WISKUNDE IN DE INTERNE LOGISTIEK

1 WISKUNDE IN DE INTERNE LOGISTIEK René de Koster Rotterdam School of Management Erasmus University rkoster@rsm.nl http://www.rsm.nl/rdekoster magazijnen R. de Koster, 010 (c) 1

Ontwerp van een magazijn Palletmagazijnen met trucks 1. Hoeveel voorraad ligt er (hoe groot moet het zijn in #pallets opslag)?. Hoe lang en hoe breed moet het magazijn zijn? Automatische magazijnen met kranen. Hoe lang en hoe hoog moet een gang zijn? 4. Hoeveel gangen en kranen zijn nodig in een automatisch magazijn? Sorteerinstallaties 5. Wat is de capaciteit van een sorteerinstallatie? 1 Hoeveel voorraad ligt er (#pallets opslagcapaciteit)? 4 R. de Koster, 010 (c)

5 stappen: 1. Bepalen gemiddelde voorraadhoogte per opgeslagen product (uitgedrukt in pallets). Bepalen maximale gelijktijdige voorraad uitgedrukt in pallets Wanneer en hoeveel bestellen? Bestelpuntmethode Inventory Level 6 Order Quantity (Q) Average Inventory (Q/) Reorder Point (ROP) Lead Time reorder cycle Time R. de Koster, 010 (c)

7 Order Quantity (large Q) EOQ: the trade off Inventory Level Order Quantity (small Q) Inventory Level Smaller Q more orders, but lower inventory Time Time 8 Hoeveel bestellen? EOQ (economic order quantity): minimaliseert kosten R. de Koster, 010 (c) 4

9 Which inventory-related related costs? Holding costs - associated with holding or carrying inventory over time. For example due to: Obsolescence, Insurance, Extra staffing, Interest, Pilferage, Damage, Warehousing Typically: 10-15% of value per year Ordering costs - associated with costs of placing order and receiving goods. For example due to: Supplies, Forms, Order processing, Clerical support, Payments, Transportation. 10 Total (annual) costs TC(Q) Ordering costs (annual) demand D S Q unit ordering cost order quantity Inventory holding cost Q H unit holding cost per year R. de Koster, 010 (c) 5

11 EOQ Model: graphical Annual Cost D Q TC( Q) = S + H Q Total Cost Curve Holding Cost Curve Q H Ordering Cost Curve D S Q Optimal Order Quantity (Q*) Order Quantity 1 The Economic Order Quantity D Q Total annual costs are now: TC( Q) = S + H Q To find the best order size, we need to find Q such that TC is minimized. Setting derivative equal to zero: D H TC( Q )' = S + = 0 Q gives the Optimal (or Economic) Order Quantity Q* Q = DS H R. de Koster, 010 (c) 6

1 EOQ Assumptions Known and constant demand Known and constant lead time Instantaneous and complete receipt of material No quantity discounts Only ordering cost and holding cost No stockouts 14 Reorder points Simple inventory models assume that everything is 100% predictable. In reality there may be uncertainty. Reorder point if all EOQ assumptions hold: ROP = d*l Otherwise use safety stock: ROP = d*l + ss What is a good level for the safety stock? Basic probabilistic model: lead time demand is normally distributed. Other probabilistic models: lead time and/or daily demand are normally distributed. R. de Koster, 010 (c) 7

15 Optimal Order Quantity Reorder Point point (ROP) Basic Probabilistic Model: When to Order? Inventory Level Place order Lead Time Receive order Safety Stock (ss( ss) Time 16 Basic Probabilistic Model: When to Order? Frequency Service Level α=p(stockout) ss X ROP R. de Koster, 010 (c) 8

17 Reorder points Reorder point if all EOQ assumptions hold: ROP = d*l Otherwise use safety stock: ROP= d L+ ssα = d L+ Zασ (1-α=service level). Let X dl = lead time demand PX [ dl > ROP] < α XdL d L P[ > Z α ] < α σ dl If lead time demand is normally distributed, then X dl d L follows a standard normal distribution and σ we can lookup Z α in a table: dl 1 1 Φ ( Z ) = α Z =Φ (1 α) Question: how to determine σ dl? α α dl 18 Assumption: leadtime constant VAR( X ) = VAR( X + X +.. + X ) = L VAR( X ) σ = σ L dl 1 L d dl d (assuming iid daily demand and constant lead time) Average inventory level during a reorder cycle: inventory just after reordering: Q+ss inventory just before reordering: ss average inventory level: Q + ss R. de Koster, 010 (c) 9

We weten nu hoeveel voorraad er gemiddeld ligt per artikel i voor een bepaalde servicegraad 1-α: 19 Qi Qi + ssi = + Zασ i Li 0 Hoeveel opslaglocaties ( (pp)) hebben we nodig? N artikelen, vrij locatie opslagsysteem, dan # pp = N i= 1 Qi + ss i (1 + veiligheidsfactor) ( unitsi / pallet) gewenstevulgraad Veiligheidsfactor: - Rekening houden met groei over ca. 5 jaar - Rekening houden met gelijktijdige aanwezigheid (0-0%) Vulgraad: ca. 80% Q vaste locatie opslagsysteem: vervang door : Q R. de Koster, 010 (c) 10

1 Hoe lang en hoe breed moet het magazijn zijn? Moeten de pallets in de breedte of in de diepte opgeslagen worden? Europallets: 10 x 80 cm Hoe lang en hoe breed moet het magazijn zijn? () Deep or wide pallet storage? Cost ratios: warehouse write-off/rent :65-75 % personnel :0-5% equipment :5-10% Conclusion: good space utilization! R. de Koster, 010 (c) 11

Hoe lang en hoe breed moet het magazijn zijn? () Deep or wide pallet storage? Cost ratios: warehouse write-off/rent :65-75 % personnel :0-5% equipment :5-10% Conclusion: good space utilization! Example: small forklift trucks (.1m aisle width) b = aisle width+.4+0.m b b l = 0,8 + 0,m aisle width=.5m => O = 5.1 m 6.6% less space needed! l l b = aisle width+1.6+0.m l = 1. + 0.m aisle width =.1m => O = 5.5 m 4 Hoe lang en hoe breed moet het magazijn zijn? () typische layouts (met random opslag): L X X l b Y B Y X1 Ave. single-cycle travel time: TT=(L/4 + B/) = B + L/ Assume needed storage space is given: LB=C Q: what is the optimum warehouse length/width ratio? R. de Koster, 010 (c) 1

Hoe lang en hoe breed moet het magazijn zijn? () 5 L X X l b Y B Y L Ave. single-cycle travel time: TT = B + Substitute C ( ) C L B = TT L L = L + C 1 Take derivative wrt L, equate to zero: TT ( L)' = + = 0 L This results in L = C L = B C C B = = C X1 How to design a pallet bulk warehouse?(4) 6 X X l b Y B Y X1 P (=#pp) = n L/l x B/b (n= nr of levels), L=B => B= ( Plb / n)/ Note: L/l, B/b are integers! L= ( Plb / n) nr of sections nr of aisles R. de Koster, 010 (c) 1

. Automatische magazijnen met kranen (AS/RS) 7. Optimale lengte/hoogte verhouding van een opslaggang? 8 H depot Zijaanzicht van een gang L R. de Koster, 010 (c) 14

9 Kraan rijdt en heft tegelijk! Data: v x, v y =horizontale, verticale snelheid van de kraan L H tx =, ty = : rijtijd/heftijd naar verste/hoogstelocatie v v x y t t x T = max{ t, }, min{, y x ty b= } T T de vormfactor van de stelling t y Veronderstel t x t y, dan b = tx Z = rijtijd (heen en weer naar locatie). Gezocht: E[Z] Rijtijden, getekend in de tijddimensie 0 t y depot Zijaanzicht van een gang, in de tijd t x R. de Koster, 010 (c) 15

1 Gemiddelde rijtijd? Stel een magazijn is 50 sec rijtijd lang, en 50 sec heftijd hoog. Random opslag (elke locatie even waarschijnlijk) Wat is de gemiddelde rijtijd naar een locatie (enkele reis)? Herschalen van de magazijndimensies, deel alle tijden door T=t x b<1 X~U[0,1], Y~U[0,b] depot 1 Zijaanzicht van een gang, in de tijd, geschaald R. de Koster, 010 (c) 16

F ( z) = P[ Z z] = P[max{ X, Y} z] = P[ X z] P[ Y z] Z z zals, 0 z 1, als 0 z b PX [ z] = PY [ z] = b 1, als z > 1 1, als z > b z z, als 0 z b, als 0 z b b b FZ( z) = z, alsb< z 1, dus fz( z) = 1, alsb< z 1 1, als z > 1 0, als z > 1 b z 1 EZ [ ] = zf ( ) 0 0 Z zdz= dz+ zdz+ dz 0 b b 1 b 1 z z b 1 b b = + = ( + ) = 1+ b 0 b Terugschalen: vermenigvuldigen met T b E[ Z] = (1 + ) T 4 R. de Koster, 010 (c) 17

5 Optimale stellingafmeting? Stel een stelling is 0m lang Wat is dan de optimale hoogte? 6 Optimale stellingafmeting? ty ( ) tx min! E[ Z] = (1 + ). t odv t t = C x y C C ty =, substitutiegeeft: E[ Z] = tx + t t x Afgeleide gelijk aan 0 stellen geeft: x 6 x x 9Ct 1+ = 0 t = C,endaarom ook t = C,ofwelt = t 9t x x y x y R. de Koster, 010 (c) 18

7 Optimale stellingen zijn vierkant! Althans in de tijd Stel v x = m/s, v y = 0,5 m/s. Optimale stellingafmetingsverhouding in m? dan moet de stelling dus 4-maal zo lang zijn als hoog 8 4. Hoeveel kranen en gangen nodig? Stel ik heb 4000sec stellingruimte nodig en ik moet per uur minimaal 00 pallets inslaan en/of uitslaan min! N min! N odv N tx ty = 4000 odv N tx = 4000 N 600 00 N 600 00 t y 1 (1 + ) tx tx (1 + ) tx N : = 0, tp = 0; Oplossingsmethode: While tp < 00 000 N 600 do N : = N + 1; tx : = ; tp: = N 1 (1 + ) tx end do; R. de Koster, 010 (c) 19

9 Hoeveel kranen en gangen nodig? Stel ik heb 4000m stellingruimte nodig en ik moet per uur minimaal 00 pallets inslaan en/of uitslaan Oplossingsmethode: N : = 0, tp = 0; While tp < 00 000 N 600 do N : = N + 1; tx : = ; tp: = N 1 (1 + ) tx end do; #gangen 1 4 tx (sec) 44.7 1.6 5.8.4 tp (pal/hr) 60.4 170.8 1.7 48.0 40 Hoeveel kranen en gangen nodig? Stel ik heb 4000sec stellingruimte nodig en ik moet per uur minimaal 00 pallets inslaan en/of uitslaan Oplossingsmethode: N : = 0, tp = 0; While tp < 40 000 N 600 do N : = N + 1; tx : = ; tp: = N 1 (1 + ) tx end do; #gangen 1 4 tx (sec) 44.7 1.6 5.8.4 tp (pal/hr) 60.4 170.8 1.7 48.0 R. de Koster, 010 (c) 0

41 5. Wat is de capaciteit van een sorteerinstallatie? 4 Sorter layouts Line Sorter induct sorter overflow outputs induct sorter outputs over flow Loop Sorter Source: Vanderlande R. de Koster, 010 (c) 1

Loop sorter met 1 induct. Wat is de totale sorteercapaciteit bij gegeven nominale machinecapaciteit C 4 Single induct point versus multi induct points Capaciteit bij elke doorsnede = C (prod/sec). Gevraagd: X X Oplossing: X = C Single induct point / groups from aside 44 Sorteercapaciteit bij inducts? Aanname: inducts gelijkmatig verdeeld. Sorteergoten gelijkmatig verdeeld. Dan: 1 X + Y C = X = C X = Y 4 Ofwel: totale sorteercapaciteit = X = C R. de Koster, 010 (c)

45 Sorteercapaciteit bij inducts? Aanname: inducts gelijkmatig verdeeld. Sorteergoten gelijkmatig verdeeld. Dan: 1 1 X 4 1 X + X + X = C X i= C = C X = C i= 1 Ofwel: totale sorteercapaciteit = X = C 46 Sorteercapaciteit bij N inducts? Aanname: N inducts gelijkmatig verdeeld. Sorteergoten gelijkmatig verdeeld. Dan: N 1 X ( N + 1) N X i = C = C X = C N N N + 1 i= 1 Ofwel: totale sorteercapaciteit = N NX = C N + 1 R. de Koster, 010 (c)

47 Sorteercapaciteit bij N inducts? Als het aantal inducts toeneemt kunnen we bijna maal zoveel producten per uur sorteren als de nominale sorteercapaciteit! Er zijn nog meer interessante vraagstukken binnen magazijnen, oplosbaar met school wiskunde (of ietsje meer) Welk magazijn is het best? Oplossing met DEA (lineair programmeren) Hoeveel dockdeuren zijn nodig teneinde bepaalde maximale truckwachttijd te krijgen? Modelleren als M/M/m wachtrij Wat is de optimale stapeldiepte(met betrekking tot ruimtegebruik)? Ruimtegebruik modelleren als functie van de stapeldiepte (en hoogte) en eerste orde condities toepassen 48 R. de Koster, 010 (c) 4