Hoekberekening-2, (tri-goniometrie) Deze module is alleen bestemd voor VWOérs en HAVO NG/NT 1. Bereken AD, DF, AC CF.

Transcriptie

1 IV Hoekberekening-2, (tri-goniometrie) Deze module is alleen bestemd voor VWOérs en HAVO NG/NT 1. Bereken AD, DF, AC CF. 2. Uitgaande van het blok ABCD EFGH (zo noteer je dat), is zijde AB = 8, BC = 6 en AE = 5 cm. Bereken AC en DF. 3 a. Controleer dat hoek BAC 36,87 graden is b. Bereken hoek BCA 4. Bereken hoek ABE 5. Bereken hoek BDF 6. Zo'n zelfde blok. Maten zijn hetzelfde. a. Welke hoek maakt het vlak BCEH tov ABCD? b. Bereken de oppervlakte van BCEH c. Veronderstel dat men een tweede blok met dezelfde verhoudingen in deze laat zakken en wel zo dat er een tussenruimte ontstaat die 0,2 breed is. Welke inhoud heeft dit tweede blok dan? d. Men spant kabels van hoekpunt E naar B, C en een drietal tussenliggende punten K,L en M. De afstanden BK,KL, LM, MC zijn allen gelijk. Welke maten hebben de kabels EB, EK, EL, EM, EC?

2 7. Ik ontwerp een pannendak voor mijn droomboerderij.. Hieronder is één van de vier hoeksegmenten getekend. De hoek waaronder de pannen liggen mag niet meer dan 70 0 bedragen. Bereken ALLE maten en oppervlakten van gekleurde vlakken. 8. Bereken de inhoud van hetgetekende huis van opdracht 7. Ga uit van een lengte van 12 meter, een breedte van 8,40 en een hoogte van 2,40m zonder dak. 9. Een nieuwe wet laat toe dat het dak steiler mag tot 75 graden. Hoe groot is nu het totale dak oppervlak geworden, uitgaande van de maten uit opgave 8 en 7? GROEPSWERK 10. Ontwerp een kleine garage waarin een middenklasse auto in kan staan. Lengte dus min 6 meter, en breedte van de carportdeur is zeker 2,40m. Ik wil zo'n zelfde dak als de boerderij uit vraag 7, alleen minder hoog en minder steil. Zorg ervoor dat je alles weet:" 1. alle maten 2. alle relevante hoeken 3. In een m 2 muur gaan vertikaal 16 rijen bakstenen en 4,5 stenen breed. Stenen zijn 11 cm breed, 5 cm hoog en 21 cm lang. Bereken hoeveel stenen je voor deze garage denkt nodig te hebben. (Dubbelsteens muur!!, geen ramen, wel carportdeur (zo'n draaigeval) Slim! Bereken éénmalig hoeveel bakstenen er in een 'twee'steens muur gaan van 1m 2 groot. Werk met specielagen van 1,5 á 2 cm dik. 11. Maak een kostenoverzicht, uitgaande ervan dat bakstenen 23 eurocent per stuk kosten. Dakpannen kosten 82,50 euro/m 2 en houten balkwerk zal 11 euro/meter kosten. Een stalen roldeur begroot ik op 485 euro, handbediend.

3 V Hoekberekening-3 Regels in de goniometrie Er zijn een tweetal handige regels die je in het ontwerpen voor veel meetgedoe kunnen behoeden. Eerst een probleem. Bereken onbekende zijde x. Je merkt dat dat lastig is en mogelijk de behoefte hebt om hulplijnen te trekken. Immers de definities van tan, sin en cos werken alleen in rechthoekige driehoeken! Dus moet je ze creëren! Bekijk deze (1) sin(a1) = h/b dus h = b sin(a1) (2) sin(a2) = h/a dus h = a sin(b1) (3) omdat h = h, geldt: b sin(a1) = a sin(b1) dus : a b sin( a1) sin( b1) deze verhouding staat bekend als de sinus regel. Los met deze wetenschap de ontbrekende hoeken op van de bovenste driehoek. Nog eentje... (1) cos (a1) = x / b dus x = b cos(a1) (2) x 2 + h 2 = b 2 => h 2 = b 2 - x 2 (3) (c-x) 2 + h 2 = a 2 dus a 2 = h 2 + c 2-2cx + x 2 en met (2) a 2 = b 2 - x 2 + c 2-2cx + x 2, dus a 2 = b 2 + c 2-2cx, en x was b cos(a1) dus (4) a 2 = b 2 + c 2-2bc cos(a1) ook: b 2 = a 2 + c 2-2ac cos(b1) c 2 = a 2 + b 2-2ab cos(c1) Deze drie staan bekend als de cosinusregels. Eigenlijk een uitbreiding van Pythagoras. Bereken nu onbekende zijde x. Gebruik sinus of cos-regels voor:

4 VI Cirkeleigenschappen Je kent de regels: 1. Oppervlakte = r 2 2. Omtrek = 2 r. 3. Inhoud van elke bus is opp Grondvlak hoogte. 1. Bereken de oppervlakte van een vijver met diameter 3 meter. 2. Om de vijver zet je een laag (gaas)hekje dat 50 cm van de rand af zit. Hoeveel m hek heb je nodig? 3. De vijver is overal 40 cm diep en het water staat ca 5 cm onder de rand. Hoeveel m 3 water staat erin? Het vullen gaat met een snelheid van 330 liter/minuut Hoelang duurt het vullen van deze vijver? 4. Een raampartij bevat cirkeldelen. Bereken de oppervlakte van het gearceerde glasdeel 5. Bereken de inhoud van een regenton die een diameter van 60 cm heeft en een hoogte van 120 cm 6. Een schoorsteenkanaal meet 22cm diameter en is 3 meter lang (bungalow-sitautie) Hoeveel m 3 lucht zit er in het kanaal?

5 VII Ellipsen In deze korte module leer je de ellips kennen. Een ellips wordt gekenmerkt door zijn excentriciteit. Dat is de mate waarin deze is uitgerekt en daardoor van de cirkel afwijkt. Er zijn twee manieren van construeren. 1. Met cirkels. (Dit leerde je eerder als 7e of 8e klasser) 2. Met de constructielijn waarbij geldt: dat de lijn 2a altijd dezelfde is. Deze brandpunten F1 en F2 zijn nu even gegokt... Feitelijk construeer je series lijnen vanuit een gekozen set brandpunten en zorgt ervoor dat die geknikte lijn 2a altijd evenlang is. Deze constructie kan je namaken met twee punaises en een touwtje en een potlood. Hoef je nou niet te doen: mar als je in je ontwerp straks een ellips nodig hebt...

6 VIII Ellipsen-II In dit deel wordt de wiskunde achter de ellips iets duidelijker. Ten eerste: de formule van de ellips: x a y b 1 halve breedte en de halve lengte van de ellips kenmerken. Voorbeeld: Teken de grafiek van de formule (geen functie...!), met a 2 en b 2 als kwadraten van de getallen: die de Kennelijk is de term a dus verantwoordelijk voor de halve breedte, en de term b voor de halve hoogte of 'dikte' van de ellips. 1. Teken zelf de ellipsen: a) b) c) d) x 3y e) f ) Men wil een ellipsvormig bad hebben. Breedte 120 cm, lengte 190 cm. Welke formule beschrijft deze bouwkundige wens? 3. De oppervlakte van een ellips berekent men met de formule a b In deze formule zijn dezelfde a en b van toepassing Bereken van alle in opdracht 1 genoemde ellipsen de oppervlakte.

7 IX Oppervlakten/Inhouden-1 1. Bereken de oppervalkte van het steenwerk in deze voorgevel. Gevelbreedte is 5,40m, deuren 200x80cm, ramen groot (70x160) en ramen klein(60x70) Hoogte woonlaag hier 250cm. 2. Hoeveel gewone bakstenen denk je nodig te hebben om deze voorzijde van één laags baksteen te voorzien? Tussen de ramen zit geen steen! 3. Bereken de inhoud van deze zolder in m 3 4. Bereken de oppervlakte van dit trapezium: gebruik: opp = 0,5 h (a+b) 5. Leg de regel van (4) uit.. 6. Bereken de oppervlakte van deze rare figuur door er trapezia van te maken, die 1 cm uit elkaar staan.

8 X Oppervlakten/Inhouden-2 VMBO/HAVO CM/EM 7. Bereken de inhoud van deze figuren; Misschien handig om te weten dat de inhoud van elke kegel of pyramide bestaat uit: de formule : Inh = grondvlak hoogte / 3 8. Een aanstaande koper van één van onze bouwprojecten wil in de wand van zijn woonkamer een groot (rechthoekig) aquarium laten inmetselen. Jij als ontwerper vindt dat goed en zorgt voor een aquarium met een inhoud van 300 liter. Het aquarium wordt 2 meter lang. Welke zijn de andere maten? 9. In de tuin van een bungalow staat een halve regenton als decoratie gevuld met slootwater en waterplanten. Bovenbreedte 60 cm, onderbreedte 50 cm. Hoogte 45 cm. Hoeveel liter past hierin? 10. De inhoud van een dakgoot moet zodanig zijn dat deze niet onmiddelijk bij de eerste de beste regenbui overstroomt. Meestal kiest men een zinken goot. Breedte onderin: 18 cm. bovenin 24 cm, hoogte zijwanden 9 cm. Hoeveel liter water past in 1 meter goot?