Instructie voor Docenten. Hoofdstuk 14 VERDER REKENEN MET KOMMAGETALLEN

Transcriptie

1 Instructie voor Docenten Hoofdstuk 14 VERDER REKENEN MET KOMMAGETALLEN

2 Instructie voor docenten H14: VERDER REKENEN MET KOMMAGETALLEN DOELEN VAN DIT HOOFDSTUK: Leerlingen leren via verschillende manieren kommagetallen zonder rekenmachine te vermenigvuldigen. Leerlingen maken daarbij gebruik van hun begrip van vermenigvuldigen als oppervlakte en hun begrip van de structuur van het tientallig stelsel. Dit begrip wordt hierdoor verder verstevigd. H14.1 VERMENIGVULDIGEN ALS OPPERVLAKTE Sheet 4 2,3 5,6 =? Met deze vraag kunnen leerlingen hun eigen strategie laten bepalen. Dit kan op verschillende manieren. De inventarisatie geeft inzicht in de verschillende niveaus van je leerlingen. Door de context worden leerlingen op het been gezet van oppervlakte. Een deel van de leerlingen zal deze opgave ook kaal kunnen oplossen. 5,6 m 2,3 m Sheet 5 2,3 m = 23 dm 5,6 m = 56 dm Op deze slide herhalen we het gegeven dat 1 m² gelijk is aan 100 dm². Bij muisklik zal over het oppervlak van de tuin een raster zichtbaar worden met decimeters. Het laat zien dat de oppervlakte gelijk blijft wanneer we van eenheid wisselen. Hierdoor ontstaat nu een som zonder kommagetallen: De leerlingen kunnen zelf nadenken over wat dit betekent voor de som 5,6 2,3. Sheet 6 5,6 m 2,3 m = 56 dm 23 dm = 1288 dm 2 = 12,88 m 2 5,6 m 5,6 10 = 56 2,3 10 = = 12,88 = 56 dm Op deze slide wordt uitgelegd hoe de sommen 5,6 2,3 en met elkaar verbonden zijn in de context van oppervlakte een maatwissel. Op deze manier wordt zichtbaar hoe de truc die sommige leerlingen hebben geleerd precies werkt: eerst haal je de komma s weg, daarna zet je de komma terug met het totaal aantal decimalen dat in de oorspronkelijke som zat. 2,3 m = 23 dm Sheet 7 3,2 0,54 =? 3,2 m = 320 cm Op deze slide wordt uitgelegd hoe de sommen 5,6 2,3 en met elkaar verbonden zijn in de context van oppervlakte een maatwissel. Op deze manier wordt zichtbaar hoe de truc die sommige leerlingen hebben geleerd precies werkt: eerst haal je de komma s weg, daarna zet je de komma terug met het totaal aantal decimalen dat in de oorspronkelijke som zat. 0,54 m = 54 cm

3 Sheet 8 3,2 m 0,54 m = 32 dm 5,4 dm = 320 cm 54 cm = cm 2 = 1,728 m 2 3,2 m = 320 cm 3,2 100 = 320 0, = = 1,728 We gaan in deze uitleg verder in de context van de maatwissel. Er kunnen ook leerlingen zijn die vooral het principe toepassen van eerst vermenigvuldigen om de komma s weg te werken en daarna delen door dezelfde factor. Zij kunnen dan met de oplossing via komen. Dat is een heel mooi alternatief op een net iets hoger abstractie niveau om te bespreken. 0,54 m = 54 cm H14.2 VERMENIGVULDIGEN FORMEEL Sheet 10 4,9 1,26 = In deze paragraaf zetten we verschillende manieren van vermenigvuldigen op een rijtje. Met deze opgave kunt u uw leerlingen uitnodigen dit op verschillende manieren te doen. In de volgende slides komen twee manieren aan de orde. Er zijn meer mogelijkheden die u door de leerlingen aan elkaar kunt uitleggen. Zo ontwikkelen zij een flexibel en breed begrip van het vermenigvuldigen. Andere manieren zijn bijvoorbeeld: - de som in stukken te hakken (4,9 1,26 als 4,9 1 en 4,9 1,26 of ,26 + 0, ,9 0,26), - een rijtje vergelijkbare sommen te maken (49 1,29 etc) - compenseren: 4,9 1,26 als 5 1,26 min 0,1 1,26. Sheet 11 Manier 1 Hier pakken we even terug op de manier die we in de vorige paragraaf hebben behandeld, in gegeneraliseerde vorm. 4,9 1,26 = = ,9 1,26 = 6,174 4,9 10 = 49 1, = = = 6,174 Sheet 12 4,9 1,26 = = ,9 1,26 = 6,174 Manier 2 4,9 ligt tussen 4 en 5 1,26 ligt tussen 1 en 2 4,9 1,26 is kleiner dan 5 2 = 10 4,9 1,26 is groter dan 4 1 = 4 Hier rekenen we de opgave zonder komma s uit en maken gebruik van een schatting om de komma terug te plaatsen. Het is van belang dat leerlingen hier begrijpen waarom je op deze manier kunt rekenen. De komma moet dus achter de 6 komen te staan. H14.3 DELEN FORMEEL Sheet 14 10,71 3 = Ook hier nodigen we leerlingen uit om op hun eigen manier deze som uit te rekenen. U kunt deze manieren in de klas met elkaar vergelijken. Een andere mogelijkheid is om aan de leerlingen te vragen zoveel mogelijk verschillende manieren om de som uit te rekenen op te schrijven. Ook die vergelijkt u dan weer met elkaar. In de volgende twee slides lichten we twee daarvan toe. Leerlingen kunnen ook met andere strategieën komen.

4 Sheet 15 10,71 3 = 1071 cent 3 = 357 cent = 3,57 Manier 1 10, = = 3,57 Deze manier sluit aan bij de informele introductie van het vermenigvuldigen van kommagetallen in paragraaf 1. Ook hier worden een bekende maat gebruikt waar leerling heel intuïtief voor een maatwissel kunnen kiezen. Dit generaliseren we weer naar het vermenigvuldigen met een macht van 10 en daar dan later ook weer door delen. Sheet 16 Manier 2 Ook zonder maatwissel kun je redeneren over de uitkomsten van verwante sommen. Dat laten we in deze slide zien. 10,71 3 = = ,71 3 = 3,57 10, = 1071 Dus er is 100 keer zoveel Het antwoord van de deling is 100 keer zo groot Dit antwoord is dus 100 keer zo klein: = 3,57 Sheet 17 Op deze slide bieden we een som aan waarvan de deler een kommagetal is. Maakt het voor de leerlingen uit welke strategie ze dan toepassen? 99 0,3 = Sheet 18 We laten hier zien hoe je ook in dit geval kunt redeneren over de uitkomsten van verwante sommen. 99 0,3 = 99 3 = ,3 = 330 0,3 10 = 3 Je deelt door een 10 keer zo groot getal. Het antwoord van de deling is 10 keer zo klein Dit antwoord is dus 10 keer zo groot: = 330 Sheet We bieden nu een som aan waarvan zowel de deler als het deeltal een kommagetal is. Je kunt hier controleren welke leerlingen in staat zijn redeneringen uit de vorige slides te combineren. 9,18 0,03 = Sheet 21 Nog een laatste opgave waar we parallel aan het vermenigvuldigen van kommagetallen twee strategieën naast elkaar zetten. 34,02 2,7 =

5 Sheet 22 Manier 1: komma terugzetten Deze manier is de generalisatie van de hiervoor aangeboden compensatie strategie bij verwante sommen. 34,02 2,7= 12, ,7 = = keer zo klein 10 keer zo groot Sheet 23 Manier 2: schatten Ook hier kan de opgave zonder komma s worden uitgerekend om vervolgens aan de hand van een schatting van het antwoord de komma terug te plaatsen. 34,02 2,7 = = ,02 2,7 = 12,6 34,02 ligt tussen 33 en 36 2,7 ligt tussen 2 en 3 34,02 2,7 is groter dan 33 3 = 11 34,02 2,7 is kleiner dan 36 2 = 18 De komma moet dus achter de 2 komen te staan. Sheet 24 De rest wordt een breuk Tot slot besteden we nog aandacht aan het delen met rest. Leerlingen hebben dit in het primair onderwijs geleerd. De eenvoudigste manier om het antwoord zonder rest op te schrijven is om van de rest een breuk te maken. Sheet 25 Delen met rest We besteden hier ook aandacht aan het doorzetten van de staartdeling om tot een antwoord in de vorm van een kommagetal te komen. Je kunt er voor kiezen deze manier niet te laten zien wanneer dit niet aansluit bij het niveau van de klas. Je zou er dan voor kunnen kiezen om bijvoorbeeld in geld verder te rekenen en meer aan te sluiten bij het kolomsgewijs delen. H14.4 BETEKENIS VAN DELEN Sheet 27 Verdelen Wat is delen? We herhalen nog de betekenissen die bij delen horen en die in Studyflow tot nu toe aan de orde zijn gekomen voor gehele getallen. Zodat deze in de volgende slides van elk van deze betekenissen een voorbeeld met kommagetallen kunnen geven. Afpassen Terug naar de eenheid Sheet 28 Verdelen Delen als verdelen. Bij kommagetallen zul je dat bijvoorbeeld tegenkomen in de context van geld. Hier besteden we terloops aandacht aan het afronden van geldbedragen. Hoeveel betalen ze per persoon? 25,35 6 = 4,225 Bij geld rond je vaak af op 2 decimalen: 4,25

6 Sheet 29 Afpassen Hoeveel kommetjes kun je vullen? Delen als afpassen. Je komt kommagetallen bijvoorbeeld tegen als de afpas hoeveelheid een kommagetal is. De context van het metriek stelsel ligt hier voor de hand. Hier besteden we terloops aandacht aan het interpreteren van het antwoord en in die context afronden. Bij afpassen zal dat vaak naar beneden zijn. 4,7 liter 0,3 liter 4,7 0,3 = 15,666 De 16 e kom kun je niet meer helemaal vullen. Het antwoord is dus 15 kommetjes Sheet 30 Terug naar de eenheid Delen als terugrekenen naar de eenheid. Hier ligt een parallel met het rekenen met breuken. Daar gebruiken we deze betekenis ook. Verder vallen we hier terug op de tegengestelde bewerkingen en het model dat we daar telkens voor gebruiken. Wat is de kiloprijs?