9.1 Oppervlakte-eenheden [1]

Transcriptie

1 9.1 Oppervlakte-eenheden [1] De omtrek van een figuur bereken je door uit te rekenen hoe lang het is als je één keer langs de rand van de figuur gaat. Omtrek = l + l + l + l + l + l + l + l = = 48 m De oppervlakte van deze figuur wordt uitgedrukt in vierkante meters (m 2 ). Vierkante meter is dus een oppervlakte-eenheid. 1

2 9.1 Oppervlakte-eenheden [1] Millimeter, centimeter, meter en kilometer zijn lengte-eenheden. De volgende lengte-eenheden moet je kennen: km hm dam m dm cm mm Een stap naar rechts betekent x 10, Een stap naar links betekent : 10, dus 1 m = 10 dm dus 10 cm = 1 dm km = kilometer dam = decameter dm = decimeter mm = millimeter hm = hectometer m = meter cm = centimeter 2

3 9.1 Oppervlakte-eenheden [2] Vierkante millimeter, vierkante centimeter en vierkante meter zijn oppervlakte-eenheden. De volgende oppervlakte-eenheden moet je kennen: km 2 hm 2 =ha dam 2 =are m 2 dm 2 cm 2 mm 2 Een stap naar rechts betekent x 100, dus 1 m 2 = 100 dm 2 Een stap naar links betekent : 100, dus 100 cm 2 = 1 dm 2 km 2 = kilometer 2 hm 2 = hectometer 2 (hectare) dam 2 = decameter 2 (are) m 2 = meter 2 dm 2 = decimeter 2 cm 2 = centimeter 2 mm 2 = millimeter 2 3

4 9.1 Oppervlakte-eenheden [3] Berekenen Oppervlakte en Omtrek rechthoek: Opp = l b = 6 3 = 18 cm 2 Omtrek = l + b + l + b = = 18 cm 4

5 9.1 Oppervlakte-eenheden [3] Voorbeeld: Bereken de omtrek en oppervlakte van deze figuur. Omtrek = l + l + b + b + = y + 3x + 2y + x + 2y + 2x + y + 2x + 3y + x + 3y + 3x = 12x + 12y Oppervlakte = Opp. I + Opp. II + Opp. III = l b + l b + l b = 3y x + y 6x + 2y x = 3xy + 6xy + 2xy = 11xy 5

6 9.1 Opgaven Opgave 13A: Er zijn twee muren van 6 bij 3,5 meter en twee muren van 8 bij 3,5 meter. Oppervlakte = 2 l b + 2 l b = 2 6 3, ,5 = = 69 m 2 Opgave 13B: Met 8 potten muurverf kun je 8 8 = 64 m 2 verven Met 9 potten muurverf kun je 9 8 = 72 m 2 verven Er zijn 9 potten muurverf nodig. 6

7 9.2 Opgaven Opgave 18A: Lengte van het spoor = 173 km = m Afstand tussen de stroommasten = / m Opgave 18B: Voor één spoor heb je steeds twee rijen met spoorstaven over de gehele lengte nodig. Bij dubbelspoor heb je dus vier rijen met spoorstaven nodig. Spoorstaven per rij = 3.000/4 = 750 Lengte per spoorstaaf = / m 7

8 9.2 Opgaven Opgave 18C: Er is dubbelspoor. Op elk van de twee sporen ligt om de 62 cm = (0,62 m) een dwarsligger. Aantal dwarsliggers per spoor = /0,62 = Aantal dwarsliggers bij dubbelspoor = = Opgave 18D: Het traject met een lengte van 173 km (= meter) heeft 6,9 miljard euro gekost. Kosten per meter = / = euro 8

9 9.2 Rekenen met lengten en oppervlakten [1] Een schaal van 1 : 200 betekent dat 1 cm op de kaart in werkelijkheid 200 cm is. De schaal van de landkaart hiernaast is: 1 :

10 9.2 Opgaven Opgave 20A: 1 cm bij het model = 80 cm in werkelijkheid 70 cm bij het model = = cm = 60,9 m in werkelijkheid. Opgave 20B: 80 meter in werkelijkheid = 1 m bij het model 10 meter (= cm) in werkelijkheid = 1.000/80 = 12,5 cm bij het model. 10

11 9.3 Aanzichten [1] Het plaatje hierboven geeft van een vogelhuisje het vooraanzicht, zijaanzicht en bovenaanzicht. 11

12 9.4 De cirkel [1] Omtrek cirkel = 2 π straal (2πr) = π diameter (πd) Voorbeeld 1: Bereken exact de omtrek van cirkel M Omtrek cirkel M = 2 π straal = 2 π 40 = 80π cm Voorbeeld 2: Bereken de omtrek in twee decimalen Omtrek cirkel M = 2 π straal = 2 π ,33 cm Bij bereken exact wordt niet afgerond. π of een breuk blijft in het antwoord staan. 12

13 9.4 De cirkel [1] Een speciaal getal in de wiskunde is het getal pi (π). Het getal pi komt al voor in de bijbel: Voorts maakte hij (koning Salomo) de zee, van gietwerk, tien el (lengte-eenheid) van rand tot rand, geheel rond, vijf el hoog, terwijl een meetsnoer van dertig el haar rondom kon omspannen (1-Koningen 7, Vers 23) De diameter is 10 el. In dit voorbeeld is de omtrek is 30 el. In werkelijkheid moet de omtrek 10 π 31,415 el zijn. Volgens dit vers uit de bijbel is π gelijk aan drie. De Nederlandse wiskundige Ludolph van Ceulen ( ) heeft π berekend op 35 decimalen Nauwkeurig: Video 400 Decimalen van PI ( 13

14 9.4 Opgaven Opgave 34A: Omtrek = π diameter = π 91 = 91 π m Opgave 34B: De afrastering ligt 3 meter van de rand van de vijver. Hierdoor ontstaat een Cirkel met een diameter van = 3 = 97 meter. Omtrek = π diameter = π 97 = 97 π m Opgave 34C: In 5 minuten wordt 97 π meter afgelegd. In 60 minuten (5 12) wordt π = π meter afgelegd. De snelheid per uur is nu π m/uur = 1,164 π km/uur 3,7 km/uur 14

15 9.4 Opgaven Opgave 36A: Omtrek = π diameter = π 68 = 68 π cm = 0,68 π meter Opgave 36B: Het wiel draait 1.500/(0,68 π) 701 keer rond Opgave 36C: Per omwenteling wordt 0,68 π meter afgelegd Bij omwentelingen wordt ,68 π = π meter afgelegd π meter = 340 π kilometer 15

16 9.4 Opgaven Opgave 38A: Er is nu een cirkel met straal 1 meter Omtrek = 2 π straal = 2 π 1 = 2 π m In een kwartier legt de grote wijzer ¼ cirkel af: ¼ 2π = ½π m = 50 π cm Opgave 38B: Een week is 7 24 = 168 uur. In één week wordt π = 336 π meter afgelegd. Opgave 38C: Per dag legt de grote wijzer 24 2 π = 48 π m = 0,048 π km 0,1508 km Er zijn nu 100/(0,1508) 663 dagen nodig om 100 km af te leggen. 16

17 9.4 De cirkel [2] Oppervlakte cirkel = π straal 2 (πr 2 ) Voorbeeld 1: Bereken exact de oppervlakte van cirkel M Opp. cirkel M = π straal 2 = π 40 2 = 1600π cm 2 Voorbeeld 2: Bereken de oppervlakte in twee decimalen Opp. cirkel M = π straal 2 = π ,54 cm 2 Bij bereken exact wordt niet afgerond. π of een breuk blijft in het antwoord staan. 17

18 Opgave 43A: Straal olievlek dag 1 = 1,2 km Oppervlakte olievlek dag 1 = π r 2 Straal olievlek dag 2 = 3,8 km Oppervlakte olievlek dag 2 = π r Opgaven = π 1,2 2 4,5 π km 2 = π 3,8 2 45,4 π km 2 Toename oppervlakte olievlek = 45,4 4,5 = 40,9 km 2 = ha 18

19 9.4 Opgaven Opgave 43B: Straal olievlek dag 1 = 1,2 km Omtrek olievlek dag 1 = 2 π r = 2 π 1,2 = 7,5398 km Straal olievlek dag 2 = 3,8 km Omtrek olievlek dag 2 = 2 π r = 2 π 3,8 = 23,8761 km Toename oppervlakte olievlek = 23,9 7,5 16,336 km 163 hm 19

20 9.4 De cirkel [3] De cirkel links is losgeknipt en zo verdeeld in een tweetal stukken. Elk stuk heet een sector van de cirkel. De cirkelboog rechts wordt begrensd door twee stralen van de cirkel (R) en een cirkelboog (L bg ). De hoek (α) tussen de beide stralen is de Middelpuntshoek. 20

21 9.4 De cirkel [3] Bij een hele cirkel hoort een middelpuntshoek van 360 ; De oppervlakte van een hele cirkel is π r 2 ; De omtrek van een hele cirkel is 2 π r; Bij een halve cirkel hoort een middelpuntshoek van 180 ; De oppervlakte van een hele cirkel is π r 2 ; De omtrek van een hele cirkel is 2 π r; 21

22 9.4 De cirkel [3] Een sector met een middelpuntshoek van 58 ; De oppervlakte van de sector is π r 2 ; De lengte van de boog van de sector is 2 π r; Een sector met een middelpuntshoek van a ; a 360 De oppervlakte van de sector is π r 2 ; a 360 De lengte van de boog van de sector is 2 π r; 22

23 9.5 Inhouden [1] Inhoud balk = lengte breedte hoogte = = 120 cm 3 (kubieke centimeter) km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 Een stap naar rechts betekent 1000, dus 1 m 3 = 1000 dm 3 Een stap naar links betekent : 1000, dus 1000 cm 3 = 1 dm 3 dm 3 cm 3 l dl cl ml Verder geldt: 1 liter (dm 3 ) = 10 dl = 100 cl = 1000 ml (cm 3 ) 23

24 9.5 Opgaven Opgave 59: Inhoud = l b h = 9 4 1,5 = 54 m 3 = dm 3 = liter Per minuut komt er 25 liter uit de kraan. Per uur komt er = liter uit de kraan. Het vullen van het zwembad duurt /1.500 = 36 uur 24

25 9.5 Opgaven Opgave 61A: 1 aam = 4 ankers EN 1 anker = 45 wijnflessen 2,5 aam = 2,5 4 ankers = 10 ankers 10 ankers = wijnflessen = 450 wijnflessen Opgave 61B: 45 wijnflessen = 1 anker 9 wijnflessen = 1/5 anker Opgave 61C: 4 ankers = 1 aam 1 anker = ¼ aam 1/5 anker = (1/5) : 4 aam = 1/20 aam 25

26 9.5 Opgaven Opgave 61D: 45 wijnflessen = 1 anker EN 1 anker = 16 stoop 15 wijnflessen = 1/3 anker 1/3 anker = 1/3 16 stoop = 5 1/3 stoop Opgave 61E: 1 stoop = 2 mingelen 15 wijnflessen = 1/3 anker = 5 1/ 3 stoop 5 1/3 stoop = 2 5 1/3 mingelen = 10 2/3 mingelen Opgave 61F: 1 aam = 4 ankers 4 ankers = 4 16 stoop = 64 stoop 64 stoop = 2 64 mingelen = 128 mingelen 128 mingelen = pint = 256 pint 256 pint = 0, liter 155,2 liter 26

27 9.5 Inhouden [2] De oppervlakte van een balk kun je berekenen door de oppervlakte van de uitslag uit te rekenen. Voorbeeld: Bereken de oppervlakte van een balk met lengte 9 cm, breedte 2 cm en hoogte 3 cm. Opp. balk = 2 Opp. I + 2 Opp. II + 2 Opp. III = 2 l b + 2 l b + 2 l b = = = 102 cm 2 27

28 9.5 Opgaven Opgave 62A: 2 dm = 20 cm Oppervlakte voorvlak = l b = = 700 cm 2 Oppervlakte achtervlak = 700 cm 2 Oppervlakte zijvlak = l b = = 560 cm 2 Oppervlakte bodem = l b = = 980 cm 2 Oppervlakte doos = Oppervlakte voorvlak + Oppervlakte achtervlak + Oppervlakte 2 zijvlakken + Oppervlakte bodem = = 3500 cm 2 Opgave 62B: Inhoud = l b h = = cm 3 Opgave 62C: cm 3 = 19,6 dm 3 = 19,6 liter 28

29 9.5 Opgaven Opgave 63A: Oppervlakte ijskap = lengte breedte km 2 = km breedte Breedte = km 2 /3.400 km = km Opgave 63B: Inhoud ijskap = Oppervlakte ijskap dikte ijskap = km 2 2,8 km = km 3 Opgave 63C: De inhoud van het gesmolten ijs is km 3 Dit gesmolten ijs zou dan als water een hoogte van 70 m = 0,07 km hebben. Inhoud = Oppervlakte hoogte = Oppervlakte 0,07 Oppervlakte = /0,07 = km 2 29

30 9.5 Inhouden [3] Een cilinder heeft een grondvlak en een hoogte. De inhoud van een cilinder is te berekenen door de oppervlakte van het grondvlak (een cirkel) te vermenigvuldigen met de hoogte. 30

31 9.5 Inhouden [3] Voorbeeld: Een olievat heeft een buitendiameter van 160 cm en een binnendiameter van 156 cm. De hoogte van het vat is 1,2 meter. Bereken uit hoeveel m 3 staal dit olievat bestaat. (Tel de boven- en onderkant hierbij niet mee). Stap 1: Inhoud grote cilinder Stap 2: Inhoud kleine cilinder = π r 2 hoogte = π 0,8 2 1,2 = 2,41 m 3 = π r 2 hoogte = π 0,78 2 1,2 = 2,29 m 3 Stap 3: Benodigde hoeveelheid staal = 2,41 m 3 2,29 m 3 = 0,12 m 3 31

32 9.5 Opgaven Opgave 70A: De wikkel heeft een hoogte van 13 cm Opgave 70B: Lengte wikkel = omtrek blik = π d = π 12 = 12π cm Opgave 70C: Oppervlakte wikkel = l b = 12π 13 = 156π cm 2 Opgave 70D: Oppervlakte bodem = π r 2 = π 6 2 = 36π cm 2 Opgave 70E: Oppervlakte blik = Opp. bodem + Opp. deksel + Opp. wikkel = 36 π + 36 π π = 228 π cm 2 32

33 9.5 Inhouden [4] Oppervlakte cilinder = Opp. Grondvlak + Opp. Bovenvlak + Opp. Rechthoek = π straal 2 + π straal π straal hoogte = 2 π straal π straal hoogte 33

34 9.5 Opgaven Opgave 71: Oppervlakte blik = Opp. deksel + opp. bodem + opp. wikkel Opp. deksel = π r 2 = π 9 2 = 81π cm 2 Opp. Bodem = 81π cm 2 Lengte wikkel = omtrek blik = π d = π 18 = 18π cm Oppervlakte wikkel = l b = 18π 15 = 270π cm 2 Oppervlakte blik = Opp. bodem + Opp. deksel + Opp. wikkel = 81 π + 81 π π = 432 π cm 2 Per uur worden 580 blikken gemaakt. Per uur is dus π = π cm 2 = 25,056 π m 2 34

35 9 Samenvatting Lengte-eenheden: km hm dam m dm cm mm Een stap naar rechts betekent 10, een stap naar links betekent : 10 De omtrek van een figuur bereken je door uit te rekenen hoe lang het is als je één keer langs de rand van de figuur gaat. Oppervlakte-eenheden: km 2 hm 2 =ha dam 2 =are m 2 dm 2 cm 2 mm 2 Een stap naar rechts betekent 100, een stap naar links betekent : 100 Oppervlakte rechthoek = lengte breedte Een schaal van 1 : 200 betekent dat 1 cm op de kaart in werkelijkheid 200 cm is. 35

36 9 Samenvatting Omtrek cirkel = 2 π straal (2πr) = π diameter (πd) Oppervlakte cirkel = π straal 2 (πr 2 ) Als er staat dat je het antwoord exact moet geven betekent dit dat je niet afrondt. π of een breuk laat je staan. Een sector met een middelpuntshoek van a ; a De oppervlakte van de sector is π r 2 ; De lengte van de boog van de sector is 2 π r; 360 a

37 9 Samenvatting Inhoud balk = lengte breedte hoogte km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 Een stap naar rechts betekent 1000, dus 1 m 3 = 1000 dm 3 Een stap naar links betekent : 1000, dus 1000 cm 3 = 1 dm 3 dm 3 cm 3 l dl cl ml Verder geldt: 1 liter (dm 3 ) = 10 dl = 100 cl = 1000 ml (cm 3 ) Inhoud cilinder Oppervlakte cilinder = π straal 2 hoogte = 2 π straal π straal hoogte 37