Algemene relativiteitstheorie en hoe u die zelf had kunnen bedenken. HOVO Utrecht les 1 en 2: Klassieke gravitatie, geodeten Dr. Harm van der Lek vdlek@vdlek.nl Natuurkunde hobbyist Programma 1 1. Kepler Newton 2. Poisson & Laplace 3. Equivalentie principe & pad Cursus 4. Rechte lijnen 5. Variatie principe & Euler-Lagrange 6. Geodeten Klassieke gravitatie Hoe u het zelf had kunnen bedenken 1
Beweging in plat vlak met centraal punt 1.1 de versnelling in (of tegen) de richting van de plaatsvector de versnelling loodrecht op de richting van de plaatsvector Later gebruiken om t te elimineren De perkenwet geldt dan en slechts dan als de versnelling in de richting van de plaatsvector is (of er juist tegen in) 3 Even ophalen: Ellips en de cosinus regel Som van de afstanden tot de brandpunten is constant 1.2 Cosinus regel Hoe u het zelf had kunnen bedenken 2 4
Eerste wet van Kepler 1-ste wet: De baan van een planeet is een Ellips met de zon in één van de brandpunten. Als 2-de wet geldt, dan versnelling in of tegen de richting van. Als de 1-ste we ook geldt vermoeden we dat a Johannes Kepler e < 0. 1571 1630 Sterker nog: we kunnen a e precies berekenen! B4 1.3 5 We hadden: Terug van Newton naar Kepler 2 de wet Kepler (perkenwet) Versnelling in richting centrale punt En dan: 1 ste wet Kepler (Ellips) (2 de wet Newton (F=ma) Nu omgekeerd: Algemene oplossing ( Kegelsneden ) Ellips (B=0: Cirkel ) Parabool Hyperbool Nieuwe oplossingen Hyperbool geval volgende slide Hoe u het zelf had kunnen bedenken 3 6
Afbuiging licht (semi-) klassiek Echte positie ster Schijnbare positie ster Einstein in 1915 Soldner in 1801 Einstein in 1911! Johann Georg von Soldner 1776 1833 ff onthouden: 7 Programma 2 1. Kepler Newton 2. Poisson & Laplace 3. Equivalentie principe & pad Cursus 4. Rechte lijnen 5. Variatie principe & Euler-Lagrange 6. Geodeten Klassieke gravitatie Hoe u het zelf had kunnen bedenken 4
Differentiaal vergelijking; Poisson en Laplace oriëntatie R Laplace Newton + bolsymmetrie: is massadichtheid is (zwaartekracht-) potentiaal 1.4 Siméon Poisson 1781 1840 Lege ruimte: Poisson: Laplace: Newton boven Ook? Ook! Laplace Energie balans; ontsnappingssnelheid R = straal hemellichaam v = ontsnappingssnelheid Aarde: 11 km/sec lichtsnelheid En die kennen we! Weg terug kan ook. Energie is integratieconstante. John Michell 1724 1793 Eerst gepubliceerd later er weer uitgehaald Pierre-Simon Laplace 1749 1827 Licht kan niet ontsnappen? Zwart gat!? M=Gewicht Aarde: R S =8,87 milimeter M=Gewicht Zon: R S =3 kilometer Schwarzschild Straal Hoe u het zelf had kunnen bedenken 5 10
Programma 3 1. Kepler Newton 2. Poisson & Laplace 3. Equivalentie principe & pad Cursus 4. Rechte lijnen 5. Variatie principe & Euler-Lagrange 6. Geodeten Klassieke gravitatie Noodzaak nieuwe gravitatie theorie Probleem met onmiddelijke actie op afstand : Gebeurtenis 1: Zon ontploft 2 is duidelijk het gevolg van 1. In Newtons theorie gebeurt dit instantaan op het zelfde moment. Gebeurtenis 2: Aarde vliegt uit baan Maar in een stelsel dat van links naar rechts raast, gebeurt 2 eerder dan 1 volgens de SRT! Bovendien: in het elekromagnetisme was dit al OK. Het EM veld plant zich voort met de lichtsnelheid. Dus tijd voor een nieuwe theorie. Newton moet hieruit wel kunnen worden afgeleid (als eerste benadering). Hoe u het zelf had kunnen bedenken 6 12
Basisgedachte: het equivalentie principe A. C. Equivalent Aarde Aarde Equivalent B. D. De zwevers De staanders 13 Toch te voelen: getijdekrachten Zwaartekracht bestaat niet!! Kan immers weggetransformeerd worden. Vergelijkbaar met het lokaal wegtransformeren van de kromming van het aardoppervlak, bijvoorbeeld bij de rijksdriehoekmeting. Maar als er een echt zwaartekrachtsveld is zijn er toch (minieme) effecten: getijdekrachten. Hoe u het zelf had kunnen bedenken 7 14
y-as Coördinaten en (lokale) afstand: lijnelement bewijzen via een transformatie: x-as B1 Zouden er andere coördinaten u en v mogelijk zijn zodat??? Antwoord nee! Maar dat is nog niet zo eenvoudig te bewijzen! Nee, niet plat Nee, ook niet plat Ja, wel plat!! 15 Het programma kwadrant Vlakke meetkunde 2-dimensionaal Speciale relativiteitstheorie 4-dimensionaal Plaats vector Raak vector Driehoek Hoek 4-Plaats vector 4-Raak vector Tensoren (eerste kennismaking met -) Rechte lijn Meetkunde gekromde vlakken 2-dimensionaal (en n-dimensionaal) Plaats vector Raak vector Driehoek Hoek Algemene relativiteitstheorie 4-dimensionaal potentiaal Geodeet Hoe u het zelf had kunnen bedenken 8 16
Het programma Meetkunde gekromde vlakken 2 3 en 4 2-dimensionaal (en n-dimensionaal) Geodeten (Christoffel symbolen) Covariant differentiëren Algemene relativiteitstheorie g 00 potentiaal Zwarte gaten Klokvertraging: roodverschuiving 4-dimensionaal 5 en 6 Krommingstensor Bianchi identiteiten 7 en 8 Veldvergelijkingen lege ruimte Schwarzschild oplossing Afbuiging licht door zon Perhelium Mercurius Nogmaals: Zwarte gaten De Veldvergelijkingen Kosmologie Zwaartekrachts golven 17 Programma 4 1. Kepler Newton 2. Poisson & Laplace 3. Equivalentie principe & pad Cursus 4. Rechte lijnen 5. Variatie principe & Euler-Lagrange 6. Geodeten Klassieke gravitatie Hoe u het zelf had kunnen bedenken 9
Rechte lijnen; analytisch Welke van de volgende lijnen is recht, en welke niet? Recht?? Ja Nee Verander namen what s in the name Recht?? Nee, toch niet Ja, toch wel Conclusie: om aan de analytische vorm te kunnen herkennen of een lijn recht is heb je de metriek (het lijnelement) nodig 19 Kortste verbinding tussen twee punten Lijn element: P 2 (t=t 2 ) (voorbeeld: ) Hoe berekenen we de lengte van een kromme? Neem de som van oneindig veel stukjes ds (dus de integraal) ds P 1 (t=t 1 ) Wanneer hebben we de kortste verbinding te pakken? Maw. Wanneer is S minimaal? Hiervoor hebben we variatierekening nodig. Hoe u het zelf had kunnen bedenken 10 20
Programma 5 1. Kepler Newton 2. Poisson & Laplace 3. Equivalentie principe & pad Cursus 4. Rechte lijnen 5. Variatie principe & Euler-Lagrange 6. Geodeten Klassieke gravitatie Variatie rekening Een kromme in een n-dimensionale ruimte: Stel L is een functie van 2n variabelen. P 2 (t=t 2 ) P 1 (t=t 1 ) Hoe u het zelf had kunnen bedenken 11 22
Euler Lagrange vergelijking P 2 (t=t 2 ) De afgeleide naar λ moet bij λ=0 gelijk aan 0 zijn: P 1 (t=t 1 ) B5 Dit kan alleen maar 0 zijn voor alle als voor alle i en t als: Dus: Merk op: en zijn uitdrukkingen die los staan van de kromme. 23 Something completely different Formulering klassieke mechanika in termen van de z.g. Lagrangiaan: T = Kinetische energie V=Potentiele energie Lagrange Newton Euler So what?? Met andere woorden: de wet van Newton kan gezien worden als een gevolg van variatie rekening 1. Sommige situaties in de klassieke mechanika kunnen efficient geformuleerd en opgelost worden; 2. Ook andere zaken (b.v. stelling van Noether) kunnen mooi worden geformuleerd; 3. Absoluut onmisbaar voor overgang naar Quantum mechanika; 4. Zie Leonard Susskind: The Theoretical Minimum Hoe u het zelf had kunnen bedenken 12 24
Programma 6 1. Kepler Newton 2. Poisson & Laplace 3. Equivalentie principe & pad Cursus 4. Rechte lijnen 5. Variatie principe & Euler-Lagrange 6. Geodeten Klassieke gravitatie Kunnen we de wortel kwijt? met Een voorbeeld: (zoals verwacht) Maar de parametrizering van was misschien Ook wel wat onhandig, beter lijkt: = Alleen metriek = Specifiek dit voorbeeld (zoals ook verwacht) Bovendien W en L beide constant langs Hoe u het zelf had kunnen bedenken 13 26
Hoe zit dit precies? Geodeten Stelling: Bewijs: We hebben: met, dan Volgt uit (1), (4) en (5)? Gevolg: we mogen (en willen) ons beperken tot voor L. Parametrisering volgens booglengte is immers geen wezenlijke beperking. Voordelen: (1) Eenvoudiger rekenen (2) L kan ook =0 of <0 zijn Licht!! We noemen zo n pad een geodeet. Beide kanten maal : Dus =0! Dus L constant QED. 27 Geodeet vergelijking; Christoffel symbolen 1.5 1 ste soort: Elwin Bruno Christoffel 1829 1900 2 ste soort: (in feite al bij Riemann) Einstein 1915 Einstein 1915 Vergelijking geodeet B2 Einstein 1915 Hoe u het zelf had kunnen bedenken 14 28
Voorbeelden: rechte lijnen in platte ruimte Poolcoördinaten: Geodeet: Most complicated way to describe a straight line Voorbeeld checken: 2e klopt 1g klopt (constant) (algemeen: Als L niet van x µ afhangt dan hebben we een behoudswet en is EL makkelijker) B3 Opgave 29 Programma Klaar 1. Kepler Newton 2. Poisson & Laplace 3. Equivalentie principe & pad Cursus 4. Rechte lijnen 5. Variatie principe & Euler-Lagrange 6. Geodeten Klassieke gravitatie Hoe u het zelf had kunnen bedenken 15
Opgave: Poincaré halfvlak Q Kortste verbinding tussen P en Q? (qualitatief) P 31 Bijlage 1: Parabool coördinaten Hoe het correcte lijnelement vinden? Stel u en v goede coördinaten x=-3 x=0 (y-as) x=5 O P? Hoe u het zelf had kunnen bedenken 16 32
Bijlage 2: Transformatie Christoffel 1 ste soort: 2 de soort: Coördinaten trafo: (lijkt op tensor trafo) Conclusie: 33 Conclusie: Bijlage 2: Check met pool coördinaten Op deze manier kunnen we de Γ dus (opnieuw) uitrekenen Hulpjes: Komt overeen met eerdere resultaten Hoe u het zelf had kunnen bedenken 17 34
Bijlage 3: Grote cirkels op bol z-as Lijnelement: (constant) 2e x-as klopt! y-as Vermoeden: grote cirkel is geodeet. Gaan draaien: Dus 2e klopt en K=C 1e en L=1 nog checken, volgende slide 35 Bijlage 3: Rest Check Hoe u het zelf had kunnen bedenken 18
Bijlage 4: Newton ontdekken Uitgangspunten: (Ellips) (Perkenwet) Te bepalen/onderzoeken/berekenen: 37 Bijlage 5: Slordige afleiding EL Hoe u het zelf had kunnen bedenken 19 38
Bijlage 6: Take away les 1 en 2 Les 1: Les 2: Baanvergelijking Poisson: Christoffel symbolen: Laplace: 1 ste soort: 2 ste soort: Schwarzschild straal: Vergelijking geodeet 39 Hoe u het zelf had kunnen bedenken 20