Semantiek 1 college 10 Jan Koster 1
Vandaag Vorige keer: conceptuele structuur en semantische decompositie Vandaag: inleiding in de formele semantiek Gebruikt notaties uit formele logica plus de daar gehanteerde extensionele semantiek Overslaan: 10.8.3 en 10.9.3
Twee soorten semantiek Representationele semantiek (conceptuele semantiek): mentale representaties, gerelateerd aan sprekers en hoorders Extensionele semantiek (referentiële, denotationele semantiek): koppeling van uitdrukkingen aan elementen van de wereld ( naamgeving ) 3
Elementen formele semantiek Zinnen natuurlijke taal vertalen in formules predikatenlogica Domein: bevat dingen waarnaar verwezen wordt (denotata), opgevat als elementen en verzamelingen (verzamelingenleer) Koppeling taalelementen en denotata: door interpretatiefunctie 4
Vertaling in formules Laat je niet imponeren, het is maar een soort steno Elementen: constanten, variabelen, predikaten, kwantoren, connectieven Zinnen in propositielogica: p, q, r, etc. Zinnen in predicatenlogica: S (j) (= Jan slaapt), x (S (x)) (= iedereen slaapt), x (S (x)) (= iemand slaapt) 5
Constanten en predikaten Constanten (termen, argumenten): kleine letters, bv. Jan = j, Marie = m, Piet = p, het boek = b, etc. Predikaten: hoofdletters, bv. Slapen = S, Ziek zijn = Z, Lachen = L, etc. Zinnen (proposities) Z (p), S (m), L (j) 6
Meerplaatsige predikaten Zinnen (proposities) Z (p), S (m), L (j) Dit waren zinnen met één argument (1- plaatsig). Ook zinnen met 2 argumenten (2-plaatsig) of 3 argumenten (3-plaatsig): L (j, b) = Jan leest het boek (2-pl) G (p, m, b) = Piet geeft Marie het boek (3-pl) 7
Variabelen en kwantoren (1) Propositionele functies (open zinnen): S (x) = ongespcificeerde x slaapt Is geen propositie, want de waarheidswaarde kan niet bepaald worden als x niet verder gespecificeerd is Proposities: als argumenten constanten zijn of als variabelen gebonden zijn door kwantoren 8
Variabelen en kwantoren (2) Kwantoren zijn vergelijkbaar met telwoorden: bakenen het toepassingsgebied (bereik) van een variabele af Elementaire kwantoren: Universele kwantor ( alle ) Existentiële kwantor ( sommige ) 9
Variabelen en kwantoren (3) Kwantoren veronderstellen toepassingsdomein (waarover later) aangegeven door haakjes Universeel: x (S (x)): elke x in bepaald domein slaapt Existentieel: x (S (x)): minstens één x in domein slaapt 10
Connectieven: zelfde als in propositielogica Zinnen: p, q, r... Connectieven: negatie: niet, conjunctie: en,, & disjunctie: of, materiële implicatie: als...dan,, equivalentie: dan en slechts dan,, 11
Voorbeelden proposities Negatie: S (j) = Jan slaapt niet, x (S (x)) = niet zo dat elke x slaapt Conjunctie: S (j) x (L (x)) Disjunctie: x (L (x)) y (S (y)) Materiële implicatie: Z (p) L (m) Equivalentie: x (L (x)) y (S (y)) 12
Samenvatting (1) Vocabulair: 13
Samenvatting (2) Recursieve syntaxis: 14
Recursiviteit Griekse letters gebruikt omdat het hier gaat om metataal p, q, r...zijn proposities in objecttaal en... over proposities in metataal Bv. = (p q), dan ook: = (p q) 15
Semantiek Tot dusver: syntaxis van predikatenlogica (hoe je formules moet bouwen uit vocabulair en combinatieregels) Semantiek uiterst eenvoudig: precieze koppeling van formules aan ingrediënten uit verzamelingenleer Termen: elementen Predikaten: verzamelingen van elementen Kwantoren: verdeling elementen domein 16
Elementaire Verzamelingenleer (1) Basis (intuïtief): elementen en grotere gehelen van elementen (verzamelingen) Notatie elementen: a, b, c... (constanten), x, y, z... (variabelen) en vele andere vormen Notatie verzamelingen: { }, {a, b, c...}, etc. 17
Elementaire Verzamelingenleer (2) Notatie verzameling van verzamelingen: {... {...}...} Notatie lege verzameling: Ø (niet te verwarren met {Ø} ) Notatie "element van": a Є {..., a,...} Notatie deelverzameling: A B 18
Binaire relaties (1) Vereniging: A B, verzameling elementen die of in A of in B (of in beide) zitten Intersectie (doorsnede): A B, verzameling elementen die zowel in A als in B zitten Verschil: A B, verzameling elementen die in A maar niet in B zitten 19
Vereniging (A B) 20
Doorsnede (A B) 21
Verschil (B - A) 22
Binaire relaties (2) Cartesisch product: A x B, verzameling geordende paren, zodanig dat eerste element a in A zit en tweede element b in B Notatie: <a, b> (vgl. ongeordende verzameling: {a, b} 23
Relaties en functies Binaire relatie (niet per se paren): verzameling van elementen uit verzameling A gekoppeld aan elementen uit verzameling B (afbeelding) Functie: relatie waarbij elementen uit verzameling A (domein) unieke afbeelding hebben in verzameling B (codomein) 24
Meer precieze definitie functie (bron: Wikipedia) Definitie: Een functie f is een relatie tussen twee verzamelingen A en B, met de eigenschap dat aan ieder element a uit A precies één element b uit B wordt gekoppeld Notatie: men noteert de functie als f: A B en het unieke element b uit B dat door f aan het element a uit A wordt toegevoegd als b = f(a) 25
Semantisch model Semantische interpretatie voor de symbolen uit de predikatenlogica: Domein (situatie, model): verzameling entiteiten, eigenschappen en relaties waarop uitdrukkingen van toepassing zijn Interpretatiefunctie (denotation assignment function, naming function): koppeling uitdrukkingen aan elementen in domein 26
Denotaties Zinnen: waarheidswaarden waar (1) of onwaar (0). Notatie: denotatie van zin p is [p]. In situatie v, bv.: [p] v = 1 (de denotatie van zin p in situatie v is waar) Termen: individuen (elementen) of verzameling individuen Predikaten: verzameling individuen waarvoor predikaat geldt Twee-plaatsige predikaten: verzameling geordende paren <a, b>, etc. 27
Voorbeeld Domein (D of U): Beatles, manager Brian Epstein, fan Bob (U van Universum ) U = {John, Paul, George, Ringo, Brian Epstein, Bob} 28
Interpretatiefunctie (1) Constanten: j, p, g, r, e, b F(j) = John F(p) = Paul F(g) = George F(r) = Ringo F(e) = Brian Epstein F(b) = Bob 29
Interpretatiefunctie (2) Predikaten: B (Beatle), M (manager), F (fan), S (sang), G (played guitar), D (played drums), J (joked with), I (idolized) F(B) = {John, Paul, George, Ringo} F(M) = {Brian Epstein} F(F) = {Bob} F(S) = {John, Paul} F(G) = {John, Paul, George} F(D) = {Ringo} F(J) = {<John, George>} F(I) = {<Bob, John>, <Bob, Paul>, <Bob, George>, <Bob, Ringo>} 30
Modeltheoretische semantiek Model (situatie): combinatie van domein (= verzameling) en interpretatiefunctie M n = <U n, F n >, where: M = model U = verzameling individuen in situatie F = interpretatiefunctie n = willekeurig getal dat situatie identificeert 31
Evaluatie (1) [p] v = 1: zin p is waar in situatie (model) v [S(j)] M 1 = 1 desda [j] M 1 Є [S] M 1 De zin John sang is waar dan en slechts dan als de extensie (denotatie) van John een element is van de verzameling gedefinieerd door sang in model M 1 32
Evaluatie (2) F 1 ( j ) = John F 1 (S ) = {John, Paul} Is het zo dat: John Є {John, Paul}? Ja!! Derhalve: [S(j)] M 1 = 1 33
Connectieven en kwantoren Hangt met elkaar samen: evaluatie van kwantoren steunt op wijze van evalueren van connectieven Universele kwantor: evaluatue gebaseerd op evaluatie conjunctie Existentiële kwantor: evaluatie gebaseerd op evaluatie disjunctie 34
Logische conjunctie Alleen waar als p en q allebei waar zijn 35
Logische disjunctie Het inclusieve of : waar als minstens één van p en q waar is 36
Evaluatie (3) Evaluatie van zinnen met connectieven (bv. ): [p q] = 1 desda [p] = 1 en [q] = 1 [S (j) I (b, e)] M 1 =1 desda [S (j)] M 1 = 1 en [I (b, e)] M 1 = 1 [S (j) I (b, e)] M 1 dat: = 0, want het is niet zo [<b, e>] M 1 Є [I ] M 1, dus I (b, e)] M 1 = 0 37
Evaluatie universele kwantor Elke jongen (Jan, Piet, Frits) kust Marie Jongens [J x ]: F (J x ) = {j, p, f}, Marie [m]: (F (m)) = {m} Kust [K]: F(K) = {<j, m>, <p, m>, <f, m>} x (K (x, m)) = 1 desda [K(j,m)] = 1 [K(p,m)] = 1 [K(f,m)] = 1 [<j,m>] Є [K] [<p,m>] Є [K] [<f,m>] Є [K] 38
Evaluatie existentiële kwantor Een jongen (Jan, Piet, Frits) kust Marie Jongens [J x ]: F (J x ) = {j, p, f}, Marie [m]: (F (m)) = {m} Kust [K]: F(K) = {<j, m>, <p, m>, <f, m>} x (K (x, m)) = 1 desda [K(j,m)] = 1 [K(p,m)] = 1 [K(f,m)] = 1 [<j,m>] Є [K] [<p,m>] Є [K] [<f,m>] Є [K] 39