Algemene relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 3 en 4: Covariant differentiëren en kromming Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1. Newtonse metriek en potentiaal 2. Tensoren 3. Covariant differentiëren 4. Kromming, at last 5. Geodetische afwijking 6. Lege ruimte Hoe u het zelf had kunnen bedenken 1
Roterende schijf Tijd buitenstaander(s): t Eigentijd op straal u: t u B4 Ehrenfest paradox 1909: Lorentz contractie leidt tot: Omtrek cirkel < 2 r!? Hoe lager de potentiaal hoe trager het klokje! Twee conclusies: 1. Misschien is de snelheid van een klokje plaatsafhankelijk; 2. Misschien moeten we gekromde ruimtes bestuderen. Einstein 1912: Dan moet ik eens naar niet Euclidische Meetkunde kijken. Misschien weet Marcel (Grossmann) daar wat van. 3 Geodeten in 4-ruimtetijd Minkowski metriek: Newton metriek (probeersel) 2.1 Conclusie: komt overeen met de Newton potentiaal! B4 Op de goede weg! 4 Hoe u het zelf had kunnen bedenken 2
Programma 2 1. Newtonse metriek en potentiaal 2. Tensoren 3. Covariant differentiëren 4. Kromming, at last 5. Geodetische afwijking 6. Lege ruimte Vectoren; Tensoren Voorbeeld Trafo Naam Type Zie A Gradient Zie B Contravariante vector Covariante vector Covariante tensor van rang 2 Rang=1; type= Rang=1; type= Rang=2; type= Zijn als Matrix Elkaars inverse A B5 B 6 Hoe u het zelf had kunnen bedenken 3
Contractie van tensoren Einstein: Verjüngung Op en neerhalen indices: Ook wel: zelfde tensor Voorbeeld: Contravariante en covariante tensor reageren tot een scalarveld: Tenslotte: Verandering scalar veld langs een kromme 7 Overzicht tensorrekening Operatie Type wijziging R Voorbeeld(-en) O Optellen V Vermenigvuldigen C Contractie D Differentiëren * V komt vrijwel altijd gecombineerd met C voor Verhogen en verlagen index Opmerkingen: In aanwezigheid van metrische tensor *D levert alleen een tensor in vlakke ruimtes *D werkt alleen op een tensorveld. Hoe u het zelf had kunnen bedenken 4
Programma 3 1. Newtonse metriek en potentiaal 2. Tensoren 3. Covariant differentiëren 4. Kromming, at last 5. Geodetische afwijking 6. Lege ruimte Intrinsieke kromming Hoe kunnen we de intrinsieke kromming bestuderen? Deze Verschijnselen die op kromming duiden: gaan we doen 1. Som hoeken van een driehoek ongelijk 180 0 2. Parallel verplaatsen vector langs gesloten kromme 3. Differentiëren van een vectorveld niet duidelijk 4. Het niet sluiten van een vierkant 5. Het niet consequent op dezelfde afstand van elkaar blijven van geodeten Punt 3: Differentiëren: Voor een functie (een scalarveld) is het OK: Maar nu een vectorveld Merk op dat dit inderdaad allemaal intrinsieke verschijnselen zijn die door 2-dimensionale wezens geconstateerd kunnen worden. Deze hangen overigens wel samen. We bekijken het verband tussen 2 en 3: Welk pad?? 10 Hoe u het zelf had kunnen bedenken 5
Differentiëren van een vectorveld In de gewone (platte) situatie kunnen we een we vectorveld op twee manier differentiëren: 1. Naar één coordinaat; 2. Langs een kromme. In 2 gebruiken we dan 1. Voorstelbaar zonder coördinaten! Een vectorveld V langs de kromme heet parallel verplaatst als We zijn op zoek naar een absolute manier van differentiëren: Covariante afgeleide 11 Eenheids vectorvelden Als we een coördinatenstelsel hebben gekozen krijgen we daar een set van n vectorvelden bij cadeau. Rechthoekige coördinaten Vermoeden we! Pool coördinaten Zo n manier van differentieren ( ) noemen we een affine connectie Deze kan bestaan zonder een metriek. 12 Hoe u het zelf had kunnen bedenken 6
Covariante afgeleide vectorveld EIS 1 We willen dat de productregel blijft gelden EIS 2 1 2 3 Wat we al wisten (ter herinnering): We hadden tensoren van rang r van type Rang Type Naam 0 Scalar (-veld) 1 Contravariant vector (-veld) 1 Covariant vector (-veld) ook wel 1-vorm 1 2 3 1 2 3 (volgende slide) 13 Raakvectoren geodeet We verwachten (willen) dat raakvectoren van een Geodeet parallel verplaatst worden langs die geodeet! EIS 3 Covariante afgeleide Ter herinnering: Vergelijking geodeet We nemen dus weer afscheid van! 14 Hoe u het zelf had kunnen bedenken 7
Covariante afgeleide van een 1-vorm Wat zijn de ingredienten (eisen)? 2.2 Covariante afgeleide 1-vorm 15 Tenslotte: een algemene tensor Carl Friedrich Gauß (1777 1855) Gregorio Ricci-Curbastro (1853-1925) 2.3 Tensor analyse!? Zal toch wel? Maar aan de Wiskundigen overlaten??? (Ziet u het patroon?) Covariante afgeleide: (1,2) (1,3)-tensor Het begin Huidige vorm I admire the elegance of your method of computation; it must be nice to ride through these fields upon the horse of true mathematics while the like of us have to make our way laboriously on foot. Albert Einstein 1915 16 Hoe u het zelf had kunnen bedenken 8
Programma 4 1. Newtonse metriek en potentiaal 2. Tensoren 3. Covariant differentiëren 4. Kromming, at last 5. Geodetische afwijking 6. Lege ruimte 2.4 Riemann krommingstensor, at last Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) 1 1 3 4 4 3 2 2 is echt een tensor Bijlage 1 Invulpatroon (ezelsbruggetje): (-teken vanwege conventie) met Riemann krommingstensor 18 Hoe u het zelf had kunnen bedenken 9
Voorbeeld: Een bol is (intrinsiek) gekromd Wat we al wisten (Slide 15 deel 1) Conclusie: Bol is echt gekromd (buiten de evenaar) Immers als R 0 ergens, dan overal (tensor!), dus geen platte coördinaten mogelijk. (nog wel vreemd: we verwachten constante kromming) Maar één component berekend! =0 op de evenaar, verder 0 B2 19 Symmetrieën, Ricci tensor, Krommings scalar In eerste instantie lijkt Maar gelukkig zijn er veel symmetrieën: n 4 componenten te hebben. Bijlage 3 1212 1213 1223 1313 1323 2323 Dim n n 4 m=½n(n-1) ½m(m+1) Aantal componenten 2 16 1 1 1 3 81 3 6 6 4 256 6 21 20 Ricci tensor Kromming scalar 20 Hoe u het zelf had kunnen bedenken 10
Voorbeeld: Bol heeft constante kromming Wat we al wisten (Slide..) Ricci tensor berekenen: Conclusie: Bol is echt gekromd (overal) en de kromming is constant. 21 Programma 5 1. Newtonse metriek en potentiaal 2. Tensoren 3. Covariant differentiëren 4. Kromming, at last 5. Geodetische afwijking 6. Lege ruimte Hoe u het zelf had kunnen bedenken 11
Naburige geodeten; families van - Éénmaal parallel, altijd parallel Voorbeeld 1: rechte lijnen plat vlak Voorbeeld 3: zwevende ballen Voorbeeld 2: meridianen Tweede component 23 Geodetische afwijking 2.5 1 2 3 4 Vergelijking geodeet 1 3 1 2 2 3 1 5 1 4 2 2 4 5 Geodetische afwijking 24 Hoe u het zelf had kunnen bedenken 12
Programma 6 1. Newtonse metriek en potentiaal 2. Tensoren 3. Covariant differentiëren 4. Kromming, at last 5. Geodetische afwijking 6. Lege ruimte Getijdekrachten In coördinaten: (wijst naar naburig punt) 2.6 Vergelijken met: Getijdekrachten Dus lijkt het erop dat: 26 Hoe u het zelf had kunnen bedenken 13
Veldvergelijking voor lege ruimte moet wel een differentiaal vergelijking worden moet dus Laplace vervangen (lege ruimte) Ik wil de wet van Newton vervangen een tensor vergelijking lijkt me ideaal is te streng, want dan is de ruimtetijd plat De platte ruimte (g µν,τ = 0) moet wel een oplossing van die vergelijking zijn Einstein 1915: Veld vergelijking lege ruimte 27 Programma Klaar 1. Newtonse metriek en potentiaal 2. Tensoren 3. Covariant differentiëren 4. Kromming, at last 5. Geodetische afwijking 6. Lege ruimte Hoe u het zelf had kunnen bedenken 14
Bijlage 1: Riemann is tensor Directe berekening vrijwel ondoenlijk en niet nodig. Er is een algemene stelling (de quotient stelling) die zegt het volgende: als voor een potentiele tensor A en voor elke tensor B het product AB een tensor is Dan is A ook een tensor. Wij bewijzen deze stelling voor ons speciale geval: QED 29 Bijlage 2: Wanneer is ruimte plat? Definitie: We noemen een ruimte plat als er coördinaten mogelijk zijn, zodat alle g µυ constant zijn. Stelling: Een ruimte is plat de Riemann tensor is 0 Bewijs: van : Als de ruimte plat is, kies dan coördinaten, zodat alle g µυ constant zijn; Dan zijn alle afleiden van g µυ gelijk aan 0. Daarmee zijn ook alle Christoffel symbolen 0 en dus ook alle componenten van de Riemann tensor. Aangezien de Riemann tensor een tensor is, zijn de componenten dus in elk coördinatenstelsel 0. Bewijs: van : Dit is een stuk moeilijker en laten we hier dus achterwege. 30 Hoe u het zelf had kunnen bedenken 15
Bijlage 3: Symmetrieën Riemann tensor Alleen afhankelijk van affine connectie In één punt P kan men er altijd voor zorgen dat de eerst afgeleiden (g ab,c en dus Γ a bc ook) 0 zijn, doormiddel van een geschikt gekozen coördinaten transformatie. Ook afhankelijk van g µυ Deze symmetrieën gelden dus voor dit speciale coördinaten stelsel. Maar omdat R abcd een Tensor is geldt het dus altijd. 31 Bijlage 4: Tijdsvertraging gravitatie Voorbeeld: klokje op 10 kilometer hoogte. Hoeveel loopt het voor op ons klokje na 100 jaar? Dus: 32 Hoe u het zelf had kunnen bedenken 16
Bijlage 5: Definitie Tensor (-veld) Onderstaande definitie is een werk-definitie. Tamelijk complex. Wiskundig is er een fraaiere (coördinaatvrije) definitie mogelijk, maar die is vrij abstract. We hebben n-dimensionale ruimte. Stel p en q zijn getallen en r=p+q. Stel P is een punt in die ruimte. Een tensor van het type (en dus van rang r) in punt P is een object dat in elk coördinaatsysteem n r componenten (getallen) heeft. Bij een andere keuze van het coördinaat systeem transformeren deze getallen volgens de volgende regel: Een tensorveld van het type (en dus van rang r) op een verzameling V is een object dat in elk punt P in de verzameling V een tensor geeft. De verzameling V kan de hele ruimte zijn, maar ook bijvoorbeeld alleen een kromme. Voorbeeld van het laatste: het raakvectorveld langs een kromme. Bijlage 6: Take away Les 3 en 4 Newton metriek (probeersel) Veld vergelijking lege ruimte Geodetische afwijking Covariante afgeleide Covariante afgeleide 1-vorm Kromming scalar Covariante afgeleide: (1,2) (1,3)-tensor Ricci tensor met Riemann krommingstensor Hoe u het zelf had kunnen bedenken 17