Monetair beleid onder begrensde rationaliteit Bepaling van economische evenwichten bij een gegeven beleidsregel

Transcriptie

1 Universiteit van Amsterdam Faculteit Economie en Bedrijfskunde Bachelorscriptie Econometrie Monetair beleid onder begrensde rationaliteit Bepaling van economische evenwichten bij een gegeven beleidsregel Merel van Vendeloo Juni 2016 Begeleider: J.E. Lustenhouwer Samenvatting In deze paper is door middel van het E-stability principe onderzocht hoe de centrale bank de rente moet stellen, zodat er een stabiel evenwicht in de economie optreedt, dat aan te leren is voor de economische agenten. Er is gekeken naar een PLM waarbij de economische agenten te weinig parameters opnemen en een PLM die bestaat uit de juiste variabelen. Tot slot is onderzocht met behulp van Recursive Least Squares hoe de economische agenten convergeren naar dit stabiele evenwicht.

2 Verklaring eigen werk Hierbij verklaar ik, Merel van Vendeloo, dat ik deze scriptie zelf geschreven heb en dat ik de volledige verantwoordelijkheid op me neem voor de inhoud ervan. Ik bevestig dat de tekst en het werk dat in deze scriptie gepresenteerd wordt origineel is en dat ik geen gebruik heb gemaakt van andere bronnen dan die welke in de tekst en in de referenties worden genoemd. De Faculteit Economie en Bedrijfskunde is alleen verantwoordelijk voor de begeleiding tot het inleveren van de scriptie, niet voor de inhoud.

3 Inhoudsopgave 1. Inleiding 1 2. Bepaling van economische evenwichten bij een gegeven beleidsregel Perfect rationele verwachtingen Monetaire beleidsregels Weergave productie en inflatie Voorafgaand onderzoek Methode onderzoek Methodiek Recursive Least Squares Economische modellen Resultaten en Analyse Voorspellen met te weinig variabelen Voorspellen met juiste verwachtingen Recursive Least Squares Discussie Conclusie 17 Bibliografie 20 Bijlage I: Stabiele evenwichten bij gebruik van een juist model 21 Bijlage II: Recursive Least Squares bij een te uitgebreid model 22 Bijlage III: Recursive Least Squares bij een juist gespecificeerd model 23

4 1. Inleiding There exists everywhere a medium in things, determined by equilibrium Dmitri Mendeleev Monetaire beleidsregels hebben in de macro-economie het doel een evenwicht te creëren. Het vaststellen van de rentestand is een instrument van de centrale bank om invloed uit te oefenen op de economie (Bullard en Mitra, 2002). Een probleem dat hierbij kan optreden is dat de economische agenten niet over alle mogelijke informatie beschikken om zo te reageren op die beleidsregel dat er een uniek en stabiel evenwicht ontstaat in de economie. Het is van belang te onderzoeken hoe de centrale bank een beleidsregel bepaalt die gemakkelijk een uniek en stabiel evenwicht oplevert. Als de vastgestelde beleidsregel van de centrale bank niet oplost naar één uniek evenwicht, kan het voorkomen dat de economische agenten niet kunnen bepalen welk evenwicht zij moeten kiezen. Daarom wordt een beleidsregel die niet naar één uniek evenwicht convergeert als ongewenst beschouwd. Als het evenwicht uniek is, is het daarnaast van belang dat dit evenwicht ook stabiel is, zodat het door de economische agenten aan te leren is. De reden waarom aan te leren evenwichten belangrijk zijn, is dat zonder een aan te leren evenwicht de economische agenten een ander evenwicht dan de centrale bank voor ogen kunnen hebben waardoor het macro-economische systeem naar een ander evenwicht oplost. Bullard en Mitra (2002) stellen dat het van belang is dat de centrale bank een monetaire beleidsregel neemt die samengaat met een aan te leren rationeel evenwicht, zodat de centrale bank en de economische agenten hetzelfde evenwicht bereiken. Een van de problemen waar de centrale bank tegen aanloopt bij het vaststellen van de rentestand, is dat de economische agenten niet beschikken over alle beschikbare informatie die ze nodig hebben om met deze rentestand een stabiel evenwicht te bereiken (Bullard en Mitra, 2002). De economische agenten reageren dan zonder perfect rationele verwachtingen op de beleidsregel van de centrale bank, waardoor het onzeker is of het evenwicht bereikt zal worden. Muth (1961) stelt dat onder perfect rationele verwachtingen de subjectieve kansverdeling van de verwachtingen, ook wel de verwachtingen van de economische agenten, samenvalt met de objectieve kansverdeling van de verwachtingen, ook wel de ware verdeling van de economie. Voor economische agenten is het onmogelijk om over alle informatie van de gehele economie te beschikken, waardoor er naar manieren gezocht moet worden om te 1

5 bepalen of er een evenwicht in de economie op zal treden bij gebrek aan rationele verwachtingen. Een manier om te bepalen of er een stabiel evenwicht in de economie optreedt is het Exponential Stability (E-stability) principe (Evans en Honkapohja, 2001). Dit principe houdt in dat als er aan bepaalde voorwaarden wordt voldaan, het evenwicht dat bereikt wordt onder leren consistent is met het evenwicht dat zal ontstaan onder perfect rationele verwachtingen. Branch (2004) gebruikt in zijn onderzoek een andere methode om aan te tonen dat de economie naar een evenwicht convergeert. Hij onderzoekt of een model dat te weinig variabelen bevat, voldoet aan de orthogonaliteitseis van de kleinstekwadratenschatter. Als aan deze eis voldaan is, convergeert het evenwicht zonder perfect rationele verwachtingen naar een Restricted Perceptions Equilibrium (RPE). In dit onderzoek wordt gebruikgemaakt van de methode van Evans en Honkapohja (2001) om te onderzoeken hoe de centrale bank de rente kan bepalen, zodat er een stabiel evenwicht ontstaat. De aanname wordt gemaakt dat de centrale bank de rente baseert op de inflatie en de productie en er wordt onderzocht hoe groot het effect van de inflatie en productie op de rente mag zijn, zodat er een stabiel evenwicht in de economie optreedt dat door de economische agenten aan te leren is. Om te bepalen of er een stabiel evenwicht optreedt in de economie, is het van belang te onderzoeken wat de economische agenten verwachten dat de economie gaat doen. In dit onderzoek wordt er voor twee verschillende modellen die de verwachtingen van de economische agenten weergeven, bepaald hoe de centrale bank de rente kan stellen, zodat er een stabiel evenwicht optreedt in de economie. Eerst wordt gekeken naar een model voor de economische agenten waarbij ze te weinig variabelen opnemen in hun model en daarna naar een model waarbij de juiste variabelen worden opgenomen. Om de economie weer te geven wordt er gekeken naar de inflatie en de productieafwijking. Om de inflatie te bepalen wordt gebruik gemaakt van de hybride Phillipscurve, wat inhoudt dat de huidige inflatie bepaald wordt door zowel de verwachte inflatie voor komende periode als de inflatie van voorafgaande periode. Uit de resultaten blijkt dat als de economische agenten een te klein model gebruiken bij hun voorspelling van de economie, er meer stabiele evenwichten zijn als de huidige inflatie relatief veel van de vertraagde inflatie afhangt. Bij het gebruik van een juist gespecificeerd model komt het tegenovergestelde tot uiting in de resultaten. Er zijn bij dit model meer stabiele evenwichten op het moment dat de huidige inflatie relatief weinig van de vertraagde inflatie afhangt. 2

6 Het verslag is als volgt opgebouwd. Ten eerste een theoretische achtergrond die de belangrijkste theorieën en conclusies uit voorafgaande onderzoeken weergeeft wat de bepaling van economische evenwichten betreft. Vervolgens wordt de opzet van dit onderzoek weergegeven en aangegeven van welke modellen gebruik is gemaakt. Na de onderzoeksopzet worden de resultaten gepresenteerd, geïnterpreteerd en geanalyseerd. Tot slot volgt de conclusie van het onderzoek. 2. Bepaling van economische evenwichten bij een gegeven beleidsregel In dit hoofdstuk worden verschillende economische theorieën besproken en uitkomsten van eerder onderzoek weergegeven over de bepaling van economische evenwichten op het moment dat de verwachtingen niet perfect rationeel zijn. Eerst volgt een paragraaf over perfect rationele verwachtingen waarin wordt uitgelegd wat rationele verwachtingen zijn en hoe er, ondanks een gebrek aan informatie, toch een evenwicht in de economie kan worden gerealiseerd. Vervolgens worden verschillende typen monetaire beleidsregels beschreven, daarna een paragraaf over hoe de inflatie en de afwijking van de productie bepaald kan worden en tot slot een paragraaf over hoe de economie het beste weergegeven kan worden in een model en welke keuzes er voor modellen gemaakt zijn bij voorafgaand onderzoek. 2.1 Perfect rationele verwachtingen In deze paragraaf wordt eerst beschreven wat perfect rationele verwachtingen zijn en vervolgens hoe, zonder perfect rationele verwachtingen, toch een voorspelling over de economie gedaan kan worden. Muth (1961) stelt dat als economische agenten perfect rationele verwachtingen hebben, er geen informatie verloren gaat in het voorspellen van de economie. Er wordt in dat geval vanuit gegaan dat de verwachtingen van de economische agenten afhangen van het gehele economische systeem. Muth geeft in zijn artikel weer dat verwachtingen perfect rationeel zijn als de verdeling van de verwachtingen convergeert naar de verdeling van de economie. Hij stelt dat dit meestal niet het geval zal zijn in de praktijk, maar dat de verwachtingen voldoen aan de volgende twee punten. Ten eerste is informatie schaars en wordt het niet verspild, dus alle informatie die de economische agenten hebben, wordt door hen gebruikt. De economische agenten kunnen echter niet alle informatie over de economie tot hun beschikking hebben. Ten tweede hangt de manier waarop de verwachtingen 3

7 worden gevormd af van de structuur van de economie en dat betekent dat de verwachtingen niet rationeel genomen hoeven te worden. Het evenwicht dat ontstaat onder perfect rationele verwachtingen wordt het Rational Expectations Equilibrium (REE) genoemd (Branch, 2004). In dit evenwicht conditioneren de economische agenten hun verwachtingen op een verdeling die afhangt van deze verwachtingen, waardoor de voorspellingen van de economische agenten en de uiteindelijke uitkomsten van de economie hetzelfde zullen zijn. Aangezien het voor de economische agenten niet mogelijk is de verdeling van de economie precies te kennen, wordt er naar alternatieven gezocht om een evenwicht te verkrijgen dat consistent is met het Rational Expectations Hypothesis (REH). Branch stelt dat de economische agenten door hun gebrek aan informatie een verkeerd model gebruiken om een voorspelling te doen over de economie. Hij onderzoekt of de economische agenten toch op het goede REE evenwicht kunnen uitkomen ondanks hun foute uitgangspunt. Het evenwicht dat wordt bereikt onder het misgespecificeerde model heet het Restricted Perceptions Equilibrium (RPE). In het onderzoek van Branch wordt gesteld dat het RPE een alternatief is voor het REE, omdat het consistent is met Muths originele hypothese van perfect rationele verwachtingen uit Bullard en Mitra (2002) gebruiken een andere methode om te onderzoeken of er een evenwicht ontstaat in de economie. Zij bestuderen of er, bij een gegeven monetaire beleidsregel, een uniek en stabiel evenwicht in de economie optreedt. Hierbij nemen Bullard en Mitra de aanname dat de economische agenten hun keuzes niet rationeel nemen, maar dat de agenten met behulp van recursief lerende algoritmes de economie gaan voorspellen. Doordat de economische agenten door hun gebrek aan informatie geen perfect rationele verwachtingen hebben, beginnen ze op een verkeerd punt in hun model bij het voorspellen van de economie. Bullard en Mitra nemen wel aan dat de economische agenten een juist gespecificeerd model gebruiken bij hun voorspellingen van de economie. Bullard en Mitra bepalen hoe de centrale bank hierop kan reageren met de bepaling van de rentestand zodat er een stabiel en uniek evenwicht ontstaat. In het vervolg van dit hoofdstuk wordt ingegaan op de verschillende soorten monetaire beleidsregels waarvoor de centrale bank kan kiezen. 2.2 Monetaire beleidsregels In deze paragraaf wordt een manier besproken waarop de centrale bank de rente kan bepalen en welke varianten er mogelijk zijn op een beleidsregel. Taylor (1993) onderzoekt verschillende beleidsregels, zo heeft hij gekeken of de rente voorspeld kan worden uit 4

8 afwijking van het geldaanbod, afwijkingen van de wisselkoers en gewogen waardes van de inflatie en de productie. Uit zijn onderzoek blijkt dat renteregels waarbij de focus ligt op de afwijking van de wisselkoers of de afwijking van het geldaanbod minder goed presteren dan de beleidsregels waar de focus ligt op de afwijking van de productie en van de inflatie. Taylor stelt dan ook dat rente het best bepaald kan worden door te kijken naar de gewenste rente en deze te verhogen met de afwijking van de productie en de inflatie. Dit betekent dat als er inflatie is of de productie boven het gestelde doel komt, de rente van de centrale bank zal stijgen. Deze beleidsregel adviseert dat de nominale rente meer dan één-voor-één stijgt als de inflatie boven het gestelde doel komt en positief reageert als de productie boven het gestelde niveau komt. Dit wordt het Taylor principe genoemd (Bullard en Mitra, 2002). De intuïtie is dat in dit geval een stijging van de inflatie een stijging in de reële rentestand veroorzaakt, wat de vraag kan verminderen en de inflatie onderdrukt. Hierdoor gaat de economie weer terug naar het gestelde evenwicht. Bullard en Mitra vinden dat het Taylor principe de leerbaarheid van een evenwicht voor de economische agenten kenmerkt. Als de economische agenten geen rationele verwachtingen van de inflatie of productieafwijking hebben, maar subjectieve verwachtingen van deze variabelen, leidt het gebruik van een Taylortype beleidsregel ertoe dat de economie naar een REE gaat. Van deze beleidsregel maken Bullard en Mitra (2002) ook gebruik in hun onderzoek. Zij onderzoeken of er gegeven deze beleidsregel een stabiel en uniek evenwicht ontstaat in de economie. Hierbij onderscheiden ze vier gevallen. Ten eerste dat de rente bepaald wordt uit de huidige data van de productieafwijking en van de inflatie, ten tweede dat de rente bepaald wordt uit afwijking van de productie en de inflatie van de afgelopen periode, ten derde dat de verwachting van de afwijking van de productie en de inflatie voor de komende periode de rente beïnvloedt en ten slotte of de rente te bepalen is uit de verwachtingen van de huidige productieafwijking en de inflatie. Bullard en Mitra geven voor het gebruik van iedere beleidsregel voor- en nadelen, zo stellen ze dat het voor de eerste beleidsregel lastig is om aan de data van de huidige de inflatie of om aan de huidige data van de productie te komen. Hierdoor wordt de laatste beleidsregel waar de rente gebaseerd is op de verwachtingen van de huidige data vaak verkozen boven de beleidsregel die gebruikmaakt van de huidige data. De beleidsregels die gebaseerd zijn op de verwachtingen van de toekomst of gebaseerd zijn op de inflatie en productie van de afgelopen periode vinden Bullard en Mitra inferieur aan de beleidsregels die de rente baseert op de huidige verwachtingen of op de huidige data. De reden dat ze de voorkeur geven aan deze laatste twee renteregels is dat er in hun onderzoek is 5

9 gebleken dat voor deze regels geldt dat alle determinant evenwichten E-stable zijn en alle E- stable evenwichten ook determinant, wat bij de renteregels gebaseerd op het verleden of op de verwachtingen van de toekomst niet het geval is. Bullard en Mitra maken in hun onderzoek gebruik van een beleidsregel die Taylor (1993) heeft onderzocht, terwijl Evans en Honkapohja (2003) stellen dat deze beleidsregel niet optimaal hoeft te zijn voor de economie. Zij gaan uit van optimale monetaire beleidsregels, wat inhoudt dat er een monetaire autoriteit is die een verliesfunctie minimaliseert. In dit onderzoek wordt gebruik gemaakt van de beleidsregel waar de rente afhangt van de inflatie en de productie, waardoor op de optimale beleidsregel verder niet wordt ingegaan. Het voordeel van de standaard beleidsregel die gebaseerd is op het werk van Taylor (1993) is dat zij robuust is onder verschillende macro-economische systemen. 2.3 Weergave productie en inflatie In deze paragraaf wordt beschreven hoe de economie het beste kan worden weergegeven om te bepalen hoe er een stabiel evenwicht bepaald kan worden gegeven een beleidsregel. De beleidsregel die gebruikt wordt in dit onderzoek is van de Taylor vorm, wat betekent dat de rente gebaseerd wordt op de inflatie en de productieafwijking. Hierdoor is het van belang te onderzoeken waar de productie en inflatie van afhangen. Eerst wordt ingegaan op de modellering van de productie en vervolgens op verschillende modellen voor de inflatie. Bullard en Mitra (2002, p. 1110) gebruiken het volgende model om de productie te bepalen: e z t = z t+1 σ 1 (r t r n e t π t+1 ) (1) met zt de waarde van de afwijking van de productie, πt de inflatie, rt de rentestand bepaald door de centrale bank en rt n de natuurlijke rentestand. Dit model hebben Bullard en Mitra afgeleid uit het onderzoek van Woodford (1999) waar gebruikgemaakt wordt van een soortgelijk model. Naast de afwijking van de productie speelt ook de inflatie een belangrijke rol in de bepaling van de rente door de centrale bank. Hiervoor nemen zowel Woodford (1999, p.10) als Bullard en Mitra (2002, p.1110) hetzelfde model voor: e π t = κ z t + β π t+1 (2) 6

10 Hier wordt de inflatie bepaald door de afwijking van de productie en de verwachte inflatie voor de komende periode. Dit model waar de inflatie bepaald wordt uit de verwachting van de toekomstige inflatie en de afwijking van de productie heet de New Keynesian Phillips Curve (NKPC) (Orland en Roos, 2013). Orland en Roos stellen in hun onderzoek dat de inflatie niet alleen te bepalen is uit de verwachte toekomstige inflatie, maar ook gedeeltelijk uit de inflatie van de aflopen periode, wat de hybride versie van de NKPC genoemd wordt. De hybride versie van de NKPC ziet er als volgt uit: e π t = κ z t + α β π t+1 + (1 α) π t 1 (3) met 0 < α < 1. Orland en Roos stellen wel in hun artikel dat er weinig theoretische fundering is om de hybride versie boven de standaard Phillipscurve te kiezen, maar dat uit onderzoek blijkt dat de hybride versie van de Phillipscurve in het algemeen beter past bij de data vanwege de vertraagde term van de inflatie. Ook Galí en Gertler (1999) stellen dat bij empirisch onderzoek de hybride Phillipscurve voorkeur heeft, aangezien deze vergelijking de onverklaarde inflatie uit de standaard Phillipscurve kan modelleren. Galí en Gertler beargumenteren, net zoals Orland en Roos (2013), dat de reden om de hybride versie van de Phillipscurve te kiezen voornamelijk voortkomt uit empirische data. Ook Fuhrer en Moore (1995) nemen een vertraagde term van de inflatie op in hun model om de huidige inflatie te beschrijven. Zij stellen dat op deze manier de schok in de economie meer dan één periode effect heeft op de inflatie en dat deze aanwezigheid ook tot uitdrukking komt in de data. 2.4 Voorafgaand onderzoek Bij de standaard monetaire beleidsregel hangt de rentestand af van de inflatie en de afwijking van de productie. Om te bepalen of er bij deze beleidsregel een stabiel evenwicht ontstaat, moet er gekeken worden hoe de inflatie en de productie zich gedragen in de economie. In de voorafgaande paragraaf zijn een aantal modellen om de inflatie en de productieafwijking weer te geven besproken en in deze paragraaf wordt beschreven hoe in voorafgaand onderzoek deze vergelijkingen tot een economisch stabiel evenwicht, dat aan te leren is door de economische agenten, hebben geleid. In het onderzoek van Bullard en Mitra (2002) wordt voor vier verschillende Taylortype beleidsregels bepaald hoe groot de invloed van de inflatie en de afwijking van de 7

11 productie mag zijn, zodat er nog een stabiel en uniek evenwicht optreedt in de economie. Bullard en Mitra kiezen ervoor om de afwijking van de productie volgens vergelijking (1) te laten verlopen en kiezen voor een standaard Phillipscurve om de inflatie weer te geven. In hun onderzoek maken ze gebruik van eerder gevonden resultaten uit het onderzoek van Woodford (1999) voor de κ en σ van hun vergelijkingen. Woodford (1999) onderzoekt hoe de rente mag afhangen van de inflatie en de afwijking van de productie, maar hij richt zich in zijn onderzoek op economische agenten die toekomstgericht zijn, wat inhoudt dat behalve huidige data, ook de verwachtingen van de toekomst meegenomen moeten worden. Uit voorafgaand onderzoek is gebleken dat de afwijking van de productie het best gemodelleerd kan worden door vergelijking (1). Hier hangt deze productieafwijking af van de verwachting van de inflatie in de komende periode verminderd met het verschil tussen de rentestand van de centrale bank, de natuurlijke rentestand en de verwachting van de inflatie van de komende periode. Om de inflatie te modelleren kunnen de standaard Phillipscurve en de hybride Phillipscurve gebruikt worden. Bullard en Mitra (2002) en Woodford (1999) maken gebruik van de standaard Phillipscurve, terwijl Orland en Roos (2013), Galì en Gertler (1999) en Fuhrer en Moore (1995) stellen dat de hybride Phillipscurve over het algemeen beter bij de data past van de economie. Wat betreft de monetaire beleidsregel geven Bullard en Mitra (2002) de voorkeur aan de regel die de rentestand bepaalt uit de verwachting van de huidige inflatie en de huidige productieafwijking, aangezien de data voor de huidige inflatie en productie vaak niet beschikbaar zijn op het moment dat de rente wordt bepaald. 3. Methode onderzoek In het vorige hoofdstuk is de theorie beschreven over rationele verwachtingen, verschillende soorten monetaire beleidsregels en hoe de economie gemodelleerd kan worden. In dit hoofdstuk wordt besproken welke methode gebruikt wordt om te bepalen hoe de centrale bank de rente moet stellen om op een stabiel evenwicht dat aan te leren is door de economische agenten uit te komen. Vervolgens wordt beschreven hoe de economische agenten convergeren naar dit stabiele evenwicht door gebruik te maken van Recursive Least Squares. Tot slot wordt besproken welke modellen om de economie weer te geven gekozen zijn voor dit onderzoek. 8

12 3.1 Methodiek In deze paragraaf wordt de methode beschreven die gebruikt wordt voor de bepaling van het stabiele evenwicht in de economie. De gebruikte methode voor dit onderzoek is beschreven door Evans en Honkapohja (2001). Om te kijken of een evenwicht stabiel en aan te leren is door de economische agenten wordt er gebruik gemaakt van een Perceived Law of Motion (PLM) om hun verwachtingen te modelleren. Nadat de economische agenten hun keuzes op basis van hun verwachtingen hebben gemaakt, kan het effect op de economie waargenomen worden. Dit wordt gemodelleerd in de Actual Law of Motion (ALM). De ALM kan geïnterpreteerd worden als de weergave van een stochastisch proces van de economie als de voorspellingen gemaakt worden door gebruik te maken van de PLM van de economische agenten. Als de PLM en ALM bekend zijn, kan er een afbeelding gemaakt worden van de PLM op de ALM. Deze afbeelding wordt door Evans en Honkapohja de T-map genoemd, met deze T-map kan bepaald worden of er een stabiel evenwicht ontstaat, dat aan te leren is door de economische agenten. Voor de bepaling van de effecten van de inflatie en de afwijking van de productie op de rentestand wordt het principe van E-stability gebruikt. Dit principe houdt in dat de stabiliteit van een REE vastgesteld kan worden door een voorwaarde, verkregen door de afbeelding van de PLM op de ALM. De voorwaarde waaraan moet worden voldaan om een aan te leren stabiel evenwicht te krijgen, is dat de eigenwaardes van de Jacobiaan van de T- map een reëel deel kleiner dan 1 moeten hebben. Er kan bepaald worden hoe groot het effect van de inflatie en productieafwijking op de rente kan zijn, zodat de eigenwaardes van de Jacobiaan van de T-map een reëel deel kleiner dan 1 hebben. Als de centrale bank deze waardes gebruikt om de rente te bepalen, zal er een stabiel evenwicht optreden in de economie dat aan te leren is door de economische agenten. 3.2 Recursive Least Squares In deze paragraaf wordt beschreven hoe onderzocht kan worden op welke manier de economische agenten convergeren naar het stabiele evenwicht. Om dit te bekijken wordt Recursive Least Squares (RLS) gebruikt. In het vervolg van de paragraaf wordt beschreven hoe deze methode werkt. Door gebruik van RLS kan gekeken worden hoe de economische agenten in de tijd convergeren naar het juiste evenwicht (Evans en Honkapohja, 2001). Hier worden de volgende formules voor gebruikt: 9

13 R t = R t 1 + t 1 ( x t x t R t 1 ) (4) c t = c t 1 + t 1 R t 1 x t ( y t x t c t 1 ) (5) waarbij ct een vector is bestaande uit de MSV-oplossing, xt een vector met de variabelen van de gebruikte PLM en R0 de identiteitsmatrix. Als beginwaarde voor x0 wordt een willekeurige waarde aan de variabelen van de PLM toegekend en als beginwaarde voor c0 wordt een oplossing gekozen die dicht bij de MSV-oplossing ligt. De MSV-oplossing is de oplossing waarvoor geldt dat de ALM en PLM gelijk aan elkaar zijn. Op deze manier kan gekeken worden hoe de economische agenten naar het evenwicht convergeren. In de volgende paragraaf worden de economische modellen besproken waarmee dit onderzoek wordt uitgevoerd. 3.3 Economische modellen In de vorige paragrafen is besproken welke methode gebruikt wordt om de stabiliteit van het evenwicht te bepalen en in deze paragraaf worden de modellen beschreven waarmee in dit onderzoek bepaald wordt hoe de centrale bank de rente moet stellen om op een stabiel, aan te leren evenwicht uit te komen. Bij het gebruik van de monetaire beleidsregel gebaseerd op het werk van Taylor (1993) is het van belang te weten hoe de inflatie en de productieafwijking zich gedragen, aangezien de rente gebaseerd wordt op deze twee economische variabelen. In dit onderzoek wordt de afwijking van de productie gemodelleerd op dezelfde manier als in de onderzoeken van Bullard en Mitra (2002) en van Woodford (1999), namelijk volgens vergelijking (1). Om de inflatie te modelleren wordt de hybride Phillips curve gebruikt. Deze is beschreven bij vergelijking (3). Deze twee vergelijkingen samen vormen het economische systeem dat bepaald hoe de centrale bank de rente kan vaststellen, zodat er een stabiel evenwicht optreedt in de economie. De monetaire beleidsregel kent verschillende varianten, waarvan er vier besproken worden in het onderzoek van Bullard en Mitra (2002). In dit onderzoek wordt één van die vier varianten gebruikt, namelijk de beleidsregel die de rente baseert op de huidige inflatie en de huidige afwijking van de productie. Dit is als volgt weer te geven: r t = φ z z t + φ π π t (6) 10

14 waarin φz en φπ het effect van de afwijking van de productie en het effect van de inflatie op de rentestand, bepaald door de centrale bank, voorstellen. Om het model te vereenvoudigen kan vergelijking (6) in de vergelijking voor de productie (1) gesubstitueerd worden. Deze vergelijking wordt: e z t = z t+1 σ 1 (φ z z t + φ π π t r n e t π t+1 ) (7) Vergelijking (7) geeft samen met de hybride Phillips curve de economie weer in dit onderzoek. Voor de economische agenten is bekend dat de natuurlijke rentegraad zich als volgt gedraagt: r n t = ρ r n t 1 + ε t (8) Om te bepalen of er een stabiel evenwicht optreedt, is het van belang te weten hoe de economische agenten hun verwachtingen maken. De verwachting van de economische agenten wordt weergegeven door middel van een PLM. Het komt voor dat de economische agenten een fout model gebruiken om voorspellingen te maken van de economie, een voorbeeld hiervan is een model met te weinig parameters. Het evenwicht dat bij dat model optreedt heet een Restricted Perceptions Equilibrium (RPE). In dit onderzoek wordt gekeken naar een PLM met te weinig parameters en een PLM met de juiste parameters. De PLM s waar in dit onderzoek van uit wordt gegaan zijn: y t = a (9) n y t = a + b y t 1 + c r t 1 (10) met yt een vector van zt en πt, (9) het model met te weinig parameters en (10) het model met de juiste parameters. Met deze vergelijkingen wordt bepaald hoe groot de centrale bank de invloed van de verwachte afwijking van de productie en van de inflatie op de rente mag laten zijn, zodat er een stabiel, aan te leren evenwicht door de economische agenten ontstaat. Voor welke waarden van van φπ en φz dat stabiele evenwicht geldt, wordt in het volgende hoofdstuk berekend. 11

15 4. Resultaten en analyse Er is onderzocht hoe groot de invloed van de afwijking van de productie en van de inflatie mag zijn op de rente vastgesteld door de centrale bank, zodat er een stabiel evenwicht in de economie optreedt. In dit hoofdstuk worden de resultaten weergegeven en geanalyseerd. Eerst wordt onderzocht aan welke restrictie voldaan moet worden als de economische agenten de economie voorspellen met een ondergeparametriseerd model en vervolgens wordt bepaald aan welke restrictie voldaan moet zijn als de economische agenten voorspellingen doen met een juist model. Daarna kan met behulp van Recursive Least Squares (RLS) onderzocht worden hoe naar het gevonden evenwicht wordt geconvergeerd. 4.1 Voorspellen met te weinig variabelen In deze paragraaf worden de resultaten weergegeven van een model waarbij de economische agenten te weinig variabelen opnemen om de economie te voorspellen. Een evenwicht dat onder dit model ontstaat wordt door Branch (2004) het Restricted Perceptions Equilibrium (RPE) genoemd. De productie wordt weergegeven door vergelijking (7) en de inflatie door (3). Deze twee vergelijkingen kunnen als volgt in vector vorm geschreven worden: e n y t = α + B 0 y t+1 + B 1 y t 1 + χ r t (11) met y een tweedimensionale vector bestaande uit z en π, α is 0, B 0 = 1 σ + φ z + κ φ π [ σ 1 α β φ π κ σ κ + α β ( σ + φ z ) ] (12) B 1 = 1 σ + φ z + κ φ π [ 0 (α 1) φ π 0 (1 α ) σ + (1 α ) φ z ] (13) χ = 1 σ + φ z + κ φ π [ 1 κ ] (14) De verwachtingen van de economische agenten nemen de vorm aan van vergelijking (9). In vergelijking (11) kan deze voorspelling voor yt+1 e ingevuld worden, wat een ALM geeft van: y t = B 0 a + B 1 y t 1 + χ r t n (15) 12

16 Om te voorkomen dat er een explosieve oplossing gevonden wordt voor de inflatie of de productieafwijking, moet er naar de eigenwaardes van de matrix B1 gekeken worden. Een explosieve oplossing wil zeggen dat de waarde van de inflatie of afwijking van de productie naar plus of min oneindig gaan. Deze evenwichten voldoen wel aan het E-stability principe, maar zijn niet stabiel in de praktijk. De eigenwaardes van de matrix B1 moeten in absolute waarde kleiner zijn dan 1 voor stationariteit, wat het geval is als 0 < α < 1, κ > 0, 0 < β < 1, σ > 0, φz > 0 en φπ > 0. Nu kan de T-map opgesteld worden. De T-map is de afbeelding van de PLM op de ALM en ziet er als volgt uit: T(a) = (B 0 a) (16) Van deze afbeelding moet de afgeleiden naar a bepaald worden om vervolgens de eigenwaardes van deze afgeleiden te berekenen. De Jacobiaan neemt de volgende vorm aan: J = 1 [ σ σ+φ z +κ φ π 1 α β φ π κ σ κ + α β (σ + φ z ) ] (15) De eigenwaardes van deze Jacobiaan moeten aan de voorwaarde voldoen dat ze een reëel deel kleiner dan 1 hebben om een E-stable evenwicht op te leveren. Aan deze voorwaarde wordt voldaan als de centrale bank een φz en φπ kiest waarvoor geldt: φ π > 1 ( 1 α β ) φ z κ (16) Om grafisch weer te geven wanneer er aan deze conditie voldaan is, worden voor κ, σ en ρ de gevonden waarden uit het onderzoek van Woodford (1999) gebruikt. Hij vindt in zijn artikel κ = 0.024, σ = en ρ = Voor β wordt dezelfde waarde genomen als Bullard en Mitra (2002), namelijk β = Deze waardes zijn in dit onderzoek de basiswaarden voor deze variabelen. 13

17 Figuur 1: Aan te leren evenwichten door economische agenten met een ondergeparametriseerd model voor respectievelijk α=0, α=0.5 en α=1. In figuur 1 wordt voor een aantal waardes van α weergegeven welke combinaties van φz en φπ de centrale bank kan kiezen, zodat er een stabiel evenwicht optreedt dat aan te leren is door de economische agenten. Alle waardes die gekozen kunnen worden liggen in het grijze vlak. Voor een grotere waarde van α neemt het aantal stabiele evenwichten af. Uit voorwaarde (16) blijkt dat het Taylor principe hier opgaat. Er ontstaat een stabiel evenwicht op het moment dat het effect van de inflatie op de rente groter is dan 1, behalve als de productieafwijking een positief effect heeft op de rente. Voor de waarde van α = 1 komt het Taylor principe ook duidelijk naar voren in figuur (1). In deze paragraaf is gekeken hoe de centrale bank de rente kan vaststellen als de economische agenten de economie voorspellen met een model dat te weinig variabelen bevat. Het evenwicht dat bij dit model tot stand komt heet een Restricted Perceptions Equilibrium (Branch, 2004). In de volgende paragraaf wordt gekeken hoe groot de invloed van de inflatie en productie op de rentestand mag zijn, zodat er een stabiel evenwicht tot stand komt als de economische agenten met het correcte model de economie voorspellen. 4.2 Voorspellen met juiste verwachtingen In deze paragraaf volgen de resultaten van het model waarbij de economische agenten de economie voorspellen met de juiste variabelen. Dit model is weergegeven in vergelijking (10). Als de economische agenten met dit model de economie voorspellen, wordt er gezegd dat ze rationele verwachtingen hebben (Evans en Honkapohja, 2001). De economie wordt weergegeven door vergelijking (11) en matrices (12), (13) en (14). De verwachtingen voor periode yt+1 e kunnen door middel van de PLM (10) bepaald worden en ingevuld worden in vergelijking (11). Dit leidt tot een ALM van: 14

18 y t = ( B 0 + B 0 b ) a + (B 0 b 2 + B 1 )y t 1 + ( B 0 b c + B 0 ρ c + χ ρ ) n r t 1 (17) Ook in deze vergelijking bestaat yt uit een vector van zt en πt. Met behulp van deze vergelijking kan de T-map opgesteld worden. Deze neemt de vorm aan van: T(a, b, c) = ( ( B 0 + B 0 b ) a, B 0 b 2 + B 1, B 0 b c + B 0 ρ c + χ ρ) (18) Als van deze T-map de Jacobiaan bepaald wordt, blijkt dat er nog coëfficiënten van de T-map in voorkomen. Voor deze coëfficiënten moet de MSV-oplossing ingevuld worden, die als volgt te bepalen is: ( B 0 + B 0 b ) a = α (19) B 0 b 2 + B 1 = b (20) B 0 b c + B 0 ρ c + χ ρ = c (21) De MSV-oplossing houdt in dat de PLM gelijk wordt gesteld aan de ALM. Voor deze waardes moeten alle eigenwaardes van de Jacobiaan van de T-map een waarde kleiner dan 1 hebben om te zorgen dat er een stabiel evenwicht optreedt in de economie. Analytisch zijn er geen resultaten verkregen, maar op een numerieke manier is er een grafische weergave gemaakt om te bepalen voor welke waardes van φz en φπ er een stabiel evenwicht optreedt in de economie. Voor verschillende waardes van α zijn er grafieken gemaakt, die te zien zijn in figuur 2 in bijlage I. Behalve dat er onderzocht is of het evenwicht voldoet aan het principe van E-stability, is er ook bekeken of de evenwichten stationair zijn. Ook hier kunnen evenwichten optreden waarbij de absolute waardes van inflatie en productie steeds groter worden en naar plus of min oneindig zullen gaan. Het is niet van belang te weten of dit evenwicht aan te leren is door de economische agenten, aangezien het niet stabiel zal zijn in de praktijk. De voorwaarde waaraan voldaan moet zijn, is dat beide eigenwaardes van matrix b uit vergelijking (10) kleiner moeten zijn dan 1. Voor een waarde van α gelijk aan 1 is de hybride Phillipscurve gelijk aan de standaard Phillipscurve. De huidige inflatie valt dan te verklaren uit de afwijking van de productie en de verwachte inflatie van de komende periode. Voor deze waarde komt er hetzelfde resultaat uit als in het artikel van Bullard en Mitra (2002), waarbij zij de renteregel bekijken die 15

19 betrekking heeft op de huidige inflatie en huidige productieafwijking. Om een stabiel evenwicht te bereiken dat aan te leren is door de economische agenten kan er een combinatie van φz en φπ gekozen worden waarvan de waardes in het blauwe vlak liggen. Deze waardes worden Strong E-stable genoemd, wat inhoudt dat de economische agenten in principe een te groot model schatten om de economie te voorspellen, maar toch op het goede evenwicht uitkomen door de variabelen die teveel zijn opgenomen op 0 te schatten (Evans and Honkapohja, 2001). Als α een waarde van 0 aanneemt, hangt de huidige inflatie af van de productieafwijking en van de inflatie van voorafgaande periode. Als de waarde van α > 0 wordt, hangt de huidige inflatie meer van verwachtingen af. Voor grotere waardes van α zijn er meer stabiele evenwichten dan voor kleinere waardes van α. Een reden hiervoor kan zijn dat als de huidige inflatie relatief veel van de inflatie van de voorafgaande periode afhangt, een grotere kans aanwezig is dat de evenwichten leiden naar een explosieve oplossing van de inflatie of de afwijking van de productie. In figuur 2 komt tot uitdrukking dat naarmate de waarde van α stijgt, het aantal stabiele evenwichten toeneemt. Dit is het tegenovergestelde van de conclusie die genomen kan worden bij het voorspellen met een ondergeparametriseerd model. Daar geldt dat bij een toenemende waarde van α het aantal stabiele aan te leren evenwichten daalt. 4.3 Recursive Least Squares In deze paragraaf wordt onderzocht hoe geconvergeerd wordt naar de juiste waardes van de coëfficiënten van de MSV-oplossing van de economische agenten. Eerst wordt bekeken hoe de waardes convergeren op het moment dat de economische agenten de economie voorspellen met model (10). Vervolgens wordt gekeken hoe de waardes convergeren als het model geschat wordt als in het begin de aanname wordt gemaakt dat α gelijk is aan 1. Recursive Least Squares is een methode om te onderzoeken of en hoe er naar een REE wordt geconvergeerd (Evans en Honkapohja, 2001). In bijlage II figuur 3 staan de grafieken behorende bij de uitvoering van RLS als economische agenten de economie voorspellen door middel van vergelijking (10). Uit deze grafieken blijkt dat de coëfficiënten a en c convergeren naar de MSV-oplossing, maar dat de economische agenten het lastig vinden om aan te leren dat de matrix b naar een waarde van 0 moet convergeren. Een reden hiervoor kan zijn dat de economische agenten last hebben van de niet observeerbare schokken in de economie, waardoor ze moeite hebben met het aanleren van het evenwicht. 16

20 Als de economische agenten van tevoren de aanname maken dat de vertraagde inflatie geen invloed heeft op de huidige inflatie, convergeren de coëfficiënten van de MSV-oplossing aanzienlijk sneller dan wanneer ze dat niet vanaf het begin aannemen. Dit blijkt uit bijlage III figuur 4. Bij gebruik van dit model convergeren de coëfficiënten a en c binnen 2000 iteraties naar de juiste waardes, terwijl het uitgebreide model bijna iteraties nodig heeft om te convergeren. Door middel van RLS kan onderzocht worden hoe bepaalde coëfficiënten convergeren naar de waarde die ze behoren te hebben. Uit de resultaten blijkt dat ondanks dat de gevonden stabiele evenwichten Strong E-stable zijn, de economische agenten toch moeite hebben deze evenwichten aan te leren. In de volgende paragraaf worden verbeterpunten gegeven voor een eventueel vervolgonderzoek. 4.4 Discussie In dit onderzoek is bekeken hoe groot het effect van de inflatie en de afwijking van de productie op de rentestand mag zijn, zodat er een stabiel evenwicht in de economie optreedt dat aan te leren is door de economische agenten. Om dit te bepalen zijn er verschillende aannames gemaakt. Ten eerste is er de keuze gemaakt om de economie te beschrijven door alleen te kijken naar de huidige inflatie en de huidige afwijking van de productie. Hierdoor wordt er een versimpeld model voor de economie verkregen, dat niet realistisch hoeft te zijn. Er is geen rekening gehouden met de invloed van de vertraagde rente in het model van de economie, wat wel een variabele is die van belang kan zijn bij de bepaling van monetair beleid (Bullard en Mitra, 2002). Ten tweede is de aanname gemaakt dat de centrale bank alleen kijkt naar de inflatie en de productieafwijking van de huidige periode bij de bepaling van de rentestand. In de praktijk hoeft dit niet het geval te zijn, maar kan de centrale bank meerdere renteregels combineren of andere variabelen opnemen in hun model voor de bepaling van de rentestand. 5. Conclusie De centrale bank kan met behulp van monetair beleid de economie naar een evenwicht sturen. Een probleem waar economische agenten mee te maken hebben bij het voorspellen van de economie, is dat het onmogelijk is over alle informatie te beschikken die nodig is om een 17

21 goede voorspelling te maken. Er wordt dan gezegd dat deze agenten niet beschikken over rationele verwachtingen (Bullard en Mitra, 2002). Hierdoor kan het voorkomen dat de economische agenten op een andere manier op de beleidsregel van de centrale bank reageren dan dat de centrale bank voor ogen had. Het is van belang te onderzoeken hoe de centrale bank de beleidsregel bepaalt waarvan zij wil dat die een stabiel evenwicht oplevert. De centrale bank moet met verschillende aspecten rekening houden bij de bepaling van de rente. Zo moet de rente zorgen voor een stabiel evenwicht, dat aan te leren is door de economische agenten. De gebruikte methode om te onderzoeken of er een stabiel evenwicht optreedt in de economie, is het E-stability principe (Evans en Honkapohja, 2001). Deze methode houdt in dat als er aan bepaalde voorwaardes is voldaan, het gevonden evenwicht consistent is met het evenwicht dat zal ontstaan onder perfect rationele verwachtingen. Voor de bepaling van een stabiel evenwicht is het van belang het verband tussen de verwachtingen van de economische agenten, weergegeven in een PLM, en de reactie van de economie op deze verwachtingen, weergegeven in een ALM, te analyseren. Er kan een afbeelding opgesteld worden van de PLM op de ALM: de zogenaamde T-map. Vervolgens kan door middel van het E-stability principe deze T-map onderzocht worden om te bepalen hoe de centrale bank de rente moet stellen om een stabiel evenwicht in de economie te creëren. In dit onderzoek is gebruik gemaakt van verschillende PLM s voor de bepaling van economische evenwichten. Eerst is onderzocht wanneer er een stabiel evenwicht optreedt als de economische agenten een model gebruiken waar te weinig parameters in zitten. Een evenwicht dat onder dit model tot stand komt heet een Restricted Perceptions Equilibrium (RPE) (Branch, 2004). Gebleken is dat er minder stabiele evenwichten komen naarmate de vertraagde inflatie een kleinere invloed heeft op de huidige inflatie. Een reden hiervoor is dat als de inflatie voor een groot deel te voorspellen is uit de inflatie van de voorafgaande periode, de verwachtingen een minder grote rol spelen in de economie, waardoor er minder onzekerheid is. Vervolgens is onderzocht welke evenwichten stabiel en aan te leren zijn door de economische agenten als zij de economie voorspellen met de juiste parameters. Bij het gebruik van dit juiste model wordt er gezegd dat zij een voorspelling maken met rationele verwachtingen. Bij het gebruik van deze PLM zijn er geen analytische resultaten, maar is er numeriek gekeken welke evenwichten stabiel zijn en welke niet. De conclusie die getrokken kan worden is dat voor grotere invloeden van de vertraagde inflatie er minder stabiele evenwichten zijn dan voor kleinere invloeden van de vertraagde inflatie. Dit valt te verklaren door het kunnen optreden van explosieve oplossingen voor de productieafwijking en de 18

22 inflatie. Dit wil zeggen dat deze variabelen naar plus of min oneindig kunnen gaan. Als de inflatie voor een groot deel te verklaren valt uit de voorafgaande inflatie, is het gevoeliger voor deze explosieve oplossingen, waardoor dit evenwicht misschien wel aan te leren is door de economische agenten, maar nooit stabiel is en dus ook niet als gewenst wordt gezien door de centrale bank. Als de inflatie alleen te verklaren is door de productieafwijking en door de verwachte inflatie van komende periode, schatten de economische agenten een te groot model. De evenwichten die gevonden worden, worden Strong E-stable genoemd. Met behulp van Recursive Least Squares kan onderzocht worden hoe er naar dit evenwicht geconvergeerd wordt door de agenten. Uit deze analyse blijkt dat economische agenten moeite hebben om naar dit evenwicht te convergeren, ondanks dat het gevonden evenwicht Strong E-stable is. Het blijkt dat, als bij de voorspelling er vanaf het begin rekening mee is gehouden dat de vertraagde inflatie geen invloed heeft op de huidige inflatie, de economische agenten aanzienlijk sneller naar het evenwicht convergeren. In dit onderzoek zijn een aantal aannames gemaakt die gezorgd hebben voor een behoorlijk versimpeld model. Zo wordt de economie alleen beschreven door te kijken naar de inflatie en de productieafwijking en niet naar de vertraagde rente van de centrale bank, wat een aannemelijke variabele is om op te nemen in het model. Ook is er maar één renteregel onderzocht, namelijk alleen de renteregel waar de rente bepaald wordt uit de huidige productieafwijking en huidige inflatie. Er kan onderzocht worden of er voor de overige drie renteregels genoemd door Bullard en Mitra (2002) of voor een combinatie van deze renteregels soortgelijke resultaten gevonden worden. 19

23 Bibliografie Branch, W. A. (2004). Restricted perceptions equilibria and learning in macroeconomics. Post Walrasian macroeconomics: Beyond the dynamic stochastic general equilibrium model, Bullard, J., & Mitra, K. (2002), Learning about monetary policy rules. Journal of monetary economics, 49(6), Evans, G.W. & Honkapohja, S. (2001). Learning and expectations in macroeconomics. Princeton University Press. Evans, G.W. & Honkapohja, S. (2003), Expectations and the stability problem for optimal monetary policies, Review of Economic Studies, 70(245), Fuhrer, J., & Moore, G. (1995). Inflation persistence. The Quarterly Journal of Economics, Galı, J., & Gertler, M. (1999). Inflation dynamics: A structural econometric analysis. Journal of monetary Economics, 44(2), Mendeleev, D. (n.d.). BrainyQuote.com. Retrieved June 7, 2016, from BrainyQuote.com Web site: Muth, J. F. (1961). Rational expectations and the theory of price movements. Econometrica: Journal of the Econometric Society, 29(3), Orland, A., & Roos, M. W. (2013). The New Keynesian Phillips curve with myopic agents. Journal of Economic Dynamics and Control, 37(11), Taylor, J. B. (1993). Discretion versus policy rules in practice. Carnegie-Rochester conference series on public policy, Vol. 39, Woodford, M. (1999). Optimal monetary policy inertia. The Manchester School, 67(s1),

24 Bijlagen Bijlage I: Stabiele evenwichten bij gebruik van een juist model Figuur 2: E-Stable gebieden voor verschillende waardes van α bij gebruik van een juist gespecificeerd model. 21

25 Bijlage II: Recursive Least Squares bij een te uitgebreid model Figuur 3: Recursive Least Squares voor de MSV-oplossing bij gebruik van een te uitgebreide PLM 22

26 Bijlage III: Recursive Least Squares bij een goed gespecificeerd model Figuur 4: Recursive Least Squares voor de MSV-oplossing bij gebruik van een juiste PLM 23