Opgave 3 Hcr aantd brandrneldingen per dag in een bepaalde stad wordt verendersteld Peissonverdeeld te sijn met parameter p = 1.5. Het aantal vragen per dag naar brandweerhulp voor andere zaken is hiervan onafhankelij k en heeft eveneens een Poisson-verdel jng, met parameter p= 2.1. a. Bereken de kans dat de brandweer op een willekeurige dag in totaal 2 keer in actie moet kornen. b.. Stel dat de brandweer op een dag 2 keer in actie f s gekomen, wat is nu de kans dat het hide keren niet om brand ging? Opgawe 4 k 1 1 vulmachint vult potten met hoeveelheden piodakaas, De hoeveeiheid pindakaas per pot (in grammen) is N(450,9) -verdeeld. Het gewicht van een lege pot (in grammen) is N(50,4) -verdeeld. De hoeveelheden pindakaas en de gewichten van de potten zijn onderling onaman kel ij k. Bepaal de kansverdeling van het gezamenlij k gewicht van 50 gevulde potten, Opgave 5 Beschoaw een serie rnetingen X,, X,,..., X, dee csnderling onafhanktlijk zijn en alle gelijk verdeeld met venvachting p en variantie 0% Toon aan drtt de steekproefvariantie s2 = ( X, - X)' /(n- I) em zuivere sshatter is van 02. I Hint: gebruik hierbij de volgende gelijkheid: Z(X, - F)' = X: - n(f)'. I Opgave 6 In een ondenoek naar het verband tussen chromosmmafwijkingen en criminalitei t werden gegevens bestudeerd van Deense mannen die geboren zijn in Kopenhagen. Vow de grote grmp van Deense mannen geboren in Kopenhagen zonder chrornosmrnafwijking werd vastgesteld dat 9.3% een srrafblad had. Voor de groep van 28 Deense rnannen geboren in Kopenhagen met chrornosoomafwijkingen noteerde men 8 mannen die een strafblad haddm. Sommige deskundi gen denken dat verhoogde ctj minali tei t samenhangt met chromo-soomafwijkingen. Ondersteunen deze gegevens deze opvatting? Vmr een statistische toets uit om deze vraag te beantwoorden, n em 1 % ds onbetr~uwbaarheidsdrempel en volg het schema van acht stappen verme1d aan het eind van het tentamen.
Opgave 7 Elektro-encefalograrnmen tonen de elektrische activiteit in de hwsenen. Van de verscbillende te ondetscheiden golven in de bersenen zijn de zcrgenaamde alpha golven dominant. Ueze golven hebben een frquenrie van B tat 13 cycii per seconds. Het volgende experiment is uitgevoerd om te onderzoeken of opsluiting in een isoleercei in een gevangenis het patroon van de alpha golven be'invloedt. Twintig gevangenen van een Canadese gevangenis werden via een Eotingsysteem lukzraak verdeeld tn twee groepen van 10. De leden van groep 1 moesten (afzonderli~k) in isaleercellen verbiijven. De lcdcn van de andere groep mochten in de eigen cel blijven. Na zeven dagen werd de frequentie van de alpha golven gemeten voor alle twintig gevangenen. De resultaten zijn als voigt. in isoleereel in eigen cel 9.6 10.7 10.4 10.7 9.7 10.4 10.3 10.9 9.2 10.5 9.3 10.3 4.9 9.6 9.5 11.1 9.0 11.2-109 -- 10.4 De steekprmfgerniddelden zljn respectievelij k 9.78 (isolecrcel) en 10.58 (eigen cel). De st=kprmfstandaardafwijkingen zijn respectievelijk 0.598 (isoleercel) en 0.459 (eigen cel). Ga voor de volgmde onderdelen uit van normale verdelingen en gelijke varianties voor de twec gmpen. a. Beraken het 95%-ktrouwbaarhei&interval voor de vetwachting van (de verdeling van) de frequentie van de alpha gulven voor groep 1 (isoleercel). - 6. Bereken hec 95%-bemuwbaarheidsrnterval voor de standaardafwij king a (dus niet a') vm (de verdeling van) de frequentie van de alpha golven voor poep 1 (isoleercel). c. Bereken het 95%-betrouwbaaiheidsinterval voor hec verschil in verwachtingen tussen de beide goepen. Olpgave 8 In sommigc deecn van de Atlantische Oceaan hebben vissers hinder van walvissen. Het probleem is de walvissen te vefjagen zonder de vissen weg te schrikken. Uit het verleden is bekend (m.b.v. sonar-waarnemingen) dnt 40% van de aangetroffen walvi ssen direct uit zichzeif weggaat, waarschijnlijk vanwege lawaai van het schip. Recentelijk is een nieuwe techniek uitgeprobeetd om walvissen van vissersboten te vcrjagen: men verjaagt de walvissen d.rn.v. het geluid van een zwaardwaluis. De techniek is uitgeprokrd op 52 walvissen. hat X he[ aantal walvissen zijn dat direct verdween. We gaan er vanuit drtt X B(52, p) -verdeeld is rnct onbekende "succeskans" p. We willen de nulh ypothese H, : p = 0.40 toetsen tegen de alternatieve hypothese H, ; p > 0,40 om de vraag te beantwoorden of het zinvd is de nieuwe technjek toe te passen. Omdat we, kjezen voor onbetrouwbaarheidsdrempel5% venvcrpen we H, als X 2 28. Reken voor deze.toets het onderscheid vermogen uit voor p = 0,50.
Norrneri ng: Schema van acht stappen. I. Fomuleer het kansmodel. 2. Formuleer nulhypothese H, en alternatieve hypothese H, in termen van de parameters van het kansmodel. 3. Fomuleer een geschikte tmtsingsgtootheid in termen van de voorkomende s.v.-en. 4. Geef de kansverdel ing van de toetsingsgrootheid onder (het randpun t van) H, 5. Beteken of geef de waarde van de toetsingsgrootheid. 6. Bepaal de htjeke waarde(n) en geef het kritieke gebied. of 6. Bereken de overschrijdingskans. 7, Fomuleer de cooclusie omtrent het a1 dan niet venverpen van Ho bij de gegeven onbetrouwbaarheid(sdrempel). 8. Vermeld de conclusie in "gewone wmden". Bijlagen: N(0,I) -tabel. t -tabel, ;l12 -tabel en fomuleblad "Enkele formules".