Wiskunde B,2 (nieuwe sijl) Examen VW Voorbereidend Weenschappelijk nderwijs Tijdvak Donderdag 22 mei 3.30 6.30 uur 20 03 Voor di examen zijn maximaal 86 punen e behalen; he examen besaa ui 9 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punen me een goed anwoord behaald kunnen worden. Voor de uiwerking van de vragen 0,, 5, 6, 8 en 9 is een bijlage oegevoegd. Als bij een vraag een verklaring, uileg of berekening vereis is, worden aan he anwoord meesal geen punen oegekend als deze verklaring, uileg of berekening onbreek. Geef nie meer anwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld wee redenen worden gevraagd en je geef meer dan wee redenen, dan worden alleen de eerse wee in de beoordeling meegeeld. 30000 22 Begin
Periodiek Gegeven is de rij: u u 0 n = a + u = u n n In de volgende wee vragen kiezen we de sarwaarde a = 2. In figuur saa de webgrafiek van de rij bij deze sarwaarde. figuur y 5 4 3 2-5 -4-3 -2-2 3 4 5 x - -2-3 -4-5 4p Bereken u, u 2, u 3 en u 4. 5p 2 5p 3 Bereken u 999999. Lich je anwoord oe. We kunnen ook andere sarwaarden a nemen dan 2. Als we a = 0 nemen, heef de rij maar wee ermen: u 0 en u ; dan is de erm u 2 namelijk nie gedefinieerd. Behalve a = 0 zijn er nog wee sarwaarden waarbij één van de ermen in de rij u n gelijk is aan 0. De daaropvolgende erm in de rij is dan nie gedefinieerd. Welke wee sarwaarden zijn da? Lich je anwoord oe. In de res van deze opgave werken we me sarwaarden waarbij u, u 2 en u 3 wèl gedefinieerd zijn. Bij zo'n sarwaarde a kun je achereenvolgens u en u 2 bepalen. 6p 4 Toon langs algebraïsche weg aan da de uidrukking die je voor u 2 krijg kan worden vereenvoudigd o. a Nu je u 2 gevonden heb, kun je u 4 ook bepalen. 4p 5 Toon aan da u 4 = a. 30000 22 2 Lees verder
Zomerarwe Een akker word op april ingezaaid me zomerarwe. De arwe word geoogs op 30 juli. In de 20 dagen ussen zaaien en oogsen groeien de planen nie seeds even hard. Aanvankelijk groeien de planen seeds sneller. Als de planen groer worden gaan ze elkaar meer hinderen, waardoor de groeisnelheid nagenoeg consan word. Tegen he einde van he groeiseizoen gaan de arweplanen seeds langzamer groeien. He gewich van de arweplanen in kilogrammen noemen we z. De ijd in dagen noemen we ; = 0 op april, = 20 op 30 juli. z' () is de snelheid waarmee z groei op ijdsip (in kg/dag). Biologen haneren voor de drie groeifasen wel he volgende model: 0,( 40) fase : exponeniële groei voor 0 < 40 geld: z () = 00 e fase 2: lineaire groei voor 40 < 00 geld: z ( ) = 00 fase 3: anende groei In figuur 2 saa de grafiek van z. voor 00 < 20 geld: z () = 00 e 0,2( 00) figuur 2 00 z' (kg/dag) 80 60 40 20 0 0 20 40 60 80 00 20 (dagen) Bij elk ijdsip in fase is er een ijdsip 3 in fase 3 waarop de arweplanen even snel groeien als op. 4p 6 Bereken 3 exac als = 8. De hoeveelheid zaaigoed is 30 kg. Dus z (0) = 30. 4p 7 0,( 40) Er zijn geallen a en b, zo da voor fase geld: z() = a e + b Bereken a en b. Rond de waarde van b af op wee decimalen. p elk ijdsip is he gewich e bepalen me z() = z(0) + z ( s)ds 0 6p 8 3p 9 Er geld: z(00) 70,68. Toon di aan. Bereken he gewich van de arweplanen op 30 juli. 30000 22 3 Lees verder
Conflic ussen wee punen en een lijn Gegeven zijn een lijn k en wee punen A en B op gelijke afsand van k en aan dezelfde kan van k. Zie figuur 3. Deze figuur saa ook wee keer op de bijlage. figuur 3 A B k We verdelen he vlak waar A, B en k in liggen volgens he naase-buur-principe. De grenslijnen van deze verdeling zijn confliclijnen. He pun D is he drielandenpun, da is he pun op gelijke afsand van A, B en k. 4p 0 4p Teken in de figuur op de bijlage he drielandenpun D. Lich je werkwijze oe. Teken in de figuur op de bijlage de confliclijnen. Lich je werkwijze oe. seoporose seoporose of boonkalking is een kwaal die vooral bij oudere mensen opreed en vererger naarmae men ouder word. Bij he ouder worden maak he lichaam minder bo aan dan er afgebroken word. He gevolg is da boen poreuzer worden en de kans op bobreuk dus oeneem. In deze opgave beperken we ons o de risicogroep, personen van 55 jaar en ouder. nderzoek wijs ui da op de 4 vrouwen aan oseoporose lijd. Bij mannen is da op de 2. 3p 2 7p 3 4p 4 Bij een conrole op oseoporose onder 00 aselec gekozen vrouwen word bij een aanal vrouwen oseoporose geconsaeerd. Bereken de kans da di aanal 30 is. Bij een conrole onder vijf aselec gekozen mannen en vijf aselec gekozen vrouwen word bij een aanal van hen oseoporose geconsaeerd. Bereken de kans da di aanal 2 is. In 998 besond in Nederland de risicogroep voor 55,6% ui vrouwen. Bereken hoeveel procen van de oseoporose-paiënen ui de risicogroep vrouw was. 30000 22 4 Lees verder
Twee scharnierende vierkanen Twee vierkanen, beide me zijde, hebben he hoekpun gemeenschappelijk. He onderse vierkan lig vas. He bovense vierkan word om gedraaid; is de draaihoek in radialen. In figuur 4 zijn ussen de begin- en eindsand drie ussensanden geekend. m de wee vierkanen is seeds een zo klein mogelijke rechhoek geekend, me wee zijden langs he vase vierkan. figuur 4 De oppervlake R van de omhullende rechhoek is een funcie van de draaihoek. Voor elke waarde van ussen 0 en π geld: ( ) ( sin )( sin cos ) 2 R = + + +. In figuur 5 en op de bijlage is de siuaie geekend voor een waarde van ussen 0 en 2 π. figuur 5 4p 5 Toon de juisheid van de formule aan voor elke waarde van ussen 0 en 2 π. Er zijn ussen de begin- en de eindsand wee posiies van de vierkanen waarvoor R() maximaal is. In figuur 6 en op de bijlage is één van die posiies geekend. figuur 6 4p 6 Teken in de figuur op de bijlage de andere posiie van de vierkanjes waarvoor R() maximaal is. Lich je werkwijze oe. 3p 7 Toon me behulp van differeniëren aan da R (0) = 3. Le op: de laase vragen van di examen saan op de volgende pagina. 30000 22 5 Lees verder
Twee ellipsen me een gemeenschappelijk brandpun Twee ellipsen hebben he brandpun F gemeenschappelijk; de andere wee brandpunen zijn F 2 en F 3. De ellipsen snijden elkaar in een pun P. Zie figuur 7. Deze figuur saa ook op de bijlage. figuur 7 F F 2 P = F 3 De raaklijnen in P aan de wee ellipsen maken vier hoeken me elkaar. De hoek ussen de wee halve raaklijnen die geheel buien de ellipsen liggen, noemen we α. 6p 8 Bewijs da geld: F 2 PF 3 = 2α. Consane booglenge 6p 9 Twee cirkels c en c 2 snijden elkaar in de punen A en B. A en B verdelen c in wee bogen: de ene boog lig binnen c 2, de andere boog lig buien c 2. p de boog van c buien c 2 liggen de punen X en Y. De lijnen AX en BX snijden c 2 nog in de punen P en Q. De lijnen AY en BY snijden c 2 nog in de punen P 2 en Q 2. Zie figuur 8. Deze figuur saa ook op de bijlage. Bewijs da de bogen P Q en P 2 Q 2 even groo zijn. figuur 8 c Y P A X B Q 2 Q c 2 P 2 Einde 30000 22 6 Lees verder