STATISTIEK 3 DE GRAAD.. De wereld van de kansmodellen... Kansmodellen X kansmodel Discreet model Continu model Kansverdeling Vaas Staafdiagram Dichtheidsfunctie f(x) GraJiek van f Definitie: Een kansmodel is een geïdealiseerd model dat je gebruikt om experimenten te bestuderen waarbij het toeval een rol speelt. Symbool: X, Y, Z, W.2 Discreet- continu Voorbeeld discreet: een eerlijke dobbelsteen Voorbeeld continu: geboortegewichten.
.3 Kansmodel voor experimenten met discrete uitkomsten.3. Voorbeeld Gooi 8 keer met je dobbelsteen, probeer te voorspellen wat er zal gebeuren. We gebruiken de GRM (RANDVAAS) RANDVAAS FREQDISC Uitkomst x 2 3 4 5 6 Frequentie ste keer Frequentie 2 de keer 450 450 900 Frequentie totaal Frequentie in mijn groep Relatieve frequentie in mijn groep 2
.3.2 Kansmodel voorstellen door een vaas. X is het kansmodel dat een experiment beschrijft met mogelijke uitkomsten, 2, 3, 4, 5, 6 elk met kans???? 2 3 4 5 6? DE RODE DOBBELSTEEN Maak een vaasmodel van de rode dobbelsteen. Maak een vaasmodel voor de rode dobbelsteen X waarbij er 600 000 kaartjes in de vaas zitten. Hoe ga je de vaas vullen? Uitkomst x Frequentie ste keer Frequentie 2 de keer Frequentie totaal Frequentie in mijn groep Relatieve frequentie in mijn groep 3 6 450 450 900 3
.3.3 Kansmodel voorstellen door een staafdiagram Voorbeeld de rode dobbelsteen. Beschrijf in woorden het kansmodel X dat hieronder met een staafdiagram wordt voorgesteld. Bepaal ook een vaasmodel van X. 4
.3.4 De kansverdeling van een kansmodel P van Probability gebruik je bij een kansuitspraak Voorbeeld: een (gewone eerlijke) dobbelsteen. Schrijf niet P(5) = /6 Schrijf wel P(X=5) = /6. Je vermeldt het kansmodel waar je mee werkt. P(X = x) is dan een kansuitspraak waarbij het kansmodel X op één van zijn mogelijke uitkomsten valt. Als je wil weten wat de kans is om hoogstens een 4 te gooien dan schrijf je P(X 4) Om deze kans te berekenen gebruiken we een tabel.: de kansverdeling van X. x 2 3 4 5 6 P(X=x) We gebruiken de somregel om volgende kans uit te rekenen: P(X 4) = ( = ) + ( = 2) + ( = 3) + ( = 4) = Opdracht: maak een kansverdeling van de rode dobbelsteen..... 5
3/0 /4 /4 /5 3/6 3/20 /8 /0 /20 /6 /6 0 2 3 4 5 6 7 Kansmodel X Dit staafdiagram stelt een kansmodel X voor waarbij de uitkomstenverzameling gelijk is aan 2,3,4,5,6,7 Het staafje boven 7 is weggevallen. Hoe hoog moet dat staafje zijn? Waarom? Maak een kansverdeling van X Bereken: P(X 6) = P(3 < < 5) = P(3 5)= Besluit: een discreet kansmodel heeft een uitkomstenverzameling x,,xn met kansen p, pn x x x2 xn P(X = x) p p2 pn De kansen p p2, pn zijn positief.de som van deze kansen p+p2+ +pn = 6
.4 Kansmodellen voor experimenten met continue uitkomsten. Voorbeeld : Bepaal 5 randomgetallen gekozen door je GRM (niet afronden) Waar komen deze getallen terecht? Heeft volgende uitspraak zin? P( X = 0, ) Waarom? Heeft volgende uitspraak zin? P(0,4 < X < 0,7) Waaraan is deze kans gelijk? En bereken dan P(X > 0,6) Continue kansmodellen worden voorgesteld door een functie: een dichtheidsfunctie dichtheidsfunctie van dit experiment is: f (x) = als0 x f (x) = 0 als x < 0 f (x) = 0 als x > Grafiek: Bekijk even P(0,4 < X <0,7) Vinden we deze kans op de grafiek terug? Wat is de totale oppervlakte onder de grafiek? 7
Voorbeeld 2: Ik wil de grootste zijn. Speel volgend spel met je buur 5 keer. Ieder laat de GRM een randomgetal kiezen (tussen 0 en ) en je schrijft het maximum van deze twee getallen op. Zijn jullie resultaten gelijkmatig verdeeld over 0,? De dichtheidsfunctie is dit keer niet en constante functie. f (x) = 2x als0 x f (x) = 0 als x < 0 f (x) = 0 als x > Teken de grafiek van f(x) Is de totale oppervlakte onder de grafiek =? Bereken nu: P(0,2<X<0,5)= 8
P(X > 0,8) Voorbeeld 3 De winkel Colraize uit Hasse laat een statistisch onderzoek doen door firma Statipas. De bedoeling is een idee te hebben over de wachttijd van een klant aan de kassa. De resultaten van het onderzoek geven volgende dichtheidsfunctie: = 0,72347 " 0 5 " " "#$ " "#$%&# = 0 "# < 0 = 0 "# > 0 + 5 a.toon aan dat f(x) een dichtheidsfunctie is. * f(x) >0 * oppervlakte onder grafiek in het interval 0, 5 is gelijk aan " 0, 72347( x + 5 ) " = (controleer met GRM) 9
b. Hoe groot is de kans dat een klant langer dan 8 minuten maar minder dan 3 minuten moet wachten? We vinden deze kans via de oppervlakte: " P(8<X<3)= 0, 72347( x + 5 ) " = c. Hoe groot is de kans dat een willekeurige klant minder dan 6 minuten moet wachten aan de kassa? P(X<6) = oppervlakte gearceerde deel. Voorbeeld 4. De temperatuur De temperatuur in een bepaalde ruimte wordt gedurende een jaar gemeten. De temperatuur wordt beschreven door een continu kansmodel. f (x) = 0als x < 5 f (x) = x2 5x 50 als 5 " x "5 562, 5 f (x) = 0als x >5 Is f(x) een dichtheidsfunctie? Waarom? 0
Grafiek: Wat is de koudste temperatuur? Wat is de warmste temperatuur? Hoeveel % van de dagen lag de temperatuur tussen - 4 en- 2? Hoeveel dagen zijn dat effectief? (365 dagen in een jaar) P(- 4<X<- 2)= " = Hoeveel dagen van het jaar ligt de temperatuur boven het vriespunt?
" P(0<X)= " = Besluit: Continue kansmodellen worden beschreven door een dichtheidsfunctie f. f(x) > 0 in IR " = praktischer " = De kans dat X in een bepaald interval terecht komt wordt gegeven door een oppervlakte onder de grafiek en berekenen we met bepaalde integraal: P(c <X < d) = () " 2
Appendix: uitleg bij de programma s. Instructies bij het gebruik van het programma RANDVAAS. ============================================== Het programma RANDVAAS trekt met terugleggen een aantal kaarten uit een vaasmodel. De lijst wordt in dit programma gebruikt, en eventuele vorige getallen die nog in deze lijst zouden staan zullen gewist worden. In lijst moet je vooraf getallen ingeven. INPUT Elk kaartje in de vaas moet in lijst ingevuld worden. Als de vaas 5 kaartjes bevat met de getallen {, 2, 3, 4, 5} dan tik je deze 5 getallen (en niets anders) in lijst. Als de vaas 5 kaartjes bevat waarbij het cijfer op vier kaartjes staat en het cijfer 2 op het resterende kaartje dan tik je de getallen {,,,, 2} in lijst. In lijst moeten dus exact evenveel getallen staan als er kaartjes in de vaas zitten. Tijdens de uitvoering vraagt het programma hoeveel keren er lukraak een kaartje uit de vaas moet worden getrokken. Trekken gebeurt met terugleggen. OUTPUT In lijst staan de getallen die op de getrokken kaartjes stonden. Instructies bij het gebruik van het programma FREQDISC. ============================================== Het programma FREQDISC maakt een frequentietabel voor een discreet numerieke veranderlijke. Dit programma vervangt het handmatig turven. De lijsten en worden in dit programma gebruikt en eventuele vorige getallen die nog in deze lijsten zouden staan zullen gewist worden. INPUT Plaats in lijst alle uitkomsten van de discreet numerieke veranderlijke. OUTPUT In staan alle verschillende waarden uit, vanaf het kleinste observatiegetal tot het grootste. In staat de frequentie van de corresponderende waarden in. In staat de relatieve frequentie van de corresponderende waarden in. 3
Instructies bij het gebruik van het programma STAAFDGR. ============================================== Het programma STAAFDGR tekent een staafdiagram voor een discreet numerieke veranderlijke met een beperkt aantal (hoogstens 0) verschillende uitkomsten. INPUT De input is gebaseerd op een vooraf klaargemaakte frequentietabel. In de lijst tik je alle verschillende uitkomsten en in lijst plaats je de bijhorende frequentie. Voor de situatie waarbij alle ruwe gegevens in staan kan je het programma FREQDISC gebruiken om de nodige frequentietabel automatisch op te stellen. Je kan in ook kansen ingeven om een discreet kansmodel door een staafdiagram voor te stellen. Je kan de vensterinstellingen automatisch laten kiezen waarbij de grenzen op de x-as aangepast zijn aan de kleinste en grootste uitkomst. Je kan ook zelf Xmin en Xmax opgeven als je een andere schaal op de x-as wil zien OUTPUT als resultaat krijg je een staafdiagram dat je met kan doorlopen. De hoogte van de staafjes zijn ofwel frequenties ofwel relatieve frequenties ofwel kansen, afhankelijk van de keuze die je tijdens het uitvoeren van het programma gemaakt hebt. Instructies bij het gebruik van het programma CLSVAAS. ============================================= Het programma CLSVAAS berekent het steekproefgemiddelde van een steekpoef van grootte n ( n 00) die getrokken wordt uit een vaasmodel. Dit kan K keer herhaald worden ( K 400 ). De lijst wordt in dit programma gebruikt, en eventuele vorige getallen die nog in deze lijst zouden staan zullen gewist worden. In lijst moet je vooraf getallen ingeven. INPUT Elk kaartje in de vaas moet in lijst ingevuld worden. In lijst moeten dus exact evenveel getallen staan als er kaartjes in de vaas zitten. Tijdens de uitvoering vraagt het programma hoe groot de steekproef moet zijn en hoeveel keren er een steekproef moet getrokken worden. OUTPUT In lijst staan de K steekproefgemiddelden van de K getrokken steekproeven van grootte n. 4
2. Eigenschappen van kansmodellen. Gemiddelde van een kansmodel= verwachtingswaarde=e(x) Standaardafwijking =sd(x) Discreet via de kansverdeling: Continu via f(x) discreet : E(X) = x p + x 2 p 2 +... + x n p n : sd(x) = (x " E(X)) 2 p + (x 2 " E(X)) 2 p 2 +... + (x n " E(X)) 2 p n continu : E(X) = x f (x) sd(x) = b # a b # (x " E(X)) 2 f (x)dx a Voorbeeld : Een eerlijke dobbelsteen x 2 3 4 5 6 P(X=x) E(X) = 5
Voorbeeld 2: De rode dobbelsteen. x 3 6 P(X = x) 3 6 2 6 6 E(X) = sd(x)= Wat is het verschil tussen E(X) gemiddelde van X- en het gemiddelde van 450 uitkomsten die door X gegenereerd zijn? RANDVAAS Uitkomst xi Frequentie fi 3 6 Het gemiddelde van mijn experiment is: = Symbool voor het gemiddelde van je experiment, deze waarde is aan het toeval onderhevig. Voorbeeld 3: 6
Wachttijd bij Colraize 0, 72347( ) als0 x 5 x + 5 f (x) = 0 als x < 0 f (x) = 0 als x >5 Bereken de gemiddelde wachttijd Voorbeeld 4 Ik wil de grootste zijn. f (x) = 2x als0 x f (x) = 0 als x < 0 f (x) = 0 als x > Bereken het gemiddelde. 3. Steekproef uit een populatie 3. Voorbeeld: populatie van alle kinderen die in Vlaanderen werden geboren in 2002. steekproef: 400 namen uit deze populatie aselect trekken en de geboortegewichten noteren. populatie: de rode dobbelsteen steekproef: honderd keer gooien In statistiek beschrijf je een populatie met behulp van een geïdealiseerd model: een kansmodel. Het gemiddelde en standaardafwijking van een populatie noemen we e populatieparameters. E(X) = μ sd(x) = σ 7
De rode dobbelsteen: x 3 6 P(X =x) 3 6 2 6 6 Bereken μ en σ. 3.2 Een kansmodel voor een steekproef. Voorbeeld: de rode dobbelsteen Voer een steekproef van grootte 2 uit (RANDVAAS) Steekproef Uitkomst ste trekking Uitkomst 2 de trekking Uitkomst steekproef Steekproef 2 Steekproef 3 Steekproef 4 Steekproef 5 Steekproef 6 Steekproef 7 Steekproef 8 Steekproef 9 Steekproef 0 8
Werk samen met je groepje: Uitkomst steekproef Frequentie Relatieve frequentie (,) (,3) (,6) (3,) (3,3) (3,6) (6,) (6,3) (6,6) We kunnen nu de kansverdeling van deze steekproef bepalen. We gebruiken een kansboom. 9
We vinden de kansverdeling (x,x2) (,) (,3) (,6) (3,) (3,3) (3,6) (6,) (6,3) (6,6) P(X=x,X2=x2) 20