BETROUWBAARHEIDSINTERVAL REEKS 1

Transcriptie

1 BETROUWBAARHEIDSINTERVAL REEKS 1 Versie 18/07/2019 Let op bij oefeningen 2 en 3! In sommige vakken moet je geen betrouwbaarheidsintervallen kunnen opstellen in situaties waar de populatievariantie (of populatiestandaarddeviatie) gekend is. Dat stuk leerstof wordt soms weggelaten omdat het eigenlijk heel onrealistisch is. Als je dit inderdaad niet moet kennen, kan je oefeningen 2 en 3 eventueel overslaan. Anderzijds zijn die oefeningen wel bruikbaar om beter inzicht te krijgen in wat een betrouwbaarheidsinterval precies is. Opmerking! Niet elke regel met R-code zal je kunnen/moeten gebruiken. 1. Schatters Welke uitspraak is waar? σ X is een zuivere schatter van de populatievariantie van X n n n 1 SN X 2 is een zuivere schatter van de populatievariantie van X σ X 2 n is een zuivere schatter van de populatievariantie van X (n 1)S X 2 σ X 2 is een zuivere schatter van de populatievariantie van X 2. Verplaatsingen met de fiets De stad Brugge onderzoekt het mobiliteitsgedrag van haar inwoners. Specifiek wil de stad te weten komen hoeveel kilometer de bewoners per jaar afleggen met de fiets. Er wordt daarom een meetsysteem geïnstalleerd op de fiets van 289 mensen. Na een jaar stelt men een gemiddelde afstand van 78 kilometer vast. Ga ervan uit dat de p.1

2 gefietste afstand normaal verdeeld is in de populatie en dat je de variantie van deze afstand in de populatie kent, namelijk Bereken een 90% BI, een 95% BI en een 99% BI door de onderstaande R-code te gebruiken - Welk betrouwbaarheidsinterval is het breedst? Probeer ook in woorden uit te leggen waarom > qnorm(0.99, lower.tail=false) [1] > qnorm(0.90) [1] > qnorm(0.05) [1] > pnorm( ) [1] > qnorm(0.025, lower.tail=false) [1] Studentenresto s De universiteit wil uitzoeken hoe tevreden de studenten zijn over de studentenrestaurants. Er wordt een enquête gehouden bij 625 studenten. Op de kwaliteit van het eten geven zij gemiddeld een score van 72 (op 100). Ga ervan uit dat de variantie van de score bij alle studenten 49 bedraagt en dat de scores normaal verdeeld zijn. - Bereken een 95% BI aan de hand van de onderstaande R-code - Het jaar voordien werd dezelfde enquête afgenomen van twee keer zoveel studenten (voor de rest blijft alles hetzelfde). Wat is het effect hiervan op de breedte van het BI? Kan je dat effect ook verklaren? p.2

3 > qnorm(0.975, 0, 1,lower.tail=FALSE) [1] > pnorm( ) [1] > pnorm( ) [1] Studentenkoten Onderzoekers willen nagaan hoe groot de oppervlakte van het kot van de Gentse studenten is. Ze nemen een steekproef van 121 studenten en stellen een gemiddelde 2 vast van 14,4 vierkante meter. In hun steekproef is de variantie S X gelijk aan 16. Neem aan dat de kotoppervlakte normaal verdeeld is in de populatie. Bereken een 90%, 95% en 99% betrouwbaarheidsinterval aan de hand van onderstaande R-code. Wat gebeurt er met de breedte van het BI in die drie gevallen? Probeer dit ook te verklaren > qnorm(0.005,14.4,4/11) [1] > pt( ,120) [1] 0.95 > qnorm(0.95, lower.tail=false) [1] > qnorm(0.995) [1] > qt(0.99,120) [1] > qt(0.995,120) [1] p.3

4 > qnorm(0.025,0,1) [1] > qt(0.975,120, lower.tail=false) [1] Training topsporters Elien en Jonas zijn twee onderzoekers die los van elkaar onderzoek doen naar hoe topsporters trainen. Ze willen weten hoeveel uur per week (X) de atleten trainen. Elien trekt een steekproef van 180 atleten, Jonas selecteert 60 atleten voor zijn steekproef. Ze bouwen een betrouwbaarheidsinterval met eenzelfde waarde voor α, namelijk 0.10 Beide onderzoekers stellen een variantie van S 2 X = 25 vast. Wie van de twee onderzoekers zal een smaller BI uitkomen en waarom? > qt(0.95,59) [1] > qt(0.95,179) [1] Psychopathische kenmerken managers Een onderzoeker is geïnteresseerd in psychopathische kenmerken bij managers en ontwerpt daarvoor een test, die een score op 100 oplevert. Deze test wordt afgelegd door een steekproef van managers en vervolgens wordt een betrouwbaarheidsinterval rond het steekproefgemiddelde gebouwd. Een tweede onderzoeker wil dat onderzoek dubbelchecken en laat dezelfde test afleggen door een steekproef van managers. Ook nu wordt een betrouwbaarheidsinterval opgesteld, maar met een hogere α en een lagere n. p.4

5 Welke uitspraak klopt? - het betrouwbaarheidsinterval zal smaller zijn bij de tweede onderzoeker - het betrouwbaarheidsinterval zal even breed zijn - het betrouwbaarheidsinterval zal breder zijn bij de tweede onderzoeker - je kan met de gegeven informatie geen voorspelling maken over de breedte van het betrouwbaarheidsinterval 7. Aandacht Een onderzoeker wil weten hoe lang kleine kinderen hun aandacht op een filmpje over wiskunde kunnen houden. Je mag ervan uitgaan dat dit een normaal verdeelde variabele is In een steekproef van 16 kinderen stelt de onderzoeker een gemiddelde van 40 seconden en een standaarddeviatie van 12 seconden vast. Stel indien mogelijk een 99% betrouwbaarheidsinterval op met behulp van de onderstaande R-code > 1-pt( ,15) [1] > qt(0.95,15,lower.tail=false) [1] Cortisol in het bloed Het gehalte van het stresshormoon cortisol in het bloed wordt gemeten bij een steekproef van 42 mensen. De observaties zijn: p.5

6 x = 15 microgram per deciliter s X 2 = 25 Bereken indien mogelijk een 90% betrouwbaarheidsinterval aan de hand van onderstaande R-code > qt(0.90,41) [1] > qt(0.95,42) [1] > qt(0.05,41) [1] > qnorm(0.95,41) [1] p.6

7 Oplossingen 1. n n 1 SN X 2 is een zuivere schatter van de populatievariantie van X 2. BI 90% = [77, ; 78,870805] BI 95% = [76, ; 79,037628] BI 99% = [76, ; 79,363674] 3. BI 95% = [71, ; 72, ] 4. BI 90% = [13, ; 15, ] BI 95% = [13, ; 15, ] BI 99% = [13, ; 15, ] 5. Elien heeft een smaller BI dan Jonas 6. Je kan met de gegeven informatie geen voorspelling maken over de breedte van het betrouwbaarheidsinterval 7. BI 99% = [31,15986 ; 48,840139] p.7

8 8. BI 90% = [13,70163 ; 16,298369] p.8