Werken met Pienter. Ook interessante weetjes ontbreken niet: je vindt ze in de lichtblauwe kaders met het vraagtekenicoon.

Transcriptie

1 Als je een ketting aan punten ophangt, dan gaat de Werken met Pienter Functieleer kan gezien worden als een studie van het beschrijven van verbanden tussen grootheden. Functies zijn dan modellen die een deel van de realiteit weergeven, namelijk hoe grootheden ten opzichte van elkaar evolueren. In dit leerwerkschrift leer je dergelijke modellen opstellen en interpreteren. Hoe gebruik je dit leerwerkschrift? Heel eenvoudig. Bij het begin van elk hoofdstuk maak je aan de hand van enkele voorbeelden kennis met het onderwerp waarover je iets leert.. Toenamediagrammen.. Voorbeeld In de schoolkrant van september 009 stond een diagram over de evolutie van het aantal leerlingen in de 0 voorbije schooljaren. De tellingen gebeurden op september toename jaar 0 0 Hoe kun je op het toenamediagram zien of er een stijging of een daling was t.o.v. het vorige schooljaar? Van daaruit ga je verder en kom je stapsgewijs meer te weten over de verschillende systemen en berekeningen. Je leert formules en definities, die je besluiten helpen trekken... Differentiequotiënt Definitie Differentiequotiënt Het differentiequotiënt van een functie f in het interval [a, b]is f b f a. b a y f Het differentiequotiënt van een functie f in [a,b] bepaalt de gemiddelde verandering van f in het interval [a,b]engeeft Q f(b) dus de gemiddelde helling van de grafiek van f in [a,b]. y f b f a = y is de richtingscoëfficiënt van de koorde door b a x de punten P a, f a en Q b, f b van de grafiek van f. f(a) P a x b x Hoofdstuk HELLINGEN EN VERANDERINGEN 9 Ook interessante weetjes ontbreken niet: je vindt ze in de lichtblauwe kaders met het vraagtekenicoon. ketting, onder invloed van zijn eigen gewicht, in een natuurlijke vorm hangen die je een kettinglijn noemt. Als je deze vorm ondersteboven draait, krijg je een boog die zeer stabiel is. kettinglijn parabool De paraboolvorm van de kabels van een hangbrug is dus eigenlijk een kettinglijn, net zoals de paraboolgewelven ook omgekeerde kettinglijnen zijn. Vermits een kettinglijn veel moeilijker wiskundig te beschrijven is dan een parabool, wordt de parabool meestal als model gebruikt. Dit icoon en de groene achtergrond geven aan waar uitbreidingsleerstof of -oefeningen aangeboden worden. Op het einde van elk hoofdstuk vind je alles wat je hebt geleerd, bijeengebracht in een handig overzicht. De studiewijzer kun je gebruiken als hulp bij het studeren. Studiewijzer Verbanden tussen grootheden. Verbanden tussen grootheden beschrijven met formules In een formule die het verband tussen verschillende veranderlijken weergeeft, is een onafhankelijke veranderlijke een gegeven of vrij te kiezen grootheid; de afhankelijke veranderlijke de gemeten of voorspelde grootheid. In een formule kunnen er meerdere onafhankelijke veranderlijken zijn, maar slechts afhankelijke veranderlijke. In een formule de onafhankelijke en de afhankelijke veranderlijke herkennen. Een formule omvormen naar een opgegeven afhankelijke veranderlijke. Berekeningen maken met behulp van formules en waarden van de veranderlijken.. Verbanden tussen grootheden beschrijven met functies Een verband tussen grootheden is een functie als voor elke waarde van de onafhankelijke veranderlijke, er hoogstens waarde voor de afhankelijke veranderlijke bestaat. Via vind je bij het onlinelesmateriaal applets, ICT-oefeningen, extra uitbreidingsleerstof en -oefeningen, TI-programma s, TI-Nspire programma s en ICT-toepassingen met TI-Nspire, Excel, Graph en Graphmatica.

2 Hoofdstuk VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN INHOUD. Verbanden tussen grootheden beschrijven met formules 0. Verbanden tussen grootheden beschrijven met functies. Het recht evenredig verband. Het lineair verband. Het omgekeerd evenredig verband. Het kwadratisch evenredig verband. Het kwadratisch verband. Verbanden uitdrukken met machtsfuncties.9 Het exponentieel verband 9 Studiewijzer 9

3 . Verbanden tussen grootheden beschrijven met formules.. Afhankelijke en onafhankelijke veranderlijken De oppervlakte A van een kubus met ribbe z, bereken je met de formule A z. De ribbe van een kubus is, cm. Bereken de oppervlakte van deze kubus. Vul de tabel aan. ribbe (cm) oppervlakte (cm ) ribbe (cm) oppervlakte (cm ) 9 0 De formule A = z beschrijft het verband tussen de grootheden A (oppervlakte van de kubus) en z (ribbe van de kubus). Je kiest voor z een bepaalde waarde. Deze beïnvloedt de waarde van A. In de formule is z de onafhankelijke veranderlijke en A de afhankelijke veranderlijke. Algemeen In een formule die het verband tussen verschillende veranderlijken weergeeft, is een onafhankelijke veranderlijke een gegeven of vrij te kiezen grootheid; de afhankelijke veranderlijke de gemeten of voorspelde grootheid. In een formule kunnen er meerdere onafhankelijke veranderlijken zijn, maar slechts afhankelijke veranderlijke. Verklaring: In welke mate verandert de waarde van A als z in waarde verdubbelt? Uit een gegeven oppervlakte kun je de ribbe berekenen. A is dan de onafhankelijke veranderlijke en z de afhankelijke veranderlijke. Als je de formule A = z omvormt naar z, dan verkrijg je: z = A. Hieruit volgt: z = Vul de tabel aan. oppervlakte (cm ) 0 0 ribbe (cm) op 0,0 nauwkeurig oppervlakte (cm ) 0 0 ribbe (cm) op 0,0 nauwkeurig

4 Tabellen genereren met de grafische rekenmachine Eerst voer je de formule in die het verband geeft tussen de afhankelijke veranderlijke en de onafhankelijke veranderlijke. De afhankelijke veranderlijke wordt op de grafische rekenmachine als Y voorgesteld en de onafhankelijke veranderlijke als X. De formule A = z wordt dus ingevoerd als Y =X. Dit verband kun je invoeren in de vergelijkingseditor door Y= te selecteren. Vervolgens bepaal je een aantal instellingen voor de tabel. Daartoe druk je nd WINDOW [(TBLSET]). De instellingen kies je zoals hieronder. De tabel begint voor een waarde van de onafhankelijke veranderlijke. De stapgrootte is het verschil tussen twee opeenvolgende waarden van de onafhankelijke veranderlijke. Hier kies je de stapgrootte gelijk aan. Druk je vervolgens op nd GRAPH ([TABLE]) dan verkrijg je een tabel die voor waarden van de onafhankelijke veranderlijke de corresponderende waarde van de afhankelijke veranderlijke geeft. Opmerking Als je de onafhankelijke veranderlijke op ASK zet, dan spelen de beginwaarden van TblStart en Tbl geen rol. Hoofdstuk VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

5 .. Formules omvormen Je zet een kapitaal k uit op enkelvoudige intrest. Dit wil zeggen dat iedere periode de intrest opnieuw op het oorspronkelijke beginkapitaal wordt berekend. Er wordt dus geen rekening gehouden met vorige verworven intresten. Na n jaar verkrijg je dan een eindkapitaal K = k + k i n. Hierbij is i de rentevoet in decimale notatie. De onafhankelijke veranderlijken in deze formule zijn: ; de afhankelijke veranderlijke is Vul de tabel in. k (euro) i n(jaar) K (euro) 00 % 00 0,0 0, %,0 %, 000 0,0 0 0,0, Vorm de formule voor het eindkapitaal om zodat k de afhankelijke veranderlijke wordt. Welk kapitaal moet je beleggen om na jaar een eindkapitaal van euro te verkrijgen, als de rentevoet, % per jaar is? k = Vorm de formule voor het eindkapitaal om zodat n de afhankelijke veranderlijke wordt. Je belegt 000 euro tegen, % per jaar. Hoelang zal het duren vooraleer het kapitaal is aangegroeid tot 0 euro? n = Vorm de formule voor het eindkapitaal om zodat i de afhankelijke veranderlijke wordt. Een kapitaal van 00 euro is na, jaar aangegroeid tot, euro. Wat is de rentevoet van de belegging? i = Vul de tabel in. k (euro) i n K(euro) 00 % maanden 0 0,0 maanden 0,

6 OEFENINGEN REEKS A Zet de volgende uitspraken om in formulevorm. formule a) x is meer dan z. b) u is één derde van de som van s en t. c) b is het drievoud van de vierkantswortel van a. d) e) Het kwadraat van a is gelijk aan de som van de kwadraten van b en c. Het verschil van de derdemachten van x en y is gelijk aan het kwadraat van t. f) r is het omgekeerde van het viervoud van q. g) y is minder dan de helft van x. Vorm de formule om naar de opgegeven afhankelijke veranderlijke. a) U = R I I b) p = F A A c) s = v 0 t + a t a d) V = r h r e) A = b + B h B f) p V = n R T T Hoofdstuk VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

7 Stel een formule op om de oppervlakte A van een cirkel te berekenen als de straal r gegeven is. a) Wat is in deze formule de onafhankelijke veranderlijke? Wat is de afhankelijke veranderlijke? b) Met welke factor vergroot de oppervlakte als de straal keer zo groot wordt? c) Vorm de formule om zodat de straal de afhankelijke veranderlijke wordt. d) Bereken, op 0,0 cm nauwkeurig, de straal van een cirkel waarvan de oppervlakte, cm bedraagt. De oppervlakte van een ruit bereken je met de formule A = d D. Hierbij is d de kleine diagonaal en D de grote diagonaal van de ruit. a) Wat zijn in deze formule de onafhankelijke veranderlijken? Wat is de afhankelijke veranderlijke? b) Als de kleine diagonaal verdubbelt, terwijl de grote diagonaal gelijk blijft dan zal de oppervlakte c) Hoe verandert de oppervlakte, als je de grote diagonaal verdrievoudigt en de kleine diagonaal gelijk blijft? d) Vorm de oppervlakteformule om zodat de grote diagonaal de afhankelijke veranderlijke is. e) Bereken de grote diagonaal van een ruit als de kleine diagonaal 0 cm is en de oppervlakte 0 cm.

8 REEKS B De inhoud V, in l, van een benzinetank van een auto wordt gegeven door de formule V = 0,0 s +. Hierbij is s de afgelegde weg in km. a) Wat is de inhoud van de benzinetank van de wagen? b) Vul de tabel aan. s (km) V (l) c) Vorm de formule om zodat s de afhankelijke veranderlijke wordt. d) Hoeveel kilometer kun je rijden met een volle benzinetank? e) Hoeveel kilometer heb je gereden als er nog, l benzine in de tank zit? Uit een experiment blijkt dat het verband tussen de geluidsintensiteit I,inW/m,en de afstand r, in m, tot de geluidsbron gegeven wordt door de formule I = r. a) Bereken de geluidsintensiteit op een afstand van 0 cm van de geluidsbron. b) Vorm de formule om zodat r de afhankelijke veranderlijke wordt. c) Bereken de afstand, op 0,0 m nauwkeurig, tot de geluidsbron als de geluidsintensiteit 00 W/m (pijndrempel) bedraagt. Hoofdstuk VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

9 De massadichtheid van een stof bereken je met de formule = m V. Hierbij is m de massa, in kg, en V het volume, in m. a) Wat zijn in deze formule de onafhankelijke veranderlijken? Wat is de afhankelijke veranderlijke? b) Vorm de formule om zodat de massa de afhankelijke veranderlijke wordt. c) Bereken de massa van een balk beukenhout met lengte m, breedte dm en dikte cm. De massadichtheid van beukenhout is 00 kg/m. d) Vorm de formule om zodat het volume de afhankelijke veranderlijke wordt. e) Wat is de lengte van een plank vurenhout met breedte 0 cm en dikte, cm? De massa van de balk is, kg. De massadichtheid van vurenhout is 00 kg/m. Een gewichtje met massa m aan een veer kan op en neer trillen. De trillingstijd T van zo n massa/veersysteem is de tijd die nodig is om vanuit één van de twee uiterste standen volledige beweging op en neer te maken. Het verband tussen de trillingstijd T, in s, en de massa m, in kg, wordt gegeven door de formule T =, m. a) Wat is de onafhankelijke veranderlijke? Wat is de afhankelijke veranderlijke? b) Vorm de formule om zodat m de afhankelijke veranderlijke wordt. c) Bereken de massa, op 0,00 kg nauwkeurig, die aan een veer hangt als de trillingstijd 0, s bedraagt. d) Hoeveel maal groter moet de massa worden opdat de trillingstijd zou verdrievoudigen?

10 REEKS C 9 Het volume van een kegel met straal r en hoogte h bereken je met de formule V = r h. De oppervlakte van een kegel met straal r, hoogte h en apothema a wordt gegeven door de formule A = a r + r. a) In welke mate vergroot het volume als je de straal verdubbelt en de hoogte behoudt? a h de straal behoudt en de hoogte verdubbelt? r de straal en de hoogte verdubbelt? b) Bereken de oppervlakte van een buxusplant met een hoogte van cm en een volume van 09 dm. 0 Met behulp van een lens kun je een afbeelding maken. Er is slechts plaats achter de lens waar een scherp beeld ontstaat. De plaats waar het beeld ontstaat, hangt af van: ) de sterkte van de lens (de brandpuntsafstand f), ) hoe ver het voorwerp voor de lens staat (voorwerpsafstand v). Met de lenzenformule f = v + kun je de plaats van het beeld (beeldafstand b) berekenen. b a) Vorm de formule om zodat b de afhankelijke veranderlijke wordt. v b f f b) Bereken de beeldafstand, op 0,0 cm nauwkeurig, als de brandpuntsafstand 0 cm en de voorwerpsafstand cm is. Hoofdstuk VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

11 Studiewijzer Verbanden tussen grootheden. Verbanden tussen grootheden beschrijven met formules In een formule die het verband tussen verschillende veranderlijken weergeeft, is een onafhankelijke veranderlijke een gegeven of vrij te kiezen grootheid; de afhankelijke veranderlijke de gemeten of voorspelde grootheid. In een formule kunnen er meerdere onafhankelijke veranderlijken zijn, maar slechts afhankelijke veranderlijke. In een formule de onafhankelijke en de afhankelijke veranderlijke herkennen. Een formule omvormen naar een opgegeven afhankelijke veranderlijke. Berekeningen maken met behulp van formules en waarden van de veranderlijken.. Verbanden tussen grootheden beschrijven met functies Een verband tussen grootheden is een functie als voor elke waarde van de onafhankelijke veranderlijke, er hoogstens waarde voor de afhankelijke veranderlijke bestaat. Het domein van een functie f, dom f, is de verzameling van de argumenten waarvan het beeld door f bestaat. Het bereik van een functie f, ber f, is de verzameling van de mogelijke functiewaarden. Het praktisch domein, pdom f, is het deel van het domein dat de fysisch aanvaardbare argumenten bevat. Het praktisch bereik, pber f, is het deel van het bereik dat de fysisch aanvaardbare beelden bevat. Een nulwaarde van een functie f is een getal a waarvan het beeld f(a) gelijk is aan 0. Een nulwaarde van een functie f is de x-coördinaat van een gemeenschappelijk punt (snijpunt of raakpunt) van de grafiek van f met de x-as. Een functie f bereikt een relatief minimum in a als f in a de overgang maakt van dalen naar stijgen. Een functie f bereikt een relatief maximum in b als f in b de overgang maakt van stijgen naar dalen. Herkennen of een verband een functie of geen functie is. Van een functie de volgende karakteristieken bepalen of bespreken: het domein en het bereik; de nulwaarden; het tekenschema; het verloop. Met behulp van ICT het praktisch domein en het praktisch bereik van een functie bepalen. de grafiek van de functie tekenen rekening houdend met praktisch domein en bereik. het tekenschema en het verloop van een functie bespreken. Hoofdstuk VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

12 . Het recht evenredig verband Een recht evenredig verband wordt bepaald door de formule: y = a x De waarde a is de evenredigheidsfactor of richtingscoëfficiënt. de grafiek: (een deel van) een rechte door de oorsprong. Als de ene grootheid met een getal wordt vermenigvuldigd, dan wordt de andere grootheid met hetzelfde getal vermenigvuldigd. Een recht evenredig verband herkennen in een voorschrift; in een tabel; in een grafiek. In vraagstukken omgaan met recht evenredige verbanden; recht evenredige verbanden opstellen.. Het lineair verband Een lineair verband wordt bepaald door de formule: y = b + a x De waarde a is de richtingscoëfficiënt. De waarde b is de beginwaarde. de grafiek: (een deel van) een rechte. Interpoleren is het schatten van een tussenliggende waarde bij een rij waargenomen waarden. Extrapoleren is het schatten van een waarde die buiten een rij waargenomen waarden ligt. Een lineair verband herkennen in een voorschrift; in een tabel; in een grafiek. In vraagstukken omgaan met lineaire verbanden; lineaire verbanden opstellen; lineaire regressie uitvoeren; lineaire interpolatie toepassen; lineaire extrapolatie toepassen.

13 . Het omgekeerd evenredig verband Een omgekeerd evenredig verband wordt bepaald door de formule: y = a of x y = a, waarbij a een constante is. x de grafiek: (een deel van) een hyperbool. Als de ene grootheid met een getal, verschillend van 0, wordt vermenigvuldigd, dan wordt de andere grootheid door hetzelfde getal gedeeld. Een omgekeerd evenredig verband herkennen in een voorschrift; in een tabel; in een grafiek. In vraagstukken omgaan met omgekeerd evenredige verbanden; omgekeerd evenredige verbanden opstellen.. Het kwadratisch evenredig verband Een kwadratisch evenredig verband wordt bepaald door de formule: y = a x, waarbij a een constante is. de grafiek: (een deel van) een parabool. Als de ene grootheid met een getal wordt vermenigvuldigd, dan wordt de andere grootheid met het kwadraat van hetzelfde getal vermenigvuldigd. Een kwadratisch evenredig verband herkennen in een voorschrift; in een tabel; in een grafiek. In vraagstukken omgaan met kwadratisch evenredige verbanden; kwadratisch evenredige verbanden opstellen.. Het kwadratisch verband Een kwadratisch verband wordt bepaald door de formule: y = a x + b x + c, waarbij a, b en c constanten zijn en a 0. de grafiek: (een deel van) een parabool. Een kwadratisch verband herkennen in een voorschrift; in een tabel; in een grafiek. In vraagstukken omgaan met kwadratische verbanden; kwadratische verbanden opstellen; kwadratische regressie uitvoeren. Hoofdstuk VERBANDEN TUSSEN GROOTHEDEN

14 . Verbanden uitdrukken met machtsfuncties Een machtsfunctie wordt bepaald door de formule: y = a x n, waarbij a en n reële getallen zijn verschillend van 0. Een verband uitgedrukt door een machtsfunctie herkennen in een voorschrift; in een tabel; in een grafiek. In vraagstukken omgaan met verbanden uitgedrukt door een machtsfunctie; verbanden opstellen met behulp van een machtsfunctie; machtsregressie uitvoeren..9 Het exponentieel verband Een exponentieel verband wordt bepaald door de formule: y = b a x. Je spreekt van exponentiële groei als bij gelijke toename van de onafhankelijke veranderlijke, de waarde van de afhankelijke veranderlijke steeds met eenzelfde factor wordt vermenigvuldigd. Deze factor is de groeifactor a. Á a > : exponentiële toename Á a < : exponentiële afname Á een groeifactor is altijd positief: a > 0 De waarde b is de beginwaarde. De groeifactor a bij een toename met p %, is gelijk aan a =+ p 00. De groeifactor a bij een afname met p %, is gelijk aan a = p 00. Een exponentieel verband herkennen in een voorschrift; in een tabel; in een grafiek. In vraagstukken omgaan met exponentiële verbanden; exponentiële verbanden opstellen; exponentiële regressie uitvoeren; de groeifactor bepalen uit een percentage; een percentage omzetten naar een groeifactor; berekeningen maken met een groeifactor.