowel in UGT als in GGT gedimensioneerd aan de hand van deze inwerkende krachten. Eventueel kunnen er ook nog puntlasten werken op de balk. In de industriële staalbouw zullen deze lasten meestal voorkomen als er zware machines op de vloer geplaatst worden. figuur 4; verdeelde last op de ligger De besproken liggers doen dienst als drager van de kantoorruimtes die deel uit maken van een industriële constructie. Het komt dus vaak voor dat er enorme hangars, opslagplaatsen of werkruimtes gecreëerd worden, dit impliceert dat er grote overspanningen overbrugd moeten worden. Daarom is men vaak genoodzaakt om zware profielen te gebruiken met een aanzienlijke hoogte. Concreet houdt dit in dat er vaak rekening moet gehouden worden met een hoogte van 30 à 40 cm. Daarop brengt men een druklaag aan om een goed verdeelde draagkracht te garanderen. Vervolgens stort men een chape-laag en uiteindelijk nog een afwerkingslaag. De totale hoogte overstijgt 50 cm. Als men dan 3 verdiepingen in rekening brengt, zal er ongeveer 1,5m als onbruikbare hoogte verloren gaan. Meestal stellen architecturale of commerciële eisen hier een beperking aan. De oplossing voor dit probleem wordt opgelost door twee stalen platen in de vorm van een T vast te lassen aan het lijf en de onderflens van de ligger. De welfsels rusten dan niet op de bovenflens van het H- of I-profiel maar wel op de horizontale plaat van het T-profiel. Door deze aanpassing wordt de totale hoogte van de constructie voor ongeveer 40 % gereduceerd. (zie figuur 5) Hoofdstuk 1: Algemene beschrijving

12 - 3 - e V figuur 5; dwarsdoorsnede HEA 300 met opgelast T - stuk Het probleem dat nu optreedt is dat, zoals te zien op figuur 5, de werklijn van de resultante van de verticale last een zekere excentriciteit e heeft ten opzichte van het dwarskrachtenmiddelpunt van het I- of H-profiel. Dit is de definitie van een wringmoment. Wil men deze oplossing realiseren dan zal men het opgewekte wringmoment en de bijkomende schuifspanningen in rekening moeten brengen. Als de verplaatsingen ten gevolge van welving (zie bijlage) dan ook nog eens belemmerd worden, zullen de normaalspanningen maatgevend worden. De waarde van het wringmoment bekomt men door de krachtvector te vermenigvuldigen met de afstand tot het wringcentrum. ( = dwarskrachtenmiddelpunt) Bij het opstellen van een symbolische voorstelling van de lasten op de ligger, zal naast de verdeelde last ook het wringmoment getekend moeten worden. Dit wringmoment werkt in het vlak loodrecht op het blad. (zie figuur 6) figuur 6; verdeelde last en wringmoment op de ligger Hoofdstuk 1: Algemene beschrijving

13 Huidige oplossingsmethode De huidige oplossing zoals die momenteel wordt uitgevoerd, ligt voor de hand maar kent toch enkele niet te onderschatten nadelen. figuur 7; dwarsdoorsnede HEA 300 met wapening en stempels De oplossing is tweeledig. Ten eerste probeert men extra steunpunten te realiseren om zo een reactiemoment te creëren dat het wringmoment tijdelijk kan opheffen. Praktisch gezien houdt dit in dat men de welfsels op de onderliggende verdieping op gepaste afstand van elkaar zal stutten. Deze opstelling maakt het mogelijk om een constructie te construeren die, na het plaatsen van de welfsels, het wringmoment tijdelijk zal opheffen. Het tweede deel van de oplossing bestaat er dan in om verschillende wapeningstaven in de vorm van een U vast te lassen aan het lijf van het H of I-profiel. De twee uiteinden van de wapening worden dan ingebetonneerd in de welfsels en afgewerkt met een druklaag. De gedachte die schuilt achter het principe van de wapeningstaven is om de excentriciteit zo goed als mogelijk te niet te doen. De wapening zal namelijk de verticaal gerichte krachten Hoofdstuk 1: Algemene beschrijving

14 - 5 - overbrengen naar het lijf van het H- of I-profiel. Aangezien het dwarskrachtenmiddelpunt dicht bij de hartlijn van het lijf ligt, zal het wringmoment verwaarloosd mogen worden. Na het uitharden van het beton, kunnen de stutten verwijderd worden. De stabiliteit ten gevolge van wringmoment zal vervolgens gegarandeerd blijven. Een eerste groot nadeel van deze oplossing is het financiële aspect. Ook het plaatsen van de stutten is een niet te onderschatten werk. Zeker als het om een hoger gelegen kantoorruimte gaat van waaruit men een overzicht krijgt over de volledige hal en waaronder nog opslagruimte, heftruckverkeer, etc. mogelijk moet zijn. De conclusie is dat er vele werkuren en dus geld geïnvesteerd moet worden om de constructie ook maar te kunnen realiseren. Een ander nadeel is dat de stutten er toch enkele weken moeten staan, vooraleer het beton zijn optimale sterkte bereikt zal hebben. Deze weken zal noch boven de vloer ten gevolge van het nog niet uitgehard beton, noch onder de vloer ten gevolge van de stutten gewerkt kunnen worden. De chemische reactie van beton kan niet beïnvloed worden en boven de vloer zal men dus onvoorwaardelijk moeten wachten. Maar de afwerking van het plafond onder de draagvloer zou wel mogelijk zijn, mochten de stutten eventueel weggehaald kunnen worden. Als de verdiepingshoogte hoog is, zullen er zeer veel stuten moeten geplaatst worden omdat deze een grote kniklast moeten opnemen. Vaak staan de stutten zelfs om de 40 à 50 cm. Als het volledige gebouw met zulke welfselliggers omringd wordt, zal de volledige omtrek van de verdieping bezet worden met stutten. Dit vormt een praktisch nadeel. Een grote machine of bouwmateriaal kan dan onmogelijk naar het midden van het gebouw getransporteerd worden. Hoofdstuk 1: Algemene beschrijving

15 Doelstelling De doelstelling van deze thesis is om een profiel te creëren dat minder hoog en goedkoper is dan die uit de oorspronkelijke methode en deze volledig na te rekenen in uiterste grenstoestand. Dit houdt in dat de dwarskracht, het buigmoment, de combinatie dwarskracht en buigmoment, de schuifspanningen, de normaalspanningen, de combinatie schuifspanningen en normaalspanningen moeten nagekeken worden en dat er een totale controle gemaakt dient te worden. Het is de bedoeling om alle stutten te elimineren zonder dat er instabiliteit (ten gevolge van wringing)optreedt. Het profiel moet volgens de opgelegde eisen uit de Eurocode het opgewekte wringmoment kunnen weerstaan. Alle berekeningen worden in een excel-bestand geprogrammeerd worden om zo uiteindelijk een snel te gebruiken tool te hebben. Hiermee kan men dan de mogelijkheid van een bepaalde doorsnede van de ligger nazien. Uiteindelijk wordt er nog een vergelijkende studie gemaakt tussen de bestaande oplossing en de nieuwe oplossingen. De kosten van alle mogelijkheden, incluis de bestaande, worden geraamd. Hieruit vloeit dan voort welke oplossing voor welke overspanningen en welke werkhoogte het meest geschikt zal zijn. Ook is het de bedoeling om de constructie te toetsen aan de gebruiksgrenstoestand. Zowel de maximale doorbuiging als de maximale wringingshoek worden gecontroleerd. De doorbuiging van de uitkraging waarop de welfsels rusten (zie figuur 8) moet echter niet getoetst worden. Dit houdt in dat de dikte van de horizontale plaat niet berekend wordt, maar gelijk wordt genomen aan de flensdikte van het profiel. figuur 8; doorbuiging van de uitkraging Hoofdstuk 1: Algemene beschrijving

16 Oplossingsmethode 1 De meest voor de hand liggende oplossing is om het H- of I-profiel te vergroten. Zo zal geprobeerd worden met een sterker profiel en de kleine koker een dwarsdoorsnede te verkrijgen die genoeg wringweerstand zal hebben om het wringmoment te neutraliseren. figuur 9; dwarsdoorsnede HEA 600 De vraag is in hoeverre de uitkragingen van het profiel zullen gaan welven en welke spanningen dit met zich mee zal brengen. Er zal moeten nagegaan worden of het profiel niet te zwaar wordt en dus de hoogte niet te groot wordt, zodat de reductie van de totale hoogte niet meer opweegt tegen de duurdere prijs van het zwaardere profiel. Het grote voordeel van deze oplossing in vergelijking met de vorige is dat er veel minder werkuren voor nodig zijn. Er moeten namelijk geen constructieve lassen vervaardigd worden. Daarom zal, indien de berekeningen een gunstig resultaat opleveren, deze optie de voorkeur genieten. Ook kan men hier eventueel nog de flens van het T-profiel tijdelijk stutten. Hoofdstuk 1: Algemene beschrijving

17 Oplossingsmethode 2 Bij een torsie moment op een open dunwandig profiel zullen de uiteinden van de flenzen gaan welven. Dit wil zeggen dat ze bewegen in een vlak loodrecht op de dwarsdoorsnede. Wanneer deze beweging wordt belemmerd, ontstaan niet te onderschatten normaalspanningen. figuur 10, normaalspanningen De wringmomenten kunnen het best worden opgevangen door kokerprofielen. Het is namelijk zo dat een kokerprofiel een vormvaste dwarsdoorsnede heeft. De boven- en onderflens van de koker worden door de twee verticale platen met elkaar verbonden. De punten in de cirkels in onderstaande figuur worden dus vastgehouden en kunnen niet bewegen ten opzichte van elkaar. Zo worden de welvingen belemmerd. De spanningen ten gevolge van welvingstorsie kunnen dus verwaarloosd worden. figuur 11, welfvingsbestendig kokerprofiel Hoofdstuk 1: Algemene beschrijving

18 - 9 - De dwarsdoorsnede van de tweede oplossingmethode wordt bekomen door een stalen plaat tussen de onder en boven flens vast te lassen. Aangezien het grootste deel van de krachten in de koker opgenomen worden, zullen hier constructieve lassen vereist zijn. figuur 12; dwarsdoorsnede HEA 300 met opgelaste plaat Het profiel bestaat dus uit twee kokers met twee uitkragingen. De verwachting is dat enkel de grote koker al genoeg stijfheid heeft om de optredende wringmomenten op te vangen. Als we bv een HEA 280 nemen als H-profiel, dan vormt er zich een koker met de volgende afmetingen: hoogte = 27 cm, breedte = 14,4 cm. In deze thesis zal bewezen worden dat het geïnduceerde wringmoment opgenomen wordt door deze twee kokers. De uitkragingen zullen de wringstijfheid bijna niet verhogen en mogen dus verwaarloosd worden. Hoofdstuk 1: Algemene beschrijving

19 Nota In deze thesis zal de volledige achtergrond van de excel-bestanden besproken worden om zo een goed inzicht te krijgen van de werking van deze tools. Dit houdt in dat alle parameters, formules, grafieken, waarden, berekeningen, databasegegevens, figuren, etc. uit de excelbestanden gekopieerd worden door middel van screenshots. De samenhang of verwijzing tussen verschillende cellen uit excel zullen niet worden beschreven zoals ze daadwerkelijk door het excel-bestand gelezen worden, omdat deze regels niet aangenaam te lezen zijn, daar er telkens naar de juiste celverwijzing moet gezocht worden. Wel zullen alle berekeningsstappen in word met Microsoft vergelijkingseditor gegeven worden. Verder zullen de handelingen die de pc uitvoert op basis van de programmeercodes in de modules getoond worden in de bijlage. Vervolgens zal er een verklaring gegeven worden voor elk element dat in de bestanden gebruikt wordt. Elk onderdeel zal dan gelinkt worden aan de theoretische achtergrond. Eventueel wordt er verwezen naar mogelijke berekeningsmethodes of vereenvoudigende technieken om een oplossing te bekomen. Hoofdstuk 1: Algemene beschrijving

20 Oplossingsmethode 1 Het eerste excel-bestand draagt de titel 1-cellig-kokerprofiel. De naam slaat op de belangrijkste vormfactor van de dwarsdoorsnede, namelijk het al dan niet aanwezig zijn van een koker. Uit de theoretische beschouwingen zal blijken dat deze factor uiteindelijk maatgevend is voor de opgewekte schuif- en of normaalspanningen. Het excel-bestand bestaat uit 6 tabbladen: snedekrachten, afschuiving, zuivere wringing, belemmerde wringing, controle en profielen. Deze tabbladen zullen ook een leidraad zijn voor de opbouw van dit hoofdstuk. Dit betekent ook dat deze tabbladen een stappenplan zullen worden naar de conclusie voor deze oplossingsmethode. Vele bewerkingen zijn te complex om rechtstreeks in de functiebalk van een cel in te geven. Daarom wordt er in deze thesis veel gebruik gemaakt van zelf geprogrammeerde functies in microsoft visual basic. In de cellen wordt er dan een koppeling naar deze code gemaakt door middel van de functie naam. Onderstaande figuur toont het hoofdmenu van microsoft visual basic. Er kunnen objecten en modules gedefinieerd worden. In deze thesis zijn enkel de modules of macro s van toepassing. De codes van de functies worden in de bijlage weergegeven. Per item zal er dan naar verwezen worden. figuur 13, Microsoft Visual Basic in excel Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1

21 Snedekrachten Schematische voorstelling figuur 14, parameters in de langsrichting opmerking: de uniform verdeelde last krijgt een dubbele benaming P1 en P2 (aan elkaar gelijk) omdat er een uitbreiding mogelijk is naar een niet uniform verdeelde last. De waarde van a mag uiteraard niet groter zijn dan L-b. Het programma zal hiervoor geen waarschuwing geven, de verkregen waarden zullen dan bijgevolg foutief zijn. figuur 15, parameters in de dwarsrichting Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1

22 figuur 16, de veranderlijken g k1 = karakteristieke waarde voor de permanente last op een afstand b van het rechter uiteinde van de ligger g k2 = karakteristieke waarde voor de permanente last op een afstand a van het linker uiteinde van de ligger q k1 = karakteristieke waarde voor de variabele last op een afstand b van het rechter uiteinde van de ligger q k2 = karakteristieke waarde voor de variabele last op een afstand a van het linker uiteinde van de ligger γ g = partiële veiligheidsfactor die betrekking heeft op de permanente lasten γ q = partiële veiligheidsfactor die betrekking heeft op de variabele lasten γ M1 = partiële veiligheidsfactor die betrekking heeft op de instabiliteitverschijnselen γ M0 = partiële veiligheidsfactor die betrekking heeft op de capaciteit van de doorsnede opmerking: het eigen gewicht van de liggers wordt niet meegeteld omdat deze last beduidend kleiner is dan de andere lasten. Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1

23 figuur 17, aangrijpende krachten g d1 = rekenwaarde voor de permanente last op een afstand b van het rechter uiteinde v/d ligger g d1 = g k1 * γ g g d2 = rekenwaarde voor de permanente last op een afstand a van het linker uiteinde v/d ligger g d2 = g k2 * γ g q d1 = rekenwaarde voor de variabele last op een afstand b van de het rechter uiteinde v/d ligger q d1 = q k1 * γ q q d2 = rekenwaarde voor de variabele last op een afstand a van het linker uiteinde v/d ligger q d2 = q k2 * γ q P1 = g d1 + q d1 P2 = g d2 + q d2 Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1

24 figuur 18, maximale waarde voor d De waarde d (zie paramaters dwarsdoorsnede) moet altijd kleiner zijn dan h. h wordt hieronder gedefinieerd. Indien niet aan deze voorwaarde is voldaan, zal het programma dit aangeven zoals op bovenstaande figuur Staalkwaliteit figuur 19, staalkwaliteit De staalkwaliteit kan gekozen en ingevuld worden in cel C40. Alle mogelijke waarden kunnen ingevoerd worden. De meest gebruikte waarden zijn S235, S275 en S355. ε is hiervan afhankelijk en wordt berekend met volgende bewerking. ε = 235 f y Profiel figuur 20, profielkeuze Het typeprofiel kan gekozen en ingevuld worden in cel B44. Het al dan niet gebruiken van hoofdletters wijzigt het resultaat niet. Er mag geen spatie gebruikt worden tussen de laatste letter en eerste cijfer van de benaming. Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1

25 figuur 21, profielgegevens Afhankelijk van het opgegeven profiel kopieert het bestand automatisch bovenstaande profielgegevens in de juiste cellen. Deze profielgegevens worden uit een database gekopieerd aan de hand van volgende functie: =VERT.ZOEKEN($B$44;profielen!$A$4:$Y$96;2) betekenis: de functie zoekt verticaal van boven naar onder in de matrix A4 tot Y96 uit het tabblad profielen naar de rij waarin de waarde uit cel B44 staat.als resultaat geeft de functie de waarde uit de cel 2 kolommen rechts van de gevonden waarde. De volgende profielen zijn in de database opgenomen: HEA100 HEB100 HEM100 IPE80 HEA120 HEB120 HEM120 IPE100 HEA140 HEB140 HEM140 IPE120 HEA160 HEB160 HEM160 IPE140 HEA180 HEB180 HEM180 IPE160 HEA200 HEB200 HEM200 IPE180 HEA220 HEB220 HEM220 IPE200 HEA240 HEB240 HEM240 IPE220 HEA260 HEB260 HEM260 IPE240 HEA280 HEB280 HEM280 IPE270 HEA300 HEB300 HEM300 IPE300 HEA320 HEB320 HEM320 IPE330 HEA340 HEB340 HEM340 IPE360 HEA360 HEB360 HEM360 IPE400 HEA400 HEB400 HEM400 IPE450 HEA450 HEB450 HEM450 IPE500 HEA500 HEB500 HEM500 IPE550 HEA550 HEB550 HEM550 IPE600 HEA600 HEB600 HEM600 HEA650 HEB650 HEM650 HEA700 HEB700 HEM700 HEA800 HEB800 HEM800 HEA900 HEB900 HEM900 HEA1000 HEB1000 HEM1000 Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1

26 Classificatie figuur 22, classificatie De classificatie van het lijf is conform aan de eisen uit ECIII p. 74. In cel D56 worden de volgende voorwaarden overlopen: d t w d t w d t w 72. ε ==> klasse1 83. ε ==> klasse ε ==> klasse3 De classificatie van de flenzen is conform aan de eisen uit ECIII p. 76. In cel D57 worden de volgende voorwaarden overlopen: c t f c t f c t f 10. ε ==> klasse1 11. ε ==> klasse2 15. ε ==> klasse3 opmerking: er wordt verondersteld dat klasse 4 niet zal voorkomen. De I- of H profielen worden verondersteld gewalst te zijn. De classificatie van de doorsnede wordt bepaald in cel H56. De globale klasse komt overeen met de grootste waarde van de klasse van de flenzen en het lijf. Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1

27 Resultaten figuur 23, resultaten snedekrachten De reactiekrachten R B wordt bepaald met behulp van de functie reactie geschreven in macro s. R A is het verschil tussen de belasting en R B. Cel C62 = R B = reactie(c18;c19;c20;k23;k25) De waarden C18, C19, C20, K23 en K25 respectievelijk L, a, b, P1 en P2 worden als variabele met een double bereik doorgegeven aan de functie. De functie genereert eveneens een waarde met een double bereik. (Zie bijlage A) Cel C61 = R A = ( P2 P1).( L a b) P1.( L a b) + 2 RB Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1

28 De ligger zal in 12 verschillende doorsneden gecontroleerd worden. De kolom B68 tot en met B80 en de bijhorende cijfers van 0 tot en met 12 zijn een nummering voor de verschillende dwarsdoorsneden. De plaats van de doorsnede op de balk wordt gegeven door x. Het nulpunt ligt aan het linkerscharnierpunt. x = 0,1,2,...*( L /12) De dwarskracht V wordt bepaald door de functie dwarskracht die gekoppeld is aan visual basic. V = dwarskracht(c68;$c$18;$c$19;$c$20;$c$61;$c$62;$k$23;$k$25) De waarde C68 = x wordt als variabele doorgegeven, de overige waarden L, a, b, R A, R B, P1 en P2 worden als constante doorgegeven aan de functie. Zowel input als output hebben een double bereik. (zie bijlage A) De waarden worden uitgezet in onderstaande grafiek. figuur 24, dwarskrachtenlijn Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1

29 Om een goed overzicht te krijgen wordt de plaats en de waarde van de maximale dwarskracht ook bepaald. Uit de grafiek leidt men logischerwijs af dat dat maximum ofwel in het begin ofwel op het einde van de balk optreedt. X is dus gelijk aan 0 of L. V max is dan respectievelijk gelijk aan V 0 of V L. Het moment M wordt bepaald door de functie moment die gecodeerd is in macro s van visual basic. M = moment(c68;$c$18;$c$19;$c$20;$c$61;$c$62;$k$23;$k$25) De waarde C68 = x wordt als variabele doorgegeven, de overige waarden L, a, b, R A, R B, P1 en P2 worden als constante doorgegeven aan de functie. Zowel input als output hebben een double bereik. (zie bijlage A) Opmerking: De buigmomenten worden bepaald met de doorsnede van het H- of I-profiel. De gedeelten van het T-stuk worden niet in rekening gebracht. De waarden worden uitgezet in onderstaande grafiek. figuur 25, momentenverloop Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1

30 Om een goed overzicht te krijgen wordt ook de plaats en de waarde van het maximale moment bepaald. Om de plaats van dit extremum te bepalen werd gebruikt gemaakt van de methode van Newton Raphson. Deze methode leent zich ertoe op een eenvoudige wijze een algoritme te schrijven voor het zoeken naar een nulpunt van een meerdere graadsfunctie. In de bijlage A staat de code van de geprogrammeerde functie. [PE05] De gedachte achter deze theorie is om een startpunt te kiezen. In dit geval x 0 = a omdat het maximum zich nooit aan de linkerkant van a kan bevinden. Dan zal men de raaklijn T 0 aan de functie in dit punt bepalen. Vervolgens zoekt men het snijpunt van de raaklijn T 0 met de x-as en bekomt men x 1. Dit punt x 1 zal zicht dichter bij het gezochte maximum bevinden. Men zal repetitief deze stappen herhalen zodat x 2, x 3, x 4, convergeren naar de gezochte x-coördinaat. In deze toepassing wordt de iteratie beëindigd als de absolute waarde van de functie kleiner is dan 10^-8 of als het aantal iteratie stappen gestegen is tot 100. De iteratiefunctie: g( x) = x f ( x) f '( x) Weerstandbiedende krachten figuur 26, weerstandbiedende krachten Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1

31 M c,rd = de rekenwaarde van de momentcapaciteit van de doorsnede M c, Rd W pl f y γ M 0 Wel f y = γ M 0 Weff f y γ M 1, voor klasse1en 2 doorsneden, voor klasse 3 doorsneden, voor klasse 4 doorsneden opmerking: zoals eerder vermeld zal klasse 4 niet voorkomen, maar hier staat deze formule erbij ter volledigheid. De weerstandsmomenten worden evenals de buigmomenten bepaald met de doorsnede gevormd door het H- of I-profiel. Het T-stuk dat hierop bevestigd is, wordt niet in rekening gebracht. De waarde van M c,rd hangt dus af van de klasse van de doorsnede. In excel wordt dit ingevoerd met onderstaande voorwaarden. Cel C89=ALS(H56<=2;(H52*C40)/C36*10^-6;ALS(H56>2;(G52*C40)/C36*10^-6)) V c,rd = de rekenwaarde van de vloeischuifkracht V c, Rd = A. f met A v = het werkzame afschuifoppervlak; deze waarde wordt eveneens uit de database van de profielgegevens gehaald. V 3. γ y M 0 M V,Rd = de gereduceerde rekenwaarde van het vloeimoment ten gevolge van de dwarskracht Opmerking: indien V sd meer bedraagt dan 50% van de V c,rd dient de momentcapaciteit van de doorsnede te worden gereduceerd tot M V,Rd ρa 2 v y M V. Rd = W pl M c. Rd 4t w γ M 0 f 2 met als reductiefactor: V ρ = V pl. Sd Rd 1 2 Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1

32 Controles Figuur 27, controles Bij buiging zonder dwarskracht dient de rekenwaarde van het buigend moment M sd in elke doorsnede te voldoen aan M Sd M c, Rd. Hier wordt dus de ligger op 13 plaatsen getoetst. In de kolom C112 tot en met C124 wordt de volgende voorwaarde gecontroleerd. = ALS(E68<=$C$89;"OK";"NIET OK") (Met E68 = M sd en C89 = M c,rd ) Bij dwarskracht (afschuiving) dient de rekenwaarde van de dwarskracht Vsd in elke doorsnede te voldoen aan V Sd V c, Rd. Hier wordt dus de ligger op 13 plaatsen getoetst. In de kolom D112 tot en met D124 wordt de volgende voorwaarde gecontroleerd. = ALS(D68<=$C$90;"OK";"NIET OK") (Met D68 = V sd en C90 = V c,rd ) Bij dwarskracht (afschuiving) en een buigend moment dient de rekenwaarde van het moment Msd in elke doorsnede te voldoen aan M Sd M V, Rd. Hier wordt dus de ligger op 13 plaatsen getoetst. In de kolom E112 tot en met E124 wordt de volgende voorwaarde gecontroleerd. =ALS(B93>=E68;"OK";"NIET OK") (Met B93 = M V,Rd en E68 = M sd ) Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1

33 Afschuiving Zwaartepunt figuur 28, coördinaten zwaartepunt Het zwaartepunt van een doorsnede is per definitie het punt, waardoor assen kunnen getrokken worden, waarbij het statisch moment van de doorsnede om gelijk welk van deze assen nul is. Dus er geldt: S y = z g. A Om het zwaartepunt te bepalen van een samengestelde doorsnede beschouwen we elk deel afzonderlijk en tellen we de statische momenten van elk deel bij elkaar op. De coördinaat van het zwaartepunt volgt uit de volgende formule: S = z. A y g. A = z g, 1. A1 + z g,2. A z g, n n De beschouwde dwarsdoorsnede is een samengestelde doorsnede van 2 rechthoeken (het T- stuk) en een H-profiel. Zowel de coördinaten als de oppervlaktes van de drie delen zijn bekend. Hieruit kunnen dan z g en y g bepaald worden. De functies Y g en Z g voeren deze bewerkingen uit en sturen hun resultaten respectievelijk naar de cellen C3 en C 4. De code van beide functies kan in de bijlage A gevonden worden. Onderstaande figuur toont een mogelijke ligging van het zwaartepunt. figuur 29, ligging zwaartepunt Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1

34 Hoofdtraagheidsassen figuur 30, hoekverdraaiing van de hoofdtraagheidsassen De traagheidsmomenten moeten eerst bepaald worden. Het maximale traagheidsmoment wordt bekomen door het traagheidsmoment te berekenen rond assen die de hoofdtraagheidsassen genoemd worden. Deze worden gevonden met de verschuivingstelling, die het verband aangeeft tussen het traagheidsmoment ten opzichte van een willekeurige rechte en het eigen traagheidsmoment ten opzichte van een rechte door het zwaartepunt. De stelling is als volgt: I 2 = I + a A (met a de afstand tussen beide rechten) z y. Weer wordt de dwarsdoorsnede onderverdeeld in 2 rechthoeken en het H-profiel. Voor de drie delen wordt de verschuivingstelling toegepast. De verschuiving a is de afstand tussen de rechten door het zwaartepunt van elk deel en de rechten door het globale zwaartepunt. Alle z- assen zijn tot hier toe verticaal en alle y-assen zijn horizontaal. De traagheidsmomenten van elk deel worden vervolgens opgeteld om een globaal traagheidsmoment te bekomen. Ter info: het traagheidsmoment van het H-profiel wordt uit de database gehaald en het traagheidsmoment van een rechthoek is gelijk aan b. h I z = 12 3 De functies I z, I y en I zy voeren deze bewerkingen uit en sturen hun resultaten respectievelijk naar de cellen C9, C10 en C 11. De code van de functies kan in de bijlage A gevonden worden. Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1

35 De ligging van de hoofdtraagheidsassen volgt uit de formule: tan( 2α ) = I 2. I y yz I z. In cel C12 wordt hiervan de boogtangens genomen. Alpha is positief in tegenuurwijzerszin. Om een beter zicht te krijgen over de waarde van de hoekverdraaiing alpha, geeft cel C13 de waarde van de hoek in graden.een mogelijke ligging van de hoofdtraagheidsassen wordt in onderstaande figuur getoond. figuur 31, ligging hoofdtraagheidsassen De traagheidsmomenten, berekend ten opzichte van deze nieuwe assen zijn later noodzakelijk om de berekeningen van wringing uit te voeren en deze zullen dus bepaald moeten worden. De formules voor de verandering van de traagheidsgrootheden bij een draaiing van het assenstelsel worden afgeleid aan de hand van de cirkel van Mohr. Iy + Iz Iy Iz Iz' =.cos(2. α) + Iyz.sin(2α ) 2 2 Iy + Iz Iy Iz Iy' = +.cos(2. α) Iyz.sin(2α ) 2 2 Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1

36 Nieuw assenstelsel Het nieuwe assenstelsel werd in de vorige twee paragrafen berekend. Het wordt gevormd door twee loodrecht op elkaar staande rechten die door het zwaartepunt gaan en een hoek alpha gedraaid zijn ten opzichte van een assenstelsel met een verticale en horzizontale. Om de verdere berekeningen te verduidelijken en de dwarsdoorsnede gemakkelijk te kunnen opdelen, worden alle knooppunten benoemd zoals op onderstaande figuren. figuur 32, benoeming van de punten figuur 33, coördinaten nieuw assenstelsel De overgang van de y- en z-coördinaten naar de y - en z -coördinaten gebeurt als volgt: y' = y.cosα + z.sinα z' = y.sinα + z.cosα Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1

37 Dwarskrachtenmiddelpunt Het dwarskrachtenmiddelpunt van een open dunwandige doorsnede wordt bepaald door een punt te bepalen waardoor de dwarskrachtvector moet wijzen, opdat het secundaire wringmoment nul zou zijn. Dit betekent dat er een statisch evenwicht moet heersen tussen de berekende schuifspanningen in alle delen van de dwarsdoorsnede en de optredende dwarskracht die op de doorsnede inwerkt. Door te veronderstellen dat de resultante van de uitwendige lasten door dit dwarskrachtenmiddelpunt wijst, mag de vervormingshypothese van Jourawski toegepast worden. Deze neemt aan dat de dwarsvlakken vervormen tot een cilindrisch regeloppervlak, waarvan de richtkurve loodrecht op de boven en onderlangsrand van het stuk staat. En de langsvezels blijven allen evenwijdig. Deze theorie was oorspronkelijk voor massieve doorsneden opgesteld. Maar door een elementair deel uit een open dunwandige doorsnede te bekijken, bekomt men uiteindelijk een analoge formule op voorwaarde dat de afschuiving samengaat met een rechte buiging van het stuk. Als deze voorwaarden in acht genomen worden, kan aan de hand van volgende formule de schuifspanningen berekend worden (voor een open profiel) [GE93] τ = S is het statisch moment van het beschouwde stukje doorsnede tov de hoofdtraagheidsassen T is de dwarskracht t is de dikte van het profiel in het beschouwde onderdeel Iz is het totale traagheidsmoment om de buigingsas (in dit geval om de z-as) T. S t. I Z Aangezien het te berekenen profiel niet open is maar een koker bezit, zal deze virtueel opengesneden moeten worden. Zo zal een hyperstatisch probleem isostatisch worden aangezien er nu een bijkomende elasticiteitsvergelijking gevonden wordt. Namelijk de vrije rand waarop de schuifspanning nul moet zijn. Bovenstaande formule is nu wel toepasbaar en zal een τ 0 als resultaat geven. Om terug over te gaan naar de oorspronkelijke dwarsdoorsnede zal er een scheerkracht, loodrecht op de dwarsdoorsnede, moeten werken, die beide uiteinden van het doorgesneden profiel terug samenbrengt tot de initiële situatie. Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1

38 Concreet betekent het dus dat men eerst alle parameters van bovenstaande formule bepaalt voor elk afzonderlijk deel. De gevonden schuifspanning τ 0 zal voor elk deel een resultante R 0 opleveren. Deze resultante wordt dan gecorrigeerd naar de exacte resultante R door de scheerkracht q in rekening te brengen. Aan de hand van een statisch evenwicht tussen alle resultaten en de aangrijpende dwarskracht wordt dan een coördinaat van het dwarskrachtenmiddelpunt gevonden. Mits de dwarskracht vectorieel wordt gesplitst, zal men twee maal een rechte buiging hebben en bijgevolg ook tweemaal de besproken berekeningen mogen uitvoeren. Zo komt men tot een y en een z coördinaat. figuur 34, doorgesneden profiel De dwarsdoorsnede wordt zoals hierboven getoond, doorgesneden. Men kiest om de bovenflens van het T-stuk door te snijden omdat daar een kleine schuifspanning wordt verwacht. De correctie in de vorm van de scheerkracht q a is dus beperkt. De scheerkracht werkt oorspronkelijk in het vlak loodrecht op het blad. Maar door het wederkerigheidsbeginsel heerst er ook een kracht in de dwarsdoorsnede. Conventioneel werkt deze q a naar rechts (voor dit geval). Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1

39 Het statisch moment ten opzichte van de twee hoofdtraagheidsassen wordt bepaald door van elk deel de oppervlakte en de coördinaten van het zwaartepunt te berekenen. (met behulp van de eerder bepaalde coördinaten van het nieuwe assenstelsel). Beide getallen worden dan in de kolommen H en I vermenigvuldigd. De waarde Sa zou normaal gezien nul moeten zijn, omdat het statisch moment rond de hoofdtraagheidsas nul geeft. Er schuilt dus een (te verwaarlozen) fout in de berekeningen. Een andere mogelijkheid is om de integraal Aan de hand van deze functies bepaalt men de resultante. S = y. da uit te werken. z A figuur 35, statisch moment De splitsing van de dwarskracht volgens de hoofdtraagheidsassen wordt als volgt gemaakt. figuur 36, dwarskrachten Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1

40 onder invloed van de schuifspanning τ 0 zal het open profiel vervormen. De twee lippen van de snede zullen ten opzichte van elkaar verschuiven over een afstand: d = ds G In werkelijkheid treedt deze verschuiving niet op. Deze wordt belet door een voorlopig onbekende scheerkracht q per lengte-eenheid. De elasticiteitsvergelijking wordt dus: [GE93] τ 0 d = τ 0 q + e ds G τ 0. ds = 0 ==> q = ds e opmerking: de lijnintegralen hebben uitsluitend betrekking op de delen die de omtrek van de koker vormen. De integralen mogen, omdat er enkel rechte delen aanwezig zijn vervangen worden door sommaties. figuur 37, schuifstromen Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1

41 In cellen D66 en E66 tot en met D76 en E76 worden de integralen genomen van de schuifspanningen per deel. [GE93] R T. S T. y'( x). t. dx T = 0ds = ds = ds y x t dxds t I = t I t Iz '( ) , z τ Z Z Aan de hand van goniometrie wordt y in functie van x bepaald (of z in functie van x). Onderstaande figuur toont de afstanden die berekend moeten worden. figuur 38, afstanden y (x) en z (x) 2 3 x x Een voorbeeld: R0, z ( c b) = tf. y' c. + tf..cosα Zo wordt van elk deel en voor beide 2 3 assen een resultante van een open doorsnede bepaald. Deze wordt van in kolom G en H (zoals aangegeven in kolom F) gecorrigeerd met de scheerkracht. figuur 39, resultanten Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1

42 Eenmaal de waarde en het teken van de resultanten van elk deel gekend zijn, kunnen de coördinaten van het dwarskrachtenmiddelpunt bepaald worden. In een macro s bestand wordt het statisch momentenevenwicht van alle resultanten en de dwarskrachten bepaald. Door een goed gekozen punt te nemen waarrond het momentenevenwicht bepaald wordt, kunnen de bewerkingen vereenvoudigd worden. Door het punt te nemen zoals aangetoond op onderstaande figuur, zullen de werklijnen van de resultanten van het lijf van het H profiel en de flens van het T-stuk door dit punt gaan. Het moment ten gevolge van deze krachten wordt dus nul. De overige krachten worden doorgegeven aan de functie dwarskrachtenmiddelpunt. Het teken en dus de richting van de krachten hangt af van hoe het statisch moment werd bepaald. Bijvoorbeeld de resultante Ry van het deel a tot b is positief ( = 4,28.10^-3). Het statisch moment werd van a naar b bepaald, dus een positieve kracht wijst ook van a naar b. Een positief moment werd gedefinieerd als draaiend tegen uurwijzerzin. Voor de volledige code wordt verwezen naar de bijlage. De coördinaten worden ook omgezet naar de overige assenstelsels door het logisch toepassen van goniometrische functies. y' = y'' y' z' = z' ' z' f f y = cosα.( y' z'.tanα) z' z = + y.tanα cosα figuur 40, coördinaten dwarskrachtenmiddelpunt Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1

43 Schuifspanningen De ligger wordt zoals eerder vermeld in 13 verschillende dwarsdoorsnedes gecontroleerd. Per dwarsdoorsnede zullen de spanningen in de 11 punten op onderstaande figuur berekend worden. De balk zal dus in totaal op 143 verschillende plaatsen getoetst worden. figuur 41, gecontroleerde punten per dwarsdoorsnede De schuifspanningen zijn de sommen van de spanningen ten gevolge van rechte buiging rond T. S T. S z' y' de y -as en z as (= hoofdtraagheidsassen). τ = + [GE93] In de punten 2, 6 en 9 t. I t. I worden de spanningen berekend in een oneindig kleine afstand links en rechts van de punten. Z ' y' figuur 42, de resultaten van de schuifspanningen Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1

44 Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode

45 Zuivere wringing Het optredende wringmoment wordt opgenomen door een ligger met een dunwandige dwarsdoorsnede die bestaat uit een samenstelling van een open en gesloten deel. Het gesloten deel, de koker, is klein in verhouding tot de volledige doorsnede. Men zal de beide weerstanden van het gesloten en open deel afzonderlijk moeten bepalen om hieruit af te leiden welk aandeel van het wringmoment door welk deel van de dwarsdoorsnede wordt opgenomen. Het oorspronkelijke systeem is één maal hyperstatisch. Men zal ook hier een virtuele snede moeten maken, om het probleem op te kunnen lossen. Om een extra vergelijking te verkrijgen gaat men uit van 2 systemen. [PE88] Het grondsysteem is de doorgesneden dwarsdoorsnede. Deze dwarsdoorsnede heeft in de delen die de koker vormen een spanningsflux die gelijk is aan 0. De spanningsflux is gelijk aan f = τ. t (met t is de dikte). Het gevolg is dat de beide delen langs de snede gaan welven en dus een verplaatsing Δ u0 ondergaan. Het tweede systeem bestaat uit de dwarsdoorsnede die terug samengebracht is. In de koker heerst nu een spanningsflux f = 1. Deze spanningsflux zorgt voor een verplaatsing Δ u1 die een gedeelte van Δ u0 zal opheffen. Aangezien de beide delen oorspronkelijk aan elkaar hangen wordt de extra vergelijking: Δu 0 + f1. Δu1 = 0. Hieruit kunnen de gezochte formules afgeleid worden. Deze worden in de volgende pagina s uitgelegd. Om de waarde van het wringmoment te bepalen moet de lengte van de hefboomsarm gekend zijn. Deze lengte s is de afstand van de plaats waar de kracht aangrijpt tot het b opleg dwarskrachtenmiddelpunt. s = + e y( dwarskrachtemiddelpunt) 2 2 figuur 43, hefboomsarm van het wringmoment Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1

46 De uiteinden van de welfsels stoppen ongeveer 5 cm voor de rand van de flenzen. Hiervoor zijn twee redenen: ten eerste moeten de welfsels met gemak geplaatst kunnen worden. Ten tweede zal het gemak van het volstorten van de holte tussen de welfsels en het profiel ook vergemakkelijk worden. De aangrijpende kracht wordt in onderstaande figuur getoond. figuur 44, grafische voorstelling van de oplegging De wringstijfheid van de doorgesneden dwarsdoorsnede wordt gevonden door de som van de wringstijfheden van elk onderdeel van de dwarsdoorsnede te nemen. Deze worden gegeven in kolom E, uit de figuur wringweerstand open doorsnede. De formule uit cel H25 wordt dan I T 0 = s t 3. 3 figuur 45, punten benoemen van het grondsysteem Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1

47 figuur 46, wringweerstand open dwarsdoorsnede Het tweede systeem ziet er uit zoals op onderstaande figuur. De gesloten koker ondervindt een flux T 2 die tegengesteld is aan de te integreren (in dit geval sommeren) lengte. s doorloopt enkel de koker. De formule van de wringweerstand van de koker wordt gegeven in cel H40 en wordt berekend met volgende formule: I T 2 4. Ako = ds t 2 ker figuur 47, het tweede systeem: de schuifflux in de enkelvoudige koker figuur 48, wringweerstand gesloten dwarsdoorsnede Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1

48 I T is de totale wringweerstand van de dwarsdoorsnede en is gelijk aan de som van I T0 en I T2. figuur 49, totale wringweerstand Vervolgens wordt de aangrijpende kracht op 13 verschillende plaatsen x van de ligger bepaald. De resultaten zijn gegeven in kolom D van onderstaande figuur. De code werd geschreven in de functie belastingen in de module die zich bevindt in de bijlage A. Het totale moment M T is het product tussen deze kracht V en de hefboomsarm die eerder in dit hoofdstuk werd berekend. De waarden worden in kolom E van onderstaande figuur getoond. Nu kan men met volgende formules de deelmomenten bepalen die opgenomen worden door de twee verschillende systemen: [PE88] I 0 = M = moment opgenomen door het open systeem T 0 M T. IT T 2 M T 2. IT T T I = M = moment opgenomen door het tweede (gesloten) systeem figuur 50, opdeling van de wringmomenten Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1

49 figuur 51, gecontroleerde punten per dwarsdoorsnede Aan de hand van de deelmomenten kan men de optredende schuifspanningen berekenen. Voor de punten 2, 6 en 9 wordt een schuifspanning links en rechts van het punt berekend. Enkel de resultaten van de punten 1 en 9 zullen hieronder getoond worden. De punten 1, 2 links, 2 rechts, 3, 4, 5, 6 links, 9 rechts en 11 worden berekend aan de hand van het eerste systeem.de formule voor de optredende schuifspanning die hieruit afgeleid wordt is: M T 0 τ = 0. t De punten 6 rechts, 7, 9 links en 10 worden berekend aan de hand van het I T 0 tweede systeem en de hieruit vloeiende formule voor de schuifspanning is: τ = 2 M. A T 2 2 ko ker. t figuur 52, schuifspanningen ten gevolge van zuivere wringing Hoofdstuk 2: Oplossingsmethode 1