Moleculaire Dynamica en Monte Carlo Simulaties Case Study 17 Solid-Liquid Equilibrium of Hard Spheres. Joost van Bruggen juli 2004

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Moleculaire Dynamica en Monte Carlo Simulaties Case Study 17 Solid-Liquid Equilibrium of Hard Spheres. Joost van Bruggen 0123226 6 juli 2004"

Transcriptie

1 Moleculaire Dynamica en Monte Carlo Simulaties Case Study 17 Solid-Liquid Equilibrium of Hard Spheres Joost van Bruggen juli

2 Inhoudsopgave 1 Thermaliseren 2 2 Waarde van λ max 2 3 Integreren 2 4 het Berekenen 4 Samenvatting In dit verslag worden de resultaten van het werken aan Case Study 17 uit het boek van Frenkel en Smit [2] besproken. Er wordt tijdens de simulaties gebruik gemaakt van een fcc rooster met daarop verschillende aantallen deeltjes. De thermalisatietijd bedraagt 1000 Monte Carlo stappen. De waarde van λ max is 2000, c heeft de waarde 70 en de parameter ndispl heeft steeds de waarde Voor het berekenen van de integraal wordt gebruik gemaakt van een 10 punts Gaussische kwadratuur in combinatie met een coordinatentransformatie. Bovendien wordt een extrapolatie gemaakt naar oneindige systeem grootte, omdat de verkregen antwoorden van de grootte af blijken te hangen en we op zoek zijn naar een waarde voor macroscopische systemen. 1 Thermaliseren Om te kijken hoe lang de thermalisatietijden dienen te zijn, werd voor verschillende aantallen thermalisatiestappen gekeken hoe de uitkomst afhangt van die aantallen. Door steeds de thermalisatietijden te verhogen en te kijken naar de waarde van de gemiddelde kwadratische verplaatsing, werd gezocht naar een limiet waarde. Het verschil tussen de waarde van de gemiddelde kwadratische verplaatsing tussen opeenvolgende geprobeerde waarden voor de thermalisatietijd, werd steeds kleiner. Er is op deze manier gekozen voor een thermalisatietijd van 1000 Monte Carlo stappen. Dit lijkt een goede afweging tussen snelheid en nauwkeurigheid te zijn. 2 Waarde van λ max De waarde van λ max is op advies van het boek gekozen op In figuur 1 is te zien dat de met simulaties verkregen curve (zie notebooks op [1] voor details) zeker voor λ > λ max = 2000 voldoet aan de analytische oplossing van een Einstein solid. Hiermee kunnen we dus concluderen dat de gebruikte λ max goed gekozen is. 3 Integreren Om de resultaten uit de simulatie te verwerken, is, wederom op aanraden van Frenkel en Smit [2], gekozen voor een 10 punts Gaussische kwa- 2

3 0.014 r 2 rood : simulatie, groen : Einstein solid Λ Figuur 1: Vergelijking van de met simulaties verkregen curve met de voor het Einstein solid bekende analytische oplossing dratuur methode. Eveneens is de voorgestelde coordinatentransformatie toegepast. de coordinatentransformatie en Gaussische kwadratuur De voorgestelde coordinatentransformatie dient er voor om de functie gladder te laten verlopen zodat de kwadratuur methode een nauwkeuriger antwoord oplevert. Deze methode is namelijk geschikt om functies te integreren die benaderd kunnen worden door polynomen van graad tot 2 p met p het aantal evaluatiepunten in de Gaussische kwadratuur. Volgens de kwadratuur methode geldt: b a f(x)dx = N w i f(x i ), met N het aantal evaluatiepunten en f een willekeurige functie die, wil men een nauwkeurig antwoord krijgen, goed benaderd kan worden door een polynoom van graad maximaal 2N. i waarde van c In de coordinatentransformatie komt een parameter c voor die in de uitgevoerde experimenten steeds de waarde 70 had. 3

4 4 het Berekenen In deze sectie wordt stap voor stap het gevolgde traject tot het eindantwoord beschreven. Na het vaststellen van waarden voor alle parameters (zoals λ max en c), is er voor systemen van verschillende grootte gesimuleerd. Zie tabel 1 voor de gebruikte waarden. Dit simuleren is gedaan door de bij elke systeem grootte voor 10 verschillende waarden van λ te runnen. Die 10 waarden van λ zijn verkregen door gebruik te maken van Mathematica s GaussianQuadratureWeights, die ook meteen de gewichten w i uit de hierboven genoemde som oplevert. Zie voor de details weer de notebooks op [1]. Hierna is de som uitgerekend alsmede de fout (in het kwadraat) door kwadratische optelling van de uit de simulatie verkregen fouten. Als laatste zijn de door Frenkel en Smit [2] voorgestelde correcties toegepast. De verkregen resultaten zijn te vinden in tabel 1. systeem grootte (βf ex + Ln(N))/N fout 3*3*6 = *6*6 = *6*6 = *6*12 = *9*6 = Tabel 1: Resultaten van simulaties Omdat de te berekenen excess free energy enigszins afhangt van de grootte van het systeem, zoals blijkt uit de waarden in tabel 1, is een extrapolatie gemaakt naar oneindig grote systemen. De hiermee verkregen waarde voor de excess free energy bedraagt: 5.899(2). 4

5 Referenties [1] [2] Daan Frenkel en Berend Smit, Understanding Molecular Simulation, Academic Press (2002) 5

Case Simulink EE4- Building a SSV - Team PM1 21 maart 2014

Case Simulink EE4- Building a SSV - Team PM1 21 maart 2014 Case Simulink EE4- Building a SSV - Team PM1 21 maart 2014 Inhoudsopgave Inhoudsopgave... 1 Figurenlijst... 1 Inleiding... 2 Gedrag van het zonnepaneel gekoppeld aan een weerstand... 2 Gedrag van de DC-motor

Nadere informatie

Sterrenkunde Praktikum 1 Fouten en fitten

Sterrenkunde Praktikum 1 Fouten en fitten Sterrenkunde Praktikum 1 Fouten en fitten Paul van der Werf 12 februari 2008 1 Inleiding In de sterrenkunde werken we vaak met zwakke signalen, of met grote hoeveelheden metingen van verschillende nauwkeurigheid.

Nadere informatie

5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2

5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2 Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) = a b 5.1 Herleiden [1] Voorbeeld 1: (a + 5)(a 6) (a + 5)(-a + 7) = a 6a + 5a 30 ( a + 14a 5a + 35) = a 6a + 5a 30

Nadere informatie

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2 1 INLEIDING 1 Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 2 Volg stap voor stap de tekst en los de vragen op. Bedoeling is dat je op het einde van de rit een verzorgd verslag afgeeft

Nadere informatie

Bewegingen en Trillingen. Nokkenmechanisme: deel B

Bewegingen en Trillingen. Nokkenmechanisme: deel B Katholieke Universiteit Leuven Faculteit Ingenieurswetenschappen Departement Werktuigkunde Bewegingen en Trillingen Nokkenmechanisme: deel B Groepsnummer 35 Jan-Pieter Jacobs Christophe Mestdag 1 Inhoudsopgave

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

college 6: limieten en l Hôpital

college 6: limieten en l Hôpital 126 college 6: ieten en l Hôpital In dit college herhalen we enkele belangrijke definities van ieten, en geven we belangrijke technieken om ieten van functies (eigenlijk en oneigenlijk) te bepalen. In

Nadere informatie

Training integreren WISNET-HBO. update aug 2013

Training integreren WISNET-HBO. update aug 2013 Training integreren WISNET-HBO update aug 2013 Primitiveren De primitieve bepalen betekent in feite de functie bepalen waarvoor geldt dat Anders geschreven: Links en rechts maal dx: df = f dx De betekenis

Nadere informatie

Opgaven bij Numerieke Wiskunde I

Opgaven bij Numerieke Wiskunde I Opgaven bij Numerieke Wiskunde I 7 november 8 1. (a) Gegeven verschillende interpolatiepunten x, x 1, x [a, b], en getallen y, y 1, y, z 1, toon aan dat er hooguit 1 polynoom p P 3 is met p(x i ) = y i,

Nadere informatie

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 3

Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 3 1 INLEIDING 1 Monte-Carlo simulatie voor financiële optieprijzen Studiepunten : 3 Volg stap voor stap de tekst en los de vragen op. Bedoeling is dat je op het einde van de rit een verzorgd verslag afgeeft

Nadere informatie

Riemannsommen en integralen

Riemannsommen en integralen Riemannsommen en integralen MET DE TI-NSPIRE Vervangt een deel van 0. uit VWO B deel gghm EEBII 0-0 Inhoud Oppervlakte onder de grafiek... Ondersom... 4 Bovensom... 4 Middensom... 4 Riemannsom... 5 Riemannsom

Nadere informatie

Griepepidemie. Modelleren B. Javiér Sijen. Janine Sinke

Griepepidemie. Modelleren B. Javiér Sijen. Janine Sinke Javiér Sijen Janine Sinke Griepepidemie Modelleren B Om de uitbraak van een epidemie te voorspellen, wordt de verspreiding van een griepvirus gemodelleerd. Hierbij wordt zowel een detailbenadering als

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10)

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Tentamen OGO Fysisch Experimenteren voor minor AP (3MN10) en Tentamen Inleiding Experimentele Fysica voor Combi s (3NA10) d.d. 31 oktober 2011 van 9:00 12:00 uur Vul de

Nadere informatie

Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C November uur

Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C November uur Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C030 11 November 2008-14.00-17.00 uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina's. Op pagina 3 staat voor iedere opgave het

Nadere informatie

HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN

HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN HOOFDSTUK I - INLEIDENDE BEGRIPPEN 1.2 Kansveranderlijken en verdelingen 1 Veranderlijken Beschouw een toevallig experiment met uitkomstenverzameling V (eindig of oneindig), de verzameling van alle gebeurtenissen

Nadere informatie

Verwachtingswaarde, Variantie en Standaarddeviatie

Verwachtingswaarde, Variantie en Standaarddeviatie Verwachtingswaarde, Variantie en Standaarddeviatie Wisnet-hbo Verwachtingswaarde update maart 200 De verwachtingswaarde van een kansvariabele is een soort gemiddelde waarde. Deze wordt aangeduid met E(k)

Nadere informatie

Meten en experimenteren

Meten en experimenteren Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 5 oktober 007 Catherine De Clercq Statistische verwerking van gegevens Kursus statistiek voor fysici door Jorgen D Hondt

Nadere informatie

Dusty Plasma : Vorming van C-nanoclusters

Dusty Plasma : Vorming van C-nanoclusters Dusty Plasma : Vorming van C-nanoclusters Sammy De Souter Abstract Een MD simulatie werd uitgevoerd om te onderzoeken hoe nanoclusters gevormd worden in een acetyleen plasma en hoe dit varieert in functie

Nadere informatie

Principe Maken van een Monte Carlo data-set populatie-parameters en standaarddeviaties standaarddeviatie van de bepaling statistische verdeling

Principe Maken van een Monte Carlo data-set populatie-parameters en standaarddeviaties standaarddeviatie van de bepaling statistische verdeling Monte Carlo simulatie In MW\Pharm versie 3.30 is een Monte Carlo simulatie-module toegevoegd. Met behulp van deze Monte Carlo procedure kan onder meer de betrouwbaarheid van de berekeningen van KinPop

Nadere informatie

OPPERVLAKTEBEREKENING MET DE TI83

OPPERVLAKTEBEREKENING MET DE TI83 WERKBLAD OPPERVLAKTEBEREKENING MET DE TI83 Gevraagd de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de X as 3 grafiek f : x x 4x + x + x = en x = Oplossing Vermits we hier te doen hebben met een willekeurige

Nadere informatie

De verstrooide professor

De verstrooide professor Inleiding De verstrooide professor Edward Omey HU - Stormstraat 2 000 russel edward.omey@hubrussel.be In hun nota bestuderen Guido Herweyers en Ronald Rouseau (G. Herweyers en R. Rousseau, Een onverwacht

Nadere informatie

Experiment DutchBE (Belgium) Dansende korrels - Een model voor fase-overgangen en instabiliteiten

Experiment DutchBE (Belgium) Dansende korrels - Een model voor fase-overgangen en instabiliteiten Q2-1 Dansende korrels - Een model voor fase-overgangen en instabiliteiten (10 punten) Lees de algemene instructies in de aparte enveloppe voor je met het experiment begint. Introductie Fase-overgangen

Nadere informatie

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2.

De parabool en de cirkel raken elkaar in de oorsprong; bepaal ook de coördinaten van de overige snijpunten A 1 en A 2. BURGERLIJK INGENIEUR-ARCHITECT - 5 SEPTEMBER 2002 BLZ 1/10 1. We beschouwen de cirkel met vergelijking x 2 + y 2 2ry = 0 en de parabool met vergelijking y = ax 2. Hierbij zijn r en a parameters waarvoor

Nadere informatie

Meting zonnepaneel. Voorbeeld berekening diodefactor: ( ) Als voorbeeld wordt deze formule uitgewerkt bij een spanning van 7 V en 0,76 A:

Meting zonnepaneel. Voorbeeld berekening diodefactor: ( ) Als voorbeeld wordt deze formule uitgewerkt bij een spanning van 7 V en 0,76 A: Meting zonnepaneel Om de beste overbrengingsverhouding te berekenen, moet de diodefactor van het zonnepaneel gekend zijn. Deze wordt bepaald door het zonnepaneel te schakelen aan een weerstand. Een multimeter

Nadere informatie

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde

Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde Korte handleiding Maple, bestemd voor gebruik bij de cursus Wiskunde voor B. 1 Eenvoudige operaties en functies. 1. De bewerkingen optellen aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen worden

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2005-I

Eindexamen wiskunde A1-2 vwo 2005-I Eindexamen wiskunde A- vwo 005-I 4 Beoordelingsmodel Meer neerslag de opmerking dat de gemiddelde jaarlijkse neerslag in beide plaatsen gelijk is De standaardafwijking in Winterswijk is groter (en dus

Nadere informatie

Dynamica van de logistische afbeelding. chaos 08-09

Dynamica van de logistische afbeelding. chaos 08-09 Dynamica van de logistische afbeelding. chaos 08-09 Daniël Wedema January 12, 2009 1 inleiding In 1976 publiceerde May een artikel waarin hij liet zien dat hele simpele nietlineaire dynamische systemen

Nadere informatie

GridPix: Development and Characterisation of a Gaseous Tracking Detector W.J.C. Koppert

GridPix: Development and Characterisation of a Gaseous Tracking Detector W.J.C. Koppert GridPix: Development and Characterisation of a Gaseous Tracking Detector W.J.C. Koppert Samenvatting Deeltjes Detectie in Hoge Energie Fysica De positie waar de botsing heeft plaatsgevonden in een versneller

Nadere informatie

Statistiek in een rechtzaak

Statistiek in een rechtzaak Statistiek in een rechtzaak Maarten van Kampen & Soon-Yip Wong 1 april 00 1 Schuldig of niet? Naar aanleiding van een recent krantenartikel over de rechtzaak omtrent Lucy B. willen wij onderzoeken wat

Nadere informatie

Rapport Triple A - Risk Finance B.V. terzake Vergelijking pensioenproduct met de markt voor

Rapport Triple A - Risk Finance B.V. terzake Vergelijking pensioenproduct met de markt voor Rapport Triple A - Risk Finance B.V. terzake Vergelijking pensioenproduct met de markt voor Zwitserleven N.V. Inhoudsopgave 1. Management samenvatting...1 2. Zwitserleven DC Product...2 3. Beschrijving

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A1 Compex. Vragen 14 tot en met 19. In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer wel wordt gebruikt.

Examen VWO. wiskunde A1 Compex. Vragen 14 tot en met 19. In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer wel wordt gebruikt. Examen VWO 2007 tijdvak 1 vrijdag 1 juni totale examentijd 3,5 uur wiskunde A1 Compex Vragen 14 tot en met 19 In dit deel van het examen staan de vragen waarbij de computer wel wordt gebruikt. Het gehele

Nadere informatie

Bepaling energie en soortelijke warmte 2D-atoomrooster m.b.v. de Metropolis Monte Carlo methode

Bepaling energie en soortelijke warmte 2D-atoomrooster m.b.v. de Metropolis Monte Carlo methode Bepaling energie en soortelijke warmte 2D-atoomrooster m.b.v. de Metropolis Monte Carlo methode Verslag Computational Physics Sietze van Buuren Begeleider: Prof.Dr. H. de Raedt 29 december 25 Samenvatting

Nadere informatie

R.B. Kappetein. Callcenters. Bachelorscriptie, 5 juli 2011. Scriptiebegeleider: Dr. F.M. Spieksma. Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden

R.B. Kappetein. Callcenters. Bachelorscriptie, 5 juli 2011. Scriptiebegeleider: Dr. F.M. Spieksma. Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden R.B. Kappetein Callcenters Bachelorscriptie, 5 juli 2011 Scriptiebegeleider: Dr. F.M. Spieksma Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1 Inleiding: callcenters met ongeduldige klanten

Nadere informatie

Hoofdstuk 5. Dobbelen, echt en virtueel. > Maak in SPSS een nieuwe data-verzameling (File > New > Data). We gaan hier de

Hoofdstuk 5. Dobbelen, echt en virtueel. > Maak in SPSS een nieuwe data-verzameling (File > New > Data). We gaan hier de Hoofdstuk 5 Dobbelen, echt en virtueel 5.1 dobbelen In dit hoofdstukje gaan we de variabiliteit in een steekproef onderzoeken. Daarbij maken we gebruik van een beproefd stochastisch proces, nl het gooien

Nadere informatie

Wetenschappelijk Rekenen

Wetenschappelijk Rekenen Wetenschappelijk Rekenen Examen - Bacheloropleiding informatica Oefeningen 3 september 204. Beschouw de matrix A = 8 6 3 5 7 4 9 2 Deze matrix heeft 5 als dominante eigenwaarde. We proberen deze eigenwaarde

Nadere informatie

Primitiveren. Omgekeerd differentiëren (primitieve bepalen)

Primitiveren. Omgekeerd differentiëren (primitieve bepalen) Primitiveren WISNET-HBO update april 2006 Inleiding Soms moet je juist de functie bepalen waarvan de afgeleide bekend is. Dit omgekeerd differentiëren (de primitieve bepalen) heet in het Engels de antiderivative.

Nadere informatie

BEREKENING SCHEURKANSEN VOOR VERHARDENDE BETONNEN ELEMENTEN

BEREKENING SCHEURKANSEN VOOR VERHARDENDE BETONNEN ELEMENTEN BEREKENING SCHEURKANSEN VOOR VERHARDENDE BETONNEN ELEMENTEN MSc. H.W.M. van der Ham Dr. E.A.B. Koenders Prof. Dr. K. van Breugel DIANA Ontwikkelings Verening Technische lezingen 31 oktober 26 Presenting

Nadere informatie

De bisectie methode uitgelegd met een makkelijk voorbeeld

De bisectie methode uitgelegd met een makkelijk voorbeeld De Bisectie methode De bisectie methode uitgelegd met een makkelijk voorbeeld De bisectie methode is een recursieve methode om punten van een functie te gaan afschatten. Hierbij gaat men de functiewaarde

Nadere informatie

Uit te voeren in groepen van 2 personen. Indien een groep van 2 personen niet mogelijk is, dient de opdracht alleen uitgevoerd te worden

Uit te voeren in groepen van 2 personen. Indien een groep van 2 personen niet mogelijk is, dient de opdracht alleen uitgevoerd te worden Solidworks Simulation: Opdracht versie 2014 Uit te voeren in groepen van 2 personen. Indien een groep van 2 personen niet mogelijk is, dient de opdracht alleen uitgevoerd te worden De opdracht Een fietsen

Nadere informatie

(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1

(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1 Les Taylor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 15 juni 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 4

Modelleren C Appels. Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both. 15 juni 2010. 1 Inleiding 2. 3 Data 3. 4 Aanpak 4 Modelleren C Appels Christian Vleugels Sander Verkerk Richard Both 15 juni 2010 Inhoudsopgave 1 Inleiding 2 2 Probleembeschrijving 2 3 Data 3 4 Aanpak 4 5 Deterministische aanpak 4 5.1 Populariteit van

Nadere informatie

Het drie-reservoirs probleem

Het drie-reservoirs probleem Modelleren A WH01 Het drie-reservoirs probleem Michiel Schipperen (0751733) Stephan van den Berkmortel (077098) Begeleider: Arris Tijsseling juni 01 Inhoudsopgave 1 Samenvatting Inleiding.1 De probleemstelling.................................

Nadere informatie

integreren is het omgekeerde van differentiëren

integreren is het omgekeerde van differentiëren Integraalrekening Als we een functie f(x) differentiëren is het resultaat de eerste afgeleide f (x). Dezelfde functie f(x) kunnen we ook integreren met als resultaat de zogenaamde primitieve functie F(x).

Nadere informatie

math inside Model orde reductie

math inside Model orde reductie math inside Model orde reductie Model orde reductie Met het voortschrijden van de rekenkracht van computers en numerieke algoritmen is het mogelijk om steeds complexere problemen op te lossen. Was het

Nadere informatie

7. Hamiltoniaanse systemen

7. Hamiltoniaanse systemen 7. Hamiltoniaanse systemen In de moleculaire dynamica, maar ook in andere gebieden zoals de hemelmechanica of klassieke mechanica, worden oplossingen gezocht van het Hamiltoniaanse systeem van differentiaalvergelijkingen

Nadere informatie

Opgave 3 - Uitwerking

Opgave 3 - Uitwerking Mathrace 2014 Opgave 3 - Uitwerking Teken de rode hulplijntjes, en noem de lengte van dit lijntje y. Noem verder de lengte van een zijde van de gelijkzijdige driehoek x. Door de hoek van 45 graden in de

Nadere informatie

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN

TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Donderdag 8 juli 4. Tijd: 14. 17. uur. Plaats: MA 1.44/1.46 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je

Nadere informatie

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening

Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Statistiek voor Natuurkunde Opgavenserie 1: Kansrekening Inleveren: 12 januari 2011, VOOR het college Afspraken Serie 1 mag gemaakt en ingeleverd worden in tweetallen. Schrijf duidelijk je naam, e-mail

Nadere informatie

8. Differentiaal- en integraalrekening

8. Differentiaal- en integraalrekening Computeralgebra met Maxima 8. Differentiaal- en integraalrekening 8.1. Sommeren Voor de berekening van sommen kent Maxima de opdracht: sum (expr, index, laag, hoog) Hierbij is expr een Maxima-expressie,

Nadere informatie

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen

vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud

Nadere informatie

Beoordelingsmodel. Antwoorden VWO wa I. Deelscores. Meer neerslag

Beoordelingsmodel. Antwoorden VWO wa I. Deelscores. Meer neerslag Beoordelingsmodel Antwoorden VWO wa 005-I Meer neerslag Maximumscore de opmerking dat de gemiddelde jaarlijkse neerslag in beide plaatsen gelijk is De standaardafwijking in Winterswijk is groter (en dus

Nadere informatie

Meten en experimenteren

Meten en experimenteren Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 6 oktober 009 Catherine De Clercq Statistische verwerking van gegevens Kursus statistiek voor fysici door Jorgen D Hondt

Nadere informatie

Hoofdstuk A9 Hellinggrafieken - alternatief

Hoofdstuk A9 Hellinggrafieken - alternatief Hoofdstuk A9 Hellinggrafieken - alternatief Hellinggrafieken a. Maak instap opgaven I-a en I-b (zonder de formules van instap opgave I- te gebruiken). snelheid (m/s) tijd (seconden) b. Hoe kun je met de

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Kwadratische functies

Hoofdstuk 2 - Kwadratische functies Hoofdstuk - Kwadratische functies Hoofdstuk - Kwadratische functies Voorkennis V-1a y = 3(x ) 3 x 3 6x 1 y = 6x 1 b y = 9( 4x 4) 3 4x 4 9 36x 36 y = 36x 36 c y = x( x 7) 3 x 7 x x 7x y = x 7x V-a y = (

Nadere informatie

Werkblad 2 Kracht is een vector -Thema 14 (NIVEAU BETA)

Werkblad 2 Kracht is een vector -Thema 14 (NIVEAU BETA) Werkblad 2 Kracht is een vector -Thema 14 (NIVEAU BETA) Practicum Bij een gedeelte van het practicum zijn minimaal 3 deelnemers nodig. Leerlingen die op niveau gevorderd, of basis werken kunnen je helpen

Nadere informatie

Tentamenset A. 2. Welke van de volgende beweringen is waar? c. N R N d. R Z R

Tentamenset A. 2. Welke van de volgende beweringen is waar? c. N R N d. R Z R Tentamenset A. Gegeven de volgende verzamelingen A en B. A is de verzameling van alle gehele getallen tussen de 0 en 0 die deelbaar zijn door, en B is de verzameling gehele positieve getallen deelbaar

Nadere informatie

Significante cijfers en meetonzekerheid

Significante cijfers en meetonzekerheid Inhoud Significante cijfers en meetonzekerheid... 2 Significante cijfers... 2 Wetenschappelijke notatie... 3 Meetonzekerheid... 3 Significante cijfers en meetonzekerheid... 4 Opgaven... 5 Opgave 1... 5

Nadere informatie

Meten en experimenteren

Meten en experimenteren Meten en experimenteren Statistische verwerking van gegevens Een korte inleiding 3 oktober 006 Deel I Toevallige veranderlijken Steekproef Beschrijving van gegevens Histogram Gemiddelde en standaarddeviatie

Nadere informatie

2IV10 Oefentoets uitwerking

2IV10 Oefentoets uitwerking 2IV10 Oefentoets uitwerking Deze oefentoets bestaat uit drie opgaven, waarvoor twee uur beschikbaar is. Bij voldoende resultaat wordt een bonuspunt toegekend voor het tentamen. De opgaven betreffen een

Nadere informatie

Calculus I, 23/11/2015

Calculus I, 23/11/2015 Calculus I, /11/015 1. Beschouw de functie met a, b R 0. f = a + b + lne a Benoem het domein van de functie f. b Bepaal a en b zodat de rechte y = 1 een schuine asymptoot is voor f. c Voor a = en b = 1,

Nadere informatie

De Technologie van het Toeval. 1 Inleiding: de Monte Carlo strategie

De Technologie van het Toeval. 1 Inleiding: de Monte Carlo strategie De Technologie van het Toeval Monte Carlo en quasi-monte Carlo Ronald Kleiss 1 IMAPP, FNWI, RU versie van December 1, 2008 1 Inleiding: de Monte Carlo strategie Het nemen van steekproeven is in veel gebieden

Nadere informatie

1. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + 1) = 1.

1. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + 1) = 1. Tentamen-wiskunde?. De basiswiskunde. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + ) =. Oplossing : ln(x + 2) = + ln(x + ) x + 2 = ln + x + 3 = ln dus x =

Nadere informatie

Samenvatting. (summary in Dutch)

Samenvatting. (summary in Dutch) Samenvatting (summary in Dutch) Alle stoffen die we in de wereld om ons heen zien, zijn opgebouwd uit atomen, die onderling aan elkaar binden. Elk type atoom heeft de eigenschap dat het een sterke voorkeur

Nadere informatie

Snelle glijbanen. Masterclass VWO-leerlingen juni Emiel van Elderen en Joost de Groot NWD Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde

Snelle glijbanen. Masterclass VWO-leerlingen juni Emiel van Elderen en Joost de Groot NWD Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde Masterclass VWO-leerlingen juni 2008 Snelle glijbanen Emiel van Elderen en Joost de Groot NWD 2009 1 Technische Universiteit Delft Probleemstelling Gegeven: een punt A(0,a) en een punt B(b, 0) met a 0.

Nadere informatie

Populaties beschrijven met kansmodellen

Populaties beschrijven met kansmodellen Populaties beschrijven met kansmodellen Prof. dr. Herman Callaert Deze tekst probeert, met voorbeelden, inzicht te geven in de manier waarop je in de statistiek populaties bestudeert. Dat doe je met kansmodellen.

Nadere informatie

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12

1 Delers 1. 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 Katern 2 Getaltheorie Inhoudsopgave 1 Delers 1 2 Deelbaarheid door 2, 3, 5, 9 en 11 6 3 Grootste gemene deler en kleinste gemene veelvoud 12 1 Delers In Katern 1 heb je geleerd wat een deler van een getal

Nadere informatie

Sterrenkunde Praktikum 1 Fouten en fitten

Sterrenkunde Praktikum 1 Fouten en fitten Sterrenkunde Praktikum 1 Fouten en fitten Ignas Snellen - Paul van der Werf februari 2013 1 Inleiding In de sterrenkunde, maar eigenlijk in elke tak van de exacte wetenschappen, willen we met een meting

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem

Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem PLANETENSTELSELS - WERKCOLLEGE 3 EN 4 Opdracht 3: Baanintegratie: Planeet in een dubbelstersysteem In de vorige werkcolleges heb je je pythonkennis opgefrist. Je hebt een aantal fysische constanten ingelezen,

Nadere informatie

Numerical Methods. College 5: Numerieke Integratie (Hoofdstuk 5) A.A.N. Ridder

Numerical Methods. College 5: Numerieke Integratie (Hoofdstuk 5) A.A.N. Ridder Numerical Methods College 5: Numerieke Integratie (Hoofdstuk 5) A.A.N. Ridder Department EOR Vrije Universiteit Amsterdam Huispagina: http://personal.vu.nl/a.a.n.ridder/numprog/default.htm 4 oktober 2016

Nadere informatie

2. Een eerste kennismaking met Maxima

2. Een eerste kennismaking met Maxima . Een eerste kennismaking met Maxima Als u nog niet eerder kennis heeft gemaakt met CAS (Computer Algebra System) software, dan lijkt Maxima misschien erg gecompliceerd en moeilijk, zelfs voor het oplossen

Nadere informatie

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS

VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS VOOR HET SECUNDAIR ONDERWIJS Steekproefmodellen en normaal verdeelde steekproefgrootheden 5. Werktekst voor de leerling Prof. dr. Herman Callaert Hans Bekaert Cecile Goethals Lies Provoost Marc Vancaudenberg

Nadere informatie

Maarten-Jan Kallen Amersfoort, 9 mei 2012

Maarten-Jan Kallen Amersfoort, 9 mei 2012 BOWA Maarten-Jan Kallen Amersfoort, 9 mei 2012 Agenda 1. Introductie wat is BOWA? welke systeemeisen stellen we? wat is de invoer? wat doet BOWA met de invoer? wat is de uitvoer? 2. Demonstratie van BOWA

Nadere informatie

Stochastische grafen in alledaagse modellen

Stochastische grafen in alledaagse modellen Stochastische grafen in alledaagse modellen Ionica Smeets en Gerard Hooghiemstra 27 februari 2004 Stochastische grafen zijn grafen waarbij het aantal kanten bepaald wordt door kansverdelingen. Deze grafen

Nadere informatie

Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB januari 2013, uur

Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB januari 2013, uur Technische Universiteit Eindhoven Tentamen Thermische Fysica II 3NB65 23 januari 2013, 1400-1700 uur Het tentamen bestaat uit drie, de hele stof omvattende opgaven, onderverdeeld in 15 deelopgaven die

Nadere informatie

Bepaalde Integraal (Training) Wat reken je uit als je een functie integreert

Bepaalde Integraal (Training) Wat reken je uit als je een functie integreert Bepaalde Integraal (Training) WISNET-HBO update april 2009 Wat reken je uit als je een functie integreert De betekenis van de integraal is een optelling van uiterst kleine onderdelen. In dit voorbeeld

Nadere informatie

Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld

Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld Het brachistochroonprobleem van een magneet in een niet-uniform magneetveld Willem Elbers 5 april 013 Inleiding Het traditionele brachistochroonprobleem betreft de vraag welke weg een object onder invloed

Nadere informatie

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1

6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1 WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We

Nadere informatie

Monte Carlo-analyses waarschijnlijkheids- en nauwkeurigheidsberekeningen van

Monte Carlo-analyses waarschijnlijkheids- en nauwkeurigheidsberekeningen van Waarom gebruiken we Monte Carlo analyses? Bert Brandts Monte Carlo-analyses waarschijnlijkheids- en nauwkeurigheidsberekeningen van gebeurtenissen kunnen een bruikbaar instrument zijn om de post Onvoorzien

Nadere informatie

3 De duale vectorruimte

3 De duale vectorruimte 3 De duale vectorruimte We brengen de volgende definitie in de herinnering. Definitie 3.1 (hom K (V, W )) Gegeven twee vectorruimtes (V, K) en (W, K) over K noteren we de verzameling van alle lineaire

Nadere informatie

VAARDIGHEDEN EXCEL. MEETWAARDEN INVULLEN In de figuur hieronder zie je twee keer de ingevoerde meetwaarden, eerst ruw en daarna netjes opgemaakt.

VAARDIGHEDEN EXCEL. MEETWAARDEN INVULLEN In de figuur hieronder zie je twee keer de ingevoerde meetwaarden, eerst ruw en daarna netjes opgemaakt. VAARDIGHEDEN EXCEL Excel is een programma met veel mogelijkheden om meetresultaten te verwerken, maar het was oorspronkelijk een programma voor boekhouders. Dat betekent dat we ons soms in bochten moeten

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET

PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET Van onderzoekend leren naar leren onderzoeken in de tweede en derde graad Luc Gheysens DPB-Brugge 2012 PROBLEEM 1 Stelling van Pythagoras en gelijkvormige driehoeken Hieronder

Nadere informatie

Methode berekenen onzekerheid in wateropgave nu beschikbaar

Methode berekenen onzekerheid in wateropgave nu beschikbaar Methode berekenen onzekerheid in wateropgave nu beschikbaar Hans Hakvoort 1, Joost Heijkers 2, Kees Peerdeman 3 en Michelle Talsma 4 Samenvatting In opdracht van de STOWA heeft HKV lijn in water een methode

Nadere informatie

Examenvragen Hogere Wiskunde I

Examenvragen Hogere Wiskunde I 1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies

Nadere informatie

Weerwolven van Wakkerdam

Weerwolven van Wakkerdam Weerwolven van Wakkerdam Jorritsma Joost 0748615 Swevels Barry 0716899 24 oktober 2011 1 Inhoudsopgave 1 Inleiding 3 2 Opdracht 4 3 Rollen 5 3.1 Gewone burgers................................. 5 3.2 Weerwolven...................................

Nadere informatie

- Is het experiment bedoeld aas toetsing van een theorie? Is in het kort de theoretische achtergrond aan te geven?

- Is het experiment bedoeld aas toetsing van een theorie? Is in het kort de theoretische achtergrond aan te geven? T.H.E. Vm-64/20. Opbouw en indeling van een rapport betreffende een emeriment. Gegeven wordt de globale indeling van een verslag zoals die door ondergetekende als meest logische wordt gezien. Bij ieder

Nadere informatie

Wiskundig Modelleren 1 Chemische Mengsels en Reacties. Anne Buijsrogge en Corine Laan

Wiskundig Modelleren 1 Chemische Mengsels en Reacties. Anne Buijsrogge en Corine Laan Wiskundig Modelleren 1 Chemische Mengsels en Reacties Anne Buijsrogge en Corine Laan 23 oktober 2009 1 Vragen uit het lab Als je chemische mengsels wilt maken, kunnen daar een hoop vragen bij opkomen Hoe

Nadere informatie

Oefenopgave. 3 uur Wiskunde. R.A.Jongerius

Oefenopgave. 3 uur Wiskunde. R.A.Jongerius Oefenopgave 3 uur Wiskunde R.A.Jongerius Opgave 1 Kwadratische functies a. Gegeven is de functie b. Bereken coördinaten van de snijpunten van met de assen. c. Geef de extreme waarde van. d. Geef het bereik

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Figuur A.2: Een lineair elastisch object met een snede. Het object is aan de achterkant vastgezet, en wordt zijwaarts uitgerekt.

Figuur A.2: Een lineair elastisch object met een snede. Het object is aan de achterkant vastgezet, en wordt zijwaarts uitgerekt. Samenvatting Wie kent niet het spelletje Flight Simulator? Gewapend met een joystick kunnen we tegenwoordig vanachter het buro een (virtueel) vliegtuig de hele wereld rondsturen. Achter dit ogenschijnlijk

Nadere informatie

Monte Carlo-analyses waarschijnlijkheids- en nauwkeurigheidsberekeningen van

Monte Carlo-analyses waarschijnlijkheids- en nauwkeurigheidsberekeningen van Waarom gebruiken we Monte Carlo analyses? Bert Brandts Monte Carlo-analyses waarschijnlijkheids- en nauwkeurigheidsberekeningen van gebeurtenissen kunnen een bruikbaar instrument zijn om de post Onvoorzien

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Hester houdt e 5,00 3 e,85 3 e 3,9 5 e 5,00 e 3,70 e 6,58 5 e,7 over. b e 5,00 3 (e,85 e 3,9) 5 e 5,00 3 e 5, 5 e 5,00 e 0,8 5 e,7 V-a 6 3 5 36 9 5 7 b 9 (5 ) 5 9 (5 ) 5 9 5 c 0 3 6 5 000

Nadere informatie

Foutenleer 1. dr. P.S. Peijzel

Foutenleer 1. dr. P.S. Peijzel Foutenleer 1 dr. P.S. Peijzel In dit hoofdstuk zal een inleiding in de foutenleer gegeven worden. Foutenleer is een onderdeel van statistiek dat gebruikt wordt om een uitspraak te kunnen doen over fouten

Nadere informatie

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur.

Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur. Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS4, dinsdag 17 juni 28, van 9. 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde A. tijdvak 2 dinsdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde A. tijdvak 2 dinsdag 20 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2017 tijdvak 2 dinsdag 20 juni 13.30-16.30 uur wiskunde A Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 20 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Validatie van simulatiemethode in Open FOAM

Validatie van simulatiemethode in Open FOAM Validatie van simulatiemethode in Open FOAM Samenvatting Dit verslag gaat over of een simulatie uitgevoerd in Open FOAM voldoende nauwkeurigheid bied en tevens uitvoerbaar is op een gewone computer. Er

Nadere informatie

Eindexamen wiskunde B1 havo 2003-II

Eindexamen wiskunde B1 havo 2003-II Kalveren In de veeteelt gebruikt men voor rundvee reeds lang de methode van kunstmatige inseminatie (afgekort KI). De laatste jaren is daarnaast de reageerbuisbevruchting ofwel invitrofertilisatie (afgekort

Nadere informatie

Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1

Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Aanvullende tekst bij hoofdstuk 1 Wortels uit willekeurige getallen In paragraaf 1.3.5 hebben we het worteltrekalgoritme besproken. Dat deden we aan de hand van de relatie tussen de (van tevoren gegeven)

Nadere informatie