Combinatoriek en rekenregels Les 3: Het vaasmodel (deze les sluit aan bij de paragrafen 5, 6 en 7 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)
Samenvatting In een vaas zitten briefjes met de nummers 1 tot en met 7. Je trekt 3 briefjes. Er zijn vier mogelijkheden: Je doet een geordende greep met herhaling. Je doet een geordende greep zonder herhaling. Je doet een ongeordende greep met herhaling. Je doet een ongeordende greep zonder herhaling.
Samenvatting In een vaas zitten briefjes met de nummers 1 tot en met 7. Je doet een geordende greep met herhaling. Je trekt drie briefjes met terugleggen en let op de volgorde.
Samenvatting In een vaas zitten briefjes met de nummers 1 tot en met 7. Je doet een geordende greep met herhaling: Je trekt drie briefjes met terugleggen en let op de volgorde. Teken een wegendiagram. Het aantal mogelijke grepen is een macht: 7 x 7 x 7 = 343.
Samenvatting In een vaas zitten briefjes met de nummers 1 tot en met 7. Je doet een geordende greep zonder herhaling: Je trekt drie briefjes zonder terugleggen en let op de volgorde.
Samenvatting In een vaas zitten briefjes met de nummers 1 tot en met 7. Je doet een geordende greep zonder herhaling: Je trekt drie briefjes zonder terugleggen en let op de volgorde. Teken een boomdiagram (een 7-6-5 boom). Het aantal mogelijke grepen is het aantal mogelijke permutaties van 3 uit 7, een faculteit: 7 npr 3= 7! 7 3! = 7 x 6 x 5 = 210.
Samenvatting In een vaas zitten briefjes met de nummers 1 tot en met 7. Je doet een ongeordende greep met herhaling: Je trekt drie briefjes met terugleggen en let niet op de volgorde.
Samenvatting In een vaas zitten briefjes met de nummers 1 tot en met 7. Je doet een ongeordende greep met herhaling: Je trekt drie briefjes met terugleggen en let niet op de volgorde. Teken een aantal-rooster, horizontaal staan de te trekken nummers, verticaal het aantal getrokken nummer. Elke trekking komt overeen met een kortste route van 9 stappen in het rooster. Het aantal mogelijke trekkingen is 9 ncr 3 = 9 3 = 84.
Samenvatting In een vaas zitten briefjes met de nummers 1 tot en met 7. Je doet een ongeordende greep zonder herhaling: Je trekt drie briefjes zonder terugleggen en let niet op de volgorde.
Samenvatting In een vaas zitten briefjes met de nummers 1 tot en met 7. Je doet een ongeordende greep zonder herhaling: Je trekt drie briefjes zonder terugleggen en let niet op de volgorde. Je moet 3 keuzes maken uit de 7 nummers. Dat zijn 7 wel-niet beslissingen. Teken een wel-niet rooster. Het rooster in het voorbeeld stelt de volgorde niet-niet-wel-niet-wel-niet-wel voor en levert zo de greep 3,5,7 op. Het aantal mogelijke grepen is 7 ncr 3 = 7 3 = 35.
Combinatorische problemen Hoe los je een combinatorisch probleem op?
Combinatorische problemen Hoe los je een combinatorisch probleem op? Stap 1: Kies voor een passend vaasmodel.
Combinatorische problemen Hoe los je een combinatorisch probleem op? Stap 1: Kies voor een passend vaasmodel. Stap 2: Ga na met welke soort greep je maken hebt.
Combinatorische problemen Hoe los je een combinatorisch probleem op? Stap 1: Kies voor een passend vaasmodel. Stap 2: Ga na met welke soort greep je te maken hebt. Stap 3: Kies een rooster of boomdiagram passend bij de soort greep.
Combinatorische problemen Voorbeeld: Je gooit met vier identieke dobbelstenen. Hoeveel mogelijke uitkomsten zijn er? Stap 1: Kies voor een passend vaasmodel.
Combinatorische problemen Voorbeeld: Je gooit met vier dobbelstenen. Hoeveel mogelijke uitkomsten zijn er? Stap 1: Kies voor een passend vaasmodel. Vaasmodel In de vaas zitten 6 nummers 1 tot en met 6. Elke worp komt overeen met vier keer trekken.
Combinatorische problemen Voorbeeld Je gooit met vier dobbelstenen. Hoeveel mogelijke uitkomsten zijn er? Stap 1: Kies voor een passend vaasmodel. Stap 2: Ga na met welke soort greep je te maken hebt. Vaasmodel In de vaas zitten 6 nummers 1 tot en met 6. Elke worp komt overeen met vier keer trekken. Soort greep Een ongeordende greep met herhaling.
Combinatorische problemen Voorbeeld Je gooit met vier dobbelstenen. Hoeveel mogelijke uitkomsten zijn er? Stap 1: Kies voor een passend vaasmodel. Stap 2: Ga na met welke soort greep je te maken hebt. Stap 3: Kies een rooster passend bij de soort greep. Oplossing In de vaas zitten 6 nummers 1 tot en met 6. Elke worp komt overeen met vier keer trekken. Dat is een ongeordende greep met herhaling. Teken een aantal -rooster. Een kortste route heeft 9 stappen. Aantal kortste routes is 9 4 = 126
Combinatorische problemen Nog een voorbeeld Hoeveel rijtjes met lengte 8 zijn er met alleen maar nullen en enen? Een rijtje met alleen nullen en alleen enen mag ook.
Combinatorische problemen Nog een voorbeeld Hoeveel rijtjes met lengte 8 zijn er met alleen maar nullen en enen? Een rijtje met alleen nullen en alleen enen mag ook. Kies een vaas met twee briefjes, een briefje met een 0 en met een 1. Je trekt 8 keer een briefje en legt dat terug. De volgorde van de greep van 8 doet ertoe. Je hebt dus te maken met een geordende greep met herhaling.
Combinatorische problemen Nog een voorbeeld Hoeveel rijtjes met lengte 8 zijn er met alleen maar nullen en enen? Een rijtje met alleen nullen en alleen enen mag ook. Kies een vaas met twee briefjes, een brief je met een 0 en met een 1. Je trekt acht keer een briefje en legt dat terug. De volgorde van de greep van 8 doet ertoe. Je hebt te maken met een geordende greep met herhaling. Voor het eerste getal heb je 2 mogelijkheden. Voor het tweede weer twee mogelijkheden, en zo verder. Totaal 2 8 = 256 mogelijkheden.
Combinatorische problemen Nog een voorbeeld (vervolg) Hoeveel rijtjes met lengte 8 zijn er met alleen maar nullen en enen en met precies twee enen? Aanwijzing: Let op de plaats van de twee enen. Bijvoorbeeld: in het rijtje 01001000 staan de enen op plaats 2 en 5.
Combinatorische problemen Nog een voorbeeld (vervolg) Hoeveel rijtjes met lengte 8 zijn er met alleen maar nullen en enen en met precies twee enen? Stap 1: Kies een vaas met de nummers 1 tot en met 8. Trek twee keer. De getrokken nummers zijn de plaats van de enen. Stap 2: Dit is een ongeordende greep zonder herhaling. Stap 3: Een wel-niet rooster: je pakt twee briefjes wel en zes briefjes niet. Dus 8 ncr 2 = 28 mogelijke rijtjes.
Combinatorische problemen Een ander voorbeeld Je gaat rijtjes maken van 7 cijfers. Een rijtje bevat precies twee nullen, drie enen, een twee en een drie. Hoeveel van deze rijtjes kun je maken?
Combinatorische problemen Een ander voorbeeld Je gaat rijtjes maken van 7 cijfers. Een rijtje bevat precies twee nullen, drie enen, een twee en een drie. Hoeveel van deze rijtjes kun je maken? Kies een vaas met 7 briefjes en daarop de cijfers 1 tot en met 7. Elk briefje geeft de plaats aan van het te kiezen cijfer. Eerst trek je twee keer zonder terugleggen. Dat zijn de plaatsen van de twee nullen. Dat kan op 7 2 manieren.
Combinatorische problemen Een ander voorbeeld Je gaat rijtjes maken van 7 cijfers. Een rijtje bevat precies twee nullen, drie enen, een twee en een drie. Hoeveel van deze rijtjes kun je maken? Kies een vaas met 7 briefjes en daarop de cijfers 1 tot en met 7. Elk briefje geeft de plaats aan van het te kiezen cijfer. Eerst trek je twee keer zonder terugleggen. Dat zijn de plaatsen van de twee nullen. Dat kan op 7 2 Dan trek je drie keer, weer zonder terugleggen, voor de plaatsen van de drie enen. Dat kan op 5 3 manieren. manieren.
Combinatorische problemen Een ander voorbeeld Je gaat rijtjes maken van 7 cijfers. Een rijtje bevat precies twee nullen, drie enen, een twee en een drie. Hoeveel van deze rijtjes kun je maken? Kies een vaas met 7 briefjes en daarop de cijfers 1 tot en met 7. Elk briefje geeft de plaats aan van het te kiezen cijfer. Eerst trek je twee keer zonder terugleggen. Dat zijn de plaatsen van de twee nullen. Dat kan op 7 2 Dan trek je drie keer, weer zonder terugleggen, voor de plaatsen van de drie enen. Dat kan op 5 3 manieren. manieren. Je hebt nog twee briefjes over voor het plaatsen van de 2 en dus ook de 3. Totaal: 7 2 x 5 3 x 2 1 manieren.
Kansen Je gooit 600 keer met een gewone dobbelsteen. Je gooit 105 keer 6 ogen. Deze experimentele kans op een 6 is 105 600 1 6.
Kansen Je gooit 600 keer met een gewone dobbelsteen. Je gooit 105 keer 6 ogen. Deze experimentele kans op een 6 is 105 600 1 6. Je gooit in gedachten met een zuivere dobbelsteen. Zuivere dobbelstenen bestaan niet. Bij een zuivere dobbelsteen zijn er 6 mogelijke gelijkwaardige uitkomsten. De kans op een 6 is één van die 6 mogelijkheden. Dat is 1 6.
Kansen Voorbeeld 1 Je gooit twee keer met een munt. Je let op de volgorde. Dit komt overeen met een geordende greep met herhaling. De uitkomsten zijn: MM, KM, MK, KK. Alle uitkomsten hebben gelijke kans 1 4.
Kansen Voorbeeld 2 Je gooit twee keer met een munt. Je let niet op de volgorde. Dit komt overeen met een ongeordende greep met herhaling. De uitkomsten zijn: {M,M}, {K,M}, {K,K}. De uitkomsten hebben ongelijke kansen 1 4, 1 2, 1 4.
Kansen Voorbeeld 3 In een vaas zitten de nummers 1,2,3,4, en 6 Je neemt met teruglegging drie nummers uit de vaas. Je let wel op de volgorde. Wat is de kans dat het eerste nummer 1 is, het tweede 3 en het derde 6?
Kansen Voorbeeld 3 In een vaas zitten de nummers 1,2,3,4, en 6 Je neemt met teruglegging drie nummers uit de vaas. Je let wel op de volgorde. Wat is de kans dat het eerste nummer 1 is, het tweede 3 en het derde 6? Uitwerking Je hebt 6 3 mogelijke grepen. Alleen de greep 136 is succesvol. De kans daarop is 1 6 3 = 1 216.
Kansen Voorbeeld 4 In een vaas zitten de nummers 1,2,3,4,5 en 6 Je neemt met teruglegging drie nummers uit de vaas. Je let niet op de volgorde. Welke trekking heeft meer kans: drie 6 -en? één 1, één 2 en één 3?
Kansen Voorbeeld 4 In een vaas zitten de nummers 1,2,3,4,5 en 6 Je neemt met teruglegging drie nummers uit de vaas. Je let niet op de volgorde. Welke trekking heeft meer kans: drie 6 -en? één 1, één 2 en één 3? Uitwerking De kans op drie 6 -en is 1 6 3 = 1 216. Het rijtje {1,2,3} kan op 6 manieren voorkomen. De kans is dus 1 6 2 = 1 36. De kansen zijn ongelijk.
Maak nu opgave 12 op blz 26. Kansen
Kansen Je hebt n k geordende grepen van k uit n met herhaling Elke greep heeft gelijke kans 1 n k.
Kansen Je hebt n k geordende grepen van k uit n met herhaling Elke greep heeft gelijke kans 1 n k. Je hebt npk geordende grepen van k uit n zonder herhaling Elke greep heeft gelijke kans 1 npk.
Kansen Je hebt n k geordende grepen van k uit n met herhaling Elke greep heeft gelijke kans 1 n k. Je hebt npk geordende grepen van k uit n zonder herhaling Elke greep heeft gelijke kans 1 npk. Je hebt nck ongeordende grepen van k uit n zonder herhaling Elke greep heeft gelijke kans 1 nck.
Kansen Je hebt n k geordende grepen van k uit n met herhaling Elke greep heeft gelijke kans 1 n k. Je hebt npk geordende grepen van k uit n zonder herhaling Elke greep heeft gelijke kans 1 npk. Je hebt nck ongeordende grepen van k uit n zonder herhaling Elke greep heeft gelijke kans 1 nck. De uitkomsten van ongeordende grepen van k uit n met herhaling (combinaties) hebben ongelijke kans.
Oefenen Maak de opgaven van paragraaf 5 en 6 en in ieder geval: Opgaven 4, 6, 9 en 12 van paragraaf 5, Opgaven 4, 5, 7,10 en 11 van paragraaf 6.
Huiswerk Inleveren: Opgave 13 van paragraaf 5 Opgave 6 van paragraaf 7