Grafeen en tabletop Quantum Elektrodynamica

Transcriptie

1 Grafeen en tabletop Quantum Elektrodynamica Hans van Deurzen Begeleider: Jean-Sébastien Caux Instituut voor Theoretische Fysica Amsterdam ITFA Universiteit van Amsterdam 25 augustus 2008 Samenvatting Elektronen in grafeen gedragen zich als relativistische massaloze deeltjes, zogeheten Dirac fermionen. In dit verslag wordt de Hamiltoniaan berekend die voortkomt uit de hexagonale structuur van het 2D rooster van grafeen. Deze Hamiltoniaan blijkt inderdaad overeen te komen met die uit de Dirac-vergelijking.

2 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Koolstof en Grafeen Verschijningsvormen elementair koolstof Grafeen als missende dimensie Experimenteel bewijs Relativistische massaloze elektronen Toestandsvergelijkingen Niet-relativistische Schrödinger vergelijking Viervector-notatie Klein-Gordon vergelijking Dirac vergelijking Covariante Dirac-vergelijking Anti-commutatie relaties Adjoint vergelijking Hermitische conjugatie Adjoint vergelijking Stroomdichtheid Dirac vergelijking in 2+1D Hexagonaal rooster en hopping-hamiltoniaan Roosterstructuur Vaststellen hopping-hamiltoniaan Hamiltoniaan in de fase-ruimte Fourier-transformatie Dispersierelatie Intersectiepunten Expansie Hamiltoniaan rond intersectiepunten Benadering rond q Afleiding Andere inequivalente punt + q Afleiding Dirac Hamiltoniaan Klein Paradox 30 8 Conclusie 31 9 Dankwoord 31 1

3 10 Populaire samenvatting Toelichting Grafeen, een stof met toekomst Appendix A Appendix B 35 2

4 1 Inleiding Dat nanobuisjes en fullerenen hot topics zijn in de fysische en chemische wereld zal niemand ontkennen. Vele artikelen zijn erover geschreven sinds hun ontdekking, toch nog zo kort geleden, en de voorspellingen over toekomstige toepassingen zijn even enthousiasmerend als overvloedig aanwezig. Grafeen is een stof die ook in dit rijtje thuishoort. De stof is helaas nog niet zo bekend als deze twee van zijn dimensionele tegenhangers, waarschijnlijk vanwege het feit dat pas in 2004 het bestaan van grafeen daadwerkelijk experimenteel is bevestigd. De fysica die voortkomt uit grafeen is evenwel opmerkelijk en veelbelovend en verdient dus zeker de aandacht die er de afgelopen vier jaar op is gevestigd. De hexagonale tweedimensionale roosterstructuur van grafeen leidt er namelijk toe dat de elektronen op dit rooster zich gaan gedragen als relativistische massaloze deeltjes, geheel volgens de Dirac vergelijking en de achterliggende theorie van Quantum Elektrodynamica QED. Op zich zijn relativistische elektronen geen wereldschokkend nieuws, maar het feit dat ze zich niet in een deeltjesversneller bevinden of uit kosmische straling zijn voortgekomen, maar gewoon op een vierkante centimeter tabletop kunnen worden gebruikt voor experimenten in het gebied van de QED maakt een heel scala aan theorieën opeens experimenteel verifieerbaar, zoals de Klein Paradox en het anomalous Quantum Halleffect, en brengt veel nieuwe fysica met zich mee. Het loont dus zeer zeker de moeite in de theorie achter grafeen te verdiepen. In dit verslag zal ik proberen aan te tonen dat de elektronen in grafeen zich inderdaad als relativistische massaloze deeltjes gedragen. 3

5 2 Koolstof en Grafeen In het periodiek systeem staan slechts enkele elementen die meer dan twee bindingen kunnen aangaan en dus ingewikkeldere moleculen kunnen vormen. De lichtste en dus meest abundante hiervan zijn stikstof en koolstof, die respectievelijk drie en vier bindingen kunnen aangaan. Het is daarom niet verwonderlijk dat koolstof als een van de belangrijkste elementen wordt gezien: Koolstof is door zijn hoge aantal valentie-elektronen de bouwstof van het leven. Koolstof zit in veel stoffen die men uit het dagelijks leven kent: We ademen koolstofdioxide uit en in elk voedingsmiddel zitten koolhydraten maar ook vetten en eiwitten hebben een koolstofskelet en de energie die de wereld draaiend houdt wordt ook voornamelijk geleverd door gas en olie: Koolstofhydraten. 2.1 Verschijningsvormen elementair koolstof Vast elementair koolstof, Cs, komt voor in vier verschillende natuurlijke allotropen stoffen van hetzelfde element met een andere kristalstructuur. Twee hiervan zijn zeer bekend: Diamant en grafiet. In diamant vormt elk koolstofatoom een enkele binding naar vier naburige koolstofatomen, die zich op de hoekpunten bevinden van de tetraeder die het koolstofatoom omsluit als middelpunt. Het rooster strekt zich dus uit in 3D. Grafiet heeft ook een 3D-structuur, maar heeft een totaal andere opbouw. Grafiet bestaat uit lagen die onderling maar zwak gekoppeld zijn. Binnen de lagen hebben de koolstofatomen echter een sterke binding. Iedereen kent dit principe uit de praktijk van het schrijven met een potlood. De kern van een potlood is van grafiet en bij het schrijven worden de lagen die onderling geen stevige binding hebben afgeschoven op het papier. Lange tijd waren dit de enige verschijningvormen van vast elementair koolstof die bekend waren. Dit veranderde voor het eerst in de jaren tachtig met de ontdekking in 1985 van de zogehete fullerenen, of ook wel liefkozend buckyballs, naar Richard Buckminster Fuller, die de architect was van geodetische koepels die in ontwerp veel overeenkomsten hadden met de moleculen. Robert F. Curl Jr., Sir Harold W. Kroto en Richard E. Smalley kregen in 1996 voor de synthese van de eerste buckyballs de Nobelprijs voor de Chemie. Fullerenen bestaan in feite uit opgerolde enkele lagen grafiet monolayers in het engels, maar nu strekt het rooster zich in geen enkele richting uit. De bekendste van de fullerenen is C 60, waarvan het koolstofskelet de afwisselende vijf- en zesvlakken van een voetbal heeft. Men zou het dus ook moleculaire stoffen kunnen noemen. In het kader van de hiervoor gebruikte terminologie houden we liever de term 0D-structuur rooster aan. Een nieuwe doorbraak kwam met de ontdekking van nanobuisjes. Nanobuis- 4

6 jes zijn kristallen van koolstof die zich slechts in een richting uitstrekken, het is in die zin een 1D-structuur. Ook nanobuisjes bestaan uit opgerolde vellen van enkele lagen grafiet. Nanotechnologie bracht veel nieuwe fysica met zich mee en mogelijke toepassingen op het gebied van bijvoorbeeld elektronica, vanwege de uitstekende geleiding. 2.2 Grafeen als missende dimensie Aan het eind van de twintigste eeuw was Cs dus in drie dimensies bekend. Diamant buiten beschouwing latend was de overeenkomst tussen de drie dat ze waren opgebouwd uit monolayers van grafiet. Een dergelijke monolayer kan beschouwd worden als koolstofatomen in een plat vlak, waarbij elk koolstofatoom een enkele binding heeft naar drie naburige koolstofatomen die zich op de hoekpunten bevinden van de gelijkzijdige driehoek die het koolstof atoom als middelpunt omsluit de 2D-versie van de beschrijving van het driedimensionale diamant, een hexagonaal rooster met voor elk koolstofatoom een vrij elektron. De chemische beschrijving zou het accent net anders leggen en de laag beschrijven als een volledig geconjugeerd polycyclisch systeem In dit model heeft elk koolstofatoom twee enkele en een dubbele binding, die kan overspringen. Beide modellen zijn juist: Ze verklaren in ieder geval allebei goed de uitstekende geleiding van de monolayer. De twee modellen verschillen alleen in bruikbaarheid afhankelijk van wat het doel van de berekening is. Voor het beschrijven van reacties aan het π-systeem is de chemische benadering via de orbitalen ongetwijfeld het meest praktisch. In dit project is het voornaamste doel echter het berekenen van de Hamiltoniaan die de interactie tussen naburige koolstofatomen beschrijft en wordt dus de fysische benadering gebruikt. Het opmerkelijke was dat juist deze stof met een 2D-structuur, die aan de grondslag leek te liggen voor de structuren van de overige dimensies, aan het eind van de twintigste eeuw nooit los was waargenomen of gemaakt. Er bestond dan ook een theorie dat deze stof, die grafeen werd genoemd, thermodynamisch instabiel zou zijn[6] Mermin-Wagner theorema [11] en niet kon bestaan. Deze theorie stelde dat de vibraties van de atomen in een 2D rooster in een 3D ruimte over grotere afstanden zouden divergeren door quantumfluctuaties en trillingen als gevolg van thermodynamica. Hierdoor zouden de bindingen breken en zou het kristal dus smelten. 2.3 Experimenteel bewijs Dit bleek in het geval van grafeen evenwel niet te kloppen. De oplossing is dat grafeen niet een perfect 2D oppervlak is, maar dat het oppervlak gekreukeld is. Dit geeft extra stabiliteit, net zoals een verkreukeld papier steviger is dan een 5

7 plat ongeschonden exemplaar. In 2004 lukte het A.K. Geim en K.S. Novoselov van de University of Manchester voor het eerst om daadwerkelijk grafeen te maken [12]. De methode die gebruikt werd was in essentie verbluffend simpel: De onderzoekers namen potloodstrepen dunne laagjes grafiet en gebruikten plakband om daarvan laagjes af te trekken. Met een verbeterde zoektechniek vonden ze uiteindelijk stukjes waarin het overgebleven grafiet nog maar uit een enkele laag bestond. Hiermee was het experimenteel bewijs van het bestaan van grafeen een feit. 2.4 Relativistische massaloze elektronen De roosterstructuur van grafeen is dermate speciaal dat al lang voor de experimentele waarneming van grafeen was aangetoond dat elektronen op zo n rooster zich als massaloze relativistische deeltjes gaan gedragen. Dit zal uiteindelijk in hoofdstuk 5 worden aangetoond Voor een goede introductie: zie de artikels van Kane[7], Katsnelson[8] of Geim en Novoselov [4]. Hiervoor is het echter van belang eerst meer te weten over de Dirac-vergelijking, dit is het onderwerp van het volgende hoofdstuk. 6

8 3 Toestandsvergelijkingen In dit hoofdstuk zal worden getracht de Dirac vergelijking af te leiden. Hiervoor wordt grotendeels de redenatie gebruikt van het boek van F. Halzen en A.D. Martin[2]. 3.1 Niet-relativistische Schrödinger vergelijking De gebruikelijke manier om tot de Schrödinger vergelijking te komen is door E en p te substitueren door hun quantummechanische operatoren: E i t, p i. 1 Door substitutie van deze operatoren in de klassieke vergelijking voor energie van een vrij deeltje slechts de kinetische term, E = p2 2m, verkrijgt men de Schrödinger vergelijking: i 2 ψ = 2 2 ψ i t ψ = 2 2m 2 ψ. Om de notatie te versimpelen, wordt vanaf hier de notatie gebruikt die in de deeltjesfysica gebruikelijk is, d.w.z. waarin = c = 1. In deze notatie wordt de Schrödinger vergelijking: Defineren we nu de kansdichtheid als i ψ t + 1 2m 2 ψ = 0. ρ = ψ 2, dan levert een integraal over het volume via de stelling van Gauss simpelweg de continuïteitsvergelijking: t ρdv = J ds = J dv V S V t ρ + J = 0. 7

9 De Schrödinger vergelijking voor ψ van links vermenigvuldigd met iψ geeft: iψ i t ψ + 1 2m 2 ψ = ψ t ψ + i 2m ψ 2 ψ = 0. Op dezelfde wijze verkrijgt men door het van links vermenigvuldigen van de Schrödinger vergelijking van ψ met iψ ψ t ψ + i 2m ψ 2 ψ = 0. Trekt men nu de tweede vergelijking van de eerste af, dan krijgt men ψ t ψ + ψ t ψ + i 2m ψ 2 ψ i 2m ψ 2 ψ t ψψ t ρ i ψ 2 ψ ψ 2 ψ 2m i ψ 2 ψ ψ 2 ψ = m Als dit nu vergeleken wordt met de continuïteitsvergelijking, dan kan geconcludeerd worden dat: J = i 2m ψ ψ ψ ψ. 3.2 Viervector-notatie We introduceren nu de viervector-notatie, waarin een inproduct van vectoren A µ A 0, A en B µ B 0, B gedefineerd is als: A B = A 0 B 0 A B, oftewel: met In deze notatie geldt A B = A µ B ν = g µν A µ B ν g µν = µ = t, µ = t, 8

10 en daaruit kan de invariante D Alembertiaan operator worden gevormd: 2 µ µ. De substituties die eerder genoemd werden kunnen worden samengevoegd tot een enkele substitutie: p µ i µ. 3.3 Klein-Gordon vergelijking De Klein-Gordon vergelijking kan feitelijk de relativistische Schrödinger vergelijking genoemd worden. Het is een herhaling van dezelfde stappen als in de eerste paragraaf, d.w.z. de substituties van 1, maar dan in de relativistische formule voor de energie, E 2 = p 2 + m 2. Dit geeft de Klein-Gordon vergelijking: 2 φ t φ = m 2 φ. Door weer deze vergelijking met iφ en de complex geconjugeerde vergelijking met iφ te vermenigvuldigen, analoog aan de procedure bij de Schrödinger vergelijking, en deze twee vergelijkingen wederom van elkaar af te trekken, verkrijgt men de relativistische analoog van 2, de relativistische continuïteitsvergelijking: t [ i φ φ t φ φ t ] + [ i φ φ φ φ ] = 0. De term tussen het eerste paar rechte haken is weer de kansdichtheid en tussen het tweede paar de stroomdichtheid. In viervector-notatie kan dit eleganter worden geschreven als men de stroomdichtheid vier-vector defineert als: J µ = ρ, J = iφ µ φ φ µ φ. De Klein-Gordon vergelijking wordt nu µ µ + m 2 φ = 0 en de continuïteitsvergelijking wordt µ J µ = 0. 9

11 3.4 Dirac vergelijking De Klein-Gordon vergelijking is goed genoeg om spinloze deeltjes te beschrijven, maar mist de structuur van twee componenten om fermionen, in ons geval elektronen, te beschrijven. Dirac was de eerste die ontdekte dat er andere manieren waren om de Schrödinger vergelijking relativistisch te generaliseren. Hij was oorspronkelijk op zoek naar een lineaire vergelijking. De Dirac vergelijking is: Hψ = α P + βm ψ, 3 onder de voorwaarde dat voor een vrij deeltje geldt dat: H 2 ψ = P 2 + m 2 ψ. 4 Dit legt beperkingen op voor de te bepalen coëfficiënten β en α i : = i H 2 ψ = α i P i + βmα j P j + βmψ α 2 ipi 2 + α i α j + α j α i P i P j + i>j i α i β + βα i P i m + β 2 m 2 ψ. De term α i P i α j P j wordt in feite in drie termen uiteengesplitst: De eerste is de term waarbij i = j, de tweede is de term waarbij i > j en voor de gevallen waarin j > i worden de indices omgedraaid, zodat alsnog altijd geldt dat i > j. We zien dat om vergelijking 3 aan de voorwaarden te laten voldoen die horen bij vergelijking 4, voor de coëfficiënten α en β moet gelden dat: {α i, α j } + = {α i, β} + = 0 en α 2 i = β 2 = 1. Het is hiermee uitgesloten dat α i en β scalars zijn, die zouden immers niet met elkaar anti-commuteren. De laagste dimensie matrices die wel aan alle voorwaarden voldoen, zijn 4x4-matrices. Hoewel er meerdere mogelijkheden zijn, is het gebruikelijk om voor α en β de volgende representatie te kiezen: α = 0 σ σ 0, β = I 0 0 I, waarin σ de Pauli-matrices zijn: 0 1 σ x = 1 0, σ y = 0 i i 0 1 0, σ z = 0 1. Deze notatie voldoet aan de eisen: 0 σ 0 σ α 2 = σ 0 σ 0 = σ 2 0 I 0 0 σ 2 = 0 I 10

12 en en verder {α i, α j } + = β 2 = 0 σi σ i 0 I 0 0 I I 0 0 I 0 σj σ j 0 = I 0 0 I 0 σj + σ j 0 {σi, σ j } + 0 = 0, 0 {σ i, σ j } + 0 σi σ i 0 aangezien de Pauli-matrices met elkaar anti-commuteren, en 0 σi I 0 I 0 0 σi {α i, β} + = + σ i 0 0 I 0 I σ i 0 0 σi I σ i I 0 0 Iσi + Iσ i 0 aangezien I en σ vanzelfsprekend commuteren. = 0, = = 3.5 Covariante Dirac-vergelijking Om tot de covariante notatie van de Dirac-vergelijking te komen, vermenigvuldigen we vergelijking 3 van links met β, in gedachten houdend dat P i : iβ ψ = iβ α ψ + mψ t [ ] iβ t + α m ψ = 0. Als we nu vier Dirac γ-matrices definieren als γ µ β, β α met µ = {0, 1, 2, 3}, levert dat de covariante vorm van de Dirac-vergelijking: iγ µ µ mψ =

13 3.5.1 Anti-commutatie relaties De anti-commutatie relaties kunnen nu in covariante notatie herschreven worden: γ µ γ ν + γ ν γ µ. Eerst de diagonaal: en γ 0 γ 0 + γ 0 γ 0 = 2β 2 I 0 = 2 0 I γ i γ i + γ i γ i = 2βα i βα i = I 0 0 σi I 0 0 σi 2 = 0 I σ i 0 0 I σ i 0 0 σi 0 σi 2 σ i 0 σ i 0 I 0 I 0 = 2 = 2. 0 I 0 I Nu de elementen die niet op de diagonaal liggen: 0 σi σ i 0 γ i γ j + γ j γ i = βα i βα j + βα j βα i = 0 σj 0 σj 0 σi + σ j 0 σ j 0 σ i 0 σi σ j σ j σ i σ i σ j σ j σ i {σi, σ j } + 0 = 0 0 {σ i, σ j } + en verder γ 0 γ i + γ i γ 0 = ββα i + βα i β = I 0 0 σi I 0 0 σi I I σ i 0 0 I σ i 0 0 I 0 σi 0 σi I 0 + σ i 0 σ i 0 0 I 0 σi 0 σi + = 0 σ i 0 σ i 0 en tenslotte: γ i γ 0 + γ 0 γ i = βα i β + ββα i = ββα i + βα i β = 0. Het bovenstaande laat zich samenvatten in de anti-commutatie relatie van γ µ : γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν. 12

14 3.6 Adjoint vergelijking In een eerdere paragraaf is de Klein-Gordon vergelijking gebruikt om een covariante uitdrukking voor de stroomdichtheid en continuïteitsvergelijking te bepalen. Om deze redenering te herhalen voor de Dirac vergelijking moet in acht worden genomen dat omdat we nu te maken hebben met een matrix-vergelijking we gebruik moeten maken van de hermitisch geconjugeerde vergelijking, in plaats van de complex-geconjugeerde vergelijking zoals eerder het geval was Hermitische conjugatie Daarom beschouwen we nu eerst de hermitisch geconjugeerden en kwadraten van de elementen uit de gamma-matrices: γ 0 = γ 0, γ 0 2 = I en voor k = {1, 2, 3} 0 σk σ k 0 I 0 0 I γ k = βα k = α k β = 0 σk = = σ k 0 γ k = γ k en zoals in de vorige paragraaf aangetoond: γ k 2 = I. I 0 0 I 0 σk σ k 0 = βα k Dit alles laat zich samenvatten in de volgende relatie: γ µ = γ 0 γ µ γ Adjoint vergelijking Nu is het materiaal aanwezig om tot de adjoint vergelijking te komen. De Dirac vergelijking is: iγ 0 ψ ψ + iγk mψ = 0. t xk De hermitisch geconjugeerde vergelijking is dus: i ψ t γ0 i ψ x k γ k mψ = 0. Om de covariante vorm terug te krijgen vermenigvuldigen we van rechts met γ 0 : i ψ t γ0 γ 0 + i ψ x k γ k γ 0 + mψ γ 0 = 0 13

15 γ 0 γ k = γ k γ 0, dus i ψ t γ0 γ 0 + i ψ x k γ0 γ k + mψ γ 0 = 0. Op dit punt introduceren we de adjoint spinor, ψ ψ γ 0, en verkrijgen zo de adjoint Dirac vergelijking: i µ ψγ µ + m ψ = Stroomdichtheid Nu vermenigvuldigen we de covariante Dirac-vergelijking 5 van links met ψ en de zojuist verkregen adjoint Dirac vergelijking 6 van rechts met ψ. Optellen geeft: i ψγ µ µ ψ ψmψ + i µ ψ γ µ ψ + m ψψ = 0 Hieruit volgt dat: ψγ µ µ ψ + µ ψ γ µ ψ = 0 µ ψγ µ ψ = 0. J µ ψγ µ ψ. Omdat eerder al was geconcludeerd dat J µ de stroomdichtheid voorstelt, moet voor elektronen de coëfficient gelijk zijn aan de elementairlading e: J µ = e ψγ µ ψ. 3.7 Dirac vergelijking in 2+1D Al het voorgaande ging er van uit dat we ons in een 3+1D ruimtetijd bevinden. In grafeen echter zijn er slechts twee ruimteachtige dimensies waarin de elektronen impuls kunnen hebben. Het loont dus de moeite om te onderzoeken wat de Dirac vergelijking wordt in 2+1D. Vergelijking 3 wordt in 2+1D: Hψ = α k + βm ψ, 7 14

16 als de laag grafeen in het x, y-vlak ligt, is k hierbij de tweedimensionale impuls: kx k =. k y De voorwaarde voor een vrij deeltje blijft ook bijna hetzelfde: en dus ook de anti-commutatierelatie: H 2 ψ = k 2 + m 2 ψ, 8 {γ µ, γ ν } + = 2g µν met nu µ = {0, 1, 2} en g µν = Bovenstaande relatie geldt al als voor γ µ 2x2-matrices worden gekozen. De conventie is als volgt: 1 0 γ 0 = β = σ z =, 0 1 γ 1 0 i 0 1 = iσ x = i = i i γ 2 = iσ y = i = 1 0 i 0 Ter controle van de anti-commutatierelatie: γ 0 γ 0 + γ 0 γ 0 = 2γ 0 2 = 2, γ i γ i + γ i γ i = 2γ i 2 = 2i 2 σ 2 i = 2, γ i γ j + γ j γ i = i 2 {σ i, σ j } + = 0 in het geval dat γ i of γ j = γ 0 dan is de voorfactor een i minder, maar de redenatie is hetzelfde, omdat in alle gevallen het neerkomt op een anti-commutatie van veschillende Pauli-matrices. Dus geldt inderdaad de anti-commutatierelatie: {γ µ, γ ν } + = 2g µν.,. 15

17 4 Hexagonaal rooster en hopping-hamiltoniaan Om aan te tonen dat de elektronen in grafeen zich als massaloze deeltjes gedragen moet aangetoond worden dat ze zich gedragen zoals gedicteerd wordt door de Diracvergelijking uit hoofdstuk 3, d.w.z. dat ze een Hamiltoniaan hebben die gelijk is aan 3. Om de uitdrukking voor de Hamiltoniaan van elektronen in grafeen te vinden, moeten we eerst dieper ingaan op een beschrijving van zijn roosterstructuur. We kunnen vervolgens conclusies trekken over de Hamiltoniaan die hieruit volgt. 4.1 Roosterstructuur Zoals eerder vermeld heeft grafeen een hexagonale roosterstructuur, met op elk hoekpunt een koolstofatoom. Om de afleiding zorgvuldig te doen zullen we er in eerste instantie echter van uit gaan dat de twee sites in de eenheidscel bezet worden door heterogene elementen, zoals bijvoorbeeld het geval is in boronitride. Beschouw dus het rooster uit figuur 1. Figuur 1: Een hexagonaal rooster bestaat uit twee sublattices, hier aangegeven met atomen A en B van de respectievelijke sublattices. Bron: Semenoff[13]. In dit rooster zijn de twee verschillende sites van de eenheidscel aangegeven met A en B. De basisvectoren zijn 3 a 1 = a , a 2 = a 1. 16

18 De roosterpunten A uit de eerste sublattice worden opgebouwd als lineaire combinaties van deze vectoren: An 1, n 2 = n 1 a 1 + n 2 a 2. De twee sublattices worden verbonden door de connectievectoren 1 b 1 = a , b2 = a , b2 1 3 = a. 2 0 De roosterpunten B worden gegenereerd door: Bm 1, m 2 = m 1 a 1 + m 2 a 2 + b 1 de laatste term kan vanzelfsprekend elke connectievector zijn, we kiezen hier voor de eerste. 4.2 Vaststellen hopping-hamiltoniaan In deze paragraaf maken we gebruik van het begrip Second Quantization. Voor een beknopte uitleg hierover wordt hierbij verwezen naar de syllabus van het vak Quantumgassen[14]. De Hamiltoniaan voor de elektronen in dit rooster laat zich goed benaderen door de hopping-hamiltoniaan H hop, waarbij de benadering inhoudt dat er van uitgegaan wordt dat alleen interactie tussen twee direct aangrenzende atomen van invloed is op de Hamiltoniaan. We voeren nu vier operatoren in. De creatie- en annihilatie-operatoren, respectievelijk U en U, van elektronen op sites A en respectievelijk V en V op sites B. Verder parametrizeren we het potentiaalverschil tussen de sublattices als β en voeren we een coëfficiënt α in gerelateerd aan de waarschijnlijkheid voor een elektron om van een site naar een aangrenzende te springen. De hopping-hamiltoniaan wordt nu: H hop = α A,i U AV A + b i + V A + b i U A +β A U AU A V A + b 1 V A + b 1. De eerste term hierin staat voor de annihilatie van een elektron op site A + b i dus een site B en de creatie van een elektron op site A. Het elektron springt dus van het ene sublattice naar het andere. De tweede term zorgt juist voor de tegenovergestelde sprong van A naar B. De derde en vierde term zijn number-operators op respectievelijk sites A en B. 17

19 Door ze van elkaar af te trekken en te vermenigvuldigen met β wordt dus het potentiaalverschil vastgesteld. Door te sommeren over i = {1, 2, 3} worden alle connecties meegenomen en door te sommeren over A wordt het hele rooster meegenomen. Sommatie is bij de laatste twee termen slechts nodig over A en dus ook A + b 1, omdat daarmee alle roosterpunten van de twee respectievelijke roosters zijn meegenomen. 18

20 5 Hamiltoniaan in de fase-ruimte In dit hoofdstuk zal getracht worden de hopping-hamiltoniaan uit het vorige hoofdstuk uit te drukken in operators werkend in de fase-ruimte. Daarna zal de dispersierelatie en haar minima bepaald worden. 5.1 Fourier-transformatie De Hamiltoniaan uit het vorige hoofdstuk was we laten vanaf hier de hoppingindex weg: H = α A,i U AV A + b i + V A + b i U A +β A U AU A V A + b 1 V A + b 1. De eerste term van de Hamiltoniaan H = α A,i U AV A + b i +... met de Fourier-transformatie, U A = Ω B d 2 k 2π 2 ei k A U k, waarin Ω B de Brillouin-zone is zoals gedefineerd in Semenoffs artikel[13], geeft α d 2 k 1 A,i Ω B 2π 2 e i k 1 A U k d 2 k 2 1 Ω B 2π 2 ei k 2 A+ b i V k 2 d 2 k 1 = α Ω B 2π 2 e i k 1 A U k d 2 k 2 1 Ω B 2π 2 A d 2 k 1 d 2 k 2 = α Ω B 2π 2 2π 2 U k 1 e i k 2 k 1 A A i A e i k 2 A i e i k 2 b i V k 2 e i k 2 b i V k 2. Het bepalen van de sommatie gebeurt in appendix A, de uitkomst is: e i k 2 k 1 A = 2π 2 δ k 1 k 2. A De eerste term van de Hamiltoniaan wordt derhalve: d 2 k 1 d 2 k 2 α Ω B 2π 2 2π 2 U k 1 2π 2 δ k 1 k 2 i e i k 2 b i V k 2 19

21 = α Ω B d 2 k 2π 2 U k i e i k b i V k de index van k 1 is overbodig geworden, gewoon k volstaat. Op eenzelfde wijze verkrijgt men uit de tweede term, V A + b i U A, eenzelfde soort uitdrukking, alleen nu met een minteken in de exponent, omdat de vector A + b i nu in het argument van de hermitisch geconjugeerde operator staat: d 2 k α Ω B 2π 2 V k e i k b i U k. i De uitdrukkingen volgend uit de derde en vierde term verkrijgt men op een soortgelijke wijze. Hieronder de afleiding van de laatste term, de derde is niet wezenlijk anders neem β β, V U en b 1 0. = β A... β A V A + b 1 V A + b 1 d 2 k 1 d 2 k 2 Ω B 2π 2 2π 2 V k 1 e i k 2 k 1 A+ b 1 V k 2 d 2 k 1 d 2 k 2 = β Ω B 2π 2 2π 2 V k 1 e i k 2 k 1 A e i k 2 k 1 b 1 V k 2 A d 2 k 1 d 2 k 2 = β Ω B 2π 2 2π 2 V k 1 2π 2 δ k 2 k 1 e i k 2 k 1 b 1 V k 2 = β Ω B d 2 k 2π 2 V kv k Het resultaat van deze vier berekeningen laat zich eenvoudiger weergeven in matrixvorm: d 2 k H = 2π 2 U k V U k M k V 9 k Ω B β αe M = i k b 1 + e i k b 2 + e i k b αe i k b 1 + e i k b 2 + e i k b 3 β 20

22 5.2 Dispersierelatie De energie-eigenwaarden laten zich hier makkelijk uit berekenen: β E αe det i k b 1 + e i k b 2 + e i k b 3 = 0 αe i k b 1 + e i k b 2 + e i k b 3 β E β 2 E 2 α 2 e i k b 1 + e i k b 2 + e i k b 3 2 = 0 e Ek = β 2 + α 2 i k b 1 + e i k b 2 + e i k b In figuur 2 staat deze dispersierelatie ter indicatie geplot, met a = 1, α = 1 en β = 1 4. Figuur 2: Een plot van de dispersierelatie gegeven door vergelijking 11 met a = 1, α = 1 en β = 1 4 Merk op dat als β = 0, de valentieband en de geleidingsband elkaar raken op enkele intersectiepunten, die berekend zullen worden in de volgende paragraaf. In dit geval is de dispersierelatie lineair in de buurt van deze intersectiepunten, een gegeven dat we verderop zullen gebruiken om de Hamiltoniaan te benaderen. Deze dispersierelatie met a = 1, α = 1 en β = 0 staat geplot in figuur 3. 21

23 Figuur 3: Een plot van de dispersierelatie gegeven door vergelijking 11 met a = 1, α = 1 en β = Intersectiepunten De minima van de dispersierelatie komen overeen met de nulpunten van de vergelijking: e i k b 1 + e i k b 2 + e i k b 3 = 0. In herinnering roepend dat de vectoren b 1, b 2 en b 3 vastgesteld waren te zijn: komt dit neer op: 1 b 1 = a , b2 = a , b3 = a 1 3 0, e ia[1/2 3k x+ 1 2k y] + e ia[1/2 3k x+ 1 2k y] + e ia 1/ 3k x = 0. Als deze drie vectoren in het complexe vlak tot nul moeten optellen, wil dat zeggen dat ze symmetrisch in het complexe vlak liggen en dus een absoluut hoekverschil van 2π 3 en 4π 3 hebben. 1 a 2 3 k x k y a 2 3 k x 1 2 k y = 2π 3 k y = ± 2π 3a 22

24 1 a 2 3 k x k y a 1 k x = 4π 3 3 3a 2 3 k x ± π 3 = ±4π 3 3a 2 3 k x = ±π k x = ± 2π a 3 We hebben nu dus twee oplossingen in de fase-ruimte die niet equivalent zijn: q 1 = 2π a , q 2 = q 1 daarnaast zijn alle equivalente punten, de hoeken van de Brillouin zone, ook oplossingen. 23

25 6 Expansie Hamiltoniaan rond intersectiepunten Omdat er per eenheidscel in het rooster een elektron vrij is, zijn alle negatieve toestanden de valentieband gevuld en zijn alle positieve de geleidingsband leeg. Op de punten q 1 en q 2 is de bandgap tussen valentie- en geleidingsband minimaal en in de buurt van deze punten is de dispersierelatie lineair als β = 0, zoals het geval is in grafeen. In de lage energie limiet speelt alle dynamica zich af in de buurt van deze punten. We kunnen de Hamiltoniaan dus ontwikkelen tot in eerste orde van k. We beschouwen eerst de benadering rond q 2 = q 1, daarna volgt de benadering rond q Benadering rond q 1 Aangezien geldt α f ij k q 1 f ij q 1 + k f ij q1 k + Ok 2 3 e i k q 1 b j = α j=1 Omdat verder geldt dat is α 3 [e i q1 b j + k e i k b j j=1 3 j=1 q 1 b j = [ 1 ib j k ] e i q1 b j. { } 2π 3, 0, 2π 3 3 e i q1 b j = 0 j=1 en kunnen we de Hamiltoniaan van 9 benaderen door H 1 met voor M 1 : M 1 = k 1 a α 3 j=1 ] q1 k + Ok 2 d 2 k 2π 2 U k q 1 V U k q 1 M k q 1 1 V k q 1 β α 3 ] e i q1 b j [ i b j k j=1 [ ib j k ] e i q1 b j. 12 β 24

26 Deze Hamiltoniaan kan worden herschreven als: d 2 k H 1 = 2π ψ 2 1 k γ k + mψ 1 k, waarin 1 met k 1 a ψ 1 k = ce i π U 6 σz σ k q 1 z V k q 1 c 2 = αa 3 2 en m = 2β αa 3 c2 m = β en ψ is de adjoint-spinor uit hoofdstuk 3 ψ = ψ γ 0 Bovenstaande bewering wordt in de volgende paragraaf afgeleid Afleiding In deze paragraaf wordt gebruik gemaakt van de vergelijking e iπ 6 e i π σz 6 0 = 0 e i π. 6 De afleiding van deze vergelijking staat in appendix B. Eerst controleren we de simpele term: = c U k q 1 V σ z e i π k q 1 6 σz ψ 1 kmψ 1 k m[ce i π6 U σz σ ] k q 1 z V. k q 1 Omdat σ z commuteert met zichzelf en dus ook met de gegeven e-macht vallen de twee sigma s tegen elkaar weg en verkrijgen we: U k q 1 V U k q 1 M k q 1 β V k q 1 1 Deze identiteit wijkt op een aantal punten af van die van Semenoff[13]. De voorfactor is anders, de exponent is positief en er is een extra factor σ z. Ik heb de definitie van Semenoff voor de γ µ -matrices aangehouden en kom desondanks op deze tegenstrijdigheid in zijn artikel uit. Met een andere definitie van de γ µ -matrices kan wellicht Semenoffs afwijkende exponent en sigma-factor te verklaren zijn. Onweerlegbaar is echter dat de voorfactor in Semenoffs artikel echt fout is: De normalisatiefactor in de definitie van ψ 1 moet evenredig met α zijn, aangezien term linksonderin de oorspronkelijke matrix evenredig met α is. 25

27 met e M β = c 2 i π e i π e i π m e i π 6 = c 2 e i π 6 0 e i π 6 0 m 0 e i π 6 0 e i π 6 = c β 0 m = β De andere term is iets gecompliceerder: met ψ 1 k γ kψ 1 k = U k q 1 V U k q 1 M k q 1 α V k q 1 M α = c 2 σ z e i π e i π γ k e i π e i π 6 σ z. Voor de factor in tussen haakjes geldt: Aldus [ 0 i = i 0 c 2 e i π e i π 6 γ k = γ x k x + γ y k y = γ x k x + γ y k y ] 0 1 k x + k 1 0 y = c 2 e i π e i π 6 0 ik x + k y ik x k y 0 0 ik x + k y ik x k y 0 e i π e i π 6 ik x + k y e i π 6 ik x k y 0. 0 e i π 6 M α = c 2 0 e i π 3 ik x + k y e i π 3 ikx k y De term linksonder in de oorspronkelijke Hamiltoniaan was: α 3 j=1 [ ib j k ] e i q1 b j. Uitgewerkt geeft dat: [ 1 iαa 2 3 k x k y e i2π k x 1 ] k y + k x e i 2π 3 26

28 [ = iαa ik x 1 4 k y ik y k x 1 2 k y k x + 1 ] 2 ik x [ 3 = iαa 4 3 k x 3 4 k y ik x + 3 ] 4 3 ik y 3 ] = iαa [ik x 3 i k y 3 i = αa i1 3 [ik x k y ] 2 = αa 3 e i π 3 ikx k y 2 en dit is hetzelfde als de uitdrukking linksonderin 13. De term rechtsbovenin is slechts de complex-geconjugeerde term van die linksonderin in beide gevallen. De twee matrices bij elkaar zijn: M α + M β = = α 3 j=1 β 0 0 β 0 e + i π 3 ik x + k y e i π 3 ik x k y 0 β α [ 3 j=1 ib j k ] e i q1 b j ] e i q1 b j β [ i b j k en dit is gelijk aan 12, hetgeen is wat we wilden aantonen. 6.2 Andere inequivalente punt + q 1 Deze hele redenatie hiervoor beschouwde alleen het punt q 1, maar natuurlijk was er nog een ander inequivalent punt, namelijk q 1. De benadering hierbij van de termen niet op de diagonaal verschilt slechts van die in de vorige paragraaf met een minteken in de exponent: De matrix wordt dus nu M 2 = α 3 j=1 α 3 j=1 [ ib j k ] e i q1 b j. β α 3 ] e i q1 b j [ i b j k j=1 [ ib j k ] e i q1 b j. 14 β De bijhorende Hamiltoniaan kan worden herschreven als: d 2 k H 2 = 2π ψ 2 2 k γ k mψ 2 k 15 k 1 a 27

29 waarin 2 ψ 2 k = ce i π U 6 σz σ k + q 1 x V. 16 k + q 1 Het bewijs kunnen we nu iets sneller doen dan in de vorige paragraaf Afleiding De termen linksonder en rechtsboven in M 2 verschillen slechts t.o.v. M 1 in het feit dat er nu een minteken in de exponent staat. Voor de rest is de berekening precies hetzelfde als in de vorige paragraaf en dus geldt: M 2 = βσ z + c 2 β c 2 e i π 3 ik x + k y c 2 e i π 3 ik x k y β 0 e i π 3 ik x + k y e i π 3 ik x k y 0 Voor de tweede term geldt nu: c 2 0 e i π 3 ik x + k y e i π 3 ik x k y 0 = c 2 σ z σ x 0 e i π 3 ik x + k y e i π 3 ik x k y 0 = c 2 σ z σ x e i π 6 σz iσ x k x + iσ y k y e i π 6 σz σ x = c 2 σ x e i π 6 σz σ z γ 1 k x + γ 2 k y e i π 6 σz σ x = c 2 e i π 6 σz σ x γ0 γ 1 k x + γ 2 k y e i π 6 σz σ x = ψ 2 γ kψ 2, als ψ 2 gedefineerd wordt als in 16. Verder geldt: σ x σ z σ x = σ z.. σ x Dus t.o.v. de uitdrukking voor H 1 moet gecorrigeerd worden met een minteken. Aldus verkrijgen we de te bewijzen Hamiltoniaan van vergelijking 15: H 2 = k 1 a d 2 k 2π 2 ψ 2 k γ k mψ 2 k. 2 Ook deze identiteit is anders dan die in Semenoffs artikel, bijna analoog aan de voetnoot in paragraaf 6.1, behalve dat de factor σ x wel opduikt in Semenoffs artikel. 28

30 6.3 Dirac Hamiltoniaan De totale vergelijking voor de Hamiltoniaan in de lineaire benadering is dus: d 2 k [ H = H 1 +H 2 = ψ1 2π 2 k γ k + mψ 1 k + ψ 2 k γ k mψ 2 ] k. k 1 a Gebruikmakend van Second Quantization kan worden aangetoond dat deze uitdrukking de bewegingsvergelijking levert die overeenkomt met onze oorspronkelijke definitie van de Dirac-Hamiltoniaan H = γ k + m. De afleiding hiervan vergt echter een veel dieper inzicht in Second Quantization, waarvoor een cursus Quantumveldentheorie onontbeerlijk is. Hiermee is aangetoond dat de elektronen die zich in grafeen bevinden zich gedragen als Dirac fermionen, d.w.z. als massaloze relativistische deeltjes. 29

31 7 Klein Paradox Een van de eerste voorbeelden van quantummechanica behelst over het algemeen het tunnellen van een elektron door een potentiaalbarrière. Het is een simpele rekenoefening, waaruit als resultaat komt dat er een kleine kans is het elektron voorbij de barrière te detecteren, zelfs al heeft het elektron een energie die klassiek gezien te laag is om voorbij de potentiaalbarrière te gaan. Deze kansdichtheid loopt over de dikte van de barrière exponentieel af, waarbij de afname sterk afhankelijk is van de hoogte van de barrière. Zijn de elektronen daarentegen relativistisch, dan treedt er een contra-intuïtief proces op, bekend onder de naam Klein Paradox. De afname is slechts zeer zwak afhankelijk van de hoogte van de barrière. De kans dat een relativistisch elektron tunnelt is zelfs zeer hoog omdat volgens Quantum Elektrodynamica de positieve en negatieve toestanden in dit geval dus positronen en elektronen gebonden zijn, een fenomeen dat bekend is onder de naam lading-conjugatie symmetrie en dat volgt uit de Dirac vergelijking. Het feit dat deze vorm van tunneling bekend staat onder de kwalificatie paradox, ook al is het fenomeen ondertussen goed begrepen, komt waarschijnlijk omdat het nooit experimenteel is waargenomen. Dat is ook niet verwonderlijk, daar het elektron een relativistische energie moet hebben voordat het effect meetbaar is. De enige plek tot voorkort waar elektronen zo een hoge energie bezaten was in deeltjesversnellers, en aangezien de elektronen hierin met relativistische snelheden bewegen is het moeilijk ze zonder neveneffecten te laten tunnelen door een stilstaande potentiaalbarrière. Grafeen biedt hiervoor een goed alternatief: De elektronen gedragen zich weliswaar als Dirac fermionen, maar de hele meetopstelling kan op een vierkante centimeter opgesteld worden, een voordeel dat zich alleen in het engelse woord tabletop goed laat vangen. Voor vervolgliteratuur zie de artikelen van bijvoorbeeld A. Calogeracos [1] of Katsnelson [9]. Voor toepassingen in de hoek van de quantum informatie [3] zie bijvoorbeeld het artikel van Fal ko en in de hoek van het anomalous Quantum Halleffect zie bijvoorbeeld het artikel van Haldane [5] of dat van Zhang [10]. 30

32 8 Conclusie We zijn in dit verslag uitgegaan van het hexagonale rooster van grafeen en namen daarbij aan dat alle lange afstand-interacties tussen atomen verwaarloosbaar zijn, in zoverre dat alleen interacties tussen buren van invloed zijn. Verder zijn we ervan uitgegaan dat de dynamica van de elektronen zich alleen afspeelt in gebieden rondom de intersectiepunten, waardoor we de Hamiltoniaan verder benaderd kon worden door te ontwikkelen tot tweede orde in de impuls. Dit zijn allemaal zeer schappelijke aannames. De conclusie die hieruit mag worden getrokken is dat de elektronen in grafeen inderdaad voldoen aan de Dirac-vergelijking en dus inderdaad zich laten beschrijven als massaloze relativistische deeltjes. Het was voor mij een interessant project om te doen en het is zeer belonend om te zien dat een zo opmerkelijke bewering zelfs in de korte tijdspan van een bachelorproject te bewijzen en begrijpen valt. Het is verder erg leuk om een tegenstrijdigheid of zelfs een fout te vinden in een vierentwintig jaar oud artikel, van een gerespecteerde auteur, dat zo vaak geciteerd is. 9 Dankwoord Graag wil ik mijn begeleider Jean-Sébastien Caux, verbonden aan het Instituut voor Theoretische Fysica Amsterdam ITFA van de Universiteit van Amsterdam UvA, bedanken voor de vele uren hulp en uitleg die hij mij heeft geboden gedurende het project. Ook wil ik de Facultaire Studentenraad van de Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica FSR FNWI bedanken voor het beschikbaar stellen van werkruimte. 31

33 10 Populaire samenvatting 10.1 Toelichting Een verplicht onderdeel van de scriptie ter afsluiting van het bachelorproject is het schrijven van een populaire samenvatting. Het publiek hierbij bestaat niet uit natuurkundigen, maar is bijvoorbeeld de wetenschapsbijlage van een krant. Ik ga bij het schrijven dus niet uit van enige achtergrondkennis, behalve dat wat van een belezen publiek mag worden verwacht Grafeen, een stof met toekomst Iedereen kent grafiet als het dunne staafje breekbaar materiaal dat in het binnenste van een potlood zit. Grafiet bestaat uit laagjes die slap aan elkaar vastzitten. Als je met een potlood schrijft schuif je die laagjes af op het papier. Ookal zijn potloodstrepen niet zichtbaar dik, een streep bestaat toch nog altijd uit vele laagjes. Recentelijk zijn natuurkundig onderzoekers erin geslaagd enkele laagjes, zogeheten monolayers, te isoleren. Een monolayer grafiet wordt grafeen genoemd. Grafeen bestaat uit een hexagonaal rooster, d.w.z. een rooster dat eruit ziet als een bijenraat. Op elk hoekpunt zit een koolstofatoom en per koolstofatoom is er een elektron over dat zich vrij door het rooster kan bewegen. Grafeen is dus een zeer goede geleider. Het is mogelijk om uitgaande van dit model voor grafeen te berekenen wat de elektronische eigenschappen zijn. Hieruit komt een opmerkelijke bewering naar voren, namelijk dat de elektronen zich in grote mate gedragen alsof ze geen massa hebben en met bijna de lichtsnelheid bewegen. Dit is zeer opmerkelijk, want tot voor de ontdekking van grafeen konden dit soort elektronen alleen worden gemaakt in deeltjesversnellers. Het feit dat nu in een gewone laboratoriumopstelling tabletop in het engels experimenten kunnen worden gedaan in deze hoek van de fysica, die Quantum Elektrodynamica wordt genoemd, maakt dat veel theorieën die tot nu toe niet verifieerbaar waren sinds de experimentele ontdekking van grafeen in 2004 opeens relatief simpel experimenteel te testen zijn. In dit verslag heb ik berekend dat de bewering dat de elektronen in grafeen massaloos en relativistisch zijn inderdaad correct is. 32

34 11 Appendix A In deze appendix wordt aangetoond dat: e i k 2 k 1 A = 2π 2 δ k 1 k 2. A Als eerste beschouwen we apart de sommatie in 1 dimensie, beginnend met de eindige sommatie: N e ikm knx, waarbij met x k n = 2πn N n = {0, 1,..., N 1}. Alle gevallen k n k m vallen in complexe vlak weg tegen tegenovergestelde vector. De sommatie laat zich dus bepalen als: N e ikm knx = Nδ kn,k m. x De opdracht is nu om te bekijken wat deze vergelijking wordt in de limiet N. Gebruikmakend van de identiteit: N 1 n=0 f kn δ kn,k m = f km waarin δ kn,k m de Kronecker-delta is, en van de definitie van de Dirac-delta δk k : 2π 0 dkfkδk k = fk en daarbij bedenkend dat in deze notatie k de limiet is van k m, ofwel: fk = lim N [fk m], geeft een mogelijkheid om een verhouding tussen de Kronecker- en Dirac-delta te bepalen. Hierbij moet in gedachten worden gehouden dat k n nu een continu spectrum is, dat loopt van 0 tot lim 2πN 1 N N = 2π, oftewel: kǫ[0, 2π[. 33

35 De grenzen van de sommatie gaan in de limiet van een integraal dus ook naar deze waarden. [ ] N 1 lim [fk 1 m] = lim kf kn δ kn,k N N k m = 1 2π dkfkδ kn,k k m 1 k = N 2π 2πδk k = lim N [Nδ k n,k m ] Aldus kan geconcludeerd worden dat in de limiet N : n e ikm knx = 2πδk n k m, x met xǫr en kǫ[0, 2π[. Dus geldt in twee dimensies: e i k 2 k 1 A = 2π 2 δ k 1 k 2. A 0 34

36 12 Appendix B In deze appendix wordt aangetoond dat: e iπ a e i π σz a 0 = 0 e i π a. De redenatie is als volgt: l=0 1 2l! a e iπ a σz = n=0 1 n! 2l iπ σ z 2l + l=0 want σ z 2 = σ z 2l = 1 als lǫn. Dus l=0 1 l 2l! π a 2l 1 i n iπ σ z n a 1 2l + 1! l=0 2l+1 iπ σ z 2l+1, a 1 l π 2l+1 σz 2l + 1! a = = cos π a 1 i sin π a σ z cos π a i sin π a 0 0 cos π a + i sin π a e iπ a e i π σz a 0 = 0 e i π a. 35

37 Referenties [1] A. Calogeracos. Relativistic quantum mechanics: Paradox in a pencil. Nature Physics, 2: , September [2] A.D. Martin F. Halzen. Quarks and Leptons: An Introductory Course in Mdern Particle Physics. John Wiley & Sons, [3] V. Fal Ko. Graphene: Quantum information on chicken wire. Nature Physics, 3: , March [4] A. K. Geim and K. S. Novoselov. The rise of graphene. Nat Mater, 63: , March [5] F. D. M. Haldane. Model for a quantum hall effect without landau levels: Condensed-matter realization of the parity anomaly. Phys. Rev. Lett., 6118: , Oct [6] P. C. Hohenberg. Existence of long-range order in one and two dimensions. Phys. Rev., 1582: , Jun [7] C.L. Kane. Erasing electron mass. NATURE PHYS., 438: , [8] M. I. Katsnelson. Graphene: carbon in two dimensions [9] M. I. Katsnelson, K. S. Novoselov, and A. K. Geim. Chiral tunneling and the klein paradox in graphene. NATURE PHYS., 2:620, [10] P. Kim. Experimental Observation of Quantum Hall Effect and Berry s Phase in Graphene. APS Meeting Abstracts, pages D2001+, March [11] N. D. Mermin and H. Wagner. Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in one- or two-dimensional isotropic heisenberg models. Phys. Rev. Lett., 1722: , Nov [12] K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, M. I. Katsnelson, I. V. Grigorieva, S. V. Dubonos, and A. A. Firsov. Two-dimensional gas of massless dirac fermions in graphene. Nature, 438:197, [13] Gordon W. Semenoff. Condensed-matter simulation of a three-dimensional anomaly. Phys. Rev. Lett., 5326: , Dec [14] J.T.M. Walraven. Elements of Quantum Gases I: Thermodynamic and Collisional Properties of Trapped Atomic Gases. Department of Physics and Astronomy, University of Amsterdam,