OEFENEN MET TARSKI-WERELDEN

Transcriptie

1 OEFENINGEN TARSKI-WERELDEN 1 OEFENEN MET TARSKI-WERELDEN Samenvatting - Een Tarski-wereld bestaat uit figuren (minstens 1) die zich op een schaakbord met 8x8 velden bevinden (zie tekening 1 verderop). Elke figuur is ofwel een driehoek, ofwel een vierkant, ofwel een vijfhoek. Zo een figuur kan groot, klein, of middelmatig zijn. Sommige van de figuren hebben eventueel een naam a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, of q. Een figuur mag niet meer dan één naam hebben, en de namen van de figuren moeten onderling verschillend zijn. De namen moeten duidelijk op de tekening aangegeven worden. - Aan een Tarski-wereld associëren we een structuur (in de zin van de predikatenlogica): Het universum is de verzameling van de figuren op het schaakbord, en de relaties zijn de volgende:... is een driehoek Triangle(...)... is een vierkant Square(...)... is een vijfhoek Pentagon(...)... is klein Small(...)... is middelmatig Medium(...)... is groot Large(...)... is (strikt) kleiner dan... Smaller(...,...)... is (strikt) groter dan... Larger(, )... is meer naar links gelegen dan... LeftOf(...,...)... is meer naar rechts gelegen dan... RightOf(, )... is meer naar voor gelegen dan... FrontOf(...,...)... is meer naar achter gelegen dan... BackOf(, )... bevindt zich tussen... en... Between(...,...,...) De constanten van de structuur zijn de figuren die een naam hebben, op alfabetische volgorde. Er zijn geen functies. Figuren die op verschillende velden van het schaakbord staan worden altijd beschouwd als verschillende elementen van het universum. - De Tarski-wereld-pred-taal heeft de hierboven (in de rechtse kolom) vermelde relatie-identifiers en de volgende constantesymbolen: a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q. Een zin in de Tarskiwereld-pred-taal kunnen we op de voor de hand liggende wijze interpreteren (waar of vals) in een Tarski-wereld, op voorwaarde dat er voor elk constantesymbool dat voorkomt in die zin, een figuur in die Tarski-wereld aanwezig is met dezelfde naam. We spreken af om in formules van de Tarski-wereld-pred-taal alleen maar de variabelen r, s, t, u, v, w, x, y, z te gebruiken, omwille van de te gebruiken software-tool. - Sommige van onze relaties moeten nog nauwkeuriger gedefinieerd worden: We zeggen dat een figuur x meer naar links gelegen is dan een figuur y, dus LeftOf(x,y), asa de kolom waartoe x behoort aan de linkerkant gelegen is van de kolom waartoe y behoort (deze kolommen mogen dus zeker niet dezelfde zijn). De zinswendingen x bevindt zich links van y, x ligt links van y, x links van y beschouwen we als synoniemen van LeftOf(x,y). De definitie van RightOf(x,y) is analoog. We zeggen dat een figuur x meer naar voor gelegen is dan een figuur y, dus FrontOf(x,y), asa de rij waartoe x behoort meer naar voor gelegen is dan de rij waartoe y behoort (deze rijen mogen dus zeker niet dezelfde zijn). De zinswendingen x bevindt zich voor y, x ligt voor y, x voor y beschouwen we als synoniemen van FrontOf(x,y). De definitie van BackOf(x,y) is analoog.

2 2 OEFENINGEN TARSKI-WERELDEN We zeggen dat een figuur z zich bevindt tussen de figuren x en y, dus Between(z,x,y), asa z gelegen is tussen x en y in eenzelfde kolom, rij of diagonaal. Dan moeten die drie figuren alleszins op drie onderling verschillende velden staan. De zinswendingen z is tussen x en y gelegen, z ligt tussen x en y, z tussen x en y beschouwen we als synoniemen van Between(z,x,y). Tekening 1: Een Tarski-wereld met 9 figuren (111.wld). - Indien je zelf op papier een Tarski-wereld tekent, duid dan de grootte van de figuren aan met een cijfer: 1 voor small, 2 voor medium, en 3 voor large. Gebruik deze afspraak ook op het examen. - In sommige oefeningen vraagt men om een gegeven uitspraak (in de natuurlijke taal) over een Tarski-wereld te vertalen naar de hierboven ingevoerde pred-taal. Met vertalen bedoelen we hier dat de vertaling dezelfde waarheidswaarde (waar of vals) moet hebben als de gegeven uitspraak, in elke Tarski-wereld (waarin dezelfde namen voorkomen als in de gegeven uitspraak). Zo een vertaling heet trouw indien de correctheid van de vertaling onafhankelijk is van de precieze betekenis van de gebruikte relaties en van hoe een Tarski-wereld er precies 1 uitziet. (Het begrip trouwe vertaling heeft alleen maar zin indien de te vertalen uitspraak alleen maar relaties bevat waarvoor een gelijkluidend relatiesymbool in de pred-taal is voorzien.) Voorbeelden: De formule Small(a) Medium(a) is een vertaling, maar geen trouwe vertaling, van "a is groot". Anderzijds is Large(a) daar wel een trouwe vertaling van. 1 We gaan er wel vanuit dat de elementen van een Tarski-wereld figuren genoemd worden. Dus ( x) Square(x) is een trouwe vertaling van Alle figuren (op het schaakbord) zijn vierkanten.

3 OEFENINGEN TARSKI-WERELDEN 3 De formule LeftOf(b,a) is een vertaling, maar geen trouwe vertaling, van a bevindt zich rechts van b. Anderzijds is RightOf(a,b) daar wel een trouwe vertaling van. De formule Between(c,b,a) is een vertaling, maar geen trouwe vertaling, van c is gelegen tussen a en b. Anderzijds is Between(c,a,b) daar wel een trouwe vertaling van. Twee trouwe vertalingen van eenzelfde bewering zijn steeds logisch equivalent. En elke formule die logisch equivalent is met een trouwe vertaling is ook een trouwe vertaling. Dit principe maakt het mogelijk om na te gaan of een door jou opgestelde trouwe vertaling correct is, door met AskSpass van de software-tool LogicPalet te controleren of jouw vertaling logisch equivalent is met de trouwe vertaling die de docent ter beschikking stelt. De software-tool. We maken gebruik van de software-tool LogicPalet. Deze software heeft meerdere functionaliteiten: Op de eerste plaats kan je met de LogicPalet heel gemakkelijk en snel formules typen, en de correctheid van de syntax verifiëren. We verwijzen hiervoor naar de handleiding bij de software. The LogicPalet bevat (als plugin) een variant (aangepast aan de noden van de huidige cursus) van Stärk s Tarski s World. Hiermee kun je nagaan of een gegeven formule (zonder vrije variabelen) van de Tarski-pred-taal al dan niet waar is in een gegeven Tarski-wereld. De formule mag geschreven zijn in Unicode-syntax of in ASCII-syntax. Formules kan je importeren in de LogicPalet via bestanden met extensie.utxt (of door copy-paste), en werelden kun je importeren via bestanden met extensie.wld. Indien de waarheidswaarde van een formule anders uitkomt dan je verwachte, dan moet je voldoende zorg besteden om te achterhalen waar je fout zat. Hierbij kun je weer gebruik maken van de LogicPalet, door de waarheidswaarde van de deelformules te voorspellen en te verifiëren met de software. Indien je bijvoorbeeld dacht dat een gegeven formule van de vorm ( x)a(x) vals is in een bepaalde Tarski-wereld, maar eigenlijk toch waar is, dan moet je, om je fout in te zien, een figuur x vinden waarvoor A(x) waar is in die wereld. Daarvoor geef je eerst aan alle figuren namen a, b, (We gaan er van uit dat er niet meer figuren zijn dan constanteidentifiers.) Vervolgens moet je achtereenvolgens al die namen substitueren voor x in A(x). Zo bekom je dus de lijst zinnen A(a), A(b),. The LogicPalet bevat een tool om al deze substituties tegelijkertijd uit te voeren met slechts één muis-click (zie de handleiding bij de software). Vervolgens moeten de waarheidswaarden van al de zinnen A(a), A(b),. bepaald worden. Doe dit eerst zelf zonder de software, en verifieer daarna met de LogicPalet! (Dit gaat weer met alle zinnen tegelijkertijd, zie de handleiding.) Daar ( x)a(x) eigenlijk waar is in je Tarski-wereld (daar gingen we van uit) zal minstens één van de zinnen A(a), A(b),. waar blijken te zijn. Inspectie van de gevonden waarheidswaarden levert je dan een figuur x waarvoor A(x) waar is, en op die wijze zal je zelf ontdekken waar je fout lag! Een nog belangrijkere functionaliteit van de LogicPalet is AskSpass: Door te klikken op de knop AskSpass kun je nagaan of twee formules al dan niet logisch equivalent zijn, wat heel belangrijk is om de correctheid van trouwe vertalingen te verifiëren (zie oefening 4 hieronder). De LogicPalet heeft nog verscheidene andere functionaleiten die we later zullen bespreken. Oefening 1. Geef een trouwe vertaling naar de Tarski-pred-taal voor elk van de volgende uitspraken over Tarski-werelden: 0. Minstens één figuur is groot. 1. Er bevindt zich een groot vierkant (op het schaakbord). 2. Sommige vierkanten zijn groot. (Afspraak: deze zin is vals in elke wereld zonder vierkanten.) 3. Sommige grote vierkanten liggen links van b. (Afspraak: deze zin is vals als er zich geen grote vierkanten op het schaakbord bevinden.)

4 4 OEFENINGEN TARSKI-WERELDEN 4. Er bevindt zich een groot vierkant links van b. 5. Minstens één figuur links van b ligt achter c. (Afspraak: deze zin is vals als er zich geen figuren links van b bevinden.) 6. Sommige grote vierkanten links van b staan achter c. (Afspraak: deze zin is vals als er geen grote vierkanten links van b liggen.) 7. Er bevindt zich een figuur (op het schaakbord) die geen grote vijfhoek is. 8. Het is niet waar dat er zich een grote vijfhoek (op het schaakbord) bevindt. In al wat volgt blijven de hierboven vermelde afspraken geldig zonder dat we dit nog expliciet zullen vermelden. Al de uitspraken 1 tot 8 hierboven zijn waar in de wereld 521.wld, dus ook je vertalingen moeten waar zijn in deze wereld. Vergelijk je oplossingen met de vertalingen van de docent in bestand T52.utxt. Wereld 521.wld Afmetingen Oefening 2. a. Bestaat er een Tarski-wereld waarin de volgende zin waar is: ( x)(triangle(x) Square(x)) b. Welke van de vier onderstaande zinnen is een correcte vertaling van sommige vijfhoeken zijn groot. Welke is een correcte vertaling van elke driehoek is klein. 1. ( x)(pentagon(x) Large(x)) 2. ( x)(pentagon(x) Large(x)) 3. ( x)(triangle(x) Small(x)) 4. ( x)(triangle(x) Small(x)) c. Construeer een Tarski-wereld waarin de zinnen 2 en 4 waar zijn, maar waarin de zinnen 1 en 3 vals zijn. d. Kan je een Tarski-wereld construeren waarin zin 3 waar is maar zin 4 vals? e. Kan je een Tarski-wereld construeren waarin zin 1 waar is maar zin 2 vals?

5 OEFENINGEN TARSKI-WERELDEN 5 Oefening 3. Geef een trouwe vertaling naar de Tarski-pred-taal voor elk van de volgende uitspraken over Tarski-werelden: 0. Ieder vierkant is klein. (Afspraak: deze zin is waar in elke wereld zonder vierkanten.) 1. Elk klein vierkant ligt rechts van a. 2. a bevindt zich links van alle vijfhoeken. 3. Elk vierkant ligt voor b of achter a. 4. Alle vierkanten bevinden zich rechts van a en links van b. 5. Geen vijfhoek is klein. 6. Het is niet waar dat a zich rechts van een figuur bevindt. 7. Het is niet waar dat a rechts van een vierkant ligt. 8. Geen enkel vierkant bevindt zich tussen minstens twee verschillende figuren. Bepaal de waarheidswaarde van je vertalingen in de werelden 551.wld, 552.wld en 111.wld, en controleer dit met de software-tool LogicPalet. De gevonden waarheidswaarden moeten gelijk zijn aan de waarheidswaarden van de te vertalen uitspraken: in 551.wld zijn al de uitspraken waar, in 552.wld zijn alleen 2, 5, 6, 7, 8 waar, en in 111.wld zijn alleen 1, 2, 7 waar. Als je in wereld 551.wld de figuur a naar uiterst rechts vooraan verplaatst, dan zijn alleen 0, 3, 5, 8 waar. Als dit allemaal klopt dan is er een goede kans dat je vertalingen correct zijn. Om zekerheid te bekomen controleer je met AskSpass of je vertalingen logisch equivalent zijn met de vertalingen van de docent in bestand T55.utxt. Ga voor elke fout na wat de oorzaak is, door een Tarski-wereld te construeren waarin je vertaling een andere waarheidswaarde heeft dan de te vertalen uitspraak, of door in te zien dat je vertaling niet trouw is. Wereld 551.wld Wereld 552.wld Afmetingen Oef 4. Ga na of de volgende zinnen (bestand T62.utxt) al dan niet waar zijn in de wereld 622.wld die hieronder wordt afgebeeld. Controleer uw antwoord met de software-tool LogicPalet. (Je kan de zinnen ook vanuit het huidige pdf-document met Copy-Paste overbrengen naar de LogicPalet, indien je werkt met Microsoft Windows. Linux gebruikers moeten het bestand T62.utxt importeren.)

6 6 OEFENINGEN TARSKI-WERELDEN 0. ( x)( ( y)leftof(y, x) x = a) 1. ( x)(( ( y)leftof(y, x) ( y)frontof(y, x)) x = a) 2. ( x)(between(x, c, a) x = b) 3. ( y)( z)( x)((square(y) Square(z) Between(x, y, z)) x = b) 4. ( x)( y)( z)((between(x, y, z) x = b) (y = a y = c)) 5. ( x)( y)((square(x) Square(y)) ( z)between(z, x, y)) 6. ( x)( y)((x y Square(x) Square(y)) ( z)between(z, x, y)) 7. ( y)( x)((triangle(x) Small(x)) x = y) 8. ( x)( y)(x y (LeftOf(x, y) RightOf(x, y))) 9. ( x)( y)(x y (LeftOf(x, y) RightOf(x, y) FrontOf(x, y) BackOf(x, y))) Wereld 622.wld Afmetingen Oefening 5. Construeer een Tarski-wereld met zo weinig mogelijk figuren waarin de volgende 10 zinnen (bestand T63.utxt) waar zijn. Controleer je antwoord met de software-tool LogicPalet. (Een oplossing vind je in bestand 631.wld. Merk op dat formule 0 eigenlijk overbodig is. Waarom?) (Je kan de zinnen ook vanuit het huidige pdf-document met Copy-Paste overbrengen naar de LogicPalet, indien je werkt met Microsoft Windows.) 0. a b b c a c 1. Larger(a, b) Larger(a, c) 2. ( x)small(x) 3. ( x)( Small(x) Square(x)) 4. Pentagon(b) Pentagon(c) 5. ( x)(pentagon(x) ( y)( z)(triangle(y) Triangle(z) Between(x, y, z))) 6. ( x)(medium(x) ( y)frontof(x, y)) 7. ( x)(( y)frontof(x, y) Medium(x)) 8. ( x)(leftof(x, c) (Pentagon(x) Large(x))) 9. ( x)(( y)backof(x, y) (x = a x = b x = c))

7 OEFENINGEN TARSKI-WERELDEN 7 Oefening 6. Ga na of de volgende zinnen (bestand T65.utxt) al dan niet waar zijn in de wereld 651.wld die hieronder wordt afgebeeld. Controleer uw antwoord met de software-tool LogicPalet. (Je kan de zinnen ook vanuit het huidige pdf-document met Copy-Paste overbrengen naar de LogicPalet, indien je werkt met Microsoft Windows.) 0. ( x)(square(x) ( y)(pentagon(y) Smaller(y, x))) 1. ( x)(square(x) ( y)(smaller(y, x) Pentagon(y))) 2. ( x)((square(x) ( y)leftof(x, y)) Large(x)) 3. ( x)((triangle(x) ( y)frontof(x, y)) Small(x)) 4. ( x)( ( y)backof(y, x) Square(x)) 5. ( x)(triangle(x) ( y)( z)between(x, y, z)) 6. ( y)( x)(triangle(x) ( z)between(x, y, z)) 7. ( y)( z)( x)(triangle(x) Between(x, y, z)) 8. ( y)( x)( Small(x) ( FrontOf(x,y) FrontOf(y,x))) 9. ( x)( Small(x) ( y)(x y FrontOf(x,y) FrontOf(y,x))) Wereld 651.wld Afmetingen Oefening 7. Geef een trouwe vertaling naar de Tarski-pred-taal voor elk van de volgende uitspraken over Tarski-werelden: 0. Elk vierkant bevindt zich links van alle driehoeken. 1. Elk klein vierkant ligt achter minstens één groot vierkant. 2. Minstens één vierkant bevindt zich voor alle driehoeken. 3. Sommige grote vierkanten bevinden zich voor een klein vierkant. 4. Niets is groter dan al de figuren (op het bord). 5. Elk vierkant dat zich voor alle driehoeken bevindt is groot. 6. Elke figuur rechts van minstens één groot vierkant is klein. 7. Geen enkele figuur die achter een vierkant ligt en ook voor een vierkant ligt, is groot. 8. Eender welke figuur waar niets achter ligt is een vierkant. 9. Elke vijfhoek is kleiner dan minstens één driehoek.

8 8 OEFENINGEN TARSKI-WERELDEN Bepaal de waarheidswaarde van je vertalingen in de werelden 721.wld, 552.wld en 741.wld, en controleer dit met de software-tool LogicPalet. De gevonden waarheidswaarden moeten gelijk zijn aan de waarheidswaarden van de te vertalen uitspraken: in 721.wld zijn al de uitspraken waar, in 552.wld zijn alleen 4,5,7,9 waar, en in 741.wld zijn alleen 1,2,3,4,7 waar. Als dit klopt dan is er een goede kans dat je vertalingen correct zijn. Om zekerheid te bekomen controleer je met AskSpass of je vertalingen logisch equivalent zijn met de vertalingen van de docent in bestand T72.utxt. Ga voor elke fout na wat de oorzaak is, door een Tarski-wereld te construeren waarin je vertaling een andere waarheidswaarde heeft dan de te vertalen uitspraak, of door in te zien dat je vertaling niet trouw is. Wereld 721.wld Wereld 552.wld Afmetingen Oefening 8. Geef een trouwe vertaling naar de Tarski-pred-taal voor elk van de volgende uitspraken over Tarski-werelden: 0. Alleen maar grote figuren hebben niets voor zich liggen. 1. Als er zich iets voor een vierkant bevindt dan is dat vierkant klein. 2. Elk vierkant dat achter een vijfhoek ligt, is kleiner dan die vijfhoek. 3. Als e tussen een koppel figuren ligt dan zijn die beide figuren klein. 4. Als een driehoek zich tussen een koppel figuren bevindt dan zijn die beide figuren klein. 5. Elke vijfhoek is minstens zo groot als eender welk vierkant. (De zinswending minstens zo groot als beschouwen we hier als synoniem van niet kleiner dan.) 6. Als een vierkant rechts van een vijfhoek ligt, maar niet erachter, dan is dat vierkant even groot als die vijfhoek. (De zinswending even groot als beschouwen we hier als synoniem van niet kleiner dan en niet groter dan ) 7. Geen vierkant met niets links ervan bevindt zich tussen minstens één koppel vierkanten. 8. De figuren b en c zijn grote vierkanten, en dat zijn de enige grote vierkanten. 9. Hoogstens b en c zijn grote vierkanten. Bepaal de waarheidswaarde van je vertalingen in de werelden 741.wld, 742.wld en 111.wld, en controleer dit met de software-tool LogicPalet. De gevonden waarheidswaarden moeten gelijk zijn aan de waarheidswaarden van de te vertalen uitspraken: in 741.wld zijn al de uitspraken waar, in 742.wld zijn alleen 2,3,7,9 waar, en in 111.wld zijn alleen 4,6,7 waar. Als dit klopt dan is er een goede kans dat je vertalingen correct zijn. Om zekerheid te bekomen controleer je met AskSpass of je vertalingen logisch equivalent zijn met de vertalingen van de docent in bestand T74.utxt. Ga voor

9 OEFENINGEN TARSKI-WERELDEN 9 elke fout na wat de oorzaak is, door een Tarski-wereld te construeren waarin je vertaling een andere waarheidswaarde heeft dan de te vertalen uitspraak, of door in te zien dat je vertaling niet trouw is. Wereld 741.wld Wereld 742.wld Afmetingen Oefening 9. (Voor thuis) Geef namen a, b, c, d, e aan sommige van de figuren in de hieronder afgebeelde Tarski-wereld 482.wld zodat de zinnen 0 tot en met 7 hieronder allen waar zijn in die wereld. (Een figuur mag hoogstens één naam hebben.) Verifieer met de software-tool LogicPalet of je oplossing correct is. (De opgegeven zinnen vind je ook in bestand T48.utxt; een oplossing vind je in bestand 483.wld). (Je kan de zinnen ook vanuit het huidige pdf-document met Copy-Paste overbrengen naar de LogicPalet, indien je werkt met Microsoft Windows.) Wereld 482.wld Afmetingen 0. Between(c, a, e) Triangle(c) 1. ( x)backof(x, a) ( x)frontof(x, c) 2. FrontOf(a, c) ( x)(backof(x, a) FrontOf(x, c))

10 10 OEFENINGEN TARSKI-WERELDEN 3. ( x)leftof(x, e) Large(b) 4. ( x)( y)( Triangle(x) Triangle(y) Between(b, x, y)) 5. FrontOf(e, b) 6. Pentagon(d) 7. ( x)leftof(x, d) Large(d) Oefening 10. Geef een trouwe vertaling naar de Tarski-pred-taal voor elk van de volgende uitspraken over Tarski-werelden: 0. Niets links van a is groter dan alle figuren links van b. 1. Niets links van a is kleiner dan minstens één figuur links van b. 2. De figuren links van a zijn dezelfde als de figuren links van b. 3. Elke figuur links van a is kleiner dan minstens één figuur die zich bevindt achter elk vierkant dat rechts van b ligt. 4. Elk vierkant is kleiner dan minstens één vijfhoek, maar geen enkel vierkant is kleiner dan elke vijfhoek. 5. Als de figuur a groter is dan één of meerdere vierkanten dan is die figuur kleiner dan alle driehoeken. 6. Alleen maar vijfhoeken kunnen de eigenschap hebben dat ze groter zijn dan elke andere figuur. (Opgepast: Dit impliceert niet dat er vijfhoeken met die eigenschap op het bord hoeven te liggen.) 7. Alle figuren waar zich niets voor bevindt zijn driehoeken. 8. Minstens twee objecten bevinden zich achter alle vijfhoeken. 9. Behalve eventueel vierkanten, staat er niets tussen driehoeken. 10. Achter b ligt een driehoek waar zich precies twee figuren achter bevinden. 11. Meer dan één figuur heeft de eigenschap kleiner te zijn dan minstens één driehoek groter dan b. 12. Hoogstens twee figuren bevinden zich achter alle vijfhoeken. 13. Niets tenzij hoogstens één vierkant heeft de eigenschap dat het tussen driehoeken ligt. Controleer met AskSpass of je vertalingen logisch equivalent zijn met de vertalingen van de docent in bestand T80.utxt. De vertalingen van de docent zijn hier in Spass-syntax geschreven. De Spasssyntax is eerder ondoorzichtig, en dit verplicht je dus echt zelf een oplossing te vinden vooraleer je met AskSpass je oplossing controleert. Ga voor elke fout na wat de oorzaak is, door een Tarskiwereld te construeren waarin je vertaling een andere waarheidswaarde heeft dan de te vertalen uitspraak, of door in te zien dat je vertaling niet trouw is.