EXAM AE2-914: VIBRATIONS OF AEROSPACE STRUCTURES June 19, 2006, Time: 14:00 17:00 The exam is written both in English and in Dutch. Please choose the version you find the most convenient. Do not forget to write down your name and student identification number on all pages handed in. Write down on the first page of your elaboration whether you have made and handed in the practical exercises for the course, and in which year (2003, 2004, 2005 or 2006). If this information is missing, the possible bonus that you can earn with these exercises can not be awarded. TENTAMEN AE2-914: TRILLINGEN VAN LUCHTVAARTCONSTRUCTIES 19 juni, 2006, Tijd: 14:00 17:00 De examenopgaven zijn geschreven in zowel het Engels als het Nederlands. Kies de versie die jou het meest ligt. Vergeet niet je naam en studienummer te vermelden op alle pagina s die je inlevert. Geef op de eerste pagina van je uitwerking aan of je de praktische oefening voor de cursus gemaakt en ingeleverd hebt, en in welk jaar je dit gedaan hebt (2003, 2004, 2005 of 2006). Indien deze informatie ontbreekt, dan kan de eventuele bonus die je met deze oefening kunt verdienen niet worden toegekend. 1
2
Delft University of Technology, Faculty of Aerospace Engineering Exam AE2-914: Vibrations of Aerospace Structures Date: June 19, 2006, Time: 14:00 17:00 Question 1 (2.0 points) Figure 1 shows a compound system of a disk connected to a massless rod. As indicated in the figure, the rod is composed of three parts with a length L, a shear stiffness G (i) and a polar moment of inertia I p (i), where i=1,2,3. The rod is fully clamped at the bottom. Furthermore, the rotation of the disk is The disk has a mass moment of inertia J, and is subjected to a torque loading M(t)=M 0 cost, with M 0 the amplitude of the loading and the angular frequency. a) Derive the equation of motion of the system, where the effective stiffness of the system must be expressed in terms of the system parameters given in Figure 1. b) Compute the steady-state response ss (t) as a result of the external loading M(t). c) Give an expression for the loading frequency at which resonance occurs. Figure 1: System of a disk connected to a massless rod. 3
Question 2 (2.5 points) Figure 2 shows a system of a mass m that is connected to a spring with stiffness k and a dashpot with a damping c. The connection between the mass and the dashpot occurs by means of an infinitely stiff rope that is loaded under tension and is guided around a pulley. The mass moment of inertia of the pulley is J, and the radius is r. The mass is subjected to an external force F(t) = F 0 sint, with F 0 the amplitude of the harmonic loading and the angular frequency. The horizontal displacement of the mass is x(t) and the rotation of the pulley is (t) It may be assumed that the rotation remains small, such that sin tan, and cos 1. a) Draw the free-body diagrams of the individual subsystems. Derive the equation of * * * motion in the form J c k M( t), using the equations that apply to the individual subsystems. Here, J*, c* and k* are the effective mass moment of inertia, the effective damping and the effective stiffness of the system, respectively, and M(t) reflects the external loading. b) Give an expression for the damping coefficient c* (in terms of the system parameters in Figure 2) assuming that the system is critically damped. c) Compute the response of the critically damped system to the external load F(t), assuming the initial conditions are ( 0) 0 and 0). ( 0 Figure 2 : System of a mass connected to a spring and a dashpot. The connection between the mass and the dashpot occurs through an infinitely stiff cable that is loaded under tension and guided around a pulley. 4
Question 3 (2.0 points) Figure 3 shows a mass-spring system subjected to sine pulse F(t), where and F (t) F sin t 0 for F (t) 0 for 0 t 0, t and t. a) Derive the response x 1 (t) of the system, assuming that the initial conditions are zero. For the computation of the response the Laplace transform method must be used, with the transformation and the inverse transformation of an arbitrary function formally defined as and 0 F ( s) f ( t)exp( st) dt, ci ci 1 f ( t) F( s)exp( st) ds 2 i. The transformation and inverse transformation of standard functions can be found on the formula page handed out. Figure 3 : Mass-sping system subjected to a sine pulse F(t). 5
Question 4 (2.5 points) Figure 4 shows a basic model of a car riding on a horizontal terrain with a bump., The car has a mass M, and a mass moment of inertia J=Ma 2 (measured with respect to the center of gravity (c.g.)). The vertical displacement of the center of gravity is x 1 (t), and the rotation is (t) (measured with respect to the position of static equilibrium). The total stiffness at the front wheels is equal to k and the total stiffness at the rear wheels is 2k. The distance between the front wheels and the center of gravity is a, and the distance between the rear wheels and the center of gravity is 2a. When the car reaches the bump, the front wheels are subjected to a displacement excitation x ˆ 2 ( t) X 2 ( t), where ˆX is the magnitude of the displacement pulse, and ) 2 (t is the Dirac delta function. a) Derive the equations of motion for the system depicted in Figure 4, and formulate these in matrix-vector format. b) Compute the eigen frequencies and eigen vectors of the system. c) In order to compute the response of the car after the front wheels have hit the bump, the bump loading must be expressed in corresponding initial conditions. Formulate these initial conditions, and derive the set of equations that is needed for determining the response of the system (you are not asked to solve this set of equations!). Figure 4 : A car riding with velocity v on a horizontal terrain with a bump. 6
Technische Universiteit Delft, Faculteit Luchtvaart- en Ruimtevaarttechniek Tentamen AE2-914: Trillingen van luchtvaartconstructies Datum: 19 juni, 2006, Tijd: 14:00 17:00 Vraag 1 (2.0 punten) Figure 1 laat een samengesteld systeem zien van een schijf die is verbonden aan een massaloze staaf. Zoals aangegeven in de figuur is de staaf samengsteld uit 3 delen met een lengte L, een afschuifstijfheid G (i) en een polair traagheidsmoment I (i) p, waarbij i=1,2,3. De staaf is volledig ingeklemd aan het benedeneinde. Verder is de rotatie van de schijf gelijk aan De schijf heeft een massatraagheidsmoment J, en is onderworpen aan een torsiebelasting M(t)=M 0 cost, met M 0 de amplitude van de belasting and de hoekfrequentie. a) Leid de bewegingsvergelijking van het systeem af, waarbij de effectieve stijfheid van het systeem uitgedrukt dient te worden in termen van de systeemparameters gegeven in Figuur 1. b) Bereken de steady-state responsie ss (t) ten gevolge van de externe belasting M(t). c) Geef een uitdrukking voor de belastingsfrequenctie waarbij resonantie optreedt. Figuur 1: Systeem van een schijf die is verbonden aan een massaloze staaf. 7
Vraag 2 (2.5 punten) Figuur 2 laat een systeem zien waarbij een massa m is verbonden aan een veer met veerstijfheid k en een demper met demping c. De verbinding tussen de massa en de demper geschiedt door middel van een oneindig-stijve kabel die is belast onder trek en wordt geleid om een katrol. Het massatraagheidsmoment van de katrol is J, en de straal is r. De massa wordt onderworpen aan een externe belasting F(t) = F 0 sint, met F 0 de amplitude van de harmonische belasting en de hoekfrequentie. De horizontale verplaatsing van de massa is x(t) en de rotatie van de katrol is (t) Het mag worden aangenomen dat de rotatie klein is, zodat sin tan, en cos 1. a) Schets de vrije-lichaamsdiagrammen van de individuale subsystemen. Leid de * * * bewegingsvergelijking af in de vorm J c k M( t), gebruik makende van de vergelijkingen die van toepassing zijn op de individuele subsystemen. Hierbij zijn J*, c* and k* respectievelijk het effectieve massatraagheidsmoment, de effectieve demping en de effectieve stijfheid van het systeem, en M(t) representeert de externe belasting b) Geef een uitdrukking voor de dempingscoefficient c* (in termen van de systeem parameters in Figuur 2) indien wordt aangenomen dat het systeem kritisch-gedempt is. c) Bereken de responsie van het kritisch-gedempte systeem ten gevolge van de externe belasting F(t), aannemende dat de beginvoorwaarden gelijk zijn aan ( 0) 0 en 0). ( 0 Figure 2 : Systeem van een massa die is verbonden aan een veer en een demper. De verbinding van de massa aan de demper geschiedt door middel van een oneindig-stijve kabel die is belast onder trek en wordt geleid om een katrol. 8
Vraag 3 (2.0 punten) Figure 3 laat een massa-veer systeem zien dat wordt onderworpen aan een sinus-puls, waarbij en F (t) F sin t 0 voor F (t) 0 voor 0 t 0, t and t. a) Leid de responsie x 1 (t) van het systeem af, aannemende dat de begincondities gelijk zijn aan nul. Voor de berekening van de responsie moet de Laplace transformatie-methode worden gebruikt, waarbij de transformatie en de terugtransformatie van een willekeurige functie in het algemeen gedefinieerd zijn als en 0 F ( s) f ( t)exp( st) dt, ci ci 1 f ( t) F( s)exp( st) ds 2 i De transformatie en terugtransformatie van standaard functies kunnen worden gevonden op het uitgereikte formuleblad.. Figuur 3 : Massa-veer systeem onderworpen aan een sinus-puls F(t). 9
Vraag 4 (2.5 punten) Figuur 4 laat een eenvoudig model zien van een auto die rijdt over een horizontaal terrein met een hobbel. De auto heeft een massa M en een massatraagheidsmoment J=Ma 2 (gemeten ten opzichte van het zwaartekrachtscentrum (z.c.)). De verticale verplaatsing van het zwaartekrachtscentrum is x 1 (t), en de rotatie is (t) (gemeten ten opzichte van de positie van statisch evenwicht). De totale veerstijfheid ter plaatse van de voorwielen is k en de totale veerstijfheid ter plaatse van de achterwielen is 2k. De afstand tussen de voorwielen en het zwaartekrachtscentrum is a, en de afstand tussen de achterwielen en het zwaartekrachtscentrum is 2a. Wanneer de auto de hobbel bereikt worden de voorwielen onderworpen aan een verplaatsingsexitatie x ˆ 2 ( t) X 2 ( t), waarbij de grootte van de verplaatsingspuls gelijk is aan ˆX 2 en (t) de Dirac delta functie representeert. a) Leid de bewegingsvergelijkingen af voor het systeem afgebeeld in Figuur 4, en formuleer deze in matrix-vector format. b) Bereken de eigen frequenties en de eigen vectoren van het systeem. c) Om de responsie van de auto te berekenen op het moment dat de voorwielen tegen de hobbel botsen, moet de hobbelbelasting worden uitgedrukt in corresponderende beginvoorwaarden. Formuleer deze beginvoorwaarden, en leid vervolgens de set van vergelijkingen af die nodig is om de responsie van het systeem te bepalen (er wordt niet gevraagd om deze set van vergelijkingen op te lossen!). Figuur 4 : Een auto rijdt met een snelheid v over een horizontal terrein met een hobbel. 10