V-a V-a Hoostuk - Funtis irntiërn lazij Na sonn h in m 000 900 800 A 0 0 t in s 80 97 m/s t 0 : h 00 000 00 7 m/s t 0 0 0 t 80 : h 0 00 00, m/s t 80 00 80 O, 00 0, 7 0, 00 Voor n voor is hlling 0, 7. ( ) n us ( ) lazij V-a ( ) 00 99 g ( p) p 8p h ( ) 0 l ( ) 0 8 9 9 k ( a) 0 0, 0a a m ( ) 0
V-a s ( t) t t t, t 0t s t s ( t ) t, s t 0 t t s ( t ) t, s t 0 s ( t )( t ) t t t 9 t 9, s t 0 t t s ( t) ( t)( t) t t t t t V-a, h 0, 9 t 9, 8t n h 9, 8 9, m/s t t t Na sonn is valsnlhi van stn 9, m/s ( stn valt naar nn, vanaar ht mintkn). h 0 oplossn: 0, 9t 0 gt 0, 9t waaruit volgt t 0 0, n us, 9 sonn. D ngativ oplossing is nit van topassing. Conlusi: na, sonn is stn op gron gvalln. h 9, 8,, m/s t t, V-a ( ), ( ) 0 oplossn: 0 gt n us o. 0 O 0 0 Hoostuk - Funtis irntiërn s 0 t 8t t 0,, 9 Voor n glt ( ) 0, at wil zggn voor n is hlling van graik van glijk aan 0. Mt graik volgt an at graik an n top ht. Dus n zijn -oörinatn van toppn van graik van. Maimum: ( ) 8 8 n minimum: ( ) ( ) 8
Hoostuk - Funtis irntiërn V-7a g ( ) 0, 7, g ( ) 0 oplossn: 0 gt ( ) 0 waaruit volgt 0 o 0 n us 0 o. 80 0 O 7 0 80 0 0 Voor ht graik van g n top, voor 0 nit. D uitrst waar van g is n minimum: g( ), V-8a h ( t) t 8t, h ( t) 0 oplossn: 8t 0 gt 8t n us t. h( ) ( ) ( ) D uitrst waar van h is n minimum:. a a lazij 7 O is vrtial asmptoot. Dan is nomr glijk aan 0 n tllr nit. is horizontal asmptoot. h( ) 0 is vrtial asmptoot n is horizontal asmptoot. A( t) t t t t t t t 0 is vrtial asmptoot n A is horizontal asmptoot.
a p p p p p p W( p) p p p p p p,,,, q q q q N( q) q q q q q P( k) k 0k k 0k k k k k k k 0, q ( q 8) q q q q w( q) q q q q q q q q,, a is vrtial asmptoot. Dan is nomr glijk aan 0 n tllr nit. D graik van ht gn horizontal asmptotn. 0, 0 gt ( 0, ) 0 waaruit volgt 0 o 0, 0. D laatst vrglijking gt 0, n us. a ( ) tllr nomr, ( ) 0 als tllr van glijk aan nul is, at wil zggn als 0, 0 ( vrglijking i j ij opraht opglost ht). lazij O Voor 0 staat unti g nit. D graik ht gn vrtial asmptoot voor z waar van. g( ) 0 als glt 0. Dit gt ( ) 0 n us 0 o 0 waaruit volgt n us. Conlusi: g( ) 0 voor. (D oplossing 0 valt wg, omat nomr van g an ook glijk aan nul is, zi vntul ook graik van g.) k Hoostuk - Funtis irntiërn 7
8 a 7a Hoostuk - Funtis irntiërn 0 als 0 n 0. Dit gt 0. P 0 als P 0 n P 0. Dit gt P n us P P ( w )( w ) 0 als ( w )( w ) 0 n w 0. D vrglijking gt w w 0 n w 0, waaruit volgt w n w. Omat w is oplossing w. a 8a 0 als a 8a 0 n a 0. D vrglijking gt a( a 8) 0, waaruit a volgt a 0 n a 8 0 n us a 8. ( q )( q ) 0 als ( q )( q ) 0 n q 0. D vrglijking gt q q 0 n q 0. D rst vrglijking gt q n us q o q. D tw vrglijking gt q. Omat q zijn oplossingn i ovrlijvn q n q. B 8 0 als B B 8 0 n B 0. D vrglijking gt B ( B )( B ) 0, waaruit volgt B n B. Omat B is oplossing i ovrlijt B. D graik van GK ht n vrtial asmptoot q 0. Dz asmptoot is nit van lang voor prount om hij gn ngati aantal shaatsn kan prourn. GK 00 is horizontal asmptoot. Dit tknt at prijs voor n paar klapshaatsn nit onr 00 uro komt. 00 0 000 000 GK( 0), uro pr paar shaatsn 0 0 0 TK( 0) GK( 0) 0,... 0 0, 7 uro 00q 000q TK GK q q 0 8a TK 000 oplossn mt hulp van rknmahin. Vor in Y ( 00X ^ 000X) / ( X 0) n Y 000. D opti intrst gt q 80,, us prount kan 80 paar shaatsn prourn. lazij Mt hulp van opti /. :, :, : 9 ( ) Klopt.
9a 0,7 0,07 0,0 g ( ) g() 0,7 0,07 0,0 Dz tal komt ovrn mt tal van opraht a. 0a, h ( ) 0, 7 0 h() 0,7 0,9 0,0 0, 0, 0,09 D unti van opraht a kan agli van h zijn., a ( ), 9 0 9 TK ( q) 0, q q q q 7 0,,,, P ( t) 0, 8t, t 0, 7, 0, 7,, 8, 8 A,, 0 0, g g 0g g g 9 9 N,, p 0 8, p p lazij 7, a ( ) 0 ( ) 0, 0,,, 0, 0, g( ) g ( ) Hoostuk - Funtis irntiërn 9
0 Hoostuk - Funtis irntiërn a S( p), p p 0, 0, 0,, S ( p) 0, p, p p,, g( ),,, g ( ),,,, q q q q q q GK( q) q q, GK ( q) q 0 q q q q q TW( q) q q q q 0, 0, 0,, p( t) t, p ( t) t t t t 0, g A p 0, p p, A p 0, p p 0, p 0, p p p p h K t t 0,, t t t t t, K, t t,, t t t t t, a TW TO TK 0 7 ( 00 7 ) 9, 77 uro TW TO TK 0 q ( 00 q ) 0q 00 q 00 00 000 800 00 00 00,, 0 0 0 0 0 80 00 0 0 0 80 00 0 0 0 80 q Voor q is winst maimaal, namlijk 88 uro. TW ( q) 0 0, q 0, q 0, 0, TW ( q) 0 mt hulp van rknmahin oplossn (Y 0. q ^ 0. n vrvolgns opti zro) lvrt q.,, GK q TK 00 q q ( ) 00 00q q q q q q GK ( q) 00 q 0, q 00q 0, q 0, 0, 0, GK ( q) 0 mt hulp van rknmahin oplossn TW ( q) 0, q 0, q, q q 0, 7 0, 0, 7 0, (Y 00q ^ 0. q ^ 0. n vrvolgns opti zro) lvrt q, 7.
a Als lngt AB mtr is, is rt BC glijk aan mtr. Total lngt: 0 0 mtr. Total rt: 0 mtr. D hovlhi gron i noig is, is 0 0 00 m. O( ) lngt rt ( 0 )( ) ( )( ) 0 8 O ( ) 0 8 8 8 O ( ) 0 gt 8, waaruit volgt 8 n us 7 o 7. In z situati gaat ht om oplossing 7, us minimal amtingn van ht stuk gron zijn 7 0 00 mtr voor lngt n 0 mtr 7 voor rt. lazij 8 a p ( ), z uitkomst klopt nit mt waar in tal. p( ) ( ), p ( ) 0 p () 0 8 0 9 Dz waarn kloppn mt tal in ht ok. 7a l ( t) t n l ( ). D hlling is positi, us lngt nmt to. ( t) t n ( ). D hlling is positi, us rt nmt to. l l(, ) l( ) (,, ) ( ) 0, 09 (, ) ( ) (,, ) ( ) 0, 9 O lngt rt, t, : O, 09, 9 7,, t : O, us O 7,, O staan rhthok liggn rhthok klin rhthok l l l O l l l 0, 09 0, 9 0, 09 0, 9, g O, t 0, m / s, Als j n hl klin tijsintrval kijkt, zijn zowl l als hl klin. D vrmnigvuliging l wort an nog klinr, waaroor ling l t t vrwaarlozn is. Hoostuk - Funtis irntiërn
h 8a Hoostuk - Funtis irntiërn Als j voor t n hl klin gtal kist, nart O tot O O ( t). t t Als j voor t n hl klin gtal kist nart l l l tot t t t t l ( t) ( t) l( t) ( t) (waarij laatst trm wgvalt, zi opraht g). Conlusi: O ( t) l ( t) ( t) l( t) ( t) i O ( t) l ( t) ( t) l( t) ( t) ( t )( t t ) ( t t )( t ) O ( ) ( )( ) ( )( ) lazij 9 ( ) ( )( 0) 0 0 0, Bi antwoorn zijn glijk. 9a ( ) ( ) A ( t) ( t ) t t t t 8t P ( )( ) ( ) 0 ( 8) ( )( ) 8 9 8 0 l ( q) ( q ) ( q 7) 0q 0q 0q 70q 0q 0 70q M ( p )( p) ( p p ) p 8p p 9p p 7p p 0 0a k( t) t( t t) t, k ( t) t p 8 A ( p) ( p )( p ) ( p p) 0p 8p p p p p p q( q ) q 0q q 0q TK( q) q 0, TK ( q) q q q q q S( t) ( t )( t ) t t t t, S ( t) t k( ) ( ) 0, k ( ) ( ) ( )( 0) ( ) 8 0 0 P( ), P ( ) 0 0 ( ) 0
a TK p q ( 0 ) 00 000 00 TK( ) 000 00 a 00 uro, TK( ) 000 00 0 uro TK 000 00 000 00 000 00 Hoostuk - Funtis irntiërn TK ( ) 000 00 000 00 TK ( ) 0 gt 000 00, waaruit volgt 000 n us o. 00 In z situati is alln oplossing van topassing. Conlusi: ij opprvlakt TK 000 00 a lazij 0, m zijn total kostn minimaal. uro n q 00 ( ) 7 postrs ( ), ( ) 0 g( ), g ( ) 0 J kunt unti g( ) nit shrijvn als n som van mahtsuntis want nomr staat uit tw trmn. 0, 0, 0,080 ( ) g ( ) ( ) ( ) ( ) g ( ) 0, 0, 0,080 Dz waarn komn ovrn mt tal ij opraht. ( ) ( ) ( ) ( ) g ( ) ( )
Hoostuk - Funtis irntiërn lazij ( ) ( ) a A ( ) 7 ( ) ( ) ( ) a ( q ) ( q 8) q q q q TK ( q) q q ( q ) ( q ) ( q ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( t ) ( t ) t B ( t) t t t t t ( t ) ( t ) ( t ) a p p p p A( p) p, A p p p p A( p) p p, p A p p A ( p ) 0 7 p p p ( p ) ( p ) A ( p ) 0 p ( p ) ( p ) K 00 0 00 0 K 0 0 0 0 0 0 0 0 70 80 90 A D graik is stijgn, us kostn nmn to als ht wrktmpo hogr wort. D unti K staat uit n tllr n n nomr. Als A grotr wort, wort tllr grotr n nomr klinr. Als ghl wort uitkomst van ling an grotr. K 7A 7 00 A K ( 00 A) 7 ( 7A 7) 00 7A 7A 7 7 A ( 00 A) ( 00 A) ( 00 A) Als kostn voor A 70 tw kr zo snl stijgn als voor A zou motn gln: K ( 70) K ( ). K ( ),, 70 n K ( 70), 98, us kostn stijgn nit tw kr zo snl.
( t ) 8 8t t 7a C ( t) 8t t ( t ) ( t ) 8t ( t ) C ( t) 8t 0 als 8t 0. Dit gt t n us t o t. ( t ) Conlusi: na tw uur is onntrati in ht lo maimaal. C ( 0) 8 0 mg/litr/uur C ( ) 8 0, mg/litr/uur ( ) 8a C, 0, C 0 0 8 0 8 0 t D onntrati van ht gnsmil nart na vrloop van tij tot nul. D vrglijking 8t mt GR oplossn (Y X X t ( 8 ) / ( ^ ), Y n an opti intrst) lvrt ht tijstip t 7, uur. Conlusi: na ongvr 7, uur mot r n tw injti ggvn worn. lazij O D toppn liggn ij, 0 n. ( ) ( ) 0 oplossn gt 0 waaruit volgt ( ) 0 n us 0 o 0. Dit gt oplossingn 0, n. D graik van aalt voor < n voor 0 < <. D graik van stijgt voor < < 0 n voor >. Hoostuk - Funtis irntiërn
Hoostuk - Funtis irntiërn 9a Domin: Uit 0 volgt n us. Brik: 0. D graik ht aar n vrtial raaklijn., ; 7, 08 n, D graik van g ht voor 0, n vrtial raaklijn. 0a D unti staat nit voor, omat voor z waar nomr glijk is aan nul. ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( 0, 9) 00 n (, ) 00. Voor ht graik van n vrtial asmptoot. ( ). D tllr is altij ngati n nomr is vanwg ht kwaraat ( ) altij positi. Als ghl is ht rsultaat altij ngati. Als ( ) altij ngati is, aalt graik van links van n rhts van. Mrk op at ht ghl NIET aln is. lazij a I 0 D tllr is onstant n nomr wort sts grotr. Als ghl ( 0, 0t ) wort ht rsultaat van ling us sts klinr, at wil zggn inhou nmt a. P ( ) 0, I ( 0, 00t 0, t ) 0 0 ( 0, 00t 0, ) 0, t t ( 0, 00t 0, t ) ( 0, 00t 0, t ) Als inhou van ht rsrvoir sts langzamr anmt, mot agli altij ngati zijn n sts ihtr tot nul narn. (Anmn aln) Voor agli glt at tllr altij ngati is n sts klinr wort n at nomr altij positi is (vanwg ht kwaraat) n sts grotr wort. Als ghl is agli us altij ngati n nart agli voor grot waarn van t tot nul. a Domin: 0, rik: ( ), omin: > 0. ( 0, ), 8, ( 0, 0) n ( 0, 00), 8 D raaklijn aan graik van in ht punt ( 0, ) loopt vrtiaal. a ht tw nulpuntn. Vrr kun j aan graik van zin at links van ht rst nulpunt graik van aalt, at tussn i nulpuntn graik van stijgt n rhts van ht tw nulpunt graik van aalt. D uitspraak is us waar. ( ) is voor maimaal, uitspraak is us waar. ( ) is n paraool, aar hoort n kwaratish unti ij. D unti is us n rmahtsunti. En rmahtsunti ht, o nulpuntn. D uitspraak kan us waar zijn.
a D uitspraak kan waar zijn (zi opraht ). D uitspraak is nit waar (zi opraht ). O 8 7 O g lazij 7 8 a t t t t t ( ) t t p G( p) p p p p p p p p, G p p p ( ) p p p q( q ) ( q q ) q q q q q TK ( q) q q q q K ( ) ( )( ) ( ) 0 l( n) n( n ) n ( n ) n n, l ( n) n n n n n ( q )( q ) ( q q) q q q q q q q g M ( q) ( q ) ( q ) ( q ) o Hoostuk - Funtis irntiërn O 7 n 7
a D lngt nmt n uitrst waar aan, want ht is n kwaratish unti. D rt nit want at is n linair unti. l ( t) t, l ( t) 0 oplossn gt t 0 us t. D uitrst waar is l( ). 8 O( t) l( t) ( t) ( t t )( t ) t t t t t t t D opprvlakt nmt n uitrst waar aan. O ( t) t, O ( t) 0 oplossn gt t 0 waaruit volgt t. 7a Hoostuk - Funtis irntiërn Dit lvrt t n us t o t. D uitrst waar is O( ), 9 D tijstippn komn nit ovrn. ( ). Snlhi astan 000 8, km/uur tij 9 TK BK PK 0v 000 t 0v 000 000 v TK( ) 0 000 000 779 uro TK( 0) 0 0 000 000 707 uro 0 TK( 8, ) 0 ( 8, ) 000 000 7 uro 8, TK( v) BK PK 0v 000 t 0v 000 000 0v v 7 TK v v v ( ) 0 0 00v 0 v TK ( v) 0 oplossn 7 00v 0 0 v 00v 0 7 v 00v 0 7 0 89, 00 v 7 v 89, 0, km/uur TK( 0, ) 8 88 uro 7 0 v 7
lazij 0, 8 000 0, 00 8a K 000 0, P 0, 8 0, 8 P P T-a 000 00 000 00 K 0 0 000 0000 000 0000 000 0000 000 K nmt a als P tonmt. K O n O 70, us 00 70 oplossn mt hulp van rknmahin. 0 8 P, D opti intrst lvrt P 89 ton pr jaar. W O K 70P 000P 0, 0 000 000 8 000 000 000 000 000 000 000 000 O 000 0000 000 0000 000 0000 000 W 000 000 D winst stijgt als prouti tonmt. Conlusi: prount kan zijn prouti ht st grootshalig inrihtn. lazij 8 8 8 O 8 0 8 D unti staat nit voor 0 n, omat nomr an nul is. D graik van ht vrtial asmptoot 0. 9 0 als 9 0 n ( ) 0. D vrglijking gt 9 n us ( ) o. D onglijkhi gt 0 n. D oplossing i ovrlijt is. ( )( ) ( ) 9 (mt 0 n ) ( ) ( ) D lijn. Hoostuk - Funtis irntiërn 9
T-a ( ) 0,, ( ) ( ),, ( ), ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) 0, 7, 0, 8 Hoostuk - Funtis irntiërn 0, 0, ( ), ( ) T-a ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )( ) ( ) 9 0 0 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) T-a A ( ) 7 ( ) ( ) ( ) ( k)( k ) ( k k) A ( k) k k k k k k k ( k) ( k) ( k) ( q ) 0 q 8q P ( q) ( q ) ( q ) v ( v ) ( v ) v S ( v) v v v v v ( v ) v v v ( ) ( ) h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t) t t ( t) t t t t t t t t t t t
lazij 9 T-a Domin: 0 0 O 0 0 0 0 0 n zijn nulpuntn van, voor ht graik van n top. ( ) 0, 0, 0,, ( ) 0, 0, D graik ht aar n horizontal raaklijn. In uurt van (0, 0) is nit t zin at graik aar n horizontal raaklijn ht. 000 T-a Groningn: 7, N 0 7 07 80 8 7 Harn: 800 9, N 0 9 0 8 9 000 800 Groningn-Harn:, N 0 9 80 8 Conlusi: n gmntlijk hrinling zou voor Harn nalig gvolgn hn. Dz gmnt mot an namlijk mr lrlingn op n shool hn an in ou situati om shool opn t houn. ( 8 ) 0 0 N ( ) 70 0 0 70 ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) D tllr n nomr van N ( ) zijn i positi, us N ( ) is positi. Dat N ( ) positi is tknt at hlling van graik van N grotr an nul is. Conlusi: graik van N is stijgn op [ 0,. D lijn N 0 is horizontal asmptoot. Dit tknt at ophingsnorm nooit hogr an 0 lrlingn is. Hoostuk - Funtis irntiërn
T-7a Hoostuk - Funtis irntiërn Voorl : n gmnt mt opprvlakt 00 km n 000 lrlingn ht n lrlingnihthi van 0 lrlingn pr km. D ophingsnorm is an N 0 0. 8 0 Als r 0 lrlingn ij komn vranrt lrlingnihthi, maar ophingsnorm lijt htzl. Htzl glt als r 00 lrlingn ij komn. Dz paar tra lrlingn kunnn shool rn. Voorl : n gmnt mt n opprvlakt van 0 km n 00 lrlingn ht n lrlingnihthi van 0 lrlingn pr km. D ophingsnorm is an N 0 0. 8 0 Als r 0 lrlingn ijkomn vranrt zowl lrlingnihthi als ophingsnorm. Er glt an namlijk N 8. Dz tra lrlingn vrhogn us ophingsnorm, wat situati ongunstigr maakt. Conlusi: uitspraak klopt. Voor onvn waarn van n. Na irntiërn is maht van an vn n at tknt at ( ) an grotr o glijk aan nul is. Zi ijvoorl oprahtn a,, T-a. In ht algmn: als j n quotiëntunti gmakklijk als (som van) mahtsunti(s) kunt shrijvn.