Opgaven hoofdstuk 9 I Basistechnieken 9.1 Het doel van deze opgave is het vergelijken van de variabiliteit van x 1 en x 2 met de variabiliteit van (x 1 - x 2). a. Stel dat de eerste steekproef wordt genomen uit een populatie met verwachting μ 1 = 150 en variantie σ 2 1 = 900. Binnen welk bereik moet het steekproefgemiddelde variëren in ongeveer 95% van de gevallen bij herhaald steekproeven nemen van 100 meetwaarden uit deze verdeling? Dat wil zeggen, construeer een interval van 2 standaardafwijkingen van x 1 aan beide zijden van μ 1 b. Stel dat de tweede steekproef onafhankelijk van de eerste wordt genomen uit een tweede populatie met verwachting μ 1 = 150 en variantie σ 2 1 = 1600. Binnen welk bereik moet het steekproefgemiddelde vallen in ongeveer 95% van de gevallen bij herhaald steekproeven nemen van 100 meetwaarden uit deze verdeling? Dat wil zeggen, construeer een interval van 2 standaardafwijkingenen van x 2 aan beide zijden van μ 2 c. Beschouw nu het verschil tussen de twee steekproefgemiddelden (x 1 - x 2).Wat zijn de verwachting en de standaardafwijking van de verdeling van (x 1 - x 2)? d. Binnen welk bereik moet het verschil in steekproefgemiddelde variëren in ongeveer 95% van de gevallen bij herhaald onafhankelijk steekproeven nemen van elk 100 meetwaarden uit de twee populaties? e. Wat kun je in het algemeen zeggen over de variabiliteit van het verschil tussen onafhankelijke steekproefgemiddelden in vergelijking met de variabiliteit van de individuele steekproefgemiddelden? 9.2 Stel dat σ 2 1 = σ 2 2 = σ 2. Bereken de gecombineerde schatter van σ 2 voor elk van de volgende gevallen: a. s 2 1 = 120, s 2 2 = 100, n 1 = n 2 = 25 b. s 2 1 = 12, s 2 2 = 20, n 1 = 20, n 2 = 10 c. s 2 1 = 0,15, s 2 2 = 0,20, n 1 = 6, n 2 = 10 d. s 2 1 = 3000, s 2 2 = 2500, n 1 = 16, n 2 = 17 e. Merk op dat de gecombineerde schatting een gewogen gemiddelde is van de steekproefvarianties. Bij welk van de varianties ligt de gecombineerde schatting in elk van bovengenoemde gevallen het dichtstbij?
9.3 Er zijn twee onafhankelijke aselecte steekproeven genomen, 100 waarnemingen uit populatie 1 en 100 uit populatie 2. Hierbij werden de steekproefgemiddelden x 1 = 15,5 en x 2 = 26,6 verkregen. Uit eerdere ervaring met deze populaties weten we dat de varianties gelijk zijn aan σ 2 1 = 9 en σ 2 2 = 16. a. Bereken σ( x 1 x 2) b. Schets bij benadering de verdeling voor ( x 1 x 2), als we aannemen dat (μ 1 -μ 2 )=10 c. Bepaal de plaats van de waargenomen waarde van (x 1 x 2) in de grafiek die je in b hebt getekend. Lijkt het er op dat deze waarde in strijd is met de nulhypothese H 0 : (μ 1 -μ 2 ) =10? d. Gebruik de z-tabel (tabel IV) om het kritieke gebied te bepalen voor de toets van H 0 : (μ 1 -μ 2 ) =10 tegen H 0 : (μ 1 -μ 2 ) 10. Gebruik α = 0,05 e. Voer de hypothesetoets van d uit en interpreteer het resultaat. f. Construeer een 95% betrouwbaarheidsinterval voor (μ 1 -μ 2 ). Interpreteer dit interval. g. Welke procedure geeft meer informatie over de waarde van (μ 1 -μ 2 ) - de toets van de hypothese in e of het betrouwbaarheidsinterval in f? 9.4 Een experiment met gepaarde waarnemingen geeft n D paren meetwaarden. Wat is in elk van de volgende gevallen het kritieke gebied voor het toetsen van H 0 : μ D =0 tegen H a : μ D > 0? a. n D = 12, α = 0,05 b. n D = 24, α = 0,10 c. n D = 4, α = 0,025 e. n D = 8, α = 0,01 9.5 Bepaal voor elk van de volgende waarden van α de waarden van z waarvoor H 0 : (p 1 - p 2 ) = 0 verworpen wordt ten gunste van H a : (p 1 - p 2 ) < 0. a. α = 0,01 b. α = 0,025 c. α = 0,05 d. α = 0,10. 9.6 Er worden aselecte steekproeven genomen met omvang n 1 = 55 en n 2 = 65 respectievelijk uit populatie 1 en populatie 2. Het resultaat is p 1 = 0,7 en p 2 = 0,6. Toets H 0 : (p 1 - p 2 ) = 0 tegen H a : (p 1 - p 2 ) > 0 voor α = 0,05. 9.7 Bepaal welke waarden voor n 1 en n 2 (veronderstel n 1 = n 2 ) nodig zijn om een schatting te maken van (μ 1 - μ 2 ) met: a. Een marge van de schattingsfout gelijk aan 3,2 met een betrouwbaarheid van 95%. Uit eerdere ervaring is bekend dat σ 1 15 en σ 2 17.
b. Een marge van de schattingsfout gelijk aan 8 met een betrouwbaarheid van 99%. Het bereik van elk van beide populaties is 60. c. Een 90% betrouwbaarheidsinterval met breedte 1,0. Veronderstel dat σ 2 1 5,8 en σ 2 2 7,5. 9.8 Er is genoeg geld beschikbaar om onafhankelijke aselecte steekproeven van omvang n 1 = n 2 = 100 te nemen uit populaties 1 en 2 om (μ 1 - μ 2 ) te kunnen schatten. Eerdere informatie geeft aan dat σ 1 = σ 2 = 10. Is er dan genoeg geld beschikbaar om een 90% betrouwbaarheidsinterval te construeren voor (μ 1 - μ 2 ) met breedte 5 of minder? Licht je antwoord toe. 9.9 Gebruik tabel VIII, IX, X en XI uit appendix B om de volgende F-waarden te bepalen: a. F 0,05 met ν 1 = 9 en ν 2 = 6 b. F 0,01 met ν 1 = 18 en ν 2 = 14 c. F 0,025 met ν 1 = 11 en ν 2 = 4 d. F 0,10 met ν 1 = 20 en ν 2 = 5 9.10 Onafhankelijke aselecte steekproeven worden genomen uit twee normaal verdeelde populaties, n 1 = 12 uit populatie 1 en n 2 = 27 uit populatie 2. In de tabel worden het gemiddelde en de variantie voor de twee steekproeven gegeven. Steekproef 1 Steekproef 2 n 1 = 12 n 2 = 27 x 1 = 31,7 x 2 = 37,4 s 2 1 = 3,87 s 2 2 = 8,75 a. Toets de nulhypothese H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 tegen de alternatieve hypothese H a : σ 2 1 σ 2 2. Gebruik α = 0,10. b. Bepaal bij benadering de overschrijdingskans van de toets. 9.11 Er worden aselecte steekproeven van vijf paren waarnemingen genomen, één van elk paar uit een populatie met verwachting μ 1, en de andere uit een populatie met verwachting μ 2. In de tabel worden de meetwaarden gegeven. Paar Waarde uit populatie 1 Waarde uit populatie 2 1 28 22 2 31 27 3 24 20 4 30 27
5 22 20 a. Toets de nulhypothese H 0 : μ D = 0 tegen H a : μ D 0 waar μ D = μ 1 μ 2. Gebruik α = 0,05 b. Construeer een 95% betrouwbaarheidsinterval voor μ D. c. Wanneer zijn de procedures die je in a en b hebt gebruikt geldig? 9.12 Geef een opsomming van de aannames die in elk van de volgende procedures nodig zijn: a. Conclusies uit een grote steekproef over het verschil (μ 1 - μ 2 ) tussen populatieverwachtingen met behulp van een z-toets voor twee steekproeven. b. Conclusies uit een kleine steekproef over (μ 1 - μ 2 ) met behulp van twee onafhankelijke steekproeven en een t-toets voor twee steekproeven voor het analyseren van de verschillen. c. Conclusies uit een kleine steekproef over (μ 1 - μ 2 ) met behulp van de gepaardeverschilmethode en een t-toets voor één steekproef voor het analyseren van de verschillen. d. Conclusies uit grote steekproeven over de verschillen (p 1 - p 2 ) tussen binomiale fracties met behulp van een z-toets voor twee steekproeven. *e. Conclusies over de verhouding σ 2 1 / σ 2 2 van twee populaties met behulp van een F- toets. II Toepassingen 9.13 Een recente golf van pensioneringen in de Amerikaanse Senaat leidde ertoe dat de onderzoekers J.E. Trickett en P.M. Sommers van Middlebury College een onderzoek instelden naar de leeftijd en aantal dienstjaren van leden van het Congres. Een van de vragen die de onderzoekers zich stellen is: Begonnen de 13 senatoren die onlangs met pensioen gingen hun carrière op een jongere leeftijd dan de rest van hun collega's in de Senaat? a. De gemiddelde leeftijd waarop de 13 terugtredende senatoren hun dienst begonnen bedraagt 45,783 jaar; het corresponderend gemiddelde voor alle overige senatoren is 47,201 jaar. Is dit voldoende informatie om de vraag van de onderzoekers te beantwoorden? Licht je antwoord toe. b. De onderzoekers voerden een t-toets voor twee steekproeven uit op het verschil tussen de twee gemiddelden. Specificeer de nulhypothese en de alternatieve hypothese voor deze toets. Geef duidelijk aan wat de relevante parameter is. c. De overschrijdingskans voor de toets in b werd gegeven als p = 0,55. Interpreteer dit resultaat. 9.14
Een van de manieren waarop bedrijven aan geld voor uitbreiding komen is het uitgeven van obligaties, een overeenkomst om de koper een bepaald bedrag terug te betalen met een vast rentepercentage, waarbij de rente periodiek gedurende de looptijd van de obligatie wordt betaald. De verkoop van obligaties wordt gewoonlijk verzorgd door een financiële instelling die als 'leadmanager' optreedt. Loont het voor ondernemingen om zich te oriënteren op verschillende leadmanagers? De reden voor deze vraag is dat de prijs van een obligatie na uitgifte kan stijgen of dalen. Of een onderneming de marktprijs voor een obligatie krijgt hangt daarom af van de bekwaamheid van de leadmanager. In de tabel staat de gemiddelde verandering van prijs over een periode van 12 maanden van 27 obligaties die verzorgd zijn door een bepaalde leadmanager, en van de prijzen van 23 obligaties verzorgd door een andere leadmanager. Leadmanager 1 Leadmanager 2 Steekproefomvang 27 23 Steekproefgemiddelde 0,0491 0,0307 Steekproefvariantie 0,009800 0,002465 a. Leveren de gegevens voldoende bewijs dat er een verschil bestaat in verwachte verandering van obligatieprijzen voor de twee leadmanagers? Toets voor α = 0,05. b. Bepaal een 95% betrouwbaarheidsinterval voor het verwachte verschil tussen de twee leadmanagers en interpreteer dit. 9.15 De Professional Geographer vermeldt een onderzoek naar de hypothese dat de afstand van de woning tot het werk voor vrouwen in belangrijke mate bepaald wordt door de ongelijke verantwoordelijkheid voor het huishouden voor vrouwen in huishoudens met twee inkomens. De afstand tot het werk voor zowel mannen als vrouwen in huishoudens met dubbel inkomen is gegeven voor aselecte steekproeven van huishoudens zowel in de binnenstad als in de voorsteden. Binnenstad Voorsteden Mannen Vrouwen Mannen Vrouwen n 159 119 138 93 x 7,4 4,5 9,3 6,6 s 6,3 4,2 7,1 5,6 a. Bereken voor woningen in de stad een 99% betrouwbaarheidsinterval voor het verschil in verwachte afstand tot het werk voor mannen en vrouwen in huishoudens met twee inkomens. Interpreteer het interval. b. Herhaal a voor woningen in de voorsteden. c. Interpreteer de betrouwbaarheidsintervallen. Vormen deze een aanwijzing dat vrouwen in het algemeen dichter bij huis werken dan mannen? d. Welke aannames heb je gemaakt om de geldigheid van de betrouwbaarheidsintervallen in a en b te kunnen garanderen?
9.16 Slaapgebrek kost ondernemingen in de V.S ongeveer 18 miljard dollar per jaar aan productiviteit die verloren gaat, volgens de National Sleep Foundation. Ondernemingen zijn nu echter wakker geschud. Sommige hebben zelfs rustkamers beschikbaar gesteld voor studie of om te slapen. Power naps zijn in de mode. Een grote luchtvaartonderneming is onlangs haar reserveringsagenten gaan aanmoedigen om tijdens hun werkpauzes een dutje te doen. In de tabel staat het aantal klachten die zijn ontvangen over elke agent uit een steekproef van tien reserveringsagenten gedurende de zes maanden voordat de aansporing werd gedaan om even een dutje te doen, en gedurende de zes maanden daarna. POWERNAP.DAT Agent Aantal klachten voor Aantal klachten na 1 10 5 2 3 0 3 16 7 4 11 4 5 8 6 6 2 4 7 1 2 8 14 3 9 5 5 10 6 1 a. Leveren de gegevens voldoende bewijs om te kunnen concluderen dat het nieuwe beleid het verwachte aantal klachten door de klant over reserveringsagenten is verminderd? Toets met α = 0,05. b. Welke aannames moeten gelden opdat de toets geldig is? 9.17 Layout en materiaalstroomontwerp zijn belangrijke factoren in de productiviteitsanalyse van geautomatiseerde productiesystemen. De layout betreft de plaatsing van machines en buffers voor werk dat aan de gang is. Materiaalstroomontwerp betreft de richting van productiemateriaalstromen (bijvoorbeeld in één richting of in twee richtingen). Een fabrikant van printplaten (PCB's) wil twee alternatieve bestaande layout en materiaalstroomontwerpen beoordelen. De output van elk ontwerp werd gedurende acht opeenvolgende dagen geregistreerd. FLOWPATH.DAT Werkdag Ontwerp 1 Ontwerp 2 16 aug 1220 eenheden 1273 eenheden 17 aug 1092 eenheden 1363 eenheden 18 aug 1136 eenheden 1342 eenheden 19 aug 1205 eenheden 1471 eenheden 20 aug 1086 eenheden 1299 eenheden 23 aug 1274 eenheden 1457 eenheden 24 aug 1145 eenheden 1263 eenheden 25 aug 1281 eenheden 1368 eenheden
a. Construeer een 95% betrouwbaarheidsinterval voor het verschil in verwachte dagelijkse output voor de twee ontwerpen. b. Aan welke aannames moet zijn voldaan opdat het betrouwbaarheidsinterval geldig is? c. Ontwerp 2 lijkt beter te zijn dan ontwerp 1. Wordt dit bevestigd door het betrouwbaarheidsinterval? Licht je antwoord toe. 9.18 Bij het beoordelen van de bruikbaarheid en de geldigheid van een vragenlijst, testen onderzoekers de vragenlijst vaak met verschillende onafhankelijke steekproeven van respondenten. Kennis van de verschillen en overeenkomsten tussen de steekproeven en de bijbehorende populaties is belangrijk om de geldigheid van de vragenlijst te kunnen beoordelen. Educational and Psychological Measurement vermeldt een nieuw ontwikkelde vragenlijst voor het meten van de verwachting die werknemers hebben van het succes dat ze in hun carrière zullen hebben. Het meetinstrument werd getest op de twee onafhankelijke steekproeven die in de tabel staan vermeld. Managers en professionals Deeltijd MBAstudenten Steekproefomvang 162 109 Geslacht 95,0 68,9 (percentage mannen) Burgerlijke staat (percentage getrouwd) 91,2 53,4 a. Bevat de populatie managers en professionals waaruit de steekproef is genomen meer mannen dan de populatie part-time MBA-studenten? Voer hiervoor de juiste toets uit, voor α = 0,05. b. Beschrijf eventuele aannames die je hebt gedaan bij het uitvoeren van de toets in a en licht toe waarom je ze hebt gedaan. c. Bevat de populatie managers en professionals meer getrouwde personen dan de populatie part-time MBA-studenten? Voor de juiste toets uit voor α = 0,01. d. Aan welke aanname moet zijn voldaan opdat de toets in c geldig is? 9.19 Mogen reclamemakers reclame maken die voor kinderen aantrekkelijk is, om producten voor volwassenen te verkopen? Een voorbeeld van een controversiële reclamecampagne was het gebruik van Camel sigaretten van de stripfiguur Joe Camel als merksymbool. (De Federal Trade Commission verbood uiteindelijk reclame met Joe Camel omdat deze geacht werd jongeren aan te moedigen om te gaan roken.) Lucy L. Henke, professor marketing aan de Universiteit van New Hampshire, heeft het vermogen getest van kleine kinderen om symbolen in sigarettenreclame te herkennen. Het bleek dat 25 van de 28 kinderen jonger dan 6 jaar en 46 van de 55 kinderen van 6 jaar en ouder Joe Camel, het merksymbool van Camel sigaretten, herkenden.
a. Gebruik een 95% betrouwbaarheidsinterval om een schatting te maken van het percentage kinderen dat Joe Camel herkent. Interpreteer het interval. b. Vormen de gegevens een aanwijzing dat het herkennen van Joe Camel met de leeftijd toeneemt? Toets voor α = 0,05. 9.20 Industrial Marketing Management heeft een onderzoek gepubliceerd naar de demografie, rol bij besluitvorming en vraag naar tijd van productmanagers. Er werden onafhankelijke steekproeven genomen van n 1 = 93 consumenten- /commerciële managers, en n 2 = 212 industriële productmanagers. In de consumenten- /commerciële groep is 40% van de productmanagers 40 jaar of ouder; in de industriële groep is 54% 40 jaar of ouder. Trek een conclusie over het verschil tussen de werkelijke percentages van de consumenten- /commerciële en de industriële productmanagers die ten minste 40 jaar oud zijn. Rechtvaardig de keuze van de methode die je gebruikt (betrouwbaarheidsinterval of hypothesetoets) en de waarde van α die je gebruikt. Zijn industriële productmanagers in het algemeen ouder dan consumenten-/commerciële managers? 9.21 Een enquêteur wil een schatting maken van het verschil tussen de percentages mannen en vrouwen die de voorkeur geven aan een bepaalde kandidaat, met een 90% betrouwbaarheidsinterval met breedte 0,04. Stel dat de enquêteur geen informatie vooraf heeft over de percentages. Als het de bedoeling is dat er evenveel mannen als vrouwen worden geënquêteerd, hoe groot moeten dan de steekproeven zijn? 9.22 Tegenwoordig hebben vrijwel alle Amerikaanse kabelondernemingen ten minste één thuiswinkelkanaal. Wie maken er gebruik van deze diensten? Zijn de thuiswinkeliers voornamelijk mannen of voornamelijk vrouwen? Stel dat je een schatting wilt maken van het verschil in percentage mannen en vrouwen dat zegt gebruik te maken of te gaan maken van thuiswinkelen via de televisie, met een 80% betrouwbaarheidsinterval met breedte 0,06 of minder. a. Hoeveel mensen moeten er dan ongeveer in je steekproeven worden opgenomen? b. Stel dat je individuele schattingen wilt voor de twee gezochte percentages. Is de steekproefomvang in a groot genoeg voor schattingen van beide percentages, met een nauwkeurigheid van 0,02 en een waarschijnlijkheid van 0,90? Licht je antwoord toe. 9.23 Na de eerste Golfoorlog heeft het Pentagon besloten de logistieke processen te veranderen, zodat ze meer bedrijfsmatig zouden worden. De extravagante just-incase ( voor het geval dat ) mentaliteit werd vervangen door just-in-time ( net op tijd ) systemen. Naar het voorbeeld van Federal Express en United Parcel Service worden leveringen van de fabriek naar het schuttersputje uitgevoerd met behulp van barcodes, laserkaarten, radio tags en databases om de leveringen te kunnen monitoren. In de tabel staan van-order-tot-leveringtijden (in dagen) voor een steekproef van verzendingen van de V.S. naar de Perzische Golf in 1991 en een steekproef verzendingen naar Bosnië in 1995.
ORDTIMES.DAT Perzische Bosnië Golf 28,0 15,1 20,0 6,4 26,5 5,0 10,6 11,4 9,1 6,5 35,2 6,5 29,1 3,0 41,2 7,0 27,5 5,5 a. Gebruik de gegevens om te toetsen of de varianties in de van-order-totlevering- tijden voor de verzendingen naar de Perzische Golf en naar Bosnië hetzelfde zijn. Gebruik α = 0,05. b. Is het mogelijk, gezien het antwoord in a, om een betrouwbaarheidsinterval te construeren voor het verschil tussen de gemiddelde van-order-tot-leveringtijden? Licht je antwoord toe. 9.24 Het American Educational Research Journal heeft een onderzoek gepubliceerd om de testscores wiskunde voor mannelijke en vrouwelijke studenten te vergelijken. De onderzoekers gingen van de hypothese uit dat de verdeling van de testscores voor mannen een grotere variabiliteit vertoont dan die voor vrouwen. Gebruik de samenvattende informatie in de tabel om deze claim voor α = 0,01 te toetsen. Mannen Vrouwen Steekproefomvang 1764 1739 Gemiddelde 48,9 48,4 Standaardafwijking 12,96 11,85 9.25 Er worden onafhankelijke aselecte steekproeven genomen uit twee binomiale populaties. In de tabel wordt de grootte en het aantal successen voor elk van beide steekproeven gegeven. Steekproef 1 Steekproef 2 n 1 = 200 n 2 = 200 x 1 = 110 x 2 = 130 a. Toets H 0 : (p 1 - p 2 ) = 0 tegen H a : (p 1 - p 2 ) < 0. Gebruik α = 0,10. b. Construeer een 95% betrouwbaarheidsinterval voor (p 1 - p 2 ). c. Welke steekproefomvang is nodig als we een 95% betrouwbaarheidsinterval willen gebruiken met breedte 0,01 voor het schatten van (p 1 - p 2 )?
9.26 Als er nieuwe instrumenten worden ontwikkeld voor chemische analyse van producten (voedsel, geneesmiddelen, etc.) worden ze gewoonlijk op twee criteria beoordeeld: juistheid en nauwkeurigheid. Juistheid geeft aan hoe goed het instrument op juiste wijze de aard en de hoeveelheid van de componenten van een product identificeert. Nauwkeurigheid geeft aan hoe consistent het instrument de bestanddelen van hetzelfde materiaal identificeert. Zo is een grote variabiliteit in de identificatie van één enkele partij van een product een aanwijzing voor een gebrek aan nauwkeurigheid. Stel dat een farmaceutische onderneming geïnteresseerd is in twee bepaalde merken van een instrument voor het identificeren van de bestanddelen van bepaalde geneesmiddelen. Om de nauwkeurigheid te vergelijken worden onder andere 10 steekproeven met een reageerbuis van een goed gemengde partij van een bepaald geneesmiddel geselecteerd, en vijf daarvan worden met instrument A geanalyseerd en vijf met instrument B. In de tabel worden de percentages gegeven van het hoofdbestanddeel van het geneesmiddel, zoals die door de twee instrumenten zijn gemeten. Geven deze gegevens een aanwijzing dat er een verschil in nauwkeurigheid tussen de twee instrumenten bestaan? Gebruik α = 0,10. INSTRAB.DAT Instrument A Instrument B 43 46 48 49 37 43 52 41 45 48