21.4. Een inleiding tot intergenerationele economie: het Diamond-model van overlappende generaties (OLG-model)

Transcriptie

1 764 Economische groei onderzoek breiden Kneller et al. (1999) deze budgetbeperking als volgt uit: g t +ng t = τy t +nt t +def t (44) Naast de gekende g t en τy t omvat vergelijking (44) respectievelijk de nietproductieve overheidsuitgaven (ng t ), de niet-distortieve belastingen en andere overheidsinkomsten (nt t ) en het overheidstekort (def t ). Niet-productieve uitgaven omvatten onder andere een groot aantal transfers (bijv. pensioenen, werkloosheidsuitkeringen). Kenmerkend voor niet-distortieve belastingen is dat ze de productie niet verstoren omdat ze de opbrengst van sparen en investeren niet ondermijnen. Een voorbeeld vormen belastingen op de consumptie. Vergelijking (44) laat meteen rijkere voorspellingen toe ten aanzien van het effect van het begrotingsbeleid op de langetermijngroei. Zo zal een verlaging van τ ondubbelzinnig de groei bevorderen indien deze gecompenseerd wordt door een verhoging van de niet-distortieve belastingen (nt t ). Indien evenwel tegelijkertijd g t daalt, blijft de parabolische relatie van figuur gelden. Zo zal een daling van de niet-productieve overheidsuitgaven (ng t ) de groei bevorderen indien tegelijkertijd g t stijgt of τ daalt. Dalen ondertussen echter vooral de niet-distortieve belastingen, dan zal er geen effect op de groei zijn. Het empirisch onderzoek van Kneller et al. (1999) voor 22 OESO-landen in bevestigt deze conclusies. Ze tonen daarmee aan dat de samenstelling van overheidsuitgaven en -ontvangsten van significant belang is voor de langetermijngroei van landen Een inleiding tot intergenerationele economie: het Diamond-model van overlappende generaties (OLG-model) Eerder noemden we het Solow-model uit 1956 een mijlpaal in de theorievorming over economische groei en ontwikkeling op lange termijn. Minder dan tien jaar later formuleerde Peter Diamond (1965), geïnspireerd door Samuelson (1958), zijn model van overlappende generaties. Bijna veertig jaar later is dit model uitgegroeid tot hét werkpaard bij uitstek in zeer vele domeinen van economische analyse waarbij de intertemporele dimensie van belang is. De analyse van de economische groei is een duidelijk voorbeeld (zie de la Croix en Michel, 2002). Andere toepassingen treft men aan in de milieu-economie, de bevolkingseconomie, de monetaire economie, de economie van de sociale zekerheid, enz. Zoals we verder zullen zien, situeert het Diamond-model zich ook binnen de neoklassieke benadering van de langetermijngroei. Een aantal basisveronderstellingen als perfecte concurrentie, constante schaalopbrengsten, afnemende meeropbrengsten op kapitaal, exogene technologische vooruitgang en bevolkingsgroei, zijn prominent aanwezig. Op twee vlakken onderscheidt

2 De moderne groeitheorie 765 het model zich evenwel fundamenteel van het (augmented) Solow-model. Ten eerste is de spaar- en investeringsneiging niet meer constant; ze wordt endogeen bepaald door de interactie van nutsmaximaliserende gezinnen en winstmaximaliserende bedrijven. Een tweede cruciaal gegeven is dat Diamond uitgaat van de realiteit dat het leven tijdelijk is. In een economie worden continu individuen (gezinnen) geboren, en zullen continu individuen (gezinnen) sterven. Op ieder moment leven dan ook overlappende generaties. Zeker wanneer men wil nadenken over langetermijnontwikkeling, is dit een zinvol uitgangspunt. Merken we nog op dat parallel met Diamond ook andere economen nieuwe modellen ontwikkelden in het verlengde van Solow, met eveneens een micro-economisch onderbouwde spaar- en investeringsneiging. Al even belangrijk als het Diamond-model is het Ramsey-Cass-Koopmans-model 14. Voor een bespreking hiervan, verwijzen we naar Blanchard en Fischer (1989) of Heijdra en van der Ploeg (2002). Het grootste verschil met het Diamond-model is dat Ramsey, Cass en Koopmans oneindig lang levende individuen veronderstellen. Ook aan dit model zijn vele recentere ontwikkelingen op bijvoorbeeld het terrein van de economische groei schatplichtig. Eén voorbeeld werkten we zelf uit in de vorige paragraaf met het Barromodel. Een ander voorbeeld is het reeds eerder vermelde Lucas-model (1988) over scholing en economische groei. In wat volgt zetten we eerst de uitgangspunten van het Diamond-model uiteen. Vervolgens bestuderen we het optimaliserend gedrag van de gezinnen en de bedrijven, de evenwichtsvoorwaarden op de verschillende markten en de implicaties van het model voor de economische ontwikkeling op lange termijn. Vragen die we ons ook bij de bespreking van het Solowmodel stelden, komen dan terug. Hoe kunnen verschillen in het niveau van de levensstandaard van landen verklaard worden? Enz. Assumpties Een kernidee aan de basis van Diamonds OLG-model is dat ieder individu twee perioden leeft. In de eerste periode is men jong, in de tweede oud. Meteen impliceert dit dat op ieder moment telkens twee generaties samenleven: de jongeren, die in de betreffende periode geboren zijn, en de ouderen, die in de vorige periode geboren zijn. In de veronderstelling van een constante bevolkingsgroei n geldt: L t =L t 1 (1 + n) (45) waarbij L t het aantal jongeren in de periode t aanduidt en L t 1 het aantal jongeren in de periode t 1. Meteen staat L t 1 ook voor het aantal ouderen in t. 14. De basis van dit model werd door F. Ramsey reeds gelegd in D. Cass (1965) en T. Koopmans (1965) bouwden er in de jaren 60 op verder.

3 766 Economische groei Iedere jongere in de periode t biedt één eenheid arbeid aan die hem/haar een reëel loon oplevert. Dit loon kan ofwel worden geconsumeerd, ofwel gespaard. Voor een goed begrip schat men de chronologie van deze activiteiten best als volgt in. Terwijl gedurende de ganse periode t gewerkt wordt, wordt de consumptie- en spaarbeslissing op het einde van die periode genomen. Door hun besparingen worden de jonge agenten kapitaalbezitter. Ze kopen kapitaalgoederen die ze bij het begin van de periode t+1 zullen uitlenen aan de bedrijven. Op die manier wordt de kapitaalvoorraad in de economie gevormd, waarmee in t+1 wordt geproduceerd (zie verder). Voor de individuen resulteert daaruit een kapitaalinkomen. Kapitaal vormt meteen ook de enige inkomensbron voor de ouderen. Oude individuen werken immers niet meer. Op het einde van hun oude periode verkopen ze hun kapitaal aan de jongeren (die dan willen sparen) en ze consumeren de ganse opbrengst. Bovenstaande uiteenzetting ligt aan de basis van de budgetrestricties waarmee ieder individu te maken heeft. Beschouw een jongere in de periode t. Er moet gelden dat: w t =c 1t +s t (46) c 2t + 1 =(1+r t+1 )s t (47) In deze vergelijkingen duidt het subscript t op de tijdsperiode waarin men zich bevindt. De subscripten 1 en 2 staan respectievelijk voor een jong en een oud individu. Vergelijking (46) duidt de gelijkheid aan tussen het reëel looninkomen van een jong individu in periode t (w t ) en diens consumptie (c 1t ) en besparingen (s t ). Bemerk dat we geen subscript 1 toevoegen bij de besparingen. De reden is dat enkel jonge agenten sparen: s heeft per definitie betrekking op jongeren, de toevoeging 1 is dan ook onnodig. Vergelijking (47) geeft de consumptie van dit individu aan wanneer hij/zij oud is. Dit zal in de periode t+1 zijn, wat logischerwijze de aanduiding c 2t + 1 verklaart. Deze consumptie is precies gelijk aan de besparingen uit de jonge periode, aangevuld met de reële rente-opbrengsten hierop. De relevante rente is r t+1. Zoals gezegd, wordt er op het einde van de periode t gespaard. Hiermee worden kapitaalgoederen gekocht die in t+1 ter beschikking worden gesteld van de bedrijven. De opbrengst op het sparen zal dan ook bepaald worden door de productiviteit van kapitaal in t+1. Verder zal blijken dat deze samenvalt met de reële rente in t We veronderstellen dat de economische agenten deze toekomstige rente perfect anticiperen (geen onzekerheid). Uit de vergelijkingen (46) en (47) volgt meteen ook de intertemporele budgetbeperking van een individu geboren in t. De actuele waarde van de consumptie over het leven moet gelijk zijn aan het verdiende reëel loon: 15. Bemerk dat we hier afwijken van het symbool R dat we traditioneel voor de reële rente hanteren. We doen dit in overeenstemming met wat in de groeitheorie gebruikelijk is.

4 De moderne groeitheorie 767 c lt + c 2t + 1 =w t (48) 1+r t+1 Alle individuen zullen trachten hun nut over het leven te maximaliseren. Voor de eenvoud gaan we verder uit van een logaritmische nutsfunctie 16. Het nut over het leven van een individu geboren en jong in t kan dan ook geschreven worden als: U L =lnc lt + lnc 2t + 1 ρ 0 (49) 1+ρ Hierin staat ρ voor de mate van tijdsvoorkeur. De bedrijven in de economie opereren onder perfecte concurrentie. De productie komt tot stand via de combinatie van arbeid geleverd door de jongeren (L t in aantal) en kapitaal geleverd door de ouderen. Zoals gezegd, resulteert dit kapitaal uit de besparingen van de ouderen toen zij nog jong waren. De productiefunctie is van het Cobb-Douglas type: Y t =AK 1 α t L t (50) waarbij K t =L t 1 s t 1 In wat volgt zullen we de veronderstelling maken dat de technologie (A) exogeen is en constant. Tevens gaan we ervan uit dat kapitaal niet aan depreciatie onderhevig is. Herschrijving van (50) in functie van de output per werknemer, impliceert: y t =Ak t = ƒ(k t ) (51) waarbij: y t = Y t,k t = K t L t L t Optimalisering door de individuen De opdracht voor iedere jongere geboren in t bestaat erin zijn consumptieniveaus c 1t en c 2t + 1 zodanig te kiezen dat vergelijking (49) gemaximaliseerd wordt, gegeven de nevenvoorwaarde beschreven door (48). De oplossingsmethode voor dit optimaliseringsprobleem vertrekt van onderstaande Lagrange-functie. c 2t + 1 Ω =lnc lt + lnc 2t λ w t c lt 1+ρ 1+r t Zoals we reeds eerder hebben aangegeven, bijv. in bijlage 2 bij hoofdstuk 17, is de logaritmische nutsfunctie een bijzonder geval van de meer algemene iso-elastische nutsfunctie die in vorige paragraaf centraal stond. De iso-elastische nutsfunctie tendeert naar een logaritmische relatie wanneer de intertemporele substitutie-elasticiteit gelijk is aan 1.

5 768 Economische groei De eerste-ordevoorwaarden voor een optimum zijn: Ω 1 =0 =λ (52) c lt c lt Ω 1 =0 =λ 1+ρ (53) c 2t + 1 c 2t r t+1 Ω =0 clt + c 2t + 1 =w t (48) λ 1+r t+1 Substitutie van (52) ter vervanging van λ in (53) resulteert in de gekende Eulervergelijking voor de consumptie (zie ook bijlage 1 bij hoofdstuk 5). c 2t + 1 = 1+r t+1 (54) c lt 1+ρ Herschrijving van (54) als een vergelijking voor c 2t + 1 /(1 + r t+1 ) en substitutie hiervan in de budgetvergelijking (48), impliceert dat in het optimum zal gelden dat: c lt + c lt =clt 2+ρ =w t 1+ρ 1+ρ c lt = 1+ρ w t (55) 2+ρ Meteen kunnen ook de besparingen van jonge individuen worden afgeleid: s t =w t c lt = 1 1+ρ w t 2+ρ s t = w t (56) 2+ρ Jonge individuen blijken meer te sparen naarmate het loon hoger is en de tijdsvoorkeur lager. Opvallend in de vergelijkingen (55) en (56) is dat de rente geen invloed heeft op de consumptie, noch op de besparingen tijdens de jonge periode. Dit resultaat hangt samen met de veronderstelling dat de nutsfunctie logaritmisch is 17. Het substitutie-effect dat uitgaat van een hogere rente, en dat aanzet tot meer sparen en minder consumeren, wordt dan precies geneutraliseerd door het inkomenseffect, dat aanzet tot meer consumeren. In bijlage leiden we de spaarvergelijking af onder de veronderstel- 17. Zie ook bijlage 1 bij hoofdstuk 5. Substitutie van vergelijking (55) in (54) leert dat er wel een (positieve) invloed zal zijn op de consumptie in de oude periode van het leven.

6 De moderne groeitheorie 769 ling van een meer algemene iso-elastische nutsfunctie. De rentevoet krijgt dan wel invloed. Optimalisering door de bedrijven Het gedrag van de bedrijven kan heel eenvoudig worden beschreven. Zij zijn als vragers van arbeid en kapitaal actief op perfect competitieve markten, waaruit de bekende eerste-ordevoorwaarden volgen. Kapitaal en arbeid worden aangetrokken tot op het punt waar hun marginaal product gelijk is aan hun reële kost, zijnde respectievelijk de door de markt bepaalde reële rente en het reëel loon. Algebraïsch: ƒ (k t )=r t (57) ƒ(k t ) k t ƒ (k t )=w t (58) waarbij ƒ (k t )= y t. Dat het linkerlid van vergelijking (58) gelijk is aan het k t marginaal product van arbeid kunnen we gemakkelijk aantonen. Er geldt immers dat: Y t =(1 α) Y t =(1 α)y t = ƒ(k t ) αƒ(k t ) L t L t α 1 = ƒ(k t ) αak t k t = ƒ(k t ) k t ƒ (k t ) Evenwicht op de goederen-en-dienstenmarkt en de factormarkten Evenwicht op de goederen-en-dienstenmarkt vereist de gelijkheid van de gerealiseerde productie (en het inkomen) aan de totale vraag. Deze laatste bestaat in de beschouwde economie uit de som van de consumptie en de investeringen. Het gerealiseerde inkomen wordt verdeeld over arbeid en kapitaal, elk volgens zijn marginaal product 18. Y t =C t +I t w t L t +r t K t =(L t c lt +L t 1 c 2t )+(K t+1 K t ) (59) Hierin staat w t L t voor het gerealiseerde arbeidsinkomen en r t K t voor het inkomen uit kapitaal. De macro-economische consumptie (C t )bestaatuit de som van de consumptie van de jongeren (L t c 1t ) en de consumptie van de ouderen (L t 1 c 2t ). Ingevolge de afwezigheid van depreciatie resulteren alle investeringen (I t ) in een aangroei van de kapitaalvoorraad (er zijn geen 18. Deze verdeling volgt uiteraard uit de veronderstelling van perfecte concurrentie. Er zijn geen pure winsten. Wiskundig geldt bij constante schaalopbrengsten altijd dat Y t = Yt K t + Yt L t. K t L t (Ga zelf na). Bij perfecte concurrentie geldt tevens dat Yt =r t en Yt =w t. K t L t

7 770 Economische groei vervangingsinvesteringen). Gegeven dat de jonge generatie haar inkomen spaart of consumeert, zodat w t L t =(c 1t +s t )L t, en de ouderen hun opgebouwd kapitaal uiteindelijk verkopen om de opbrengst ervan, samen met de rente-inkomsten, te consumeren r t K t +K t =L t 1 c 2t, volgt na herschrijving van (59) dat: K t+1 =L t s t (60) We bekomen aldus een vergelijking die de besparingen van de jonge generatie in t relateert aan de macro-economische kapitaalvoorraad in t+1. Echt nieuw is deze vergelijking niet. Ze staat eerder reeds vermeld na vergelijking (50), zij het voor de vorige periode en minder rigoureus onderbouwd. Na deling van de beide leden van (60) door L t+1 (=L t (1 + n)) volgt een cruciale vergelijking voor de dynamische ontwikkeling van de economie: k t+1 = s t (61) 1+n De hoeveelheid kapitaal per werknemer die de bedrijven in de periode t+1 kunnen inzetten, blijkt positief bepaald door de besparingen per werknemer in de periode t en negatief door de bevolkingsgroei. Naarmate de bevolkingsgroei hoger is, zal de toekomstige generatie immers meer leden omvatten, zodat de besparingen van de vorige generatie, en de daaruit voortvloeiende kapitaalvoorraad, over meer werknemers moeten gespreid worden. Evenwicht op de factormarkten volgt in het model uit flexibele aanpassing van het reëel loon en de reële rente. Gegeven de exogene omvang van het arbeidsaanbod (L t ) en gegeven het gepredetermineerd aanbod van kapitaal (K t ), bepaald door de besparingen uit de vorige periode, zullen w t en r t zich aanpassen tot de bedrijven precies bereid zijn alle beschikbare arbeid en alle beschikbaar kapitaal in te zetten. Dynamische ontwikkeling van de economie en steady state Wat bepaalt of de economie rijk is, dan wel arm? Kan de economie blijven groeien? Zullen de arme economieën de rijke inhalen? Een aantal vragen die we eerder reeds stelden, kunnen we nu beantwoorden. Vergelijking (51) leerde ons dat de productie per werknemer bepaald wordt door de kapitaalvoorraad per werknemer 19. De beschikbare kapitaal- 19. Bemerk dat in een OLG-economie de productie per werknemer en de productie per capita niet samenvallen. Het aantal werknemers omvat immers alleen de jonge generatie. Beide zijn wel proportioneel gerelateerd. Gegeven dat L t 1 =L t /(1+n), volgt: Y t /(L t +L t 1 )=[(1+n)/(2+n)](Y t /L t ).

8 De moderne groeitheorie 771 voorraad per werknemer resulteert uit de besparingen van de jonge generatie uit de vorige periode (vergelijking 61). Op hun beurt werden deze bepaald door het loon in de vorige periode (vergelijking 56). Het loon in die periode was tot slot een positieve functie van de kapitaalvoorraad per werknemer in die periode (vergelijking 58). Substitutie van de vergelijkingen (56) en (58) in (61), brengt ons bij de dynamische vergelijking voor de kapitaalvoorraad. k t+1 = s t w = t (1 α)ak α = t (62) 1+n (1+n)(2+ρ) (1 + n)(2 + ρ) We maken hierbij gebruik van het resultaat dat w t = ƒ(k t ) k t ƒ (k t )=(1 α)ak α t. Gegeven dat y t =Ak α t, kan vergelijking (62) tevens geschreven worden als: (1 α)y k t+1 = t (1 α) =zyt met: z = <1 (62 ) (1 + n)(2 + ρ) (1+n)(2+ρ) De kapitaalvoorraad per werknemer in de periode t+1 blijkt aldus een constante fractie van de output per werknemer in t. Figuur stelt de dynamische ontwikkeling van de economie grafisch voor. Vertrekkende van de initiële kapitaalvoorraad per werknemer (k 0 ) kan op de productiefunctie de initiële output per werknemer (y 0 )bepaald worden. Een deel hiervan gaat als loon naar de werknemers, waarvan vervolgens een deel wordt gespaard. Op die manier wordt kapitaal gevormd waarmee de volgende generatie kan werken (k 1 ). Via de 45 -lijn kan deze nieuwe kapitaalvoorraad naar de horizontale as worden geprojecteerd. Uit k 1 resulteren daarna een hogere productie (y 1 ) en een hoger loon, alsook voor de volgende generatie een nog hogere kapitaalvoorraad (k 2 ). Herhaling van dit proces brengt de economie uiteindelijk in haar steady state. Kenmerkend voor de steady state is dat k t =k t+1 =k *. Toepassing van deze langetermijnvoorwaarde leidt tot een exacte vergelijking voor k *, met name: k * = (1 α)ak*α (1 + n)(2 + ρ) k * = (1 α)a α =k A,n,ρ (63) (1 + n)(2 + ρ) Meteen kunnen we ook de steady state output per werknemer bepalen: y * =A (1 α)a α + 1 α =y A,n,ρ (64) (1 + n)(2 + ρ)

9 772 Economische groei Figuur Bepaling van de steady state in het Diamond-model. Zoals gemakkelijk kan worden afgeleid uit vergelijking (64), voorspelt het Diamond-model dat economieën op lange termijn een hogere levensstandaard zullen genieten wanneer het technologieniveau (A) hoger is en de bevolkingsgroei (n) en de tijdsvoorkeur (ρ) lager zijn. Een betere technologie impliceert hogere lonen voor de jonge generatie en meer besparingen, waardoor vervolgens meer kapitaal gevormd wordt. Een kleinere tijdsvoorkeur leidt tot meer besparingen voor gegeven lonen, en dus eveneens meer kapitaal. Des te kleiner de bevolkingsgroei, des te meer kapitaal per werknemer er voor iedere volgende generatie zal zijn. Bemerk tot slot in vergelijking (64) dat een betere technologie tevens bijdraagt tot een hogere output per werknemer voor een gegeven kapitaalvoorraad. Vergelijking (64) en figuur maken meteen ook duidelijk dat in het beschouwde model op lange termijn geen economische groei per werknemer (per capita) meer mogelijk is. Eens de steady state bereikt, groeien de kapitaalvoorraad en de output per werknemer niet meer. De macro-economische kapitaalvoorraad en output zullen wel nog groeien, aan het ritme van de bevolking. Zoals in het Solow-model is permanente groei per capita enkel mogelijk indien de technologie permanent verbetert. Ook inzake con-

10 De moderne groeitheorie 773 vergentie van arme en rijke landen, sluit het Diamond-model zeer sterk aan bij het Solow-model. Het voorspelt eveneens conditionele convergentie. Een beperkt verschil is dat de snelheid waarmee het convergentieproces zich voltrekt, groter is bij Diamond (zie D. Romer, 2001, p ). Een ander interessant aspect van het Diamond-model is dat het theoretisch duidelijk maakt wanneer economieën overmatig (ondermatig) kapitaal zullen accumuleren, d.w.z. kapitaal zullen opbouwen tot boven (onder) de golden rule. In het geval van overmatige accumulatie noemt men de economie dynamisch inefficiënt. Ook al zou iedereen een hoger nut over het leven kunnen realiseren door meer te consumeren (minder te sparen en kapitaal af te bouwen), het gebeurt niet (D. Romer, 2001, p ). Typische omstandigheden die dynamische inefficiëntie in de hand werken zijn: (i) tijdelijkheid van het leven, (ii) een lage tijdsvoorkeur (d.w.z. een hoge waardering voor nut gerealiseerd in de oude periode) en (iii) een sterk afnemende marginale productiviteit van kapitaal. Tijdelijkheid van het leven impliceert dat iedereen tijdens zijn actieve periode de nodige middelen moet sparen voor consumptie tijdens de oude dag. Lenen is dan immers niet meer mogelijk (men kan niet sterven met schulden). Vooral wanneer de tijdsvoorkeur klein is, en economische agenten veel gewicht geven aan deze consumptie tijdens de oude periode, zal men veel sparen. Het nadeel van al dit sparen op macro-economisch vlak is echter dat de marginale productiviteit van kapitaal laag zal zijn. Bijgevolg zal ook de rente laag zijn, en aldus ook de opbrengst van het sparen. Des te meer kapitaal onderhevig is aan afnemende meeropbrengsten, des te lager zal de rente zijn. Om in deze omstandigheden toch een behoorlijke consumptie tijdens de oude periode te garanderen, moet iedereen bijgevolg nog meer gaan sparen en kapitaal opbouwen. Er dreigt aldus een vicieuze cirkel te ontstaan, waarvan overmatige kapitaalvorming één element is. Ga zelf na dat bij afwezigheid van één van de veronderstellingen (i)-(iii) dit ongunstig scenario veel minder realistisch wordt Empirisch onderzoek In deze paragraaf presenteren we een aantal resultaten van empirisch onderzoek naar de verschillen in de levensstandaard en de economische groei van landen. Opnieuw is ons doel eerder illustratief. Gegeven de enorme expansie van het domein sinds de jaren 90 zou het te ambitieus zijn om meer te beogen 20. Een conclusie die we desondanks menen te mogen trekken, is dat de huidige stand van het empirisch onderzoek eerder de neoklassieke bena- 20. Voor een uitgebreid en kritisch overzicht van de literatuur, zie Temple (1999). Interessant zijn verder ook Bosworth en Collins (2003) en Islam (2003).

11 778 Economische groei Rodríguez-Clare (1997) en Easterly en Levine (2001) gaan zover te stellen dat 90% van de groeiverschillen tussen landen te maken hebben met de evolutie van de totale-factorproductiviteit. De la Fuente en Doménech (2001) en Bosworth en Collins (2003) vinden dat de waarheid eerder in het midden ligt en dat zowel kapitaalaccumulatie als groei in de totale-factorproductiviteit belangrijk zijn. De implicatie van deze bevindingen is onvermijdelijk dat inzicht in de verschillen in het niveau en de groei van de totalefactorproductiviteit tussen landen cruciaal blijft. De endogene-groeitheorie is hiervoor veruit het best geschikt. Zelfs indien alle landen op (zeer) lange termijn ingevolge technologietransfers zouden kunnen genieten van dezelfde technologische vooruitgang, blijft de vraag wat dan wel deze wereldwijde gemeenschappelijke technologische vooruitgang bepaalt. Enkel de endogenegroeitheorie kan hier het antwoord bieden. Bijlage 1. Afleiding van de spaarvergelijking in het Diamond-model met een iso-elastische nutsfunctie Bij onze bespreking van het Diamond-model in paragraaf zijn we uitgegaan van een logaritmische nutsfunctie. Laat ons deze veronderstelling nu wijzigen en opteren voor iso-elastisch nut. Eerder deden we dit ook in onze uiteenzetting van het endogene-groeimodel van Barro (1990) in paragraaf (zie vergelijking 32). Gegeven deze alternatieve nutsfunctie wordt de Lagrange-vergelijking in het Diamond-model: Ω = (c lt) 1 ε (c = 2t + 1 ) 1 ε c + λ w t c lt 2t ε (1 ε)(1 + ρ) 1+r t+1 Uit de eerste-ordevoorwaarden voor optimale consumptie volgt de Eulervergelijking: c 2t + 1 = 1+r t+1 1 ε c lt 1+ρ die kan herschreven worden als: (67) c 2t + 1 (1 + r t+1 ) 1 1 ε =clt 1+r t+1 (1 + ρ) 1 ε Wanneer we deze uitkomst substitueren in de budgetrestrictie (48), volgt na een aantal herschikkingen dat in het optimum zal gelden dat:

12 De moderne groeitheorie c 1t (1 + ρ) 1 ε =1 w t (1 + ρ) 1 +(1+r t+1 ) 1 1 ε ε Onmiddellijk volgt hieruit een vergelijking voor de optimale besparingen van de jongeren, met name: s t =w t c lt = (1 + r t+1 ) 1 1 ε w t (68) (1 + ρ) 1 +(1+r t+1 ) 1 1 ε ε +? s t =s w,r t+1,ρ De besparingen van jonge individuen zijn zoals in het eerder besproken Diamond-model positief afhankelijk van het loon en negatief afhankelijk van de tijdsvoorkeur. Nieuw is dat nu ook de rente een invloed uitoefent. Bemerk evenwel dat deze invloed ambigu is. Alles hangt af van de intertemporele substitutie-elasticiteit in de consumptie (1/ε). Is deze groter dan 1, dan zal rentestijging tot hogere besparingen in t leiden (ga zelf na in vergelijking 68). Het substitutie-effect van rentestijging is dan sterker dan het inkomenseffect. Is de intertemporele substitutie-elasticiteit kleiner dan 1, dan geldt het omgekeerde en zal rentestijging het sparen in t ontmoedigen. Ook al oogt het Diamond-model onder de alternatieve iso-elastische nutsfunctie nog steeds vrij eenvoudig, de oplossing van het model en de bepaling van de steady state zijn in dit geval minder eenduidig. Romer (2001) bespreekt een aantal gevallen.