Datareductie en stabiliteitsanalyse van IC3328

Transcriptie

1 Faculteit Wetenschappen Vakgroep Fysica en Sterrenkunde Datareductie en stabiliteitsanalyse van IC3328 door Jelle Dhaene Promotor: Prof. Dr. S. De Rijcke Masterproef ingediend tot het behalen van de graad van Master in de Fysica en Sterrenkunde Academiejaar

2

3 Dankwoord Deze masterproef kon onmogelijk tot stand komen zonder de hulp van een aantal mensen, die ik bij deze wil bedanken. Eerst en vooral zou ik mijn promotor Prof. dr. Sven De Rijcke willen bedanken. Het onderwerp van deze masterproef werd door hem voorgesteld. Ook nam hij de tijd om mij persoonlijk te begeleiden en mij te introduceren tot het ESO-MIDAS programma en andere Fortran- en python-scripts die door hem beschikbaar werden gesteld. Verder hielp hij mij steeds verder als ik te pas en te onpas zijn bureau kwam binnenvallen om hem opnieuw met vragen te bestoken. Ook dr. Mina Koleva zou ik willen bedanken voor het fitten van een stellaire populatie aan het spectrum van IC3328 en het bepalen van de massa-lichkrachtverhouding van deze galaxie. Verder wil ik mijn ouders bedanken, die het in de eerste plaats voor mij mogelijk gemaakt hebben om mijn masterdiploma te halen. Zowel voor hun financiële als morele steun. En verder wil ik mijn moeder bedanken om het gros van de typefouten uit deze masterproef te halen. Tenslotte wil ik mijn medestudenten bedanken, die mij gezelschap hielden in het serverlokaal in S9 waar we samen aan onze masterproef werkten. Vooral de laatste (warme) dagen waren de lastigste en dan was het leuk om jullie gezelschap te hebben.

4

5 Inhoudsopgave 1 Inleiding 7 2 Data verzamelen en verwerken De CCD camera Telescopen en detectoren VLT HST Data verkrijgen Basisprincipes van CCD data reductie Verschillende effecten van een CCD ESO-MIDAS Datareductie FORS Reductie van de foto s Bepaling van het fotometrisch nulpunt Datareductie WFC Gereduceerde data en opmerkingen Analyse van de data Model fitten aan galaxie Schijnbare vorm van de galaxie Code Resultaten van het model Fitten van een profiel aan de oppervlaktehelderheid Profielen voor de intensiteit De point-spread functie Bepaling standaardafwijking van de PSF Convolutie van de PSF en de intensiteit Het fitten van de data De totale intensiteit en de schijnbare magnitude Het dichtheidsprofiel De massa-lichtkrachtverhouding Dichtheidsprofiel van de sferische componenten Oppervlaktedichtheidsprofiel van de schijf De totale massa van de galaxie De potentiaal

6 6 INHOUDSOPGAVE De bijdrage van de materie De bijdrage van de donkere materie De distributiefunctie Kinematische data De distributiefunctie en haar momenten De distributiefunctie De momenten Integraal van de beweging en theorema van Jeans Constante van beweging Integraal van de beweging Theorema van Jeans Model voor de schijf De distributiefunctie in functie van de integralen van beweging Vorm van de distributiefunctie De fit aan de data Stabiliteitsanalyse De eerste-orde Boltzmannvergelijking De respons van de distributiefunctie De respons van de dichtheid Zelf-consistente storingen Eigenmodes van de schijf Familie van potentialen en dichtheden Zoeken naar eigenmodes van de schijf Besluit 89 A De epicykelbenadering 91

7 Hoofdstuk 1 Inleiding Zoals de titel al laat vermoeden gaat deze masterproef over de datareductie en stabiliteitsanalyse van IC3328. Dit is een dwerggalaxie gelegen in de Virgocluster op een afstand van ongeveer 16 Mpc en die geklasseerd is als een elliptische dwerggalaxie van het type de1. Op het eerste lijkt dit een normale dwerggalaxie te zijn, maar na nader onderzoek blijkt deze toch een verborgen aspect te bevatten. Een spiraalstructuur werd in deze dwerg gevonden door Jerjen et al (2000) zoals te zien is in figuur 1.1. De spiraalstructuur is gelijkaardig aan die van M51, maar de prominente HII gebieden, die duiden op de aanwezigheid van gas, en het stof zijn afwezig in de dwerg. De spiraalstructuur zou verklaard kunnen worden door een fenomeen dat galaxy harassment genoemd wordt, zoals beschreven door Moore (1998). Deze theorie stelt dat de waargenomen elliptische dwerggalaxieën de overblijfselen zouden zijn van lage-massa spiraalgalaxieën. Door interacties met grote massieve galaxieën in een cluster zouden de dwerg spiraalgalaxieën omgevormd worden tot elliptische dwerggalaxieën. Uitgaande van deze theorie zou IC3328 dan interacties ondergaan hebben met massieve galaxieën en zo van een dwerg spiraalgalaxie naar een elliptische dwerg aan het evolueren zijn. Hier wordt de basis gelegd voor een zoektocht naar de verklaring van het aanwezige spiraalpatroon door gebruik te maken van de Lin-Shu hypothese, die stelt dat de spiraalarmen in schijfgalaxieën dichtheidsgolven zijn. In deze masterproef wordt er data gebruikt van de HST (Hubble Space Telescope) en de VLT (Very Large Telescope). De data gebruikt van de VLT is dezelfde als deze door Jerjen et al gebruikt in 2000, maar wordt uitgebreid met HST data, die een veel hogere resolutie heeft, zodat een beter beeld te vormen is van het centrum van de galaxie. De HST data zal vooral handig zijn in het beschrijven van de nucleus van de galaxie. In hoofdstuk 2 zal er begonnen worden met de basisbenodigdheden nodig om te observeren te bespreken. Eerst zal kort uitgelegd worden hoe een CCD-camera precies werkt en worden de gebruikte telescopen en instrumenten besproken. Hierna wordt overgegaan op de datareductie en wordt een eerste blik op de data geworpen. Zo werd een asteroïde gespot die door het gezichtsveld van de telescoop bewoog gedurende het moment van de waarnemingen. Eénmaal de data gereduceerd is, wordt in hoofdstuk 3 overgegaan tot de effectieve analyse ervan. Er zal eerst een model, bestaande uit concentrische ellipsen, aan de galaxie gefit worden, om hieruit het oppervlaktehelderheidsprofiel te bepalen. De fit aan het oppervlaktehelderheidsprofiel gebeurt op zodanige wijze dat we de 3 componenten (nucleus, 7

8 8 HOOFDSTUK 1. INLEIDING Figuur 1.1: Foto van de dwerggalaxie IC3328 in de R-band. Rechts is een bewerkte foto te zien waarop de spiraalstructuur duidelijk zichtbaar is. ( c Jerjen et al.) schijf en halo) van de galaxie uit elkaar zullen kunnen halen. Voor de fit worden Sérsicen exponentiële profielen gebruikt. Wanneer de intensiteit gekend is, kunnen we deze deprojecteren om zo de emmisiviteit van de galaxie te bepalen, die direct gerelateerd is, via de massa-lichtkracht verhouding, aan het dichtheidsprofiel van de galaxie. Hierna kan via de Poissonvergelijking de potentiaal uit de dichtheid bepaald worden. Hoofdstuk 4 heeft als doel een distributiefunctie te fitten aan de schijf van de galaxie met behulp van de tot nu toe verzamelde data. De dichtheid en de potentiaal volstaan echter niet om dit te doen. Hiervoor zal ook kinematische data gebruikt worden, verzameld door Simien en Prugniel (2002). Al deze data zal gebruikt worden om een distributiefunctie te reconstrueren. Dit is echter niet zo eenvoudig en dit kan enkel bereikt worden door tegenroterende sterren in de distributiefunctie in rekening te brengen. Op zich niet zo n groot probleem, tot in hoofdstuk 5 overgegaan wordt op de stabiliteitsanalyse. De code die ontwikkeld werd door Dury et al (2008) is niet voorzien om rekening te houden met deze tegenroterende sterren. Dus voor verdere analyse zou een aangepaste versie van deze code nodig zijn. Niettegenstaande wordt toch de analyse besproken en een manier beschreven hoe op een relatief eenvoudige wijze op zoek kan gegaan worden naar de eigenmodes van de schijf.

9 Hoofdstuk 2 Data verzamelen en verwerken De basis van astronomische observaties begint bij de instrumenten die gebruikt worden om de sterren, galaxieën en talrijke andere objecten waaraan het universum rijk is waar te nemen. De eerste telescoop werd gemaakt in 1608 en sindsdien zijn een resem aan verschillende toestellen door de handen van astronomen gepasseerd en tegenwoordig zijn het gigantische toestellen geworden die in de hooggebergtes op aarde geplaatst worden of in een baan rond de aarde cirkelen. In het begin kon men enkel door een telescoop kijken zonder dat het beeld effectief opgeslagen kon worden, of men moest met de hand een tekening maken. Met de komst van de fotografische platen aan het einde van de 19de eeuw kon dit probleem verholpen worden en konden foto s genomen worden van hetgeen men zag door de telescoop. In de jaren 70 van de vorige eeuw werden dan de eerste elektronische detectoren gebruikt die als groot voordeel tegenover de fotografische platen hebben dat ze meer dan 1 keer gebruikt kunnen worden. Tegenwoordig worden CCD s (Charged Coupled Devices) gebruikt om de beelden vast te leggen. In dit hoofdstuk zullen we eerst de basisprincipes van een CCD bespreken om daarna de telescopen die gebruikt werden voor het waarnemen van de data eens wat nader te bekijken en om tenslotte de datareductie te bespreken en een eerste blik op de gereduceerde foto s te werpen. 2.1 De CCD camera Basismateriaal van een CCD De basis voor elektronische apparaten zoals een CCD zijn halfgeleiders. De elektrische eigenschappen van halfgeleiders kunnen drastisch veranderen bij foto-excitatie door absorptie van UV, zichtbaar of infrarood licht. De elementaire halfgeleiders zijn germanium en silicium. Beide hebben 4 valentie-elektronen en beide zullen een kristal vormen met diamantstructuur (Fig. 2.1). In deze structuur zal ieder atoom 4 dichtste naburen hebben en zal het met elk van hen een valentie-elektron delen. Werking van een CCD Een CCD bestaat uit een matrix van identieke metaaloxide halfgeleider capaciteiten gevormd op een siliciumsubstraat. Ieder element van de matrix wordt een fotodetector genoemd en ieder inkomend foton raakt het silicium in zo een fotodetector en wordt ge- 9

10 10 HOOFDSTUK 2. DATA VERZAMELEN EN VERWERKEN Figuur 2.1: De diamant roosterstrucuur, waaruit de germanium en siliciumkristallen ook bestaan. ( c University of Illinois) absorbeerd als ze de juiste energie bezitten. In een siliciumkristal is de energiesprong tussen de valantie- en conductieband 1.1 ev, dus enkel fotonen met een hogere energie kunnen elektron-gat paren creëren. Wanneer zo een paar gecreëerd is, zal het na ongeveer 100 µs terug recombineren. De elektronen moeten dus op hun plaats gehouden worden tot de CCD uitgelezen wordt. Iedere pixel heeft nog een onderliggende structuur zoals weergegeven op figuur 2.2. Verschillende spanningen kunnen aangelegd worden op de 3 elektroden die we poorten noemen en die te zien zijn op de figuur. Op deze manier wordt iedere pixel in 3 subpixels onderverdeeld. Ieder elektron, gecreëerd in 1 van de 3 subpixels, zal in dezelfde diepste potentiaalput terechtkomen. Op het einde van de belichting van de CCD ziet het systeem eruit zoals in de bovenste rij weergegeven op de figuur, zodat alle elektronen die gecreëerd werden in de pixel met behulp van een potentiaalput op hun plaats gehouden worden. Uitlezen van een CCD Nadat de CCD belicht is, moet hij ook nog uitgelezen worden. Het principe van het uitlezen van een CCD is schematisch weergegeven in figuur 2.3. Als alle elektronen opgevangen zijn, dan kunnen de potentialen van de 3 subpixels uit figuur 2.2 gewisseld worden zodat de elektronen een pixel kunnen opschuiven naar rechts zoals weergegeven in de onderste 2 figuren. Aan de rechterkant van de CCD, waarin de pixels in figuur 2.3 vervangen zijn door emmers, zit een rij pixels die niet belicht wordt, maar waarin de elektronen terechtkomen bij het uitlezen. Dus als alle elektronen 1 pixel naar rechts opschuiven, dan geraken er elektronen in de onbelichte rij pixels. De elektronen in deze rij kunnen dan met behulp van eenzelfde principe naar boven (of onder) verplaatst worden en zo kan voor iedere pixel in deze rij het aantal elektronen geteld worden. Nadat de rij uitgelezen is, kunnen opnieuw de spanningen van de matrix van pixels aangepast worden om de volgende rij elektronen in de uitleesrij te krijgen. Op basis van dit principe kan de CCD uitgelezen worden. De lading die uitgelezen wordt per pixel wordt gemeten als een spanning en wordt geconverteerd naar een digitaal nummer. De ruwe data die uit de CCD komt staat dan ook in ADU (Analog to Digital Unit) per pixel. Het terug converteren naar elektronen per pixel kan dan gedaan worden met behulp van de gain (meer hierover in het stuk over datareductie). Om de uitleestijden van een CCD te verkorten kan deze opgedeeld worden in verschillende delen die simultaan uitgelezen kunnen worden.

11 2.1. DE CCD CAMERA 11 Figuur 2.2: Schematische weergave van de onderverdeling van een pixel van een CCD camera en de potentiaalputten die de gecreëerde elektronen opvangen. De pakketjes elektronen kunnen van pixel naar pixel verplaatst worden bij het uitlezen van de camera door de spanningen over de 3 subpixels te veranderen. ( c Observational techniques in astronomy) Figuur 2.3: Schematische weergave van het uitlezen van een CCD waarbij iedere emmer een pixel voorstelt die elektronen (voorgesteld door druppels water) opvangt. ( c Nikon,

12 12 HOOFDSTUK 2. DATA VERZAMELEN EN VERWERKEN 2.2 Telescopen en detectoren Voor deze masterproef werden datasets van 2 verschillende telescopen gebruikt. De eerste dataset werd bekomen met het FORS1 (FOcal Reducer and low dispersion Spectrograph) instrument van de VLT (Very Large Telescope array) die zich in Cerro Paranal, Chili bevindt (Fig 2.4(a)). Voor de tweede dataset werd gebruik gemaakt van WFC (Wide Field Channel) detector van het ACS (Advanced Camera for Surveys) instrument van de HST (Hubble Space Telescope) die zich in een baan rond de aarde bevindt ongeveer 600km boven het aardoppervlak (Fig 2.4(b)). (a) VLT (b) HST Figuur 2.4: (a) De VLT in Chili ( c ESO) en (b) De Hubble ruimtetelescoop ( c NASA) VLT Het observatorium op Paranal wordt gerund door de ESO (the European Southern Observatory). De ESO is een organisatie waar 14 Europese landen (waaronder België) deel van uitmaken. De organisatie beheert 2 sterrenwachten in Chili, één op La Silla en één op Cerro Paranal en momenteel wordt een derde observatorium op het Chajnantor plateau in de Atacama woestijn afgewerkt waar ALMA (Atacama Large Millimeter Array) volledig operationeel zou moeten zijn tegen het einde van De huidige opstelling op Paranal ziet eruit zoals in figuur 2.5 weergegeven. De VLT bestaat uit 4 grote telescopen, de Unit Telescopes (UT), genaamd Antu, Kueyen, Melipal en Yepun. Deze namen zijn in het Mapudungun, de taal die gesproken wordt door de Mapuche in centraal Chili en ze betekenen respectievelijk zon, maan, zuiderkruis en Venus. Deze telescopen zijn gemonteerd in alt-azimuth montage en hebben een primaire spiegel van 8.2m diameter. Verder zijn er nog 4 kleinere verplaatsbare Auxiliary Telescopes (AT) met primaire spiegels van 1.8m diameter. We zien ook nog de VST (VLT Survey Telescope) en VISTA (the Visible and Infrared Survey Telescope for Astronomy). Deze 2 telescopen worden gebruikt om de hemel af te scannen naar interessante objecten die dan later met de VLT kunnen bestudeerd worden. De Unit telescopen zijn ondergebracht in thermisch gecontroleerde gebouwen die synchroon meedraaien met de telescopen, dit om de condities van de observaties zo goed mogelijk te houden zoals bijvoorbeeld de luchtturbulentie in de telescoopbuizen. De Eerste

13 2.2. TELESCOPEN EN DETECTOREN 13 van de 4 UT s werd in gebruik genomen voor wetenschappelijke doeleinden in april Vandaag de dag zijn alle 4 de UT s en de AT s in gebruik. De 4 UT s kunnen gecombineerd worden in de VLTI (the Very Large Telescope Interferometer) maar ze worden meestal individueel gebruikt. Slechts een beperkt aantal nachten per jaar werken ze samen om de VLTI te vormen. De 4 kleinere AT s zijn wel altijd beschikbaar om de VLTI iedere nacht te gebruiken. Figuur 2.5: Een overzicht van de opstelling op de site op Cerro Paranal, VISTA bevindt zich ongeveer een kilometer noordwaarts van de andere telescopen. ( c ESO) FORS1 De door ons gebruikte data werden verzameld met het FORS1 instrument (Fig 2.6(a)) en was tijdens het verzamelen van de data gemonteerd in het Cassegrain brandpunt van UT1. Deze detector heeft een gezichtsveld ter grootte van boogminuten in standaard resolutie en boogminuten in hoge resolutie in een golflengtegebied tussen de 300 en de 1100 nm. 1 pixel van de CCD is ongeveer 15 µm groot en correspondeert met ongeveer 0.2 boogseconden aan de hemel in normale mode en boogseconden in hogeresolutie mode. De FORS1 detector werd in 1998 op UT1 geïnstalleerd en verplaatst naar UT2 in 2004 en sinds 2009 is het vervangen op UT2 door X-Shooter waarbij sommige observatiefuncties verplaatst werden naar FORS2 die nog steeds actief is op UT1. Voor de door ons gebruikte observaties werd de FORS1 gebruikt in imaging mode met de R- band filter met een effectieve golflengte van 655 nm en een FWHM (Full width at half maximum) van nm, zoals weergegeven in figuur 2.6(b).

14 14 HOOFDSTUK 2. DATA VERZAMELEN EN VERWERKEN (a) FORS1 (b) R-band Bessel filter Figuur 2.6: (a) Het FORS1 instrument geïnstalleerd op een UT ( c ESO) en (b) de gebruikte R-band filter ( c Spanish Virtual Observatory) HST De Hubble ruimtetelescoop werd gebouwd door NASA (National Aeronautics and Space Administration) met bijdragen van ESA (European Space Agency). Het is samen met CGRO (Compton Gamma Ray Observatory), CXO (Chandra X-ray Observatory) en SST (Spitzer Space Telescope) één van de 4 grote ruimteobservatoria van NASA. Buiten de CGRO zijn ze nog allemaal in gebruik, waarvan de HST de eerste was die met observaties begon nadat hij gelanceerd werd op 24 april De 11 ton zware telescoop met een primaire spiegel van 2.4m werd gelanceerd met de space shuttle Discovery en in een baan om de aarde gebracht op een hoogte van 569 km met een orbitale snelheid van 7.56 km/s. Met deze snelheid duurt het ongeveer minuten om 1 baan rond de aarde af te leggen. Het bereik van de telescoop reikt van het ultraviolet over het zichtbaar licht tot aan het nabij infrarood. Het beschikt voor deze waarnemingen over 4 hoofdinstrumenten die sinds de lancering in 1990 al door 4 service missies vervangen werden om nog beter waarnemeningen te kunnen uitvoeren. De door ons gebruikte observaties werden verricht met de ACS. De belangrijkste componenten van de HST zijn weergegeven in figuur 2.7. ACS De ACS werd in maart 2002 door de space shuttle Columbia, die nog geen jaar later op 1 februari 2003 volledig vernietigd werd bij het terugkeren in de atmosfeer na een ruimtemissie, naar de HST gebracht om daar op 7 maart geïnstalleerd te worden in de plaats van de FOC (Faint Object Camera), die tevens het laatste originele instrument was dat nog op de HST aanwezig was sinds zijn lancering. Het ACS bestaat uit 3 verschillende kanalen, het WFC (Wide Field Channel), het HRC (High-Resolution Channel) en het SBC (Solar Blind Channel). Het SBC is een systeem dat geoptimaliseerd is in het UV om lage achtergrond fotonen te tellen, maar dit is nu buiten gebruik sinds het faalde in Het HRC is momenteel ook buiten gebruik door een elektrische fout en werd zoals de naam het zegt gebruikt om hoge-resolutie foto s te maken van heldere objecten. Het WFC werd gebruikt om de tot ons beschikbare data te meten en is tevens het meest gebruikte kanaal van ACS. De detector bestaat uit 2 CCD s van pixels, goed voor een totaal

15 2.2. TELESCOPEN EN DETECTOREN 15 Figuur 2.7: De HST en zijn belangrijkste onderdelen ( c NASA). van 16 megapixels. De grootte van 1 pixel is ongeveer 15 µm. Het gezichtsveld van het WFC is boogseconden met een resolutie van 0.05 boogseconden/pixel. Verder kan de detector gebruikt worden over een golflengtegebied tussen nm. Voor onze data werd een filter gebruikt met een effectieve golflengte van nm en een FWHM van nm. De filter is weergegeven in figuur 2.8(b). (a) ACS (b) Filter Figuur 2.8: (a) De ACS toen hij nog op aarde stond ( c Wikipedia) en (b) de gebruikte filter van het WFC tijdens de observaties ( c Spanish Virtual Observatory).

16 16 HOOFDSTUK 2. DATA VERZAMELEN EN VERWERKEN 2.3 Data verkrijgen In principe zijn er 2 manieren om data te verkrijgen. De eerste is dat je zelf een proposal indient en zo observatietijd krijgt voor een telescoop. Een tweede manier is de data gebruiken die iemand anders al verzameld heeft op een bepaalde telescoop. Omdat het moeilijk is om observatietijd te krijgen in de grote observatoria (5 tot 10 keer zoveel aanvragen als dat er observatietijd beschikbaar is) is het aangewezen om vroeger verzamelde data te gebruiken als die voldoet aan de eisen van je project en je enkel zelf een proposal indient als je een specifieke configuratie voor je waarnemeningen nodig hebt, of een specifiek instrument nodig hebt om je object(en) te observeren. Als je zelf een proposal indient en waarnemingen verricht is het vaak zo dat pas na ongeveer 1 jaar de dataset vrijgegeven wordt in de databases van de observatoria, dus dan heb je zelf ongeveer 1 jaar tijd om je datareductie en analyse te doen, voordat anderen toegang krijgen tot de data van je observaties. Voor deze masterproef werd gebruik gemaakt van eerder verzamelde data van IC3328 met de VLT en HST. Deze data is terug te vinden in het ESO archief ( /eso/eso archive main.html) en het HST archief ( Je kan in deze archieven zoeken naar de objecten die je wil bestuderen en verdere zoekcriteria opleggen zoals onder andere de filter die gebruikt wordt, de telescoop en het meetinstrument dat gebruikt wordt. In tabel 2.1 wordt wat basisinformatie gegeven over de datasets die hier gebruikt worden. Enkel de data van het te observeren object, IC3328, is opgenomen in de tabel. Verder zullen we ook nog bias frames, flatfields en observaties van standaardsterren nodig hebben om de kalibratie te kunnen doen. Meer info over de laatstgenoemde frames volgt verder. Tabel 2.1: De gebruikte observaties van IC3328(=VCC0856), genomen met FORS1(VLT) en ACS(HST). Voor een ruimtetelescoop is de Luchtmassa niet van toepassing (NVT). Object Instrument Observatietijd Belichtingstijd Filter Luchtmassa VCC0856 FORS T23:27: R BESS VCC0856 FORS T23:34: R BESS VCC0856 FORS T23:42: R BESS VCC0856 ACS/WFC T08:41:59 90 F850LP NVT VCC0856 ACS/WFC T08:45: F850LP NVT VCC0856 ACS/WFC T08:57: F850LP NVT 2.4 Basisprincipes van CCD data reductie Eerst beginnen we met het concept van datareductie te beschrijven voor astronomische foto s, die tegenwoordig bijna allemaal met CCD camera s getrokken worden. Als een telescoop een foto neemt van een bepaald object zullen er zich problemen voordoen als we de foto s willen analyseren en de waarden voor de magnituden van onze objecten willen bepalen. De voornaamste problemen zijn hierbij de omzetting bij het uitlezen van de CCD naar een digitaal signaal, de elektronen die gecreëerd worden in het kristalrooster van de CCD zelf en het feit dat niet alle pixels van een CCD even gevoelig zijn voor inkomende fotonen. Deze moeilijkheden worden door de apparatuur zelf veroorzaakt. We zullen ook

17 2.4. BASISPRINCIPES VAN CCD DATA REDUCTIE 17 nog moeten kijken naar effecten die niet van de apparatuur afhangen zoals kosmische straling en de achtergrond op onze foto s. Door een profiel aan deze achtergrond te fitten kan de foto hiervoor gecorrigeerd worden door de achtergrond ervan af te trekken. Om te corrigeren voor de effecten van onze apparatuur zelf zullen we gebruik maken van bepaalde frames. De bias frame, dark frame en een flatfield Verschillende effecten van een CCD Bias frame De bias frame wordt uitgelezen met de sluiter van de camera gesloten en heeft een belichtingstijd van 0 seconden. Het is dus eigenlijk gewoon het uitlezen van de CCD camera. De output van de CCD wordt weergegeven in ADU (analog to digital unit), dit kan terug omgezet worden in elektronen per seconde met behulp van de gain die uitgedrukt wordt in elektronen per ADU. Deze gain kan voor ieder uitleescircuit van een CCD verschillen (In sectie 2.1 werd vermeld dat een CCD meerdere uitleescircuits kan hebben om de uitleestijd te beperken). De pixels waar geen licht op invalt vertonen namelijk een kleine variatie in helderheidswaarde. Om ervoor te zorgen dat er geen pixels zouden zijn die een negatieve waarde geven in ADU wordt er een kleine boost gegeven bij de convertie zodat als je een pixel uitleest, die niet standaard op 0 ADU staat, maar bijvoorbeeld op 200 ADU. De variatie van de pixels bij het uitlezen zal ervoor zorgen dat deze verdeeld zijn rond 200 ADU en dan heb je geen last meer van negatieve uitleeswaarden. De bias zal dus in iedere andere frame die getrokken wordt met de CCD aanwezig zijn en er zal dus altijd eerst voor de bias gecorrigeerd moeten worden. Het is zo dat een bias frame makkelijk te meten is, maar ook zo dat je met 1 bias frame niet voldoende hebt en je een statistisch gemiddelde moet nemen over verschillende frames. Het is dus best om een masterbias te maken door uit te middelen over een aantal frames en deze masterbias dan te gebruiken voor de verdere datareductie. Dark frame De tweede frame die normaal gebruikt wordt, is de dark frame. De dark current is een effect dat veroorzaakt wordt door elektronen gecreëerd in het kristalrooster van de silicium detector en dus ook gedetecteerd zal worden, want er kan geen onderscheid gemaakt worden door elektronen die ontstaan zijn door de absorptie van fotonen en thermische elektronen in het materiaal. Deze thermische elektronen zullen dan de dark current vormen. Net als de bias frames worden deze dark frames ook gemeten met een gesloten sluiter, maar met een van 0 verschillende belichtingstijd. De belichtingstijd van een dark frame moet normaal even lang zijn als deze van de foto s die je ermee wil corrigeren, maar soms worden langere dark frames gemaakt door een lineaire toename te veronderstellen. De dark frames zijn dus een maat voor de thermische ruis van een detector. De dark current kan sterk onderdrukt worden door de temperatuur van de CCD te verlagen zodat er minder elektronen in het kristalrooster geproduceerd worden. Dark frames kunnen dus vermeden worden door de telescoop te koelen, wat bij de VLT en de HST inderdaad het geval is. Beide zijn ongeveer gekoeld tot -80 C ( 190K) en onze foto s hebben relatief korte belichtingstijden, dus het is niet nodig om deze dark frames in rekening te brengen.

18 18 HOOFDSTUK 2. DATA VERZAMELEN EN VERWERKEN Flatfield Een flatfield wordt gebruikt om te corrigeren voor de pixel tot pixel variatie van de CCD. Dit is nodig omdat niet iedere pixel van de camera even gevoelig is voor het licht dat het opvangt. Voor een flatfield is het dus noodzakelijk dat de CCD door een uniforme bron belicht wordt. Deze flatfields worden daarom meestal tijdens de schemering genomen van een stuk aan de hemel waar nog zo goed als geen sterren zichtbaar zijn, zodat de camera uniform belicht is. Ook hier is het weer aangewezen om meerdere flatfields te nemen en deze dan terug te combineren tot één master flatfield en dit dan te gebruiken voor de verdere datareductie. Kosmische effecten De hierboven beschreven effecten zijn van technische oorsprong, ze zijn intrinsiek aan de gebruikte apparatuur. Er zullen ook nog kosmische effecten optreden bij het maken van een foto. Een eerste effect is de kosmische straling. Deze hoogenergetische straling kan voor een heel heldere pixel zorgen als deze daarop invalt, wat zal te zien zijn op de foto als een witte pixel. Nadat een camera een tijdje gebruikt wordt, zullen er pixels beschadigd zijn door deze hoogenergetische straling, wat we dode pixels noemen, met andere woorden dus een kapotte pixel waar we geen informatie meer kunnen uithalen. Deze beide effecten van kosmische straling kunnen verholpen worden door verschillende foto s van het waar te nemen object te nemen en deze te combineren tot 1 foto. Het is hoogst onwaarschijnlijk dat een kosmisch deeltje met hoge energie 2 keer op net dezelfde plaats invalt op de foto. Dus door de mediaan van 3 of meer foto s te nemen elimineer je deze hoogenergetische pixels en krijg je een foto zonder dat de kosmische straling nog zichtbaar is. Om te corrigeren voor de dode pixels kan eenzelfde principe gebruikt worden. Door in iedere foto de plaats van de galaxie op de CCD een klein beetje te veranderen zodat niet telkens hetzelfde punt van de hemel op dezelfde pixel terecht komt, kan je ook door een mediaan te nemen van de foto s, de dode pixels elimineren. Een tweede effect waar we willen voor corrigeren is de achtergrond. De uiteindelijke doelstelling van de datareductie is dat we enkel het licht van onze galaxie zien en geen achtergrondlicht erbij hebben. Dit kan vrij makkelijk opgelost worden door een achtergrond te fitten door middel van eerste of tweede orde polynoom en deze dan van de foto af te trekken ESO-MIDAS Om alle bovenstaande correcties door te voeren op de foto s zullen we het programma ESO-MIDAS gebruiken. ESO-MIDAS is een programma van ESO ontwikkeld in de jaren 80 om de bovenstaande datareductie uit te voeren. Het programma kan gerund worden in de terminal en is gebaseerd op commando s die je moet ingeven. Het programma kan onder andere headers van fits files lezen en weergeven en de afbeeldingen weergeven in een display. Verdere informatie over wat het programma allemaal doet zal gegeven worden als we het gebruiken tijdens onze datareductie die hieronder beschreven wordt of kan gevonden worden op de ESO website (

19 2.5. DATAREDUCTIE FORS Datareductie FORS Eerst zullen we de datareductie van de FORS-data bespreken. Een ruwe onbewerkte foto van de geobserveerde galaxie is weergegeven in figuur 2.9. We zien dat de foto in 4 kwadranten verdeeld is. Dit komt doordat de CCD via 4 verschillende meetcircuits uitgelezen wordt. Voordeel hiervan is dat de CCD sneller wordt uitgelezen, anderzijds hebben de 4 verschillende meetcircuits wel een verschillende gain en verschillende bias waarmee er dus rekening moet gehouden worden. De gebruikte data is verzameld geweest op de nachten van 10 tot en met 14 juli 1999, en op 13 juli werd de galaxie waargenomen. De reden dat we data van deze 5 nachten gebruiken is omdat we alle standaardsterren die in deze nachten geobserveerd zijn later nodig hebben om de kalibratie van het fotometrisch nulpunt te doen. We kunnen met behulp van de biassen en de flatfields van deze 5 nachten een masterbias en master flatfield maken en deze gebruiken voor de verdere datareductie omdat beide over een korte periode constant blijven. De CCD wordt ook niet telkens met dezelfde gain uitgelezen, per uitleescircuit kan er een lage of hoge gain gebruikt worden, maar voor de 4 verschillende meetcircuits wordt wel telkens dezelfde gebruikt, dus ofwel gebruiken de 4 uitleescircuits hun lage gain ofwel hun hoge gain. Deze zijn weergegeven in tabel 2.2. Figuur 2.9: Een ruwe onbewerkte foto van de galaxie IC3328, genomen met het FORS instrument.

20 20 HOOFDSTUK 2. DATA VERZAMELEN EN VERWERKEN Tabel 2.2: De lage en hoge gain voor de 4 verschillende circuits uitgedrukt in ADU per elektron. Circuit(kwadrant) Lage gain Hoge gain Reductie van de foto s Bias Eerst splitsen we al onze bias frames op in diegene die gebruik maken van een lage gain en diegene die gebruik maken van een hoge gain om dan voor beide een masterbias te maken. Dit gebeurt door de mediaan te nemen in een bepaalde pixel over alle frames. In MIDAS kan dit gedaan worden door een cataloog aan te maken die een reeks biasframes bevat. Hiervan kan dan in iedere pixel de mediaan berekend worden en deze waarden worden dan samengevoegd in een masterbias. Deze frame zal van alle verder gebruikte foto s moeten afgetrokken worden. In figuur 2.10 is een bias frame weergegeven. We zien hier ook duidelijk een onderscheid tussen de 4 verschillende uitleescircuits van de camera. In de onderste figuur is er een plot gemaakt van een rij in het derde en vierde kwadrant, rij 500 van de frame en deze is weergegeven door de zwarte lijn. De rode lijn geeft een plot weer van rij 1500 van de frame die het tweede en eerste kwadrant snijdt. Hier is duidelijk te zien dat de bias van de 4 kwadranten lichtjes verschilt. Flatfield Zoals eerder vermeld, wordt het flatfield gebruikt om een correctie door te voeren voor het feit dat niet alle pixels even gevoelig zijn. We beschikken over een aantal flatfields die genomen zijn gedurende de 5 nachten van de observaties en deze kunnen we wederom combineren tot een master flatfield, maar voordat we de mediaan nemen over al deze flatfields gaan we ze eerst wat moeten bewerken. We beginnen met van iedere flatfield de masterbias af te trekken. Omdat de randen van de frame niet altijd even goed zijn, worden deze er afgeknipt (nadat de frames gecorrigeerd zijn met de bias). We zullen dus ook voor onze foto s van de standaardsterren en van onze galaxie er een zelfde rand van af moeten knippen voordat we de flatfield correctie doorvoeren. Later zullen we onze foto s van de waargenomen standaardsterren en galaxie delen door het master flatfield. Als we er voor zorgen dat de pixelwaarden van onze flatfield in ADU/elektronen staan, dan zullen onze finale foto s direct in elektronen/s staan, wat we uiteindelijk ook willen bereiken. Om dit te doen wordt normaal de mediaan F van alle pixels berekend, waarbij F een flux voorstelt die uitgedrukt is in ADU. Deze wordt dan gedeeld door de Gain G van de telescoop en nadat de frame dan gedeeld wordt door f = F/G staat deze in ADU/elektronen. Voor onze foto s is het iets moeilijker omdat we 4 uitleescircuits hebben. Wat we dus doen in de plaats is in ieder kwadrant de mediaan van de flux berekenen. We noemen deze F 1, F 2, F 3 en F 4. Vervolgens worden ze alle 4 gedeeld door de gain in elk kwadrant, die we kunnen voorstellen door G1, G2, G3 en G4. Dan hebben we voor alle 4 de kwadranten een flux (f1, f2, f3 en f4)

21 2.5. DATAREDUCTIE FORS 21 (a) (b) Figuur 2.10: (a) Voorbeeld van een bias frame en (b) de pixelwaarden uitgelezen op rij 500 (zwart) en op rij 1500 (rood). De effecten in de bias van de 4 verschillende uitleescircuits zijn op beide figuren duidelijk te zien. die uitgedrukt is in elektronen. Ten slotte kunnen we de frame delen door het gemiddelde f = (f1+f2+f3+f4)/4 van deze 4 fluxen en zo hebben we een flatfield die ook uitgedrukt wordt in ADU/elektronen. Bovenstaande procedure wordt toegepast op ieder flatfield en daarna kunnen we, net zoals we bij de biassen gedaan hebben, een cataloog aanmaken van deze flatfields en een master flatfield samenstellen door de mediaan te nemen over alle frames in de cataloog. In figuur 2.11 wordt het masterflat field weergegeven voor foto s met de lage gain. De donkere vlekken wijzen duidelijk op gebieden met lagere efficiëntie.

22 22 HOOFDSTUK 2. DATA VERZAMELEN EN VERWERKEN Figuur 2.11: Foto van het uiteindelijk bekomen masterflat field voor de lage gain. De donkere gebieden zijn gebieden waar de efficiëntie van de CCD beduidend lager ligt dan gemiddeld. Kalibratie standaardsterren en galaxie Nu we onze masterbias en master flatfield bepaald hebben, kunnen we eens kijken naar de foto s van de standaardsterren en de galaxie zelf. Net zoals voor het flatfield starten we voor deze foto s ook met het aftrekken van de bias van de frames. Hierna moet gedeeld worden door het flatfield, maar omdat we het flatfield bijgeknipt hadden, moeten we dit ook doen voor deze foto s, dus eerst de randen eraf knippen en dan delen door het flatfield. Nu staan de pixelwaarden van deze foto s in elektronen. Ten slotte delen we de foto s nog door hun belichtingstijd zodat de pixelwaarden nu uitgedrukt worden in elektronen per seconde. Nu hebben we onze gereduceerde foto s van de standaardsterren en de galaxie. Maar als we magnituden berekenen, willen we er zeker van zijn dat we enkel het licht van de sterren/galaxie zien en dat de achtergrond uit onze foto s weg is. Dit kunnen we doen door een polynoom te fitten aan de achtergrond, wat eenvoudig kan in MIDAS door het selecteren van lege gebieden (waar geen sterren of galaxieën te zien zijn) op je foto. Het programma fit dan een eerste of tweede graadspolynoom (zoals je zelf kiest) aan de achtergrond en trekt deze van je foto af. In figuur 2.12 is dezelfde foto afgebeeld als in figuur 2.9, maar waarop alle bovenstaande stappen van de datareductie toegepast zijn.

23 2.5. DATAREDUCTIE FORS 23 Figuur 2.12: Een volledig gereduceerde foto van IC3328. Dit is dezelfde foto van in figuur 2.9 waarop alle processen van de datareductie uitgevoerd zijn Bepaling van het fotometrisch nulpunt Nu we de gereduceerde afbeeldingen hebben van onze galaxie, kunnen we bijna beginnen met de analyse van de afbeeldingen. Enkel het fotometrisch nulpunt moet nog bepaald worden. Wat we willen weten is hoeveel licht de galaxie uitzendt. Om dit te bepalen zullen we gebruik maken van de standaardsterren die zich in de standaardvelden bevinden en waarvan de magnituden in verschillende kleurenbanden gekend zijn. De magnitude van zo n ster wordt bepaald door de vergelijking, m X = 2.5 log f + m X 0 + k X c (V R) k X e z A X, (2.1) waarin m X de magnitude van de ster is in de X-band, f het aantal elektronen/sec(/pixel), m X 0 het fotometrisch nulpunt in de X-band, kx c de kleurcoëfficiënt is (Hier gegeven voor het (V R) kleur), ke X de extinctiecoëfficiënt, z de luchtmassa en A X de interstellaire absorptie. Eénmaal het fotometrisch nulpunt berekend is, kunnen we dan ook magnituden berekenen van het geobserveerde object. De standaardvelden zijn zodanig gekozen dat de interstellaire absorptie verwaarloosd kan worden. De vergelijking kan dus geschreven worden als, m X = 2.5 log f + m X 0 + kc X (V R) ke X z. (2.2) Normaalgezien worden k X c en k X e bepaald samen met de waarnemingen, maar in de eerste meetperiode van FORS1 was dit niet het geval. We zullen deze 2 parameters dus samen

24 24 HOOFDSTUK 2. DATA VERZAMELEN EN VERWERKEN met het fotometrisch nulpunt fitten aan de waarnemingen van de standaardsterren. Dit is ook de reden waarom er data van 5 verschillende nachten gebruikt werd. Om genoeg data te hebben om deze parameters te fitten hebben we ook standaardvelden nodig, waargenomen bij luchtmassa s die genoeg van elkaar verschillen (anders zou z als een constante kunnen beschouwd worden tijdens het fitten). Na het bepalen van deze 3 parameters zullen we dan voor een pixel in de foto van onze galaxie de magnitude(/pixel) kunnen uitrekenen en zo een oppervlaktehelderheidsprofiel kunnen maken. Zoals eerder vermeld, gebeurt bovenstaande kalibratie met behulp van standaardvelden. Een voorbeeld van zo een gebruikt veld is weergegeven in figuur De linkse figuur is een afbeelding die je op de ESO website kan terugvinden. Op deze foto staan een aantal sterren aangeduid waarvan de magnituden in verschillende banden gekend zijn. De rechtse figuur is de waargenomen foto van hetzelfde veld sterren, waarin zonder veel moeite de aangeduide sterren (A,1,2,3) terug gevonden kunnen worden. In totaal werden er zo n zestal standaardvelden gebruikt waarin telkens 3 tot 7 sterren gebruikt kunnen worden voor de bepaling van het fotometrisch nulpunt. Er werden 13 foto s van deze standaardvelden gebruikt, wat goed was voor 53 sterren waaraan we onze 3 parameters uit vergelijking 2.2 kunnen gaan fitten. (a) (b) Figuur 2.13: (a) Een foto van de ESO website waarop de standaardsterren afgebeeld staan ( c ESO) en (b) een gereduceerde foto van hetzelfde veld genomen met het FORS instrument. Nu moeten we eerst voor iedere standaardster de flux bepalen, die uitgedrukt staat in elektronen/seconde. Een probleem is hierbij dat je bij het uitlezen van de CCD geen hogere ADU dan kan krijgen, wat met behulp van de gain zal zorgen voor een maximaal aantal elektronen per seconde die je kan tellen. Dit zal er voor zorgen dat de helderste sterren gesatureerd zijn. In figuur 2.14 wordt het verschil getoond tussen een gesatureerde ster en een niet-gesatureerde ster. Enkel de sterren die niet gesatureerd zijn kunnen gebruikt worden voor de kalibratie. Als we deze sterren gevonden hebben, dan kunnen we deze uitknippen uit de foto van de standaardvelden en eventueel correcties gaan doorvoeren voor andere objecten die in de buurt van de ster liggen. In figuur 2.15

25 2.5. DATAREDUCTIE FORS 25 is een foto van een standaardster afgebeeld waarbij een ander object gemaskt werd, zodat enkel het licht van de ster gebruikt wordt bij de bepaling van het fotometrisch nulpunt. Nu we voor iedere ster de flux in elektronen per seconde bepaald hebben, kunnen we een eenvoudig programma schrijven in python dat de parameters k X c, k X e en m X 0 uit vergelijking 2.2 bepaalt door gebruik te maken van de optimize.leastsq methode van scipy. De bekomen waarden voor de parameters zijn, k X c = , k X e = en m X 0 = (a) gesatureerde ster (b) niet-geastureerde ster Figuur 2.14: Plot van de pixelwaarden doorheen een gesatureerde ster (a) en een niet gesatureerde ster (b). (a) standaardster (b) ster met gemodifieerde oppervlakte Figuur 2.15: Foto van een (a) standaardster en (b) een standaardster waar een nabijgelegen object (aan de hemel) gemaskt werd.

26 26 HOOFDSTUK 2. DATA VERZAMELEN EN VERWERKEN Tabel 2.3: De flux van de standaardsterren, de V-R magnitude, de V-band magnitude en de luchtmassa z van de foto waarop de ster staat. Al deze sterren kunnen gebruikt worden om een fit te maken aan (2.2). f(e/s) V-R V z f(e/s) V-R V z SA SA e e e PG MarkA e PG PG e SA110-3 PG e e e e PG PG PG PG e PG Datareductie WFC Foto s van galaxieën (of andere objecten) die met een camera van de Hubble ruimtetelescoop getrokken werden zijn terug te vinden in het HST archief (zoals eerder vermeld). Deze foto s hebben het voordeel dat de datareductie al uitgevoerd is, dus in het archief kan je de gereduceerde foto s terugvinden, alsook de andere files die gebruikt werden voor deze kalibratie. De basisprincipes voor de kalibratie zijn dezelfde als hierboven beschreven, maar een stuk ingewikkelder om uit te voeren en ook andere niet-triviale correcties voor de detectoren in de HST moeten in rekening gebracht worden. Daarom worden de ruwe foto s

27 2.7. GEREDUCEERDE DATA EN OPMERKINGEN 27 al door een pipeline gestuurd die de kalibratie voor ons doet zodat er kant-en-klare foto s terug te vinden zijn in het archief. Op figuur 2.16 is zo n foto van IC3328 weergegeven. De volledige foto is iets groter, maar op de figuur wordt enkel het relevante stuk met de door ons onderzochte galaxie getoond. De zwarte band te zien op de figuur is te wijten aan het feit dat de WFC van de Hubble telescoop uit 2 CCD s bestaat die samen 1 foto vormen. Figuur 2.16: Foto van de galaxie IC3328, die te downloaden is in he HST archief en die gebruikt kan worden voor de data analyse. 2.7 Gereduceerde data en opmerkingen Standaardsterren controleren Het is belangrijk om alles wat je gebruikt te controleren, zelfs de data/info die je op de ESO website vindt. Omdat we data gebruiken van een paar nachten hebben we 4 foto s getrokken in verschillende nachten van het standaardveld PG Hiervoor werd een grote variabiliteit gevonden voor ster A in dit veld gedurende deze nachten. Na wat opzoekingswerk bleek dat deze ster eigenlijk een eclipserende dubbelster is met een korte periode zoals in 2009 beschreven werd door Clem en Landolt. 3 jaar later staat deze echter nog steeds op de standaardvelden, voorhanden door ESO, aangeduid. Het is bijgevolg niet mogelijk om deze ster te gebruiken als standaardster voor kalibratie. Verder is de aanduiding op de template van hetzelfde standaardveld de aanduiding van PG onduidelijk. De naam van iedere ster staat er rechts van aangeduid op de kaarten, deze staat echter links zodat als er een hoop sterren te zien zijn in het standaardveld, wat ook enige verwarring teweeg kan brengen. Een goede controle van de standaardsterren is dus nodig om een goede kalibratie te hebben!

28 28 HOOFDSTUK 2. DATA VERZAMELEN EN VERWERKEN Asteroı de gespot Als je een stukje van de hemel fotografeert, dan is er natuurlijk veel meer te zien op je foto dan enkel het object dat je wilt waarnemen. Zo is in figuur 2.17 te zien dat er zich een object beweegt linksonder de galaxie. Na wat opzoekingswerk bleek dit een asteroı de te zijn uit de Planetoı dengordel tussen Mars en Jupiter. De baan van de asteroı de in ons zonnestelsel wordt weergegeven in figuur (a) (b) (c) (d) Figuur 2.17: De asteroı de beweegt van noordoost naar zuidwest op de foto s. Foto (a) is eerst getrokken, dan (b) en dan (c). Op (d) is een combinatie van de 3 foto s te zien en de asteroı de doet zich daar voor als een lijn, aangeduid door de rode pijl, en valt makkelijk op tijdens het bekijken van de gereduceerde data. De kleuren op deze foto s zijn verdeeld op een logaritmische schaal. c NASA) Figuur 2.18: De baan van de asteroide 2000 RS 36 in ons zonnestelsel. (

29 Hoofdstuk 3 Analyse van de data 3.1 Model fitten aan galaxie Schijnbare vorm van de galaxie De schijnbare vorm van de galaxie is de vorm die we waarnemen aan de hemel, dus dit is eigenlijk een 2 dimensionale projectie van de galaxie. Voor elliptische galaxieën kan een schijnbare ellipticiteit gedefinieerd worden als ɛ = 1 b/a, met a en b respectievelijk de schijnbare halve grote en halve kleine as van een isofoot (lijn met constante oppervlaktehelderheid). Een projectie van zo n elliptische galaxie kan nooit ronder zijn dan de oorspronkelijke galaxie, maar wel platter. Nu is het de bedoeling dat we een model maken van de projectie van IC3328, door de isofoten te fitten, om later hieruit het oppervlaktehelderheidsprofiel te halen. In eerste instantie kunnen ellipsen gefit worden aan deze isofoten, maar er kunnen zich afwijkingen voordoen van deze ellipsen zodat de isofoten meer schijfvormig of doosvormig zijn. Een meer nauwkeurige beschrijving kan dan gegeven worden door de volgende vergelijking, ( ) I(θ) = I C 3 cos(3θ) + C 4 cos(4θ) + S 3 sin(3θ) + S 4 sin(4θ), (3.1) waarbij I(θ) de intensiteit volgt langs een ellips met een bepaalde assenverhouding b/a, I 0 de gemiddelde intensiteit is van de isofoot en θ de hoek is, gemeten vanaf de grote as a. De coëfficiënten C i en S i met i = 1, 2 mogen achterwege gelaten worden omdat deze het centrum van de ellips bepalen en aangeven hoe elliptisch het profiel is en aangezien er al elliptische isofoten gefit worden, zijn deze coëfficiënten nutteloos. De coëfficiënten met i = 3, 4 geven een maat voor de afwijkingen tegenover de perfecte ellips, deze worden dus wel behouden. Zo kunnen de isofoten er doosvormig uitzien of eerder schijfvormig. Verder Figuur 3.1: De positiehoek gedefinieerd van noord (N) naar oost (E). 29

30 30 HOOFDSTUK 3. ANALYSE VAN DE DATA is het ook zo dat de isofoten niet perfect concentrische ellipsen zijn. Dit kan aangeduid worden met de positiehoek, die gedefinieerd is van noord naar oost zoals op figuur 3.1 te zien is en de hoek aanduidt tussen de grote as a en een referentierichting Code Nu kan met behulp van een fortran code gebaseerd op bovenstaande principes een model voor de isofoten gefit worden aan de galaxie. Deze code is dezelfde als gebruikt door De Rijcke et al. (2003) en werd ook door hen geschreven. Dit programma bestaat uit 5 afzonderlijke bestandjes die dienen gerund te worden. Het eerste maakt niet echt deel uit van het programma zelf, maar zorgt ervoor dat de juiste keywoorden in de header van de gebruikte foto s staan, die als fits-bestand dienen meegegeven te worden aan het programma. De waarden die naar de header van de fits files geschreven worden zijn die van de extinctiecoëfficiënt ke X, de belichtingstijd en de luchtmassa z. Vervolgens wordt het programma fit dat de isofoten gaat fitten aan de foto van de galaxie gebruikt. Het centrum van de galaxie wordt meegegeven en het programma start met het fitten van een isofoot voor een bepaalde oppervlaktehelderheid en gaat dan in stapjes x die meegegeven worden in de input file steeds isofoten fitten met een oppervlaktehelderheid die x lager is dan de vorige isofoot. Dit blijft duren tot een isofoot gefit wordt voor de ondergrens in magnitude/arcsec 2 die ook meegegeven wordt in de input file. Dit programma schrijft al zijn gegevens in een bestand. Hierin staan onder andere de coördinaten van het centrum van de ellips, de halve grote as a en halve kleine as b, de positiehoek en de Fouriercoëfficiënten die de afwijking van de isofoten op een pure ellips karakteriseren. Het volgende programma dat gebruikt wordt is clean. Dit filtert alle isofoten uit de output file van het programma fit waarvoor de a of b kleiner zijn dan de a en b van de vorige isofoot. Dit is nodig om het 3de programma recon dat alle fotometrische grootheden zoals oppervlaktehelderheid, halve kleine as, positiehoek, ellipticiteit en Fouriercoëfficiënten in functie zet van de halve grote as a met behulp van kubieke splines. Dit gebeurt zodat vrij gladde waarden bekomen worden voor deze grootheden. Al deze grootheden worden dan in aparte data files opgeslagen. Deze data files worden dan gebruikt door het programma dpmd om een gladde versie van de oorspronkelijke foto te maken. Input file Bovenstaande programma s maken gebruik van een input file. Hieronder is de input file voor de VLT data gegeven, de nummers in de eerste kolom dienen enkel om te weten op welke regel wat moet ingegeven worden. 1 vcc0856 R.fits 2 vcc0856 R filt.fits 3 mask.fits

31 3.1. MODEL FITTEN AAN GALAXIE out.fits Op de eerste 3 regels staan 3 fits files die moeten meegegeven worden aan de programma s. De eerste file is een volledig gereduceerde foto van de waargenomen galaxie en de 2de file is een gefilterde foto. Deze wordt gemaakt door in een gebied van 10 pixels rond iedere pixel de mediaan te nemen van alle pixels in dit gebied en deze waarde toe te kennen aan de pixel zelf. Deze file wordt gebruikt omdat, indien je bij de eerste foto naar lagere magnitudes zou gaan om isofoten te fitten aan de oppervlaktehelderheid, er te veel ruis zit op de foto terwijl de ruis onderdrukt wordt in de gefilterde foto zodat er voor de iets lagere magnitudes toch nog isofoten kunnen gefit worden. Deze 2 foto s van zowel de VLT als HST data worden getoond in figuur 3.2. De 3de file is een mask file. Deze foto s worden voor beide telescopen weergegeven in figuur 3.3(c) en 3.3(d) en is op een bepaalde plaats ofwel 0, ofwel 1. Het is de bedoeling van deze file om voorgrondsterren en andere galaxieën in de buurt van het geobserveerde object te masken. Als het programma de isofoten fit, zal het geen rekening houden met de gemaskte gebieden. Dus effecten van andere heldere objecten zullen opgegeven worden bij het reconstrueren van de isofoten. In figuur 3.3 worden 3 files weergegeven. Op de bovenste rij staan de oorspronkelijk gereduceerde foto s, op de tweede rij zijn zoals eerder vermeld de mask files die 0 zijn in de donkere (zwarte) gebieden en 1 zijn in de heldere (witte) gebieden. De derde rij is het product van de eerste 2 foto s. Bij een vergelijking met de eerste foto is duidelijk dat de helderste objecten gemaskt zijn. Op de 4de regel van de input file staan het aantal foto s die gebruikt werden om de uiteindelijke foto te maken, wat in ons geval 3 is. De 5de en 6de regel geven respectievelijk de belichtingstijd weer van 1 foto en de achtergrond van 1 foto. Dit is de achtergrond voordat deze gefit en afgetrokken werd op het einde van de datareductie. Deze achtergrond is dus diegene die je nog op je foto hebt nadat je de correctie van de bias en flatfields doorgevoerd hebt en voordat je er een eerste- of tweedegraadspolynoom aan gaat fitten. De 7de en 8ste regel zijn de coördinaten van het midden van de galaxie, in pixelcoördinaten. De eerste is de x-coördinaat en de tweede de y-coördinaat. Op de 9de regel staat de pixelschaal, of met andere woorden de grootte van een pixel, wat voor de VLT 0.2 boogseconden is. Op regel 10 staat de stapgrootte dat het programma moet nemen om zijn isofoten te fitten. Dus tussen 2 gefitte isofoten zal een verschil in magnitude van 0.05 zitten. Op de 11de regel staat de naam van de output file die het model van de galaxie bevat na het fitten van de isofoten. Op de 12de regel staat de gain van de telescoop. In ons geval is deze al gecorrigeerd voor de gain en staan de input files al in elektronen per seconde. Deze waarde zal dus verschillen van 1 als de gebruikte foto s (die op de eerste 3 regels staan in de input file) nog in ADU per pixel staan. De 13de, 14de en 15de regel bevatten respectievelijk de extinctiecoëfficiënt, de read out noise en de luchtmassa van de foto s, waarin

32 32 HOOFDSTUK 3. ANALYSE VAN DE DATA (a) VLT foto (b) HST foto (c) gefilterde VLT foto (d) gefilterde HST foto Figuur 3.2: De originele gereduceerde foto van de VLT (a) en de HST (b) en de gefilterde foto s van beide (c) en (d). de extinctiecoe fficie nt deze is bepaald door de eerder vermelde fit aan vergelijking 2.2. Op de 2 laatste regels staan de nulpuntsmagnitude en de magnitude waarbij het programma stopt met het fitten van isofoten, dus de laagste magnitude waarvoor het programma een isofoot zal fitten. De nulpuntsmagnitude wijkt af van mx 0 = gegeven door de fit aan vergelijking 2.2. Dit komt omdat de nulpuntsmagnitude op regel 16 van de input file uitgedrukt is in magnitude/arcsec2 en deze zal dus gelijk zijn aan: m0 = mx log(pixelgrootte), (3.2) waarin de pixelgrootte de grootte van een pixel in boogseconden is, wat voor de FORS detector van de VLT 0.2 boogseconden is. Dit invullen levert dat m0 = , wat teruggevonden wordt in de input file. Het gebruik van dit nulpunt zorgt ervoor dat de berekende magnitudes ook direct in magnitudes per vierkante boogseconde zullen staan. De ondergrens die weergegeven is op regel 17 staat dus logischerwijs ook uitgedrukt in magnitude/arcsec2.

33 3.1. MODEL FITTEN AAN GALAXIE 33 (a) VLT foto (b) HST foto (c) VLT mask file (d) HST mask file (e) VLT masked (f) HST maked Figuur 3.3: De originele, gereduceerde foto s (a), (b) en de mask files die gebruikt worden om de heldere objecten te verduisteren (c), (d). In (e) en (f) is het product van respectievelijk (a) (c) en (b) (d) weergegeven. De kleurverdeling is in deze foto s op een logaritmische schaal verdeeld.

34 34 HOOFDSTUK 3. ANALYSE VAN DE DATA 3.2 Resultaten van het model Na het fitten van het model voor de galaxie, kunnen we de waarden plotten voor alle parameters die het programma berekend heeft. Eerst kunnen we een blik werpen op het gefitte model van de galaxie. De modellen voor beide data (VLT en HST) zijn weergegeven in figuur 3.4 op de middelste rij. De eerste rij geeft de oorspronkelijk gereduceerde foto s weer en in de laatste rij zijn de foto s te zien waarbij het model van de oorspronkelijke foto s afgetrokken is. Zoals op het eerste zicht aan deze foto s te zien is, lijkt het model geslaagd. Nu kunnen we de andere parameters van de isofoten gaan bekijken. In figuur 3.5 en 3.6 zijn respectievelijk de parameters van de VLT data en HST data geplot in functie van de straal r, die uitgedrukt staat in boogseconden. Zoals in de tweede en derde figuur (van boven naar onder) in de linkerkolom van beide figuren te zien is, is er op het eerste zicht niks abnormaals aan de data. Deze duiden op mooie concentrische ellipsen voor de eerste 30 à 40 boogseconden, maar de plot van de ellipticiteit en de positiehoek vertoont abnormaal gedrag. De coherente wiebelingen duiden op een onderliggende structuur. Die structuur blijkt een spiraalstructuur te zijn zoals aangetoond werd door Jerjen, Kalnajs en Binggeli (2000). Uit de plot kunnen we zien dat het spiraalpatroon zich uitstrekt tot ongeveer 30 à 40 boogseconden. De aandachtige lezer ziet dat het oppervlaktehelderheidsprofiel (bovenste plot in figuur 3.5 in de linkerkolom) een knik vertoont rond deze straal. Dit zal zijn omdat het oppervlaktehelderheidsprofiel uit een component bestaat die afkomstig is van de schijf, die ook de spiraalstructuur bevat, en een component die afkomstig is van de halo van de galaxie. Zoals verder beschreven wordt (sectie 3.3), zullen we een Sérsicprofiel fitten aan dit helderheidsprofiel. Het totale profiel zal dus een som zijn van de bijdragen van de verschillende componenten. Naast de bijdrage van de schijf en de halo zal er ook nog een bijdrage van de nucleus zijn. Dit is te zien aan de piek die voorkomt bij de kleinste stralen (kleiner dan 2 ). Voor de iets grotere stralen (2 tot ongeveer 40 ) zal de schijf de belangrijkste bijdrage leveren aan het helderheidsprofiel en voor nog grotere stralen zal de halo de overhand nemen. Om de structuur en het profiel van de nucleus aan het licht te brengen zullen we gebruik moeten maken van data met een veel hogere resolutie dan diegene die we kunnen bereiken met de VLT telescoop. De beperkende factor voor deze telescoop is namelijk de seeing van de atmosfeer, ook al was deze uitstekend tijdens de observaties (0.6 ). Dit is niet genoeg om de galaxie op te lossen voor de kleinste stralen. Hier komt de data van de HST van pas. Zoals te zien in figuur 3.6 is er data voor veel kleinere stralen beschikbaar. De pixelgrootte van de HST is 0.05 boogseconden en aangezien de telescoop zich in een baan rond de aarde bevindt buiten de atmosfeer, heeft deze geen last van de seeing van de atmosfeer. Zo zie je dat bij het oppervlaktehelderheidsprofiel dat volgt uit de HST data, de helderheid veel hoger piekt voor kleine stralen. Als de helderheidsprofielen van beide datasets bekeken worden ziet de lezer dat de magnituden van de HST data iets hoger liggen dan de magnituden van de VLT data. Dit kan veroorzaakt zijn door het gebruik van een andere magnitudeschaal en door het feit dat de waarnemingen niet met dezelfde filter gebeurd zijn. De VLT waarnemeningen zijn bij ongeveer 600 nm gedaan terwijl die bij de HST op ongeveer 900 nm gedaan zijn. Nu is het verschil tussen beide profielen een zo goed als constante waarde. Hierdoor kan de data van de HST verschoven worden zodat deze op die van de VLT ligt. Het op deze manier combineren van beide datasets zorgt voor een helderheidsprofiel met hoge resolutie

35 3.2. RESULTATEN VAN HET MODEL 35 (a) Oorspronkelijke foto VLT (b) Oorspronkelijke foto HST (c) Model VLT data (d) Model HST data (e) Oorspronkelijke foto met het model ervan afgetrokken, VLT (f) Oorspronkelijke foto met het model ervan afgetrokken, HST Figuur 3.4: Op de bovenste rij zijn de foto s van de 2 telescopen weergegeven. Op de tweede rij staan de modellen die uit het programma beschreven in sectie 3.1 volgen. Op de onderste rij staan de oorspronkelijke foto s met de modellen ervan afgetrokken.

36 36 HOOFDSTUK 3. ANALYSE VAN DE DATA (data voor kleine stralen) in de R-band van de galaxie. De fouten, die ook weergegeven zijn op de figuren, zijn bepaald met een bootstrapmethode, die willekeurige datapunten trekt met terugplaatsing, uit de dataset en een fit maakt. Door dit herhaaldelijk te doen, wordt een fout op de data bepaald. Bepaling van de schijnbare magnitude uit de modellen voor de galaxie Uit de modellen die weergegeven zijn in figuur 3.4(c) en 3.4(d) kunnen de schijnbare magnitude in de R-band en die in de F 850LP -band (filter gebruikt op HST) bepaald worden aan de hand van vergelijking 2.1. Het product van de kleurcoëfficiënt kc X en de kleur en de interstellaire absorptie kunnen verwaarloosd worden. Zowel de kc X als V R zijn klein en hun bijdrage tegenover de andere termen zal verwaarloosbaar zijn en verder is er in de gezichtslijn met de galaxie zo goed als geen interstellaire absorptie, dus deze term mag ook achterwege gelaten worden. We krijgen dus als vergelijking voor de schijnbare magnitude, m X = 2.5 log(f) + m X 0 + ke X z. (3.3) Met behulp van het ESO-MIDAS programma kunnen we de flux f, uitgedrukt in elektronen per sec, van de galaxie berekenen uit de modellen. De waarden voor alle parameters zijn weergegeven in tabel 3.1. De nulpuntsmagnitudes zijn de nulpunten op de Vega magnitudeschaal, dus de schijnbare magnitudes zijn ook weergegeven in de Vega magnitudeschaal. De bekomen waarden voor de magnitudes in de R-band en de F 850LP -band zijn respectievelijk en Tabel 3.1: De waarden van de parameters uit vergelijking 3.3, weergegeven voor de VLT en de HST. parameter VLT HST f m X ke X z 1.4 m X

37 3.2. RESULTATEN VAN HET MODEL 37 Figuur 3.5: Linkerkolom(van boven naar onder): het oppervlaktehelderheidsprofiel, afwijking van het middelpunt van de isofoot tegenover het middelpunt van de galaxy langs de kleine as, afwijking van het middelpunt van de isofoot tegenover het middelpunt van de galaxy langs de grote as, de positiehoek en het elliptisch type van de isofoten, wat gelijk is aan 10 keer de ellipticiteit. Rechterkolom: De Fouriercoëfficiënten die de afwijkingen tegenover een echte ellips beschrijven. VLT data.

38 38 HOOFDSTUK 3. ANALYSE VAN DE DATA Figuur 3.6: Linkerkolom(van boven naar onder): het oppervlaktehelderheidsprofiel, afwijking van het middelpunt van de isofoot tegenover het middelpunt van de galaxy langs de kleine as, afwijking van het middelpunt van de isofoot tegenover het middelpunt van de galaxy langs de grote as, de positiehoek en het elliptisch type van de isofoten, wat gelijk is aan 10 keer de ellipticiteit. Rechterkolom: De Fouriercoëfficiënten die de afwijkingen tegenover een echte ellips beschrijven. HST data.

39 3.3. FITTEN VAN EEN PROFIEL AAN DE OPPERVLAKTEHELDERHEID Fitten van een profiel aan de oppervlaktehelderheid Galaxieën zijn drie-dimensionale objecten, maar het enige wat we kunnen waarnemen is een twee-dimensionale projectie van de galaxie op de hemelsfeer. De intrinsieke grootheden van een galaxie beschrijven de eigenschappen ervan in de drie-dimensionale ruimte. Het oppervlaktehelderheidsprofiel dat we waargenomen hebben is een geprojecteerde grootheid, wat een waarneembare grootheid is aan het tweedimensionale hemeloppervlak. Het is dus de bedoeling om het helderheidsprofiel zoals bepaald in voorgaande sectie te deprojecteren zodat we de stellaire emissiviteit bekomen, welke uitdrukt hoeveel radiatief vermogen uitgestraald wordt door de sterren per kubieke meter per golflengte per ruimtehoek. Deze grootheid zal via de massalichtkrachtverhouding gerelateerd zijn aan de dichtheidsverdeling van de sterren. In deze sectie beginnen we met een profiel te beschrijven dat de waargenomen intensiteit (of oppervlaktehelderheid), wat dus de projectie is van de emissiviteit, moet beschrijven. Hierna zullen we het effect van de point-spread functie bekijken op de waargenomen data, om ten slotte een profiel te fitten aan de waargenomen intensiteit Profielen voor de intensiteit Eén van de populairste modellen om oppervlaktehelderheden van elliptische galaxieën te fitten is de wet van Vaucouleur. Deze wet gaat uit van het feit dat de oppervlaktehelderheid een functie is van r 1/4 en kan dus geschreven worden in de vorm, µ(r) = A + Br 1/4, (3.4) waarin µ de oppervlaktehelderheid is uitgedrukt in magnitude, A en B te fitten constanten zijn en r de straal tot het middelpunt van de galaxie voorstelt. Een equivalente voorstelling hiervan is om het profiel uit te drukken als de intensiteit in plaats van de oppervlaktehelderheid. Deze voorstelling kan geschreven worden als volgt, ( I(r) = I 0 exp ( r ) 1/4), (3.5) r 0 waarin I(r) de intensiteit op straal r voorstelt en I 0 e 1 de intensiteit voorstelt op de schaalengte r 0. Beiden zijn gerelateerd op de volgende manier, µ(r) = m log(i(r)). (3.6) Vergelijking 3.5 hierin invullen levert vergelijking 3.4 met A = m 0 2.5log(I 0 ) en B = 2.5 log(e)r 1/4 0 op. Voor sommige galaxieën is bovenstaande beschrijving heel goed, maar voor elliptische dwerggalaxieën blijkt een exponentiële beschrijving voor de intensiteit een beter resultaat op te leveren, I(r) = I 0 exp( r ). (3.7) r 0 Bij een exponentieel model voor de intensiteit zal de oppervlaktehelderheid lineair afhangen van de straal r, wat ook te zien is in de plot van de oppervlaktehelderheid in figuur 3.5. De schijf weegt door van ongeveer 2 tot 35 boogseconden. Bij deze stralen zien we een lineair verloop van het oppervlaktehelderheidsprofiel en om het intensiteitsprofiel te

40 40 HOOFDSTUK 3. ANALYSE VAN DE DATA fitten kan dus een exponentiële gebruikt worden. Hetzelfde geldt voor de bijdrage van de halo, die doorweegt vanaf ongeveer 40 boogseconden. Deze 2 componenten kunnen we dus fitten door gebruik te maken van de som van 2 exponentiëlen. Nu kunnen we bovenstaande profielen nog uitbreiden tot een model met een algemene macht 1/n, ( I(r) = I 0 exp ( r ) 1/n), (3.8) r 0 wat het Sérsicmodel is. Dit model heeft 3 parameters om te fitten aan het profiel. Dit profiel zal gebruikt worden om het oppervlaktehelderheidsprofiel van de nucleus te fitten, die duidelijk de overhand neemt voor de kleinste stralen (kleiner dan 2 boogseconden). In figuur 3.7 zijn 4 Sérsicprofielen weergeven met verschillende waarden voor de exponent 1/n. Hoe groter de exponent, hoe vlugger het profiel naar beneden zal vallen voor grotere stralen. Voor de parameters m 0, I 0 en r 0 werden respectievelijk de waarden 18, 20 en 2 gebruikt. Deze figuur werd gemaakt met behulp van python. Figuur 3.7: Plot van de oppervlaktehelderheid van Sérsicprofielen waarvoor in vergelijking 3.7 verschillende waarden voor n gebruikt werden. n = 1 levert een exponentieel profiel op, terwijl n = 4 een Vaucouleursprofiel oplevert De point-spread functie Zelfs in een optisch perfect instrument zal het licht van een puntbron niet gefocust kunnen worden in een perfect punt. De lichtgolven convergeren naar de focus van het optisch systeem en komen in bijna perfecte fase aan in de omliggende regio van de geometrische focus. Ze komen niet toe in een perfect punt, maar zullen een smalle schijf vormen, die de diffractieschijf genoemd wordt. Deze wordt weergegeven in figuur 3.8. Door het golfpatroon van licht zal een deel van het licht buiten de schijf terecht komen en een diffractiepatroon vormen, wat ook te zien is op de figuur.

41 3.3. FITTEN VAN EEN PROFIEL AAN DE OPPERVLAKTEHELDERHEID 41 Figuur 3.8: De voorstelling van de diffractieschijf van een optisch systeem. De ringen naast de middelste schijf worden veroorzaakt door het golfkarakter van licht. ( c wikipedia ) De distributie van het licht van een puntbron wordt dus weergegeven zoals op de figuur en zal beschreven worden door de point-spread function (PSF). De PSF kan een perfect diffractiepatroon zijn of kan onscherp zijn door optische aberraties of de seeing van de atmosfeer. De PSF beschrijft dus hoe de telescoop het beeld van een perfecte puntbron weergeeft. De hoekdiameter van de diffractieschijf geeft dus weer hoe groot de puntbron zal weergegeven worden en wordt gegeven door, θ(radialen) = 2.44 λ D, (3.9) waarin λ de golflengte van het licht is en D de diameter van de telescoop. Voor de VLT (8.2m) op 660 nm en de HST (2.4m) op nm wordt θ respectievelijk gegeven door 0.04 en Vergelijken we dit met de pixelgrootte van beide telescopen, 0.2 voor de VLT en 0.05 voor de HST, dan zien we dat de diffractieschijf volledig binnen de pixelgrootte van de telescoop valt voor de VLT. Hierdoor zou je verwachten dat je een puntbron ook als een puntbron zal waarnemen. Dit is echter niet het geval omdat we rekening moeten houden met de seeing van de atmosfeer, welke bij de observaties ongeveer 0.6 bedroeg. Het probleem van de atmosfeer valt natuurlijk weg voor de HST. De PSF zal voor de HST dan ook door het optisch systeem bepaald worden en de binnenste piek van het diffractiepatroon zal een diameter hebben bepaald door formule 3.9. In figuur 3.9 is te zien dat de diffractieschijf goed benaderd kan worden door een Gaussische functie. Deze Gaussische functie zal gekarakteriseerd worden door een standaardafwijking σ, die een maat zal zijn voor hoe uitgesmeerd de puntbron er zal uitzien nadat het licht ervan door het optisch systeem gepasseerd is. De bepaling van σ kan gedaan worden door een Gaussisch profiel te fitten aan de sterren die zichtbaar zijn op de foto die van IC3328 getrokken is. Dit kan eenvoudig gedaan worden met MIDAS dat de FWHM (Full width half maximum) van de gefitte Gaussische functie weergeeft.

42 42 HOOFDSTUK 3. ANALYSE VAN DE DATA Figuur 3.9: vaste lijn: Een radiale doorsnede van de diffractieschijf. Gaussische benadering voor de radiale doorsnede. ( c wikipedia ) stippellijn: Een Bepaling standaardafwijking van de PSF De standaardafwijking van de PSF kan bepaald worden door een Gaussisch profiel te fitten aan een puntbron waargenomen met de telescoop. Gelukkig zijn er een heleboel puntbronnen voor handen om de PSF van een telescoop te bepalen. Alle sterren die naast de waargenomen galaxie ook in het gezichtsveld van de telescoop liggen, kunnen als puntbron fungeren. Dit is niet zo evident want puntbronnen op laboratoriumschaal zijn lang niet zo eenvoudig om te maken, een ledlampje van 1mm groot zou op een afstand van meer dan 5 km moeten staan om door een 8.2m telescoop als een puntbron waargenomen te worden, maar de gigantische afstanden tot de sterren in het gezichtveld zorgen er voor dat deze daar ideaal voor zijn. Figuur 3.10: De pixelwaarden langsheen een doorsnede van de ster. De rode curve is een Gaussische functie gefit aan het profiel van de ster.

43 3.3. FITTEN VAN EEN PROFIEL AAN DE OPPERVLAKTEHELDERHEID 43 Tabel 3.2: De waarden voor de FWHM van de gefitte Gaussische verdelingen uitgedrukt in pixels. ster FWHM x-as FWHM y-as gem i σ gemi gem σ gem De sterren zullen door de PSF uitgesmeerd worden op de detector van de camera zoals beschreven door de PSF. Uit figuur 3.9 bleek al dat een Gaussische functie hiervoor een goede benadering levert. Op figuur 3.10 zijn de pixelwaarden van een doorsnede van een ster te zien. De rode lijn is een Gaussische fit aan het profiel van de ster. Dit gebeurt met het ESO-MIDAS programma dat de FWHM (Full width at half maximum) weergeeft. Dit is de waarde waarop de verdeling de helft van zijn maximale waarde bereikt. We kunnen dus als profiel voor de PSF een 2 dimensionale genormeerde Gaussische functie voorstellen van de vorm, 1 1 ( P SF (r) = exp ( x 2 2πσx 2πσy 2σx 2 + y2 ) ) 2σy 2, (3.10) waarin r = x 2 + y 2 de afstand is tot het centrum van het profiel en σ x en σ y de standaardafwijkingen van het Gaussisch profiel zijn. In tabel 3.2 zijn de FWHM, uitgedrukt in pixels, van 8 sterren weergegeven in de x- en de y-richting. Het gemiddelde van beide richtingen is weergegeven en de fout erop. Deze gemiddelde waarden liggen heel goed bij elkaar. Het feit dat deze waarden voor de FWHM in beide richtingen gelijk zijn, zorgt ervoor dat de vorm van de PSF iets makkelijker wordt. De PSF zal enkel afhangen van de straal r en niet van de richtingshoek θ, waarin r en θ poolcoördinaten zijn. De PSF kan nog geschreven worden als, P SF (r) = 1 2πσ 2 exp ( ( r 2 2σ 2 ) ), (3.11) waarin σ = σ x = σ y is. De gemiddelde FWHM van beide richtingen is Nu moeten we dit nog gaan omrekenen naar σ. De FWFM van de Gaussische verdeling wordt gegeven door, 1 ( 2 2πσ 2 exp 02 ) 2σ 2 = 1 ( 2πσ 2 exp (F W ) HM/2)2 2σ 2, (3.12) waaruit volgt, F W HM = 2 2 ln(2)σ, (3.13)

44 44 HOOFDSTUK 3. ANALYSE VAN DE DATA of nog, σ = F W HM 2 2 ln(2). (3.14) Met de gemiddelde waarde uit tabel 3.2 kan nu de standaardafwijking van het Gaussisch profiel voor de PSF berekend worden. Hiervoor wordt een waarde σ = 1.30 bekomen. De straal in vergelijking 3.11 wordt uitgedrukt in boogseconden, dus moet σ ook in boogseconden staan. Rekening houdend met een pixelgrootte van 0.05 vinden we σ = boogseconden. Nu de standaardafwijking en daarmee de PSF gekend is, kunnen we het effect van de PSF op de intensiteit bekijken Convolutie van de PSF en de intensiteit De PSF zoals hierboven beschreven, zal als resultaat hebben dat het ware intensiteitsprofiel van de galaxie zal afwijken van hetgeen waargenomen wordt door de telescoop. Beide profielen zullen door volgende convolutie aan elkaar gerelateerd zijn, f(r) = P SF (r )I(r + r )dr, (3.15) waarin f het waargenomen profiel is en I het echte profiel is. Zowel de PSF als de helderheidsprofielen zijn onafhankelijk van de hoek θ en dus enkel functie van de afstand r, waarbij θ en r poolcoördinaten zijn. De vectoren r en r zijn weergegeven in figuur Figuur 3.11: Schematische voorstelling van de vectoren r, r en de hoek θ tussen de 2 vectoren. Het centrum van de galaxie valt samen met de oorsprong van het assenstelsel en is daarvoor logischerwijs r = 0. r is de vector die de plaats tegenover het middelpunt van de galaxie aanduidt, terwijl de vector r de plaats van een punt aanduidt en in bovenstaande integraal de PSF in dat punt zal weergeven tegenover r. De hoek tussen beide vectoren is θ. We kunnen voorgaande formule dus herschrijven als, f(r) = 0 2π r dr dθp SF ( r )I( r + r ), (3.16) 0

45 3.3. FITTEN VAN EEN PROFIEL AAN DE OPPERVLAKTEHELDERHEID 45 waarin dr vervangen wordt door r dr dθ. Het uitwerken van de variabele van de functie I geeft als resultaat, f(r) = 0 2π r dr dθp SF (r )I ( r 2 + r 2 + 2rr cos(θ) ). (3.17) 0 Als we nu de uitdrukkingen voor de P SF (3.11) en I (3.8) invullen krijgen we, f(r) = I 0 2πσ 2 0 r dr 2π 0 dθ exp ( r 2 ) ( 2σ 2 exp ( r 2 + r 2 + 2rr ) cos(θ) ) 1/n. (3.18) r 0 In figuur 3.12 wordt het effect van de convolutie tussen het werkelijke profiel van de galaxie en het waargenomen profiel getoond. De rode curve in de figuur is het werkelijke profiel I terwijl de groene curve het waargenomen profiel f is. Het effect is enkel beduidend op kleine stralen van het centrum van de galaxie. Het zal ervoor zorgen dat de centrale piek van het intensiteitsprofiel afgevlakt wordt. Deze wordt platter (eerst gaat de groene curve onder de rode) en breder (daarna gaat de groene curve boven de rode) en op grotere afstanden is er geen verschil meer (beide curves naderen naar elkaar). Het feit dat de piek niet alleen platter maar ook breder wordt, komt doordat de totale lichtkracht behouden blijft bij de convolutie, of met andere woorden, de oppervlakte onder beide curves blijft dezelfde. De waarden gebruikt om de plot te maken in de figuur zijn r 0 = , I 0 = 141, n = 5 en m 0 = 20. De figuur werd gemaakt door gebruik te maken van een pythonscript. Om de integraal uit te rekenen werd gebruik gemaakt van de scipy methode integrate.quad. Figuur 3.12: Het effect van een convolutie op een oppervlaktehelderheidsprofiel. De piek wordt smaller en breder.

46 46 HOOFDSTUK 3. ANALYSE VAN DE DATA Het fitten van de data Het oppervlaktehelderheidsprofiel van beide datasets bekomen zoals beschreven in sectie 3.2, is weergegeven in figuur De rode datapunten zijn de datapunten van de HST terwijl de groene die van de VLT voorstellen. Op het eerste zicht is te zien dat de resolutie van de HST veel groter is dan die van de VLT. De lagere resolutie van de VLT leidt net als de PSF tot een platter en breder profiel voor de piek. Op figuur 3.13(a) is te zien dat beide datasets door ongeveer een constante van elkaar verschillen. Zoals eerder vermeld, komt dit vooral door het gebruik van verschillende filters in een ander golflengtegebied. We willen de intensiteit in de R-band bepalen en dus kunnen we het profiel van de HST verschuiven, wat weergegeven is in figuur 3.13(b). Hierop is ook te zien dat beide profielen enkel voor kleine stralen significant verschillen van elkaar, wat logisch is door de hogere resolutie van de HST. Om uit deze 2 datasets 1 set punten te halen die een zo goed mogelijke weergave van het profiel weergeven, selecteren we voor een straal kleiner dan 2 boogseconden de data van de HST, die de centrale piek van het profiel veel beter beschrijft en voor grotere stralen de data van de VLT, waarvoor we data hebben tot op ongeveer 80 boogseconden van het centrum. Deze geselecteerde data is weergegeven in figuur 3.13(c). Het is nu de bedoeling om aan deze data een som van profielen te fitten. Voor het profiel van de nucleus van de galaxie stellen we om te beginnen een Sérsicprofiel voorop en voor zowel de schijf als de halo een exponentieel profiel, ( I N (r) = I N,0 exp ( r ) ) 1/n N,0, (3.19) r N,0 I S (r) = I S,0 exp( r r S,0 ), (3.20) I H (r) = I H,0 exp( r r H,0 ), (3.21) waarin N, S en H respectievelijk staan voor nucleus, schijf en halo. In totaal moeten dus 7 parameters gefit worden, de centrale intensiteiten van de 3 profielen, I N,0, I S,0, I H,0, de 3 schaallengtes van de profielen, r N,0, r S,0, r H,0 en n N,0 die de exponent is in het Sérsicprofiel van de nucleus. Zoals in figuur 3.12 al te zien was, zal de convolutie tussen het werkelijke profiel en het waargenomen profiel enkel een effect hebben op de kleinere stralen. We hoeven dus enkel de convolutie van de PSF met de nucleus te beschouwen. Je zou een convolutie van allemaal kunnen nemen ook, maar het computationeel werk voor de fit procedure mag niet onderschat worden en kan een hoop tijd in beslag nemen. Daarom proberen we de te fitten functie zo eenvoudig mogelijk te houden (we fitten al 7 parameters en de convolutie zorgt ervoor dat voor ieder datapunt een dubbelintegraal uigerekend moet worden!). De convolutie van de PSF met de nucleus ziet er dus uit zoals vergelijking 3.17, f N (r) = I 2π ( N,0 2πσ 2 r dr dθ exp r 2 ) ( 0 0 2σ 2 exp ( r 2 + r 2 + 2rr ) cos(θ) ) 1/nN,0 r N,0 (3.22) Het is niet nodig om van 0 tot + te integreren, maar een aantal a keer sigma volstaat,

47 3.3. FITTEN VAN EEN PROFIEL AAN DE OPPERVLAKTEHELDERHEID 47 (a) (b) (c) Figuur 3.13: (a) Het oppervlaktehelderheidsprofiel bekomen uit de data van beide telescopen en (b) dezelfde data waarbij de datapunten van de HST verschoven werden naar de datapunten van de R-band van de VLT. (c) De datapunten van beide datasets gecombineerd tot 1 profiel dat zowel een goede beschrijving geeft voor kleine stralen als voor grote stralen. omdat de PSF naar nul nadert voor grote waarden van r. f N (r) = I +aσ 2π ( N,0 2πσ 2 r dr dθ exp r 2 ) ( 0 0 2σ 2 exp ( r 2 + r 2 + 2rr ) cos(θ) ) 1/nN,0 r N,0 (3.23) Omdat de PSF een Gaussische verdeling is zou je op het eerste zicht verwachten dat 3 à 4 keer sigma genoeg is. Dit is echter niet zo omdat het Sérsicprofiel een exponentiële afhankelijkheid kent en voor stralen r aσr nog zwaar zal doorwegen. Hiermee moeten we dus rekening houden en a moet van de grootte zijn. Het waargenomen profiel

48 48 HOOFDSTUK 3. ANALYSE VAN DE DATA ziet er dan als volgt uit, f tot (r) = f N (r) + I S (r) + I H (r) = I N,0 2πσ 2 +aσ 0 + I S,0 exp( r r S,0 ) 2π r dr dθ exp 0 ( r 2 ) ( 2σ 2 exp ( r 2 + r 2 + 2rr ) cos(θ) ) 1/nN,0 r N,0 + I H,0 exp( r r H,0 ). (3.24) We kunnen dit nu nog schrijven als, f tot (r) = I N,0 ( 1 +aσ 2π ( 2πσ 2 r dr dθ exp r waarin, 2σ 2 ) + k S,0 exp( r r S,0 ) + k H,0 exp( r r H,0 ) ) ( exp ( r 2 + r 2 + 2rr ) cos(θ) ) 1/nN,0 r N,0 = I N,0 F tot (r), (3.25) I S,0 = k S,0 I N,0, (3.26) I H,0 = k H,0 I N,0. (3.27) De datapunten uit figuur 3.13(c) staan echter in oppervlaktehelderheden. We hebben dus, µ(r) = m log(f tot (r)) ( ) = m log(i N,0 ) 2.5 log(f tot (r)) = µ log(f tot (r)), (3.28) waarbij we in de laatste stap m 0 en I N,0 tot 1 parameter µ 0 gecombineerd hebben. Later zullen we I N,0 uit µ 0 bepalen. De te fitten parameters zijn dus, µ 0, k S,0, k H,0, r N,0, r S,0, r H,0 en n N,0, wat nog steeds 7 parameters zijn. Dit is de vergelijking die we aan de datapunten in figuur 3.13(c) moeten fitten. Om het computationeel werk nog iets draaglijker te maken voor de gebruikte PC, fitten we eerst het profiel I S (r) + I H (r) van de schijf en de halo aan de datapunten waarvan r groter is dan 2 boogseconden en f N (r) aan de datapunten met r kleiner dan 2 boogseconden. Hierna doen we de fitting procedure opnieuw met de 3 componenten samen en maken we gebruik van alle datapunten, maar de schaallengtes van de schijf en de halo worden vast gehouden, zodat er nog slechts 5 te fitten parameters overblijven. De reden dat de schaallengte van de nucleus niet vast gehouden wordt is omdat de datapunten voor de kleinere stralen moeilijker aan het profiel te fitten zijn, dus laten we daar iets meer vrijheid om toch een goede fit te bekomen. De datapunten op de langere afstanden zijn al zeer goed gefit door het profiel van de schijf en de halo en hun schaallengtes kunnen dus vast gehouden worden. Ook zal het profiel van de nucleus helemaal geen effect hebben op stralen groter dan 5 boogseconden, terwijl vooral het profiel van de schijf wel nog een bijdrage zal leveren rond 1 à 2 boogseconden,

49 3.3. FITTEN VAN EEN PROFIEL AAN DE OPPERVLAKTEHELDERHEID 49 Figuur 3.14: De data wordt voorgesteld door de rode punten, de groene volle lijn stelt de gefitte convolutie voor van de Sérsicprofielen en de groene stippellijn stelt het werkelijke oppervlaktehelderheidsprofiel voor. Het gefitte model is het profiel waarbij de nucleus door 1 Sérsicprofiel beschreven wordt. dus de schaallengte van de nucleus zal hierdoor aangepast worden. Op figuur 3.14 is het resultaat van deze fit te zien. Deze fit werd gemaakt met de methodes optimize.leastsq en integrate.quad van het scipy pakket van python. De volle lijn stelt de fit van f tot (r), dat dus de convolutie tussen de PSF en het werkelijke profiel is, aan de datapunten voor en de stippelijn stelt het werkelijke profiel I tot (r) = I N (r) + I S (r) + I H (r) voor. We zien dat de binnenkant van de nucleus wel goed gifit wordt door het profiel, maar dat de buitenkant (van de nucleus) het laat afweten. Een oplossing voor dit profiel is om het intensiteitsprofiel van de nucleus anders (en met meer parameters) te gaan voorstellen. We kunnen bijvoorbeeld de som van 2 Sérsicprofielen nemen, I N (r) = I N,0 exp ( ( r r N,0 ) 1/n N,0 ) + I N,1 exp ( ( r r N,1 ) 1/n N,1 ), (3.29) terwijl we de modellen voor de profielen van de schijf en de halo kunnen behouden, I S (r) = I S,0 exp( r r S,0 ), (3.30) We kunnen nu het waargenomen profiel schrijven als, f tot (r) = f N (r) + I S (r) + I H (r) = 1 2πσ 2 +aσ 0 I H (r) = I H,0 exp( r r H,0 ). (3.31) 2π r dr dθ exp 0 ( r 2 )( ( 2σ 2 I N,0 exp ( + I N,1 exp ( r 2 + r 2 + 2rr cos(θ) r N,1 ) ) ) 1/nN,1 ( r 2 + r 2 + 2rr cos(θ) ) ) 1/nN,0 r N,0 + I 0,S exp( r ) + I 0,H exp( r ), (3.32) r 0,S r 0,H

50 50 HOOFDSTUK 3. ANALYSE VAN DE DATA aangepast wat kan geschreven worden als, f tot (r) = I N,1 ( 1 +aσ 2π ( 2πσ 2 r dr dθ exp r 2 )( ( 0 0 2σ 2 k N,0 exp ) ) ( + exp ( r 2 + r 2 + 2rr cos(θ) ) 1/nN,1 r N,1 ) + k 0,S exp( r ) + k 0,H exp( r ) r 0,S r 0,H = I N,1 F tot (r). ( r 2 + r 2 + 2rr cos(θ) ) ) 1/nN,0 r N,0 (3.33) Opnieuw stellen we, I N,0 = k N,0 I N,1, (3.34) I S,0 = k S,0 I N,1, (3.35) I H,0 = k H,0 I N,1, (3.36) en µ(r) = µ log(f tot (r)), (3.37) waarin µ 0 = m log(i N,1 ). De te fitten parameters zijn nu, µ 0, k N,0, k S,0, k H,0, r N,0, r N,1, r S,0, r H,0, n N,0 en n N,1. Net zoals bij de fit waar het profiel van de nucleus uit slechts één Sérsicprofiel bestond, gaan we nu eerst de schijf en de halo aan de data met stralen groter dan 2 boogseconden fitten en de 2 Sérsicprofielen aan de data met stralen kleiner dan 2 boogseconden om dan de fit opnieuw te doen voor alle data en met de schaallengtes van de schijf en de halo die vast gehouden worden. In figuur 3.15 is het resultaat te zien van deze fit. Ook deze fit werd gemaakt met de methodes optimize.leastsq en integrate.quad van het scipy pakket van python. In tegenstelling met het eerste profiel dat gebruikt werd, worden nu wel alle datapunten op een goede manier gefit aan het profiel. De volle lijn is wederom het waargenomen profiel, terwijl de stippellijn het werkelijke profiel is. De gefitte parameters worden weergegeven in tabel 3.3. De parameter k N,1 is geen gefitte parameter maar is hier toch vermeld omdat de onderlinge verhouding van de k s weergegeven in de tabel gelijk zijn aan die van de centrale intensiteiten van de 4 gebruikte profielen, maar om deze centrale intensiteiten te weten te komen moet gebruik gemaakt worden van de verhoudingen onderling en de waarde µ 0 Bepaling van de centrale intensiteiten en de schaallengtes De waarden voor de schaallengtes in tabel 3.3 staan nog uitgedrukt in boogseconden. Verder zijn enkel de verhoudingen van de centrale intensiteiten weergegeven. Met behulp van µ 0 kan I N,1 berekend worden en zo ook de 3 andere centrale intensiteiten. De omrekening van de schaallengtes kan makkelijk gedaan worden als de afstand tot de galaxy gekend is. Deze is terug te vinden in de Nasa/Ipac Extragalactic Database (NED) waar een waarde

51 3.3. FITTEN VAN EEN PROFIEL AAN DE OPPERVLAKTEHELDERHEID 51 Figuur 3.15: De data wordt voorgesteld aan de rode punten, de groene volle lijn stelt de gefitte convolutie voor van de Sérsicprofielen en de groene stippellijn stelt het werkelijke oppervlaktehelderheidsprofiel voor. Het gefitte model is het model waarbij de nucleus uit de som van 2 Sérsicprofielen bestaat. Tabel 3.3: De gefitte parameters voor het profiel voorgesteld door vergelijkingen 3.32 en parameter gefitte waarde µ r N, r N, r S, r H, k N, k N,1 1 k S, k H, n N, n N, van D = ± Mpc gegeven wordt. Nu kunnen we de schaallengtes omzetten van boogseconden naar kpc met behulp van, R = D tan(θ), (3.38) met R de grootte van de schaallengte uitgedrukt in pc en θ de grootte van de schaallengte uitgedrukt in boogseconden. Om de centrale intensiteiten te vinden, moeten we eerst de oppervlaktehelderheid µ R uitrekenen die overeenkomt met 1 L,R pc 2, wetende dat de absolute R-band magnitude van de zon M,R = 4.42 is. We starten van een object dat als magnitude m heeft en een ruimtehoek van p 2 arcsec 2 omspant, lichtkracht L X heeft en

52 52 HOOFDSTUK 3. ANALYSE VAN DE DATA een afstand d x van ons verwijderd is. De uitdrukking voor de magnitude per arcsec 2 µ X is nu, ( LX ) µ X = M,R 2.5 log 4πp 2 d 2 x L,R 4πd 2 0. (3.39) We kunnen nu L X = D 2 I X stellen met D de diameter van het object en I X uitgedrukt in L,R /pc 2. Gebruik makend van het feit dat d 0 per definitie gelijk is aan 10 pc, kan bovenstaande vergelijking herschreven worden als, I X 10D µ X = M,R 2.5 log( (L,R /pc 2 ) 5 log( ). (3.40) ) p d X Nu kunnen we α = D/d X stellen waarbij α de grootte is van het object uitgedrukt in radialen. Verder willen we de oppervlaktehelderheid weten die overeenkomt met I X = 1L,R /pc 2. We krijgen dan, µ R = M,R 5 5 log( α p ) = 360 M,R 5 5 log( π ) = mag/arcsec 2. (3.41) Nu hebben we voor onze galaxie een centrale oppervlaktehelderheid van, µ(0) = µ log(k N,0 + k N,1 + k S,0 + k H,0 ) = mag/arcsec 2 (3.42) De centrale oppervlaktehelderheid kan nu ook uitgedrukt worden in functie van de centrale intensiteit, µ(0) µ R = 2.5 log( I N,1(k N,0 + k N,1 + k S,0 + k H,0 ) L,R /pc 2 ), (3.43) waaruit I N,1 kan berekend worden. Hieruit volgt een waarde I N,1 = e9 L,R /kpc 2. De andere waarden zijn weergegeven in tabel 3.4 en in figuur 3.16 zijn de intensiteitsprofielen van de nucleus, de schijf en de halo geplot. Deze figuur werd gemaakt met behulp van python De totale intensiteit en de schijnbare magnitude De totale lichtkracht in de R-band kunnen we berekenen door de Sérsicprofielen van de vorm 3.8 te integreren, 2π L R = dφ rdri(r) 0 0 ( ) = 2πI 0 exp ( rr0 ) 1/n rdr. (3.44) We kunnen nu de substitutie u = (r/r 0 ) 1/n doorvoeren en we krijgen dan, L R = 2πI 0 nr exp( u)u 2n 1 du. (3.45)

53 3.3. FITTEN VAN EEN PROFIEL AAN DE OPPERVLAKTEHELDERHEID 53 Tabel 3.4: De gefitte parameters voor het profiel voorgesteld door vergelijkingen 3.32 en parameter gefitte waarde r N, kpc r N, kpc r S, kpc r H, kpc I N, L,R /kpc 2 I N, L,R /kpc 2 I S, L,R /kpc 2 I H, L,R /kpc 2 n N, n N, Figuur 3.16: De 3 bijdragen aan de totale intensiteit. De rode curve stelt de bijdrage van de nucleus voor, de groene curve de bijdrage van de schijf en de blauwe curve de bijdrage van de halo. Voor de nucleus is een som van de 2 Sérsicprofielen gebruikt en voor zowel de schijf als de halo een exponentieel model. De integraal kan geschreven worden als een gammafunctie Γ(2n) en dit levert een resultaat voor de totale lichtkracht op van, L R = 2πI 0 nr 2 0Γ(2n). (3.46)

54 54 HOOFDSTUK 3. ANALYSE VAN DE DATA De totale lichtkracht van de galaxie kan nu uitgedrukt worden in termen van de gefitte parameters van de verschillende componenten, wat als resultaat, L R,galaxie = 2π [ I N,0 n N,0 r 2 N,0Γ(2n N,0 ) + I N,1 n N,1 r 2 N,1Γ(2n N,1 ) + I S,0 r 2 S,0Γ(2) + I H,0 r 2 H,0Γ(2) ] = L (3.47) oplevert en waarbij rekening gehouden werd met het feit dat voor de schijf en de halo een exponentieel profiel gebruikt werd, waarvoor logischerwijs n S,0 = n H,0 = 1 geldt. Uit de lichtkracht kan nu de schijnbare magnitude van de galaxie bepaald worden met behulp van, m R,galaxie M R, = 2.5 log ( LR,galaxie D 2 L R, d 2 0 ), (3.48) waarin D de afstand tot de galaxie is,d 0 = 10pc en M R, de absolute magnitude van de zon in de R-band is. Zoals eerder vermeld wordt M R, = 4.42 en D = Mpc gebruikt. Met deze waarden vinden we een schijnbare magnitude m R,galaxie = ± 0.66 terug in de R-band. De fout hierop werd bepaald door rekening te houden met de fout op de afstand tot de galaxie, die de fout op de schijnbare magnitude zal domineren (tegenover de fouten op de andere gebruikte waarden in de formule). Deze waarde is consistent met de gevonden waarde in sectie 3.2 waar m R,galaxie = gevonden werd en met de waarde die door Jerjen et al (2000) gegeven wordt. 3.4 Het dichtheidsprofiel De massa-lichtkrachtverhouding Om uit de gedeprojecteerde intensiteit de dichtheid te bepalen moeten we gebruik maken van de massa-lichtkrachtverhouding. Deze werd bepaald door dr. M. Koleva door een fit te maken aan het spectrum van IC3328 (bekomen uit de SDSS database) uitgaande van modellen voor de sterpopulatie. Deze fit werd gemaakt met ULySS, een software pakket geschreven door Koleva et al (2009) en is terug te vinden op Dit pakket fit het volledig spectrum en minimaliseert het verschil tussen het geobserveerde spectrum en een grid van modellen. In ons geval werden SSP s (Single stellar populations) gebruikt. De fit van het spectrum is weergegeven in figuur De beste fit is getoond in blauw en het spectrum is weergegeven in het zwart. De gemaskte pixels zijn geplot in het rood en de lijn in cyaan is een polynoom gebruikt in de fit om te corrigeren voor errors in de fluxkalibratie of onzekerheden in de extinctie. Omdat we niet zeker weten hoe de stellaire evolutie er uit ziet in de galaxie werden er 2 modellen gebruikt. Pegase-HR (Le Borgne et al., 2004) en Vazdekis (Vazdekis et al., 2010) werden gebruikt als modellen. hiermee werden de waarden voor de leeftijd en de metalliciteit bepaald zoals weergeven in tabel 3.5. Uit de best gefitte SPP parameters kunnen we dan de massa-lichtkracht verhouding bepalen. De stellaire populatie geeft ons de massa van de sterren weer voor een gegeven leeftijd en metalliciteit, en als we de lichtkracht weten, kunnen we de massalichtkrachtverhoudingen bepalen, welke ook weergegeven is in tabel 3.5. Het verschil in

55 3.4. HET DICHTHEIDSPROFIEL 55 Figuur 3.17: De fit aan het spectrum van de galaxie. De blauwe lijn stelt de fit voor en de zwarte lijn stelt het waargenomen spectrum voor. Tabel 3.5: De leeftijd, metalliciteit en de massa-lichtkrachtverhouding in de R-band voor beide modelen. Pegase-HR Vazdekis leeftijd 4 Gyr 3 Gyr [F e/h] Y R deze waarden kan verklaard worden door het gebruik van hoge- en lage-massasterren in de stellaire populatie. De werkelijke waarde voor de massa-lichtkrachtverhouding zal dus waarschijnlijk ergens tussen deze 2 uitersten liggen. Om in hoofdstuk 4 een distributiefunctie te fitten zullen we de waarde tussen 1.2 en 2.4 laten variëren. Een beste fit voor de distributiefunctie werd daar bekomen met een waarde Y R = 1.6. Voor de figuren die in de komende secties gemaakt worden zullen we dus ook altijd deze waarde gebruiken voor de massa-lichtkrachtverhouding Dichtheidsprofiel van de sferische componenten Deprojectie van het intensiteitsprofiel Als we een galaxie waarnemen is het logisch dat het vermogen van het totaal aantal fotonen dat vanuit een bepaalde richting op de detector valt de som is van het vermogen dat de sterren uitzenden langs de gezichtslijn. Het vermogen dat door de sterren uitgestraald wordt per kubieke meter is de emissiviteit, wat een intrinsieke grootheid is. Wat we zien is het vermogen per vierkante meter, genaamd intensiteit, wat de projectie is van de emissiviteit langs de gezichtslijn. Als we een coördinatenstelsel definiëren, de z-as langs de gezichtslijn leggen en de x-as en y-as in het vlak van de hemel en de oorsprong van het assenstelsel laten samenvallen met de oorsprong van de galaxie, kunnen we de projectie

56 56 HOOFDSTUK 3. ANALYSE VAN DE DATA als volgt schrijven, I R (x, y) = j R (x, y, z)dz. (3.49) De kromming aan de hemel kunnen we verwaarlozen omdat de afstand tot de galaxie veel groter is dan de diameter ervan. Het subscript R duidt er op dat we in de R-band werken en dus de intensiteit en emissiviteit ook in die band aan elkaar relateren. Hetzelfde kan gedaan worden voor andere banden of voor specifieke golflengten. Voor de nucleus en de halo van de galaxie kunnen we een sferische symmetrie veronderstellen, wat ervoor zal zorgen dat de intensiteit en de emissiviteit enkel afhangt van de straal. Vanuit deze veronderstelling kunnen we bovenstaande formule herschrijven als, met, I R (r) = j R (r)dz, (3.50) r = R 2 + z 2 = x 2 + y 2 + z 2. (3.51) waarin R de geprojecteerde straal voorstelt. Aangezien de emissiviteit enkel van de straal afhangt, kunnen we de integraal herschrijven als, I R (r) = 2 0 j R (r)dz. (3.52) We kunnen nu de integratieveranderlijke veranderen in r, en met behulp van, r = R 2 + z 2 z = r 2 R 2 dz = rdr r 2 R 2, (3.53) krijgen we j R (r)rdr I R (r) = 2 R r 2 R. (3.54) 2 Deze vergelijking maakt het mogelijk om de intensiteit te berekenen uit de emissiviteit. Praktisch gezien is het altijd de intensiteit van een galaxie die gemeten wordt en hebben we dus nood aan het inverse proces, een deprojectie van de intensiteit om zo het uitgestraalde vermogen per kubieke meter te bepalen. In het geval van een sferisch symmetrische emissiviteit is het mogelijk om de deprojectie exact uit te voeren. Vergelijking 3.54 is een Abelse integraalvergelijking, waarvoor de oplossing gegeven wordt door, j R (r) = 1 π Uitdrukking voor de dichtheid r di R dr (R) dr R 2 r. (3.55) 2 We kunnen de emissiviteit die uitgedrukt is in vermogen per kubieke meter linken aan de massadichtheid, uitgedrukt in kilogram per kubieke meter met behulp van de massalichtkrachtverhouding Y R = M/L R in de R-band, die gelijk gesteld werd aan 1.4 M /L,R op de volgende manier voorstellen: j R (r) = 1 ρ(r) = L R ρ(r). (3.56) Y R M

57 3.4. HET DICHTHEIDSPROFIEL 57 Nu hebben we voor de sferische componenten een intensiteitsprofiel dat verloopt volgens, Hiervan hebben we als afgeleide, di(r) dr I(R) = I 0 exp( (R/r 0 ) n ). (3.57) ( = I 0n Rn 1 r n 0 ) exp( (R/r 0 ) n ). (3.58) Dit invullen in vergelijking 3.55, wat we op zijn beurt in vergelijking 3.56 invullen, levert de volgende uitdrukking op voor de dichtheid, ρ(r) = I 0Y R n π R n 1 r r n 0 exp( (R/r 0 ) n dr ) R 2 r. (3.59) 2 Tenslotte kunnen we nog overgaan op een dimensieloze variabele, wat het computationeel werk een stuk eenvoudiger en overzichtelijker zal maken. Hiervoor voeren we x = r/r 0 in en noteren we X = R/r 0, wat nu de integratieveranderlijke is in onderstaande vergelijking, ρ(x) = I 0Y R n πr 0 x X n 1 exp( X n dx ) X 2 x 2 = I 0Y R n πr 0 J(x). (3.60) In figuur 3.18 zijn de dichtheidsprofielen van de nucleus en de halo te zien, die uitgerekend werden met behulp van het python pakket scipy en de methode integrate.quad. Om de figuur te bekomen werd vergelijking 3.60 geïntegreerd. Figuur 3.18: Het dichtheidsprofiel van de nucleus (rood) en de halo (blauw).

58 58 HOOFDSTUK 3. ANALYSE VAN DE DATA Oppervlaktedichtheidsprofiel van de schijf De oppervlaktedichtheid van de schijf kan zonder veel problemen rechtstreeks uit de intensiteit afgeleid worden. Door deze met de massa-lichtkrachtverhouding te vermenigvuldigen krijgen we direct de oppervlaktedichtheid, Σ(r) = Y R I R (r) = Y R I 0 exp( r r 0 ). (3.61) Ook hier kunnen we op de dimensieloze variabele x = r 0 overgaan, Σ(x) = Y R I 0 exp( x) (3.62) In figuyr 3.19 is een plot van de oppervlaktedichtheid weergegeven. gemaakt met behulp van python. Deze figuur werd Figuur 3.19: De oppervlaktedichtheid van de schijf De totale massa van de galaxie De bijdrage tot de massa voor de sferische componenten kan berekend worden door, M = 2π = 4π = 4πr 3 0 π dφ sin(θ)dθ ρ(r)r 2 dr + 0 ρ(r)r 2 dr ρ(x)x 2 dx (3.63)

59 3.5. DE POTENTIAAL 59 en voor de component van de schijf is deze gegeven door, M = 2π = 2π = 2πr 2 0 dφ Σ(r)rdr Σ(r)rdr Σ(x)xdx (3.64) We kunnen nu numeriek deze integralen oplossen met voor ρ(x) en Σ(x) de uitdrukkingen gegeven door 3.60 en De waarden voor de massa s van de verschillende componenten en die van de totale galaxie zijn weergegeven in tabel 3.6. We kunnen met behulp van de massa-lichtkrachtverhouding ook de massa berekenen uit de lichtkracht berekend uit de intensiteit, die gegeven wordt door vergelijking Met deze totale lichtkracht bekomen we een massa M, wat hetzelfde is als wat bekomen werd uit de integraal over de dichtheid en die weergegeven is in de tabel. Hieruit kunnen we dus besluiten dat er in de numerieke uitrekening van de dichtheid geen computationele fouten geslopen zijn. Tabel 3.6: De massa van de verschillende componenten en de totale massa van de galaxie. Component Massa (M ) massafractie Nucleus Schijf Halo Totaal De potentiaal De bijdrage van de materie Om de bijdragen van de materie aan de potentiaal te berekenen, vertrekken we van de Poisson vergelijking, gegeven door, Φ(r) = 4πGρ(r), (3.65) waarin φ(r) de potentiaal is, die wegens de sferische massaverdeling enkel van de straal r zal afhangen. We zullen nu bindingspotentiaal Ψ(r) definieren als volgt, Ψ(r) = Φ(r), (3.66) zodat Ψ(r) overal positief zal zijn. We kunnen de Poisson vergelijking nu herschrijven als, De potentiaal van de sferische componenten Ψ(r) = 4πGρ(r). (3.67) We kunnen vergelijking 3.67 nu schrijven met de Laplaciaan uitgedrukt in bolcoördinaten. Dit leidt voor de sferische potentiaal tot, ( 1 d r 2 r 2 dψ ) = 4πGρ(r). (3.68) dr dr

60 60 HOOFDSTUK 3. ANALYSE VAN DE DATA Deze vergelijking een eerste maal integreren levert, r 2 dψ(r) ( lim r 2 dψ(r) ) = 4πG dr r 0 dr r 0 ρ(r )r 2 dr (3.69) Verder is het zeer aannemelijk om een kracht te veronderstellen die verdwijnt in het centrum, zodat de limiet van de tweede term gelijk is aan 0. We kunnen deze vergelijking dan verder integreren en bekomen de volgende uitdrukking voor de potentiaal, + dt Ψ( ) Ψ(r) = Ψ(r) = 4πG r t 2 t 0 ρ(r )r 2 dr, (3.70) waarin gebruik gemaakt werd van het feit dat de potentiaal verdwijnt voor grote stralen. Deze dubbelintegraal kan herleid worden tot een enkelvoudige integraal door een partiële integratie uit te voeren, Ψ(r) = [ 4πG u = 4πG r r 0 u 0 ] + ρ(r )r 2 dr 4πG ρ(r )r 2 dr + 4πG r + r + r ρ(u)u 2 1 u du ρ(r )r dr. (3.71) Ook hier kunnen we terug overgaan op de dimensieloze variabele x = r/r0. We krijgen dan de volgende uitdrukking voor de potentiaal, Ψ(r) = 4πGr2 0 x x 0 ρ(x )x 2 dx + 4πGr x ρ(x )x dx. (3.72) Hierin kunnen we dan de uitdrukking voor ρ(r) (3.60) substitueren en dan krijgen we, waarin, ( 1 r Ψ(r) = 4Gr 0 I 0 Y R n J(x )x 2 dx + x 0 J(x) = x + x J(x )x dx ), (3.73) X n 1 exp( X n dx ) X 2 x. (3.74) 2 De potentiaal van de schijf In tegenstelling tot de potentiaal van de sferische componenten, heeft de potentiaal van een dunne schijf, met als oppervlaktedichtheid een profiel van de vorm, Σ = Σ 0 exp( (r/r 0 )), (3.75) wel een analytische oplossing, zoals gegeven wordt door Binney en Tremaine (1988), ( ) Ψ(r) = πgσ 0 r I 0 (y)k 1 (y) I 1 (y)k 0 (y), (3.76) met y = r/(2r 0 ) en I n en K n gemodifieerde Besselfuncties van respectievelijk de eerste en de tweede soort.

61 3.5. DE POTENTIAAL 61 Figuur 3.20: De bijdrage tot de potentiaal van de 3 componenten van de galaxie, de nucleus, de schijf en de halo. Nu we voor alle componenten een uitdrukking hebben voor de potentiaal, kunnen we deze ook berekenen en deze is weergegeven in figuur Deze figuur werd bekomen door in python vergelijking 3.73 te integreren voor de sferische componenten met behulp van de methode integrate.quad van het scipy pakket. Voor de potentiaal van de schijf werd vergelijking 3.76 gebruikt. Het testen van de potentiaal Omdat we de potentiaal volledig numeriek hebben uitgerekend en het numeriek rekenwerk van een computer ook niet feilloos is, kunnen we nu de dichtheid bepalen uit de potentiaal met behulp van de Poisson vergelijking (3.67). Uit vergelijking 3.68 volgt dan, waaruit we ρ(r) kunnen halen, 2 dψ r dr + d2 Ψ = 4πGρ(r), (3.77) dr2 ρ(r) = ( ) 2 dψ r dr + d2 Ψ dr 2 /( 4πG) (3.78) De afgeleiden van de potentiaal kunnen berekend worden door in python een spline te trekken door de potentiaal met behulp van de methode interpolate.univariatespline van het scipy pakket. In figuur 3.21 is de dichtheid die berekend werd op 2 verschillende manieren weergegeven. De volle lijn toont de dichtheid zoals die berekend werd uit de potentiaal met behulp van de vergelijking van Poisson en de stippellijn heeft de potentiaal voor zoals berekend uit vergelijking 3.60.

62 62 HOOFDSTUK 3. ANALYSE VAN DE DATA Figuur 3.21: De dichtheid berekend uit de potentiaal via vergelijking 3.78 (volle lijnen) en de dichtheid berekend uit de gedeprojecteerde intensiteiten via vergelijking 3.60 (x punten). De zwarte lijn en punten stelt de totale dichtheid van de nucleus en de halo voor. We zien dat beide leden van de vergelijking hiervoor overeen komen. De afwijkingen voor de nucleus zijn te wijten aan computationele fouten, maar zijn niet van belang omdat de bijdrage van de nucleus al 6 grootte ordes kleiner is dan de totale potentiaal op de plaats waar de fouten optreden De bijdrage van de donkere materie Om de donkere materie halo te beschrijven waarin de dwerggalaxie ingebed is, nemen we een profiel zoals voorgesteld door Burkert (1995), ρ DM (r) = ρ 0 r0 3 (r + r 0 )(r 2 + r0 2 (3.79) ). Hierin zijn r 0 en ρ 0 met elkaar verbonden door de relatie, ρ 0 = (r 0 kpc 1 ) 2/3 M pc 3. (3.80) Omdat ρ 0 geen rechtstreeks waarneembare grootheid is, werd door Burket de relatie tussen v 0 en r 0 opgesteld, met v 0 de bijdrage tot de cirkelsnelheid door ρ 0 op r 0, v 0 = 17.7(r 0 kpc 1 ) 2/3 km/s. (3.81) Dus als we een waarde voor v 0 meegeven, kan de vergelijking voor de dichtheid opgelost worden. We kunnen nu de uitrdukking van de donkere materiedichtheid in vergelijking

63 3.5. DE POTENTIAAL stoppen, wat de volgende uitdrukking oplevert, ( Ψ(r) = 4πGr0ρ 2 1 x x 2 dx ) + 0 x 0 (x + 1)(x 2 + 1) + x dx x (x + 1)(x 2, (3.82) + 1) die analytisch op te lossen is tot, [ Ψ(r) = πgr0ρ 2 0 log(r0 2 + r 2 )( r 0 r 1) + 2(r 0 r + 1) log(r 0 + r) 2( r 0 r + 1) arctan(r/r 0) 4 r 0 r log(r 0) + π ]. (3.83) De plot voor de dichtheid en de potentiaal van de donkere materie is weergegeven in figuur Deze figuur werd opnieuw gemaat met behulp van python. De parameters voor de donkere materiedichtheid werden gekozen zodanig dat de massa aan donkere materie ongeveer 90% van de totale massa uitmaakt (dus 10% van de totale massa is afkomstg van de sterren in de galaxie).

64 64 HOOFDSTUK 3. ANALYSE VAN DE DATA Figuur 3.22: Plot voor de dichtheid (boven) en de potentiaal (onder) van de donkere materie.

65 3.5. DE POTENTIAAL 65 De cirkelsnelheid De cirkelsnelheid van een ster is gerelateerd aan de middelpuntzoekende kracht die op de ster inwerkt, die het gevolg is van de gravitationele potentiaal, mv 2 c r = m 2 r t 2 = m Φ r = m Ψ r. (3.84) Hierin werd opnieuw gebruik gemaakt van het feit dat Φ = Ψ de gravitatiepoteniaal is. We kunnen de cirkelsnelheid nu uitdrukken als, v c = r Ψ r. (3.85) In figuur3.23 is de cirkelsnelheid in de potentiaal weergegeven, de rode en de zwarte curve stellen respectievelijk de bijdrage voor van de materie en de donkere materie. De groene curve stelt de cirkelsnelheid voor in de totale potentiaal. Deze figuur werd ook opnieuw bekomen door gebruik te maken van python en de module interpolate.univariatespline. Figuur 3.23: De cirkelsnelheid in de totale potentiaal (groene lijn) en de bijdragen van de materie (rode lijn) en de donkere materie (zwarte lijn).

66 66 HOOFDSTUK 3. ANALYSE VAN DE DATA

67 Hoofdstuk 4 De distributiefunctie Vooraleer we met de stabiliteitsanalyse van de galaxie kunnen beginnen moeten we eerst een model hebben voor de schijf van de galaxie. Dit model zal gefit worden aan de eerder beschreven potentiaal en dichtheid van de galaxie en de schijf. Verder zal ook data over de snelheid en de snelheidsdispersies gebruikt worden om een zo goed mogelijk model voor de schijf te reproduceren. Hierna kan er in hoofdstuk 5 overgegaan worden tot de stabiliteitsanalyse, die gebruik zal maken van dit model voor de schijf. In dit hoofdstuk zullen we eerst kijken naar de beschikbare kinematische data die voorhanden is en de gemeten waarden voor de snelheid en dispersies langs de gezichtslijn bekijken. Hierna kunnen we overgaan naar een beschrijving van de distributiefunctie en haar momenten en bekijken hoe die in het progamma, dat een model voor de schijf fit, geïmplementeerd is. 4.1 Kinematische data Naast de potentiaal en de dichtheid hebben we ook nog informatie nodig over de snelheid en de snelheidsdispersie van de sterren. De gebruikte data voor deze snelheden en dispersies is de data verzameld door Prugniel en Simien (2002) en is weergegeven in tabel 4.1 en figuur 4.1. Figuur 4.1: Links: De snelheid langs de gezichtslijn. Rechts: De dispersie van de snelheid langs de gezichtslijn. 67

68 68 HOOFDSTUK 4. DE DISTRIBUTIEFUNCTIE Tabel 4.1: De data voor de snelheid en de snelheidsdispersie, met de fout erop. straal(kpc) v l.o.s. σ vl.o.s. σ l.o.s. σ σl.o.s We kunnen enkel de snelheid en de snelheidsdispersie langs de gezichtslijn (l.o.s. = line of sight) waarnemen. We kunnen de waargenomen snelheid schrijven als, v 2 l.o.s. = v2 φ sin2 (i) + v 2 z cos 2 (i). (4.1) Uit de analyse gedaan in hoofdstuk 3 bleek dat de schijf domineert tot ongeveer 30 à 40 boogseconden van het centrum van de galaxie, wat overeenkomt met ongeveer 2.3 à 3 kpc. Dit wil zeggen dat alle kinematische data die we hebben afkomstig zal zijn van de schijf. Hierdoor kunnen we veronderstellen dat de z-component van de snelheid geen bijdrage zal leveren aan v l.o.s. en hebben we dus een relatie tussen de snelheid langs de gezichtslijn en de gemiddelde rotatiesnelheid v φ, v l.o.s. = v φ sin(i), (4.2) waarin i de inclinatie van de galaxie is en i = 0 een face-on galaxie en i = 90 een edge-on galaxie voorstelt. De inclinatie werd door Lisker en Fuchs (2009) bepaald uit de spiraalstructuur. Zij vonden een inclinatie van i = 30. Analoog als voor de snelheid kunnen we de waargenomen dispersie schrijven als σ 2 l.o.s. = σ2 φ sin2 (i) + σ 2 z cos 2 (i). (4.3) Er bestaat een relatie tussen de dispersie in de z- en de r-richting van de vorm σ z = cσ r, met c een constante factor. c = 0.8 wordt voorgesteld door Lisker en Fuchs (2009), maar ook voor de waarden c = 0 en c = 0.5 werd een model gefit, maar met 0.8 werd de beste fit voor de distributiefunctie (sectie 4.4.3) bekomen. We kunnen nu bovenstaande vergelijking verder uitwerken tot, σ 2 l.o.s. = σ2 φ sin2 (i) + c 2 σ 2 r cos 2 (i). (4.4)

69 4.1. KINEMATISCHE DATA 69 Nu kunnen we uit de epicykelbenadering (Bijlage A) de relatie tussen σ φ en σ r bepalen, σ 2 φ σ 2 r = κ2 4Ω 2, (4.5) met, κ 2 = r dω2 dr + 4Ω2. (4.6) Bovenstaande vergelijkingen combineren levert op, σ 2 φ σ 2 r = 1 + r dω 2 4Ω 2 dr = 1 + r3 4vc 2 = 1 + r = 1 2 d dr ( v 2 c r 2 ) dv c 2v c dr 1 2 ( 1 + r dv c v c dr ), (4.7) waarin v c de cirkelsnelheid in de potentiaal voorstelt. Vergelijking 4.7 invullen in 4.4 levert dan op, σl.o.s. 2 = σφ 2 c 2 σ sin2 phi 2 (i) + ( r ) cos 2 (i) dv c 2 v c dr ( = σ 2 φ sin 2 (i) + c 2 ( r ) cos 2 (i) dv c 2 v c dr ). (4.8) Nu hebben we een relatie gevonden die σ φ rechtstreeks aan de waargenomen σ l.o.s. linkt, gebruik makende van de inclinatie en de potentiaal, waaruit de cirkelsnelheid en zijn afgeleiden berekend kunnen worden door middel van een spline te trekken door de potentiaal in python. Met behulp van vergelijkingen 4.2, 4.7 en 4.8 kunnen we nu respectievelijk v φ, σ r en σ φ bepalen uit de gemeten waarden langs de gezichtslijn. Deze zijn allemaal weergegeven in figuur 4.2. In deze figuren staat de data van de snelheden en de dispersies uitgedrukt voor positieve stralen. Hiervoor werden de datapunten met negatieve stralen en snelheden omgezet naar datapunten met positieve stralen en snelheden. Daarna werd er uitgemiddeld over de 2 snelheden die bij eenzelfde straal behoren. Het resultaat is te zien op de figuur.

70 70 HOOFDSTUK 4. DE DISTRIBUTIEFUNCTIE Figuur 4.2: Boven: De gemiddelde rotatiesnelheid van de sterren. Midden: De snelheidsdispersie in de φ-richting. Onder: De snelheidsdispersie in de r-richting.

71 4.2. DE DISTRIBUTIEFUNCTIE EN HAAR MOMENTEN De distributiefunctie en haar momenten De distributiefunctie Als we de dynamische evolutie van een galaxie willen bestuderen, kunnen we dit doen door voor alle sterren in de galaxie de posities r i en de snelheden v i te kennen en door met behulp van de onderlinge interacties tussen de sterren de evolutie van de galaxie te beschrijven. Door het enorme aantal sterren die galaxieën bevatten is dit N-lichamen vraagstuk niet makkelijk op te lossen. N-lichamen simulaties gebruiken dan ook veel minder sterren dan er effectief aanwezig zijn in een galaxie. De exacte posities en snelheden van alle sterren afzonderlijk kennen is echter niet steeds nodig. We kunnen deze ook op een statistische manier beschrijven. Hiertoe definiëren we de distributiefunctie F (r, v, t) in de 6 dimensionale faseruimte zodat, dm = F (r, v, t)drdv, (4.9) de massa aan sterren weergeeft op een tijdstip t tussen r en r + dr en een snelheid heeft tussen v en v + dv. De totale massa van de galaxie kan dan weergegeven worden door de integraal te nemen over de faseruimte, M = F (x, t)dx. (4.10) Ω(t) Hierin is x een zes-dimensionale vector die de plaats- en snelheidscoördinaten bevat en Ω(t) de faseruimte waarover geïntegreerd wordt. Verder kunnen we een infinitisimaal volume element tussen r en r + dr beschouwen waarin deeltjes zitten met een snelheid tussen v en v + dv. Hiermee beschrijven we een zes-dimensionaal volume element in de faseruimte. We zullen er verder vanuit gaan dat de deeltjes onderling niet botsen, wat een plausibele veronderstellling is door de immense afstanden tussen de sterren in een galaxie. Als resultaat van het krachtveld F waarin de sterren zich bevinden zal de snelheid van elke ster in het zojuist beschreven volume element veranderen van v naar v + Fdt en de positie van r naar r + vdt. De massa aan sterren F (r, v, t) is dus gelijk aan de massa in sterren F (r + vdt, v + Fdt, t + dt), of met andere woorden, F (r + vdt, v + Fdt, t + dt) F (r, v, t) = 0. (4.11) Het linkerlid stelt de verandering in F voor gedurende een tijdsinterval dt. We kunnen dit dus nog schrijven als, df F (r, v, t) = dt t + v F r Φ F v = 0, (4.12) waarin logischerwijs v = r v en Φ = gesteld werd, met Φ de potentiaal. Vergelijking t t 4.12 wordt de vergelijking van Boltzmann genoemd De momenten De door ons gebruikte distributiefunctie wordt gebruikt om een schijf te modelleren. Hiervoor kan de schijf voorgesteld worden in twee dimensies. De distributiefunctie zal dan

72 72 HOOFDSTUK 4. DE DISTRIBUTIEFUNCTIE slechts in een vier-dimensionale faseruimte leven, met 2 plaatscoördinaten r, φ en 2 snelheidscoördinaten v r, v φ. De bovenstaande benadering van de distributie blijft echter volledig geldig. De momenten van de distributiefucntie kunnen als volgt worden gedefinieerd, µ 2i,j (r) = F (r, v)vr 2i v j φdv, (4.13) waarin r = (r, φ) en v = (v r, v φ ) en r en φ poolcoördinaten voorstellen. Het is eenvoudig in te zien dat de dichtheid gegeven wordt door i = j = 0 zodat, ρ(r) = µ 0,0 (r) = F (r, v)dv. (4.14) We weten uit voorgaande hoofdstukken dat we met een sferische dichtheidsverdeling te maken hebben, deze zal dus enkel van r afhangen en niet van φ. We kunnen dus schrijven, ρ(r) = µ 0,0 (r) = F (r, v)dv, (4.15) waarbij de distributiefunctie nu ook niet meer van de φ-coördinaat afhangt. Dit houdt in dat we de andere momenten enkel moeten kennen met een afhankelijkheid van de r- coördinaat, zoals de data die in figuur 4.2 weergegeven is. Buiten de dichtheid zal het model voor de distributiefunctie nog aan 3 andere momenten gefit worden ook, µ 1,0 (r) = ρv 2 r(r) = ρσ 2 r(r) = µ 0,1 (r) = ρv φ (r) = ) µ 0,2 (r) = ρvφ (σ 2(r) = ρ φ 2 (r) + v φ 2 (r) = F (r, v)v 2 rdv (4.16) F (r, v)v φ dv (4.17) F (r, v)vφ 2 dv. (4.18) Hierin is σ 2 i = v2 i v i 2 en is logischerwijs v r = Integraal van de beweging en theorema van Jeans Hieronder worden de constanten en integralen van beweging samen met het theorema van Jeans uitgelegd, zoals grotendeels teruggevonden kan worden in de cursus dynamica van galaxieën van prof. dr. H. Dejonghe Constante van beweging Een constante van beweging is een functie van de plaatscoördinaten r, de snelheidscoördinaten v en de tijd t, die constant is langs een oplossing van de bewegingsvergelijkingen. Dus elke functie C(r, v, t) die constant is voor de baan is een constante van beweging. We kunnen ons afvragen hoeveel constanten van beweging er kunnen zijn. Het antwoord is maximaal 5 en dit kan aangetoond worden door onderstaande redenering.

73 4.4. MODEL VOOR DE SCHIJF 73 Stel dat je 6 onafhankelijke constanten van beweging hebt (onafhankelijk van de tijd). De constanten van beweging zijn dus enkel functie van de plaats- en snelheidscoördinaten. Uit deze 6 vergelijkingen zouden dan de 3 plaatscoördinaten x,y,z en de 3 snelheidscoördinaten v x,v y,v z bepaald kunnen worden. Dit houdt in dat er geen beweging meer mogelijk zou zijn. Een baan in de zes-dimensionale faseruimte wordt dus bepaald door 5 onafhankelijke voorwaarden. 6 onafhankelijke voorwaarden bepalen in de faseruimte 1 punt of meerdere geïsoleerde punten en als deze posities tijdsonafhankelijk zijn is dit geen baan Integraal van de beweging Een integraal van beweging is een constante van beweging die de tijd niet expliciet bevat. We kunnen dit nog uitdrukken als, di (r, v, t) = 0. (4.19) dt Uit voorgaande redenering weten we dat er dus maximaal 5 onafhankelijke integralen van beweging zijn. Verder is een willekeurige functie van integralen van de beweging ook een integraal van de beweging. Als we de baan van een deeltje niet expliciet kennen en we weten niets over eventuele integralen van de beweging, dan kan het deeltje overal in de ruimte aangetroffen worden. Kennen we bijvoorbeeld wel de bindingsenergie van het deeltje, dan ligt er een beperking in het volume waarin het deeltje kan aangetroffen worden. De kennis van de bindingsenergie beperkt dus het toegelaten volume in de ruimte. De bindingsenergie wordt dan een isolerende integraal van beweging genoemd. Deze beperkt het volume waarin een deeltje kan teruggevonden worden. Let wel dat niet alle integralen van de beweging isolerende integralen zijn. Bijgevolg leert zo n integraal ons niets bij over het deeltje Theorema van Jeans Het theorema van Jeans luidt: 1) Als de distributiefunctie F louter een functie is van de constanten van de beweging, dan is F oplossing van de vergelijking van Boltzmann (4.12). 2) Als F voldoet aan de vergelijking van Boltzmann, dan is F een constante van de beweging. 3) Men kan de oplossingen van de stationaire vergelijking van Boltzmann beperken tot functies van de isolerende integralen. 4.4 Model voor de schijf Om een model van de schijf te maken wordt het python programma pyqp gebruikt dat ontwikkeld werd door mijn promotor prof. dr. S. De Rijcke naar een idee van Dejonghe (1989). Dit programma gebruikt kwadratische programmering om een zo goed mogelijke fit te maken van de distributiefunctie aan de beschikbare data. Hieronder wordt eerst de distributiefunctie uitgedrukt in termen van de integralen van beweging en daarna wordt gekeken hoe het programma een fit maakt aan de distributiefunctie aan de hand van de beschikbare data.

74 74 HOOFDSTUK 4. DE DISTRIBUTIEFUNCTIE De distributiefunctie in functie van de integralen van beweging De stelling van Jeans zorgt ervoor dat we de distributiefunctie in functie van de energie E en het draaimoment langs de z-as J z, wat allebei integralen van de beweging zijn, kunnen schrijven. We hebben dus, F (r, v, t)drdv = F (E, J z )dv, (4.20) waarin V het volume van de vier-dimensionale faseruimte is. Verder zijn de integralen van beweging gegeven door, E = Ψ(r) 1 2 (v2 r + vφ 2 ), (4.21) J z = rv φ. (4.22) Beiden voldoen aan vergelijking 4.19 en zijn dus integralen van de beweging Vorm van de distributiefunctie We moeten proberen om aan de hand van de beschikbare data, die bestaat uit de dichtheid, de potentiaal en de kinematische data van de snelheden en de dispersies, een distributiefunctie te fitten. Dit is geen gemakkelijke zaak, omdat we a priori geen idee hebben hoe deze distributiefunctie er zal uitzien. Zoals eerder vermeld, kan de distributiefunctie geschreven worden in functie van de gekende integralen van beweging. Verder zullen we de werkelijke distibutiefunctie proberen te benaderen door deze te schrijven als een som van verschillende componenten, F (E, J) = i c i F i (E, J z ). (4.23) De componenten worden gegeven door, F i (E, J) = { C(E E0,i ) α (J z J 0,i (E)) β als E E 0,i en J z J 0,i (E) 0 als E < E 0,i of J z < J 0,i (E) (4.24) met, C = wat een normalisatiefactor voor de distributiefunctie is, en Ψ(0) α J max (r cut ) β, (4.25) J 0,i = f J max (E). (4.26) J max (E) is het maximale draaimoment bij een energie E en f is een factor tussen 0 en 1. Als f = 1 zullen enkel cirkelbanen toegestaan zijn, terwijl voor een kleinere f steeds meer banen met grotere ellipticiteiten zullen voorkomen. Verder is E 0 de minimale energie, of met andere woorden de energie van een cirkelbaan, bij een bepaald angulair momentum. E 0 is dan de energie waarop ( ) fjmax (E) 2 E = 0. (4.27) f(e) = Ψ(r cut ) 1 2 r cut

75 4.4. MODEL VOOR DE SCHIJF 75 Met deze distributiefuncties kunnen dan de momenten, µ 2i,j (r) = F (E, J z )vr 2i v j φdv (4.28) berekend worden, welke later gefit kunnen worden aan de datapunten. Bovenstaande vorm van de distributiefunctie is gerelateerd aan 4 parameters α, β, f en r cut. r cut is de cut-off bij een bepaalde straal van een component van de distributiefunctie, of met andere woorden, de maximale straal die bereikt kan worden voor sterren in deze component van de distributiefunctie. f zal beschrijven hoe radiaal, cirkulair de banen van de sterren zijn. Voor grote f (dicht bij 1) zal J 0,i dicht bij J max (E) liggen en zullen bijgevolg enkel quasi cirkelvormige banen mogelijk zijn, terwijl voor kleine f (dicht bij 0), J 0,i klein zal zijn en dus steeds meer radiale banen mogelijk worden. Deze vorm van de distributiefunctie was de initiële implementatie in het programma pyqp, maar houdt echter geen rekening met tegenroterende sterren. We kunnen de implementatie veranderen, zodat deze hier wel rekening mee houdt. Dit kan gebeuren door nog een extra parameter h in te voeren die 1 of 1 kan zijn en die aanduidt of de sterren op een tegenroterende baan (h = 1) of een normaal roterende (h = 1) baan bewegen. We kunnen dit als volgt in de distributiefunctie implementeren, { C(E E0,i ) F i (E, J) = α ( J z J 0,i (E)) β als E E 0,i, J z J 0,i (E) en hj z 0 0 als E < E 0,i of J z < J 0,i (E) of hj z < 0 (4.29) en in de uitdrukking voor de momenten, µ 2i,j α,β,r cut,f,h = (h)j µ 2i,j. (4.30) Verder blijven vergelijkingen 4.23, 4.25, 4.26 en 4.27 geldig. We hebben nu enkele parameters die we moeten combineren om de i de component van de distributiefunctie te maken. Deze parameters zijn α, β, f en r cut en h. De gebruikte waarden voor deze parameters zijn gegeven in tabel 4.2. Verder wordt er bij een waarde β = 0 enkel f = 0 genomen om een component van de distributiefunctie te maken. De parameters die weergegeven zijn in de tabel leveren dan 468 combinaties op, wat logischerwijs leidt tot 468 componenten F i (dus 0 i 467). Tabel 4.2: De parameters en hun waarden gebruikt om de componenten van de distributiefunctie te maken. parameter gebruikte waarden r cut 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 α 2, 5 β 0, 2, 5 f 0, 0.05, 0.2, 0.5, 0.8, 0.98 h -1, De fit aan de data Nu we een model hebben voor de distributiefunctie is het de bedoeling dat we dit fitten aan de beschikbare data. Dit gebeurt door de momenten voor de 468 verschillende componenten uit te rekenen voor de stralen r, op welke we over data van de dichtheid ρ, de

76 76 HOOFDSTUK 4. DE DISTRIBUTIEFUNCTIE snelheid v φ, en de snelheidsdispersies σ r en σ φ beschikken. De momenten die gefit worden zijn, µ 0,0 = ρ = dv r dv φ F (E, J z ), (4.31) µ 1,0 = ρσr 2 = dv r dv φ F (E, J z )vr, 2 (4.32) µ 0,2 = ρ(vφ 2 + σ2 φ ) = dv r dv φ F (E, J z )vφ 2, (4.33) µ 0,1 = ρv φ = 2π dv r dv φ F (E, J z )v φ. (4.34) Verder zal ook de potentiaal van de galaxie en de dichtheid van de schijf gebruikt worden. De potentiaal wordt meegegeven als een reeks datapunten, die kunnen berekend worden zoals in hoofdstuk 3 beschreven. Hierna zal het programma pyqp er een spline door trekken. Verder geven we aan het programma een maximale straal r max mee waarop de potentiaal en de dichtheid op 0 zal vallen. Dit gebeurt niet op een discrete manier, maar beide functies worden getapet naar 0. Dit wil zeggen dat we de oorspronkelijke functie/spline behouden tot op 95% van r max en hierna de functie op een gladde manier naar 0 laten naderen op r max. Noteren we nu de momenten in 1 lijst en noemen we die µ j met 1 j N en N het aantal datapunten en waarop j duidt op de straal r j. Verder wordt in de lijst ook opgeslagen om welk moment het gaat, (0, 0), (1, 0), (0, 2) en (0, 1), zodat we slechts 1 lijst van datapunten meer hebben, maar deze hoeven dus niet noodzakelijk hetzelfde moment te beschrijven. We kunnen nu de variabele χ 2 = ( w j µ j ) 2 c i µ i,j (4.35) j i definiëren. Hierin zijn µ j de datapunten (Het zijn in principe de momenten van de datapunten, maar deze kunnen direct uit de datapunten geconstrueerd worden, want de dichtheid is ook gekend in de datapunten) en µ i,j de momenten van de i de component van de distributiefunctie op een straal r j. De gewichtsfactoren worden in het programma gegeven door, w j = 100 rj 2. (4.36) Verder moeten we ook nog rekening houden met het feit dat de distributiefunctie niet negatief kan worden. Dit gebeurt door de voorwaarde, F = i c i F i (E, J z ) 0 (4.37) op te leggen. We beschikken over 468 verschillende componenten om een fit te maken aan de distributiefunctie. We zullen deze echter niet allemaal nodig hebben. Wat gedaan wordt is eerst voor alle componenten een fit maken en de beste hiervan overhouden. Hierna worden alle overige componenten met de eerste component gecombineerd en diegene die samen met

77 4.4. MODEL VOOR DE SCHIJF 77 de eerste dan de beste fit heeft, wordt ook behouden. Hierna worden deze 2 componenten gecombineerd met de 466 overgebleven componenten om zo opnieuw de beste fit met 3 componenten te vinden. Zo gaat dit verder tot χ 2 niet significant meer kleiner wordt. In figuren 4.3(a) en 4.4(a) zijn respectievelijk de fit van de distributiefunctie aan de datapunten en de distributiefunctie zelf weergegeven waarbij geen gebruik gemaakt werd van tegenroterende sterren. De bekomen χ 2 uit vergelijking 4.35 bedraagt hier 597, terwijl deze bij de fit voor de distributiefunctie waar wel rekening gehouden werd met tegenroterende sterren 206 bedraagt. In figuur 4.3(b) en 4.4(b) zijn respectievelijk de fit van de distributiefunctie aan de datapunten en de distributiefunctie zelf weergegeven voor het model dat gebruik maakt van tegenroterende sterren. Het is duidelijk te zien dat de tegenroterende sterren nodig zijn om de snelheden in de φ-richting te verlagen en de dispersies σ φ te verhogen.

78 78 HOOFDSTUK 4. DE DISTRIBUTIEFUNCTIE (a) Voor een model zonder tegenroterende sterren (b) Voor een model met tegenroterende sterren Figuur 4.3: Per figuur hebben we: Linksboven: De datapunten van de snelheidsdispersie in de radiale richting met hun fout en de fit eraan (volle lijn). Rechtsboven: De datapunten van de snelheidsdispersie in de φ-richting met hun fout erop en de fit eraan (volle lijn). Linksonder: de datapunten van de rotatiesnelheden van de sterren en hun fout en de fit eraan (volle lijn). Rechtsonder: de datapunten van de dichtheid en de fit eraan (volle lijn).

79 4.4. MODEL VOOR DE SCHIJF 79 (a) Voor een model zonder tegenroterende sterren (b) Voor een model met tegenroterende sterren Figuur 4.4: De gefitte distributiefunctie aan de datapunten uit figuur 4.3(a) (a) en 4.3(b) (b). Op de x-as staat het pericentrum r en op de y-as staat het apocentrum r +, wat respectievelijk de stralen zijn waarop de baan het dichtst en het verst verwijderd is van het centrum van de galaxie. Banen met een negatieve waarde voor het pericentrum duiden op banen met tegenroterende sterren. De kleurschaal geeft de waarde voor de distributiefunctie weer in de eenheden M (kpc) 2 (km/s) 2.