Een wiskundeknobbel als leraar?

Transcriptie

1 Faculteit Psychologie en Pedagogische Wetenschappen Een wiskundeknobbel als leraar? Toekomstige leraren lager onderwijs: een onderzoek naar hun breukenkennis. Masterproef neergelegd tot het behalen van de graad van master in de pedagogische wetenschappen, afstudeerrichting pedagogiek en onderwijskunde Promotor: Prof. dr. M. Valcke Academiejaar Ellen Lesage

2 VOORWOORD Aangezien een scriptieonderzoek het werk is van meerdere personen, wil ik eerst en vooral een woordje van dank richten tot enkele mensen. Op de eerste plaats bedank ik graag Prof. dr. Valcke, die mij de kans heeft geboden om een onderzoek uit te voeren over een onderwerp dat mij sterk interesseert. Ook Hendrik en Elise wil ik bedanken voor hun vele tips, suggesties en kritische opmerkingen. Verder wil ik de Arteveldehogeschool en de Hogeschool Gent bedanken voor hun medewerking aan mijn onderzoek. In het bijzonder gaat mijn dank uit naar Nele Haelvoet, lector van de expertisegroep wiskunde aan de Arteveldehogeschool voor de opleiding Bachelor in het onderwijs: lager onderwijs. Niet alleen werd het door haar praktisch mogelijk om de eerstejaarsstudenten te testen, ook haar nuttige tips hebben me verder op weg geholpen. Ook wil ik Freddy Steyaert en Jan Labbe bedanken voor hun spontane medewerking. Niet te vergeten zijn natuurlijk ook alle studenten die mijn breukentest hebben ingevuld. Dankzij hun medewerking kreeg mijn onderzoek pas echt vorm. Een grote dank gaat uit naar mijn ouders, die mij zowel financieel als moreel altijd hebben gesteund. Tijdens mijn studieloopbaan stonden zij altijd achter mij. Dankzij hen kreeg ik de kans om op buitenlandse stage te gaan en om na mijn bacheloropleiding verder te studeren, waardoor ik de opleiding pedagogie kon voltooien. Ten slotte wil ik nog dank je wel zeggen aan mijn vriend en mijn vrienden, in het bijzonder Fien en Nele, die mijn pauzes hebben opgefleurd!

3 INHOUD 1. Inleiding Theoretisch kader Breuken: een ontwikkelend concept Scientific en everyday concepts Conceptual change approach Mentale modellen Moeilijkheden met breuken Conceptuele en procedurele kennis Conceptuele breukenkennis: een complexe natuur Een breuk als multifaceted structure: de vijf subconstructen van een breuk Problemen met de subconstructen De kloof tussen conceptuele en procedurele breukenkennis Lage prestaties (Toekomstige) leraren: kennis over breuken Tripartite model Subject matter content knowledge Pedagogical content knowledge Curricular knowledge Meten van de wiskundige kennis bij leraren Breukenkennis in de lerarenopleiding Subject matter content knowledge van toekomstige leraren Probleemstelling Onderzoekshypothesen Onderzoeksopzet Participanten Instrument Dataverzameling Verwerking Analyse & resultaten Discussie Conclusie

4 7. Geraadpleegde literatuur Bijlagen Breukentest Feedback studenten

5 1. Inleiding Deze studie handelt over de breukenkennis van toekomstige leraren lager onderwijs. Aan de hand van een breukentest, werd de conceptuele en procedurele breukenkennis nagegaan van eerste en derdejaarsstudenten uit de opleiding Bachelor in het Onderwijs: lager onderwijs. De vijf subconstructen van Kieren werden als basis gebruikt om de conceptuele breukenkennis te meten. Resultaten tonen aan dat de procedurele breukenkennis van de toekomstige leraren significant hoger scoort dan hun conceptuele breukenkennis. Leraren blijken het subconstruct deel-geheel beter te beheersen dan de andere subconstructen, uitgezonderd het subconstruct ratio. Het subconstruct ratio wordt beter beheerst dan alle andere subconstructen. Leraren beschikken daarentegen het minst kennis over het subconstruct maat/interval. Het opleidingsjaar, geslacht en de onderwijsvorm hebben geen effect op de procedurele breukenkennis van de toekomstige leraren. Enkel het geslacht heeft een effect op de conceptuele breukenkennis: jongens presteren hierin beter dan meisjes. De onderzoeksresultaten lijken eerder onderzoek over de breukenkennis bij leerlingen voor een groot deel te bevestigen. Ze wijzen dus op onvoldoende conceptuele breukenkennis bij toekomstige leraren lager onderwijs in Vlaanderen. 3

6 2. Theoretisch kader In het theoretisch kader wordt eerst kort ingegaan op de ontwikkeling van het breukenconcept. Hierbij worden de begrippen everyday concept en scientific concept van Vygotsky (Vygotsky, 1987; Yoshida, 2004) nader bekeken. Daarna wordt de ontwikkeling van het breukenconcept verder besproken door middel van twee theoretische benaderingen: de conceptual change approach (Vosniadou, 2004) en mentale modellen (Fischbein, 1985; Vom Hofe, 2005). Vervolgens worden de moeilijkheden bij breuken toegelicht: een breuk kan verschillende interpretaties en representaties hebben. Een breuk heeft volgens Kieren (1993) namelijk een multifaceted structure. Het is geen eenvoudig, maar een veelzijdig concept dat bestaat uit vijf subconstructen. Op dit theoretisch model van Kieren (1993) wordt dieper ingegaan. Onderzoek toont aan dat conceptuele breukenkennis bij leerlingen onvoldoende blijkt te zijn (Newstead & Murray, 1998; Prediger, 2008; Stafylidou & Vosniadou, 2004) en als gevolg blijkt er een grote kloof te bestaan tussen de conceptuele en procedurele breukenkennis, aangezien de procedurele breukenkennis bij leerlingen wel voldoende is (Aksu, 2001; Hongyu, 2008). Na de breukenkennis van leerlingen nader te hebben bekeken, wordt ten slotte de breukenkennis van toekomstige leraren belicht. Hiervoor wordt eerst het Tripartite Model of Teacher Expertise (Ball, Thames, & Phelps, 2008; Shulman, 1986) aangehaald. Dit model bestaat uit drie belangrijke componenten waaruit de kennis van een leraar zou moeten bestaan. De subject matter content knowledge is één van de drie componenten van dit model en staat centraal in deze scriptie. Na dit begrip duidelijk te hebben omschreven, wordt nagegaan hoe het gesteld is met de subject matter content knowledge van toekomstige leraren over breuken. Ook de rol van de lerarenopleiding wordt hierbij in rekening genomen. 4

7 2.1. Breuken: een ontwikkelend concept Een breukenconcept ontwikkelt zich niet van de ene dag op de andere; het is een langdurig proces. Om een zicht te krijgen op hoe zich dit bij leerlingen ontwikkelt, wordt dit concept toegelicht vanuit drie invalshoeken: scientific & everyday concepts, conceptual change approach, en mentale modellen Scientific en everyday concepts Volgens Vygotsky (1987) is een concept, a complex and true act of thinking that cannot be mastered through simple memorization (p. 169). Zijn belangrijkste bevinding is dat een concept evolueert, zich ontwikkelt. Het is niet statisch of onveranderbaar, maar een complexe en dynamische denkhandeling. Vygotsky (1987) onderscheidt twee types concepten: everyday concepts en scientific concepts. Het grootste verschil ligt in het feit of ze al dan niet gebaseerd zijn op een systeem, dat zich heeft ontwikkeld doorheen de menselijke geschiedenis. Volgens Vygotsky (1987) zijn everyday concepts niet gebaseerd op een systeem: ze komen voort uit het dagelijks leven van een kind door communicatie met familie en vrienden. Ze zijn dus nauw verwant aan concrete, persoonlijke contexten en kunnen hierdoor verkeerd worden gebruikt door kinderen. Zo kan het begrip de helft voor een kind de betekenis hebben om iets te verdelen onder drie personen. Deze gedachte kan ontstaan uit zijn dagelijkse ervaringen om iets te delen met zijn twee broers. Voor dit kind betekent iets halveren dus altijd iets delen door drie, gebaseerd op zijn ervaringen (Vygotsky, 1987). Een scientific concept daarentegen, wordt wel gedefinieerd door een systeem en heeft daardoor geen concrete context. Vygotsky (1987) schrijft dat scientific concepts gebaseerd zijn op formele, logische en gedecontextualiseerde structuren. Zo is 1 een getal dat deel uitmaakt van 2 een getallensysteem, bestaande uit rationale en irrationale getallen (Vygostky, 1987). Yoshida (2004) nam dit Vygotskiaans perspectief mee in zijn onderzoek naar de ontwikkeling van het breukenconcept bij kinderen. Hij hanteert voor het begrip scientific concept de term mathematical concept, waarmee hij doelt op een scientific concept dat gerelateerd is aan wiskunde. Doorheen de breukenlessen bleek er een conflict te ontstaan tussen het everyday concept en het mathematical concept van de kinderen (Yoshida, 2004). Kinderen vormen via hun alledaagse ervaringen met breuken een bepaald breukenconcept. In de breukenles verandert dit 5

8 concept langzaamaan: ze ontdekken dat breuken ook een hoeveelheid, een getal, uitdrukken. Hun breukenconcept wordt naar een hoger niveau gebracht. Dit conflict zou bijdragen tot de ontwikkeling van het breukenconcept bij kinderen (Yoshida, 2004). Een ander conflict, namelijk dat tussen voorkennis en nieuwe kennis, draagt ook bij tot deze ontwikkeling: de conceptual change approach Conceptual change approach Literatuur geeft aan dat voorkennis over natuurlijke getallen het begrip over rationale getallen in de weg kan staan (Vamvakoussi & Vosniadou, 2004). Er zijn namelijk discontinuïteiten tussen natuurlijke en rationale getallen. Zo gaat de uniciteit van de symbolische representatie van natuurlijke getallen niet op voor breuken, aangezien meerdere breuken eenzelfde getal kunnen voorstellen (Stafylidou & Vosniadou, 2004). Ook de regel vermenigvuldigen maakt groter is een treffend voorbeeld van zo n discontinuïteit (Hartnet & Gelman, 1998). Leerlingen zouden gebruik maken van hun voorkennis van natuurlijke getallen om nieuwe informatie over rationale getallen te interpreteren. Leerlingen veralgemenen deze regel, die ze intuïtief gevormd hebben in hun omgang met natuurlijke getallen, ook naar breuken (Prediger, 2008). Deze rekenprincipes van natuurlijke getallen zijn uiteraard niet altijd even consistent met de rekenprincipes van breuken (Stafylidou & Vosniadou, 2004). Een theoretische benadering om de moeilijkheden met deze discontinuïteiten te verklaren, is de conceptual change approach (Vosniadou, 2004). Deze benadering heeft belangrijke implicaties voor het begrijpen van de ontwikkeling van het breukenconcept. Het houdt namelijk in dat leren niet altijd een proces is waar nieuwe kennis enkel wordt toegevoegd aan reeds bestaande kennis. Integendeel, leren houdt vaak in dat deze voorkennis gereorganiseerd wordt wanneer de lerende geconfronteerd wordt met nieuwe ervaringen (Vosniadou, 2004). Doorheen de breukenlessen ontstaat er een conflict tussen de voorkennis en de nieuwe kennis. Problemen ontstaan wanneer de voorkennis van een lerende onverenigbaar blijkt te zijn met de nieuwe kennis. Zo kan de reeds bestaande kennis van de natuurlijke getallen een hindernis vormen bij het aanleren van breuken (Hartnett & Gelman, 1998; Stafylidou & Vosniadou, 2004). Lerenden zullen niet onmiddellijk het scientific concept van een breuk adopteren. Hun breukenconcept wordt eerst beïnvloed door hun voorkennis over de natuurlijke getallen. Veelal hebben jonge leerlingen het moeilijk met het begrijpen van de relatie tussen teller en noemer: ze zien een breuk als twee onafhankelijke natuurlijke getallen (Newstead & Murray, 1998; Stafylidou & 6

9 Vosniadou, 2004). Enkel leerlingen die een breuk als de relatie tussen twee getallen zien, zouden een goed breukenconcept kunnen ontwikkelen (Stafylidou & Vosniadou, 2004). Ook volgens Van de Walle (2007) is het beseffen dat een breuk niets zegt over de grootte van het geheel of delen, maar wel over de relatie tussen de delen en het geheel, een sleutelidee. Het voorbeeld van de pizza fallacy maakt dit duidelijk. Wanneer iemand de keuze heeft tussen de helft of een derde van een pizza, dan zal deze persoon hoogstwaarschijnlijk de helft van een pizza willen als hij veel honger heeft. Toch krijgt deze persoon het kleinste stuk pizza. Wanneer twee breuken met elkaar vergeleken worden, moeten deze breuken deel uitmaken van hetzelfde geheel. Een derde van een grote pizza zal uiteraard groter zijn dan de helft van een kleine pizza. Uit een onderzoek van Vamvakoussi & Vosniadou (2004) blijken 15-jarigen items met natuurlijke getallen niet moeilijk te vinden. Items met rationale getallen blijken voor hen een heel wat uitdagendere taak te zijn. Het proces waarin leerlingen hun kennis over rationale getallen verrijken, is volgens de onderzoekers een geval van een conceptual change. Wanneer leren een reorganisatie van de voorkennis vraagt, kan men geen onmiddellijke resultaten verwachten bij leerlingen. Conceptual change blijkt een traag, tijdrovend proces te zijn, waarvan de vruchten op lange termijn worden geplukt (Vamvakoussi & Vosniadou, 2004). Naast de conceptual change approach van Vosniadou (2004), kan ook de theoretische benadering van Fischbein (1985) over de mentale modellen een verklaring zijn voor de ontwikkeling van het breukenconcept Mentale modellen Anderen (Fischbein, 1985; Vom Hofe, 2005) benadrukken het belang van onderliggende mentale modellen bij de ontwikkeling van het breukenconcept. Het uitgangspunt hierbij is dat elke rekenkundige bewerking gelinkt kan worden aan een impliciet, onbewust mentaal model (Fischbein, 1985). Zo kan een vermenigvuldiging gelinkt worden aan het repeated addition model: 3 x 5 = (Prediger, 2006; Prediger, 2008). Uit het onderzoek van Prediger (2008) blijken 12 en 14-jarigen meer moeilijkheden te hebben met het interpreteren van items met breuken en vermenigvuldiging dan met breuken en optelling. Dit kan verklaard worden door het feit dat er geen obstakel is bij optelling, maar wel bij vermenigvuldiging. Hier treedt er namelijk een discontinuïteit op in de overgang van natuurlijke naar rationale getallen. Het meest dominante model bij natuurlijke getallen, het repeated addition model, kan niet meer gebruikt worden bij een vermenigvuldiging met breuken (Prediger, 2008). 7

10 Samengevat, naast deze onderliggende mentale modellen (Fischbein, 1985), hebben ook de alledaagse ervaringen met breuken (Yoshida, 2004) als het conflict tussen de voorkennis en nieuwe kennis (Vosniadou, 2004) een belangrijke impact op de ontwikkeling van het breukenconcept bij leerlingen. Enkel leerlingen die een breuk als de relatie tussen twee getallen zien en dus niet als twee afzonderlijke getallen, kunnen een goed breukenconcept ontwikkelen (Stafylidou & Vosniadou, 2004). De reeds bestaande kennis van de natuurlijke getallen kan dus bij de ontwikkeling van het breukenconcept een oorzaak zijn voor problemen (Hartnett & Gelman, 1998; Stafylidou & Vosniadou, 2004). In een volgend punt wordt dieper ingegaan op de vaak voorkomende moeilijkheden met breuken Moeilijkheden met breuken Over de moeilijkheden bij breuken die zowel leerlingen als leraren ondervinden, is reeds veel onderzoek verricht (Fraser, Murray, Hayward, & Erwin, 2004; Hasemann, 1981; Kilpatrick, Swafford, & Findell, 2001; Leinhardt & Smith, 1985; Post, Cramer, Behr, Lesh, & Harel, 1993). In verschillende studies worden een aantal belangrijke oorzaken voor deze moeilijkheden besproken (Hasemann, 1981; Lamon, 1999; Nunes, Bryant, Hurry, & Pretzlik, 2006). Eerst en vooral worden breuken in het dagelijks leven in vergelijking met natuurlijke getallen minder vaak gebruikt (Lamon, 1999). De geschreven vorm van een breuk vormt ook een probleem (Hasemann, 1981). Breuken bestaan uit twee getallen die één hoeveelheid moeten voorstellen en bovendien kunnen verschillende breuken uit eenzelfde hoeveelheid bestaan (Nunes, Bryant, Hurry, & Pretzlik, 2006). Ook het gebruik van breuken in bewerkingen wordt aangehaald: er bestaan hierin heel wat regels en deze zijn complexer dan de regels die men gebruikt voor bewerkingen met natuurlijke getallen (Hasemann, 1981). Moeilijkheden komen volgens Kilpatrick, Swafford, & Findell (2001) meestal voort uit de verschillende interpretaties (constructs) en representaties (modellen) van breuken. De conceptuele breukenkennis blijkt bij veel leerlingen onvoldoende te zijn. De procedurele breukenkennis daarentegen zou wel voldoende zijn, waardoor er zich een kloof vormt tussen de conceptuele en procedurele kennis (Fraser, Murray, Hayward, & Erwin, 2004; Post, Cramer, Behr, Lesh, & Harel, 1993). In dit deel worden eerst kort de conceptuele en procedurele kennis gekaderd. Vervolgens wordt expliciet de link gelegd met breuken, onder andere door de multifaceted structure van een breuk (Kieren, 1993). Er wordt dieper ingegaan op de oorzaken van de moeilijkheden met breuken en de daaropvolgende lage leerling-prestaties. 8

11 Conceptuele en procedurele kennis Conceptuele kennis wordt gedefinieerd als het impliciet of expliciet begrijpen van de principes van een bepaald domein en de interrelaties tussen de verschillende units van kennis in dit domein (Rittle-Johnson, Siegler, & Alibali 2001). Het gaat om een abstract begrijpen van de principes en relaties tussen bepaalde stukken kennis in een bepaald domein (Baroody, 2003). Leerlingen die inzien dat 1 2 kan verwijzen naar één taart waarvan de helft is opgegeten, maar niet begrijpen dat 1 ook overeenkomt met twee taarten waarvan één taart is opgegeten, hebben 2 onvoldoende conceptuele kennis over breuken (Hecht, 1998). Procedurele kennis is de bekwaamheid om handelingen uit te voeren en zo snel en efficiënt problemen op te lossen (Baroody, 2003; Rittle-Johnson, Siegler, & Alibali, 2001). De procedure van een deling bij breuken is een goed voorbeeld. Dit soort kennis is wel gebonden aan specifieke problemen en daardoor minder generaliseerbaar (Baroody, 2003; Rittle-Johnson, Siegler, & Alibali, 2001). Leerlingen met een inadequate procedurele kennis over breuken, zullen fouten maken die te wijten zijn aan een incorrecte uitvoering van verschillende stappen nodig om een bewerking met breuken uit te voeren (Hecht, 1998). 6 8 als oplossing voor de bewerking 3 8 x 2 suggereert dat een leerling de vermenigvuldigingprocedure niet beheerst en enkel de tellers 8 vermenigvuldigt Conceptuele breukenkennis: een complexe natuur Leerlingen blijken aangaande het breukenconcept te beschikken over representaties van verschillende kwaliteit (Pitta-Pantazi, Gray, & Christou, 2004). Eén van de hoofdfactoren die de complexiteit van breuken in de hand werkt, is het feit dat een breuk een multifaceted construct inhoudt (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2006; Kieren, 1993; Lamon, 1999). Het is geen eenvoudig, maar een veelzijdig concept dat bestaat uit meerdere subconstructen. De verschillende conceptuele betekenissen die je aan een breuk kan linken, maken het een moeilijk onderwerp om te leren en les over te geven (Leinhardt & Smith, 1985). Een breuk zou uit vijf samenhangende subconstructen bestaan die hieronder verder worden toegelicht. 9

12 Een breuk als multifaceted structure: de vijf subconstructen van een breuk Deel-geheel. Een breuk wordt hier gezien als een vergelijking tussen het aantal delen van de verdeelde unit en het totaal aantal delen waarin de unit is verdeeld (Lamon, 1999). Zo is de pizzavoorstelling een voorbeeld van een deel-geheel voorstelling van een breuk. Bijvoorbeeld, 3 4 stelt 3 gelijke stukken van een cake die is verdeeld in 4 gelijke stukken voor. Leerlingen moeten inzien dat de delen waarin het geheel is verdeeld, een gelijke grootte hebben (Lamon, 1999). Het construct deel-geheel wordt gezien als een fundament bij de ontwikkeling van de vier andere constructen (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2006). Mede daardoor is het meestal ook de voornaamste interpretatie waarmee leerlingen te maken krijgen op de lagere school (Lamon, 1999; Clarke, 2006; Prediger, 2008). Toch wordt dit deel-geheel schema niet altijd correct geïnterpreteerd door leerlingen. Leerlingen zien vaak de link niet tussen een breuk en een hoeveelheid: ze zien de breuk als twee afzonderlijke getallen (Newstead & Murray, 1998; Stafylidou & Vosniadou, 2004). Ratio. Het ratio subconstruct of verhoudingsconstruct - geeft de notie van de vergelijking tussen twee hoeveelheden aan (Lamon, 1999). De relatie tussen deze twee hoeveelheden blijft onveranderd: 6 8 blijft dezelfde verhouding behouden wanneer we deze breuk herleiden naar en 3. stellen beide eenzelfde getal voor: het zijn gelijkwaardige breuken. 4 Operator. Een breuk kan worden gebruikt als een operator om een getal kleiner of groter te maken, bijvoorbeeld: 3 4. x 4 = 3 of 4 3. x 6 = 8 (Lamon, 1999). Zo gedraagt 1. zich als een operator 2 wanneer het 1 2 van de lengte en 1 van de breedte van een rechthoek neemt: het reduceert de 2 rechthoek tot 1 van zijn oorspronkelijke grootte. Het is dus een operatie die een object zowel 4 kan vergroten of stretchen, als verkleinen. Quotiënt. Elke breuk kan worden gezien als het resultaat van een deling (Kieren, 1993). Zo is 3 4 = 3 : 4. Leerlingen moeten dus de link leggen tussen een deling en een breuk. In tegenstelling tot het deel-geheelconstruct, worden hier twee verschillende hoeveelheden beschouwd: 3 pizza s worden verdeeld onder 4 vrienden. Hier moeten leerlingen inzien dat de pizza s verdeeld worden in vierden (deeltal) en dat elke vriend 3 stukken (deler) krijgt van het aantal verdeelde stukken (Lamon, 1999). 10

13 Maat. In het maatconstruct wordt een breuk geassocieerd met twee noties (Stafylidou & Vosniadou, 2004). Eerst en vooral wordt het beschouwd als een getal, dat uitdrukt hoe groot de breuk is. Zo is 3 ook gelijk aan Daarnaast wordt het ook geassocieerd met een interval: de 4 grootte van de afstand van een bepaald punt op een getallenas. 3 4 komt zo overeen met de afstand van drie 1 units vanaf een gegeven punt. Dit construct wordt dus vaak geassocieerd met 4 het gebruik van een getallenas. Ondanks het feit dat getallenassen vaak worden gebruikt om het maatconstruct te meten, rijzen er toch vragen op. Twijfels bestaan over het feit of een getallenas werkelijk het maatconstruct meet. Toch wordt de getallenas in het algemeen aanvaard bij het meten van dit construct (Martinie, 2007) Problemen met de subconstructen Charalambous & Pitta-Pantazi (2006) analyseerden de prestaties van 10 tot 12-jarigen op breuken. Ze gebruikten het theoretisch model van Kieren (1993) als referentiepunt om de constructies van de vijf subconstructen van een breuk bij leerlingen te onderzoeken. Uit deze studie blijkt dat leerlingen het succesvolst zijn in taken met het subconstruct deel-geheel. Ook de studie van Martinie (2007) sluit hierbij aan: de deel-geheel interpretatie van een breuk lijkt bij leerlingen te overheersen. Leerlingen zouden daarentegen het minst succesvol zijn in taken met betrekking tot het subconstruct maat (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2006; Clarke, Roche, & Mitchel, 2007; Hannula, 2003). Clarke, Roche, & Mitchell (2007) voerden een gelijkaardige studie uit: zij focusten eveneens op de subconstructen van breuken bij 11 en 12-jarigen. Uit dit onderzoek blijkt dat de prestaties op het subconstruct deel-geheel goed zijn zolang het een standaardvoorstelling van de breuk - denk hierbij aan een pizza-voorstelling - betreft. Verder blijkt uit de studie dat er aan de subconstructen operator en maat meer aandacht dient besteed te worden, gezien de tegenvallende resultaten hierop. Ook uit een studie van Hannula (2003) komen de beperkte prestaties op het subconstruct maat naar voor. De helft van de 14-jarigen in haar studie kon nog steeds geen eenvoudige breuk ruw lokaliseren op een getallenas. Andere studies geven aan dat ook de scores op het subconstruct quotiënt eerder laag zijn (Clarke, 2006; Clarke, Roche & Mitchell, 2007). Weinig leerlingen leggen 11

14 namelijk automatisch de link tussen verdeel 3 pizza s onder 5 personen en de deling 3 5, maar moeten dit bijvoorbeeld eerst voor zichzelf tekenen. Uit deze studies blijkt dus dat leerlingen in het algemeen vooral het subconstruct deel-geheel goed beheersen, maar onvoldoende kennis hebben over de andere subconstructen. Post, Cramer, Behr, Lesh, & Harel (1993) beweren dat het schoolcurriculum niet genoeg aandacht geeft aan het ratio, maat en operator subconstruct. Een eenzijdige nadruk op het deel-geheel construct kan nadelig zijn voor de ontwikkeling van het breukenconcept (Prediger, 2008). De bijna onafscheidelijke link tussen breuken en een cirkelvoorstelling maakt het leerlingen moeilijk om breuken op een andere manier te interpreteren. De nadruk van tekstboeken op deze voorstelling van breuken kan zorgen voor een beperking van het breukenconcept bij leerlingen (Maharaj, Brijlall, & Molebale, 2007). Na de conceptuele breukenkennis van leerlingen belicht te hebben, staan we in het volgend punt kort stil bij hun procedurele breukenkennis De kloof tussen conceptuele en procedurele breukenkennis In het traditioneel onderwijs worden bewerkingen met breuken vaak aangeleerd zonder al te veel aandacht te schenken aan een betekenisvolle, contextuele basis (Bulgar, 2003). Tijdens de instructie ligt de focus dan vaak op het memoriseren van regels en het volgen van procedures, zonder de achterliggende betekenis te begrijpen (Fraser, Murray, Hayward, & Erwin, 2004; Post, Cramer, Behr, Lesh & Harel, 1993). Deze werkwijze is volgens de onderzoekers verre van effectief: leerlingen slagen er niet in om een breukenconcept te ontwikkelen. Ook Van de Walle (2007) sluit hierbij aan: regels en procedures kunnen effectief zijn bij het bekomen van een correct resultaat, maar vereisen geen begrip over de grootte van de breuken. Wanneer leerlingen een bewerking met een breuk correct kunnen uitvoeren, volgt dus niet automatisch dat leerlingen ook de betekenis achter deze bewerking begrijpen. Daarom is het goed bewerkingen met breuken zoveel mogelijk uit te stellen tot leerlingen over een goed breukbegrip beschikken, aangezien rekenen met breuken een stevig begrip van breuken vereist (Bulgar, 2003; Saenz-Ludlow, 1995; Van de Walle, 2007). Uit onderzoek blijkt dat de procedurele breukenkennis beter wordt beheerst dan de conceptuele breukenkennis (Aksu, 1997; Hongyu, 2008). Aksu (1997) vond in zijn onderzoek dat er verschillen blijken te bestaan in de leerling-prestaties van 11 en 12-jarigen, wanneer breuken gepresenteerd worden in verschillende contexten. Leerlingen presteren het hoogst wanneer 12

15 breuken gepresenteerd worden als bewerkingen; ze scoren het laagst bij het oplossen van vraagstukken met breuken (Aksu, 1997; Prediger, 2008). Leerlingen kunnen dus zonder al te veel problemen hun procedurele kennis gebruiken bij het oplossen van bewerkingen. De lage prestaties bij het oplossen van vraagstukken wijzen daarentegen op een instrumenteel begrijpen van deze procedurele kennis (Aksu, 1997). Bij de vraagstukken kunnen ze niet terugvallen op hun conceptuele breukenkennis, wat op zijn beurt kan wijzen op een onvoldoende ontwikkeld breukenconcept. Samengevat: moeilijkheden met breuken blijken vooral te ontstaan door een onvoldoende ontwikkeld breukenconcept (Newstead & Murray, 1998; Prediger, 2008; Stafylidou & Vosniadou, 2004). Hasemann (1981) omschrijft dit als een gebrek aan een idee over breuken. Leerlingen blijken vooral het subconstruct deel-geheel te beheersen, maar blijken daarentegen onvoldoende kennis te hebben over de andere subconstructen ratio, quotiënt, operator en maat (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2006; Clarke, Roche, & Mitchel, 2007; Hannula, 2003). De procedurele kennis wordt dan weer beter beheerst (Aksu, 2001; Hongyu, 2008), alhoewel het beter is bewerkingen met breuken zoveel mogelijk uit te stellen tot leerlingen het breukbegrip bezitten (Van de Walle, 2007). Een onvoldoende ontwikkeld breukenconcept en een goede beheersing van de procedurele breukenkennis, leidt tot een kloof tussen de twee soorten kennis en dit uit zich in lage leerprestaties Lage prestaties De resultaten van het National Assessment of Educational Progress (NAEP) doen vragen rijzen over de breukenprestaties van leerlingen over de afgelopen twintig jaar. Sommige onderwerpen blijven volgens het NAEP problematisch, zoals het ordenen van breuken en het gebruiken van een breuk bij woordproblemen (NCES, 2000). Ook Brown en Quinn (2006) halen deze lage prestaties van leerlingen omtrent breuken aan. De vaststelling dat leerlingen vaak over een onvoldoende breukenconcept zouden beschikken, is een cruciale constatering. Het is echter ook belangrijk om in dat verband te onderzoeken hoe het met de conceptuele kennis van leraren gesteld is. Daarom wordt in het volgende deel stilgestaan bij de kennis over breuken van toekomstige leraren. 13

16 2.3. (Toekomstige) leraren: kennis over breuken Onderzoek naar de kennis over breuken van toekomstige leraren is belangrijk: wanneer leraren over een diep wiskundig begrijpen bezitten, blijken hun leerlingen ook meer te leren (Hill, Rowan, & Ball, 2005). Ook Kennedy (1998) geeft het belang aan van dit diep wiskundig begrijpen: Because the main goals of reformers are to instill a deeper understanding in students of the central ideas and issues in various subjects and to enable students to see how these ideas connect to, and can be applied in, real world situations, it makes sense to require that teachers themselves also understand the central concepts of their subjects, see these relationships, and so forth (p. 254). Ball (1990b) sluit hierbij aan: om dit soort begrijpen te faciliteren, moeten leraren zelf over een diep begrijpen van wiskunde beschikken. Wanneer een leerling zich afvraagt waarom het quotiënt bij de deling 5 door 1 2 groter is dan deler en deeltal, volstaat het niet om als leraar naar de delingsprocedure van breuken te verwijzen. Leraren moeten volgens Ball (1990b) de leerstof goed beheersen om deze leerstof op een juiste manier en op verschillende manieren - via verhalen, tekeningen of concreet materiaal - aan de leerlingen te kunnen presenteren. Uit een onderzoek van Sowder, Philipp, Armstrong, & Schappelle (1998) bleek dat de kennis van leerlingen over breuken steeg, wanneer hun leraren over een diep wiskundig begrijpen beschikten. Ook de praktijk van de leraren veranderde onder invloed van meer content knowledge. Zo verwachtten de leraren een betere conceptuele uitleg van hun leerlingen. Onderzoek geeft dus aan dat de kennis van leraren een belangrijke impact heeft op de leerresultaten van de leerlingen (Ball, Lubienski, & Mewborn, 2001; Fennema & Franke, 1992). Toch is het vaak onduidelijk wat men precies onder kennis van leraren verstaat (Fennema & Franke, 1992). Het onderzoeken van de wiskundige kennis van een leraar betekent dan ook meer dan het nagaan van het wiskundig begrijpen van een leraar. Dit soort kennis omvat immers ook de pedagogische kennis, alsook het begrijpen van de onderliggende processen van de wiskundige concepten en het begrijpen hoe leerlingen denken (Fennema & Franke, 1992). Lerarenkennis kan dus niet gescheiden worden van de subject matter, van hoe deze subject matter gepresenteerd moet worden aan leerlingen, en van wat we weten over het denken van leerlingen of van de beliefs van leraren. Om duidelijk te maken wat in dit onderzoek verstaan wordt onder de kennis van een leraar, wordt in het volgende punt het Tripartite Model of Teacher Expertise van Shulman (1986) besproken. 14

17 Tripartite model Shulman (1986) verrichtte grondbrekend onderzoek naar wat de kennis van leraren moet inhouden. Hij ontwikkelde het Tripartite Model of Teacher Expertise, dat later door Ball, Thames, & Phelps (2008) nieuwe dimensies kreeg. Het model van Shulman (1986) suggereert drie categorieën van content knowledge: subject matter content knowledge, pedagogical content knowledge en curricular knowledge. Hieronder volgt een korte uiteenzetting van de soorten content knowledges Subject matter content knowledge Onder subject matter knowledge verstaat Shulman (1986) the amount and organization of the knowledge per se in the mind of the teacher (p. 9). Hij voegt hieraan toe dat een leraar niet enkel moet begrijpen dat iets zo is; hij moet ook uitleggen waarom het zo is. Een leraar lager onderwijs moet bijvoorbeeld over de nodige breukenkennis beschikken om verschillende breuken van klein naar groot te kunnen ordenen en aan zijn leerlingen te kunnen uitleggen waarom de ene breuk groter is dan de andere. Recentere onderzoeken verfijnen dit soort kennis en omschrijven subject matter content knowledge als het begrijpen van bepaalde onderwerpen (bijvoorbeeld breuken), procedures (bijvoorbeeld een deling) en concepten, als de relaties tussen deze onderwerpen, procedures en concepten (Ball, Lubienski, & Mewborn, 2001). Zowel de conceptuele kennis als de procedurele kennis zitten dus hierin vervat. Ball, Thames, & Phelps (2008) zijn van mening dat leraren dit soort kennis nodig hebben bij specifieke taken tijdens het lesgeven, zoals het geven van een voorbeeld bij de stelling dat delen met breuken niet altijd kleiner maakt. Het zijn taken die afhankelijk zijn van de wiskundige kennis van een leraar en die zo goed als onafhankelijk zijn van de kennis over leerlingen of de kennis over het lesgeven (Ball, Thames, & Phelps, 2008). Leraren moeten dus kennis hebben van het onderwerp waarover ze lesgeven (Ball, Thames, & Phelps, 2008), al blijkt dit geen voldoende voorwaarde te zijn (Ball, Thames, & Phelps, 2008; Hill & Ball, 2009). Leraren moeten de materie ook op een krachtige en begrijpbare manier kunnen overbrengen. Effectief lesgeven wordt dus niet enkel bepaald door de kennis van een leraar, maar ook door hoe hij deze kennis gebruikt in de klas (Hill, Rowan, & Ball, 2005). Dit aspect, het beheersen van de materie en het kunnen overbrengen naar leerlingen toe, wordt in de literatuur vaak omschreven als pedagogical content knowledge. 15

18 Pedagogical content knowledge Pedagogical content knowledge definieert Shulman (1986) als the most powerful analogies, illustrations, examples, explanations and demonstrations in a word the ways of representing the subject that makes it comprehensible to others (p. 9). Hij spreekt nog over content knowlegde aangezien hij wil verwijzen naar het soort subject matter content knowledge for teaching (Shulman, 1986). Volgens Shulman (1986) moet de leraar ook rekening houden met de leeftijd en achtergrond van leerlingen tijdens het lesgeven. In een recent onderzoek sluiten Ball, Thames, & Phelps (2008) zich hierbij aan. Ze splitsen de pedagogical content knowledge van Shulman (1986) op in twee categorieën: de kennis over inhoud & lesgeven en de kennis over inhoud & leerlingen. Shulman (1986) wil dus aandacht schenken aan het soort kennis dat inhoud linkt met pedagogie of specifieke aspecten van het lesgeven en leren. Met andere woorden, leraren weten welke onderwerpen moeilijk zijn voor hun leerlingen en welke representaties nuttig zijn tijdens het lesgeven van specifieke leerstof (Ball, Lubienski, & Mewborn, 2001). Zo kan een leraar vooraf nadenken over welk didactisch materiaal hij zal gebruiken in een breukenles, wat de mogelijke hindernissen kunnen zijn voor leerlingen, welke representatie van een breuk hij zal kiezen, Een leraar kan bijvoorbeeld over de kennis beschikken dat het didactisch beter is om een breuk niet enkel voor te stellen als een pizza-voorstelling, maar ook door middel van andere representaties Curricular knowledge Een derde categorie van content knowledge is volgens Shulman (1986) de curricular knowledge. Shulman (1986) bedoelt hiermee de kennis over de programma s en materialen ontworpen voor het lesgeven van bepaalde onderwerpen, op een bepaald niveau. Leraren moeten weten in welke volgorde onderwerpen aan bod komen in school en leerjaren. Aangezien het onderwerp breuken in het Vlaams lager onderwijs vooral in het derde leerjaar wordt aangeleerd, kan een leraar van het tweede leerjaar bijvoorbeeld voor een aanzet van dit onderwerp zorgen. 16

19 Meten van de wiskundige kennis bij leraren Over het meten van de wiskundige kennis die leraren nodig hebben bij het lesgeven, blijven de meningen verdeeld. Er is nog steeds geen consensus over wat, wie, hoe en voor welk doel er moet gemeten worden (Hill, Sleep, Lewis, & Ball, 2007). Ook Fennema & Franke (1992) zijn van mening dat het begrijpen van de wiskundige kennis van een leraar en de invloed hiervan op het lesgeven en leren, een moeilijk vraagstuk is. Prangende vragen omtrent het evenwicht tussen de kennis over inhoud en de kennis van pedagogie werden nog niet beantwoord (Hill, Sleep, Lewis, & Ball, 2007). Toch stijgt de vraag naar meer accountability om leraren zo goed mogelijk voor te bereiden op de praktijk. Hill, Sleep, Lewis, & Ball (2007) pleiten ook voor het meten van de wiskundige kennis tijdens het lesgeven. Het beoordelen of leraren wel of niet over voldoende kennis beschikken, kan niet losgekoppeld worden van wat leraren in klas doen, met leerlingen, materiaal en inhoud. In deze studie wordt enkel stilgestaan bij de subject matter content knowledge van leraren, waarbij het belang van de pedagogische kennis van leraren in gedachten wordt gehouden. Deze wordt echter niet gemeten, aangezien de tijd te beperkt was. In het volgend punt wordt dieper ingegaan op hoe de subject matter content knowledge omtrent breuken wordt benaderd in de lerarenopleiding Breukenkennis in de lerarenopleiding De lerarenopleiding is een belangrijke periode om de subject matter content knowledge (Shulman, 1986) van leraren te verdiepen. Er wordt te vaak verondersteld dat studenten de lerarenopleiding betreden met een bepaalde wiskundige kennis, hoewel dit niet altijd het geval is, zeker niet in het geval van breuken (Ball & McDiarmid, 2001; Ma, 1999). Hoewel de voorbereiding op deze kenniscomponent essentieel is, wordt er in de lerarenopleiding onvoldoende aandacht aan besteed (Ball, 1990b; Goulding, Rowland, & Barber, 2002; Zhou, Perverley, & Xin, 2006). Veel onderzoekers duiden het belang van dit soort kennis (Ball & McDiarmid, 1990; Goulding, Rowland, & Barber, 2002; Ma, 1999; NTCM, 2000). NTCM (2000) stelt dat teachers must know and understand deeply the mathematics they are teaching and be able to draw on that knowledge with flexibility in their teaching tasks (p. 17). Ook Goulding, Rowland, & Barber (2002) benadrukken het belang van subject matter content knowledge bij leraren. Zowel in het voorbereiden van de lessen als in het lesgeven, is deze kennis een bron waaruit de leraar put. Ball & McDiarmid (1990) stellen dat wanneer lesgeven anderen helpt te leren, het begrijpen van 17

20 wat aangeleerd moet worden een centrale vereiste is bij het lesgeven. Ma (1999) is ervan overtuigd dat de kennis van leraren over wiskunde bij het lesgeven essentieel is voor een effectieve klasinstructie. Onderzoek toont aan dat veel leraren niet beschikken over een diepe en rijke wiskundige kennis (NTCM, 2003). Ball, Thames, & Phelps (2008) onderstellen dat dit soort kennis niet specifiek aangeleerd wordt in de lerarenopleiding. Volgens Zhou, Perverley, & Xin (2006) zou de lerarenopleiding teveel de focus leggen op de aanbreng van breuken in plaats van op de wiskunde zelf. De onderzoekers pleiten er dan ook voor om in de Amerikaanse lerarenopleiding meer aandacht te hebben voor de subject matter content knowledge. Ook Ma (1999) sluit hierbij aan door te stellen dat de lage kwaliteit van het wiskundeonderwijs in Amerika te maken kan hebben met de lagere kwaliteit van de subject matter content knowledge van leraren over schoolwiskunde. Ook in Vlaanderen hielden Verschaffel, Janssen, & Janssen (2005) een grootschalig onderzoek naar de wiskundige kennis van toekomstige leraren lager onderwijs. In het begin van hun opleiding beschikken de studenten over tamelijk zwakke wiskundige competenties. Op het einde van hun opleiding zijn de resultaten beter, alhoewel er nog steeds vragen rijzen over de gereedheid van deze toekomstige leraren om wiskunde te geven aan leerlingen in de lagere school (Verschaffel, Janssen, & Janssen, 2005). Er wordt te snel verondersteld dat toekomstige leraren deze kennis al beheersen (Ball, 1991). Volgens Ball (1990b) moet de lerarenopleiding zich de vraag stellen wat toekomstige leraren reeds weten. De voorkennis omtrent breuken van toekomstige leraren kan dus een belangrijke rol spelen. De klemtoon mag hierbij niet liggen op hun procedurele kennis, maar eerder op de conceptuele kennis. Een goede voorbereiding van de subject matter content knowledge van toekomstige leraren lager onderwijs staat voor Ball (1990b) gelijk aan hen helpen om te komen tot een diep wiskundig begrijpen, nodig om goed les te kunnen geven. Hill, Schilling, & Ball (2004) sluiten hierbij aan: leraren moeten geholpen worden een wiskundige kennis te ontwikkelen die verder gaat dan het alledaagse, niet-professionele functioneren, als voorbereiding op de taken die ze zullen ervaren tijdens hun job Subject matter content knowledge van toekomstige leraren Hoe zit het nu effectief met de subject matter content knowledge van (toekomstige) leraren? Newton (2008) en Toluk-Uçar (2009) testten zowel het breukenconcept als de kennis van bewerkingen en vraagstukken van leraren: toekomstige leraren blijken over een beperkte breukenkennis te beschikken (Newton, 2008; Toluk-Uçar, 2009). Ze beheersen de regels en 18

21 procedures om bewerkingen met breuken op te lossen, maar hanteren die niet steeds op een correcte manier. Ze kennen de regels uit het hoofd, wat kan wijzen op een gebrek aan conceptuele kennis. Ball (1990a, 1990b), Simons (1996), Tirosh (2000) en Rizvi & Lawson (2007) stelden vast dat toekomstige leraren lager onderwijs moeilijkheden hebben met de betekenis van de deling bij breuken. De meesten onder hen kunnen de deling wel uitvoeren, maar hun bijhorende uitleg is regelgebonden. De regel Delen door een breuk, is vermenigvuldigen met het omgekeerde van die breuk. enkel kunnen toepassen, is onvoldoende. Ze weten dus niet waarom ze precies deze regel toepassen (Borko, 1992; Tzur & Timmerman, 1997). Leraren vinden het moeilijk om de procedure van een deling bij breuken via verschillende representaties uit te leggen (Ma, 1999). Ook kunnen ze weinig relaties leggen tussen deling bij breuken en andere wiskundige kennis (zoals het breukenconcept, vermenigvuldiging bij breuken) (Ma, 1999; Tirosh, 2000). Liefst 70% van de toekomstige leraren lager onderwijs kon geen passend probleem bedenken bij een gegeven deling met breuken (Simons, 1996). Ze zouden dus over onvoldoende kennis beschikken om leerlingen in het lager onderwijs voldoende te ondersteunen bij het begrijpen van deze leerstof (Rizvi & Lawson, 2007). Ook volgens Ball (1990b) is de bekwaamheid van toekomstige leraren om de achterliggende redenering van een antwoord te analyseren, zwak. In dit opzicht voerde Tirosh (2000) onderzoek naar de kennis van toekomstige leraren over de misconcepties van leerlingen over de deling bij breuken. Toekomstige leraren waren zich niet bewust hoe sommige misconcepties aan de basis liggen van foute antwoorden (Tirosh, 2000). Een gelijkaardig onderzoek naar het vermenigvuldigen van breuken levert gelijkaardige conclusies op (Azim, 1995; de Castro, 2004). Algemeen kan gesteld worden dat veel toekomstige leraren bewerkingen met breuken kunnen uitvoeren, maar dat slechts weinigen een conceptuele verklaring kunnen geven voor deze procedures (de Castro, 2004). Hoewel het belang van de subject matter content knowledge van leraren door veel onderzoekers benadrukt wordt (Ball & McDiarmid, 1990; Goulding, Rowland, & Barber, 2002; Ma, 1999; NTCM, 2000), zouden veel (toekomstige) leraren dus, net zoals veel van hun leerlingen, over een onvoldoende ontwikkeld breukenconcept beschikken. Weinig onderzoek handelt echter over de breukenkennis van (toekomstige) leraren lager onderwijs in de Vlaamse context. Dit onderzoek probeert deze leemte voor een stuk op te vullen. Those who can, do. Those who understand, teach. (Schulman, 1986) 19

22 2.4. Probleemstelling Breuken worden door veel leerlingen en leraren gezien als een moeilijk onderwerp in het vak wiskunde op de lagere school (Hasemann, 1981; Ma, 1999; Post, Cramer, Behr, Lesh, & Harel, 1993; Van Steenbrugge, Valcke, & Desoete, 2010). Breuken zouden tot de meest essentiële, maar tegelijk de meest complexe wiskundige concepten behoren waarmee leerlingen in de lagere school te maken krijgen (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2006; Lamon, 1999). Moeilijkheden komen meestal voort uit de verschillende interpretaties (Kieren, 1993) en representaties van breuken (Kilpatrick, Swafford, & Findell, 2001). Eén van de hoofdfactoren die de complexiteit van breuken in de hand werkt, is het feit dat een breuk een multifaceted construct inhoudt (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2006; Kieren, 1993; Lamon, 1999). Het is geen eenvoudig, maar een veelzijdig concept dat bestaat uit meerdere subconstructen. Aan de ene kant zouden leerlingen over een onvoldoende ontwikkeld breukenconcept beschikken (Aksu, 2001; Hongyu, 2008), aan de andere kant zouden leerlingen over voldoende procedurele kennis beschikken. Dit leidt tot een kloof tussen de conceptuele en procedurele kennis (Fraser, Murray, Hayward, & Erwin, 2004; Post, Cramer, Behr, Lesh, & Harel, 1993). Deze moeilijkheden vertalen zich dan ook in lage leerling-prestaties met betrekking tot breuken (Aksu, 1997; NAEP, 2004; Prediger, 2008). Wanneer leerlingen blijvend moeilijkheden ervaren met breuken, kan dit tijdens de latere schoolloopbaan voor problemen zorgen (National Mathematics Advisory Panel, 2008). Ze vormen immers een belangrijke basis voor procenten, kommagetallen en algebra (Lamon, 1999). Een goed ontwikkeld breukenconcept is dus belangrijk. Het onderwerp breuken kreeg reeds veel aandacht in de literatuur. Deze aandacht resulteerde in veel informatie over de complexiteit van het onderwerp, de moeilijkheden die leerlingen ondervinden en de mogelijke representaties van een breuk (Hasemann, 1981; Kilpatrick, Swafford, & Findell, 2001; Leinhardt & Smith, 1985). Echter, weinig onderzoek is voor handen omtrent het breukenconcept bij (toekomstige) leraren. Hun breukenconcept is nochtans cruciaal voor de ontwikkeling van het breukenconcept bij hun leerlingen (Goulding, Rowland, & Barber, 2002). Uit de beschikbare literatuur blijkt dat de kennis over breuken van leraren, net als bij leerlingen, zich in het algemeen beperkt tot procedurele kennis terwijl hun conceptuele kennis onvoldoende zou zijn (Azim, 1995; Newton, 2008; Rizvi & Lawson, 2007; Tirosh, 2000; Toluk- Uçar, 2009). Ook zou de lerarenopleiding te veel de nadruk leggen op de aanbreng van breuken en niet op de inhoud zelf (Ball, 1990b; Ma, 1999; Zhou, Perverley, & Xin, 2006). Leraren lager onderwijs moeten dus ook over diepgaande breukenkennis beschikken (Ball, 1990b; Hill, Schilling, & Ball, 2004). Situaties waarin leraren zelf niet de nodige conceptuele breukenkennis 20

23 beheersen, doen dan ook vragen rijzen over de gereedheid van deze leraren om wiskunde te geven aan leerlingen in de lagere school (Verschaffel, Janssen, & Janssen, 2005). Reden te meer om een onderzoek uit te voeren naar de breukenkennis van toekomstige leraren lager onderwijs. 21

24 2.5. Onderzoekshypothesen Deze studie focust zich op de breukenkennis van toekomstige leraren. Er wordt nagegaan in welke mate toekomstige leraren de conceptuele kennis van breuken beheersen. Dit wordt evenwel niet losgekoppeld van hun procedurele kennis (Rittle-Johnson, Siegler, & Alibali, 2001). Er zal met andere woorden nagegaan worden hoe het gesteld is met de conceptuele en procedurele kennis over breuken van toekomstige leraren. Voor dit onderzoek is gekozen voor een kwantitatief onderzoek: het biedt de mogelijkheid een grote groep studenten te bereiken en zo algemene tendensen aan het licht te brengen. Aangezien literatuur (Aksu, 2001; Hongyu; 2008) aangeeft dat bij leerlingen vooral de conceptuele kennis een probleem zou zijn, in tegenstelling tot de procedurele kennis, wordt onderzocht of dit ook geldt bij toekomstige leraren lager onderwijs in Vlaanderen. Met een eerste onderzoeksvraag wordt onderzocht of er een significant verschil is tussen de mate van beheersing van conceptuele en procedurele breukenkennis. Op basis van de literatuur wordt verondersteld dat de beheersing van procedurele kennis significant beter zal zijn dan de beheersing van de conceptuele kennis. In een tweede onderzoeksvraag wordt nagegaan hoe het gesteld is met de beheersing van de afzonderlijke subconstructen (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2006; Kieren, 1993; Lamon, 1999) van breuken. Gesteld wordt dat het subconstruct deel geheel beter wordt beheerst dan de andere subconstructen. Vooral het subconstruct maat zou veel leerlingen problemen bezorgen (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2006; Clarke, Roche, & Mitchel, 2007; Hannula, 2003). Een derde onderzoeksvraag gaat na in welke mate er verschillen zijn tussen toekomstige leraren wat betreft het geslacht, opleidingsjaar en onderwijsvorm. Er wordt verondersteld dat er voor de factor opleidingsjaar geen significante verschillen zullen zijn wat de procedurele kennis betreft, aangezien dit aspect relatief eenvoudig blijkt te zijn. Meer moeilijkheden worden verwacht bij de conceptuele breukenkennis, waarbij wordt vermoed dat derdejaarsstudenten beter zullen scoren dan eerstejaarsstudenten. Hierbij wordt verondersteld dat het doorlopen van een opleiding lager onderwijs een positieve impact heeft op de ontwikkeling van de conceptuele kennis van breuken. 22

25 Samengevat luiden de drie onderzoeksvragen als volgt: Is er een significant verschil tussen de mate van beheersing van conceptuele en procedurele breukenkennis bij toekomstige leraren lager onderwijs? Zijn er met betrekking tot de conceptuele breukenkennis, significante verschillen vast te stellen in de beheersing van de vijf subconstructen? Zijn er significante verschillen tussen toekomstige leraren in geslacht, opleidingsjaar en onderwijsvorm, wat de procedurele en conceptuele kennis over breuken betreft? 23

26 3. Onderzoeksopzet 3.1. Participanten In totaal legden 270 toekomstige leraren de breukentest af: 184 eerstejaarsstudenten en 86 derdejaarsstudenten waarvan 230 vrouwelijke studenten en 40 mannelijke studenten. Hiervan studeren er 218 studenten aan de Arteveldehogeschool en 52 studenten aan de Hogeschool Gent. Wat de secundaire onderwijsvorm betreft, studeerden 183 studenten af in het Algemeen Secundair Onderwijs (ASO), 83 studenten hebben een diploma van het Technisch Secundair Onderwijs (TSO) op zak, 3 studenten komen uit het Kunst Secundair Onderwijs (KSO) en 1 student uit het Beroeps Secundair Onderwijs (BSO). Tabel 1 geeft een overzicht van de voornaamste kenmerken van de participanten, met het bijhorend aantal studenten. Tabel 1 Kenmerken participanten Kenmerken Aantal % Eerstejaarsstudenten Derdejaarsstudenten Mannelijk Vrouwelijk ASO TSO KSO BSO Noot. Totaal aantal studenten = Instrument Op basis van de literatuurstudie werd een breukentest opgesteld. De vijf subconstructen van Kieren (1993) vormen de basis voor deze test. Eerder ontwierpen Charalambous & Pitta-Pantazi (2006) en Clarke (2007) een breukentest op basis van de subconstructen deel-geheel, operator, ratio, quotiënt, en maat. Items uit deze studies werden gebruikt voor deze test om de conceptuele breukenkennis na te gaan. De procedurele breukenkennis werd gemeten via testitems die de kennis over bewerkingen met breuken nagaan. 24

27 Zoals kan afgeleid worden uit tabel 2, is de interne consistentie laag voor de subdomeinen deelgeheel, ratio, operator, quotiënt en maat/interval. De interne consistentie voor de procedurele kennis is voldoende en goed voor het subconstruct maat/getal. Tabel 2 Interne consistentie van de verschillende subconstructen van het instrument Subconstructen α N Procedurele breukenkennis Deel-geheel Ratio.35 9 Operator Quotiënt.46 5 Maat/getal Maat/interval Dataverzameling In december 2009 werd de Arteveldehogeschool gecontacteerd en werd hun medewerking aan het onderzoek gevraagd. Na een gesprek met de opleidingsdirecteur werd toestemming verkregen om bij de eerste en derdejaarsstudenten van de opleiding Bachelor in het onderwijs: lager onderwijs een breukentest af te nemen. Verdere concrete afspraken werden met de lectoren besproken. In totaal verleenden 218 studenten van de Arteveldehogeschool hun medewerking. De testen werden in het derde jaar afgenomen op 1 en op 3 maart 2010 tijdens de les. Studenten uit het eerste jaar legden de test op vrijwillige basis af tussen 8 en 11 maart Deze studenten kregen in mei feedback over hun resultaten en werden zo geïnformeerd over hun breukenkennis. In april 2010 werd ook de Hogeschool Gent via de opleidingscoördinator gecontacteerd: 52 eerstejaarsstudenten van de opleiding Bachelor in het onderwijs: lager onderwijs legden de test af op 27 april

28 3.4. Verwerking De resultaten werden via het statistische programma SPSS 17 verwerkt. Voor de eerste en tweede onderzoeksvraag werden de gemiddeldes berekend voor zowel de conceptuele & procedurele breukenkennis, als voor de verschillende subconstructen. Aan de hand van de verschilscores en t-toetsen werden significante verschillen nagegaan. Voor de derde onderzoeksvraag werd gebruik gemaakt van een variantie-analyse (UNIANOVA), met respectievelijk procedurele en conceptuele breukenkennis als afhankelijke variabelen, en de factoren geslacht, opleidingsjaar en onderwijsvorm als onafhankelijke variabelen. 26

29 4. Analyse & resultaten Onderzoeksvraag 1: Is er een significant verschil tussen de mate van beheersing van conceptuele en procedurele breukenkennis bij toekomstige leraren lager onderwijs? De studenten behalen voor de procedurele kennis een gemiddelde score van %. Wat de conceptuele kennis betreft, behalen de studenten een gemiddelde score van 85.95%. De t-toets geeft aan dat deze scores significant van elkaar verschillen (t(1,269)=7.17, p <.001). Toekomstige leraren lager onderwijs behalen dus een significant hogere score voor procedurele breukenkennis dan voor conceptuele breukenkennis. Onderzoeksvraag 2: Zijn er met betrekking tot de conceptuele breukenkennis, significante verschillen vast te stellen in de beheersing van de vijf subconstructen? Tabel 3 geeft de gemiddelde scores op de verschillende subconstructen weer, samen met de bijhorende standaarddeviatie. De subconstructen deel-geheel en ratio scoren het hoogst. Het subconstruct maat/interval scoort het laagst. Tabel 3 Gemiddelde scores op de subconstructen Gemiddelde Subconstructen score Standaarddeviatie Deel-geheel Ratio Operator Quotiënt Maat/getal Maat/interval Tabel 4 geeft weer welke scores op de verschillende subconstructen significant van elkaar verschillen. De t-toets wijst uit dat de score op het subconstruct deel-geheel significant hoger is 27

30 dan de scores op de subconstructen operator (t(1,269)=15.22, p <.001), quotiënt (t(1,269)=8.45, p <.001), maat/getal (t(1,269)=6.19, p <.001) en maat/interval (t(1,269)=26.15, p <.001). De scores op het subconstruct ratio zijn significant hoger dan de scores op alle andere subconstructen. De verschilscore tussen het subconstruct ratio en de subconstructen deelgeheel (t(1,269)=6.14, p <.001), operator (t(1,269)=21.52, p <.001), quotiënt (t(1,269)=11.97, p <.001), maat/getal (t(1,269)=11.44, p <.001) en maat/interval (t(1,269)=27.63, p <.001) zijn significant. Het subconstruct maat/getal scoort significant hoger dan het subconstruct operator (t(1,269)=8.132, p <.001), quotiënt (t(1,269)=3.60, p <.001) en maat/interval (t(1,269)=23.49, p <.001). Het subconstruct quotiënt scoort significant hoger dan het subconstruct operator (t(1,269)=2.13, p <.05) en het subconstruct maat/interval (t(1,269)=15.57, p <.05). Het subconstruct operator scoort significant hoger dan het subconstruct maat/interval (t(1,269)=16.27, p <.001). Het subconstruct maat/interval scoort tenslotte significant lager dan alle andere subconstructen. Tabel 4 Significante scores op de subconstructen Verschilscore t Deel-geheel operator t(1,269) = 15.22** Deel-geheel - quotiënt t(1,269) = 8.45** Deel-geheel maat/getal t(1,269) = 6.19** Deel-geheel maat/interval t(1,269) = 26.15** Ratio deel - geheel t(1,269) = 6.14** Ratio operator t(1,269) = 21.52** Ratio quotiënt t(1,269) = 11.97** Ratio maat/getal t(1,269) = 11.44** Ratio maat/interval t(1,269) = 27.63** Maat/getal - operator t(1,269) = 8.13** Maat/getal - quotiënt t(1,269) = 3.60** Maat/getal maat/interval t(1,269) = 23.49** Quotiënt - operator t(1,269) = 2.13* Quotiënt maat/interval t(1,269) = 15.57* Operator maat/interval t(1,269) = 16.27** Noot. *p <.05. **p <

31 Onderzoeksvraag 3: Zijn er significante verschillen tussen toekomstige leraren in geslacht, opleidingsjaar en onderwijsvorm, wat de procedurele en conceptuele kennis over breuken betreft? Wat betreft de procedurele kennis, is het model niet significant (F(10,259)=.90, p = ns). Wat de conceptuele kennis betreft, is het model wel significant (F(10,259)=6.49, p <.001). Enkel het hoofdeffect geslacht blijkt significant te zijn (F(1,259)=14.56, p <.001). De conceptuele breukenkennis van de jongens is beter dan die van de meisjes. Enkele interessante vaststellingen Niettegenstaande de goede resultaten op het subconstruct deel-geheel, zijn sommige antwoorden bij item 11, waarin gevraagd wordt welke breuk groter is ( 7 7 of 4 ), opvallend % van toekomstige leraren lager onderwijs geeft hier een verkeerd antwoord, waarbij een veel voorkomende fout was te veronderstellen dat 4 4 groter is dan 7 7 aangezien 1 4 groter is dan % van de toekomstige leraren kan geen correct antwoord geven op de vraag hoeveel één derde van de helft is, wat iets meer zegt over het subconstruct operator. Ook bij het subconstruct maat/getal zijn er enkele opmerkelijke bevindingen. Zo kan 51.5% van de toekomstige leraren geen passende breuk geven voor het getal Bij item 37, waarin gevraagd wordt om alle getallen te omcirkelen, duidt 37.4% van de toekomstige leraren de breuken in de getallenrij niet aan. Bij dit item schrijven 3 toekomstige leraren expliciet dat breuken geen getallen zijn. Volgens hen bekom je enkel een getal, wanneer je de deling van de breuk uitvoert. Onder het subconstruct maat/interval vinden we dat 56.7% van de toekomstige leraren lager onderwijs niet in staat is om 2 11 op een getallenas voor te stellen en 45.2% kan 3 6 niet aanduiden op een getallenas. 61.9% kan geen breuk vinden die zich bevindt tussen de breuken 1 8 en 1 9. Ook bij de procedurele breukenkennis vinden we enkele opvallendheden. Hoewel de resultaten hier relatief goed zijn, kunnen we toch vaststellen dat de optelling en aftrekking bij breuken beter wordt beheerst dan de deling en vermenigvuldiging. Zo kan maar liefst 24.1% de bewerking 5 : 1 niet oplossen. 2.5 is hierbij het meest voorkomend antwoord, waarbij men 2 29

32 effectief de helft neemt van 5. Dit foutief antwoord getuigt eveneens van onvoldoende conceptuele breukenkennis. Bij het item 34, waarin gevraagd werd hoe men een bewerking zou uitleggen aan een klas leerlingen, werd telkens de procedurele regel gegeven als uitleg. Geen enkele keer werd gebruik gemaakt van een schema of tekening om de bewerking schematisch voor te stellen. 30

33 5. Discussie In deze studie stond de vraag naar de breukenkennis van toekomstige leraren lager onderwijs in Vlaanderen voorop. In de literatuur werd een theoretisch kader gezocht om de kennis van leraren in kaart te brengen. Het Tripartite Model of Teacher Expertise (Ball, Thames, & Phelps, 2008; Shulman, 1986) splitst deze kennis op in drie elementen. De subject matter content knowledge is de kennis die het begrijpen van bepaalde onderwerpen (bijvoorbeeld breuken), procedures (bijvoorbeeld een deling) en concepten, als de relaties tussen deze onderwerpen, procedures en concepten omvat. Een tweede element is de pedagogical content knowlegde of het soort kennis dat inhoud linkt met pedagogie of specifieke aspecten van het lesgeven en leren. Tenslotte is er nog de curricular knowlegde, die de kennis bevat over de programma s en materialen ontworpen voor het lesgeven van bepaalde onderwerpen, op een bepaald niveau. In deze studie wordt ingegaan op het eerste element, de subject matter content knowlegde. Het omvat zowel de conceptuele als procedurele kennis. Literatuur wees uit dat er tussen deze twee soorten kennis een kloof bestaat: de conceptuele breukenkennis van zowel leerlingen als toekomstige leraren zou onvoldoende zijn, in tegenstelling tot hun procedurele breukenkennis (Fraser, Murray, Hayward, & Erwin, 2004; Post, Cramer, Behr, Lesh, & Harel, 1993). Veel onderzoek concentreert zich op de breukenkennis bij leerlingen, weinig onderzoek is voorhanden wat de breukenkennis van (toekomstige) leraren betreft. Met dit onderzoek trachten we aan deze leemte tegemoet te komen. Om zowel de conceptuele als de procedurele breukenkennis te meten, werd gebruik gemaakt van een zelf ontwikkelde breukentest, gebaseerd op de breukentest van Charalambous & Pitta- Pantazi (2006) en Clarke (2007). De conceptuele breukentest is opgebouwd rond de subconstructen deel-geheel, ratio, operator, quotiënt en maat/getal en maat/interval (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2006; Kieren, 1993; Lamon, 1999; Stafylidou & Vosniadou, 2004); de procedurele breukentest omvat het uitvoeren van bewerkingen met breuken. Eerstejaars en derdejaarsstudenten uit de opleiding Bachelor in het onderwijs: lager onderwijs vulden de breukentest in. In de eerste plaats werd nagegaan of er een verschil bestaat tussen de conceptuele en procedurele breukenkennis van toekomstige leraren. De resultaten tonen aan dat de procedurele breukenkennis van toekomstige leraren lager onderwijs significant hoger ligt dan hun conceptuele breukenkennis. Deze bevinding is in overeenstemming met wat uit de literatuurstudie naar voren kwam: de conceptuele kennis van leerlingen over breuken is opmerkelijk lager dan hun procedurele breukenkennis (Azim, 1995; Newton, 2008; Rizvi & 31

34 Lawson, 2007; Toluk-Uçar, 2009). We kunnen hier dus aan toevoegen dat dit ook het geval is bij toekomstige leraren. Een tweede onderzoeksvraag focust op het verschil in kennis met betrekking tot de vijf subconstructen. De resultaten bevestigen de hypothese dat het subconstruct deel-geheel beter wordt beheerst dan de andere subconstructen (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2006; Clarke, Roche, & Mitchel, 2007; Martinie, 2007). Enkel voor het subconstruct ratio worden nog hogere scores behaald. De scores voor het subconstruct maat/interval daarentegen zijn significant lager dan de scores voor de andere subconstructen. Ook dit wordt in de bestaande literatuur bij leerlingen bevestigd (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2006; Clarke, Roche, & Mitchel, 2007; Hannula, 2003). Bestaand onderzoek gaf reeds aan dat het subconstruct deel-geheel goed gekend blijkt te zijn bij leerlingen, in tegenstelling tot het subconstruct maat/interval. We kunnen opnieuw stellen dat dit ook geldt voor toekomstige leraren. Items met breuken en een getallenas worden eerder als moeilijk beschouwd. Een dominante voorstelling van een breuk als deel geheel in het basisonderwijs, denk hierbij aan de pizzavoorstelling, kan hiervoor een mogelijke verklaring zijn. Een opvallende bevinding in deze marge is de vaststelling dat meer dan de helft van de toekomstige leraren uit de steekproef de breuk 2 niet kan situeren op een getallenas en dat maar liefst 34.4% van de toekomstige leraren 3 een breuk niet ziet als een getal. De laatste onderzoeksvraag richt zich op verschillen tussen eerste en derdejaarsstudenten met betrekking tot de conceptuele en procedurele breukenkennis. Wat de procedurele breukenkennis betreft, zijn er geen significante verschillen met betrekking tot het opleidingsjaar, geslacht of de onderwijsvorm. Aangaande de onderwijsvorm richtten we ons enkel op het ASO en TSO, daar het aantal toekomstige leraren uit het KSO en TSO gering zijn. Wat de conceptuele breukenkennis betreft, heeft enkel geslacht een significante impact. Mannelijke toekomstige leraren blijken over meer conceptuele breukenkennis te beschikken dan hun vrouwelijke collega s. Eerste en derdejaarsstudenten verschillen dus niet in hun beheersing van procedurele en conceptuele breukenkennis. We kunnen ons dan ook vragen stellen over de aanpak van de lerarenopleiding wat het onderwerp breuken betreft, aangezien er geen significante verschillen werden gevonden in de kennis tussen eerste en derdejaarsstudenten (Ball, 1990b; Goulding, Rowland, & Barber, 2002; Zhou, Perverley, & Xin, 2006). 32

35 6. Conclusie Dit onderzoek naar de breukenkennis van toekomstige leraren lager onderwijs in Vlaanderen heeft enkele interessante bevindingen vastgesteld. Zo is de procedurele breukenkennis bij toekomstige leraren opmerkelijk beter dan hun conceptuele breukenkennis (Azim, 1995; Newton, 2008; Rizvi & Lawson, 2007; Toluk-Uçar, 2009). Wat betreft de conceptuele breukenkennis, is het subconstruct deel-geheel beter gekend dan de andere subconstructen (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2006; Clarke, Roche, & Mitchel, 2007; Martinie, 2007), uitgezonderd het subconstruct ratio. Het subconstruct ratio scoort namelijk beter dan alle andere subconstructen. Het subconstruct maat/interval wordt daarentegen minder beheerst dan de andere subconstructen. Tenslotte heeft het opleidingsjaar, geslacht en de onderwijsvorm geen effect op de procedurele breukenkennis. Enkel het geslacht heeft een effect op de conceptuele breukenkennis: jongens presteren hierin beter dan meisjes. Veel onderzoek concentreert zich op de breukenkennis bij leerlingen, weinig onderzoek is voorhanden wat de breukenkennis van (toekomstige) leraren betreft. De bevindingen uit dit onderzoek overlappen voor een groot deel met de bevindingen die werden vastgesteld uit onderzoeken over de breukenkennis bij leerlingen. Toekomstige leraren lager onderwijs blijken net als leerlingen (Aksu, 2001; Hongyu; 2008) te beschikken over een onvoldoende conceptuele breukenkennis. Een vervolgonderzoek dat nagaat of deze bevindingen voor een deel de bevindingen bij leerlingen kunnen verklaren, kan boeiend zijn. De volgende vraag kan hierbij centraal staan: leidt de mindere breukenkennis van leraren tot de mindere breukenkennis bij leerlingen? Een bedenking bij dit onderzoek kan de relatief korte tijd zijn waarin de breukenkennis van de toekomstige leraren werd gemeten. De breukentest geeft een goed zicht op de breukenkennis, maar dit beeld over de breukenkennis kan onvolledig zijn. Zoals in de literatuur werd belicht, bestaat de wiskundige kennis van een leraar niet enkel uit de kennis over de wiskundige inhoud. De pedagogische kennis van een leraar is eveneens belangrijk worden (Hill, Sleep, Lewis, & Ball, 2007). Kwalitatief onderzoek kan dus zeker een meerwaarde betekenen bij het nagaan van de breukenkennis van leraren lager onderwijs. Een mogelijke aanzet tot verder onderzoek hierbij is de breukentest koppelen aan een interview met de (toekomstige) leraren. Ook een lesobservatie omtrent breuken, gecombineerd met de breukentest, kan het beeld over de breukenkennis van toekomstige leraren lager onderwijs beter vorm geven. Op die manier wordt ook rekening gehouden met de pedagogische kennis van de leraar. Hill, Sleep, Lewis, & Ball (2007) pleiten er voor om wiskundige kennis ook te meten tijdens het lesgeven. Een combinatie van meerdere testmethodes is hier dus aan te raden, wat in dit onderzoek praktisch niet mogelijk was. 33

36 Tot slot werd er in dit onderzoek enkele toekomstige leraren lager onderwijs bevraagd. Verder onderzoek kan zich dus toespitsen op de bevraging van leraren lager onderwijs die reeds in het vak staan. 34

37 7. Geraadpleegde literatuur Aksu, M. (1997). Student performance in dealing with fractions. Journal of Educational Research, 90, Azim, D.S. (Eds.). (1995). Preservice elementary teachers understanding of multiplication involving fractions. Proceedings of the Seventeenth Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education. Columbus, Ohio Ball, D.L. (1990a). Prospective elementary and secondary teachers understanding of division. Journal for Research in Mathematics Education, 21 (2), Ball, D.L. (1990b). The mathematical understandings that prospective teachers bring to teacher education. The Elementary School Journal, 90 (4), Ball, D.L. (1991). Research on teaching mathematics: making subject matter knowledge part of the equation. Advances in Research on Teaching, 2, Ball, D.L., Lubienski, S.T., & Mewborn, D.S. (2001). Research on teaching mathematics: the unsolved problem of teachers mathematical knowledge. In V. Richardson (Ed.), Handbook of research on teaching (pp ). New York: Macmillan. Ball, D.L., & McDiarmid, G.W. (1990). The subject matter preparation of teachers. In W.R. Houston (Ed.), Handbook on research of teacher education (pp ). New York: Macmillan. Ball, D.L., Thames M.H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education, 59 (5), Baroody, A.J. (2003). The development of adaptive expertise and flexibility: The integration of conceptual and procedural knowledge. In A. J. Baroody & A. Dowker (Eds.), The development of arithmetic concepts and skills: Constructing adaptive expertise (pp. 1-33). Mahwah, NJ: Erlbaum. Behr, M.J., Harel, G., Post, T., & Lesh, R. (1993). Rational numbers: Toward a semantic analysisemphasis on the operator construct. In T.P. Carpenter, E. Fennema and T.A. Romberg (Eds.), Rational Numbers: An Integration of Research (pp ). New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates. 35

38 Borko, H., Eisenhart, M., Brown, C.A., Underhill, N.G., Jones, D., & Agard, P.C. (1992). Learning to teach hard mathematics: do novice teachers and their instructors give up too easily? Journal for Research in Mathematics Education, 23 (3), Brown, G. & Quinn, R.J. (2006). Algebra students difficulty with fractions: an error analysis. Australian Mathematics Teacher, 62 (4), Bulgar, S. (2003). Childrens sense-making of division of fractions. Journal of Mathematical Behavior, 22, Charalambous, C. Y., & Pitta-Pantazi, D. (2006). Drawing on a Theoretical Model to Study Students Understandings of Fractions. Educational Studies in Mathematics, 64, Clarke, D. (2006). Fractions as division: the forgotten notion? Australian Primary Mathematics Classroom, 11 (3), Clarke, D., Roche, A., & Mitchell, A. (2007). Year six fraction understanding: A part of the whole story. In J. Watson & K. Beswick (Eds.), Proceedings of the 30th annual conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia (pp ). Hobart: Merga. de Castro, B. V. (2004). Pre-service teachers mathematical reasoning as an imperative for codified conceptual pedagogy in algebra: a case study in teacher education. Asia Pacific Education Review, 5 (2), Fennema, E., & Franke, M. L. (1992). Teachers' knowledge and its impact. In Grouws, D. A. (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp ). New York: Macmillan Publishing Company. Fischbein, E., Deri, M., Nello, M.S., & Marino, M.S. (1985). The role of implicit models in solving verbal problems in multiplication and division. Journal for Research in Mathematics Education, 16 (1), Fraser, C., Murray, H., Hayward, B., & Erwin, P. (2004). The development of the common fraction concept in Grade Three learners. Pythagoras, 59, Goulding, M., Rowland, T., & Barber, P. (2002). Does it matter? Primary teacher trainees subject knowledge in mathematics. British Educational Research Journal, 28 (5), Grossman, P.L., Wilson, S.M., & Shulman, S.L. (1989). Teachers of substance: subject matter knowledge for teaching. In M.C. Reynolds (Ed.), Knowledge base for the beginning teacher (pp ). New York: Pergamon Press. 36

39 Hannula, M.S. (2003). Locating fraction on a number line. In N.A. Pateman, B.J. Dougherty & J. Zilliox (Eds.), Proceedings of the 2003 Joint Meeting of the PME and PMENA (pp ). Hawaii: University of Hawaii. Hartnett, P., & Gelman, R. (1998). Early understandings of numbers: paths or barriers to the construction of new understandings? Learning and instruction, 8 (4), Hasemann, K. (1981). On difficulties with fractions. Educational Studies in Mathematics, 12, Hecht, S.A. (1998). Toward an information-processing account of individual differences in fractions skills. Journal of Educational Psychology, 90 (3), Hill, H.C., & Ball, D.L. (2009). The curious and crucial case of mathematical knowledge for teaching. Phi Delta Kappan, 91 (2), Hill, H.C., Rowan, B., & Ball, D.L. (2005). Effects of Teachers Mathematical Knowledge for Teaching on Student Achievement. American Educational Research Journal, 42, Hill, H.C., Schilling, S.G., & Ball, D.L. (2004). Developing measures of teachers mathematics knowledge for teaching. Elementary School Journal, 105, Hill, H.C., Sleep, L., Lewis, J.M., Ball, D.B. (2007). Assessing teachers mathematical knowledge. What knowledge matters and what evidence counts? In Grouws, D. A. (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp ). New York: Macmillan Publishing Company. Hongyu, S. (2008). A study of seventh-grade students learning fractions in China. Retrieved from Kennedy, M. (1998). Education reform and subject matter knowledge. Journal of Research in Science Teaching, 35 (3), Kieren, T.E. (1993). Rational and fractional numbers: From quotient fields to recursive understanding. In T.P. Carpenter, E. Fennema & T.A. Romberg (Eds.), Rational Numbers: An Integration of Research (pp ). New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates. Kilpatrick, J., Swafford, J., & Findell, B. (2001). Adding it up: helping children learn mathematics. Washington: National Academy Press. Lamon, S.J. (1999). Teaching Fractions and Ratios for Understanding: Essential content knowledge and instructional strategies for teachers. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates. 37

40 Leinhardt, G., & Smith, D. (1985). Expertise in mathematics instruction: Subject matter knowledge. Journal of Educational Psychology, 77(3), Ma, L. (1999). Knowing and teaching elementary mathematics. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates. Maharaj, A., Brijlall, D., & Molebale, J. (2007). Teachers views of practical work in the teaching of fractions: a case study. South African Journal of Education, 27, Martinie, S.L. (2007). Middle school rational number knowledge (Doctoral dissertation, University of Kansas, 2007). Dissertation Abstracts International, 68(04), National Council of Teachers of Mathematics (NTCM). (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston, VA: Author. National Center for Educational Statistics (2000). The NAEP 1999 Long Term Trend Mathematics Summary Data Tables for Age 17 Student. Retrieved from Newstead, K., & Murray, H. (1998). Young students constructions of fractions. Proceedings of the Twenty-second International Conference for the Psychology of Mathematics Education, 3, Stellenbosch, South-Africa. Newton, K. J. (2008). An extensive analysis of preservice elementary teachers knowledge of fractions. American Educational Research Journal, 45, Nunes, T., Bryant, P., Hurry, J., & Pretzlik, U. (2006). Fractions: difficult but crucial in mathematics learning. Teaching and Learning Research Programme, 13, 1 4. Pitta-Pantazi, D., Gray, E. M., & Christou, C. (2004). Elementary school students mental representations of fractions. Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 4, Post, T., Cramer, K., Behr, M., Lesh, R., & Harel, G. (1993). Curriculum implications of research on the learning, teaching and assessing of rational number concepts. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp ). New Jersey: Lawrence Erlbaum. Prediger, S. (2006).Continuities and discontinuities for fractions: a proposal for analyzing in different levels. In J. Novotná, H. Moraová, M. Krátká & N. Stehlíková (Eds.), Proceedings 30th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp ). Prague: PME. 38

41 Prediger, S. (2008). The relevance of didactic categories for analyzing obstacles in conceptual change: Revisiting the case of multiplication of fractions. Learning and Instruction, 18, Rittle-Johnson, B., Siegler, R.S., & Alibali, M.W. (2001). Developing conceptual understanding and procedural skill in mathematics: an iterative process. Journal of Educational Psychology, 93 (2), Rizvi, N.F., & Lawson, M.J. (2007). Prospective teachers knowledge: concept of division. International Eduaction Journal, 8 (2), Saenz-Ludlow, A. (1995). Ann s fraction schemes. Educational Studies in Mathematics, 28, Shulman, L.S. (1986). Those who understand: knowledge growth in teaching. Educational Researcher, 15 (2), p Simons, M.A. (1996). Prospective elementary teachers knowledge of division. Journal for Research in Mathematics Education, 24 (3), Sowder, J.T. (2007). The mathematical education and development of teachers. In Lester, F.K. (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and learning: a project of the National Council of Teachers of Mathematics (pp ). Charlotte, NC: Information Age Publishing. Sowder, J.T., Philipp, R.A., Armstrong, B.E., & Schappelle, B.P. (1998). Middle-grade teachers mathematical knowledge and its relation to instruction: A research monograph. Albany: State University of New York Press. Stafylidou, S., & Vosniadou, S. (2004). The development of students understanding of the numerical value of fractions. Learning and Instruction, 14, Tirosh, D. (2000). Enhancing prospective teachers knowledge of children s conceptions: the case of division of fractions. Journal for Research in Mathematics Education, 31 (1), Toluk-Uçar, Z. (2009). Developing pre-service teachers understanding of fractions through problem posing. Teaching and Teacher Education, 25, Tzur, R., & Timmerman, M. (1997). Why do we invert and multiply? Elementary teachers struggle to conceptualize division of fractions. In J. A. Dossey, J. O. Swafford, M. Parmantie & A. E. Dossey (Eds.), Proceedings of the 19th Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp ). Bloomington- Normal, IL: Eric Clearinghouse for Science, Mathematics, and Environmental Education. 39

42 Vamvakoussi, X., & Vosniadou, S. (2004). Understanding the structure of the set of rational numbers: a conceptual change approach. Learning and instruction, 14, Van de Walle, J.A. (2007). Elementary and middle school mathematics: teaching developmentally (6 th edition). Boston: Allyn & Bacon. Van Steenbrugge, H., Valcke, M., & Desoete, A. (2010). Mathematics learning difficulties in primary education: teachers' professional knowledge and the use of commercially available learning packages. Educational Studies, 36 (1), Verschaffel, L., Janssens, S., & Janssen, R. (2005). The development of mathematical competence in Flemish preservice elementary school teachers. Teaching and Teacher Education, 21, vom Hofe, R., Kleine, M., Blum, W., & Pekrun, R. (2005). On the Role of Grundvorstellungen for the Development of Mathematical Literacy. In M. Bosch (ed.), Proceedings of the fourth Congress of European Society for Research in Mathematics Education (pp ). Barcelona: Universitat Ramon Llull. Vosniadou, S. (2004). Extending the conceptual change approach to mathematics learning and teaching. Learning and instruction, 14, Vygotsky, L.S. (1987). Thinking and speech. In R.W. Rieber & A.S. Carton (Eds.), The collected words of L.S. Vygotsky: Volume 1 problems of general psychology (pp ). New York: Plenum Press. (Original work published 1934). Yoshida, K. (2004). Understanding how the concept of fractions develops: a Vygotskian perspective. Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 4, Zhou, Z., Peverley, S. T., & Xin, T. (2006). Knowing and teaching fractions: a cross-cultural study of American and Chinese mathematics teachers. Contemporary Educational Psychology, 31,

43 8. Bijlagen 8.1. Breukentest Naam:.. Geslacht: M V Leeftijd:... Richting laatste jaar secundair onderwijs:. 41

44 1) Welk van de volgende schema s komt overeen met de breuk 2? Omcirkel de juiste letter. 3 2) Wie krijgt meer pizza: de meisjes of de jongens?. 3) Kleur telkens in de tekening rechts de equivalente breuk van de tekening links. Voorbeeld: 1 2 wordt links voorgesteld, rechts wordt dan 2 4 van de cirkel gekleurd (1 2 = 2 4 ). 1 2 voorbeeld 2 4 4) Beantwoord volgende vragen zonder papier te gebruiken. Hoeveel is: a) Één tweede van zes.. b) Één vijfde van tien.. c) Twee derde van negen.. d) Één derde van de helft.. 42

45 5) Beslis of volgende bewering juist (J) of fout (F) is: 2 is gelijk aan het quotiënt van de 3 deling 2 gedeeld door 3. J F 6) Er worden 3 pizza s gelijk verdeeld onder enkele vrienden. Als elke vriend 3 5 van de pizza s krijgt, hoeveel vrienden zijn er dan? 7) Duid negen derden en elf zesden aan op de volgende getallenas: 8) In de tabel vind je 5 breuken. Kruis aan waar elke breuk zich het dichtst bij bevindt: bij 0, 1 of ) Welk deel van de grote driehoek stelt het grijze deel voor? 1 10) Als de volgende rechthoek 2 van een figuur voorstelt, vervolledig dan hieronder de hele 3 figuur. 43

46 11) Hanna en Jonas gebruiken de volgende figuren om twee breuken te vergelijken. Hanna zegt dat 7 7 groter is dan 4 4 aangezien het meer delen heeft. Jonas zegt dat 4 4 groter is dan 7 7 aangezien de delen groter zijn. Wie heeft er gelijk? Geef kort uitleg bij jouw antwoord. 12) De proportie van het gekleurde deel in deze rechthoek komt ongeveer overeen met de proportie van het gekleurde deel in een cirkel. Welke cirkel? Omcirkel de juiste letter. 13) 3 pizza s worden gelijk verdeeld onder 5 meisjes. Hoeveel pizza krijgt elk meisje? 14) Welke van de volgende antwoorden stelt een deling voor? Je kan meer dan 1 antwoord omcirkelen. 44

47 15) Als de voorstelling is van 2 5 van een set knikkers, teken dan de hele set knikkers in het kader. 16) Gebruik deze figuur om volgende vragen op te lossen: a) Welk deel van het totaal aantal van de objecten in deze figuur vormen de driehoeken? b) Welk deel van de driehoeken in deze figuur, stellen deze twee driehoeken voor?.. 17) ZONDER een bewerking uit te voeren, beslis of deze uitspraken juist of onjuist zijn. Omcirkel telkens juist (J) of fout (F). a) Als we een getal delen door 4 en dit resultaat vermenigvuldigen met 3, dan krijgen we hetzelfde resultaat wanneer we dit getal zouden vermenigvuldigen met 3. 4 J F b) Als we een getal delen door 7 en dit resultaat vermenigvuldigen met 28, dan krijgen we hetzelfde resultaat wanneer we dit getal zouden vermenigvuldigen met 1 4. J F c) Als we een getal delen door 4 en dit resultaat vermenigvuldigen met 2, dan krijgen we hetzelfde resultaat wanneer we dit getal zouden delen door 2 4. J F 18) Welk deel van de stippen is zwart? 45

48 19) Bram en Olivier maken limonade. Welke limonade zal zoeter zijn, als ze volgende recepten gebruiken? Omcirkel telkens de juiste letter. a) Bram: 2 lepels suiker voor elke 5 glazen limonade Olivier: 1 lepel suiker voor elke 7 glazen limonade A. Brams limonade is zoeter. B. Oliviers limonade is zoeter. C. Beide limonades zijn even zoet. D. Er is niet genoeg informatie om deze vraag te beantwoorden. b) Bram: 2 lepels suiker voor elke 5 glazen limonade. Olivier: 4 lepels suiker voor elke 8 glazen limonade. A. Brams limonade is zoeter. B. Oliviers limonade is zoeter. C. Beide limonades zijn even zoet. D. Er is niet genoeg informatie om deze vraag te beantwoorden. 20) Beantwoord volgende vraag. Leg daarna uit hoe je aan jouw antwoord komt. Met hoeveel keer moeten we 9 vermenigvuldigen om 15 te bekomen? 21) Schrijf voor elk getal een passende breuk. Getal 0,5 0,25 1,75 0,1 1,333 Breuk 22) Bevindt er zich een breuk tussen 1 8 en 1? Zoja, geef een voorbeeld ) Teken hieronder een getallenas en duid 2 3 aan. 46

49 24) ZONDER een bewerking uit te voeren, omcirkel het juist antwoord dat de beste schatting voorstelt van de volgende bewerking met breuken. a) ( 6 x ) x ( 4 x ) = A. Het product bevindt zich tussen 0 en 5. B. Het product bevindt zich tussen 5 en 10. C. Het product bevindt zich tussen 10 en 15. D. Het product bevindt zich tussen 15 en 20 E. Geen enkele van de antwoordmogelijkheden is juist. b) ( 5 x ) + ( 4 x ) = A. De som is kleiner dan 3. B. De som bevindt zich tussen 3 en 3 ½. C. De som bevindt zich tussen 3 ½ en 4. D. De som is groter dan 4. 25) Duid het cijfer 1 aan op de volgende getallenassen: 26) Vorm met volgende cijfers telkens wat er gevraagd wordt. a) Vorm een breuk die zo dicht mogelijk bij één ligt... b) Vorm een breuk die zo dicht mogelijk bij nul ligt... 47

50 27) Peter bakt 14 lekkere appeltaarten. Hij verdeelt deze taarten onder 6 vrienden. Hoeveel krijgt elke vriend? 28) Kleur 3 van de volgende rechthoek. 4 29) Bekijk deze figuur en los volgende vragen op. a) Welk deel van de cirkel stelt B voor? b) Welk deel van de cirkel stelt D voor? 30) Piet en Marie maken fruitsap voor hun feest. Hieronder zie je de twee recepten die ze hebben gebruikt. Welk recept zal het sap het meest oranje maken?.. Recept 1: 2 kopjes geconcentreerd sap 5 kopjes water Recept 2: 4 kopjes geconcentreerd sap 8 kopjes water 31) a) De volgende figuur stelt een machine voor die telkens 2 3 geeft van wat je inbrengt. Wat zal de machine geven als wat je ingeeft gelijk is aan 12?. b) Deze machine geeft 1 van wat je inbrengt. Wat zal de machine geven als wat 4 je ingeeft gelijk is aan 48?. 32) Welk van de volgende zijn getallen? Je kunt meerdere getallen omcirkelen. 48