- Is er een winstgevend systeem te bedenken bij een spel dat puur om geluk draait (zoals roulette)?

Transcriptie

1 Boekverslag door een scholier woorden 23 juni keer beoordeeld Vak Wiskunde A Inleiding Presentatievorm Een uitgebreid verslag. Waarom dit onderwerp? In onze vrije tijd spelen we graag eens een casinospelletje zoals poker en blackjack. Bij deze kaartspelletjes hangt winst af van inzicht en geluk. Maar er zijn ook heel wat casino spelletjes die puur afhangen van geluk zoals: roulette, bingo, het rad van fortuin, fruitmachines en dobbelspelletjes. Nu zou het voor ons een uitdaging zijn om voor zo n bekend casinospel als roulette wat puur om geluk draait, een systeem te verzinnen, waarbij je het casino met winst verlaat. Onderzoeksvraag - Is er een winstgevend systeem te bedenken bij een spel dat puur om geluk draait (zoals roulette)? Enkele deelvragen - Wat is roulette nou precies? - Zijn er al roulettesystemen en zo ja, hoe werken deze? - Werkt ons systeem op papier? - Werkt ons systeem in de praktijk? De natuurwetenschappelijke kant Om een systeem te ontwerpen komt ook natuurwetenschap om de hoek kijken. Denk maar aan de kansberekeningen die op casinospellen zoals roulette losgelaten kunnen worden. Dit heeft twee kanten: het casino gebruikt ze om een winst te behalen en eventueel de speler om een systeem te bedenken. De maatschappelijke kant Al duizenden jaren sluit de mens weddenschappen af en gokt zij. De paardenraces in de Romeinse tijd zijn hier een goed voorbeeld van. Gokken doet men dan ook om geld te verdienen, voor de spanning of om even alle problemen te vergeten. De keerzijde van vrijwel alle gokspellen is dat ze grote (financiële) risico s met zich mee brengen. Gokverslaafden met of zonder geldproblemen zijn dan ook een zorg voor de overheid. Het werkstuk zelf Het werkstuk zal openen met een mindmap waaruit we onze inspiratie hebben gehaald. Gevolgd door drie hoofdstukken over gokken, roulette en de wiskundige achtergrond achter gokken. Ze bevatten vooral veel algemene informatie. Het laatste hoofdstuk zal de eerdere hoofdstukken combineren en gaan over een winstgevend roulette systeem. In de conclusie blikken we terug op de besproken onderwerpen en welke les daaruit is te trekken. Op de laatste pagina s zal een weekplanning, logboek en bronvermelding natuurlijk niet ontbreken. Pagina 1 van 24

2 1.1 De geschiedenis van het gokken Gokken wordt al duizenden jaren gedaan. Heel vroeger werd gegokt met kleine botjes van een schaap of hond. Bij opgravingen zijn deze botjes in grote getale gevonden. Van sommige wordt geschat dat ze veertigduizend jaar oud zijn. De botjes waren de voorloper van de dobbelsteen. De dobbelsteen dateert van drieduizend voor Christus. De populariteit van dobbelen nam echter af toen de kaartspellen in het oude China van de 12e eeuw werden uitgevonden. Het kaartspel biedt mogelijkheden voor tientallen verschillende spelletjes, en won daardoor steeds meer populariteit. Kaartspelletjes zijn echter niet pure kansspellen omdat door een grote vaardigheid in het spelletje een aanzienlijk grotere winkansen behaald wordt. Tot de Romeinse tijd bestond gokken dus voornamelijk uit het gokken met botjes, dobbelstenen en kaartspelletjes. De Romeinen hadden ondanks haar grote welvaart toch een grote groep armen. Om deze groep armen niet tegen zich te keren bedachten de keizers het principe van spelen en brood. Zo mocht iedereen gratis naar het theater toe, waar ze tevens gratis eten kregen. Om de bevolking rustig te houden hield de keizer het principe van brood en spelen aan. Normaal had de arme bevolking dus geen geld om te gokken, maar op feestdagen strooide de keizer briefjes over de bevolking uit. Sommige briefjes waren goed voor prijzen als graan, olie of geld. Een soort loterij dus. Maar ook de rijkere Romeinen waren niet vies van gokken. Iedereen die een beetje geld had ging naar de paardenraces om te gokken of te flirten met andere bezoekers. Uit oude bronnen blijkt dat deze paardenraces nog populairder waren dan de gladiatorengevechten. De spellen ontwikkelden zich steeds verder en werden professioneler van opzet. De populariteit nam ook toe. Dit bereikte zijn hoogtepunt in de 18de eeuw. In deze periode begonnen de overheden gokken aan banden te leggen, omdat de populariteit extreem groot was geworden. De laatste jaren zijn er steeds minder gokverslaafden en dat is vooral te danken aan de overheid. In de 20e eeuw zijn er nog een aantal kansspellen bijgekomen te beginnen met de fruitautomaat. In 1905 is patent aangevraagd voor de eerste fruitkast. De bedoeling van de uitvinder was de speler zo langzaam mogelijk te laten verliezen. De apparaten mochten geëxploiteerd worden door particulieren en waren altijd winstgevend. Dit zorgde ervoor dat ze in toenemende mate in vaste opstelplaatsen als: café's, restaurants, snackbars, tabakszaken, buurthuizen, kapsalons en dergelijke, werden aangetroffen. Niet lang daarna werd bingo (of kienen) uitgevonden. De vorm van gokken behoord tot de kleine kanspelen omdat de inzet laag is. Het wordt vooral gespeeld op feestavonden van verenigingen en clubs, en te vinden in Amerikaanse casino s. Belspelletjes zijn de laatste ontwikkeling op het gebied van kansspellen. Het is namelijk geen behendigheid of kwestie van intelligentie als je wint. De beller gokt dat hij er als eerste doorkomt en de mooie prijs wint. De Minister van Justitie overweegt deze belspelletjes aan banden te leggen. N.B. De geschiedenis van roulette en het casino behandelen we in het hoofdstuk: 'De geschiedenis van roulette' en 'Het casino'. 1.2 Het casino Algemeen Een casino is een uitgaansgelegenheid waar de bezoekers kunnen gokken door hun geld in te zetten op roulette, blackjack, fruitautomaten en andere spelletjes in een poging om hun inzet te vergroten. Soms wint noir, soms wint rouge maar blanc wint altijd François Blanc ( ), succesvol directeur van het casino in Monte Carlo. Pagina 2 van 24

3 De casinospellen leveren de exploitant van het casino geld op omdat ze ofwel statistisch gezien ten nadele van de klant zijn (bijv. roulette, craps) ofwel omdat het casino een courtage vraagt als klanten tegen elkaar spelen (bijv. poker, baccarat). Casino's worden in veel gevallen gecombineerd met een hotel, restaurant of andere attractie om zo hun gasten een complete uitgaansgelegenheid te kunnen bieden. Casino s in Nederland In Nederland is het alleen Holland Casino toegestaan om Casino's te exploiteren. Holland Casino heeft vestigingen in Amsterdam, Breda, Eindhoven, Enschede, Groningen, Nijmegen, Rotterdam, Scheveningen, Schiphol Airport, Utrecht, Valkenburg, Venlo en Zandvoort. Naast de Casino's van Holland Casino zijn er in veel steden gokhallen die zich ook Casino noemen. In tegenstelling tot Holland Casino hebben deze echter enkel gokautomaten en geen tafelspelen. De maximaal toegestane inzetten op de speelautomaten in de gokhallen zijn lager dan die van de speelautomaten in de Holland Casino s. In 1976 opende Holland Casino de eerste vestiging in Zandvoort. Inmiddels is Holland Casino uitgegroeid tot een onderneming met dertien vestigingen verspreid over het hele land. De dertiende vestiging is onlangs geopend in Venlo. Naar verwachting zal in Leeuwarden het veertiende casino geopend worden. De vestigingen van Holland Casino vallen onder toezicht van de overheid en wel onder het College Toezicht op Kansspelen. Het bestuur van Holland Casino wordt benoemd door de ministers van Economische Zaken en Justitie. De winst van Holland Casino wordt afgedragen aan de staat en als een soort belasting aan het tegoed van de schatkist toegevoegd. De bezoeker dient de minimale leeftijd van 18 jaar te hebben bereikt en moet zich bij binnenkomst in een Holland Casino legitimeren met paspoort of rijbewijs. Holland Casino s voert sinds jaren een actief beleid ter voorkoming van kansspelverslaving. In samenwerking met verschillende zorginstanties zijn verschillende programma s opgesteld waarmee de bezoeker de gelegenheid wordt geboden om zichzelf beperkende maatregelen op te (laten) leggen. In 2005 heeft Minister Donner geopperd om de naam Casino te beschermen en alleen ter beschikking te stellen aan Holland Casino om zodoende de consument een kwaliteitsgarantie te bieden. Casino s in het buitenland De casino s in het buitenland lijken erg op die van Nederland. Op drie beroemde goksteden na - Monte Carlo (Monaco) - Las Vegas (Verenigde Staten) - Atlantic City (Verenigde Staten) Monte Carlo Avontuur? Neem Monte Carlo, waar het beroemdste casino ter wereld staat. Van voor tot achteren ziet het er als een paleis uit. Het casino, zo wordt verteld, werd door prins Karel III opgericht. Door de slechte bereikbaarheid waren er in het begin maar weinig klanten. Dat veranderde pas toen François Blanc, een door speculaties op de beurs schatrijk geworden ex-kelner, in 1861 de exploitatievergunning verwierf. Blanc zorgde dat er een spoorlijn kwam, hij liet operasterren uit Parijs overkomen en legde een mooi park aan rond het casino. De ene na de andere grootheid diende zich aan. De inwoners van het vorstendom waren allesbehalve ingenomen met de gokenclave: ze verdienden er niks aan. Maar Blanc kwam met een gouden vondst. Hij kreeg de prins zover dat de burgers van Monaco geen belasting meer hoefden te betalen. Zo kon hij ongestoord zijn imperium uitbouwen. Las Vegas Pagina 3 van 24

4 Nevada legaliseerde gokken in Zij kreeg een impuls toen de bouwvakkers, die aan de Hoover Dam werkten, in Las Vegas gingen gokken. De stad werd al snel legendarisch door Binion s Horseshoe Casino die de reputatie had elke inzet aan te nemen. Las Vegas werd verdeeld in twee delen: de Las Vegas Strip, waar u beroemde casino s vindt als de Hacienda, Tropicana en Ceasar s Palace. Het andere deel van Las Vegas, de Downtown, kent de Horseshoe, de Golden Nugget en de Las Vegas Club als pareltjes. Vegas is 24 uur in bedrijf; de casino s worden afgewisseld met hotels, winkelcentra, souvenirwinkels en er is zelfs een trouwkapel. Atlantic City Atlantic City ligt gunstiger voor bezoekers van de oostkust van Amerika, maar het heeft niet de glamour van Las Vegas. De stad is een mengeling van achterbuurten en wolkenkrabbers, met een dozijn casino s, ondanks het inwonertal van slechts mensen. De gemiddelde omzet van een casino in Atlantic city is net zoals in Las Vegas ongeveer 1,5 miljard euro. Dat is ongeveer 10X zoveel als een casino van Holland Casino. Casino spellen: blackjack poker baccarat roulette craps (dobbelen) gokautomaat keno (bingo) 1.3 Gokproblematiek Algemeen Gokken is iets doen, waarvan je van tevoren niet weet wat het resultaat is, en waarbij je het risico loopt te winnen of te verliezen. De meeste mensen die gokken hebben er (aanzienlijk veel) geld voor over maar weten tot hoever hun budget reikt. Ze stoppen als er een bepaald bedrag verloren is gegaan. Er zijn echter ook mensen die die grenzen niet (meer) in de gaten houden. Zij geven meer geld aan het gokken uit dan ze zich kunnen veroorloven. Over een langere periode levert dit zeker problemen op. Dit gaat vaak zeer geleidelijk: ruzie in het gezin, op het werk, liegen etc... Uiteindelijk wordt het hele doen en laten beheerst door gokken en het verkrijgen van geld om te kunnen gokken. Per Nederlander wordt er ongeveer 125 euro per jaar uitgegeven aan legale kansspelen. In totaal gaat het om 1,75 miljard euro mensen spelen wel eens op een fruitautomaat, mensen komen in een casino. In Nederland zijn er tussen de en mensen door gokken in de problemen geraakt. Slechts mensen zoeken hulp. Gemiddeld verloopt er zeven jaar tussen de eerste keer gokken en de vraag naar hulp. Stadia van Gokverslaving De winnende fase In deze fase wordt het gokken gekarakteriseerd als een prettig tijdverdrijf. Gokken betekent plezier, opwinding en vermaak. Er wordt plezier beleefd aan het winnen. En het gevoel van eigenwaarde stijgt. Vooral in het begin wordt er gewonnen, soms zelfs fors gewonnen. Bepalend is echter de beleving die mensen hierbij hebben. Het gaat hierbij niet zozeer om de hoeveelheid winst die mensen behalen, maar om Pagina 4 van 24

5 de kickervaring die het winnen geeft. Dit doet spelers geloven in een bepaald systeem dat ze spelen. Verlies wordt nogal eens gezien als een product van externe krachten, zoals: pech gehad, het systeem deugt niet, iemand anders heeft vals gespeeld, of de kast staat verkeerd afgesteld. Het verliezen wordt goedgepraat. De speler wint, verliest, betaalt kleine leningen terug, en leent opnieuw. De verliezende fase De speler gaat nu ook gokken met geleend geld. Er wordt geld ontrokken aan de zaak, of er wordt geleend bij de bank. Leningen worden zoveel mogelijk verborgen gehouden voor partner, ouders en familieleden. Wanneer zij hier achter komen ontstaan er problemen over het gokken. De gokker begint zich heimelijk te gedragen en houdt anderen op een afstand. Geestelijk kan hij zich even ontspannen door te gokken. Om verliezen ongedaan te maken en leningen terug te kunnen betalen besteedt de speler steeds meer tijd en geld aan gokken. Het werk begint een last te worden en wordt gejaagd en onzorgvuldig gedaan. Juist wanneer het gokken en de verliezen omvangrijker worden wordt de terugkeer of het stoppen met gokken steeds kleiner. Heel vaak worden beloften gedaan, dat de speler dit keer echt zal stoppen. De speler kan zijn baan verliezen als afwezigheid of ziekteverzuim toeneemt of wanneer er fraude ontdekt wordt. Nog steeds gaat hij er vanuit eens de grote winst te behalen. De wanhopige fase Gokken wordt nu een fulltime bezigheid. De speler wordt vaak het zwarte schaap van de familie, vanwege het gokken of zijn gedrag. Partners en ouders zijn vol afkeer en wanhopig wanneer dit punt bereikt is. Werken wordt vaak een mislukking, want de gedachten van de speler zijn niet bij het werk. Een eigen zaak gaat vaak failliet. Het optimisme van de speler dat het winnen terug zal komen begint af te nemen. Wanneer spelers dit punt bereikt hebben en illegale risico s hebben genomen worden ze rusteloos, geïrriteerd, hypernerveus en er treden slaapstoornissen op. Het eetpatroon raakt verstoord en het leven geeft nog weinig plezier. Hier spreekt men van verslaving in de letterlijke zin van het woord. In dit stadium zijn spelers lichamelijk en psychisch uitgeput en voelen ze zich wanhopig en hulpeloos. Lonen gaan direct door naar de schuldeisers, kredietinstellingen en banken eisen hun geld op en sturen dreigbrieven. 2.1 De geschiedenis van roulette Over de oorsprong van roulette doen vele verhalen de ronde. De geschiedenis van het spel gaat terug naar de 10e eeuw. Uit deze eeuw zijn in de Kaukasus perkamenten gevonden waaruit de huidige nummervolgorde van roulette is af te leiden. Roulette zou in zijn oervorm in de 14e eeuw zijn uitgevonden door een Chinese monnik, waarna het door een jezuïetenmissionaris naar Europa werd gebracht. In tegenstelling tot wat vaak wordt beweerd, is er geen direct verband tussen de Franse wiskundige Blaise Pascal ( ) en het roulettespel. Qua vormgeving zou het Rad van Avontuur de voorloper zijn van de huidige roulettecilinder. Eind 17e eeuw werd het grote staande rad gekanteld en werden de pinnetjes en de stalen vee vervangen door de bekende vakjes en het balletje. Tegelijkertijd verplaatste het spel zich van het open kermisterrein naar de meer comfortabele villa s (casini) van de Italiaanse adel, waar de aristocratie zich illegaal met kansspelen vermaakte. Midden 18e eeuw ontstaan de eerste casino s in Duitsland en Frankrijk. Halverwege de 19e eeuw komen casino s als Baden-Baden en Monte Carlo tot grote bloei. En sinds 1976 biedt Holland Casino in Nederland het legale kansspel aan. De tijd dat casino s waren voorbehouden aan de high society ligt inmiddels ver achter ons. 2.2 Spelregels roulette Pagina 5 van 24

6 Bij Franse Roulette speel je in principe met de klassieke Franse jetons, dit zijn fiches met aflopende randen en vaste kleuren voor elke waarde. De speciale vorm van de jeton maakt het voor de croupier mogelijk om met behulp van het harkje inzetten voor u te doen. Zet je in op je geluksgetal? Of zet je op meerdere nummers tegelijk in? Hier een overzicht van alle inzetmogelijkheden. Inzetten op 1 getal (uit de getallen 1 t/m 36) Inzetten op 2 getallen naast elkaar (uit de getallen 1 t/m 36) Inzetten op 4 getallen naast elkaar -vierkant- (uit de getallen 1 t/m 36) Inzetten op de nul Inzetten op dubbele nul (alleen Amerikaanse roulette kent een dubbele nul) Inzetten op de eerste 12 cijfers Inzetten op de daaropvolgende 12 cijfers Inzetten op de laatste 12 cijfers Inzetten op de eerste 18 cijfers Inzetten op de laatste18 cijfers Inzetten op de eerste rij Inzetten op de tweede rij Inzetten op de derde rij Inzetten op rood Inzetten op zwart Inzetten op even Inzetten op oneven Uiteraard kun je alle inzetten naar hartelust combineren. Voorbeeld: Je kunt in een speelronde gewoon op nummer 15, rood, en de derde rij tegelijk inzetten. Bij de croupier kun je echter ook nog andere inzetten doen, die ik hieronder zal bespreken. Het burenspel Het burenspel is heel gemakkelijk. Het is eigenlijk niets anders dan een zelfgemaakte serie. Je hebt bijvoorbeeld het voorgevoel dat het volgende winnende nummer een 8 is. Toch twijfel je of de kogel wel precies op de 8 valt. Misschien valt hij wel net in het vakje ernaast. Dan kun je het burenspel spelen. Je kunt daarbij op drie manieren te werk gaan: A Je zet niet alleen in op nummer 8, maar ook op de twee nummers links en de twee nummers rechts van de 8. In dit geval zet u dus in op: 10, 23, 8, 30 en 11. Als een van de vijf nummers valt, wordt je winnende jeton 35 x uitbetaald. B Je kunt bij het burenspel ook met één buur spelen. C Je kunt bij het burenspel ook met drie buren spelen. Finales Naast het burenspel, zijn er ook nog zogenoemde finale-spelen. Hierbij zet je in op combinaties van eindcijfers. Enkele voorbeelden: - Finale 7 betekent dat je wilt inzetten op nummer 7, de 17 en de 27 (3 jetons). - Finale 2 is spelen op de nummers 2, 12, 22 en 32 (4 jetons). Ook combi-finales zijn mogelijk, zoals bijvoorbeeld Pagina 6 van 24

7 - Finale 2-5. Je speelt dan met vier jetons op 2/5, 12/15, 22/25, 32/35. - Ook Jeux 7/9 is een finale-variant, waarbij je speelt op de 7/8, 8/9, de 17/18, de 19, de 27 en de 28/29 (6 jetons). Daarnaast is er de beroemde glaasje op -finale, die bij de croupiers bekendstaat als Finale Schnaps. Dit is geen officiële finale-annonce, maar elke Franse Roulettecroupier zal dit spel voor u plaatsen op de nummers 11, 22 en 33 Het spelverloop In elk casino is het de gewoonte dat de croupier de kogel voor de eerste ronde van die dag draait vanuit de datum van die dag. Voorafgaand aan de eerste ronde ligt de kogel dus in de datum van de speeldag. Deze traditie sluit uiteraard de nummers 32, 33, 34, 35, 36 en de zéro uit. Hoe verloopt het spel? Je mag inzetten zodra je de croupier Faites vos jeux of Uw inzetten alstublieft hoort aankondigen. Het spel gaat nu beginnen en je krijgt voldoende tijd om je inzetten te plaatsen. Vervolgens geeft de croupier de kogel. Terwijl de cilinder in de ene richting draait, draait het rouletteballetje in de tegenovergestelde richting. Na korte tijd annonceert de croupier: Rien ne va plus of Niets meer inzetten alstublieft. Je mag niets meer inzetten of verplaatsen. Alle ogen zijn op de kogel gericht. De spanning stijgt. Langzaam verliest het balletje zijn snelheid en stuitert naar het winnende nummer. De croupier meldt vervolgens het winnende nummer, als ook de winnende enkelvoudige kansen, terwijl hij met het harkje het nummer aanwijst. De verliezende inzetten worden door de ene croupier van de tafel verwijderd, terwijl de andere croupier begint met uitbetalen. De uitbetalingen voor de winnende kolom en het winnende dozijn, de winnende enkelvoudige kansen worden naast en/of op de inzet geplaatst. De uitbetalingen van de diverse nummercombinaties en op het volle nummer worden naar de winnaars geschoven. De winnende inzetten blijven in principe op de tafel staan. Je bepaalt zelf of u de winnende inzet op dezelfde plaats laat staan. Sommige spelers zeggen dat het ongeluk brengt als je een winnende inzet verplaatst of weghaalt (het nummer zal nog maar een keer vallen ). Pas als de uitbetalingen klaar zijn, annonceert de croupier: Alles betaald, uw inzet alstublieft of Tout est payé, faites vos jeux s il vous plaît Dit is het startsein voor een nieuwe ronde. Roulette als goksymbool Roulette is al jaren hét goksymbool. In vele films, boeken en tijdschriften wordt roulette in één adem uitgesproken met gokken. Hieronder twintig bekende films waarin de roulettetafel een belangrijke rol speelt. 20 Roulette films Whisky 2004 Las Vegas 2003 The Cooler 2003 The Good Thief 2002 Casino Life 2001 Girls' Night 1998 Lola rennt 1998 Caesars Palace 1997 California Split Pagina 7 van 24

8 The Sting : Casino Royale 1967 Lucky Losers 1950 Out of the Past 1947 The Big Sleep 1946 Casablanca 1942 Weekend in Havana 1941 Swing Time 1936 The Casino Murder Case 1935 Midnight Mary 1933 Voltaire 1933 Two Against the World 1932 The Turn of the Wheel Geschiedenis van de kansrekening De Italiaan Girolamo Cardano ( ) schrijft als eerste wetenschapper over kansrekening. Cardano ziet kans om een groot aantal boeken te publiceren over uiteenlopende onderwerpen als astrologie, natuurkunde, dromen, schaken, muziek, kansspelen en wiskunde. In zijn boek 'Liber de ludo aleae' ('Het boek over het spel der dobbelstenen') lost Cardano o.a. drie problemen op die ongetwijfeld hun oorsprong in het casino hebben. De fundamenten voor een uitgebreide theorie van de waarschijnlijkheidsrekening worden in 1654 gelegd door de beroemde Franse wiskundigen Blaise Pascal en Pierre de Fermat, nadat een dobbelende edelman Pascal te hulp roept om een meningsverschil tussen dobbelspelers te beslechten. De kwestie is of het verstandig is een weddenschap af te sluiten op het voorkomen van minstens één maal dubbel zes bij een reeks van 24 worpen met twee dobbelstenen. De correspondentie die naar aanleiding van dit probleem ontstaat tussen Pascal en de Fermat komt onder de aandacht van Christiaan Huygens, die vervolgens een boek over dit onderwerp schrijft, getiteld De Ratiociniis in Ludo Aleae. Het boek behandelt een grote hoeveelheid aan het gokspel gerelateerde vragen. De moderne theorie is van de hand van de Russische wiskundige Kolmogorov, die in 1934 het leerboek "Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung" in het Duits publiceerde met daarin een axiomatische aanpak van de kansrekening. 3.2 Waarschijnlijkheid Waarschijnlijkheidsrekening is het gebied van de wiskunde dat zich bezig houdt met het voorspellen van kansgebeurtenissen. Wat bedoelt men nu precies wanneer men spreekt van de waarschijnlijkheid dat een gebeurtenis ook daadwerkelijk gebeurt? De meeste mensen zouden zeggen dat het betekent hoe vaak iets gebeurt over een gegeven aantal experimenten. Hierdoor worden veel mensen verleid tot het maken van de volgende uitspraak: "Het kan me niet schelen hoe vaak ik verlies als ik het rouletteballetje een miljoen keer laat rollen, want ik ben niet van plan om een miljoen keer te spelen. Ik ga slechts een uur spelen en in een uur kan van alles gebeuren. Daarom is het belangrijk te begrijpen dat waarschijnlijkheid ons niet alleen vertelt wat er gebeurt in een miljoen pogingen, maar dat het ons ook vertelt hoe groot de kans is dat iets gebeurt in één poging. En of je nu een uur lang gaat gokken of dat je net zo lang doorgaat tot je een miljoen pogingen hebt gedaan, je kans op winnen is groter als je rekening houdt met de waarschijnlijkheid van de Pagina 8 van 24

9 gebeurtenissen. Sommige gokkers zullen dit blijven tegenspreken. Zij geloven liever in geluk, bijgeloof, voorgevoelens of de systemen die we later zullen bespreken. Ik kan slechts één argument geven dat pleit om rekening te houden met de waarschijnlijkheid van gebeurtenissen en ik denk dat dit argument ook voldoende is. Elk casino baseert zijn spelen puur op de waarschijnlijkheidsrekening. Hun winstverwachting wordt direct berekend uit deze waarschijnlijkheidsrekening en elk van deze casino's verdient per jaar meer dan alle bijgelovige spelers bij elkaar. Als je hoopt geld te verdienen met gokken, dan adviseer ik je om je vertrouwen te leggen in dezelfde principes als de casino's. 3.3 Onafhankelijke gebeurtenissen Iedereen weet dat de kans op kop boven is als je een munt gooit. Stel nu dat je een munt tien keer achter elkaar gooit en de eerste negen keer komt munt boven. Wat is dan de kans dat de tiende keer kop boven komt? Het antwoord is dat de kans nog steeds is. De munt kan niet onthouden dat de eerste negen keer munt boven kwam. Om deze reden kunnen de vorige worpen de volgende worpen niet beïnvloeden. Maar is het niet zo dat hoe meer pogingen van een gebeurtenis je doet, hoe meer de resultaten zich willen middelen? Betekent dit niet dat een overvloed van het aantal keren dat kop boven kwam, gevolgd moet worden door een overvloed aan het aantal keren dat munt boven komt om op de lange termijn de resultaten in balans te houden? Het antwoord op deze beide vragen is nee. De wet van de grote aantallen zegt dat hoe vaker een munt wordt gegooid, hoe dichter de verhouding van het aantal keer kop boven en het aantal keer munt boven de werkelijke waarschijnlijkheid van 50:50 zal benaderen. 3.4 De standaard deviatie De kans op een gebeurtenis wordt meestal gegeven als een getal tussen 0 en 1. Een kans 0 betekent dat de gebeurtenis niet zal gebeuren en een kans 1 betekent dat de gebeurtenis juist wel zal gebeuren. Als je een munt gooit, dan is de kans op munt boven 0.5 en de kans op kop boven ook 0.5 (één van de eigenschappen van de waarschijnlijkheid is dat de som van de kansen op alle mogelijke gebeurtenissen gelijk is aan 1, want het is zeker dat één van deze gebeurtenissen zal gebeuren). Dit betekent dat bij een serie van worpen, ongeveer de helft van de keren kop boven komt en de andere helft munt boven. Nu weten we uit ervaring dat bij een klein aantal worpen, de resultaten zelden gelijk zijn aan deze theoretische voorspelling. Deze korte termijn fluctuaties in de verwachte resultaten worden gemeten als standaard deviatie. Je zou kunnen zeggen, dat de standaard deviatie ons de kans vertelt dat de korte termijn resultaten gelijk zijn aan de voorspellingen van de waarschijnlijkheid. Het gaat te ver om precies uit te leggen hoe deze standaard deviatie precies wordt berekend. Het is voldoende om te zeggen dat hoe groter het aantal pogingen, hoe kleiner de standaard deviatie zal zijn. In andere woorden, hoe langer je gokt, hoe dichter de resultaten zullen liggen bij de voorspellingen van de waarschijnlijkheid. Op de korte termijn kunnen de afwijkingen erg groot zijn. Wanneer deze korte termijn fluctuaties bij de roulettetafel samenvallen met de manier waarop men wedt, heeft men de neiging om dit als geluk te omschrijven. Wanneer de fluctuaties juist niet samenvallen met de manier waarop men wedt, dan concludeert men dat men pech heeft. Onthoud echter de les gegeven door de wiskunde van de standaard deviatie. Hoe langer je gokt, hoe minder belangrijk geluk wordt en hoe belangrijker een begrip van waarschijnlijkheid, de wiskunde van het gokken, wordt. Pagina 9 van 24

10 3.5 Het voordeel van het casino Toen de eerste casino's berekenden hoeveel geld ze zouden uitbetalen als een speler een weddenschap won, zouden ze ervoor gekozen kunnen hebben om in een verhouding uit te betalen die precies omgekeerd evenredig is met de kans dat de speler wint. Casino's hebben echter ook rekeningen te betalen, dus kozen ze ervoor om zichzelf een wiskundig voordeel te geven. Dit voordeel van het casino is de belangrijkste factor in het bepalen van je kansen om te winnen in elk willekeurig casinospel. Het voordeel van het casino wordt meestal gegeven als een percentage. Dit percentage geeft aan hoeveel eenheden het casino gemiddeld kan verwachten te winnen per 100 ingezette eenheden. Deze percentages maken het de speler mogelijk om bij elke weddenschap zijn verwachtingswaarde te berekenen. Bij de meeste rouletteweddenschappen is het voordeel van het casino gelijk aan 2,70 procent en dus het spelers nadeel -2,70 procent. 4.1 Waarom mensen gebruik maken van systemen Naar mijn idee zijn er twee soorten situaties die bijgeloof in de mens naar boven brengen. De eerste is de situatie waarin het succes volledig afhangt van de persoon zelf. Wanneer een voetballer of tennisser het veld opstapt, weet hij dat hij alleen kan winnen als hij zijn uiterste best doet. De uitkomst hangt volledig van hem af, de druk om te presteren is groot. Het is daarom niet verwonderlijk dat hij naar iets zoekt, dat hem laat denken dat het eindresultaat niet helemaal van hem afhangt. Als hij zichzelf ervan kan overtuigen dat het dragen van de juiste sokken of het doen van een bepaald ritueel succes kan garanderen, zal de druk iets minder worden. Gek genoeg zal om juist die reden de kans op slagen iets groter worden. Het is daarom niet verbazend dat vele sporters een vast ritueel hebben voor ze aan een wedstrijd beginnen. Iedereen die zichzelf in een zelfde situatie bevindt, waar hij alleen door zelf optimaal te presteren succes kan behalen, zal steeds weer in dezelfde gewoonte vervallen. Ironisch is dat de andere situatie waarin bijgeloof een rol gaat spelen precies het tegenovergestelde is, waarbij er veel op het spel staat, maar waarbij de persoon absoluut geen controle heeft over de uitkomst. Dit is de situatie die bij gokkers een rol speelt. De wetenschap dat hij geen enkele invloed kan uitoefenen op de uitkomst van het rouletteballetje, geeft de roulettespeler een ander soort van onrust dan de sporter. Deze onrust kan echter gedeeltelijk op dezelfde manier worden weggenomen: door te geloven dat een bepaalde talisman of een bepaald ritueel een magische controle over de uitkomst geeft. Zo werkt het natuurlijk niet, maar het kan zorgen dat je je een beetje beter voelt... tot het balletje is uitgerold. Het probleem is dat in het laatste geval, het bijgelovige gedrag geen verbeterde prestatie zal opleveren. Het zal waarschijnlijk zelfs minder goed gaan, want vertrouwen op 'magische' oplossingen zorgt ervoor dat de gokkers de elementen vergeten die hen echt gedeeltelijk controle kunnen geven over de uitkomst: kennis van het spel, strategie, geldbeheer en kennis van de wiskunde, die achter alle gokspellen zit. Professionele gokkers hebben niet voor niets het volgende gezegde: "Verliezers geloven in geluk, winnaars geloven in vaardigheid." Kennis nemen van de slimme manier van gokken zal nooit de onrust wegnemen die er heerst vlak voor het balletje tot rust komt, het zal je slechts helpen winnen. Aan de andere kant, die onrust is juist één van de charmes van gokken. De opwinding van het gokken is slechts ondergeschikt aan de opwinding van het winnen. De volgende concepten kunnen ons bij dat winnen helpen. 4.2 Enkele systemen Pagina 10 van 24

11 Ook al is het wiskundig nadeel van de speler bij roulette redelijk makkelijk te berekenen, toch is roulette het spel in het casino dat systeemspelers aantrekt. De meest bekende systemen zijn zeker de moeite van het bekijken waard. De Fitzroy-progressie Dit is een eenvoudig maar riskant systeem. Je begint met één eenheid. Na verlies tel je daar één bij op. Bij verlies weer één, enzovoort. Zo ontstaat de reeks 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 enzovoort. Je zet bij dit systeem in, totdat je voorstaat. Speel je dit op een enkelvoudige kans, dan wint je zeer vaak, omdat je bij een treffer altijd meer wint dan de vorige inzet. De kans bestaat echter dat rood in een lange reeks uitkomt. Is dit het geval en heb je hoog ingezet op zwart, dan wordt het bedrag om volgens dit systeem steeds hoger te kunnen inzetten langzamerhand gigantisch groot. Het Labouchère-systeem Hierbij begin je meestal met een rijtje getallen achter elkaar te schrijven, bijvoorbeeld Vervolgens zet je het eerste plus het laatste getal in op bijvoorbeeld rood. Valt rood, dan heb je 4 eenheden gewonnen en streep je de 1 en de 3 weg. Daarna zet je de resterende twee in en als die winnen heeft u zes eenheden gewonnen. Verlies je echter de eerste vier, dan schrijf je die achter het rijtje (dat dus wordt) en zet vervolgens weer de eerste plus de laatste samen in (dus 1 plus 4 = 5). Houd je dit een poosje vol, dan win je vaak omdat je bij winst twee afstreept en bij verlies maar één cijfer bijschrijft. Op den duur hoef je dus maar eenderde van alle draaien te winnen, terwijl in het algemeen de helft van de draaien op den duur rood is. Je kunt echter ook een slechte serie treffen. De inzetten lopen dan geweldig op, waardoor het systeem in elkaar stort. Vandaar dat in Frankrijk dit systeem ook wel La Guillotine wordt genoemd. Het Contra d Alembert-systeem Met dit systeem begint men met een inzet op bijvoorbeeld rood. Zolang zwart blijft vallen, zet u telkens maar één eenheid in. Valt echter rood, dan ga je na één keer winst met één eenheid omhoog, dus 2, 3, 4 enzovoort. Kortom, bij een verliezende reeks verlies je weinig en bij een winnende reeks kom je snel uit het verlies. Iedere keer na verlies ga je weer één eenheid terug. Dit systeem werpt uiteraard alleen vruchten af als er regelmatig aardige series komen. Het verhaal gaat dat iemand ooit bij het Casino in Knokke aan de oude portier vroeg of deze misschien een winnend systeem wist. Waarop de goudgegalonneerde portier fluisterde: Welzeker manneke, het enige winnende systeem heet: niet naar binnen gaan!" Systeem of niet, vaak zie je dat mensen die voor het eerst roulette spelen en er eigenlijk niets van afweten, soms hele grote winsten maken. Dit beginnersgeluk wordt door wiskundigen wel verklaard met: geen systeem is in feite ook een systeem 4.3 Een systeem onder de loep Zoals gezegd bestaat er geen winnend systeem dat wiskundig onderbouwd is. Toch blijven veel mensen in deze niet-werkende systemen geloven. Een goed voorbeeld zijn de meervoudige inzet systemen. Veel mensen denken winst te kunnen halen uit zo n systeem omdat de ene inzet de zwakheid van de andere elimineert. Als ze tegelijkertijd gespeeld worden dan zou de juiste combinatie een voordeel boven het huis geven. Er zijn veel versies van deze methode. Eén van de populairste variaties van dit systeem is het waard om verder te bekijken. In de derde kolom van de getallen staan slechts vier zwarte getallen en dus acht rode getallen. Als men nu geld inzet op de derde kolom en op de zwarte getallen, dan zijn er zoveel getallen gedekt met zo weinig geld, dat dit een voordeel boven het casino zou geven. Maar wat gebeurt er nu als elk nummer even vaak Pagina 11 van 24

12 valt? Dit mogen we verwachten als het roulettewiel zuiver is, dus het is van belang om dit nader te bekijken. Inzetten op de kleuren worden 1:1 uitbetaald en inzetten op kolommen 2:1. Als er een zwart nummer valt, dat in de derde kolom ligt, dan maakt de speler dus drie eenheden winst, één omdat hij op zwart heeft gewed en twee omdat hij op de juiste kolom heeft gewed. Dit gebeurt vier van de 37 keer, aangezien er vier zwarte getallen in de derde kolom liggen. Dat brengt de winst op een totaal van twaalf eenheden. Als het balletje op een rood nummer komt dat in de derde kolom ligt, dan wint de speler één eenheid. Hij verliest er namelijk één, omdat hij op de verkeerde kleur heeft gewed, maar hij wint er twee voor het wedden op de juiste kolom. Dit gebeurt acht keer, aangezien er acht rode getallen in de derde kolom liggen. Dit brengt de totale winst op twintig eenheden. Valt het balletje op een zwart nummer dat niet in de derde kolom ligt, dan speelt de speler quitte. Hij wint één eenheid voor het wedden op de goede kleur, maar verliest één eenheid voor het wedden op de verkeerde kolom. Als het balletje op een rood nummer komt dat niet in de derde kolom ligt, dan verliest de speler twee eenheden, één voor het wedden op de verkeerde kleur en één voor het wedden op de verkeerde kolom. Er zijn 18 rode getallen, waarvan er 8 in de derde kolom liggen en er dus 10 in de eerste of tweede kolom liggen. Het totale verlies op deze rode getallen is dus 20 eenheden. Het totaal komt nu dus op nul eenheden winst of verlies. Dit systeem lijkt dus beter te werken dan gewoon op een kleur of een kolom te wedden, want het casino heeft geen voordeel meer. Hoewel, er is ook nog een getal nul, dat niet rood of zwart is, maar groen en dat ook niet in welke kolom dan ook ligt. Als dit getal valt, dan worden er dus twee eenheden verloren, wat het totale verlies op twee eenheden brengt. In totaal zijn er 74 eenheden ingezet. Dit brengt het verlies dus op één eenheid per 37 ingezette eenheden, precies hetzelfde als er alleen op zwart of alleen op een kolom wordt ingezet. Het casino voordeel is dus net zo groot als bij andere inzetten, het verlangt wel van je dat je twee eenheden per keer inzet en dus laat het je twee keer zo snel verliezen. Met de verwachtingswaarde kunnen het hierboven beschreven verhaal nog eens verduidelijken. Je zet in totaal 2 euro in. 1 euro op de derde kolom en 1 euro op zwart: E(opbrengst)= (kans prijs)= 12/ /37 2 1,94594 Is dit nu meer dan de te verwachte opbrengst als je beide euro's op zwart of beide euro's op de derde kolom zet? 2 euro op de derde kolom: E(opbrengst)= (kans prijs) = 12/ /37 3 1, euro op zwart: E(opbrengst)= (kans prijs) = 18/ /37 2 1,94594 Zoals je ziet blijft de kans op winst gelijk, of je nu wel of geen gebruik maakt van het meervoudige inzetsysteem. In beide gevallen is je gemiddelde verlies per beurt dus: 2 1, = 0, Ongeveer 5 eurocent per buurt verlies kun je nou niet echt een winnend systeem noemen en dat geldt ook voor alle ander systemen. Maar een winstgevend roulettesystemen houdt de mensheid niet alleen de laatste jaren bezig, vroeger werd er ook al druk naar gezocht. Zo had de schrijver Multatuli geldproblemen. Om geld te verdienen bedacht hij een roulettesysteem. De hele familie werd ingezet om in de huiskamer een soort Pagina 12 van 24

13 proefopstelling met een speeltafel te bedienen. Het systeem werkte niet en Multatuli verloor veel geld in plaats van het te verdienen. Zijn berekeningen leverden in 1873 wel het boek "Miljoenen studiën" op, dat goed verkocht en waarmee hij uit het financiële dal klom dat hij zelf had gecreëerd. 4.4 Systeemverkopers Als je een beetje op internet rondkijkt naar de roulette systemen die sites aanbieden, valt één ding op: ze claimen allemaal ontzettend winstgevend te zijn. Ik geloof ook dat ze gelijk hebben. Zij verkopen namelijk deze systemen voor enkele honderden dollars en zij maken er dan ook gigantisch veel winst mee. Al deze systemen zijn echter gebaseerd op het aanpassen van de inzet naar aanleiding van de getallen die gevallen zijn. Ik hoop dat ik u er inmiddels van overtuigd heb dat dergelijke systemen nooit werken. Hoe kan het dan, zul je zeggen, dat de mensen die deze systemen verkopen tal van brieven kunnen laten zien van mensen die geld hebben gewonnen met dat systeem? Dat komt door de eerder genoemde standaarddeviatie. Iemand die een systeem speelt, kan net zo goed een keer winnen als iemand die gewoon speelt. Als dat die persoon de eerste keer overkomt als hij dat systeem speelt, zal hij ervan overtuigd raken dat het systeem werkt. In al zijn vreugde schrijft hij een bedankbrief aan het bedrijf. Na een maand spelen heeft de speler echter veel meer verloren en wederom schrijft hij een brief naar het bedrijf met de mededeling dat het systeem toch niet werkt. Het bedrijf bewaart natuurlijk alle positieve brieven en gooit alle negatieve brieven weg. Een reclamefolder van een systeemverkoper was wel heel gemeen. In deze folder stond een kopie van het bankafschrift van de man, waar enkele honderdduizenden dollars op stond. Er werd gezegd dat deze man dit alles had verdiend met het systeem dat hij nu verkocht. Natuurlijk was geen woord daarvan gelogen, alleen had hij het niet verdiend met het spelen van dat systeem, maar met het verkopen van dat systeem. 4.5 Mijn systeem op papier De enige geaccepteerde manier om een systeem voor een kanspel te bewijzen zoals roulette is door dit wiskundig te doen. Door de eeuwen heen zijn er vele systemen de revue gepasseerd die winst zouden garanderen. Er is volgens wiskundigen tot nu toe geen systeem bedacht dat winstgevend zou zijn. Tenminste voor de gokker want de casino s maken behoorlijke winsten. We hadden al gezien dat heel wat systemen niet werken omdat ze zich richten op de vorige uitkomsten. Dus nu moest ik een systeem verzinnen waarbij de inzet niet afhankelijk mocht zijn van de vorige inzet. Niet makkelijk. Daarom zette ik eerst de verwachtingswaarde (gemiddelde winst/verlies) van het hele roulettespel op een rij, om te kijken wat de gunstigste (lees waarmee je het minste verlies hebt) inzet is. Er zijn twee variaties van roulette die gespeeld kunnen worden, single-zero en double-zero roulette. Deze variaties zijn beter bekend als Franse roulette en Amerikaanse roulette. Er zijn een aantal verschillen in deze twee spellen, maar het belangrijkste verschil is dat in Franse roulette alleen de getallen 0-36 meespelen, terwijl in Amerikaanse roulette naast de getallen 0-36 ook het getal 00 meedoet. In onderstaande tabel staan voor Franse en Amerikaanse roulette de uitbetalingen voor de meest gebruikelijke inzetten. Even Money Kolommen 6 Getallen 4 Getallen 3 Getallen 2 Getallen 1 Getal Amerikaanse Roulette Franse Roulette Aangezien er bij Amerikaanse roulette 38 getallen op het wiel staan, komen we voor Amerikaanse roulette op de volgende verwachtingswaarden voor de verschillende inzetten: Pagina 13 van 24

14 Voor de speler is het dus gunstiger om Franse roulette te spelen, aangezien hij hier gemiddeld maar 2,70 euro verliest voor elke 100 euro die hij inzet, terwijl hij 5,26 euro gemiddeld voor elke ingezette 100 euro verliest bij Amerikaanse roulette. Wat verder opvalt is dat het niet uitmaakt waarop je inzet want de verwachtingswaarde is bij elke soort inzet gelijk. Door de afgelopen hoofdstukken weten we nu drie dingen: - De roulette-uitkomsten zijn niet van elkaar afhankelijk. - Bij elke inzet is je gemiddelde verlies (de verwachtingswaarde) gelijk. Een weekend later, heel wat koffie en volgeschreven velletjes papier verder, had ik eindelijk het systeem bedacht dat me miljonair zou moeten maken. Ik zal het systeem wat ik toen op die zondagmiddag bedacht verder toelichten. Het systeem is eigenlijk heel simpel en samen te vatten in een zin: Verdubbel je inzet als je verliest. Hieronder een voorbeeld. Je zet bij dit systeem alleen op Even Money in. Dat houdt in zwart, rood, even of oneven. Dus de inzetten waarbij de kans dat deze mogelijkheid valt bijna 50% is. Het is niet helemaal 50% want: Bij de Franse roulette zijn er 18 rode vakjes, 18 zwarte vakjes en één groen vakje. Als je dus op rood inzet (even Money inzetmogelijkheid) is de kans dat dit valt: 18/37 ofwel 0,4865. Bij de Amerikaanse roulette zijn er 18 rode vakjes, 18 zwarte vakjes en 2 groene vakjes. Als je dus op rood inzet (even Money inzetmogelijkheid) is de kans dat dit valt: 18/38 ofwel 0,4737. We gaan er in het voorbeeld vanuit dat er Franse roulette wordt gespeeld. Voorbeeld: - Je start met inzet Zolang verlies verdubbel de inzet, bij winst terug naar startinzet. Onderstaand schema verduidelijkt dit voor een willekeurige spelcyclus. speluitkomst kans inzet uitbetaling winst W p VW qp VVW q2p VV VW qj 1 p j 1 2i = 2j - 1 i = 0 2j 15 De winst voor spelcylus uitkomst is steeds 15. Verder is de kans dat een spelcyclus tot winst leidt gelijk aan: oneindig qj p = 1 j = 0 De winst G per spelcylus is dus altijd 1: de speler wint altijd! De nadelen van het systeem Klinkt als een winstgevend systeem en dat is het ook, maar ook dit systeem heeft een paar nadelen. Ik zet ze hier even op een rijtje. Zonder maximum inzet win je met dit systeem ALTIJD want je blijft bij verlies net zolang verdubbelen tot je je geld terug hebt verdient. Je moet dan natuurlijk wel genoeg geld hebben om deze verdubbeling te kunnen betalen. Helaas is er maar één casino ter wereld die vrijwel elke inzet accepteert en dat is Binion s Pagina 14 van 24

15 Horsehoe in Las Vegas. Hier zou het systeem helemaal tot zijn recht kunnen komen en behoorlijk winstgevend zijn. De andere casino s hebben wel in maximum inzet. Globaal kun je stellen dat: - In Amerika de casino s een minimuminzet hebben van 1 en een maximuminzet van Verder hebben de Amerikaanse casino s twee nullen, waardoor de kans op winst kleiner is dan in het Europese casino (zie Verwachtingswaarde van het single-zero en het double-zero Wheel) - In Europa de casino s een minimuminzet hebben van 5 en een maximuminzet van 500. Verder hebben de Europese casino s één nullen, waardoor de kans op winst groter is dan in het Amerikaanse casino (zie Verwachtingswaarde van het single-zero en het double-zero Wheel) Je hebt bij een Amerikaans casino dus minder risico s, omdat je vaker kunt verdubbelen dan in een Europees casino. Amerikaans casino: = 10X verdubbelen Europees casino: = 7X verdubbelen Als je dus echt serieus zou gaan spelen met dit systeem zou je dus naar een Amerikaans casino moeten gaan of naar een online casino. Ik ga er in deze PO van uit dat er in een Nederlands (Europese regels) casino gespeeld wordt. Om te kijken wat de beste startinzet bij dit systeem is maak ik hieronder een inzet tabel. Inzettabel = 7X mag zwart vallen = 7X mag zwart vallen = 7X mag zwart vallen = 6X mag zwart vallen = 6X mag zwart vallen = 6X mag zwart vallen = 6X mag zwart vallen = 6X mag zwart vallen = 6X mag zwart vallen = 6X mag zwart vallen = 6X mag zwart vallen Een goede startinzet is dus 7. Hierbij heb je een zo hoog mogelijke inzet waarbij zwart 7X achter elkaar mag vallen. 15 is ook een goede startinzet. Hierbij heb je een zo hoog mogelijke inzet waarbij zwart 6X achter elkaar mag vallen. De enige vraag die nu nog rest om te kijken of ons systeem winstgevend is, is te kijken of het vaak voorkomt dat bijvoorbeeld de kleur rood (de kleur waar je op wedt) vaker dan 6 of 7 keer achter elkaar valt. Dit valt te berekenen met kansrekening. Optie A Ik kies ervoor om 7 per beurt in te zetten, een goede keuze want nu mag maximaal 7X zwart vallen. Als er in mijn inzetbeurten geen 7X achter elkaar zwart valt maak ik winst. Als dit wel gebeurt maak ik waarschijnlijk verlies hoewel dit ook winst kan zijn. Het spreekt natuurlijk voor zich dat hoe vaker ik speel, hoe groter de kans wordt op 7X zwart achter elkaar. Optie B Pagina 15 van 24

16 Ik kies ervoor om 15 per beurt in te zetten, een goede keuze want nu mag maximaal 6X zwart vallen. Als er in mijn inzetbeurten geen 6X achter elkaar zwart valt maak ik winst. Als dit wel gebeurt maak ik waarschijnlijk verlies hoewel dit ook winst kan zijn. Het spreekt natuurlijk voor zich dat hoe vaker ik speel, hoe groter de kans wordt op 6X zwart achter elkaar. OPTIE A De kans op 7X zwart achter elkaar is (0,4865)7 = 0,0065 Om uit te rekenen hoe groot de kans hierop is in bijvoorbeeld 10 beurten doe ik een binominaal kansexperiment. Waarbij: n is het aantal keer dat het experiment wordt uitgevoerd p is de kans op succes per keer k is het aantal keer succes Er is hier sprake van de notatie P ( X = k ) = binompdf(n,p,k) n 10 p 0,9935 (1-0,0065) k 10 Antwoordt: In 93,7% van de gevallen valt zwart hier niet 7X achter elkaar. Nu zal de winst ongeveer zijn: BEURTEN X INZET X 0.5 Dus geschatte winst: 10 X 7 X 0.5 = 35 Ik heb een tabel gemaakt waarin je de winst en de kans hierop kunt bekijken. De kleur groen geeft aan dat er weinig risico is: een winstkans van 75% of groter. De kleur oranje geeft een redelijk risico aan: een winstkans van 50% tot 75%. De kleur rood (die hier overigens niet voorkomt) geeft een groot risico aan: namelijk een winstkans van maximaal 50%. Het is natuurlijk heel dom om een inzet te doen in de rode vlakken. Je hebt dan namelijk een kans van maximaal 50% om te winnen (vaak een bedrag onder de 500 euro) en als je verliest verlies je al je inzetten. Aantal beurten: Geschatte winst: Kans hierop: ,7% ,8% ,2% ,0% ,2% ,6% ,4% ,4% ,6% ,1% OPTIE B De kans op 6X zwart achter elkaar is (0,4865)6 = 0,0133 Om uit te rekenen hoe groot de kans hierop is in bijvoorbeeld 10 beurten doe ik een binominaal kansexperiment. Waarbij: n is het aantal keer dat het experiment wordt uitgevoerd Pagina 16 van 24

17 p is de kans op succes per keer k is het aantal keer succes Er is hier sprake van de notatie P ( X = k ) = binompdf(n,p,k) n 10 p 0,9867 (1-0,0133) k 10 Antwoordt: In 87,5% van de gevallen valt zwart hier niet 6X achter elkaar. Nu zal de winst ongeveer zijn: BEURTEN X INZET X 0.5 Dus geschatte winst: 10 X 15 X 0.5 = 75 Ik heb een tabel gemaakt waarin je de winst en de kans hierop kunt bekijken. De kleur groen geeft aan dat er weinig risico is: een winstkans van 75% of groter. De kleur oranje geeft een redelijk risico aan: een winstkans van 50% tot 75%. De kleur rood geeft een groot risico aan: namelijk een winstkans van maximaal 50%. Het is natuurlijk heel dom om een inzet te doen in de rode vlakken. Je hebt dan namelijk een kans van maximaal 50% om te winnen (vaak een bedrag onder de 500 euro) en als je verliest verlies je al je inzetten. Aantal beurten: Geschatte winst: Kans hierop: ,5% ,5% ,9% ,5% ,2% ,8% ,2% ,3% ,0% ,2% Om een zo hoog mogelijke winst te behalen combineer ik in het schema hieronder het beste van beide opties. Inzet: Aantal beurten: Geschatte winst: Kans hierop: ,7% ,5% ,2% ,5% ,2% ,6% ,9% Dit ziet er redelijk rooskleurig uit! Maar bij deze rekenmethode houd je er wel rekening mee dat de inzet niet vaker dan 6X of 7X verdubbeld wordt. Om dit wel uit te rekenen en te kijken of het systeem echt werkt moeten we de verwachtingswaarde uitrekenen. Om de berekening niet zeer complex te maken gaan we uit van een minimuminzet van 1 en Pagina 17 van 24