De elementenmethode in de toegepaste mechanica Modelleren in GID Prof. Dr. Ir. B. Verhegghe Academiejaar 2007-2008 Christophe Landuyt Jan Goethals
Inhoudopgave Inleiding... 3 Opgave 1... 4 1) Werkwijze... 5 Preprocessing... 5 Postprocessing... 6 2) Bespreking van de spanningsresultaten... 9 Opgave 2... 15 Vraag 1... 16 1) Werkwijze... 16 Preprocessing... 16 Postprocessing... 18 Vraag 2... 23 Besluit... 28 2
Inleiding Deze opdracht valt binnen het kader van de cursus Elementenmethode in de toegepaste mechanica in de opleiding burgerlijk ingenieur bouwkunde. Het doel van deze opdracht bestaat erin om een gegeven constructie(onderdeel) te modelleren. Daarna volgt een berekening. Ten slotte worden de bekomen resultaten kritisch beoordeeld. De opdracht is uitgewerkt aan de hand van het programma GID. De opdracht bestaat dus uit 2 afzonderlijke oefeningen. 3
Opgave 1 Figuur 1: Geometrie van opgave 1 Gegeven: - Dikte t = 1mm - Plaatmateriaal = staal - Verdeelde last = 10 MPa Gevraagd: - Bespreek het reactieverloop - Vermazing 4
1) Werkwijze Het ingeven van een constructie omvat een pre en postprocessing. Preprocessing a) De juiste rekenmodule wordt gekozen [data problemtype calix]. We werken met calix omdat calpy geen correcte antwoorden geeft voor een quad/9. b) Nadat we de module gekozen hebben zal er een update gebeuren naar deze module. Dit is noodzakelijk om de wijzigingen die hiermee gepaard gaan te voltooien. c) [data data units] wordt op engineering gezet en de model units worden op de juiste eenheid gezet waarin men de constructie wil ingeven. d) Via [geometry create] worden achtereenvolgens de punten, lijnen en oppervlak gecreëerd. e) De eigenschappen van de dunne stalen plaat worden ingegeven [data materials] Staal: E= 207.000MPa NU= 0,3. Voor deze twee waarden nemen we de standaardwaarden uit GID die voor het materiaal staal gegeven zijn. Dikte = 1mm. f) In een volgende stap geven we de lijnbelasting in [data loads line loads]. We geven een waarde van 10 MPa in en selecteren de linker verticale rand van de constructie. g) We geven de inklemming aan de voet van de constructie in via [data constrains line-constrains]. Er is geen rotatie mogelijk volgens de X en Y-as. h) Vervolgens zullen we de mesh aanmaken. We voorzien vierhoekige elementen. Deze mesh wordt aangemaakt via [mesh structured surfaces assign]. Hiervoor selecteren we het oppervlak en kiezen we een eerste keer voor een mesh van 2 elementen per lijn. Dit is heel weinig, maar dit doen we om de onnauwkeurigheid van een grote mesh aan te tonen. 5
Figuur 2: Mesh 1 i) Indien we via [calculate--calculate] het model laten uitrekenen maken we de overstap naar Postprocessing. Postprocessing In dit deel van het proces krijgen we de resultaten. Het is de bedoeling om deze resultaten op een correcte manier te interpreteren. Voor de mesh met 2 elementen per lijn komen we volgend resultaat uit: Figuur 3: Verplaatsing bij mesh met twee element per rij 6
Bij dit resultaat kunnen we toch enkele bedenkingen maken: Bij een plaat die onderaan ingeklemd is verwachten we bij een horizontale belasting volgend resultaat: Figuur 4: verwachte resultaat In bovenstaande figuur is er voor de doorbuiging geen rekening gehouden met de dwarskrachtvervorming. Indien men de doorbuiging ten gevolge van de momenten manueel uitrekent, dan bekomt men een waarde van slechts 0,000000021mm. Dit is kleiner dan 1% van de doorbuiging die gegeven wordt door GID. Men mag dus besluiten dat de doorbuiging t.g.v momenten heel gering is t.o.v. de vervorming met dwarskracht. In ons voorbeeld is de dwarskrachtvervorming inderdaad belangrijk omdat de verhouding van de lengte tot de hoogte gering is. We moeten ook rekening houden met het feit dat we het probleem vereenvoudigd hebben. We hebben elementen gegenereerd in het vlak, d.w.z. dat je de dikte verwaarloost of m.a.w. veronderstellen we dat de spanningen in de plaat over de dikte constant zijn. Dit is een goede benadering en bovendien zijn we toch niet geïnteresseerd in de spanningen over de dikte. We weten ook niet of de plaat instabiel is, m.a.w. we weten niet of de plaat bijvoorbeeld uitknikt volgens de zwakke as. Om een nauwkeurig resultaat van de doorbuiging te bekomen kunnen we een fijnere mesh nemen (figuur 5). De resultaten worden nog gunstiger beïnvloed indien men een fijnere mesh genereert in de buurt van de inklemming (figuur 6). 7
Figuur 5: fijnere mesh figuur 6: fijnere mesh bij de inklemming Deze verfijning is gekozen met 17 elementen per lijn en geeft volgend resultaat: Figuur 7: resultaat met fijnere vermazing Zoals we zien op bovenstaande figuur krijgen we een nauwkeuriger resultaat voor de doorbuiging, nl. een waarde van 0,016837mm. 8
2) Bespreking van de spanningsresultaten Bij berekening van deze resultaten zijn we uitgegaan van een mesh met 15 elementen per rij. Dit omwille van het feit dat we later in dit verslag nog willen spreken over quad/9 elementen. Met een mesh van 17 elementen per rij, bekomen we immers een aantal knopen dat hoger ligt dan het maximum aantal knopen die door dit programma kan berekend worden. We hebben ook een fijnere mesh gegenereerd in de buurt van de inklemming en bij de twee verticale randen. Verschil tussen driehoekige en vierhoekige elementen We bespreken de verschillen tussen de spanningsresultaten van een mesh met driehoekige en met vierhoekige elementen. De mesh met driehoekige elementen hebben we aangemaakt via [mesh unstructured surfaces assign]. Figuur 8: vierhoekige mesh Figuur 9: driehoekige mesh 9
Zoals we kunnen zien op bovenstaande figuren, bekomen we een kleinere spanning met driehoekige mesh dan met vierhoekige mesh. Dit komt omdat driehoekige elementen teveel vervorming vast leggen en dus een iets te stijf gedrag vertonen. We geven daarom de voorkeur aan vierhoekige elementen. Verschil tussen QUAD/4, QUAD/8 en QUAD/9-elementen? QUAD/4-elementen Figuur 10: Syy Figuur 11: Sxy 10
QUAD/8-elementen Figuur 12: Syy Figuur 13: Sxy 11
QUAD/9-elementen Figuur 14: Syy Figuur 15: Sxy 12
Indien we de resultaten van naderbij bestuderen, dan zien we dat we grotere Syyspanning uitkomen bij QUAD/8 en QUAD/9 elementen dan bij QUAD/4 elementen. Indien men met de QUAD/4 elementen dezelfde resultaten zou willen bekomen als bij de QUAD/8 of QUAD/9, dan moet men een fijnere netverdeling gebruiken bij de QUAD/4 elementen. Het kleine verschil tussen de resultaten van de QUAD/8 en QUAD/9 elementen is te verklaren door het feit dat er al een groot aantal elementen gekozen zijn. Indien we een grovere netverdeling zouden kiezen, dan zouden de resultaten meer verschillen. Een QUAD/4 element is wel zuiniger wat betreft het gebruik van computergeheugen en rekentijd. Er dient ook nog opgemerkt te worden dat spanningen in het algemeen een fijnere mesh vragen dan vervormingen, simpelweg omdat er wel spanningsconcentraties bestaan, maar geen vervormingsconcentraties. 13
Tenslotte hebben we in onderstaande figuur de Syy-spanning onderaan aan de inklemming ook nog eens uitgezet in functie van de breedte van de plaat: Figuur 16: Grafiek Syy In bovenstaande grafiek ziet men goed de singulariteit in de twee punten aan de rand. Daarom mogen enkel de waarden tussen deze twee punten als correct geïnterpreteerd worden. 14
Opgave 2 Figuur 17: Geometrie van opgave 2 Gegeven: - Beton: coëfficiënt van Poisson: 0.2 - Beton: E-modulus = 12000 MPa - Eigengewicht: 1kN/m² - Verdeelde last q=4kn/m² - Opgelegde muren Gevraagd: - Dikte van de plaat kiezen zodat de maximale doorbuiging 1cm is - Balk(en) aanbrengen en opnieuw de dikte van de plaat bepalen zodat de maximale doorbuiging 1cm is. 15
Een voorstelling van de opgave in 3D wordt weergegeven in onderstaande figuur: Figuur 18: 3D-tekening Vraag 1 1) Werkwijze Het ingeven van de constructie omvat een pre en postprocessing. Preprocessing a) De juiste rekenmodule wordt gekozen [data problemtype plaat]. b) Nadat we de module gekozen hebben zal er een update gebeuren naar deze module. Dit is noodzakelijk om de wijzigingen die hiermee gepaard gaan te voltooien. c) [data data units] wordt op engineering gezet en de model units worden op de juiste eenheid gezet waarin men de constructie wil ingeven. d) Via [geometry create] worden achtereenvolgens de punten, lijnen en oppervlak gecreëerd. Wij hebben gekozen voor een verticale hoogte van 6m en ook voor de bovenste en onderste horizontale zijde hebben we een afstand van 6m genomen 16
Figuur 19: Ingeven van de constructie e) De eigenschappen van de gewapende betonplaat worden ingegeven [data materials plaatkenmerken]: Beton E=12.000MPa NU= 0,2. Dikte= 25cm (Toen we deze opgave een eerste keer maakten, zijn we met een kleinere waarde begonnen, maar na iteratie bekwamen we een plaatdikte van 25cm waarvoor de plaat <1cm doorbuigt. f) In een volgende stap geven we de oppervlaktebelastingen in [data loads surface loads]. Het eigengewicht van de plaat moeten we zelf nog ingeven als oppervlaktebelasting. Bij een plaatdikte van 25cm komt dit kn m kn overeen met: 0,25 25 6,25. Overeenkomstig met de benoeming 3 2 uit figuur 19 zijn dit de belastingen: Plaatdeel Belasting (kn/m²) 1 6,25+4+1=11,25 2 6,25+1=7,25 3 6,25+1=7,25 4 6,25+1=7,25 5 6,25+1=7,25 6 6,25+1=7,25 Tabel 1: Belastingen m 17
g) We geven de oplegging van de horizontale randen en de kolom K van de constructie in via [data constrains]. h) Vervolgens zullen we de mesh aanmaken. We kiezen opnieuw voor vierhoekige elementen. Deze mesh wordt aangemaakt via [mesh structured surfaces assign]. Hiervoor selecteren we de verschillende deeloppervlaken en we kiezen voor 6 elementen per lijn. Figuur 20: Mesh Een belangrijke opmerking bij deze figuur: Op het rechts deel van de figuur zien we langwerpige elementen (door het feit dat we voor elke oppervlakte 6 elementen per lijn kozen). Langwerpige elementen zijn niet gunstig voor de nauwkeurigheid van de resultaten. We gaan met opzet verder met deze langwerpige elementen om later in het verslag terug te komen op deze minder nauwkeurige resultaten. i) Indien we via [calculate--calculate] het model laten uitrekenen maken we de overstap naar Postprocessing. 2. Postprocessing In dit deel van het proces krijgen we de resultaten. Het is de bedoeling om deze resultaten op een correcte manier te interpreteren. Zoals al eerder aangewezen komen we na enkele keren proberen een plaatdikte van 25cm uit zodat de doorbuiging slechts 9,3028mm bedraagt en dus kleiner is dan de voorwaarde van 10mm. 18
Figuur 21: Doorbuiging 1 (XY) Figuur 22: Doorbuiging 2 (3D) 19
Op de plaats waar de extra belasting van 4kN/m² (3x3m) aangrijpt (dit is de linkerhelft van onderstaande grafiek), bevindt zich de grootste doorbuiging. Aan de twee horizontale randen waar de muren aanwezig zijn, is er geen doorbuiging, vanwege de oplegging. De rand waar de grootste doorbuiging plaats heeft, kunnen we ook in grafiek uitzetten. Dit is weergegeven in onderstaande figuur: Figuur 23: Doorbuiging CD Opmerkingen: De benamingen van de lijnstukken is terug te vinden op figuur 19. De eenheden van de twee assen staat in meter en dus niet in millimeter zoals in de eerste opgave. Op figuur 23 ook is te zien dat de doorbuiging links van het meest kritieke punt groter is dan rechts van dit punt. Dit komt door de extra belasting van 4kN/m² op plaatdeel 1 (zie figuur 19). De grootste doorbuiging zal dus ergens tussen 2,4m en 3m liggen 20
Een belangrijke opmerking bij bovenstaande grafiek: De grafiek is eigenlijk opgebouwd uit lijnstukken. De punten zijn de correct berekende waarden terwijl de lijnstukken lineaire interpolaties zijn. In principe zou men bij het generen van een veel fijnere mesh een mooie vloeiende parabolische curve bekomen, in tegenstelling tot de grafiek bekomen in figuur 23. Om een volledig overzicht te krijgen van de doorbuigingen volgens de verticale snede, is onderstaande grafiek gegeven: Figuur 24: Doorbuiging CD, GH en EF Op bovenstaande figuur ziet men ook de invloed van de langwerpige elementen die we besproken hebben in de opmerking onder figuur 20. De langwerpige elementen zorgen voor extra punten, maar geven een onregelmatige grafiekstructuur weer. Daarom is het niet aan te raden om langwerpige elementen te gebruiken. 21
Tenslotte ook nog de doorbuiging over de langse doorsnede: Figuur 25: Doorbuiging AB Op bovenstaande grafiek zien we dat het rechterpunt van de plaat opgeduwd wordt tot 2,9465mm. Dit wordt veroorzaakt door de kolom K die de plaat ondersteunt en zich op 1,414m links van het rechterpunt bevindt. Daardoor reageert het deel rechts van de kolom als een overkraging. Zoals we op alle bovenstaande grafiek kunnen zien, is de doorbuiging nergens groter dan 1cm. Dus voor een plaatdikte van 25cm is deel 1 van de opgave opgelost. 22
Vraag 2 In deel 2 van de oefening is het de bedoeling om een balk onder de vloerplaat te plaatsen. Hierdoor kunnen we onze vloerplaat economischer dimensioneren dan we in het eerste deel bekomen hadden (25cm). We opteren om een balk te plaatsen aan de linker verticale rand (CD) omdat zich daar de grootste doorbuiging voordoet. Figuur 26: Plaatsing balk Het traagheidsmoment van onze balk bereken we als volgt: I b 12 h 3 0.5 12 0.55 0,00693 m 4 23
We voeren de gegevens van balk in via [data materials balkkenmerken]. We kiezen: Een torsievrije balk E= 12000MPa I= 0,00693 m 4 Na invoer van deze gegevens selecteren we de linker verticale rand. We moeten ook een aparte mesh invoeren voor deze balk via [mesh mesh criteria mesh line]. Nu berekenen we de constructie opnieuw en kijken we welke invloed de balk heeft op de doorbuiging. Volgend resultaat wordt bekomen: Figuur 27: Doorbuiging plaat met balk Zoals we kunnen zien op bovenstaande figuur is de doorbuiging slechts 4,9392mm meer i.p.v. 9,3028mm zoals we in deel 1 bekwamen. Het punt waar de maximale doorbuiging zich bevindt, heeft zich ook verplaats van de linker naar ongeveer het midden van de 6x6m plaat. We zien ook op de figuur dat de balk een maximale doorbuiging heeft van ongeveer 3mm. 24
Daar we nog enige reserve hebben omdat de maximale doorbuiging 1cm mag bedragen, kunnen we de plaat economischer dimensioneren. Na trial and error komen we tot een plaatdikte van 18cm. Deze plaatdikte geeft aanleiding tot volgende doorbuiging: Figuur 28: Doorbuiging 1 (XY) Figuur 29: Doorbuiging 2 (3D) 25
Met deze plaatdikte bekomen we een doorbuiging van 9,3316mm, wat dus kleiner is dan de opgelegde grens van 1cm. De balk heeft nog altijd een doorbuiging van ongeveer 3mm. Dit is aanvaardbaar vermits een balk een doorbuiging mag hebben van L 500 6000 500 12 mm. Op onderstaande figuur ziet men de doorbuiging van de snede GH. Deze snede bevindt zich ongeveer op de plaats waar de maximale doorbuiging zich voordoet. Figuur 30: Doorbuiging GH Opmerkingen: De benamingen van de lijnstukken is terug te vinden op figuur 19. De eenheden van de twee assen staat in meter en dus niet in millimeter zoals in de eerste opgave. 26
In de onderstaande figuur wordt nog eens op één grafiek de doorbuigingen in doorsneden CD(balk), GH en EF weergegeven. Figuur 31: Doorbuiging CD(balk), GH en EF En tenslotte ook nog de doorbuiging over de langse doorsnede AB: Figuur 32: Doorbuiging AB 27
Besluit De computer is in de werkomgeving van de ingenieur niet meer weg te denken. Computerberekeningen hebben de plaats ingenomen van de handberekeningen. De komst van eindige elementenprogramma s zoals GID biedt de ingenieur de mogelijkheid om de krachtswerking en het vervormingsgedrag van plaat en schijfvormige constructies beter te leren kennen. Maar voordat een ingenieur een elementenprogramma gebruikt, moet hij de principes van de elementenmethode begrijpen en inzicht verwerven in de mechanica van dergelijke constructies. De projectopgave had bedoeling om deze principes te verduidelijken en ons inzicht te verruimen. Hier volgt een opsomming van enkele belangrijke zaken: Dwarskrachtvervorming is belangrijk indien de lengte/hoogte-verhouding gering is. Een fijnere mesh in de punten waar een grotere spanningsconcentratie verwacht wordt, heeft een grote invloed op de resultaten. Vierhoekige elementen krijgen de voorkeur op driehoekige elementen Langwerpige elementen geven minder nauwkeurige resultaten. 28