Universiteit Gent MONTE CARLO SIMULATIE VAN ELEKTRON-GASINTERACTIES IN EEN REACTIEF MAGNETRON PLASMA

Transcriptie

1 Universiteit Gent Faculteit Wetenschappen Vakgroep Vastestofwetenschappen Roeland Schelfhout MONTE CARLO SIMULATIE VAN ELEKTRON-GASINTERACTIES IN EEN REACTIEF MAGNETRON PLASMA Promotor: Prof. dr. D Depla Begeleider: K Strijckmans Academiejaar Proefschrift tot het behalen van de academische graad Master of Science in de Fysica en de Sterrenkunde

2

3 Dankwoord Dit werk zou er heel anders uitgezien hebben zonder de uitstekende begeleiding van Koen. Koen, je was meer dan enkel een begeleider. Naast een aangename persoonlijkheid op de bureau heb je dit werk naar een hoger niveau gebracht. Telkens wanneer ik een nieuw idee in mijn hoofd had, was je bereid te luisteren. Je dacht altijd mee en probeerde oplossingen te vinden voor mijn problemen terwijl je zelf genoeg werk aan je eigen doctoraatsthesis had. Ik wil je uit de grond van mijn hart bedanken, en ik zal de belofte die ik gemaakt heb nakomen. Jouw ooit zo witte bord zal nog nooit zo wit gezien hebben! Ook mijn promotor prof. Depla wil ik bedanken. Uw deur stond nagenoeg altijd open en ik mocht je op elk moment van de dag met vragen storen. De uiteindelijke doelstelling van de thesis lag vast, maar je gaf me de tijd en de ruimte om toch mijn eigen ding te doen. Ik wil je ook bedanken voor het nauwgezet opvolgen van deze thesis. De wekelijkse besprekingen gaven mij iedere keer nieuwe uitdagingen en ze zorgden voor een blijvende motivatie gedurende het hele jaar. Ik zou ook de hele vakgroep DRAFT willen bedanken voor de warme ontvangst in S1. Deze thesis zou niet mogelijk geweest zijn zonder de steun vanuit het thuisfront. Ik zou heel graag mijn ouders bedanken om mij de kans te geven om te doen wat ik graag wou doen. Jullie hebben vaak moeten luisteren naar de rare zaken waar ik de hele dag mee bezig was geweest. Ook mijn zus Maaike verdient een vermelding voor de mooie illustraties in dit werk. De laatste persoon die onrechtstreeks een groot aandeel in deze thesis heeft, is Joke. Joke, bedankt om zo lang geduldig te wachten en om mij gedurende de hele periode te blijven steunen. Roeland Schelfhout juni 2014

4

5 Inhoudsopgave 1 Inleiding Reactieve Magnetron Sputterdepositie Modelleren van Plasmas Doelstelling Computersimulatie Magneetveld Staafmagneet Vlakke Magnetron Magnetisch veld op een rooster Integratie van de bewegingsvergelijking Leapfrog methode e orde Runge-Kuttamethode Elektron-gasinteracties Werkzame Doorsnede Monte Carlo Collision method (MCC) Elektronen na een Botsing Bohm Diffusie Condities en Variabelen in de Simulatie Initiële Condities van de Secundaire Elektronen Eindcondities van de Elektronen Recapture Tijdstap t Kathodesheath d Bestaansvoorwaarde voor een Magnetronontlading Resultaten Precisie van de Monte Carlo Simulatie Zuiver Ar-plasma Kathodesheath en Spanning Reflectiecoëfficiënt, Druk en Magneetveld Realistisch Magnetronplasma Ar/O 2 Plasma s Werkelijke Kathodesheath 71 5 Conclusie 75 6 Bibliografie 77

6

7 1 Inleiding In de hedendaagse wereld zijn deklagen of coatings onmisbaar geworden. Ze leveren een belangijke bijdrage aan de technologische vooruitgang in de optische, mechanische, elektrische en magnetische vakgebieden. De voornaamste reden hiervoor is het belang van het oppervlak bij de interactie tussen een materiaal en zijn omgeving. De eigenschappen van het oppervlak kunnen ondermeer door de dikte van de deklaag gecontroleerd worden. Afhankelijk van de toepassing varieert die dikte van enkele Ångström tot ettelijke micrometers. Door hun breed toepassingsgebied worden deklagen reeds veelvuldig in de industrie gebruikt. Reflectieve coatings op glas, harde lagen zoals TiN op scherpe voorwerpen tot zelfs waferproductie in de halfgeleiderindustrie zijn slechts enkele voorbeelden uit een breed toepassingsgebied. Deklagen kunnen door chemische of fysische depositietechnieken aangebracht worden. Deze depositietechnieken hebben elk hun voor- en nadelen en hun specifiek toepassingsgebied. Eén van de fysische depositietechnieken is magnetron sputterdepositie. Magnetron sputterdepositie heeft een paar voordelen ten opzichte van andere depositietechnieken. Enerzijds kan de compositie van de deklaag beïnvloed worden door het sputteren van een legering of door gebruik te maken van een reactief plasma (sectie 1.1). Anderzijds kan door de hoge energie van de gesputterde deeltjes een deklaag van hoge kwaliteit en dichtheid verkregen worden, ondanks de lage substraattemperatuur. Het voornaamste nadeel aan de sputterdepositietechniek is het energieverlies. Enkel een fractie van de energie wordt door de gesputterde atomen benut. Het grootste deel van de energie wordt omgezet in warmte aan de kathode zodat waterkoeling in sputterdepositie noodzakelijk is. Het legt tevens een beperking op het maximale vermogen op om oververhitting te vermijden. In [Kelly00] wordt een overzicht over de mogelijke applicaties van de sputterdepositietechniek gegeven. We bespreken kort het principe achter sputteren en verklaren de term Reactieve Magnetron Sputterdepositie. In sectie 1.3 wordt het doel van deze thesis gemotiveerd. 1.1 Reactieve Magnetron Sputterdepositie Wanneer energetische deeltjes invallen op de target, een vastestof of vloeistof, worden targetatomen geëmitteerd. Dit proces wordt sputteren genoemd. Door impulsoverdracht van de energetische deeltjes op de targetatomen kan door een botsingscascade een targetatoom geëjecteerd worden. Het proces wordt gekarakteriseerd door de sputteropbrengst γ(e). Het is een maat voor het aantal geëmitteerde targetatomen per invallend deeltje. Ze is afhankelijk van de target maar ook van de aard van het invallende deeltje en hun energie E [Yamamura96]. Ook elektronen kunnen door de interactie van energetische deeltjes uit de target geëmitteerd worden. Deze elektronen worden secundaire elektronen SE genoemd. Bij sputterdepositie worden de energetische deeltjes bekomen door het genereren van 1

8 een gasontlading of plasma. Onder normale omstandigheden zijn slechts enkele atomen in een gas toevallig geïoniseerd door foto-ionisatie uit kosmische straling. Echter, wanneer een potentiaalverschil over zo n gas aangelegd wordt, versnellen deze elektronen en ionen in tegengestelde richting met extra ionisaties door deze hoogenergetische elektronen (HEE) tot gevolg. Op die manier ontstaat het plasma, een gas van deels geïoniseerde atomen. Het plasma wordt dan een elektrisch geleidend medium. Afhankelijk van de druk en de stroom-spanningskarakteristiek worden verschillende ontladingsregimes onderscheiden. Ze worden weergegeven in figuur 1.1. Sputterdepositie gebeurt typisch bij een druk rond 1-15 mtorr (0.1-2 Pa), een stroom van A en een spanning tussen V [Granda-Gutirrez07]. Het plasma is dan een abnormale glimontlading. Donkere Ontlading Glimontlading Boogontlading Townsend spanning (V) Achtergrond Ionisatie Normaal Abnormaal stroom I (A) Figuur 1.1: De verschillende ontladingsregimes in een DC plasma, weergegeven in een stroom-spanningskarakteristiek. De figuur werd overgenomen uit [GlowDischarge].s De scheiding van elektronen en ionen door de aangelegde potentiaal V w zorgt voor een gebied met een netto ladingsdichtheid. Deze scheiding is het grootst nabij de kathode waarop de target bevestigd is. Het spanningsverloop V in het scheidingsgebied wordt gegeven door de wet van Poisson 2 V = q(n i n e ) ɛ 0. (1.1) Hierin stellen q de elementaire lading, n i en n e resp. de ionen- en elektronendichtheid 2

9 en ɛ 0 de permittiviteit van het vacuüm voor. Het spanningsverloop op basis van de dichtheden wordt weergegeven in figuur 1.2. Het gebied rond de kathode met een netto ladingsdichtheid of spanningsverval wordt de kathodesheath d genoemd. In dit gebied ondervinden geladen deeltjes de grootste versnelling ten gevolge van het elektrische veld. De kathodesheath wordt in sectie verder behandeld. Plasmas bezitten ook een presheath en een anodesheath. Echter, door het kleine potentiaalverschil over deze sheaths worden ze in wat volgt verwaarloosd. ladingsdichtheid potentiaal d Figuur 1.2: De kathodesheath is het gebied rond de kathode met een netto ladingsdichtheid. Hierdoor ontstaat een potentiaalverschil V en statisch elektrisch veld E waarin geladen deeltjes versneld kunnen worden. Naar [Buyle05]. Na de versnelling van ionen in de kathodesheath vallen ze in op de target. De gesputterde targetatomen door dit ionenbombardement bewegen doorheen het plasma waarna ze zich vasthechten aan een substraat of plasmawand. Dit proces wordt sputterdepositie genoemd. Het volledige proces wordt geïllustreerd in figuur1.3. Door het plaatsen van magneten achter de kathode wordt een magnetron bekomen. De positie van de magneten bepaalt het type magnetron. Wanneer de veldlijnen open zijn, spreken we van een ongebalanceerde magnetron (sectie 2.1.2). Dit is de magnetenconfiguratie die meestal wordt gebruikt. 3

10 De elektronen volgen de magnetische veldlijnen waardoor deze dicht bij de kathode gevangen blijven en waarbij de E B drift van de elektronen een gesloten pad boven de kathode beschrijft. Het merendeel van de ionisaties door deze HEE gebeuren dus dicht tegen de target zelf. Omdat de elektronen aan het magneetveld gebonden zijn, blijven ze in het plasma tot ze hun energie door interacties verloren hebben. Hierdoor kan in een magnetron de gasdruk substantieel verlaagd worden. Er is echter altijd een minimale gasdruk verreist. Vermits de secundaire elektronen met een zekere beginenergie E init uit de target vertrekken, zijn ze instaat om zonder interacties terug op het target te arriveren. Bij de interactie tussen de target en het elektron kan het elektron ingevangen recaptured of gereflecteerd worden. De probabiliteit op reflectie aan de target wordt gegeven door de reflectiecoëfficiënt RC (sectie 2.6.3). Bij een te lage druk worden elektronen eerder terug ingevangen in de target in plaats van bij te dragen tot ionisatie waardoor het plasma niet meer onderhouden kan worden. Ten gevolge van lokale dichtheidsfluctuaties in het plasma wordt experimenteel een groter transport van geladen deeltjes loodrecht op de magnetische veldlijnen gemeten dan klassiek verwacht wordt. Deze beweging wordt Bohm diffusie genoemd en wordt in sectie 2.5 uitvoerig behandeld. Figuur 1.3: Illustratie van het sputterproces bij een vlakke cirkelvormige magnetron [Lihyuan]. Plasmas worden veelal opgewekt met een inert gas zoals argon. Het inerte gas verzorgt de gewenste eigenschappen van het plasma zonder een chemische verandering aan het target of substraat teweeg te brengen. Met reactief sputteren wordt het toevoegen van een niet-inert gas zoals zuurstof of stikstof bedoeld. Dit verandert niet alleen de compositie 4

11 van de deklaag op het substraat, het heeft ook een invloed op de targetsamenstelling. 1.2 Modelleren van Plasmas Verschillende plasmamodellen kunnen aangewend worden en hebben elk hun specifiek toepassingsgebied en voor- en nadelen. Het 0D chemische kinetiekmodel beschrijft de evolutie van reactieproducten in een uniform plasma. De dichtheid van ieder reactieproduct n i wordt gegeven door n i t = R prod,i R verlies,i (1.2) waarin R prod,i en R verlies,i respectievelijk de reactiesnelheden van chemische productieen verliesreacties voorstellen. Dit eenvoudige model is snel en geeft inzicht in de chemie van een plasma. Vermits geen transport van deeltjes in rekening gebracht wordt, is het 0D model enkel toepasbaar op homogene plasmas. Ook het effect van magneetvelden in het plasma kan niet beschreven worden. Het fluid model is een verbetering op het 0D model. Het brengt transport in rekening d.m.v. de Boltzmannvergelijkingen. De continuïteitsvergelijking voor geladen deeltjes is één van de Boltzmannvergelijkingen en beschrijft de dichtheid van ieder reactieproduct n i met transport door n i (r, z) t +.j i (r, z) = R prod,i (r, z) R verlies,i (r, z). (1.3) Met de mobiliteit µ i, de diffusie D i en het elektrische veld E wordt de stroomdichtheid j i door de momentumvergelijking j i (r, z) = ±µ i n i (r, z)e(r, z) D i n i (r, z) (1.4) vastgelegd. De Poissonvergelijking (1.1) bepaalt het elektrische veld op een zelfconsistente manier. Simulaties met het plasma fluidmodel zijn computationeel nog snel en het gesimuleerde plasma hoeft in tegenstelling tot het 0D model niet meer uniform te zijn. Het fluid model is echter enkel geldig wanneer de energie van de geladen deeltjes in evenwicht is met het elektrische en eventueel magnetische veld [Costin05]. Dit betekent dat het plasma enkel als een vloeistof kan beschreven worden indien de energietoename door het elektrische veld het verlies door bostingen compenseert. Vermits in ijle gassen de botsingsfrequentie en dus het energeverlies laag is, kan het fluidmodel hier niet worden toegepast. Die botsingfrequenties zijn trouwens gebaseerd op een Maxwelliaanse distributie van de elektronenenergie EEDF, waarbij geen rekening gehouden wordt met de hoogenergetische staart van de werkelijke distributie [Shyy08], iets wat nadrukkelijk aanwezig is bij ijle gassen. Het fluid model is bijgevolg niet geschikt voor plasma s bij lage druk.[park00] Monte Carlo modellen bieden hier een oplossing voor. Hierin worden elektronen afzonderlijk doorheen het plasma gevolgd. Hun traject wordt beschreven door de tweede wet van Newton d 2 x F(x, v) = dt2 m = q (E + v B). (1.5) m 5

12 Tijdens hun beweging worden interacties tussen het gas en de elektronen gemodelleerd met het Monte Carlo botsingsalgoritme MCC. Met behulp van randomgetallen wordt op interacties gecontroleerd. Indien een randomgetal kleiner is dan P met P = 1 e xnσ, (1.6) vindt een interactie plaats. x stelt de afgelegde weg van het elektron voor en n de gasdichtheid. De werkzame doorsnede σ is een maat voor de waarschijnlijkheid op een welbepaalde interactie. In het Monte Carlo model wordt elk elektron afzonderlijk gevolgd. De elektronen- en ionendichtheden zijn bijgevolg niet gedefinieerd zodat het MC model niet zelfconsistent is. Omwille van het statistische karakter moeten ook heel wat elektronen gesimuleerd worden om een zinvol resultaat te bekomen. Dit maakt het Monte Carlo model computationeel traag. Het grote voordeel aan het MC model is dat magneetvelden in rekening gebracht kunnen worden, wat het Monte Carlo model geschikt maakt voor de simulatie van een magnetronontlading. Het zelfconsistente probleem bij het MC model wordt verholpen met Particle In Cell Monte Carlo PIC-MCC en hybride modellen. Beide modellen maken gebruik van het MC concept om interacties te modelleren. In PIC-MCC wordt aan ieder Monte Carlo elektron een gewichtsfactor toegekend zodat de werkelijke dichtheden gegenereerd kunnen worden. Hybridemodellen combineren het MC en fluid model om deze dichtheden te bepalen. Beide modellen behoren tot de computationeel zwaarste plasmamodellen en zijn bijgevolg uitermate traag. Vermits in dit werk magnetronontladingen bij lage druk gesimuleerd worden, maken we gebruik van het snelle Monte Carlo model. 1.3 Doelstelling De typische parameters (magneetconfiguratie, soort gas, gasdruk, targetmateriaal, targetsubstraatafstand, vermogen en depositietijd) bepalen de dikte en eigenschappen van de afgezette deklaag. Experimenten relateren de observeerbare eigenschappen van de laag met deze depositieparameters. Aangezien deze parameters macroscopisch zijn kan het werkelijke sputterdepositieproces hierdoor niet volledig doorgrond worden. Depositieexperimenten zijn in die zin black box experimenten die enkel de link leggen tussen de inputparameters en de eigenschappen van de afgezette deklaag. In de realiteit blijkt het depositieproces door sputteren in drie delen opgesplitst te kunnen worden. Allereerst bepalen de inputparameters de eigenschappen van het opgewekte plasma. Vervolgens vallen de ionen in dit plasma in op de target en een complexe wisselwerking tussen plasma-ionen en de target genereren losgeslagen targetatomen. Tenslotte diffunderen deze atomen doorheen het plasma en hechten zich aan het substraat. Indien men het sputterproces wilt begrijpen en perfect kunnen sturen dient men te weten wat de werking en het effect is van elk van bovenstaande onderdelen. Bestaande simulatiepakketten voor het sputterproces in metallische mode zoals SRIM [Ziegler10],[SRIM] zijn tamelijk goed in het bepalen van de sputteropbrengst van een 6

13 materiaal in functie van het gas en de aangelegde spanning. Ook de angulaire en energiedistributie van de gesputterde atomen kan in zekere mate bepaald worden wanneer slechts één gassoort aanwezig is. Eens het sputterproces gesimuleerd is, moet de propagatie van deze atomen doorheen het plasma bepaald worden. SIMTRA [VanAeken08] is een Monte Carlo code die het transport van deeltjes in de gasfase modelleert. Het laat toe de depositiesnelheid en het depositieprofiel van deklagen te berekenen, zowel op het substraat als op de wanden van de vacuümkamer. Het programma geeft ook extra informatie over de energie en richting van de flux van de gesputterde atomen. De complexiteit neemt echter snel toe bij de simulatie van het reactief sputterproces. De eigenschappen van het targetoppervlak veranderen door chemische bindingen en ionenimplantatie door het reactieve gas, wat aanleiding geeft tot soms drastische wijzigingen van het depositieproces [Depla07]. Een bekend voorbeeld is het hysteresiseffect van de druk en spanning, wat een meetbaar effect is van de toestandsverandering van de target van metallische naar poisoned mode door toevoeging van een reactief gas. Simulaties die dit in rekening brengen zoals RSD2013 [Strijckmans12], hebben bijgevolg nood aan bijkomende informatie over de gevormde ionen en atomen in een plasma met meerdere gassoorten. In dit werk wordt een reactief magnetronplasma gemodelleerd. De simulatie heeft als doel om de relatie tussen de externe parameters (magneetconfiguratie, gassoorten, gasdrukken, targetmateriaal en het vermogen) en de magnetronontlading te bestuderen. De simulatie geeft extra informatie over de gevormde ionen en atomen in een reactief plasma en levert daardoor de nodige input om de RSD2013 simulatie te verfijnen. Hoofdstuk 2 beschrijft uitvoerig de opbouw van het Monte Carlo model. In hoofdstuk 3 wordt het MC model gebruikt om een zuiver argonplasma en een reactief zuurstof-argonplasma te beschrijven. De effecten van verschillende - zowel externe, experimentele als plasma-eigen - parameters op de ontlading worden onderzocht. 7

14

15 2 Computersimulatie Dit hoofdstuk beschrijft schematisch de opbouw van het Monte Carlo MC model. De implementatie van het magneetveld komt aan bod (secties 2.1 en 2.2). In het MC model bewegen elektronen onder invloed van een statische elektrische veld E en een magneetveld B doorheen het plasma. Die beweging wordt bepaald door het oplossen van de bewegingsvergelijking m.b.v numerieke integratoren. De numerieke integratie wordt in sectie 2.3 behandeld. Tijdens de beweging van elektronen doorheen het plasma kunnen de elektronen interacties met het gas ondergaan. Deze interacties worden gemodelleerd door middel van randomgetallen volgens het Monte Carlo Collision algoritme MCC (sectie 2.4). In sectie 2.5 wordt Bohm diffusie besproken. We ronden dit hoofdstuk af met een uiteenzetting over extra opgelegde condities en bepalen de waarde van enkele belangrijke parameters (sectie 2.6). 2.1 Magneetveld Magneetvelden kunnen bepaald worden door het oplossen van de vergelijkingen van Maxwell. Uit deze vier differentiaalvergelijkingen kan op elke plaats en elk tijdstip het magneetveld berekend worden. Het oplossen van deze differentiaalvergelijkingen is echter niet evident. Enkel het magneetveld van een cilindrische magnetron kan eenvoudig beschreven worden omdat deze als een superpositie van gewone staafmagneten kan gezien worden. Het magneetveld van een planaire, cirkelvormige magnetron is moeilijker analytisch te berekenen. In [Murphy95] wordt voor een vlakke 2D axisymmetrische configuratie analytische vergelijkingen afgeleid. [Ravaud09] breidt deze vergelijkingen uit naar drie dimensies. De implementatie van het magneetveld dienen we bijgevolg via benaderende en iteratieve methodes te bepalen. Een gekende techniek is de eindige-elementenmethode FEM (Finite Element Methode) voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen. Ze deelt een oppervlak of volume op in elementen en koppelt deze door middel van knooppunten. De knooppunten bepalen dan een rooster of mesh. In elk element van het rooster wordt het oorspronkelijke probleem gereduceerd tot een oplosbare differentiaalvergelijking. De invloed van de andere elementen wordt via de knooppunten doorgegeven. Voor de gereduceerde differentiaalvergelijking betekent dit dat zijn randvoorwaarden worden vastgelegd. Het probleem oplossen is nu niets anders dan de gereduceerde differentiaalvergelijking in elk knooppunt te integreren. De oplossing in elk punt binnen een element wordt door interpolatie van de knooppunten gegeven. Dit wordt vaak door middel van een kwadratische veeltermfunctie gedaan. [Dhatt12] geeft een algemene introductie tot FEM, [Meunier10] past FEM op elektromagnetische problemen toe. Er zijn meerdere gratis softwarepaketten volgens het FEM principe beschikbaar om magneetvelden te simuleren. Hier worden voornamelijk GetDP ([Gmsh], [GetDP]) en FEMM ([FEMM]) gebruikt. GetDP kan complexe magnetische 3D structuren berekenen maar vergt een arbeidsintensieve implementatie van de magnetische configuratie. FEMM 9

16 is veel gebruiksvriendelijker, maar is beperkt tot 2D zodat enkel axisymmetrische structuren in 3D kunnen berekend worden. De correct- en nauwkeurigheid van de simulatiesofware gaan we na op een pragmatische manier. Eerst wordt een staafmagneet gesimuleerd en dit resultaat wordt vergeleken met de analytische berekening. Vervolgens vergelijken we de GetDP en FEMM met het experiment voor een axisymmetrische vlakke magnetron Staafmagneet z-as (cm) Magnetisch veld B (T) (a) x-as (cm) (b) 0.0 Figuur 2.1: (a) Een staafmagneet met afmetingen W =4 cm, L=4 cm en T =10 cm en magnetizatie M =1.2 T langs de positieve z-as wordt in dit deel als voorbeeld besproken. (b) Simulatie van het magnetische veld van de staafmagneet. Het vlak valt samen met het vlak bepaald door de x- en z-as in de oorsprong. De vergelijking tussen de analytische oplossing en GetDP gebeurt langs de groene lijn. Definiëren we een staafmagneet zoals weergegeven in figuur 2.1, dan wordt de z- component van het magnetische veld B z [Buyle05] gegeven door B z (x, y, z) = M ( ) XY ijk arctan 4π Z, (2.1) X 2 + Y 2 + Z 2 waarin i,j,k=±1 X = x + iw 2, Y = y + jl 2, Z = z + kt 2. (2.2) 10

17 Vergelijken we de analytische oplossing met de GetDP-simulatie langs de groene lijn aangegeven in figuur 2.1, dan blijken deze goed overeen te komen. Dit geldt vooral dicht bij de magneet (figuur 2.2). De toenemende afwijking bij stijgende afstand heeft twee oorzaken. Enerzijds heeft GetDP een opgelegde grens waar het magnetische veld moet verdwijnen. Dit is noodzakelijk opdat in elk element randvoorwaarden opgelegd kunnen worden. Op grote afstand wordt B dus kunstmatig kleiner gemaakt in GetDP. Anderzijds worden de elementen groter genomen wanneer men dichter naar de opgelegde grens gaat. De waarde nabij deze grens is door de gebruiker kunstmatig vastgelegd zodat het zinloos wordt om in dit gebied nauwkeurige berekeningen uit te voeren. De grotere elementen reduceren het aantal knooppunten en dus ook de rekentijd. Ze geven echter wel een stijgende afwijking door de kwadratische benadering binnen een element. Dit wordt in figuur 2.2 mooi weergegeven magnetisch veld B (T) rel. afwijking (%) afstand in z-richting (cm) * GetDP Analytisch afstand in z-richting (cm) Figuur 2.2: Vergelijking van het magnetisch veld langs de z-richting tussen de analytische oplossing en GetDP. De relatieve afwijking van de GetDP-waarden ten opzichte van de analytische uitfdrukking wordt weergegeven Vlakke Magnetron De gesimuleerde vlakke magnetron is weergegeven in figuur 2.3a. De target heeft een diameter van 2 inch en is 3 mm dik. Het is gemonteerd op een koperen houder met een 11

18 dikte van 2 mm. Dit betekent dat het oppervlak van de kathode zich 5 mm boven de magneten bevindt. Deze magneten zijn op figuur 2.3a in het grijs aangeduid. De magneten (NEOFLUX NdFeB GSN-35, Goudsmit) hebben een axiale magnetisatie M =1.22 ±0.05 T. De binnenste knoopmagneet heeft een diameter van 12 mm, terwijl de diameter van de buitenste ringmagneet 34 mm is, en een breedte van 7 mm. De hoogte van de magneten bedraagt 9 mm. Ze zijn gemonteerd op een 11 mm dik weekijzer dat de onderste magnetische veldlijnen insluit en zo de binnenste componenten van de magnetron van het magneetveld B afschermt z r axiale afstand z (cm) Magnetisch veld B (T) radiale afstand r (cm) 0.0 (a) (b) Figuur 2.3: (a) De gesimuleerde vlakke cirkelvormige magnetron. (b) Simulatie van het magneetveld van de magnetron. De vergelijking tussen de meting, GetDP en FEMM gebeurt in de punten langs de twee aangeduide lijnen. Langs de groene lijn is het magneetveld volgens de z-richting geöriënteerd. De rode lijn stelt de punten voor waarin het magneetveld enkel een radiale B z bezit. De magnetrons worden doorgaans in drie types ingedeeld. [Window86] classificeerde ze op basis van de flux van elektronen langsheen de magnetische veldlijnen. Gebalanceerde magnetrons enerzijds worden gekenmerkt door gesloten magnetische veldlijnen die zich tot ver van de kathode uitstrekken. Ongebalanceerde magnetrons (zowel type I als type II) anderzijds hebben open veldlijnen en zijn begrensd boven de kathode. Bij magnetrons wordt het elektronenpad naar de anode verlengd zodat de kans op ionisatie toeneemt. Deze indeling wordt weergegeven in figuur 2.4. Vergelijken we de vorm van het gesimuleerde magneetveld uit figuur 2.3 b, dan blijkt de gesimuleerde magnetron ongebalanceerd te zijn. Het magneetveld van de magnetron werd gemeten met een Bell 640 Incremental Gaussmeter met Hallprobe type FTB Het gemiddelde van vier metingen boven 12

19 ongebalanceerd type I gebalanceerd ongebalanceerd type II Figuur 2.4: Indeling van de magnetrons volgens het magneetveld. 0 magnetisch veld Bz (T) Meting FEMM o GetDP afstand in z-richting (mm) Figuur 2.5: Vergelijking van het axiale magneetveld B z in het centrum van de magnetron volgens GetDP, FEMM en een meting. de symmetrie-as en gesimuleerde waarden GetDP en FEMM worden weergegeven in figuur 2.5. De gemeten waarden van het magneetveld B z komen goed overeen met beide simulaties. De relatieve afwijking van de meetwaarden en FEMM ten opzichte van GetDP nemen bij grote afstand toe. Dit is opnieuw een gevolg van de opgelegde randvoorwaarde bij GetDP. De afwijking ten opzichte van het gesimuleerde FEMM magneetveld heeft 13

20 dezelfde oorzaak. Vermits FEMM slechts 2D is, is het aantal benodigde elementen tot de kunstmatig opgelegde grens kleiner. Hierdoor kan voor dezelfde computationele kost de grens bij FEMM verder gelegd worden. De kunstmatige daling bij FEMM is dus -in tegenstelling tot GetDP- in figuur 2.5 nog niet merkbaar. Omdat de Hallprobe een dikte van 2 mm heeft werd het gemeten veld geïnterpreteerd als de gemiddelde waarde halverwege de probe. Hierdoor zijn de metingen op 1mm boven de magneten of op z= -4 mm gestart. Indien we de Hallprobe een kwartslag draaien, meten we de radiale component B r van het magneetveld. B r werd op vaste hoogte boven de magneten door de probe afgescand. Een maximale B r correspondeert met een parallel magneetveld ten opzichte van de kathode. Deze meetwaarden zijn in figuur 2.6 weergegeven. Door een probebreedte van 6 mm werd de eerste meting op z= -2 mm uitgevoerd. 0 magnetisch veld Br (T) Meting FEMM o GetDP afstand in z-richting (mm) Figuur 2.6: Vergelijking van het radiale magneetveld B r volgens GetDP, FEMM en een meting. Uit figuur 2.6 blijkt ook de radial component van het magneetveld B r nauwkeurig gesimuleerd te kunnen worden door zowel FEMM als GetDP. We hebben aangetoond dat het magneetveld van de vlakke cirkelvormige magnetron door middel van een eindige-elementenmethode correct bepaald kan worden. Door de axiale symmetrie van deze magnetron zal in dit werk FEMM gebruikt worden. 14

21 2.2 Magnetisch veld op een rooster FEMM en GetDP genereren een databestand met de waarde van het magnetische veld op een equidistant rooster. Omdat de elektronen zich op een positie tussen deze roosterpunten kunnen bevinden, introduceren we een interpolatiemethode die het magnetische veld bepaalt door de gewogen som van het veld van de acht omringende roosterpunten te nemen. Deze interpolatiemethode wordt voor de eenvoud in twee dimensies geïllustreerd maar het principe is toepasbaar in drie dimensies. Figuur 2.7: Illustratie van het interpolatieprincipe om het magnetische veld in een wilekeurig punt te bepalen door de omringende roosterpunten een gewichtsfactor toe te kennen. Figuur 2.7 duidt een willekeurige elektronenpositie aan met coördinaten x en y. De contributie van roosterpunt D tot de waarde van het magnetische veld in dit punt wordt geschaald met een gewichtsfactor. Deze wordt gegeven door de oppervlakte van het overstaande vlak 2 te normeren op het totale oppervlak ABCD via (x i+1 x)(y j+1 y) (x i+1 x i )(y j+1 y j ). De totale waarde is de som van de contributie van ieder roosterpunt. In drie dimensies worden de oppervlakken volumes, en dus kunnen we voor het magneteetveld B(x, y, z) in het punt (x,y,z) schrijven B(x, y, z) = 1 l,m,n=0 B(x i+l, y j+m, z k+n ) x i+1 l x y j+1 m y z k+1 n z (x i+1 x i )(y j+1 y j )(z k+1 z k ) (2.3) 15

22 waarbij x i x x i+1, y j y y j+1 en z k z z k Integratie van de bewegingsvergelijking De kracht op een elektron in een elektromagnetisch veld wordt gegeven door de Lorentzkracht. De beweging in het veld kan gevonden worden door de bewegingsvergelijking d 2 x F(x, v) = dt2 m = q (E + v B) (2.4) m met de snelheid v gegeven door dx dt = v op te lossen. Het elektrische veld E heeft enkel een component loodrecht op de kathode volgens de z-as en wordt berekend door E(z) = 2V c (d z) (2.5) d2 voor 0 z d. Het elektrische veld verdwijnt buiten de kathodesheath d. Het potentiaalverloop V in de kathodesheath is, naar analogie met [Buyle05] kwadratisch verondersteld. Ze wordt gegeven door V (z) = V c d 2 (d z)2 (2.6) De wet van Gauss relateert V en E waardoor het elektrische veld een lineaire verloop kent. V c is de aangelegde kathodespanning, welke in de realiteit negatief is, maar doorgaans als een positieve waarde wordt gedefinieerd. Vandaar het minteken in uitdrukking (2.5). Om de differentiaalvergelijking te integreren wordt deze in de tijd gediscretiseerd en opgelost met een numeriek integratie-algoritme. Elk algoritme berekent uit positie r(t) en snelheid v(t), een nieuwe r(t + t) en snelheid v(t + t) na een tijdstap t. Hier worden de Leapfrog methode (LF) en de Runge-Kutta 4 methode (RK4) gebruikt. Beide methodes hebben hun voor- en nadelen en de keuze voor de meest nauwkeurige hangt af van de simulatiecondities. Welke integrator gebruikt wordt, wordt in sectie toegelicht Leapfrog methode Het Leapfrogalgoritme is nauwkeurig tot op tweede orde wat betekent dat de fout oploopt volgens O( t 3 ). Het voornaamste kenmerk van de Leapfrogmethode is zijn tijdsinvariantie. Wanneer na een aantal stappen in de tijd wordt terugekeerd volgens dezelfde stappen komt men op hetzelfde punt in de ruimte terug. Deze eigenschap van het Leapfrogalgoritme heeft een belangrijk gevolg. Het Noether theorema [Capobianco12] stelt dat een invariante grootheid of symmetrie steeds een canonisch toegevoegde grootheid bezit die in de tijd behouden blijft. Een 16

23 tijdsinvariante methode impliceert dus een methode die het behoud van energie respecteert. Door voortdurende uitwisseling tussen kinetische en potentiële energie fluctueert echter de energie, maar de grootte van de fluctuatie blijft bij het Leapfrogalgoritme behouden. In de praktijk vertoont het Leapfrogalgoritme toch een daling in de energie. Dit is te wijten aan afrondingsfouten van de computer zelf. Figuur 2.8 geeft het principe achter het leapfrogalgoritme weer. Figuur 2.8: Het Leapfrogalgoritme waarbij de positie en snelheid op andere tijdstippen berekend worden. De Leapfrogintegratie in één dimensie wordt gegeven door de discrete vergelijkingen x i = x i 1 + v i 1 t 2 (2.7) + a i t (2.8) v i+ 1 2 = v i 1 2 waarbij de positie x i de verkorte notatie is voor x(t i ) en analoog wordt voor de snelheid, v i en de versnelling, a i geschreven. Uit deze vergelijkingen kan de tijdsinvariantie eenvoudig ingezien worden. Herschikking van bovenstaande vergelijkingen levert x i 1 = x i v i 1 t 2 a i t. v i 1 2 = v i+ 1 2 De inverse tijdstap t is niets anders dan teruggaan naar exact de vorige positie en snelheid. Het Leapfrogalgoritme toegepast op bewegingsvergelijking (2.4) levert in drie dimensies v i+ 1 v 2 i 1 2 t x i+1 x i t = q m ( ) E + v i B = v i+ 1 2 (2.9) (2.10) We merken op dat in vergelijking (2.9) het vectorproduct van het magnetische veld B met een tussentijdse snelheid v i berekend wordt. Dit is nodig omdat het Leapfrogalgoritme een tijdsgecentreerde methode is. We kunnen in dit geval hier eenvoudig aan 17

24 voldoen omdat de differentiaalvergelijking (2.4) ontkoppeld kan worden in zijn termen. Inderdaad, het elektrische veld E versnelt een geladen deeltje terwijl het magnetische veld B enkel de bewegingsrichting van het geladen deeltje verandert. De integratieprocedure kan schematisch voorgesteld worden als v i 1 2 halve versnel. E over t 2 v volledige rot. B over t v halve versnel. E over t v i+ 1 2 Deze procedure werd voor het eerst geïntroduceerd in [Boris71] en staat uitgewerkt in [Kolev07]. Het deelt de bepaling van de nieuwe snelheid op in drie delen. De halve versnelling door het elektrische veld E wordt gevonden uit (2.9) v = q t m 2 E + v i 1 2 De uitdrukkingen voor de volledige rotatie door B uit [Kolev07] lezen waarin t = q t 2m B = λb en s = 2t (2.11) v = v + v s, v = v + v t (2.12) = 2λ B = γb 1+t 2 1+λ 2 B 2 Voegen we beide vergelijkingen samen, dan kunnen we dit schrijven als v = v + (v + v t) s = v + v γb + (v λb) γb = v + γ(v B) + λγ [ B(v.B) v (B.B) ] = v + γ(v B) λγb 2 v + λγ(v.b)b = αv + βb + γ(v B) (2.13) waarbij α = 1 λγb 2, β = λγ(v.b) en γ = 2λ gesteld werden. 1+λ 2 B 2 Analoog aan de eerste halve versnelling (2.11) wordt de tweede gegeven door v i+ 1 2 = q m t E + v (2.14) 2 De combinatie van (2.11), (2.13) en (2.14) levert een integratiestap van de snelheid op. Vermits in het Leapfrogalgoritme snelheid en positie op andere tijdstippen bepaald worden, dienen we uit de startsnelheid v 0 een stap terug te zetten (figuur 2.8) met v e orde Runge-Kuttamethode = v 0 q t m 2 (E + v 0 B) (2.15) De 4 e orde Runge-Kuttamethode (RK4) is een integratiemethode waarbij de afrondingsfout per stap grootteorde O( t 5 ) bedraagt. Deze methode is niet tijdsgecentreerd dus wordt de versnelling niet opgedeeld. Hierdoor wordt de versnelling uit (2.4) gegeven door 18

25 a(x, v) = q ( ) E(x) + v B(x) m (2.16) We merken op dat deze versnelling niet tijdsafhankelijk is. Dit is voor een algemeen probleem niet noodzakelijk het geval en dus geven we voor de volledigheid de algemene RK4. In één dimensie wordt dit, vertrekkend van een positie x i, snelheid v i en tijdstip t, x 1 = x i v 1 = v i a 1 = a(x 1, v 1, t) x 2 = x i v 1 t v 2 = v i a 1 t a 2 = a(x 2, v 2, t + t 2 ) (2.17) x 3 = x i v 2 t v 3 = v i a 2 t a 3 = a(x 3, v 3, t + t 2 ) x 4 = x i + v 3 t v 4 = v i + a 3 t a 4 = a(x 3, v 3, t + t). De nieuwe positie x i+1 en snelheid v i+1 na een tijdstap t worden dan gevonden door x i+1 = x i + t ) (v 1 + 2v 2 + 2v 3 + v 4 6 v i+1 = v i + t 6 (2.18) ) (a 1 + 2a 2 + 2a 3 + a 4. (2.19) In tegenstelling tot het Leapfrogalgoritme moeten er vier versnellingen bepaald worden in iedere tijdstap. Dit maakt een simulatie met de RK4 methode computationeel trager. Echter, de fout gaat volgens O( t 4 ) dus kan de tijdstap groter genomen worden. De keuze tussen beide intergratiemethodes hangt af van de aard van het probleem. In sectie wordt meest aangewezen methode bepaald door de nauwkeurigheid en computationele snelheid van beide methodes te vergelijken. 19

26 2.4 Elektron-gasinteracties Naast bewegen in het elektromagnetische veld botsen elektronen ook met het aanwezige gas. Daarom wordt na iedere integratiestap nagegaan of het elektron een interactie heeft ondergaan. We beschrijven hier het Monte Carlo botsingsalgoritme MCC (Monte Carlo Collisions algorithm) dat gebruik maakt van random getallen om interacties tussen elektronen en gassen te modelleren Werkzame Doorsnede In het MCC model wordt de waarschijnlijkheid op een interactie bepaald door zijn werkzame doorsnede σ. Dit is een maat voor de probabiliteit dat een reactie optreedt. Ze bevat dus de kans dat een deeltje botst met een ander deeltje en de kans dat die botsing een bepaald reactieproduct oplevert. We beschouwen hier enkel reacties tussen het ongeladen gas en elektronen, botsingen tussen elektronen en gesputterde atomen worden door de lage dichtheid aan dergelijke atomen in het gas verwaarloosd. Ook botsingen tussen reeds gevormde reactieproducten en andere deeltjes worden om dezelfde reden niet in rekening gebracht. De belangrijkste elektron-gas interacties voor argon en zuurstof worden toegelicht. reactie energieverlies (ev) type referentie (1) e + Ar e + Ar 0.0 ev elastisch [Raju05] (2) e + Ar e + Ar ev excitatie [Raju05] (3) e + Ar 2e + Ar ev M-schil ionisatie [Bretange86] (4) e + Ar 3e + Ar ev dubbele ionisatie [Raju05] (5) e + Ar 2e + Ar ev L-schil ionisatie [Bretange86] Tabel 1: Lijst van de argon-elektronbotsingen, toegevoegd aan het model. Het reactietype, energieverlies door de reactie en de referentie zijn weergegeven. De L-schil ionisatie-energie werd gehaald uit [Cardona78], de dubbele ionisatie-energie uit [Barton25]. Voor argon zijn alle reacties in het energiegebied tot 1000 ev weergegeven in tabel 1. De werkzame doorsnede in functie van de energie worden in figuur 2.9 weergegeven. Bij zuurstof worden niet alle mogelijke reacties in rekening gebracht. Zo kunnen de rotationele en vibrationele excitaties van O 2 verwaarloosd worden omdat het energiegebied waarbij de werkzame doorsnede verschilt van nul hoogstens enkele ev bedraagt [Itikawa89]. Elektronen in dit energiegebied kunnen niet meer ioniseren waardoor deze de eigenschappen van het plasma niet meer beïnvloeden. Ze zorgen louter voor een lichte afkoeling van de elektronentemperatuur. De beschouwde zuurstofreacties zijn in tabel 2 weergegeven. Het verloop van deze reacties in functie van de elektronenenergie worden in figuur 2.10 afgebeeld. Reactie (4) is een collectie van verschillende toestanden met een excitatie-energie tussen 9.7 en 12.0 ev. Er is daarom gekozen om een gemiddelde excitatie-energie van 11.0 ev te nemen. De 20

27 10 18 (1) Werkzame Doorsnede σ (m 2 ) (3) (4) (2) (5) Elektronenergie E (ev ) Figuur 2.9: De werkzame doorsnede van elektron-argonreacties in functie van de energie. Tabel 1 definieert de weergegeven reacties. waarde van de ionisatie-energieën van zuurstof werden gehaald uit [Uppsala02]. De werkzame doorsnede van reactie (7) is een combinatie van de reacties e + O 2 2e + O + + O en e + O 2 3e + O2 2+. Deze beide reacties kunnen experimenteel moeilijk onderscheiden worden omdat de gemeten grootheid m/z in massaspectroscopie voor beide reacties gelijk is. De grootte van σ hangt af van de energie van het elektron en kunnen voor argon en zuurstof gevonden worden in figuren (2.9) en (2.10) Monte Carlo Collision method (MCC) In de MCC methode wordt een elektron afzonderlijk gevolgd tijdens zijn baan doorheen het gas. Hierbij worden de elektronen als deeltjes beschouwd terwijl het gas als een continu medium gezien wordt dat beschreven kan worden door collectieve eigenschappen als gasdichtheid, temperatuur en snelheidsverdeling. Het effect van de elektronen op het gas wordt bepaald door een Boltzmannvergelijking [Kolev07]. Het oplossen van deze 21

28 reactie energieverlies (ev) type referentie (1) e + O 2 e + O ev elastisch [Raju05] (2) e + O 2 e + O2 4.2 ev A+C+c excitatie [Itikawa89] (3) e + O 2 e + O ev B 3 Σ u excitatie [Itikawa89] (4) e + O 2 e + O ev excitatie [Itikawa89] (5) e + O 2 e + O + O 9.97 ev dissociatie [Phelps93] (6) e + O 2 2e + O ev ionisatie [Raju05] (7) e + O 2 4e + O + + O ev diss. ionisatie [Raju05] (8) e + O 2 3e + O ev dubbele ionisatie [Raju05] Tabel 2: Lijst van de zuurstof-elektronbotsingen, toegevoegd aan het model. Het reactietype, energieverlies door de reactie en de referentie zijn weergegeven (1) Werkzame Doorsnede σ (m 2 ) (6) (7) (5) (2) (3) (4) (8) Elektronenergie E (ev) Figuur 2.10: De werkzame doorsnede van elektron-zuurstofreacties in functie van de energie. Tabel 2 definieert de weergegeven reacties. vergelijking levert een uitdrukking voor de probabiliteit P niet dat een elektron niet botst met het gas over een afstand x, namelijk P niet = e x λ. (2.20) 22

29 Hierin stelt λ = 1 nσ(e) de gemiddelde vrije weglengte voor. λ wordt bepaald door de gasdichtheid n en de werkzame doorsnede σ (zie sectie 2.4.1). Wanneer er twee reacties mogelijk zijn, wordt de kans dat een elektron met geen van beide interageert gegeven door P niet = P niet1 P niet2 = e n xσ 1 e n xσ 2 = e n x(σ 1+σ 2 ). Voor p gassen met elk q i reacties wordt dit eenvoudig uitgebreid tot P niet = e x p i qi j n iσ ij De waarschijnlijkheid op een botsing van het elektron is dan P botsing = 1 e x p i De Taylorexpansie voor een exponentiële functie kan voor kleine x lineair benaderd worden door qi j n iσ ij (2.21) e x = 1 + x1 1! + x2 2! + x (2.22) 3! e x = 1 + x1 1! Invullen van(2.22) in uitdrukking (2.21) geeft + O(2). (2.23) P botsing = x p i q i n i σ ij + O(2). (2.24) j Dit is enkel geldig wanneer P botsing klein genoeg is. We staven dit met een korte berekening. Voor een totale gasdruk van 1 Pa bij kamertemperatuur, elektronen die een energie bezitten van 500 ev en bewegen in tijdstappen van t = s (sectie 2.6.4), en met een maximale totale werkzame doorsnede σ = m 2 (figuur 2.9), is P botsing De fout door enkel de eerste orde in beschouwing te nemen bedraagt dan ongeveer 0.02%. Vermits alle variabelen groot genomen werden, is aan de gestelde voorwaarde voldaan. Er bestaan twee methodes in MCC om botsingen met behulp van randomgetallen te simuleren. De eerste methode gaat eerst na of een reactie al dan niet plaatsvond, waarna het gas en reactietype wordt bepaald [Bogaerts96]. Hiervoor wordt een uniform randomgetal RN[0,1] tussen 0 en 1 gegenereerd. Indien RN[0, 1] < P botsing is er een interactie gebeurd. Het gas en het type reactie wordt 23

30 bepaald via de linearisatie (2.24). Hebben we p gassen met elk q i reacties, dan wordt de waarschijnlijkheid op een reactie k van gas l dan gegeven door P l,k = p i n l σ k,l qi j n = ( n lσ ) k,l iσ ij nσ tot (2.25) Een tweede uniform randomgetal RN[0,1] bepaalt, zoals geschetst in figuur 2.11, de aard van de botsing. P 1,1 P 1,2 P 1,3 P p,qj 0 1 Figuur 2.11: Bepaling van het botsingstype zoals beschreven in [Bogaerts96]. Het interval waarin een randomgetal valt, bepaalt het gas en de reactie. De kans P l,k op ieder type wordt gegeven door uitdrukking (2.25). Het voornaamste nadeel aan deze methode is dat er volgens (2.21) moet gesommeerd worden over iedere werkzame doorsnede van ieder gas. Omdat dit na iedere integratiestap moet gebeuren kan dit bij gasmengsels met een groot aantal reacties computationeel zwaar worden. Daarom werd in de simulatie de tweede economischere methode geïmplementeerd. Ze staat gekend als de Methode van Nanbu [Nanbu80]. De waarschijnlijkheid P gegeven door l,k op een botsing met gas l en reactie k wordt via (2.24) P l,k = xn lσ k. (2.26) Dit mag niet verward worden met (2.25) wat enkel bepaalt welke reactie zich heeft voorgedaan als er reeds gebotst is. De totale waarschijnlijkheid op een botsing wordt dan geschreven als p,q p P P botsing = l,k m l,k = P n (2.27) waarbij n loopt over alle reacties q p van ieder gas p tot m, het totaal aantal reacties dat in rekening wordt gebracht. Zo kunnen we schrijven 1 = P botsing + (1 P botsing ) = m n=1 n=1 [ P n + ( 1 m P n ) ] (2.28) wat schematisch is weergegeven in figuur Elke mogelijke reactie is een interval met grootte 1 m waarin telkens de bijbehorende kans op interactie is weergegeven in rood. 24

31 P 1 P 2 P 3 P n P m 1 m 2 m 3 m m n 1 m m n m m 1 m 0 1 Figuur 2.12: Illustratie van Nanbu s MCC algoritme waarbij de som van de rode lijnen P botsing is. P botsing wordt gegeven door (2.27). In tegenstelling tot het eerder beschreven algoritme wordt bij Nanbu s methode eerst een reactie n gekozen door n = integer ( mrn[0, 1] + 1 ). (2.29) Vervolgens wordt bepaald of de reactie effectief plaatsvindt door bij hetzelfde randomgetal na te gaan of RN[0, 1] > n m P n (2.30) geldt. Indien hieraan voldaan is, heeft het elektron volgens reactie n geïnterageerd. We benadrukken nogmaals dat bij deze methode enkel P n uit vergelijking (2.26) berekend dient te worden. Deze computationele winst heeft ook een keerzijde. In beide algoritmes dient de tijdstap t klein genoeg gekozen te worden zodat in de realiteit hoogstens één botsing kan plaatsvinden. Een te grote t geeft in de eerst beschreven methode via (2.21) slechts één reactie terwijl er in werkelijkheid meerdere zouden kunnen plaatsvinden. Maar de verhoudingen van de verschillende reacties blijven wel dezelfde. Ze blijven verdeeld volgens de werkelijke verhoudingen. Bij Nanbu s methode wordt bij een grote tijdstap t de linearisatie in (2.24) niet meer toepasbaar. De toevoeging van hogere orde termen wordt dan noodzakelijk. Tevens zal de totale kans groter worden dan 1 en zal altijd aan uitdrukking (2.30) voldaan worden. Dit betekent dat reacties met een kleine werkzame doorsnede even waarschijnlijk worden om op te treden. De simulatie kan in dat geval een volledig verkeerd resultaat geven. Daarom moet hier P n < 1 m opdat (2.30) zou gelden. Dit geeft de restrictie t max < 1 1 m nσ max v. (2.31) Eerder werd reeds voor t = s, elektronen met 500 ev energie en σ = m 2 gevonden dat P n = Uit P n < 1 m volgt dat we met de gekozen t = s reeds meer dan vijftig reacties kunnen toevoegen. Het moment waarop het MCC uitgevoerd wordt in een stap kan arbitrair gekozen worden. Behalve bij het Leapfrogalgoritme vermits uit sectie bleek dat deze 25

32 tijdsgecentreerd is. Daarom wordt op halve tijdstap op een interactie gecontroleerd. De energie tijdens een verplaatsing van x i naar x i+1 wordt dan gegeven door E = mv 2 i+1/2 /2. Dit kan gezien worden als een soort van gemiddelde snelheid tijdens de verplaatsing Elektronen na een Botsing Alle mogelijke reacties uit tabellen 1 en 2 kunnen in drie categorieën worden ingedeeld. We spreken van een elastische botsing wanneer een interactie enkel de richting van het invallend of primair elektron wijzigt zonder zijn energie te veranderen. Door de kleine massa van de elektronen ten opzichte van gasatomen, is het energieverlies door elastische botsingen gering en kan het verwaarloosd worden t.o.v. het verlies door excitatie en ionisatie (tabellen 1 en 2. Bij Bohm diffusie (sectie 2.5) wordt enkel de richting van het elektron veranderd en niet de grootte van zijn snelheid. Hierdoor kan Bohm diffusie ook als een elastische botsing opgevat worden. Onder excitaties verstaan we alle reacties die de richting alsook de energie van de elektronen verandert. Hieronder vallen ook dissociatieve reacties. Indien een reactie ook één of meerdere elektronen produceert, spreken we van een ionisatie, waaronder nu ook dissociatieve ionisatie valt. De verstrooiingsrichting van het invallend elektron na interactie wordt in het referentiestelsel (x,y,z) gedefinieerd door de angulaire θ en azimuthale φ hoek. Deze kunnen berekend worden m.b.v de verstrooiingshoeken χ en ψ in het lokale stelsel (x,y,z ) en de invalshoeken θ 0 en φ 0 voor interactie. Dit wordt weergeven in figuur De coördinatentransformatie tussen beide stelsels wordt gegeven door sin θ cos φ cos θ 0 cos φ 0 sin φ 0 sin θ 0 cos φ 0 sin χ cos ψ sin θ sin φ = cos θ 0 sin φ 0 cos φ 0 sin θ 0 sin φ 0 sin χ sin ψ cos θ sin θ 0 0 cos θ 0 cos χ θ 0 en φ 0 worden gevonden uit θ 0 = arccos ( ) vz v, φ 0 = arctan ( vy v x ). (2.32) Het lokale stelstel is symmetrisch rond zijn z -as. Hierdoor is de nieuwe azimuthale hoek ψ willekeurig zodat ψ = 2πRN[0, 1]. (2.33) De verstrooiingshoek χ [Okhrimovskyy02] kan bepaald worden uit ( ) 2RN[0, 1] χ = arccos ɛ(1 RN[0, 1]) (2.34) waarin ɛ = E 0 /E h. E 0 is de kinetische energie van het invallende elektron en E h de atomaire energie-eenheid (1 hartree = ev). De interpretatie van (2.34) is eenvoudig. 26

33 Figuur 2.13: Definitie van het lokale referentiestelsel (x,y,z ). De oriëntatie van dit stelsel worden door de invalshoeken θ 0 en φ 0 vastgelegd. De hoeken χ en ψ definiëren de richting van een elektron na verstrooiing aan een gasatoom. Uit [Bogaerts96] Indien E 0 klein is, wordt de noemer bij benadering 1. χ is dan isotroop verdeeld over [0,π]. Bij een hoge E 0 wordt χ klein. Het verstrooide elektron beweegt dan nagenoeg rechtdoor. De richting van het verstrooide elektron is nu bepaald. De snelheid v van het verstrooide elektron wordt gegeven door zijn energie E = m e v 2 /2 na botsing. Voor een elastische botsing geldt Bij een excitatie is E = E 0. (2.35) E = E 0 E exc, (2.36) waarbij E exc de excitatie-energie van de reactie voorstelt. In het geval van een ionisatie heeft het losgeslagen elektron, het ejectiel, ook de kinetische energie E ej. We krijgen dus E = E 0 E ion E ej (2.37) De waarde van E ej is in de literatuur slecht gekend. Het is geweten dat ze afhankelijk is van E 0, van de elektronenschil waaruit geïoniseerd is en van het chemisch element. Voor 27

34 argon geeft [Bretagne86] het berekende verloop E j (E 0 ) voor de M,K en L-schil. [Nanbu00] trekt random uit een energiedistributie voor ejectielen in argon. Deze distributie wordt gevonden uit gemeten werkzame doorsneden. Dit geeft de uitdrukking waarbij E = a 0 + b tan [ RN[0, 1] ( arctan ( a 1 b ) + arctan (a 0 b ) ) arctan ( a 1 ) ] (2.38) b a 0 = E , a 1 = E 0 E ion a 0, b = (2.39) 2 [Musschoot06] stelt dan weer voor om random te trekken uit een gaussische verdeling rond E ej =10 ev, onafhankelijk van E 0. Echter, hierdoor kan men enkel elektronargoninteracties krijgen als E 0 > E ion +10 ev. Dit is niet in overeenstemming met de gegevens uit figuur 2.9. Voor andere elementen dan argon is het verloop van E j (E 0 ) onbekend. Meerdere voorstellen worden in de literatuur gedaan. Zo kan probeert men E j (E 0 ) te relateren aan σ(e) of stelt men E = RN[0, 1](E 0 E ion ) voor. [Tzeng86] vergeleek 4 verschillende modellen en hun effect op de snelheidsverdeling van ejectielen. De variërende snelheidsverdeling blijkt een significante impact te hebben op de reactiecoëfficiënten voor elektron-impactreacties. De keuze voor E j (E 0 ) kan ook een grote invloed hebben op de hoofddoelstelling van deze thesis, namelijk de argon-zuurstof ionenfractie. We verduidelijken dit met een voorbeeld voor argon. Verdelen we de energie random over het primaire elektron en ejectiel, dan is deze verhouding gemiddeld 25%. Het primaire elektron en ejectiel zijn immers equivalent voor het verdere verloop in het plasma. Uit de modellen [Bretagne86] en [Nanbu00] blijkt dit minder dan 10% te bedragen. We hebben in werkelijkheid dus eerder een snel primair elektron en een traag ejectiel. Vermits de ionisatiewaarschijnlijkheid evenredig is met σ(e), zal de ionisatiegraad verschillen. In dit werk is om twee redenen gekozen om uitdrukking (2.38) voor argon op elk gas toe te passen. Enerzijds bedraagt de drukfractie aan zuurstof in de gesimuleerde reactieve Ar/O 2 -plasmas maximaal 20 %, waardoor er voornamelijk argonionen worden gevormd. Anderzijds hebben de werkzame doorsneden van argon en zuurstof een gelijkaardig verloop. Bijgevolg volgt de energiedistributie van ejectielen uit zuurstof mogelijks dezelfde trend als bij argon. De richting van het uitgestuurde ejectiel wordt gevonden door dit te beschouwen als een invallende elektron dat verstrooit met energie E ej. Indien het ejectiel een hoge kinetische energie verkrijgt, zal het door uitdrukking 2.34 eerder volgens de richting van het invallende elektron uitgestuurd worden. Bij een lage kinetische energie wordt de vertrekrichting van het ejectiel isotroop. 28

35 2.5 Bohm Diffusie Bij magnetron sputterdepositie wordt het plasma ondersteund door een magnetisch veld. Het magnetisch veld verhoogt de ionisatiegraad van het plasma en het begrenst de ionisaties tot een gebied rond de target. Hierdoor zullen meer ionen inslaan en sputteren. Experimenten [Bradley01b] en simulaties [Lister96] tonen echter een bijkomend effect van magnetische velden in een plasma aan. Er blijkt een groter elektronentransport in de richting loodrecht op het veld te zijn dan er klassiek gezien verwacht wordt. Deze elektronenbeweging wordt Bohm diffusie genoemd. Deze diffusie is toe te schrijven aan lokale dichtheidsfluctuaties van elektronen n e en ionen n i in het plasma. Die veranderen tijdelijk het elektrische veld waardoor elektronen loodrecht op het magnetische veld zullen diffunderen. In fluid, hybride of PIC/MCC plasmamodellen wordt het elektrische veld E berekent door het oplossen van de wet van Gauss E = q(n i n e ) ɛ 0. (2.40) Deze modellen bevatten reeds Bohm diffusie omdat de elektronenbeweging afhankelijk is van de dichtheid en zijn fluctuaties. In een Monte Carlo simulatie daarentegen, is E een statisch veld dat is vastgelegd door een opgelegde spanning V c en kathodesheath d. Hierdoor dient Bohm diffusie in een MC model expliciet in rekening te worden gebracht. Bohm diffusie verandert enkel de richting van de elektronen zodat de norm van de snelheid en dus de energie behouden blijft. Dit proces kan dus gezien worden als een elastische botsing (zie sectie (2.4.1)) en levert een extra reactie in uitdrukking (2.29). De waarschijnlijkheid P Bohm op Bohm diffusie wordt gekarakteriseerd door de Bohm frequentie f Bohm [Smirnov04] en is evenredig met de gyrofrequentie f g via P Bohm wordt gegeven door f Bohm = K Bohm f g = K Bohm qb 2πm. (2.41) P Bohm = 1 e t f Bohm. (2.42) De factor K Bohm wordt de Bohm parameter genoemd. Zijn exacte waarde is nog niet gekend. [Smirnov04] rapporteert K Bohm Dit is slechts een grootteorde schatting voor een Hall thruster. [Bultinck10] vergeleek een PIC/MCC met een MC simulatie voor een magnetron en vond de beste overeenkomst voor K Bohm =0.05. Deze waarde is echter twijfelachtig vermits de implementatie voor Bohm diffusie in haar MC simulatie ook de parallele snelheidscomponent v verandert en zo behoud van energie schendt. Door gebrek aan betrouwbaardere waarden wordt in de huidige simulatie K Bohm =0.05 verondersteld. 29

36 We leiden nu de correcte uitdrukkingen af voor de snelheidscomponenten na Bohm diffusie. e θ e y v ψ r ψ e r ψ v ψ r e x Figuur 2.14: Coördinatentransformatie van een vector v van een 2D cartesiaanse naar een polair assenstelsel bepaald door de vector r. De snelheid v wordt in de simulatie weergegeven door de componenten (v x, v y, v z ). Vermits het magnetische veld axiaal symmetrisch is en enkel componenten volgens e r en e θ bezit, is het handig om de snelheid in cilindrische coördinaten (v r, v θ, v z ) te beschrijven. De coördinatentransformatie tussen cartesiaanse en cilindrische stelsels, is de transformatie tussen een 2D cartesiaanse en polair assenstelsel waarbij de z-component onveranderd blijft. Figuur (2.14) illustreert deze transformatie. Uit deze figuur volgt ( ) ( ) ( ) ( ) rx ry vx vy ψ r = arccos = arcsin, ψ v = arccos = arcsin. (2.43) r r v v Met behulp van de goniometrische relaties cos ψ = cos(ψ v ψ r ) = cos ψ v cos ψ r + sin ψ v sin ψ r (2.44) sin ψ = sin(ψ v ψ r ) = sin ψ v cos ψ r cos ψ v sin ψ r, wordt v geschreven in polaire coördinaten als met r = v r = v cos ψ = r x v x + r y v y r v θ = v sin ψ = r x v y r y v x r (rx 2 + ry) 2 en v = (vx 2 + vy). 2 De inverse transformatie wordt gevonden uit uitdrukking (2.45): (2.45) v x = r x v r r y v θ r v y = r x v θ + r y v r r (2.46) 30

37 Figuur 2.15 definieert het lokale cilindrische assenstelsel. Zijn componenten (v r, v θ, v z ) e z e θ e z ρ v B e r e x e y Figuur 2.15: Definitie van het lokale cilindrische assenstelsel. De positievector ρ legt de oorsprong vast. Door de axiaalsymmetrie van het magnetische veld ligt B in hetzelfde vlak als ρ. De snelheidsvector v heeft een willekeurige richting. van een willekeurige vector v vinden we m.b.v uitdrukkingen (2.45). Bohm diffusie wijzigt enkel de loodrechte snelheidscomponent ten opzichte van B. Daarom roteren we eerst het (e r, e θ, e z )-stelsel rond de e θ -as over een hoek θ. De grootte van deze hoek wordt gegeven door ( ) Br θ = arccos. (2.47) B Deze rotatie wordt weergeven in figuur 2.16 a. Hieruit halen we de componenten van de snelheid in het geroteerde stelsel. v e B = (v r cos θ + v z sin θ) e B (2.48) v e B = ( v r sin θ + v z cos θ) e B Nu de loodrechte snelheidscomponenten v en v gekend zijn, roteren we deze over een willekeurige hoek φ rond e B φ = 2πRN[0, 1]. (2.49) Deze rotatie is weergegeven in figuur 2.16 b. Ze wordt beschreven door v θ e θ = (v sin φ + v θ cos φ) e θ (2.50) v e B = (v cos φ v θ sin φ) e B 31

38 e B e B v e θ θ e z v v θ e B e r v φ e θ φ v θ e B (a) (b) Figuur 2.16: Coördinatentransformatie van een vector v van een 2D cartesiaanse naar een polair assenstelsel bepaald door de vector r. Door enkel de snelheidscomponenten loodrecht op B te roteren hebben we het effect van Bohm diffusie in rekening gebracht. Met de rotatie rond e θ over een hoek -θ transformeren we terug naar het oorspronkelijke cilindrische (e r, e θ, e z )-stelsel. Dit wordt uitgedrukt door v r e r = (v cos θ v sin θ) e r v z e z = (v sin θ + v cos θ) e r (2.51) v θ e θ = v θ e θ Combineren we alle transformaties, dan worden de nieuwe componenten van de snelheid na Bohm diffusie in het cilindrische stelsel gegeven door v r cos θ 0 sin θ cos θ 0 sin θ v r v θ = cos φ sin φ v θ v z sin θ 0 cos θ 0 sin φ cos φ sin θ 0 cos θ v z Numerieke voorbeelden bevestigen dat bovenstaande transformatie de norm van snelheid onveranderd laat. Ze voldoet bijgevolg aan behoud van energie. 2.6 Condities en Variabelen in de Simulatie De parameters die de simulatie bepalen kunnen ingedeeld worden in twee groepen. Enerzijds zijn er experimentele variabelen zoals de ontladingsspanning V c, het magnetische veld B, gassen en hun partieeldrukken,... Dit zijn variabelen die bij het opstellen van het echte experiment vastgelegd worden. Anderzijds heeft een simulatie ook parameters die eigen 32

39 v Figuur 2.17: Een sferisch coördinatenstelsel is gedefinieerd op de kathode, weergegeven door het oppervlak A. De richting van de vector v wordt bepaald door de azimutale hoek φ en de poolhoek θ. zijn aan het gebruikte model of simulatie. Omdat deze interne variabelen het resultaat van het gesimuleerde experiment sterk kunnen beïnvloeden, moeten ze correct gekozen worden. We bespreken eerst de vertrekcondities van de secundaire elektronen (SE). SE ontstaan door de interactie van de invallende ionen op de kathode. Deze worden doorheen de simulatie gevolgd. De voorwaarden waarbij een SE of elektron door ionisatie niet meer in de simulatie moet gevolgd worden, worden in sectie bepaald. De ideale grootte voor de tijdstap t wordt afgeleid. De implementatie van de kathodesheath d wordt behandeld en als laatste definiëren we een nodige voorwaarde tot een zelf-onderhoudende magnetronontlading Initiële Condities van de Secundaire Elektronen De richting waarin een elektron vanop de kathode vertrekt wordt gegeven door twee hoeken φ en θ (zie figuur 2.17). Wegens de symmetrie van de z-as kan de azimutale hoek φ willekeurig gekozen worden in het interval 0 φ 2π. In een Monte Carlo simulatie wordt deze hoek dan simpelweg gegenereerd door φ = 2πRN[0, 1] (2.52) Experimenten hebben aangetoond dat de angulaire fluxdistributie Lambertiaans is, en evenredig met cos θ [Reimer85]. In deze experimenten werden de secundaire elektronen gedetecteerd met een Scintillator-Photomultiplier (Everhart-Thornley detector) [Everhart60]. Het aantal elektronen dat door de probe passeert wordt hiermee gemeten. De 33

40 (a) (b) Figuur 2.18: In beide figuren is de elektronenflux door twee oppervlakken weergegeven. (a) De angulaire distributie van de elektronen is volgens cos θ verdeeld. (b) De flux aan elektronen is verdeeld volgens een cosinusdistributie. experimenten meten dus de angulaire verdeling van de flux aan secundaire elektronen. Uit deze metingen volgt dat de elektronenflux een cosinusverdeling heeft, ook wel de Knudsen cosinuswet genoemd. De verdeling blijkt ook onafhankelijk te zijn van de elektronenenergie, het kathodemateriaal en de hoek tussen invallende ionen en de kathode. Een verkeerde manier om de poolhoek θ in een MC simulatie te bepalen is door te stellen dat deze verdeeld wordt volgens de cosinuswet. Deze manier impliceert dat de waarschijnlijkheid van een secundair elektron dat uitgestuurd wordt in het interval [θ, θ + dθ], cos θ is. Hierbij wordt vergeten dat de cosinuswet de angulaire distributie van de flux van elektronen doorheen een oppervlak beschrijft en dat de grootte van het oppervlak θ-afhankelijk is. Het verschil wordt geïllustreerd in figuur In termen van de ruimtehoek wordt dit gecompenseerd door de Jacobiaan sin θ voor sferische coördinaten in rekening te brengen. De correcte uitdrukking [Greenwood02] voor θ wordt daarom θ = sin 1 ( RN[0, 1]). (2.53) De startsnelheid van een secundair elektron wordt berekend uit de initiële energie E init wat een typische waarde heeft van 2-6 ev [Buyle05]. Deze energie is klein ten opzichte van het protentiaalverschil dat tussen anode en kathode wordt aangelegd, maar is toch essentieel. Wanneer deze energie nul zou zijn, kunnen elektronen die door botsingen nog geen energie verloren hebben, nooit naar de kathode terugkeren. Numerieke integratoren koelen immers altijd af (sectie 2.6.4). Omdat elektron-targetinteracties zoals recapture de eigenschappen van het plasma significant beïnvloeden [Depla08] is een E init > 0 ev noodzakelijk. In de simulatie wordt E init gaussiaans verdeeld rond een gemiddelde van 4 ev en een standaarddeviatie σ van 1 ev. Dit zorgt er voor dat 2σ of 95 % van de SE een startenergie tussen 2-6 ev verkrijgen. Omwille van de axiaalsymmetrie is de startpositie op de kathode eenvoudig te beschrijven in cilindercoördinaten. De poolhoek φ wordt opnieuw gevonden volgens uitdrukking (2.52). 34

41 y F (r) r i 1 r i f(r) 10 x Figuur 2.19: Bij een uniforme verdeling dient men de random radiale component r te compenseren met de oppervlakte van de ring door r. Bij de radiale distributie van de vertrekkende secundaire elektronenflux op de kathode, dient men rekening te houden met het oppervlak dat iedere radiale afstand beschrijft. Zoals geïllustreerd in figuur 2.19 moet er een gewichtsfactor f(r i ) = r2 i r2 i 1 r 2 max (2.54) aan de radiale component toegekend worden zodat een uniforme distributie wordt bekomen. Startend van een continue distributie f(r) wordt de cumulatieve distributie F (r) gegeven door F (r) = r Voor een discrete f(r) hebben we 0 f(r )dr = r 0 2πr πr 2 max dr = 2 r rmax 2 r dr. (2.55) 0 i i rj+1 2 F (r i ) = f(r j ) = r2 j j=0 j=0 r 2 max (2.56) met r i 1 r r i. De variabele R is dan verdeeld volgens f(r) in het interval [0,1] via R = F 1 (RN[0, 1]), (2.57) waaruit na vermenigvuldiging met r max de radiale component r volgt. Voor de uniforme verdeling wordt dit weergeven in figuur

42 distributie f(r) 100 F (r) y (m) radiale afstand r (m) (a) (b) x (m) Figuur 2.20: (a) De genormeerde distributie f(r) (100 maal vergroot) en de cumulatieve distributie F (r) van de straal r voor een uniforme verdeling van SE vertrekkend van de kathode. (b) De vertrekpositie van 1000 elektronen op de kathode, uniform verdeeld. De vertrekpositie van de SE kan ook uit een gaussiaanse verdeling getrokken worden. Deze verdeling is gebaseerd op een benadering van het erosieprofiel op de target met een gaussiaanse curve. Vermits het erosieprofiel ontstaat door ioneninteracties met de target, zal de ionenflux op de plaatsen met een diepe erosiegroef het grootste zijn. De target-ioninteractie is ook verandwoordelijk voor de emissie van secundaire elektronen, zodat deze emissie een equivalent radiaal verloop als het erosieprofiel kent. Een algemene gaussiaanse kromme wordt gegeven door g(r) = ae (r r 0 ) 2 2σ 2 waarin a en b constanten zijn, r 0 de positie van de piek en σ de standaarddeviatie. Ruwe metingen van de racetrack van een 2 vlakke target levert r mm. De Full Width at Half Maximum FWHM is gerelateerd met σ via + b F W HM = 2 2ln2σ 2.35σ, wat voor deze vlakke magnetron neerkomt op 4.5 mm, zodat de standaarddeviatie σ benaderend 2 mm bedraagt. Stellen we constante b=0, dan kan de laatste onbekende variabele a geëmilineerd worden door over te gaan op de genormeerde distributie f(r): f(r) = g(r) A waarbij gebruik werd gemaakt van de gaussische integraal A = a (r r 0 ) 2 = ae 2σ 2 aσ 2π = 1 σ (r r 0 ) 2 2π e 2σ 2 (2.58) e (r r 0 ) 2 2σ 2 = aσ 2π. 36

43 f(r) is de gekende genormeerde gaussiaanse distributie. f(r) en bijbehorende cumulatieve distributie F (r) zijn weergegeven in figuur distributie F (r) y (m) f(r) radiale afstand r (m) (a) (b) x (m) Figuur 2.21: (a) De genormeerde distributie f(r) en de cumulatieve distributie F (r) van de straal r voor een gaussiaanse verdeling van SE vertrekkend van de kathode. (b) De vertrekpositie van 1000 elektronen op de kathode, gaussiaans verdeeld. We kunnen de vertrekpositie van SE ook op een zelf-consistente manier bepalen. Dit wil zeggen, door gebruik te maken van de resultaten uit de simulatie zelf. Voorheen werd telkens een artificiële distributie f(r) gecreëerd. In het zelf-consistente geval bezitten we een gesimuleerde f(r) waaruit op analoge manier getrokken kan worden. De genormeerde ionisatiedistributie f(r) op de kathode kan in een MC simulatie eenvoudig bepaald worden. De ionen worden verondersteld om vanaf hun creatiepositie loodrecht in te vallen op de kathode want ze worden -in tegenstelling tot elektronen- nauwelijks door het magnetische veld afgebogen. We staven dit aan de hand van een grootteorde berekening. De snelheid v dat een argonion bereikt na een versnelling a over de volledige kathodesheath d is m.b.v. uitdrukkingen (2.4) en (2.5) v = 2da = 2d qm E = 2d q 2V c m d. De Larmor straal van een ion wordt hierdoor r L = mv m qb = 2 q Vc B (2.59) Voor een magnetisch veld B van 0.2 T en kathodespanning V c van 300 V, wordt r L voor argonionen ongeveer 11 cm. Een cirkelsegment met een lengte van een typische kathodesheath (1.5 mm) van een cirkel met straal 11 cm is in goede benadering een 37

44 rechte. Elektronen worden wel door B beïnvloed omdat r L =0.4 mm. Dit is een gevolg van de kleinere massa van een elektron. Normeren we deze radiale ionisatiedistributie met het totaal aantal ionisaties, dan bekomen we de genormeerde ionisatiedistributie f(r) wat de basis is voor het zelf-consistente model. Figuur 2.22 geeft een gesimuleerde zelfconsistente distributie f(r) en bijhorende cumulatieve distributie F (r) weer distributie (a.e.) F (r) f(r) 10 y (m) radiale afstand (m) (a) (b) x (m) Figuur 2.22: (a) De genormeerde ionisatiedistributie f(r) (10 maal vergroot) en de cumulatieve distributie F (r) van de straal r van SE vertrekkend van de kathode op zelf-consistente wijze verkregen. (b) De vertrekpositie van 1000 elektronen op de kathode. Na een vast aantal ionisaties wordt op convergentie gecontroleerd. Een maat voor de convergentie is de totale afwijking γ van de nieuwe f n (r) distributie ten opzichte van de oude f o (r). Deze wordt gegeven door γ = i f o (r i ) f n (r i ) (2.60) Wanneer γ vijf maal achtereen kleiner is dan een vooropgestelde waarde γ c, wordt de distributie als geconvergeerd beschouwd. In dit werk is γ c = gekozen. Dit betekent dat voor een distributie f(r i ) bestaande uit 250 bins, de gemiddelde fout per bin slechts 10 4 bedraagt. De convergentiesnelheid hangt af van de gebruikte startverdeling in de eerste loop. We vergelijken de uniforme en gaussiaanse startverdeling in figuur Enkel de absolute verschillen kleiner dan 1 zijn weergegeven wegens het grote verschil met de startdistributie. Beide distributies volgen een gelijkaardig verloop. Bovendien blijkt dat wanneer er gestart wordt van een uniforme verdeling, convergentie slechts iets later optreedt dan bij de gaussiaanse verdeling. 38

45 convergentie totale afwijking coëfficiënt γ (a.e.) (a.e.) aantal elektronen uniform gaussisch Figuur 2.23: De convergentiesnelheid van de gesimuleerde cumulatieve distributie F (r) in functie van het aantal gesimuleerde secundaire elektronen. F (r) wordt zowel voor een uniforme als een gaussiaanse initiële vertrekdistributie afgebeeld. Als convergentielimiet is γ c = gekozen. Deze grens wordt door de blauwe lijn voorgesteld De elektronen die in het uniforme geval buiten de race track (d.i. centraal of aan de rand van de kathode) vertrekken, ioniseren nauwelijks in dit gebied. Hierdoor zal de distributie f(r) na een uniforme of gaussiaanse vertrekverdeling snel een gelijkaardig verloop vertonen. Dit geeft aan dat de initiële distributie voor de vertrekpositie van de elektronen slechts een geringe impact heeft. In dit werk wordt een geconvergeerde zelf-consistente f(r) gebruikt bij iedere simulatie Eindcondities van de Elektronen De elektronen worden uit de simulatie verwijderd indien: de totale energie lager wordt dan een gekozen drempelwaarde elektronen buiten de gesimuleerde plasmakamer gaan de gesimuleerde tijd voor elektronen te lang wordt We gaan nu na welke grenswaarden we voor bovenstaande eisen dienen te nemen. 39

46 De totale energie van een elektron daalt voortdurend door inelastische botsingen. Eens een elektron buiten de sheath is, bestaat zijn totale energie louter nog uit kinetische energie. Deze energie bepaalt de waarschijnlijkheid op botsingen met het neutrale gas (sectie 2.4.2) op twee vlakken. Enerzijds verkleint de afgelegde weg door de lage snelheid. Anderzijds is de werkzame doorsnede σ(e) afhankelijk van de kinetische energie van de elektronen. Zowel bij een argon- als zuurstofplasma (fig. 2.9, respectievelijk fig. 2.10), worden de werkzame doorsnedes voor ionisaties onder 16 ev klein. Dit betekent dat elektronen met een totale energie lager dan 16 ev nog nauwelijks kunnen ioniseren. Ze zijn wel nog in staat om te exciteren, maar dit is binnen onze doelstelling irrelevant. Elektronen met een energie lager dan 16 ev worden bijgevolg uit de simulatie verwijderd. Een werkelijke vacuümkamer heeft dimensies van de grootteorde meter. Echter, door het magnetische veld is het plasma gelokaliseerd tot slechts enkele centimeters rondom de kathode. De overige ruimte in een vacuümkamer is gevuld met neutraal gas. We kunnen de simulatieruimte dus beperken tot een klein gebied. In deze simulatie werd voor een balkvormige ruimte geopteerd met afmetingen x= y=8 cm en z=4 cm. Om na te gaan of deze ruimte groot genoeg genomen is, bepalen we het aantal elektronen die de rand van de simulatieruimte bereiken. De verhouding van dit aantal tot het aantal gesimuleerde elektronen blijkt voor een gasdruk van 0.4 Pa slechts 0.5% te zijn. Voor ijlere gassen (0.1 Pa) stijgt dit tot 1%. Hieruit volgt dat de simulatieruimte een voldoende grootte heeft. 100 U=300 V aantal elektronen (%) P Ar = 0.4 Pa P Ar = 0.1 Pa P Ar = P O2 = 0.2 Pa t= s d=1.5 mm RC= levensduur elektronen (s) Figuur 2.24: De tijdsdistributie van elektronen in de simulatie. De simulatie werd uitgevoerd bij verschillende gasconfiguraties en bij de vermeldde condities. 40

47 Figuur 2.24 geeft de tijdsdistributie van de elektronen weer. Het drukt het relatieve aantal elektronen uit waarvoor de levensduur in de simulatie langer is dan de gegeven tijd. Zoals verwacht bevinden elektronen in ijlere gassen zich langer in het plasma. Voorts wordt ook weergegeven dat zuurstof de elektronen sneller afkoelt. Dit is een effect van grotere σ(e) in het lagere energiegebied. We merken ook op dat ongeveer 55 % van de elektronen in de simulatie maar gevolgd worden. Dit komt omdat een deel van de ionisaties buiten of aan de rand van de sheath plaatsvinden. Deze ejectielen ontstaan in een gebied met kleine of verdwijnende potentiaal. De energiestijging van deze ejectielen zal beperkt blijven waardoor deze onmiddellijk aan de eerste voorwaarde (d.i. E 16 ev) voldoen. Figuur 2.24 geeft een indicatie van het aantal simulatiestappen die voor een bepaalde tijdstap t nodig zijn. Nagenoeg geen elektronen bevinden zich langer dan 10 6 s in de simulatie. Voor de gebruikte t= s betekent dit dat er maximaal stappen nodig zijn. Elektronen die zich toch langer in de simulatie bevinden worden uit de simulatie verwijderd. Deze voorwaarde fungeert enkel als beveiliging voor elektronen die zich om een bepaalde reden te lang in de simulatie zouden bevinden Recapture In een magnetronontlading worden ten gevolge van target-ioneninteracties secundaire elektronen geëmitteerd. De beweging van deze uitgestuurde elektronen in het plasma wordt mede door het aangelegde magneetveld bepaald. Ze volgen met een spiralerende beweging de magnetische veldlijnen. In sectie werd aangetoond dat de gebruikte magnetron ongebalanceerd is. Dit betekent dat de meeste veldlijnen op de kathode gesloten zijn. De elektronen die geen interactie ondergaan komen bijgevolg terug op de target terecht. Indien de secundaire elektronen initiële energie E init = 0 ev zouden bezitten, bereiken deze enkel het oppervlak van de target, maar hebben geen energie om met de target te interageren. De werkelijke initiële energie E init van de uitgestuurde SE ligt echter rond 4 ev. Hierbij is een interactie tussen elektronen en de target mogelijk zodat de mogelijkheid bestaat dat de elektronen door de target worden ingevangen [Thornton78]. Deze elektroneninvangst door de target wordt recapture genoemd. Recapture wordt gekarakteriseerd door de reflectiecoëfficiënt RC. Dit geeft de waarschijnlijkheid weer dat er geen recapture optreedt maar dat het elektron gereflecteerd wordt aan de target. Wanneer een elektron zich in de target bevindt wordt op recapture gecontroleerd. Indien aan RN[0, 1] > RC (2.61) wordt voldaan, treedt er recapture op. Het elektron verdwijnt dan uit de simulatie. Wanneer niet aan uitdrukking (2.61) is voldaan, wordt het elektron gereflecteerd. Definiëren we de normaal van het target als de z-as, dan is reflectie niets anders dan het teken van de snelheidscomponent langs deze as v z veranderen. 41

48 z z i 1, v z,i 1 z i+1, v z,i+1 z z i, z i 1vz,i 1/2,v z,i 1/2 z 0 z i, t i 1 t i t i+1 t z 0 z i t i 1 t i t i+1 t (a) (b) Figuur 2.25: De illustratie van het reflectie-algoritme voor elektronen aan de target. (a) Het algoritme voor de Runge Kutta-integrator. (b) Het algoritme voor de Leapfrogintegrator. De z-as is in de richting van de normaal op de target geöriënteerd. De target bevindt zich op hoogte z 0. De groene lijnen symboliseren de stappen in het reflectie-algoritme. Bij de 4 e orde Runge-Kutta methode is dit evident. Vermits de snelheid en positie op gelijk tijdstippen gekend zijn, wordt reflectie in rekening gebracht door v z,i+1 = v z,i 1, (2.62) waarna de nieuwe positie boven het target gegeven wordt door Dit wordt in figuur 2.25a geïllustreerd. x i+1 = x i + v i+1 t. (2.63) In het geval van de Leapfrogintegrator kan de bovenstaande uitdrukking niet gebruikt worden. Wanneer een elektron in de target zit op positie z i, is de kinetische energie voor de snelheid v i 1/2 te groot. Het elektron moet immers nog in een tijd t/2 afgeremd worden. Wijzigen we wel het teken van deze snelheid volgens (2.62), dan remt het niet meer af en neemt de kinetische energie weer toe. De totale energie van het elektron is dan gestegen. Om het behoud van energie voor de Leapfrogintegrator te respecteren introduceren we het algoritme zoals voorgesteld in figuur 2.25 b. Zoals aangetoond in sectie kan naar de vorige positie teruggekeert worden door Voeren we nu de reflectie uit via dan wordt de nieuwe positie gegeven door x i 1 = x i v i 1/2 t. (2.64) v z,i 1/2 = v z,i 1/2, (2.65) x i = x i 1 + v i 1/2 t. (2.66) 42

49 Merk op dat we hierbij nog steeds aan het tijdsgecentreerde Leapfrogalgoritme voldoen. Vermits we enkel de richting van v z wijzigen zal hier ook aan het behoud van energie voldaan zijn Tijdstap t Een zo groot mogelijke tijdstap t is gewenst want het reduceert de simulatietijd. Echter, een kleine tijdstap t maakt het resultaat nauwkeuriger. De maximale t is een compromis tussen beide en deze ideale tijdstap moet aan verschillende voorwaarde voldoen. Een eerste voorwaarde voor t wordt gegeven door de gyrofrequentie f g van elektronen (uitdrukking (2.41)). Voor een accurate beschrijving moet f g t 1. Inderdaad, in afwezigheid van een elektrisch veld bewegen elektronen op cirkelbanen rond het magnetische veld B. Indien f g t = 0.1 benaderen we deze cirkel door een tienhoek. Dit is voldoende vermits een tienhoek slechts 2% kleiner is in omtrek. Nemen we als maximaal magnetisch veldsterkte 1000 gauss, dan bekomen we dat t s. Ook de nauwkeurigheid van numerieke integratoren (sectie 2.3) wordt door t bepaald. Als maatstaaf voor een goede integrator stellen we dat de daling in totale energie de recapture van elektronen niet mag verhinderen. Eerder werd gemotiveerd dat de initiële energie E init van SE gemodelleerd wordt door random uit een gaussiaanse verdeling te trekken. Deze gaussische distributie heeft een gemiddelde waarde van 4 ev en een spreiding σ van 1 ev. Dit betekent dat 3σ of 99.7 % van de elektronen een initiële energie E init > 1 ev bezitten. Figuur 2.26 geeft de energiedaling in functie van de gesimuleerde tijd weer. Bij RK4 is de fout per tijdstap O( t 5 ) kleiner dan de fout O( t 3 ) bij LF. RK4 voldoet echter niet aan behoud van energie zodat een continue energiedaling volgens O( t 4 ) optreedt. De Leapfrogintegrator voldoet wel aan behoud van energie. De totale energie oscilleert tussen een vast minimum met grootte volgens O( t 2 ) en de beginenergie. Als afwijking voor de Leapfrogintegrator nemen we de minimale energie tijdens de energie-oscillatie. Uit figuur 2.26 blijkt dat voor een simulatie met de Leapfrogintegrator t s. Terwijl we voor de 4 e orde Runge-Kuttamethode een tijdstap t s mogen nemen. Dit is bijna tien maal groter. Wanneer we echter de simulatietijd tussen beide integratoren voor dezelfde simulatie vergelijken dan is de Leapfrogmethode 60 % sneller. In de RK4 methode moeten er immers vier evaluaties van de versnelling gebeuren en tegenstelling tot één bij de Leapfrogmethode. Dit weegt evenwel niet op tegen het verschil in tijdstap zodat in dit werk gebruik gemaakt wordt van de 4 e orde Runge-Kuttamethode waarvoor t s. De laatste restrictie wordt door het MCC algoritme opgelegd. Vermits in iedere tijdstap slechts één botsing mag optreden moet uitdrukking 2.31 gelden. In sectie werd afgeleid dat een tijdstap t s hier nog aan voldoet. De tijdstap wordt bijgevolg finaal door het magnetische veld bepaald, waardoor we in de simulatie t = s nemen. 43

50 304 totale energie Etot (ev) t RK s s s s 301 t LF s gesimuleerde tijd (s) Figuur 2.26: Numerieke fout op de 4 e orde Runge-Kutta RK4 integratiemethode en het Leapfrogalgoritme LF. De totale energie van één elektron wordt weergegeven. De simulatie werd uitgevoerd zonder gas en met de condities, RC=1.0, V c = 300 V en d= 1.5 mm. De startenergie van de elektronen in deze figuur bedraagt E init = 4 ev Kathodesheath d Aan de randen van het plasma wordt een sheath gevormd. Het is de laag die het potentiaalverschil tussen het plasma en de vacuümkamer overbrugt. De vacuümkamer fungeert als anode en massa. Dit potentiaalverschil is eerder klein ( 10 V). Het potentiaalverschil over de kathode is typisch V, waardoor deze sheath, de kathodesheath de belangrijkste is. Ze is verantwoordelijk voor de versnelling van SE in het plasma, en is daarom cruciaal voor het onderhouden van de ontlading. De kathodesheath is een gebied met een sterk variërende ladingsdichtheid welke de vorm en dikte d ervan bepalen. Zoals eerder vermeld is het Monte Carlo model niet in staat om de ionendichtheid n i en elektronendichtheid n e te bepalen waardoor de sheath op voorhand moet worden gedefinieerd. De eenvoudigste manier on d te bepalen wordt gegeven door de Child- Langmuir (CL) vergelijking [Child11]. Ze relateert de dikte van de sheath d CL aan de aangelegde spanning V, de stroomdichtheid j en de massa M van gasdeeltjes via d CL = 4ɛ 0 9 ( ) 2e 3/4 V 3/2. (2.67) M j De CL wet is afgeleid voor diode-ontladingen, niet voor een magnetron. In aanwezigheid 44

51 van een magneetveld B blijkt de sheathdikte d GL [LanGu88] zich te gedragen volgens d GL V 7/8 I 1/2. (2.68) B1/4 Ook het concept van de kathodesheath blijkt bij Child-Langmuir te eenvoudig te zijn. De sheath kan namelijk opgedeeld worden in een ionensheath, een Debyesheath en een presheath [Kono04]. Uit vergelijkingen (2.67) en (2.68) blijkt tevens dat de dikte van de sheath afhankelijk is van de stroomdichtheid j of stroom I. j is echter niet constant op de kathode. De distributie van invallende ionen f(r) blijkt eerder een gaussisch verloop te hebben (zie sectie 2.6.1). Het stroomprofiel en dus de vorm van de sheath zal bijgevolg niet uniform, maar eerder gaussisch zijn. De correcte waarde of het juiste verloop van de dikte d is dus onbekend. We kiezen daarom voor de meest eenvoudige vorm en simuleren in wat volgt met een uniforme sheath. In hoofdstuk 3 bekijken we het effect van de sheath door de dikte te variëren Bestaansvoorwaarde voor een Magnetronontlading Plasmas worden voornamelijk in stand gehouden door de emissie van secundaire elektronen SE uit de kathode. Deze SE worden versneld over de sheath en induceren een cascade aan ionisaties. De grootheid N i geeft het gemiddelde aantal ionisaties per uitgestuurd SE. Niet iedere ionen-targetinteractie emitteerd een SE. Het gemiddelde aantal uitgestuurde SE per invallend ion wordt gekarakteriseerd door de ionengeïnduceerde secundaire elektronen emissie-opbrengst ISEE γ. γ is een parameter van het targetmateriaal en hangt tevens van het soort ionen af. Voor hoog-energetische ionen (orde 10 3 ev en meer) [Phelps99] wordt γ afhankelijk van de ionenenergie. Echter, voor de gebruikte spanningen in dit werk kunnen we γ voor een gegeven targetmateriaal en gas als constant beschouwen. De onderhoudsvoorwaarde waaraan een magnetronontlading moet voldoen is γn ion 1 (2.69) Dit betekent niets anders dan dat een SE meer moet ioniseren dan het aantal ionen die er nodig zijn om een volgend SE te kunnen uitsturen. Elke realistische simulatie moet dus aan uitdrukking (2.69) voldoen. Bovenstaande relatie impliceert nog extra restricties. Kiezen we een targetmateriaal met een zekere γ, dan heeft deze voor elk gas met een bepaalde druk, een vaste I-V karakteristiek gegeven door I = kv n. Dit wil zeggen dat met elk targetmateriaal en plasma met vaste condities (gas, P en I) slechts één spanning correspondeert. [Depla09] 45

52 bepaalde de één-één relatie tussen γ en die spanning voor een argonplasma bij dezelfde magnetron als de gesimuleerde met P =0.4 Pa en I=0.4 A. Dit geeft de relatie 1 V = ( γ) 10 3 (2.70) Volgens vergelijking (2.70) legt γ de spanning in een magnetronontlading vast. Het argonplasma in een MC simulatie met bovenstaande condities kan enkel bestaan indien de aangelegde spanning minimaal N i ionen genereerd. Het minimale verreiste aantal ionisaties N i is bepaald door uitdrukking (2.69). 46

53 3 Resultaten In dit hoofdstuk wordt het Monte Carlo MC model uit hoofdstuk 2 toegepast op een zuiver argonplasma en een argon-zuurstofplasma. We bestuderen met dit model het absolute en relatieve aantal aan gevormde reactieproducten, alsook hun radiale en axiale distributies. De effecten van enkele parameters zoals de sheathdikte d, de spanning V, de reflectiecoëfficiënt RC, de gasdruk P en het magneetveld B op deze resultaten worden besproken. 3.1 Precisie van de Monte Carlo Simulatie Vermits een Monte Carlo simulatie gebruik maakt van randomgetallen, zijn de bekomen resultaten niet-reproduceerbaar. Bij niet-reproduceerbare simulaties of experimenten moet een onderscheid gemaakt worden tussen precisie en nauwkeurigheid. Wanneer hetzelfde experiment of simulatie meermaals herhaald wordt, kunnen de resultaten van elkaar verschillen. De oorzaak is een statistische fluctatie die inherent is aan niet-reproduceerbare metingen. Metingen zijn immers slechts een steekproef met het doel om de werkelijke distributie te bepalen. Precisie is een maat voor hoe dicht het gemiddelde van een steekproef x bij zijn verwachtingswaarde µ ligt. Nauwkeurigheid daarentegen beschrijft hoe correct µ ten opzichte van de realiteit is. Figuur 3.1 illustreert het verschil. steekproef gemiddelde x verwachtings. µ reële waarde (a) (b) Figuur 3.1: Het verschil tussen precisie en nauwkeurigheid. (a) een hoge nauwkeurigheid maar een lage precisie. Dit betekent dat de verwachtingswaarde µ dichtbij de werkelijke waarde ligt. (b) een lage nauwkeurigheid maar een hoge precisie. Het gemiddelde uit de steekproef x benadert de verwachtingswaarde µ, maar de verwachtingswaarde ligt ver van de reële waarde. De nauwkeurigheid van de Monte Carlo simulatie ten opzichte van de werkelijkheid wordt bepaald door de opbouw van het model. Eens het model geïmplementeerd is, ligt de nauwkeurigheid vast. De precisie daarentegen kunnen we controleren en verhogen. Ze 47