Beste leerling, We wensen je heel veel succes vandaag en op je examen straks! Namens het team van de Nationale Examentraining,

Transcriptie

1 Trainingsboek Wiskunde A HAVO 205

2 Beste leerling, Welkom op de examentraining Wiskunde A HAVO! Het woord examentraining zegt het al: trainen voor je examen. Tijdens deze training behandelen we de examenstof in blokken en oefenen we ermee. Daarnaast besteden we ook veel aandacht aan de vaardigheden voor je examen; je leert handigheidjes, krijgt uitleg over de meest voorkomende vragen en leert uit welke onderdelen een goed antwoord bestaat. Verder gaan we in op hoe je de stof het beste kunt aanpakken, hoe je verder komt als je het even niet meer weet en vooral ook hoe je zorgt dat je overzicht houdt. Naast de grote hoeveelheid informatie die je krijgt, ga je zelf ook aan de slag met examenvragen. Tijdens dit oefenen zijn er genoeg trainers beschikbaar om je verder te helpen, zodat je leert werken met de goede strategie om je examen aan te pakken. Hierbij is de manier van werken belangrijk, maar je kunt natuurlijk altijd inhoudelijke vragen stellen, ook over de onderdelen die niet klassikaal behandeld worden. De stof die behandeld wordt komt uit de syllabus, die te vinden is op en de oefenvragen zijn gebaseerd op eerdere examenvragen. Ook de eerdere examens zijn te vinden op Voor iedere vraag zijn er uiteraard uitwerkingen beschikbaar, maar gebruik deze informatie naar eigen inzicht. Vergeet niet dat je op je examen ook geen uitwerkingen krijgt. Sommige vragen worden klassikaal besproken, andere vragen moet je zelf nakijken. Na de tips volgt het programma voor vandaag. We verwachten niet dat je alle opgaven binnen de tijd af krijgt, maar probeer steeds zo ver mogelijk te komen. Als je niet verder komt, vraag dan om hulp! Het doel van de training is immers te leren hoe je er wél uit kunt komen. En onthoud goed, nu hard werken scheelt je straks misschien een heel jaar hard werken We wensen je heel veel succes vandaag en op je examen straks! Namens het team van de Nationale Examentraining, Eefke Meijer Hoofdcoördinator Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO 205 2

3 Tips en trics voor voorbereiden en tijdens je examens Examens voorbereiden Tip : Je bent al voor een belangrijk deel voorbereid. Laat je niet gek maken door uitspraken als Nu komt het er op aan. Het examen is een afsluiting van je hele schoolperiode. Je hebt er dus jaren naartoe gewerkt en hebt in die tijd genoeg kennis en kunde opgedaan om examen te kunnen doen. In al die jaren ben je nooit wakker geworden om vervolgens te ontdekken dat al je Engelse kennis was verdwenen. De beste garantie voor succes is voorbereiden, en dat is nu net wat je al die jaren op school hebt gedaan. Tip 2: Maak een planning voor de voorbereiding die je nog nodig hebt. Deze voorbereidingen bestaan uit twee onderdelen: leren en vragen oefenen. Als je hiermee aan de slag gaat, plan dan niet teveel studie-uren achter elkaar. Pauzes zijn noodzakelijk, maar zorg ervoor dat ze kort blijven, anders moet je iedere keer opnieuw opstarten. Wissel verschillende taken en vakken af, want op die manier kun je je beter concentreren. Wat je concentratie (en je planning) ook ten goede komt, is leren op vaste tijdstippen. Je hersenen zijn dan na een paar keer voorbereid op die specifieke activiteit op dat specifieke moment. Tip 3: Leer op verschillende manieren (lezen, schrijven, luisteren, zien en uitspreken) Alleen maar lezen in je boek verandert al snel naar staren in je boek zonder dat je nog wat opneemt. Wissel het lezen van de stof in je boek dus af met het schrijven van een samenvatting. Let op dat je in een samenvatting alleen belangrijke punten overneemt, zodat het ook echt een samenvatting wordt. Veel docenten hebben tegenwoordig een eigen youtube-kanaal. Maak daar gebruik van, want op die manier komt de stof nog beter binnen omdat je er naar hebt kunnen luisteren. Met mindmaps zorg je er voor dat je de stof voor je kunt zien en kunt overzien. Het werkt tot slot heel goed om de stof aan iemand uit te leggen die de stof minder goed beheerst dan jij. Door uit te spreken waar de stof over gaat merk je vanzelf waar je nog even in moet duiken en welke onderdelen je prima beheerst. Tip 4: Leer alsof je examens zit te maken Oefenen voor je examen bestaat natuurlijk ook uit het voorbereiden op de situatie zelf. Dit betekent dat je je leeromgeving zoveel mogelijk moet laten lijken op je examensituatie. Zorg dus voor zo min mogelijk afleiding (lees: leg je telefoon een uurtje weg), maak je tafel zo leeg mogelijk. Je traint op deze manier je hersenen om tijdens je echte examensituatie niet veel aandacht aan de omgeving (en het gemis van je telefoon) te hoeven besteden. Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO 205 3

4 Zorg voor jezelf! Tip : Verdiep je in ontspanningstechnieken Rust in je hoofd is van groot belang tijdens het leren. Sommigen weten dit prima uit zichzelf voor elkaar te krijgen, maar anderen kost dit wat meer moeite. Gelukkig zijn hier trucs voor, die we ontspanningsoefeningen noemen. Ademhalingsoefeningen kunnen al genoeg zijn maar ook yoga helpt je zeker om tot rust te komen. Voor deze ontspanningsoefeningen hoef je geen uren uit te trekken, 0 minuten is al voldoende. Sporten kan ook een goede ontspanningstechniek zijn, al kost dat natuurlijk meer tijd. Bijkomend voordeel is dan wel weer dat je beter kunt denken (en dus leren) als je fit bent. Tip 2: Vergeet niet te slapen Chinese en Amerikaanse onderzoekers hebben ontdekt waarom slapen goed is voor je geheugen. Tijdens je slaap worden er namelijk nieuwe synapsen opgebouwd. Dit zijn verbindingen tussen je hersencellen. Hoewel het onderzoek is uitgevoerd bij muizen, zeggen de onderzoekers dat ook stampende scholieren hier een les uit kunnen trekken: Langdurig onthouden lukt beter als je na het leren gaat slapen, in plaats van eindeloos door te blijven leren. Want, muizen die een uurtje leerden en daarna gingen slapen haalden betere resultaten dan muizen die drie uur trainden en daarna wakker gehouden werden. Tip3: Let op wat je eet Het onderzoek naar het verband tussen voeding en geheugen staat weliswaar nog in de kinderschoenen, toch zijn er al belangrijke, handige zaken uit naar voren gekomen. En waarom zou je daar geen gebruik van maken? Zo is het inmiddels duidelijk dat je hersenen veel energie nodig hebben in periodes van examens, dus ontbijt elke dag goed. Let dan wel op wat je eet, want brood, fruit en pinda s leveren meer langdurige energie dan koekjes. Koffie, thee en sigaretten hebben geen positief effect op je geheugen, dus vermijd deze zaken zo veel mogelijk. En dan het examen zelf En dan is de dag gekomen. Je zit in de gymzaal, het ruikt een beetje vreemd, je voelt je een beetje vreemd. De docent of misschien zelfs wel de rector begint te gebaren en dan begint het uitdelen. Dan het grote moment: je mag beginnen. Tip : Blijf rustig en denk aan de strategieën die je hebt geleerd Wat doe je tijdens het examen? - Rustig alle vragen lezen - Niet blijven hangen bij een vraag waar je het antwoord niet op weet - Schrijf zoveel mogelijk op maar. voorkom wel dat je onzinverhalen gaat schrijven. Dat kost uiteindelijk meer tijd dan dat het je aan punten gaat opleveren. - Noem precies het aantal antwoorden, de redenen, de argumenten, de voorbeelden die gevraagd worden. Schrijf je er meer, dan worden die niet meegerekend en dat is natuurlijk zonde van de tijd. - Vul bij meerkeuzevragen duidelijk maar één antwoord in. Verander je je antwoord, geef dit dan duidelijk aan. Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO 205 4

5 - Ga je niet haasten, ook al voel je tijdsdruk. Tussendoor even een mini-pauze nemen en je uitrekken is alleen maar goed voor je concentratie. En het helpt ook om stijve spieren te voorkomen. - Heb je tijd over? Controleer dan of je volledig antwoord hebt gegeven op álle vragen. Hoe saai het ook is, het is belangrijk, je kunt immers gemakkelijk per ongeluk een (onderdeel van een) vraag overslaan. Tip 2: Los een eventuele black-out op met afleiding Mocht je toch een black-out krijgen, bedenk dan dat je kennis echt niet verdwenen is. Krampachtig blijven nadenken versterkt de black-out alleen maar verder. Het beste is om even iets anders te gaan doen. Ga even naar de WC, rek je even uitgebreid uit. Als je goed bent voorbereid, zit de kennis in je hoofd en komt het vanzelf weer boven. En mocht het bij die ene vraag toch niet lukken, bedenk dan dat je niet alle vragen goed hoeft te hebben om toch gewoon je examen te halen. Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO 205 5

6 Programma Blok Blok 2 Blok 3 Blok 4 Blok 5 Blok 6 Blok 7 Blok 8 Inleiding Algebraïsche vaardigheden Lineaire functies Exponentiële verbanden Formules met twee of meer variabelen Tellen en kansen Binomiale verdeling Normale verdeling Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO 205 6

7 Welkom op de examentraining Havo wiskunde A Dagprogramma Blok Blok 2 Blok 3 Blok 4 Blok 5 Blok 6 Blok 7 Blok 8 Inleiding Algebraïsche vaardigheden Lineaire functies Exponentiële verbanden Formules met twee of meer variabelen Tellen en kansen Binomiale verdeling Normale verdeling Blok : Inleiding Aanpak Voorbereiding Uitvoering Controle Aanpak van een examenopgave Niet: opgave lezen, beginnen met rekenen en we zien wel waar we eindigen...! Wel: structuur en rust! Voorbereiding Uitvoering Controle Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO 205 7

8 Blok : Inleiding Aanpak Voorbereiding Uitvoering Controle Voorbereiding Actief lezen: begrijp je ook wat er staat? Informatie selecteren: wat is relevant en wat niet? Antwoord bepalen: wat wordt gevraagd, met welke significantie en eenheid, wat weet je al over het antwoord? Plan van aanpak: hoe kom je van wat gegeven is naar wat gevraagd wordt? Blok : Inleiding Aanpak Voorbereiding Uitvoering Controle Uitvoering Zorgvuldig werken: kleine foutjes zijn onnodig! Tussenstappen noteren: laat zien wat je doet! Zo min mogelijk afronden: doorrekenen met nietafgeronde gegevens, bijvoorbeeld via de ANS-knop op je grafische rekenmachine. Blok : Inleiding Aanpak Voorbereiding Uitvoering Controle Controle Vraag beantwoord? Lees de vraag nog eens en kijk naar je antwoord. Klopt je vermoeden? Kijk of wat je onder 'voorbereiding' over het antwoord hebt opgeschreven inderdaad klopt. Is het zinnig? Denk even logisch na over je antwoord... Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO 205 8

9 Blok 2: Algebraïsche vaardigheden Volgorde Breuken Omschrijven Oplossen Volgorde van bewerkingen. Haakjes 2. Machten en wortels 3. Vermenigvuldigen en delen 4. Optellen en aftrekken Blok 2: Algebraïsche vaardigheden Volgorde Breuken Omschrijven Oplossen Rekenen met breuken Vermenigvuldigen: teller keer teller, noemer keer noemer. Optellen: indien nodig eerst gelijknamig maken, dus dezelfde noemer; daarna teller plus teller en de noemer blijft gelijk. Blok 2: Algebraïsche vaardigheden Volgorde Rekenen Omschrijven Oplossen Omschrijven van een formule Druk A uit in B betekent: werk naar A = B toe. Begin is vaak B = A, dus alles 'naar de andere kant'. Houd rekening met volgorde van bewerkingen! Let op: doe alle stappen aan beide kanten! Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO 205 9

10 Blok 2: Algebraïsche vaardigheden Volgorde Breuken Omschrijven Oplossen Oplossen van een lineaire vergelijking Twee vergelijkingen gelijkstellen. Alles met de variabele naar de ene kant, alles met getallen naar de andere kant. Werk door tot x = Blok 3: Lineaire verbanden Algemene vorm Grafiek Formule opstellen Algemene vorm van een lineaire functie y = a x + b a is de richtingscoëfficiënt: de helling van de grafiek. b is het startgetal: het snijpunt met de y-as. Blok 3: Lineaire verbanden Algemene vorm Grafiek Formule opstellen Grafiek De grafiek van een lineaire functie is een rechte lijn Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO 205 0

11 Blok 3: Lineaire verbanden Algemene vorm Grafiek Formule opstellen Formule opstellen van een lineaire functie. Algemene vorm: y = a x + b 2. Zoek twee punten (in grafiek, tabel, tekst...). 3. Bereken a: r.c. = Δy / Δx = (y 2 y ) / (x 2 x ) 4. Bereken b: één van de punten invullen. 5. Resultaat opschrijven. Blok 4: Exponentiële verbanden Algemene vorm Grafiek Groeifactor Omrekenen Algemene vorm van een exponentiële functie N = b g t g is de groeifactor: de stijging van de grafiek. b is het startgetal: het snijpunt met de y-as. Verdubbelingstijd Blok 4: Exponentiële verbanden Algemene vorm Grafiek Groeifactor Omrekenen Grafiek De grafiek van een exponentïele functie is toenemend stijgend of afnemend dalend Verdubbelingstijd Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO 205

12 Algemene vorm Blok 4: Exponentiële verbanden Grafiek Groeifactor bepalen Groeifactor Omrekenen Verdubbelingstijd Als er een groeipercentage gegeven is: bij toename: g = + (toename in %) / 00 bij afname: g = (afname in %) / 00 Als er twee punten zijn gegeven: g = nieuw / oud let op: de tijdseenheid die hierbij hoort, is de tijd tussen 'nieuw' en 'oud'! Algemene vorm Blok 4: Exponentiële verbanden Grafiek Groeifactor omrekenen Groeifactor Omrekenen Verdubbelingstijd Bereken de vermenigvuldigingsfactor van de tijd. Dus g van 'per dag' naar 'per week': 7 keer zo groot. Of g van 'per dag' naar 'per uur': /24 keer zo groot. Dan machtsverheffen met de oude groeifactor. In dit geval dus g week = g dag7 en g uur = g dag /24. Groeipercentage omrekenen? Altijd via groeifactor! Algemene vorm Blok 4: Exponentiële verbanden Grafiek Groeifactor Omrekenen Verdubbelingstijd Verdubbelingstijd en halveringstijd uitrekenen De verdubbelingstijd t (de tijd waarin N tweemaal zo groot wordt) bereken je door op te lossen g t = 2. De halveringstijd t (de tijd waarin N tweemaal zo klein wordt) bereken je door op te lossen g t = /2. Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO 205 2

13 Tellen Telproblemen Blok 6: Tellen en kansen Kansen Uit n dingen kies je er k. Rekenregels Stappenplan Verwachting Is de volgorde niet van belang, dan kan dat op n ncr k manieren (combinaties). Is de volgorde wel van belang, dan kan dat op n npr k manieren (permutaties). Alle andere telproblemen los je op door het aantal mogelijkheden met elkaar te vermenigvuldigen. Tellen Kansen Blok 6: Tellen en kansen Kansen Rekenregels Stappenplan Verwachting Algemene definitie: kans = aantal gunstige manieren / totaal aantal manieren Uitkomst: altijd tussen 0 en of tussen 0 % en 00 %. Tellen Blok 6: Tellen en kansen Kansen Rekenregels Rekenregels bij kansrekening Somregel: P(A of B) = P(A) + P(B) Productregel: P(A en B) = P(A) P(B) Complementregel: P(A) = P(niet A) Stappenplan Verwachting Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO 205 3

14 Tellen Blok 6: Tellen en kansen Kansen Rekenregels Stappenplan Verwachting Stappenplan bij kansberekening. Geef iedere uitkomst een letter. 2. Bereken het aantal mogelijke rijtjes. Let op: volgorde van belang? 3. Bereken de kans op één zo'n rijtje. Let op: met of zonder terugleggen? 4. Vermenigvuldig de kans op één zo'n rijtje (zie 3) met het aantal mogelijke rijtjes (zie 2). Tellen Blok 6: Tellen en kansen Kansen Rekenregels Stappenplan Verwachting Verwachtingswaarde en winstverwachting De verwachtingswaarde E is de verwachte gemiddelde uitkomst bij veel herhalingen. Berekenen van verwachtingswaarde:. Maak een kansverdeling (tabel met alle mogelijke uitkomsten met kans op die uitkomst). 2. Vermenigvuldig steeds uitkomst met kans. 3. Tel al deze resultaten bij elkaar op. Let op: waarvan wil je de verwachtingswaarde berekenen? Uitkomst, uitbetaling, winst (dus de winstverwachting)...? Blok 7: Binomiale verdeling Voorwaarden Berekenen Omschrijven Verwachting Voorwaarden voor binomiale verdeling Er is sprake van binomiale verdeling als... de volgorde niet van belang is de kans op succes gelijk blijft ( met terugleggen ) er twee mogelijke uitkomsten zijn: succes of geen succes Wat er binomiaal verdeeld is, noem je X. Bijvoorbeeld: het aantal keer zes gooien met een dobbelsteen, het aantal rode knikkers dat je pakt et cetera. Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO 205 4

15 Blok 7: Binomiale verdeling Voorwaarden Berekenen Omschrijven Verwachting Binomiale kans berekenen Drie dingen spelen een rol: n = het aantal herhalingen van het kansexperiment p = de kans op succes per keer k = het aantal keer dat je (hoogstens) succes wil Berekenen met de grafische rekenmachine (TI) P(X = k) = binompdf (n,p,k) P(X k) = binomcdf (n,p,k) Blok 7: Binomiale verdeling Voorwaarden Berekenen Omschrijven Verwachting Omschrijven van binomiale kansen Niet altijd wordt er gevraagd naar P(X = k) of P(X k). Dan moet je de gevraagde kans eerst omschrijven, soms met de complementregel. Maak hiervoor (een deel van) een getallenlijn! Blok 7: Binomiale verdeling Voorwaarden Berekenen Omschrijven Verwachting Verwachtingswaarde bij binomiale verdeling De verwachtingswaarde bij een binomiale verdeling kan worden berekend met E = n p. Let op: is het geen binomiale verdeling, gebruik dan het stappenplan uit blok 6. Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO 205 5

16 Blok 8: Normale verdeling Gegevens Grafiek Berekenen Gegevens bij een normale verdeling Er is alleen sprake van een normale verdeling als in de opgave staat dat iets (bij benadering) normaal verdeeld is! Vijf gegevens zijn van belang: μ ('mu'): gemiddelde σ ('sigma'): standaardafwijking L: linker grens (bij kleiner dan... : L = ) R: rechter grens (bij groter dan... : R = 0 99 ) p: kans (oppervlakte onder de grafiek) Blok 8: Normale verdeling Gegevens Grafiek Berekenen Grafiek Vul de bekende gegevens zo veel mogelijk in de grafiek in! Blok 8: Normale verdeling Gegevens Grafiek Berekenen Berekeningen bij normale verdeling Er geldt (GR-notatie TI): p = normalcdf(l,r,μ,σ) Van deze vijf zijn er altijd vier bekend. De vijfde kun je berekenen: Is p onbekend, dan vul je op je rekenmachine gewoon normalcdf(l,r,μ,σ) in, de uitkomst is p. Is één van de andere vier onbekend, dan vul je de andere vier gegevens in en los je met 'intersect' de vergelijking op: y = p, y 2 = normalcdf(l,r,μ,σ). Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO 205 6

17 Evaluatie Laat ons weten wat je van de training vond: Enthousiast na deze training? Kijk op voor al je andere vakken Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO 205 7

18 Oefenopgaven bij de blokken In het eindexamen staan opgaven van alle stof door elkaar: van jou wordt namelijk verwacht dat je niet alleen alle stof beheerst, maar ook weet wat je wanneer moet toepassen. Oefen daarom niet alleen aan de hand van onderstaand schema, maar laat je ook eens verrassen! Blok : Inleiding Hier horen geen specifieke opgaven bij, al kun je de hier behandelde stof uiteraard met iedere opgave oefenen! Blok 2: Algebraïsche vaardigheden Opgaven 9, 8, 33, 34, 37, 45, 48, 56, 65 en 8 Blok 3: Lineaire verbanden Opgaven 24, 35, 36, 53, 64, 66, 78, 79, 82 en 83 Blok 4: Exponentiële verbanden Opgaven 25, 26, 43, 44, 46, 47, 54, 67, 68 en 69 Blok 5: Formules met twee of meer variabelen Opgaven 6, 7, 8, 55 en 80 Blok 6: Tellen en kansen Opgaven 0,, 2, 5, 6, 9, 20, 2, 23, 28, 29, 30, 3, 38, 39, 40, 4, 52, 57, 58, 6, 70, 7, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 86 en 89 Blok 7: Binomiale verdeling Opgaven 3, 4, 7, 22, 32, 42, 5, 59, 60, 87 en 88 Blok 8: Normale verdeling Opgaven 49, 50, 62, 63, 84 en 85 Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO 205 8

19 Volumes [2009 I] Een opgeblazen papieren zak heeft, net als een kussen, een speciale vorm. Pas in 2004 is er een formule gevonden waarmee het volume van die vorm kan worden berekend. Van een platte rechthoekige zak of kussen noemen we de kortste zijde a (in dm) en de langste zijde b (in dm). Zie figuur. Het volume V (in liter) van de opgeblazen zak of het kussen kan dan berekend worden met de formule: figuur Hierin is r de verhouding tussen de zijden: Een bedkussen heeft afmetingen van 4 dm bij 6 dm. 3p Bereken het volume van dit kussen. Voor een vierkant kussen met zijden a kan bovenstaande formule vereenvoudigd worden tot. 3p 2 Toon dit aan. Een kussen met een kortste zijde van 3,5 dm heeft hetzelfde volume als een vierkant kussen van 5 bij 5 dm. 5p 3 Bereken de langste zijde van dat kussen. Ook voor vuilniszakken bestaat er een formule om het volume te berekenen. Een volle vuilniszak wordt bovenaan dichtgeknoopt en krijgt daardoor ook een bijzondere vorm. Zie de foto hiernaast. Het volume V (in liter) wordt berekend met: foto Hierin zijn a en b de kortste en de langste zijde (in dm) van een platte, rechthoekige vuilniszak en is x de hoogte van de knoopstrook (in dm). Een vuilniszak met een korte zijde van 6 dm en een knoopstrook van 0,5 dm heeft een volume van 52 liter. 4p 4 Bereken de lange zijde b van de vuilniszak. Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO 205 9

20 Voor vuilniszakken met een korte zijde van 5 dm en een lange zijde van 7,5 dm is het volume lineair afhankelijk van de knoopstrook x. De formule voor het volume van een vuilniszak is dus te schrijven in de vorm. 4p 5 Herleid de formule tot deze vorm. Verf [2009 II] Verf is een bijzondere stof. Wanneer je het aanbrengt, is het vloeibaar, na het drogen is het hard. Verf bestaat namelijk uit vaste stof die opgelost is in een vloeistof die tijdens het drogen verdampt. We noemen het aantal vierkante meters dat met een liter verf geschilderd kan worden het rendement. Het rendement kun je berekenen met de formule: Hierin is: R het rendement (in m 2 /liter); V het percentage vaste stof van de verf; d de dikte van de verflaag (in micrometer; micrometer = 0,00 millimeter). Op een blik verf staat vermeld dat het percentage vaste stof 67 is en dat het rendement 2 m 2 /liter is. 3p 6 Bereken de dikte van de verflaag in micrometer waar de fabrikant blijkbaar van uitgegaan is. Verf van topmerken is per liter duurder dan verf van huismerken van doe-het-zelfzaken. Maar verf van huismerken bevat meestal een kleiner percentage vaste stof dan verf van topmerken. Om te weten welke verf het goedkoopste is, moet je dus niet kijken naar de prijs per liter, maar naar de prijs per vierkante meter aangebrachte verf. Een huismerkverf kost 2 euro per liter en heeft een percentage vaste stof van 30. Verf van een topmerk kost 25 euro per liter en heeft een percentage vaste stof van 40. We vergelijken van beide merken een verflaag van 50 micrometer dikte. 5p 7 Onderzoek welke verf het goedkoopste is. Voordat je met verven begint, wil je natuurlijk weten hoeveel (blikken) verf je nodig hebt. Omgekeerd kun je je ook afvragen hoeveel vierkante meter je kunt verven met één blik verf. Afhankelijk van het soort kwast dat wordt gebruikt, verlies je tussen de 5 en 0 procent van de verf. Het verband tussen deze zaken staat in de volgende formule, waarin ook rekening is gehouden met verlies van verf door gebruik van de kwast: Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO

21 Hierin is: H de hoeveelheid verf (in liter); A de oppervlakte (in m 2 ); d de dikte van de verflaag (in micrometer); V het percentage vaste stof; p het verliespercentage bij kwasten; dit varieert van 5 tot 0. De verf die je wilt gebruiken, wordt verkocht in blikken van 2,5 liter. Op de blikken staat dat het percentage vaste stof 35 is. Je wilt met een kwast een verflaag van 70 micrometer dikte aanbrengen. 4p 8 Bereken hoeveel vierkante meter je met zo n blik verf maximaal kunt schilderen. Iemand heeft 5 liter verf gekocht met een percentage vaste stof van 67. Hij gaat een verflaag van 60 micrometer dikte aanbrengen. Met deze gegevens ingevuld, luidt de formule dan: In deze formule is te zien dat de oppervlakte A die hij met deze hoeveelheid kan verven nu alleen nog afhangt van het verliespercentage p. Het verband tussen A en p is lineair. Bovenstaande formule is dus te herschrijven tot een formule van de vorm. 4p 9 Bereken a en b. Geursorteerproef [2009 II] Een geursorteerproef is een test die moet uitwijzen of de geur op een voorwerp afkomstig van een misdrijf gelijk is aan de lichaamsgeur van een verdachte. Uitgangspunt is dat justitie beschikt over het voorwerp waarmee een misdrijf is gepleegd en waarvan het vermoeden bestaat dat de geur van de verdachte eraan hangt. De proef begint als volgt. Een verdachte krijgt enkele minuten lang twee roestvrijstalen buisjes in handen zodat zijn lichaamsgeur erop achterblijft. Vijf figuranten en een controlepersoon doen hetzelfde. Alle buisjes met lichaamsgeur worden in glazen potjes gestopt en gewaarmerkt met een letter. Vervolgens worden de veertien potjes in twee rijen opgesteld, waarbij in elke rij precies eenmaal een potje van iedere persoon voorkomt. In figuur zie je een voorbeeld van zo n opstelling. Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO 205 2

22 figuur A: controlepersoon B, C, D, E, F: figuranten X: verdachte rij rij 2 7: E 7: B 6: F 6: D 5: X 5: A 4: D 4: C 3: A 3: E 2: B 2: F : C : X 3p 0 Bereken het aantal verschillende opstellingen (waarbij dus in elke rij precies eenmaal een potje van iedere persoon voorkomt). De geursorteerproef vindt plaats met speciaal getrainde honden. Eerst ruikt de hond aan een voorwerp dat controlepersoon A in handen heeft gehad. Als de hond daarna in beide rijen potje A aanwijst, is de hond goedgekeurd. In alle andere gevallen wordt de hond afgekeurd. 4p Toon aan dat een hond die uit iedere rij een willekeurig potje aanwijst (dus zonder te ruiken), een kans van ongeveer 0,98 heeft om afgekeurd te worden. Als de hond is goedgekeurd, worden de twee potjes A weggehaald en kan de echte proef beginnen. De hond mag nu aan het voorwerp ruiken waarmee het misdrijf is gepleegd, waarna het dier de rijen met de overgebleven zes potjes mag besnuffelen. Als de hond in beide rijen het juiste potje aanwijst, geldt dit als bewijs dat de verdachte het misdrijf heeft gepleegd. Bij het willekeurig aanwijzen van potjes is de kans dat de geursorteerproef geldt als bewijs dat de verdachte het misdrijf heeft gepleegd, gelukkig erg klein. De hond moet dan namelijk eerst de beide potjes A kiezen en daarna de beide potjes X. 4p 2 Bereken deze kans. In de praktijk gebruikt men slechts 36 verschillende opstellingen om de potjes in twee rijen te zetten. Er zijn 0 van deze 36 opstellingen die ook gebruikt worden bij het trainen van de honden. Dat zijn de zogeheten trainingsopstellingen. Bij het begin van een geursorteerproef kiest men willekeurig een van de 36 opstellingen. De kans op een trainingsopstelling is dan. Het vermoeden bestaat echter dat men, tegen de regels in, niet altijd willekeurig kiest. Aan de hand van een steekproef van 4 geursorteerproeven stelde een hoogleraar namelijk vast dat er opvallend vaak trainingsopstellingen voorkwamen. Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO

23 2p 3 Bij hoeveel van de 4 geursorteerproeven mag je verwachten dat een van de trainingsopstellingen gebruikt wordt? Licht je antwoord toe. In deze steekproef van 4 geursorteerproeven werden deze trainingsopstellingen 45 keer gebruikt. Dat is veel vaker dan je zou verwachten. Neem aan dat je 4 keer willekeurig een van de 36 opstellingen mag kiezen. 4p 4 Bereken de kans dat de trainingsopstellingen 45 keer of vaker voorkomen. Spelletje [2009 II] In een casino in Brussel kun je een dobbelspel spelen. Het gaat als volgt: je betaalt 30 euro om het spel een keer te spelen; je gebruikt een dobbelsteen met op twee van de zijden een en op vier van de zijden een 0; je mag vier keer gooien met de dobbelsteen; jouw opbrengst is de som van de gegooide getallen in euro s In een spel kan bijvoorbeeld het volgende gebeuren: je gooit een 0, een 0, een en weer een 0. Je opbrengst is dan 3 euro en je winst dus euro. 3p 5 Toon met een berekening aan dat de kans op een opbrengst van 3 euro gelijk is aan of 0,395. In tabel staan de mogelijke winsten van het spel. De bijbehorende kansen zijn voor een deel ook ingevuld. tabel winst (in euro) kans Omdat de kans op winst groter is dan de kans op verlies lijkt dit een aantrekkelijk dobbelspel. Maar, pas op! Het casino hoopt natuurlijk dat je dit spel vaak speelt. En daardoor verdient men dan goed aan je. Daarvoor moet je de verwachtingswaarde maar eens berekenen. 5p 6 Vul tabel verder in en bereken de verwachtingswaarde van de winst per spel. Op een avond speelt Joran dit spel 50 keer, maar voor zijn gevoel verliest hij erg vaak grote bedragen. 4p 7 Bereken de kans dat een verlies van 7 euro in 50 spellen elf keer of meer voorkomt. Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO

24 Anne heeft ooit iets eigenaardigs meegemaakt. Ze speelde op een avond het spel 36 keer. Tijdens deze avond had ze alleen maar opbrengsten van 22 en 40 euro en na afloop had ze een opbrengst van 080 euro (dus geen winst of verlies). Noem A het aantal keer dat haar opbrengst 40 euro is; dan kun je voor haar situatie de volgende vergelijking afleiden: 5p 8 Leid deze vergelijking af en bereken hiermee het aantal keer dat haar opbrengst 40 euro was. Een tenniswedstrijd [200 I] De finale in het herenenkelspel van het tennistoernooi Australian Open van 2007 ging tussen de tennissers Roger Federer en Fernando Gonzalez. Roger Federer won. Hij speelde al negen keer eerder tegen Fernando Gonzalez en al die wedstrijden won hij. Wanneer twee spelers met hetzelfde krachtsverschil als Federer en Gonzalez tegen elkaar spelen, is de kans dat de sterkste de wedstrijd wint, gelijk aan 0,94. We bekijken 0 van dergelijke wedstrijden. 3p 9 Bereken de kans dat de sterkste speler in die 0 wedstrijden 0 keer van de andere speler wint. Voor het vervolg van de opgave is het nodig enkele begrippen vast te leggen. Bij tennis wordt een bal met een racket over een net gespeeld. Bij een wedstrijd moet de bal binnen de speelhelft van de tegenstander worden geslagen. De speler die in een slagenwisseling als laatste een geldige slag doet, krijgt een punt. De bal wordt in het spel gebracht met een service. De speler die dat mag doen, heeft de servicebeurt. De speler mag een mislukte service éénmaal overdoen. Bij een tweede mislukte service is de servicebeurt voorbij en gaat het punt naar de tegenstander. Na afloop stonden op teletekst de statistieken van de wedstrijd. In de tabel is een gedeelte daarvan opgenomen. tabel Federer Gonzalez Totaal aantal servicebeurten Aantal eerste services gelukt Wint punt nadat eerste service gelukt is 82% 69% Aantal tweede services gelukt Wint punt nadat tweede service gelukt is 80% 49% Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO

25 We kijken naar de servicebeurten van Federer. In de figuur zijn die schematisch weergegeven. Hierin staan ook percentages die niet in de tabel staan, maar er wel uit zijn af te leiden. De percentages in de figuur en in de tabel zijn afgerond. figuur 4p 20 Leg uit hoe de percentages 42% en 97% in de figuur kunnen worden afgeleid uit de tabel. 3p 2 Bereken de kans dat Federer het punt wint als hij zelf serveert. Federer krijgt negen servicebeurten achter elkaar. We kijken naar het mislukken van de eerste service. 4p 22 Bereken uitgaande van het schema in de figuur de kans dat in deze negen servicebeurten vijf keer of meer de eerste service mislukt. Ook voor een servicebeurt van Gonzalez is uit de gegevens van de tabel een schema af te leiden. 6p 23 Maak voor de situatie dat Gonzalez serveert een vergelijkbaar schema als in de figuur en bereken daarmee de kans dat Federer het punt wint in de servicebeurt van Gonzalez. China's defensie-uitgaven [200 I] China ontwikkelt zich in hoog tempo tot grootmacht, ook op het militaire vlak. Het Pentagon, het Amerikaanse Ministerie van Defensie, houdt de Chinese defensie-uitgaven nauwlettend in de gaten. In figuur staan de Chinese defensie-uitgaven volgens China zelf en volgens twee schattingen van het Pentagon, een hoge en een lage. Duidelijk is te zien dat het Pentagon uitgaat van veel hogere defensie-uitgaven dan China opgeeft. Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO

26 figuur In figuur is te zien dat de hoge schatting van de uitgaven vanaf 994 tot 999 (nagenoeg) lineair toenam van 37 miljard dollar tot 56 miljard dollar. Stel dat deze lineaire toename ook na 999 was doorgegaan. 3p 24 Bereken hoe groot de hoge schatting van de uitgaven dan in 2003 zou zijn geweest. Volgens het Pentagon namen de defensie-uitgaven in de periode van 200 tot 2005 exponentieel toe. De hoge schatting steeg van 65 miljard dollar in 200 tot 93 miljard dollar in p 25 Bereken het jaarlijkse groeipercentage dat het Pentagon als uitgangspunt nam voor de hoge schatting (in deze periode). Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig. In 2005 was de lage schatting 65 miljard dollar en de hoge 93 miljard dollar, een verschil van 28 miljard dollar. Voor de jaren na 2005 voorspelde het Pentagon dat de defensie-uitgaven exponentieel zouden blijven toenemen. Voor de lage schatting (in deze periode) ging het Pentagon uit van een jaarlijkse groei van 8,5% en voor de hoge schatting van 9,5%. 5p 26 Bereken in welk jaar het verschil tussen de lage en de hoge schatting voor het eerst meer dan 50 miljard dollar zal zijn. Volgens de Chinezen zelf valt het allemaal wel mee. Ze geven toe dat hun defensie-uitgaven jaarlijks stijgen: van 8 miljard dollar in 994 tot 29 miljard dollar in Maar zij wijzen erop dat de defensie-uitgaven als percentage van het bruto nationaal product, het bnp, sinds 994 vrijwel steeds gedaald zijn. Zie figuur 2. Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO

27 figuur 2 Dat een stijging van de defensie-uitgaven toch als een daling kan worden gepresenteerd, komt doordat de economie in China razendsnel groeit en het bnp dus ook. Met behulp van bovenstaande gegevens en figuur 2 is voor 994 en 2005 het bnp van China te berekenen. 5p 27 Bereken met hoeveel procent het bnp van China in 2005 gestegen is ten opzichte van 994. Dobbelspel [200 II] Vijf vriendinnen, onder wie Frédérique en Anne, spelen een spelletje met een dobbelsteen. Ze spelen om geld: iedereen legt één euro in de pot. Het spelverloop is als volgt: e ronde: 2e ronde: 3e ronde: Afloop: iedereen gooit één keer met de dobbelsteen wie een zes gooit stopt wie geen zes gooit, gaat naar de tweede ronde wie in de eerste ronde geen zes heeft gegooid, gooit opnieuw wie nu een zes gooit, stopt ook wie geen zes gooit, gaat naar de derde ronde wie in de tweede ronde geen zes heeft gegooid, gooit nog één keer de pot wordt gelijkelijk verdeeld tussen alle speelsters die in één van de drie ronden een zes hebben gegooid als tijdens het spel niemand een zes heeft gegooid, krijgt iedereen haar euro terug Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO

28 3p 28 Toon aan dat de kans dat Frédérique pas in de 3e ronde een zes gooit ongeveer gelijk is aan 0,6. Anne mag dus mee delen in de pot als zij in één van de drie ronden een zes heeft gegooid. 4p 29 Bereken de kans dat Anne mag mee delen in de pot. Een speelster gooit in één spel dus maximaal drie keer. Na de derde keer is het spel afgelopen. In de tabel staat een gedeeltelijk ingevulde kansverdeling van het aantal keer dat een speelster in een spel gooit. tabel aantal keer gooien 2 3 kans Met behulp van deze kansverdeling kun je de verwachtingswaarde berekenen van het aantal keer dat een speelster in een spel gooit. 5p 30 Vul de kansverdeling verder in en bereken hiermee deze verwachtingswaarde. Als tijdens de drie ronden geen van de vijf vriendinnen een zes gooit, krijgt iedereen haar geld terug. De kans dat iedereen haar geld terug krijgt, is ongeveer gelijk aan 0,065. 3p 3 Bereken die kans in 4 decimalen. De vriendinnen spelen het spelletje tijdens een vakantie elke avond een aantal keer. 4p 32 Bereken de kans dat in 45 spelletjes meer dan vier keer iedereen haar geld terug krijgt. Zuinig rijden [20 I] Tijdens rijlessen leer je om in de auto bij 20 km per uur van de eerste naar de tweede versnelling te schakelen. Daarna ga je bij 40 km per uur naar de derde versnelling, bij 60 km per uur naar de vierde en ten slotte rond de 90 km per uur naar de vijfde. Iedere versnelling heeft een ideale snelheid. Maar is dat ook de zuinigste snelheid? Om dit te onderzoeken heeft men met dezelfde auto steeds met andere snelheden en in een andere versnelling telkens hetzelfde traject afgelegd en daarbij steeds de literafstand L (de afstand die je met liter benzine kunt afleggen) gemeten. Een deel van de resultaten staat in tabel. foto Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO

29 tabel literafstand bij 80 km per uur Versnelling literafstand L (km) 6,92 9,63 2,68 In tabel kun je zien dat je bij 80 km per uur het beste in de vijfde versnelling kunt rijden, omdat je dan 2,68 km kunt afleggen met liter benzine. Je rijdt op dit traject met een snelheid van 80 km per uur. Je begint met een volle tank van 35 liter benzine en je rijdt die tank helemaal leeg. 3p 33 Bereken hoeveel km je in de vijfde versnelling meer kunt afleggen dan in de vierde versnelling. In tabel 2 staat de literafstand L voor verschillende snelheden in de vijfde versnelling. tabel 2 literafstand bij 80 km per uur snelheid v (km per uur) literafstand L (km) 29,03 27,9 25,35 23,5 2,68 9,84 Je legt in de vijfde versnelling een traject van 300 km af. Als je 80 km per uur rijdt, heb je deze afstand sneller afgelegd dan wanneer je 60 km per uur rijdt. Maar je verbruikt wel meer benzine. 3p 34 Bereken hoeveel liter benzine je dan meer verbruikt. De resultaten van het onderzoek zijn in de figuur grafisch weergegeven. Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO

30 figuur / uitwerkbijlage In de figuur kun je voor de derde, vierde en de vijfde versnelling bij iedere snelheid de literafstand aflezen. De figuur bestaat uit drie evenwijdige rechte lijnen. De figuur staat ook op de uitwerkbijlage. Je rijdt 70 km per uur in de vierde versnelling. 3p 35 Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage met welke snelheid je in de derde versnelling kunt rijden bij dezelfde literafstand. Licht je werkwijze toe. Voor de vierde en de vijfde versnelling worden deze lineaire verbanden beschreven door de formules: Hierin is L de literafstand in km en v de snelheid in km per uur. De formule voor de literafstand in de derde versnelling L derde versnelling ontbreekt in het bovenstaande. 4p 36 Stel op basis van bovenstaande gegevens deze formule op. Als je wilt weten met welke snelheid je mag rijden in de vijfde versnelling om een bepaalde literafstand te halen, is het handig het gegeven verband tussen de literafstand en de snelheid te schrijven in de vorm: Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO

31 4p 37 Leid uit het gegeven verband tussen L vijfde versnelling en v een formule van bovenstaande vorm af. Rond a en b af op één decimaal. De grootste taart [20 I] Omdat je winnaar van een wedstrijd bent, krijg je één voor één in willekeurige volgorde een aantal taarten van verschillende grootte te zien. Je weet van tevoren hoeveel taarten er getoond zullen worden, maar je hebt geen idee hoe groot de taarten zijn. Direct na elke taart moet je zeggen of je deze wilt of niet, maar je mag maar één keer ja zeggen. Het gaat erom dat je de grootste van alle taarten probeert te kiezen. De vraag is: wat is de beste strategie om de grootste taart te bemachtigen? afbeelding Vijf taarten We bekijken een situatie waarin vijf taarten getoond worden. De kleinste taart noemen we, de op één na kleinste 2, daarna volgen de taarten 3 en 4 en de grootste taart is taart 5. In het voorbeeld op de afbeelding worden de taarten in de volgorde 4, 2, 3, 5, getoond. De taarten worden echter, zoals al gezegd, in willekeurige volgorde gepresenteerd. 3p 38 Bereken de kans dat de taarten in de volgorde, 2, 3, 4, 5 te zien zijn. We bekijken enkele strategieën om te proberen de grootste taart te bemachtigen. Daartoe nemen we de wat eenvoudiger situatie waarbij in totaal maar vier taarten getoond worden. De kleinste taart is ook nu taart, daarna volgen de taarten 2 en 3 en taart 4 is in dit geval de grootste taart. Strategie van Richard bij vier taarten Richard denkt dat het een willekeurige gok is en hij besluit om ja te zeggen tegen de tweede taart die hij te zien krijgt. 3p 39 Hoe groot is de kans dat Richard de grootste taart bemachtigt? Licht je antwoord toe. Strategie van Remco bij vier taarten Remco besluit om de eerste taart die hij te zien krijgt nooit te nemen, maar de eerstvolgende taart die groter is dan die eerste. Hij kiest uiteindelijk wel altijd een taart. Zijn alle volgende taarten kleiner dan de eerste taart, dan kiest hij dus noodzakelijkerwijs de laatste taart. Remco schrijft alle mogelijke volgordes op. In de tabel wordt steeds de gekozen taart omcirkeld. Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO 205 3

32 tabel 3p 40 Toon met behulp van de tabel aan dat de kans dat hij de grootste taart bemachtigt ongeveer gelijk is aan 0,4583. Strategie van Marlies bij vier taarten Marlies besluit om de eerste twee taarten die ze te zien krijgt nooit te nemen; ze neemt de eerstvolgende taart die groter is dan zowel de eerste als de tweede taart. Zijn alle volgende taarten kleiner dan de eerste twee taarten, dan kiest ze de laatste taart. 5p 4 Onderzoek of Marlies met deze strategie een grotere kans heeft dan Remco op het bemachtigen van de grootste taart. Je kunt hierbij gebruikmaken van onderstaande tabel. uitwerkbijlage Vijf taarten Bij vijf taarten blijkt de strategie van Marlies de gunstigste te zijn. De kans dat je met deze strategie de grootste kiest, is gelijk aan. Een klas van 26 leerlingen doet een experiment: alle leerlingen gaan proberen om met de strategie van Marlies uit vijf taarten de grootste te kiezen. 4p 42 Bereken de kans dat minstens 0 leerlingen de grootste taart kiezen. Woei wordt waaide [20 I] We noemen werkwoorden regelmatig wanneer ze worden vervoegd als het werkwoord fietsen: fietsen fietste gefietst, of als het werkwoord huilen: huilen huilde gehuild. Er is een vaste uitgang voor de verleden tijd en het voltooid deelwoord. Wanneer een werkwoord bij de vervoeging verandering van klinkers (a, e, i, ) of medeklinkers (b, c, Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO

33 d, ) vertoont, spreken we van een onregelmatig werkwoord. Een voorbeeld hiervan is het werkwoord lopen, dat wordt vervoegd als lopen liep gelopen. Veel werkwoorden die tegenwoordig regelmatig zijn, waren vroeger onregelmatig. Onregelmatige werkwoorden hebben namelijk de neiging in de loop der tijd regelmatig te worden. Denk maar aan het werkwoord waaien. Sommige oudere mensen zeggen nog: Gisteren woei het erg!, terwijl vooral jongeren zeggen: Gisteren waaide het erg! Wetenschappers hebben dit verschijnsel onderzocht voor Engelse werkwoorden. Zij turfden het aantal onregelmatige werkwoorden in drie verschillende perioden. Je begrijpt dat in het onderzoek alleen die werkwoorden betrokken zijn waarvan uit elke periode gegevens bekend waren. Van de 77 onregelmatige werkwoorden in het Oudengels (800 na Christus) waren er in het Middelengels (200 na Christus) 45 nog steeds onregelmatig, en in het moderne Engels (2000 na Christus) nog maar 98. Er geldt bij benadering dat het aantal Engelse onregelmatige werkwoorden daalt volgens een exponentieel verband. 5p 43 Bereken met behulp van de bovenstaande gegevens het afnamepercentage per 00 jaar. In werkelijkheid zijn er natuurlijk meer onregelmatige werkwoorden dan alleen die werkwoorden van het onderzoek. We nemen aan dat bij benadering het volgende verband tussen het totaal aantal Engelse onregelmatige werkwoorden W en het jaartal t geldt: 3p 44 Bereken met behulp van dit verband in welk jaar het aantal Engelse onregelmatige werkwoorden nog maar 80 zal zijn. In het moderne Engels (2000 na Christus, dus t = 2000) is slechts 3% van de werkwoorden onregelmatig. 4p 45 Bereken met behulp van het verband het totaal aantal Engelse werkwoorden in het jaar Het regelmatig worden van werkwoorden gebeurt sneller naarmate de woorden minder vaak worden gebruikt. De wetenschappers hebben alle onderzochte onregelmatige werkwoorden in zes groepen ingedeeld. De meest gebruikte, to be en to have, zitten in groep en de minst gebruikte zitten in groep 6. In groep 3 blijkt het aantal werkwoorden in de periode 800 tot 2000 na Christus afgenomen te zijn van 37 tot 33. In deze groep 3 zijn de werkwoorden to help, to reach, to walk en to work regelmatig geworden. Ga ervan uit dat binnen deze groep het aantal werkwoorden bij benadering exponentieel afneemt met 0,0% per jaar. 4p 46 Bereken hoeveel jaar het duurt tot het aantal werkwoorden in groep 3 gehalveerd is. Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO

34 De onderzoekers onderzochten dit voor elke groep en leidden hieruit de volgende vuistregel af: wordt een onregelmatig werkwoord keer zo vaak gebruikt, dan duurt het n keer zo lang totdat dit werkwoord regelmatig wordt. Een onregelmatig werkwoord dat bijvoorbeeld 00 keer zo vaak gebruikt wordt als een ander onregelmatig werkwoord, zal er keer zo lang over doen om regelmatig te worden. In Nederland heeft men uit stukken tekst van in totaal 00 miljoen woorden de 0 meest gebruikte Nederlandse werkwoorden gehaald. Zie de tabel. Het valt vrijwel direct op dat de eerste 9 onregelmatig zijn. tabel werkwoord frequentie zijn worden hebben kunnen zullen moeten gaan komen zeggen maken Neem aan dat het Nederlandse werkwoord komen pas na jaar regelmatig wordt, zoals men dat ook verwacht voor het Engelse werkwoord to come. Neem verder aan dat de vuistregel ook geldt voor de Nederlandse onregelmatige werkwoorden. Dan kun je met behulp van de tabel berekenen hoeveel jaar het duurt voor het werkwoord worden regelmatig wordt. 3p 47 Bereken met behulp van de frequenties in de tabel hoeveel jaar het duurt voor het werkwoord worden regelmatig wordt. De frikandel van Beckers [20 II] Je zou het misschien niet denken, maar 60 jaar geleden had nog nooit iemand van de frikandel gehoord. In Nederland werd hoogstens een knakworst gegeten voor de lekkere trek. Jan Beckers uit België was het die daar in 959 verandering in bracht. Hij ontwikkelde een soort langwerpige gehaktbal die tijdens het frituren Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO

35 niet uit elkaar viel: de frikandel. Als ingrediënten gebruikte hij een nog altijd geheime mix van kippen- en varkensvlees, specerijen en andere smaakmakers. De door Beckers ontworpen snack werd een enorm succes. Zijn fabriek produceert ongeveer,5 miljoen frikandellen per dag, waarvan de helft is bestemd voor de Nederlandse markt, waar men zo n 600 miljoen frikandellen per jaar eet. 4p 48 Bereken hoeveel procent van de in Nederland gegeten frikandellen afkomstig is van de fabriek van Beckers. Wie een frikandel in de snackbar koopt, krijgt hoogstwaarschijnlijk een exemplaar van 8,5 centimeter en 85 gram. Dat is de zogenoemde original. Het gewicht van deze frikandellen is bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van 85,0 gram en een standaardafwijking van 2,4 gram. 3p 49 Bereken hoeveel gram de 0% zwaarste frikandellen minimaal wegen. Beckers produceert ook wat kleinere frikandellen voor verkoop in de supermarkt. Het gewicht van deze frikandellen is ook weer bij benadering normaal verdeeld. Ze wegen gemiddeld 70,0 gram. Volgens de Warenwet mag slechts 2% van deze frikandellen minder dan 65,5 gram wegen. 4p 50 Bereken de maximaal toegestane standaardafwijking waarbij aan de eis van de Warenwet wordt voldaan. In een doos zitten 2 frikandellen. Van deze 2 frikandellen zijn er 4 lichter dan 70 gram. Iemand pakt willekeurig 4 frikandellen uit deze doos. 4p 5 Bereken de kans dat er precies één frikandel lichter dan 70 gram bij dit viertal zit. Elfstedentocht [20 II] De schaatsliefhebbers zullen er niet vrolijk van worden. Een rapport van het Intergovernmental Panel on Climate Change voorspelt dat in de 2e eeuw de wereldgemiddelde temperatuur behoorlijk zal stijgen. Deze temperatuurstijging zal ook Friesland niet voorbijgaan. De vraag is: kunnen we nog een Elfstedentocht verwachten? Er kan al een Elfstedentocht verreden worden bij een ijsdikte van 5 cm. In figuur is van elk jaar van de vorige eeuw de maximale ijsdikte weergegeven. Je ziet dat er heel wat jaren waren waarin het ijs een dikte had van minstens 5 cm. In theorie zouden er dus heel wat Elfstedentochten mogelijk zijn geweest. Toch zijn er in werkelijkheid veel minder Elfstedentochten gereden: de pijltjes markeren de winters waarin er daadwerkelijk een Elfstedentocht geweest is. De oorzaak hiervan ligt in problemen met de kwaliteit van het ijs, zwak ijs in de steden, bemaling, enzovoort. Er wordt maximaal één Elfstedentocht per winter gereden. Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO

36 figuur Op grond van de gegevens van de vorige eeuw kunnen we, bij een ijsdikte van minstens 5 cm, de kans p berekenen dat er werkelijk een Elfstedentocht gereden wordt. Voor deze kans p geldt de formule: De kans p blijkt ongeveer 0,4 te zijn. 3p 52 Bereken p in drie decimalen nauwkeurig. De ijsdikte in een bepaalde winter is natuurlijk afhankelijk van de temperatuur tijdens de winter. Deze wintertemperatuur W, de gemiddelde temperatuur gerekend over een hele winter, zal in de komende jaren behoorlijk stijgen. Men verwacht dat W in de 2e eeuw in totaal met 3,6 C stijgt. Als we uitgaan van lineaire stijging, kunnen we een toenamediagram tekenen waarbij de toename van W uitgezet wordt tegen het jaar t. 4p 53 Teken in de figuur op de uitwerkbijlage het toenamediagram met stapgrootte 20 ( t = 20). Kies zelf een geschikte schaalverdeling langs de verticale as. Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO

37 uitwerkbijlage Figuur 2 laat zien hoe het aantal mogelijke Elfstedentochten per eeuw E m daalt wanneer de wintertemperatuur stijgt. In figuur 2 kun je bijvoorbeeld aflezen dat, als de wintertemperatuur in een bepaalde eeuw iedere winter 4,0 C hoger zou liggen dan de gemiddelde wintertemperatuur in de 20e eeuw, er maar 5 Elfstedentochten in die eeuw mogelijk zullen zijn. Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO

38 figuur 2 De grafiek in figuur 2 kan worden beschreven met de volgende formule: Hierin is S het verschil in C tussen de wintertemperatuur in iedere winter en de gemiddelde wintertemperatuur in de 20e eeuw. 4p 54 Hoe groot zijn b en g, uitgaande van bovenstaande gegevens? Licht je antwoord toe. Een wiskundige heeft een formule opgesteld voor het aantal te verwachten Elfstedentochten E w in de 2e eeuw, waarbij rekening gehouden is met een geleidelijke toename van de wintertemperatuur in de 2e eeuw en met het feit dat niet iedere mogelijke Elfstedentocht werkelijk gereden zal worden: Hierin is V het verschil tussen de wintertemperatuur aan het einde van de 2e eeuw en de gemiddelde wintertemperatuur van de 20e eeuw in C en p is de kans op een werkelijk gereden tocht als een Elfstedentocht mogelijk is. De organisatie van de Elfstedentocht probeert de kans p door nog betere voorbereidingen te verhogen tot 0,65. Men verwacht dat V 3,6 C zal zijn. 3p 55 Bereken dan het aantal te verwachten Elfstedentochten in de 2e eeuw. Als we aannemen dat V inderdaad 3,6 C zal zijn, dan is de formule van E w te schrijven in de vorm: 4p 56 Bereken a. Nationale Examentraining Wiskunde A HAVO