De onvolledigheidsstellingen van Gödel

Transcriptie

1 De onvolledigheidsstellingen van Gödel Arie Blom 26 juni 2009 Thema 3 onderzoek Begeleiding: dr. Jan Pieter van der schaar

2 Samenvatting Wat heeft ertoe aangezet in het begin van de twintigste eeuw intensief over de grondslagen van de wiskunde na te denken en wat voor resultaten zijn toen geboekt? In het bijzonder wordt ingegaan op het formalisme van Hilbert en de stelling van Gödel. Hierbij komen de Peano-axioma s voor de rekenkunde, de tweede-orde logica van Frege, de Russelparadox, de propositielogica, consistentie van systemen en volledigheid van systemen aan bod. In de conclusie worden de resultaten in een bredere context geplaatst, om te proberen de reikwijdte van de implicaties aan te geven. Gegevens Titel: De onvolledigheidsstellingen van Gödel Auteur: Arie Blom, arie.blom@student.uva.nl, Begeleider: dr. Jan Pieter van der schaar Einddatum: 26 juni 2009

3 Inhoudsopgave 1 Axiomatiseringen en consistentie Peano s rekenkunde Consistentie van systemen en de propositielogica De Russelparadox vanuit Frege s logica Frege s plan De Russelparadox Hilberts formalisme De onvolledigheidsstellingen van Gödel Mathematische en meta-mathematische uitspraken Gereedschap van Gödel

4 Inleiding Binnen de wetenschapsfilosofie, die een filosofische reflectie op het fenomeen wetenchap probeert te geven, kan men onderscheid maken tussen algemene wetenschapsfilosofie en de filosofie van afzonderlijke wetenschappen. Wanneer men kijkt naar de filosofie van de wiskunde, een voorbeeld van de tweede soort, kan men ook weer een discipline aanwijzen die daar in een direct verband mee staat, namelijk het gronslagenonderzoek van de wiskundige wetenchappen. De eerste van deze twee wordt vooral bedreven door filosofen, terwijl aan de laatste meestal door professionele wiskundigen wordt gedaan [1]. Dit grondslagenonderzoek dat wordt gedaan door wiskundigen is dus het bekijken van het fenomeen wiskunde op een wiskundige manier. De discipline die zich hiermee bezighoudt noemt men de wiskundige logica. Het is interessant dat dit vakgebied bestaat, want bij mijn weten is er bijvoorbeeld geen discipline die zich met een biologische inslag bezighoudt met het onderzoek naar biologie. Dit onderzoek is hoofdzakelijk wiskundig-logisch van aard, maar in de conclusie wordt ook een duidelijke link gelegd met de filosofie van de wiskunde, waarbij de implicaties van de stelling van Gödel worden besproken. Nu volgt een kleine introductie van een aantal begrippen en een schets van het tijdsbeeld die het mogelijk maakt dit te verduidelijken. Nadat in de loop van de negentiende eeuw een grotere strengheid in de analyse was bereikt, werd de drang om de wiskunde te bevrijden van dubbelzinninge afleidingen en stellingen groter. In de analyse was een intuïtieve aanpak gemeengoed tot aan deze tijd. Een voorbeeld hiervan is een afleiding, bijvoorbeeld om de afgeleide van een functie te berekenen, waarbij eerst door een variabele x wordt gedeeld, waarna in dezelfde afleiding een term van de vorm 2x 2 wordt verwaarloosd omdat deze praktisch gelijk is aan 0. Dit is een ongeldig bewijs omdat je niet door een getal kunt delen dat praktisch gelijk is aan 0. Ondanks deze slechte bewijsmethoden bleken de meeste resultaten waar te zijn. Later bleek dat een ruim begrip van functies gecombineerd met een helder begrip van limieten kon leiden tot een goed gefundeerde analyse zonder ambiguïteiten [1], en deze verworvenheid heeft er mede toe geleid dat men na ging denken over andere takken van wiskunde en hun grondsla- 2

5 gen. Veel bewerkingen die al bekend waren werden gegeneraliseerd, zo werd aan het einde van de negentiende eeuw de moderne definitie van een functie gegeven. Samen met het betere begrip van limieten leidde dit tot een beschrijving van continuïteit van functies [1]. Het vangen van intuïtieve begrippen in formele definities en stellingen, noemt men ook wel axiomatisering. Het verhaal dat wordt verteld in dit verslag is het verhaal van de axiomatisering van de wiskunde, en welke problemen hierbij komen kijken. Er worden een aantal visies uitgelicht, hoewel natuurlijk gezien de beperkte ruimte niet volledig, waarbij we uitmonden in het formalisme van Hilbert. De stelling van Gödel, het ultieme resultaat dat Hilberts geloof, en dat van zijn volgelingen, in de formalisering van wiskunde in één magische afleiding onhoudbaar maakt, is het eerste doel van dit onderzoek. Daarna wordt in de conclusie dit wiskundig-logische resultaat op een filosofische manier geanalyseerd om een indruk te wekken van het nieuwe wereldbeeld dat hierdoor wel geaccepteerd moest worden. Omdat de wiskundige logica zich vaak beperkt tot het geven van resultaten, is de filosofische inslag hier onontbeerlijk om een begrijpelijker beeld te geven van wat het resultaat inhoudt. Dat dit, de wiskundige logica en de filosofie van de wiskunde, de twee meest voor de hand liggende disciplines zijn om deze kwestie te bekijken ligt in zekere zin voor de hand omdat zij beiden veel over het onderwerp hebben geschreven, en misschien is de stelling van Gödel wel het belangrijkste onderwerp wat zij beschouwen. Het doel van het stuk is dus, kort geformuleerd: Het geven van een zo helder mogelijk bewijs van de stelling van Gödel, ingebed in een zo duidelijk mogelijke context, en een bespreking van de filosofische consequenties ervan. 3

6 Hoofdstuk 1 Axiomatiseringen en consistentie 1.1 Peano s rekenkunde We beginnen met een voorbeeld van een axiomatisering, om duidelijk te maken wat dat is en hoe het werkt. Het is een beschrijving van de rekenkunde, dus met optellen, aftrekken en vermenigvuldigen. We introduceren basisaxioma s van de rekenkunde, waarvan uiteindelijk bleek dat alle op het moment van hun formulering gekende stellingen over de natuurlijke getallen eruit konden worden afgeleid (voor de duidelijkheid, natuurlijke getallen zijn alle gehele getallen groter of gelijk aan 0, overigens is niet iedereen het ermee eens dat 0 wordt meegerekend). In 1889 publiceerde werden ze gepubliceerd door Guiseppe Peano. Voordat we ze geven een kleine uitleg van de symbolen: -Het + en * symbool geven gewone optelling en vermenigvuldiging aan. -Als er staat x(x = blauw) dan wil dat zeggen dat er tenminste één x bestaat die blauw is. Blauw is hierbij een willekeurige eigenschap. -Wanneer ergens een formule staat met daarin x(x + y = 10), dan betekent dat dat voor alle x geldt dat als je er y bij optelt, het resultaat 10 is. Belangrijk om te onthouden is dat het hier niet over 10 of blauw gaat, dat zijn willekeurige voorbeelden. -Het negatieteken betekent niet, bekijken we bijvoorbeeld de formule x(x = blauw), dan staat er dat er niet een x is die blauw is. Er zijn volzinsconnectieven, elementen om verhoudingen tussen variabelen aan te kunnen geven. Dit zijn ze: - betekent of. - betekent en. 4

7 - betekent indien.. dan. -Als laatste is er de opvolgersfunctie s, die in principe niets anders doet dan een natuurlijk getal met één verhogen. Dus s(10) = 11. 5

8 Dit zijn nu de axioma s, onder elke logische uitspraak staat de vertaling in het Nederlands en ze worden in deze vorm gepresenteerd in [1]: Axioma 1. x(0 = s(x)) Er bestaat geen natuurlijk getal met de eigenschap dat 0 de opvolger is van dat getal. Hoewel 1 een goede kandidaat is, want = 0, voldoet hij niet omdat hij niet tot de natuurlijke getallen behoort. Axioma 2. x y(y = s(x)) Voor alle natuurlijke getallen bestaat er een opvolger. Voor twee is dit drie, voor honderd honderdeneen, enz. Axioma 3. x y(s(x) = s(y) (x = y) Voor alle natuurlijke getallen die dezelfde opvolger hebben, geldt dat zij hetzelfde zijn. Axioma 4. (mathematische inductie) Voor elke eigenschap A: [A(0) x(a(x) A(s(x)))] xa(x) Als 0 de eigenschap A bezit en er geldt dat als een natuurlijk getal een eigenschap bezit zijn opvolger die eigenschap ook bezit, dan hebben alle natuurlijke getallen deze eigenschap. Axioma 5. x(x + 0 = x) Voor alle natuurlijke getallen geldt dat als je bij zo n natuurlijk getal 0 optelt je dat natuurlijke getal als uitkomst krijgt. Axioma 6. x y[x + s(y) = s(x + y)] Voor elk paar natuurlijke getallen geldt dat als je het ene getal bij de opvolger van het andere optelt, het resultaat hetzelfde is als de opvolger van de optelling van de twee getallen. Vb (16 + 1) = ( ) + 1). We zien al dat deze uitspraak in logische taal wat comfortabeler werkt. Axioma 7. x(x 0 = 0) Voor elk natuurlijk getal geldt dat als je het me 0 vermenigvuldigt je 0 als uitkomst krijgt. 6

9 Axioma 8. x y[x s(y) = (x y) + x)] Voor elk paar natuurlijke getallen geldt dat als je het ene getal met de opvolger van het andere vermenigvuldigt de uitkomst gelijk is aan de vermenigvuldiging van de twee natuurlijke getallen met daarbij opgeteld het ene getal. Vanaf nu noemen we deze axiomatisering Peano-Axioma s, of PA. We zien dat in deze abstracte definities heel veel eigenschappen van natuurlijke getallen zitten verscholen. Het gaat zelfs nog verder. Dedekind, een van de medeontwikkelaars van deze definities, en ook de opsteller van soortgelijke definities voor de reële getallen, bewees dat elk model dat aan deze axioma s voldoet, isomorf is met elk ander model dat hieraan voldoet. Met andere woorden: wanneer we een systeem bekijken dat voldoet aan de axioma s van Peano, dan blijkt dat systeem de natuurlijke getallen te zijn, op isomorfie na. Als je twee isomorfe systemen hebt is het mogelijk om aan elk element van het ene systeem precies één element van het andere systeem toe te kennen, en ook zijn de relaties tussen elementen dezelfde. Als we bijvoorbeeld een systeem R en een systeem S hebben, met op die systemen de relaties r en s (we zouden bijvoorbeeld bij r aan optelling kunnen denken, en bij s aan vermenigvuldiging), dan geldt voor elementen uit deze systemen het volgende: Stel we nemen twee elementen x, y uit R, en hun twee broertjes w, z uit S, dan kunnen we kijken naar xry en wsz. Zoals we zeiden is er aan elk element uit R een element uit S toegekend, en voor xry moet dit wsz zijn. Nu geldt er dat alle stellingen die in het systeem R kunnen worden afgeleid een zusterstelling hebben in S, dus als je de structuur van R doorgrond, ken je de structuur van S. Bij deze axiomatisering van de rekenkunde wordt echter nog steeds uitgegaan van een intuïtief begrip van de natuurlijke getallen, en het doel was juist om de rol van intuïtie uit de wiskunde te bannen. De axioma s die Peano had gegeven gaven de natuurlijke getallen weer, maar het ligt niet direct voor de hand om de natuurlijke getallen als waarheden aan te nemen. Hieruit volgt dat de axioma s zelf ook betwijfelbaar zijn want ze impliceren iets wat intuïtie vereist om het aan te nemen. De basisaxioma s die ten grondslag liggen aan de propositielogica, die zo direct wordt besproken, zijn gemakkelijker aan te nemen, daarom wilde Gotlob Frege de basiswetten van de rekenkunde reduceren tot wetten uit de zuivere logica. Om de waarheid van de logica in te zien is geen intuïtie vereist, het zijn slechts de wetten van het rationele denken, zo stelde hij [1]. Om de motivatie van Frege beter te begrijpen, wordt nu een beschrijving van de eerste-orde logica gegeven, ongeveer zoals Frege deze gaf. Hierbij wordt de nadruk gelegd op consistentie van een systeem en het 7

10 belang daarvan. 1.2 Consistentie van systemen en de propositielogica Deze sectie is een versimpeling van wat in [3] wordt behandeld aanngaande dit onderwerp. Een niet-consistent systeem bevat een afleiding van haar axioma s volgens geldende regels die eindigt in de uitspraak A A, dus A geldt en niet A geldt. We laten zo zien wat voor consequenties dit heeft. De elementaire propositielogica, een creatie van Gotlobb Frege, is een voorbeeld van een consistent systeem. Voor latere resultaten hebben we een kleine bespreking van het consistentiebewijs nodig. De propositielogica wordt als volgt opgebouwd: Er zijn variabelen, meestal aangeduidt met p, q, r etc. Hiervoor kunnen we van alles invullen, bijvoorbeeld Socrates. Daarbij wordt gebruik gemaakt van de volzinsconnectieven zoals die besproken zijn in PA, dat zijn dus, en. Er worden haakjes op de gebruikelijke manier gebruikt om formuleringen eenduidig te maken. Laten we het klassiekste voorbeeld geven: ((m s) (b m) (b s)) Als we m laten corresponderen met mens zijn, s met sterfelijk zijn en b met Bob zijn, dan staat er: mensen zijn sterfelijk, Bob zijn impliceert mens zijn, dus Bob is sterfelijk. Gewoonlijk wordt hier Socrates gebruikt in plaats van Bob, maar dan heb je twee s en. Daarbij wordt er aangenomen dat je voor elke variabele een volzin kunt invullen, dit wordt de substitutieregel genoemd, en men neemt de modus ponens-regel aan, die zoveel zegt als: p (p q) dan valt q af te leiden. Dus als je de twee aannames maakt, dan is de derde daaruit af te leiden. Er zijn nu nog geen uitspraken gedaan over de waarheid van een of andere volzin, het enige dat wordt gezegd is dat als iets waar is, dat dan iets anders waar is, verder zijn de regels betekenisloos. Dus pas als je Bob zijn enz. in gaat vullen krijg je een uitspraak die ertoe doet. 8

11 In de propositielogica worden bovendien vier axioma s aangenomen: -p p -p (p q) -(p q) (q p) -(p q) ((p r) (q r)) Een kleine inspanning van de lezer zal hem ervan overtuigen dat dit uitspraken zijn die altijd waar zijn. Zulke uitspraken noemt men tautologieën. Het valt te bewijzen dat alle tautologieën die te formuleren zijn in deze taal af te leiden zijn uit de vier axioma s, en ook dat alles wat een afleiding is van de vier axioma s een tautologie is. Een uitspraak die een tautologie is, is de volgende: p ( p q), wat staat voor: als p waar is, geldt dat als p niet waar is, q waar is. Dit is misschien niet gelijk duidelijk, maar het is te controleren door gewoon alle mogelijke waarden voor p en q in te vullen en dan te kijken of de uitspraak waar is. Dus p is waar en q is waar, enz. Deze uitspraak, die dus af te leiden is, impliceert dat de propositielogica consistent is. Stel namelijk dat dit systeem niet consistent is, dan is er tenminste één uitspraak die tegelijkertijd waar is én niet waar is. Dus er geldt, als deze uitspraak S wordt genoemd: S S. Vullen we deze uitspraak in in de betreffende formule, dan zien we dat q altijd waar is, en omdat we volgens de substitutieregel alle volzinnen (uitspraken) voor q in mogen voeren, zijn in één klap alle mogelijke uitspraken waar. Dus als dit systeem niet-consistent zou zijn, dan zouden alle mogelijk te vormen uitspraken kunnen worden bewezen. Als er nu in een systeem een uitspraak te vormen is die niet kan worden bewezen, dan betekent dit dus dat het systeem consistent is! Nu gaan we kijken naar de propositielogica, is er een uistpraak te bedenken die niet te bewijzen is met de axioma s? Het is eigenlijk te gemakkelijk, en het lijkt wel een slimme manipulatie om de lezer om de tuin te leiden, maar een blik op de uitspraak p q is voldoende, deze is immers niet waar als p en q niet waar zijn, dus hij is niet altijd waar. Het systeem blijkt consistent, en hiermee is ook de bedoeling van Frege (en later Russel, zoals we zullen zien) in één klap duidelijk geworden! Als PA immers uit dit systeem kon worden afgeleid, zou dat betekenen dat zij consistent is, wat erg handig is, want zoals we zagen is in een nietconsistent systeem elke mogelijk te vormen uitspraak bewijsbaar. We zouden dan = 4 kunnen bewijzen, maar ook = 5. PA zou tussen deze twee stellingen geen verschil aangeven (beiden even waar). Hierbij kunnen we ook nog,ter illustratie van de hopeloosheid van een inconsistent systeem, 9

12 vermelden dat ook bewijsbaar zou zijn. 10

13 Hoofdstuk 2 De Russelparadox vanuit Frege s logica 2.1 Frege s plan Frege s logica behelsde niet alleen eerste-orde logica, waarbij men kwantificeert over objecten uit een domein, maar ook een tweede-orde logica, waarbij men dat doet over eigenschappen van objecten uit dit domein. In zijn logica zijn er dus twee soorten variabelen: x, y, z, en X, Y, Z, waarbij de laatste staan voor eigenschappen van elementen [1]. Een voorbeeldformule is: x y X(Xy Xx) De vertaling hiervan is: Voor elk object x bestaat er een element y zodat voor alle eigenschappen X geldt: als y eigenschap X bezit, bezit x deze eigenschap ook. Het is voor dit onderzoek niet nodig om alle axioma s die Frege opstelde hier op te schrijven. Twee axiomatische systemen zijn immers al gegeven: PA en de propositielogica. Van belang is echter wel dat hij axioma s voor de eerste-orde kwantoren alswel voor tweede-orde kwantoren opstelde. Kwantoren zeggen iets over elementen uit een verzameling, bijvoorbeeld x betekent voor alle x geldt:. De tweede-orde kwantoren zeggen iets over eigenschappen, dus X betekent voor alle eigenschappen X geldt:. De taal bevat ook het relatiesymbool, dat een element-relatie uitdrukt, dus x {x, y, z} betekent dat x een element is van de verzameling {x, y, z}. Bovendien kan worden gesproken over {x F x}, wat een aanduiding is voor de verzameling van elementen die de eigenschap F bezitten. Het laatste axioma dat Frege toevoegt 11

14 is van cruciaal belang voor de verdere ontwikkelingen in de grondslagen van de wiskunde. Het onpeberkte abstractieacioma. x[x {x F x} F x] voor elke formule F Dit wil zeggen dat elke eigenschap F een klasse bepaalt, dus een deelverzameling. Dit lijkt een goed te verantwoorden axioma, immers; men kan gerust praten over alle mensen langer dan 183 cm, dat is een welgedefinieerde verzameling, of de verzameling van alle presidenten van Amerika. Het is toch wel interessant om hier even in te gaan op zijn werkwijze met betrekking tot natuurlijke getallen. Frege beschouwt een getal n als de equivalentieklasse van alle verzamelingen met n elementen. Dus een verzameling van twee bananen is onder die equivalentierelatie hetzelfde als een verzameling van twee appels, of twee planeten. Deze bewerking maakt van alle verzamelingen met 2 elementen één element, te weten 2. Eerst definieert hij de lege verzameling als volgt: Definitie 1. Ø {x x x} Nu het verschil van twee verzamelingen: Definitie 2. x y {z z x z / y} Nu komen de natuurlijke getallen aan de beurt: 0 {Ø} n + 1 {x y(y x x y n)} Dit laatste axioma wil zoveel zeggen als; de opvolger van een natuurlijk getal n is de klasse van alle verzamelingen die een element bezitten waarvoor geldt; als je het verschil van die verzameling en dat element neemt, dan heb je een verzameling die in de equivalentieklasse van n zit. Dus je trekt 1 af van n + 1 en je hebt n. Zo leek, met soortgelijke definities voor optelling en vermenigvuldiging, Frege de rekenkunde te hebben gereduceerd tot zuivere logica, maar Russel gooide roet in het eten. 12

15 2.2 De Russelparadox Het zou de lezer bekend kunnen zijn wat de Russelparadox is. Hij verschijnt in verschillende vormen, maar in feite komen ze op hetzelfde neer. Een populaire versie is deze. Onder de barbiers in Sevilla is er een die er een bijzondere werkwijze op nahoudt; hij scheert alle mensen die zichzelf niet scheren, en verder niemand. Dit lijkt op het eerste gezicht niet zo vreemd, maar wat als men vraagt: scheert de barbier zichzelf? Dan wordt als volgt geredeneerd: Als hij zichzelf scheert, is hij iemand die zichzelf scheert, en dan moet hij volgens zijn principes zichzelf niet meer scheren. Als hij zichzelf niet scheert, moet hij zichzelf volgens zijn principes gaan scheren. Dit voorbeeld wordt gegeven in [2]. Men noemt zo n redenering, die op twee manieren (en, wat belangrijk is, op twee manieren die p p inhouden) een contradictie oplevert, een antinomie. Een ander mooi voorbeeld draait om boeken. In een boek, binnen de kaft, zijn er twee mogelijkheden: de titel die op de kaft staat is erin bevat of hij is dat niet. Stel nu dat we een boek hebben met alle namen van boeken die zichzelf niet bevatten, bevat dat boek zijn eigen titel? Zoja, dan bevat hij zichzelf niet, volgens zijn opzet, zonee, dan bevat hij zichzelf wel. Weer een antinomie. We zien dus dat als p waar is, p ook waar moet zijn, wat leidt tot inconsistentie. Voordat we terugkomen op mogelijke oorzaken van dit probleem, kunnen we nu wel Russell s bewijs van de inconsistentie van Frege s logica geven, wat gewoon een van de vormen van Russell s paradox is. We instantiëren in het onbeperkte abstractie axioma voor F (x) de eigenschap x / x (dit betekent dat we de verzamelingen bekijken die geen element van zichzelf zijn): x[x {x x / x} x / x] Nu instantiëren we {x x / x} voor x in deze formule (maar niet voor de x in de verzameling {x x / x}!): {x x / x} {x x / x} {x x / x} / {x x / x} In deze laatste regel komt de antinomie duidelijk naar voren. Links en rechts impliceren elkaar maar zijn elkaars tegenovergestelden. En we hebben slechts enkele geldige stappen uitgevoerd binnen het systeem. 13

16 Zoals deze afleiding duidelijk maakt is het onbeperkte abstractieaxioma de schuldige van het probleem, en Russel had wel een idee om dit mankement te repareren. Om een verzameling te definiëren, zo was zijn idee, moet het domein waaruit je objecten neemt welbepaald zijn. Als je kijkt in de Russelparadox, dan wordt daar een verzameling gedefinieerd waarbij er wordt gekeken of deze verzameling zèlf daarin bevat is. Dat kan je moeilijk een welbepaald object noemen. Hij formuleerde hiervoor een principe: Een formule kan enkel een totaliteit definiëren indien alle elementen van deze totaliteit onafhankelijk van de totaliteit zelf zijn gedefinieerd [1] Eigenlijk zegt dit dat je een verzameling slechts kan samenstellen uit elementen die je vóór het bestaan van de verzameling al paraat hebt. Dit principe leidde tot de typentheorie, een gelaagde opvatting van de wiskunde. Hierbij begin je met een verzameling objecten, waarmee je met definities verzamelingen kunt maken. Van deze verzamelingen kun je ook weer nieuwe verzamelingen maken, enzovoort, in een groeiende keten van verzamelingen. Belangrijk is echter wel dat bij het definiëren van een verzameling altijd slechts gebruik mag worden gemaakt van objecten die in het vorige stadium voorkomen. Aan zoiets als de Russelverzameling, die leidde tot de paradox, kan geen type worden toegekend, m.a.w., hij staat niet ergens in de groeiende keten van verzamelingen. Hij is dan volgens Russel niet welgevormd. Een welgevormde verzameling is dus een verzameling die is samengesteld uit elementen uit één type, en wel het type dat één laag lager zit dan de nieuwe welgevormde verzameling. Dit systeem is logisch en consistent, maar was Russel geslaagd in zijn opzet? Bij het afleiden van de Peano axioma s en goede definities van natuurlijke getallen stuitte hij toch op moeilijkheden. Bijvoorbeeld het idee van Frege om een natuurlijk getal n beschouwen als het gemeenschappelijke kenmerk van alle verzamelingen met n elementen. Hiervoor moet men al de verzamelingen met n elementen selecteren, maar er komen in heel veel verschillende typen, of lagen verzamelingen met n elementen voor, en selecteren uit verschillende typen mocht nou juist niet. 2.3 Hilberts formalisme Hoewel Russel zich van de zojuist besproken moeilijkheden bij het definiëren van PA bewust was, geloofde hij dat het problemen waren die in de loop van de tijd opgelost zouden worden. In de filosofie, en dan met name in het logisch empirisme, is men nog lang blijven geloven in de kracht van het logicisme, terwijl deze stroming binnen de wiskundige gemeenschap weinig aanhang meer vond [1]. We bespreken nu de visie van David Hilbert, een zeer invloedrijke 14

17 wiskundige uit het begin van de twintigste eeuw. Hij nam de natuurlijke getallen als concreet gegeven aan, en PA (Peano s axioma s) beschouwde hij als onbetwistbare ware uitspraken. De hogere wiskunde echter, te beginnen bij de analyse van bijvoorbeeld reële getallen, moet gebruik maken van noties als irrationale getallen, zij moet dus oneindige decimale ontwikkelingen beschouwen als concrete objecten. Dit is veel minder intuïtief, en Hilbert beschouwde de hogere wiskunde dan ook niet op dezelfde manier als de natuurlijke getallen. De reden om de hogere wiskunde niet gewoon in de ban te doen, was dat sommige ingenieuze bewijzen van stellingen in haar termen waren gegeven, en het leek zeer onwaarschijnlijk dat deze bewijzen ook in termen van de natuurlijke getallen konden worden uitgewerkt. De dreiging van paradoxen, zoals die van Russel, motiveerde Hilbert er echter wel toe een paar vermoedens te formuleren [1]: Conjectuur 1 Elke stelling over de natuurlijke getallen die met behulp van de hogere wiskunde kan worden bewezen kan in principe ook rechtstreeks, zonder omweg door de hogere wiskunde worden bewezen. Hij voegde hieraan toe dat deze directe weg in veel gevallen in de praktijk zo ingewikkeld is dat hij nooit gevonden zou worden. Een van de concrete stappen om deze conjectuur te bewijzen was het bewijzen van de consistentie van het systeem. We hebben aan het einde van hoofdstuk gezien dat de inconsistentie van een systeem ervoor zorgt dat een systeem nietszeggend en nutteloos wordt. Omdat de hogere wiskunde PA omvat zou met de consistentie ervan direct ook de consistentie van PA zijn bewezen. Een aantrekkelijk vooruitzicht. In welk systeem wilde Hilbert de consistentie bewijzen? Hiervoor koos hij PA zelf, omdat hij PA met haar concrete interpretatie voor waar aannam. De jonge Kurt Gödel bewees in 1930 echter twee stellingen, onvolledigheidsstellingen genaamd, die het programma van Hilbert, waar tot die tijd veel van zijn studenten mee bezig waren geweest, lieten kelderen. We geven ze hier, waarna we een kleine beschrijving geven van wat ze inhouden om vervolgens tot het bewijs ervan over te gaan. Stelling 2.1. De eerste onvolledigheidsstelling van Gödel. Voor elke consistente theorie T zodat PA T, zijn er zinnen G uit de taal van T die onafhankelijk zijn van T. Stelling 2.2. De tweede onvolledigheidsstelling van Gödel. Geen enkele consistente theorie T zodat PA T kan haar eigen consistentie bewijzen. 15

18 De eerste stelling impliceert dat er altijd rekenkundige stellingen zijn die binnen zo n theorie T onbeslisbaar zijn, waarover de theorie geen uitspraak kan doen! Dit druiste regelrecht in tegen het geloof van Hilbert en vrijwel alle andere wiskundigen in die tijd, die ervan uitgingen, zoals eerder vermeld na de introductie van PA, dat alle ware stellingen bewijsbaar waren binnen het systeem. Het streven naar een bewijs van consistentie is volgens de tweede stelling ook al een onmogelijke opgave geworden. Wat interessant is om te vermelden in verband met de tweede stelling, is dat er misschien wel systemen zijn die de consistentie van zo n theorie T kunnen bewijzen, maar de consistentie van deze systemen is weer niet te bewijzen binnen deze systemen. Zo kun je een oneindige reeks systemen bedenken die elkaars consistentie bewijzen, maar er blijft er altijd één waarvan de consistentie niet bewezen is (het is onmogelijk om een slang te maken die zichzelf in de staart bijt, dat wil zeggen dat de consistentie van de laatste theorie in de reeks bewezen zou worden in de eerste, men zou dan immers een theorie hebben die PA omvat en haar eigen consistentie kan bewijzen, wat wordt tegengesproken door de tweede onvolledigheidsstelling van Gödel). Nu de aanloop naar en het bewijs van de stellingen. 16

19 Hoofdstuk 3 De onvolledigheidsstellingen van Gödel We gaan allereerste enkele begrippen introduceren waarvan misschien niet gelijk duidelijk is waarom ze worden geintroduceerd, maar de lezer moet ze maar even voor lief nemen tot het duidelijk is waar ze voor dienen. Ook is dit hoofdstuk van het onderzoek het lastigst, en het wordt de lezer aangeraden als hij het niet meer snapt te proberen om te lezen wat er letterlijk staat, en dan te controleren of er geldige stappen worden genomen. Een inzichtelijker maar langer bewijs wordt gegeven in [2], als men de stappen in het bewijs beter wil begrijpen, en geen genoegen neemt met het controleren van de geldigheid, dan kan men beter die bron raadplegen. Voor de implicaties van de stelling is dat niet nodig. 3.1 Mathematische en meta-mathematische uitspraken. Een mathematische uitspraak is een wiskundige uitspraak, en een metamathematische uitspraak kan men maken over een wiskundige uitspraak [3]. Een paar voorbeelden om het onderscheid te verduidelijken. Drie deelt zevenentwintig is een wiskundige uitspraak, terwijl het feit dat drie zevenentwintig deelt is uit te drukken in drie woorden en meta-mathematische uitspraak is. Of: A is een bewijs van B, is een meta-mathematische zin, terwijl A en B gewoon wiskundige formuleringen zijn. Het komt erop neer dat het metaniveau één niveau hoger ligt dan het gewone niveau. 17

20 3.2 Gereedschap van Gödel Er is een mooi verband tussen de Russelparadox en het bewijs van de Stelling van Gödel, het is namelijk zo dat Russel een argument gebruikte om Frege s logica onderuit te halen dat een bepaalde analogie met een argument uit Gödels stelling vertoont. Gödel wist echter op een verbluffende wijze notaties in te voeren en de situatie zo te beschrijven dat hij het argument toe kon passen op de plek waar het nodig was. Om een zelfde soort cirkelredenering als in de Russelparadox te kunnen gebruiken voor het bewijs van de stelling, stelde Gödel een systeem voor om mathematische uitspraken om te zetten in natuurlijke getallen. Zo zouden meta-mathematische uitspraken relaties tussen getallen worden. We laten zien hoe hij dat ongeveer deed (Gödels eigen bewijs is namelijk moeilijker en minder transparant, dus dit is een latere, vereenvoudigde versie ervan, en beschrijft dus niet precies hoe hij het aanpakte) [3]. Hij gaf elk wiskundig symbool een getal: Constanten: = s 7 ( 8 ) 9, 10 Numerieke veranderlijken: x 11, y 13, z 17, etc Volzinsveranderlijken p 11 2, q 13 2, r 17 2, etc Predikaatveranderlijken P 11 3, Q 13 3, R 17 3, etc Predikaatveranderlijken dienen om relaties tussen getallen aan te geven, bijvoorbeeld kleiner dan, of deelbaar door. Tekens, zoals, die niet voorkomen in deze identificatie, zijn te schrijven als combinaties van tekens die wel gegeven zijn, bv. xa(x) = ( ) A(x). Zoals in PA is s de opvolgersfunctie, dus 3=sss(0). Hoe codeerde Gödel nu een mathematische uitspraak? Stel we hebben de uitspraak (x y) y. 18

21 Dit vertaalde Gödel naar: We noemen dit het Gödelgetal van de gegeven uitspraak. Dit is zeer ingenieus, en we leggen uit waar het op slaat. De reeks 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 zijn de eerste priemgetallen uit de oneindige verzameling priemgetallen. Deze priemgetallen worden tot een bepaalde macht verheven, en deze machten corresponderen met de wiskundige symbolen volgens de zojuist gegeven identificatie. 2 8 geeft aan dat het eerste symbool uit de wiskundige regel ( is, 3 11 geeft aan dat het tweede symbool x is, 5 2 geeft aan dat het derde symbool is enzovoort. Priemgetallen hebben twee mooie eigenschappen; de eerste is dat het er oneindig veel, zijn, wat betekent dat we een willekeurig lange wiskundige uitspraak kunnen vertalen naar een Gödelgetal, en de tweede eigenschap is dat een willekeurig geheel getal te ontbinden is in unieke priemfactoren. Wat is er zo handig aan deze tweede eigenschap? Wel, als we een natuurlijk getal bekijken, kunnen we dat ontbinden in zijn unieke priemfactoren, bijvoorbeeld 16 = De priemfactor 2 komt in 16 vier keer voor, en als we dus op zoek zijn naar de wiskundige formule die in verband staat met 16, dan is dat, want 16 = 2 4, dus op de eerste plaats van de formule moet het symbool komen dat correspondeert met 4. Deze formule zegt vrij weinig, en zo heb je heel veel getallen die corresponderen met een nietszeggende of zelfs niet-bestaande formule. Als we bijvoorbeeld kijken naar 3, dan zien we dat de priemfactor 3 daar één keer in voorkomt, dit wil dus zeggen dat er op de eerste plaats van de formule niets staat, en op de tweede plaats het symbool, dit is een nietszeggende formule en we kunnen hem gewoon vergeten. Het punt is echter dat elke formule die wel zinvol is, correspondeert met een uniek Gödelgetal, en dat is zo vanwege de unieke ontbinding in priemfactoren. Als we een formule hebben, en we vertalen deze naar een Gödelgetal op de gegeven manier, dan hebben we een (groot) getal. Dit getal kan slechts op een unieke manier in priemfactoren worden ontbonden, dus als we dat getal weer vertalen naar een formule, dan komt er de oorspronkelijke formule uit! Maar hoe zit het nu precies met variabelen, volzinsveranderlijken en predikaatsveranderlijken? In een wiskundige formule kan het aantal van om het even welke van de drie willekeurig groot worden. Als we dus verder zouden gaan met een aftelling van de natuurlijke getallen zoals we waren begonnen bij de gewone wiskundige symbolen, dan zouden we voor de variabelen gelijk alle natuurlijke getallen nodig hebben, en er geen meer over hebben voor de volzinsveranderlijken en predikaatveranderlijken. Wat is de oplossing? We nemen voor de variabelen gewoon de priemgetallen (dit zijn er ook 19

22 oneindig veel), voor de volzinsveranderlijken kwadraten van priemgetallen en voor de predikaatveranderlijken derde machten van priemgetallen. Als we nu bijvoorbeeld 4 17 tegenkomen, dan weten we dat er op de vierde plaats een variabele staat. Komen we echter tegen, dan is het een volzinsveranderlijke. Omdat een priemgetal nooit een kwadraat of een derde macht is, en een derde macht van een priemgetal ook nooit een kwadraat is, blijkt de identificatie van Gödel goed te zijn, en zullen er nooit ambiguïteiten ontstaan bij het omschrijven van een getal naar een formule. Zo, en nu verder. 20

23 We laten nu zien hoe een meta-mathematische uitspraak een relatie wordt tussen getallen. Stel we hebben de uitspraak p p) is het begingedeelte van (p p) p). Laat p p) het Gödelgetal m hebben, en (p p) p) het Gödelgetal n, dan wordt de meta-mathematische relatie tussen de Gödelgetallen m deelt n. Voor wie het niet gelooft, controleer het maar. Nu worden er nog twee zaken geintroduceerd, ze worden uitvoeriger besproken in [3] De meta-wiskundige uitspraak de reeks formules met het Gödelgetal x vormt een bewijs voor de formule met het Gödelgetal y correspondeert met een rekenkundige relatie tussen y en x. Deze relatie geven we aan met Bew(x, y) (dit kan een heel vreemde relatie zijn, het hoeft niet zoiets als deelt te betekenen. Veeleer wordt de relatie tussen de getallen tot stand gebracht doordat er een relatie tussen de f ormules bestaat). Op een soortgelijke manier bestaat er een relatie met tussen getallen met Bew(z, y) als aanduiding, hierbij is de reeks formules met het Gödelgetal z dus geen bewijs voor de formule met Gödelgetal y. Het tweede symbool Sub is een bewerking op Gödelgetallen. Nemen we Sub(m, 13, n), wat duidt dit dan aan? Welnu, m is een getal dat correspondeert met een formule, in deze formule moet y voorkomen als vrije variabele wil de Sub-uitspraak iets zinvols zeggen. Het getal 13 correspondeert met y, volgens de gegeven codering. Vullen we voor y nu het getal n in, dan krijgen we een wiskundige uitspraak. Het Gödelgetal van deze uitspraak is Sub(m, 13, n). Nu dan, uiteindelijk, zijn we klaar voor een bewijs van Gödels stelling. Bewijs van de onvolledigheidsstelling van Gödel We gaan nu met de geïntroduceerde symbolen, begrippen en identificaties een formule genereren die de eerste onvolledigheidsstelling van Gödel bewijst. In eerste instantie lijkt het nogal getruct, maar misschien dat een tweede keer lezen van het bewijs het geheel beter motiveert. Ook deze sectie is uitgebreider en met meer uitleg te vinden in [3]. We maken eerst de uitspraak Bew(z, x), dat wil dus zeggen dat z geen bewijs vormt voor x. Omdat we hebben laten zien dat we het symbool gewoon kunnen maken mbv. andere symbolen, kunnen we met recht spreken over de uitspraak z Bew(z, x). Dit zegt dat x onbewijsbaar is. Nu nemen we de formule Sub(y,13,y) en vullen deze voor x in. Tot zover zijn we gewoon een leuke formule aan het opstellen, niets aan de hand. Laat het Gödelgetal van de uitspraak z Bew(x, Sub(y, 13, y) n zijn. We vullen nu n in voor y, wat gebeurt er nu? We hebben de formule z Bew(x, Sub(n, 13, n), en het Gödelgetal van 21

24 deze formule is Sub(n, 13, n), want deze laatste uitdrukking duidt op het Gödelgetal dat verkregen wordt door in de formule met Gödelgetal n, n in te vullen voor y en van deze nieuwe formule het Gödelgetal te berekenen en dit is precies wat we hebben gedaan. We hebben nu dus een vergelijking die van zichzelf zegt dat hij onbewijsbaar is (let hierbij op dat Sub(n, 13, n) een getal is, en dat de formule zegt dat de formule die bij dit getal hoort niet te bewijzen is. Toevallig is die formule de formule zelf). Wat kunnen we zeggen over deze uitspraak? We noemen hem voor het gemak even G. Als hij bewijsbaar is, en dus waar (we gaan er immers van uit dat dit systeem alleen ware uitspraken kan genereren, zoals PA alleen ware uitspraken kan genereren over de natuurlijke getallen), dan zegt hij dat hij niet bewijsbaar is. Als hij niet bewijsbaar is, en dus onwaar (want we gaan er ook vanuit dat het systeem alle ware uitspraken kan genereren die met de gegeven symbolen te vormen zijn), dan zegt hij dat hij wel bewijsbaar is. Van de eigenschappen die zojuist tussen de haakjes gegeven lijkt het misschien alsof ze uit de lucht zijn gegrepen, maar het zijn gewoon voorwaarden die men stelt aan een systeem dat PA kan beschrijven. Willen we een consistent formeel systeem, dan moet deze uitspraak onbeslisbaar zijn, want als hij wel beslisbaar zou zijn, dan zou G G volgen, waarvan we de consequenties hebben besproken. We hebben in de laatste alinea gesproken over G als een mathematische uitspraak, we vroegen ons immers af of hij bewijsbaar was binnen het systeem. De wiskunde geeft geen uitsluitsel, maar geeft de meta-wiskunde die wel? Meta-mathematisch redenerdend kunnen we stellen: het is niet mogelijk de uitspraak deze uispraak valt niet te bewijzen te bewijzen, dus is de uitspraak waar. Deze uitspraak is dus waar en niet te bewijzen. We pakken de eerste onvolledigheidsstelling er voor het gemak even bij: Stelling 3.1. De eerste onvolledigheidsstelling van Gödel. Voor elke consistente theorie T zodat PA T, zijn er zinnen G uit de taal van T die onafhankelijk zijn van T. De zin die we net hebben geconstrueerd is onafhankelijk van het systeem dat wordt opgebouwd uit de symbolen die we hebben besproken, want onafhankelijk van betekent hetzelfde als onbeslisbaar in. Omdat een systeem dat PA omvat de symbolen met de Gödelidentificatie moet bevatten, zien we dat alle systemen die er zo uitzien en consistent zijn minimaal één onbeslisbare uitspraak bevatten, precies dat wat de eerste onvolledigheidsstelling ons verteld. 22

25 Als we de zin G aan de axioma s toevoegen zijn we even gered, maar dan voert een kwade genius gewoon dezelfde stappen uit, en je komt bij hetzelfde resultaat. Het bewijs van de tweede onvolledigheidsstelling wordt hier niet precies gegeven, om onnodig verzanden in technische details te voorkomen, maar met [1] moet men een eind kunnen komen. Bij de bespreking van een consistent systeem zagen we het volgende; De uitspraak een rekenkundig systeem is consistent, correspondeert met er is minstens één onbewijsbare formule, en dit correspondeert weer met: y x Bew(x, y), we noemen deze uitspraak A. Als we de uitspraak G laten corresponderen met dit systeem is niet volledig, wat waar is omdat G onbeslisbaar is en het systeem dus onvolledig maakt, dan kunnen we op een verrassende wijze kijken naar: als een rekenkundig systeem consistent is, is het onvolledig. De vertaling hiervan is dan A G. Nu smokkelen we even, want we zeggen gewoon dat deze rekenkundige relatie binnen het systeem te bewijzen is. Dat is natuurlijk ook zo, maar geven het bewijs hier niet. De consequenties ervan zijn verstrekkend. G valt niet te bewijzen als het systeem consistent is, dat hebben we laten zien. Als A te bewijzen zou zijn, dan zou G dat ook zijn, want dat A G impliceert is immers wél te bewijzen. Dus A kan niet te bewijzen zijn binnen het systeem, als het systeem consistent is. De consistentie van een rekenkundig systeem valt zodoende niet te bewijzen binnen dat systeem, precies de tweede onvolledigheidsstelling: Stelling 3.2. De tweede onvolledigheidsstelling van Gödel. Geen enkele consistente theorie T zodat PA T kan haar eigen consistentie bewijzen. Hilberts wens om de consistentie van een systeem dat PA bevat te bewijzen viel hiermee in het water, en met hem waren er velen die uit het veld geslagen waren. In het begin viel het wiskundigen moeilijk deze stellingen te accepteren, naast het feit dat het een ongemakkelijke waarheid was die een paradigmawijziging vereiste natuurlijk ook omdat ze in een ingewikkelde logische taal waren opgesteld. Later bleek dat, hoewel PA haar eigen consistentie niet kan bewijzen, sterkere theorieën zoals de geformaliseerde analyse of de verzamelingentheorie dit wel kunnen [1]. Toen er na onduidelijkheden met betrekking tot inferentie door Turing een precieze karakterisering van wat een wiskundige theorie is werd gegeven, bleken de onvolledigheidsstellingen voor alle systemen die PA bevatten te gelden. Inferentie houdt verband met de modus-ponens regel, die bij het bespreken van de propositielogica is behandeld. Het komt neer op de vraag: uit welke uitspraken kan men een volgende uitspraak afleiden? 23

26 Hilbert stelde bijvoorbeeld de volgende regel voor, die volgens Turings karakterizering niet meer toegestaan was: Indien A(0), A(1), A(2),...A(n),.. bewijsbaar zijn voor alle natuurlijke getallen n, dan mag men besluiten tot xa(x) [1]. Het moge duidelijk zijn dat het controleren van de aanname, dus dat A(0), A(1),.. bewijsbaar zijn niet bepaald een eindige procedure is. De karakterizering van Turing was juist dat je de regel slechts mocht toepassen als het om een eindige procedure ging. Zo bleek Hilberts poging om de onvolledigheidsstelling te ontlopen op niets uitgelopen te zijn, en werden Gödels resultaten steeds meer gemeengoed binnen de wiskundige gemeenschap. 24

27 Conclusie Zoals in de inleiding werd aangegeven, zal het in deze conclusie vooral gaan om een filosofische benadering van de gevolgen van de stellingen van Gödel. We zetten eerst nog even het verloop van het stuk kort uiteen. Om de intuïtie zoveel mogelijk uit de wiskunde te bannen, werd er in de loop van de negentiende eeuw veel werk verricht om de wiskunde te axiomatiseren. Lange tijd had men wiskunde gewoon bedreven, maar nu wilde men meer zekerheden in het werk. Na enkele vruchteloze pogingen (van o.a. Frege en Russel) werd het geloof wat toendertijd onder veel wiskundigen heerste geformuleerd door Hilbert, een van de meest vooraanstaande wiskundigen uit die tijd. Hij dacht dat de consistentie en volledigheid van een systeem dat de belangrijkste elementen uit de wiskunde (de rekenkunde, maar ook de hogere wiskunde) binnen de rekenkunde te bewijzen waren. Hij wilde dit in de rekenkunde laten doen omdat deze een zeer sterke intuïtieve basis heeft, dit klinkt misschien tegenstrijdig, maar aan de andere kant is het ook niet zo gek dat wiskundigen de getallen 1, 2, 3... en een aantal van hun relaties voor waar aannemen. Gödel bewees toen echter twee dingen: allereerst was een systeem dat de rekenkunde omvatte nooit volledig, dus er zijn in de taal van zo n systeem altijd uitspraken te formuleren die niet te bewijzen zijn, en ten tweede is de consistentie van zo n systeem nooit binnen het systeem te bewijzen. Dit is een van de belangrijkste wiskundig-logische resultaten van de twintigste eeuw. Waarom? Men hoort soms spreken over grote teleurstellingen van de mensheid, zoals de overgang van het geocentrisch wereldbeeld, waarbij de aarde in het middelpunt van het heelal gesitueerd wordt, naar het heliocentrisch wereldbeeld, waarbij de zon de rol van middelpunt vervuld, of van het deterministisch wereldbeeld naar het kwantummechanische, waarin bleek dat ontwikkelingen van materie of straling (beweging, verandering) nooit exact te voorspellen zijn. Er zijn meer soortgelijke voorbeelden, en een ding dat de meesten gemeen hebben is dat de mens een onbeduidender rol krijgt toebedeeld in het universum. We zijn niet meer het onbetwiste middelpunt van het heelal, sommige kennis blijkt ons per definitie onthouden te blijven. De stellingen 25

28 van Gödel hebben eenzelfde effect. Waar de mens eerst geloofde dat binnen een gegeven systeem uiteindelijk alle wiskundige problemen oplosbaar zijn, en dat er binnen zo n systeem ook een bewijs kan worden gegeven van de consistentie, en dus de zinvolheid van een systeem, daar werd hij door de stellingen van Gödel nu gedwongen om bepaalde beperkingen voor lief te nemen. Er bestaan geen absolute, allesomvattende theorieën; ook niet binnen de wiskunde. Het blijft nu altijd zoeken naar die uitspraken die niet te bewijzen zijn binnen het systeem, maar wél waar zijn. Dit kunnen ook belangrijke resultaten zijn, maar als je je alleen binnen het gegeven systeem beweegt, zal je ze nooit op kunnen bewijzen of ontkrachten. Hoewel in de kern van de wiskunde niet zoveel aan de hand is, daar werkt men met een gerust hart in een systeem dat hoewel het zijn tekortkomingen kent zijn kracht toch heeft bewezen, zijn er ook voorbeelden te vinden van problemen die hardnekkiger zijn, die een verandering van aanpak vereisen. Wat er eigenlijk is gebeurd, is dat de wiskunde het simplistische geloof in bewijsbaarheid, wat bijvoorbeeld in de natuurkunde deels met de introductie van de kwantummechanica gebeurde (hoewel bepaalde elementen van chaostheorie toen al waren bewezen), moest laten varen. Het is interessant, maar in dit onderzoek wordt het slechts summier aangestipt, om de gevolgen hiervan op onze kijk op kennis, en dan in het bijzonder wiskundige kennis, te analyseren. Gaan wiskundigen tegenwoordig anders te werk, hebben zijn zichzelf andere doelen gesteld en zijn deze veranderingen analoog aan veranderingen van perceptie en werkwijze in andere gebieden van kennis? Deze paradigmawisseling is waarschijnlijk een van de grotere die de wiskunde in haar bestaan heeft doorgemaakt. Het is misschien een idee voor een vervolgonderzoek van een filosoof of epistemoloog, misschien zou zelfs een antropoloog zich over de kwestie kunnen buigen. In dit stuk is echter alleen geprobeerd de stellingen van Gödel zo goed mogelijk in te bedden in een beschrijving van de tijd van hun formuleringen en de ideeën die men toen had over wiskunde, en daarbij een zo helder mogelijk bewijs ervan te geven. Wellicht zijn er mensen uit de voorgenoemde disciplines die hier iets aan hebben als zij op hun eigen wijze de opgeworpen kwesties proberen te analyseren. 26

29 Bibliografie [1] L. Horsten, Eindig, oneindig, meer dan oneindig, 2004 [2] M. Combès, Grondslagen van de wiskunde, 1971 [3] E. Nagel, J. R. Newman, Gödels proof,