K4 Relativiteitstheorie Ruimtetijd vwo Uitwerkingen basisboek K4. INTRODUCTIE 2 3 a De golflengte van radiostraling is groter dan die van licht. b Uit c λ f volgt dat de frequentie van de fotonen van radiostraling lager is dan die van de fotonen van licht en uit E f h f volgt dat de energie van de fotonen van radiostraling ook lager is dan die van de fotonen van licht. c f c λ in E f h f geeft E f h c λ 6,626 0 34 3,00 08 600 0 9 3,3 0 9 J a In het linker diagram zie je dat de bal op 0 m afstand van Thomas (verticale lijn) is op 0,75 s en in het rechter diagram zie je dat de bal en Thomas op 0,75 s op gelijke afstand van Vincent zijn (de lijnen snijden elkaar). b In het linker diagram zie je dat Vincent op 0 m afstand van Thomas is op,0 s en in het rechter diagram zie je dat Thomas op 0 m afstand van Vincent (verticale lijn) is op,0 s. a Jouw referentiesysteem beweegt met je mee, dus ben jij zelf op elk moment op x 0 in je eigen referentiesysteem. b Op het moment van passeren ben je met je fiets precies bij de stilstaande waarnemer, dus is voor de waarnemer op het trottoir in zijn referentiesysteem ook x 0 op het moment van gooien. c Ja, in beide systemen loopt de tijd even snel, dus is het tijdstip van vangen voor beide waarnemers gelijk. d De waarnemer ziet de bal voorbijkomen met een horizontale snelheid van 4,0 m/s terwijl de bal met een snelheid van 3,0 m/s omhoog wordt gegooid. De totale snelheid van de bal is dus groter dan 4,0 m/s. e De beginsnelheid van de bal voor de waarnemer is te berekenen met de stelling van f Pythagoras: v 4,0 2 + 3,0 2 5,0 m/s. Door jou: door de waarnemer: 4 Vanuit het referentiesysteem van de fles zie je de boot van de fles af verwijderen met een snelheid van,5 m/s gedurende 5 minuten. Vervolgens zie je de boot naar de fles toe komen met dezelfde snelheid van,5 m/s, dus duurt het weer 5 minuten voordat de boot terug bij de fles is. In totaal is de fles dan 0 minuten afgedreven van de brug en in die tijd 300 m stroomafwaarts geraakt. De stroomsnelheid van de rivier is dus v 300 0,5 m s. 0 60 ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pagina van 25
5 6 3,00 0 8 299792458 a 00 % 0,07 % 299792458 b Lichtjaar en lichtseconde zijn allebei afstanden. c ls c m s v t 0% c 60 6 c m 6 ls 7 Om recht over te steken moet Joop een zijwaartse snelheidscomponent van,0 m/s hebben, zie figuur. De component loodrecht op de rivier is dan v oversteek,5 2,0 2,2 m/s t s 00 89 s,5 minuut. v,2 8 a v schijnbare wind 6,9 m/s b α 2 ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pagina 2 van 25
K4.2 LICHTSNELHEID EN ETHER 9 [W] Interferentie 0 [W] Experiment van Fizeau Eigen antwoord van de leerling 2 Waar of niet waar? a Niet waar: De lichtsnelheid is afhankelijk van het medium. b Niet waar: Alle elektromagnetische straling gaat met de lichtsnelheid. c Niet waar: De lichtsnelheid is niet afhankelijk van de snelheid van de bron of de waarnemer, dus de waarnemer in het ruimteschip meet gewoon de lichtsnelheid. 3 Als de lichtsnelheid vast staat en de eenheid van tijd wijzigt door het nauwkeuriger bepalen van de frequentie, zal de eenheid van lengte ook aangepast moeten worden omdat anders de lichtsnelheid niet dezelfde waarde kan blijven. 4 Het duurt 22 minuten voor het licht om twee keer de afstand aarde-zon te overbruggen. De snelheid van het licht werd later door Huygens berekend op 225000 km/s, dus d v t 2,25 0 8 22 60 2,97 0 m r 2 d,5 0 m. 5 Lichtstraal gaat twee keer met de stroom mee terwijl lichtstraal 2 twee keer tegen de stroom in beweegt, dus werd verwacht dat rondgang sneller zou zijn. 6 a Met behulp van de grote draaitafels was het eenvoudig om de hele opstelling te draaien zodat de richting van de etherwind door de opstelling zou veranderen. b In de bak met kwik zou de opstelling vrijwel zonder wrijving met constante snelheid kunnen ronddraaien. Bij gebruik van wieltjes zou de zware opstelling veel wrijving ondervinden en de snelheid moeilijker constant gehouden kunnen worden. 7 a Als de spiegel over een hoek α is gedraaid, is de hoek van inval voor de lichtstraal die terugkomt van punt P ook over een hoek α gedraaid en dus is de hoek van terugkaatsing ook α groter geworden en daarmee is het hoekverschil tussen de lichtstraal die naar Q gaat en de oorspronkelijk invallende lichtstraal die van D komt gelijk aan 2α. b Alleen als de ronddraaiende spiegel in een bepaalde stand staat, zodanig dat de in spiegel A weerkaatste lichtstraal ergens op de ronde spiegel B valt zal er een lichtstraal worden teruggekaatst op spiegel A en is er een lichtpunt te zien in punt Q. Als spiegel A bijvoorbeeld met de achterkant naar D is gericht kan er geen lichtstraal worden weerkaatst en is er niets te zien in punt Q. c De tijd die het licht doet om de afstand tussen M en spiegel B heen en weer af te leggen blijft steeds hetzelfde en dus draait de spiegel steeds evenveel verder in die tijd zodat α steeds gelijk is en daarmee ook de plaats Q waar de lichtstraal terecht komt. d Als de rotatiesnelheid van het spiegeltje toeneemt is de spiegel verder gedraaid in de tijd waarin het licht van spiegel A naar spiegel B en terug reist en dus is α dan groter. ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pagina 3 van 25
8 De tijd waarin het licht van spiegel A naar spiegel B reist en terug is t 2r. In deze tijd c draait de spiegel over een hoek α. De spiegel draait 360 in T seconden, dus in t seconden draait de spiegel α t T 2r 360 α T. 360. Vul t 2r c 2r in deze formule in: α 360 c c T 9 a Als de reistijd een geheel aantal keer de periodetijd langer is verschilt de weglengte een geheel aantal golflengtes en zullen de golven in fase lopen en elkaar versterken. b Bij verzwakking moet het weglengteverschil een oneven aantal keer de halve golflengte zijn en dus moet de reistijd een oneven aantal keer de halve periodetijd van de lichtgolven zijn. c Bij een stroomsnelheid 0 zou de reistijd gelijk moeten zijn. Door nu de stroomsnelheid geleidelijk toe te laten nemen zou de reistijd bij iedere gemeten versterking een hele periodetijd langer zijn. d Michelson en Morley konden wel vaststellen hoeveel keer de periodetijd van het gebruikte licht het onderlinge verschil in reistijd is door tijdens de draaiing over 90 het aantal keren te tellen dat er versterking optreedt. Elke keer dat er versterking optreedt neemt de reistijd met periodetijd toe. 20 2 a Gebruik de formule die bij vraag 8 is afgeleid met α 0,740 0,370 en T 2 2 600 360 0,0039 s. Dit geeft c 2,99 256 0,370 0,0039 08 m/s. b Uit de tandwielverhouding en de draaisnelheid van het aangedreven tandwiel is te berekenen hoe snel de spiegel draait. c De hoek α is te berekenen met tan β MD QD waarbij α β. Als MD groot is, zal QD 2 ook groot zijn en zal de relatieve afleesfout van QD klein zijn. a De snelheid van de watertaxi ten opzichte van de kant is op de heenweg maar 2 3,0 9 m/s terwijl die op de terugweg 2 + 3,0 5 m/s is. b Heenweg: t s v,5 03 9 67 s en terugweg: t,5 03 5 totale reis 267 s. Bij stilstaand water zou de totale reis t 2,5 03 2 dat is korter dan bij stromend water. c Zie figuur, v oversteek,6 m/s 00 s, dus duurt de 250 s duren en d t s v 2,5 03,6 258 s ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pagina 4 van 25
e,5 km heen en terug in de stroomrichting duurt langer dan,5 km heen en weer dwars op de stroomrichting. f In het experiment van Michelson en Morley zou het licht meegesleept worden met de ether. De ether draait mee met de aarde zodat er een soort etherwind ontstaat. Het licht dat heen en weer beweegt in de richting van de etherwind zou er langer over doen dan het licht dat dwars op de etherwind beweegt. 22 a De aarde draait in één jaar rond de zon, dus v 2π r T opgave vermeld). 2π,5 0 365 24 3600 3,0 04 m/s 30 km/s (en niet 4,8 km/s zoals in de b De aarde draait in één dag om zijn as, dus v omtrek T is minder dan 0,5 km/s. 4,0 07 444 m/s en dat 24 3600 c De verwachte etherwind is 0,5 km/s en dat is 0,5 03 3,0 08 00 % 0,0002% van de lichtsnelheid (en niet 0,002% zoals in de opgave vermeld). d De periodetijd is te berekenen met behulp van c λ T λ 6,0 0 7 2,0 T c 3,0 0 8 0 5 s (en niet,0 0-5 s zoals in de opgave vermeld). e Met behulp van een soortgelijke berekening als in opgave 2 en een draaisnelheid van f de aarde van 30 km/s is te berekenen dat het verwachte tijdverschil tussen beide wegen 3,3 0 7 3,7 0 6 s is (en niet 9, 0 9 s zoals in de opgave vermeld). Dat is t 3,7 0 6 T 2,0 0 licht. Als de opstelling 90 wordt gedraaid is het alsof S en S2 verwisseld worden. Het tijdverschil zou dan veranderen van t (t t 2 ) naar (t 2 t ) t. Een verschuiving van +Δt naar Δt is een verschuiving van 2 Δt. Dus zouden ze de 5 0,8 keer de periodetijd van het gebruikte lichtsterkte 2x zo vaak zien veranderen van licht naar donker als bij vraag e berekend. g De lichtintensiteit zou dan 2 0,8 0,36 periode veranderen bij een draaiing over 90. Dat is moeilijk te zien en daarom is een hoge nauwkeurigheid van opstelling en meetmethode nodig. 23 [W] Bepaling van de lichtsnelheid door Fizeau en anderen 24 [W] Lichtsnelheid bepalen in een magnetron K4.3 TIJDREK EN LENGTEKRIMP 25 Waar of niet waar? a Niet waar: De beweging van de aarde om de zon is geen eenparig rechtlijnige beweging dus is dit geen inertiaalsysteem. b Waar c Niet waar: Er is een kracht nodig om de satelliet in zijn baan te houden, dus is een satelliet geen inertiaalsysteem. d Niet waar: Tijddilatatie wordt alleen gemeten in een ander referentiesysteem. e Niet waar: In zijn eigen referentiesysteem zal de pols van de astronaut hetzelfde blijven. f Niet waar: Een astronaut in een ruimtevaartuig dat met grote snelheid langs de aarde vliegt ziet een afgeplatte aarde. ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pagina 5 van 25
26 a De lichtsnelheid heeft voor Ankie en Bernard dezelfde waarde. b De snelheid van een elektron heeft voor Ankie een andere waarde dan voor Bernard. c Het getal van Avogrado heeft voor Ankie en Bernard dezelfde waarde. 27 a Je meet de snelheid van een voorwerp altijd ten opzichte van een referentiesysteem. Ten opzichte van een ander referentiesysteem zal je een andere snelheid meten. b Zowel als je stilstaat als wanneer je met een eenparige snelheid beweegt is de nettokracht nul op je, dus kun je het verschil niet voelen. 28 a Bij een verticale lichtklok beweegt een lichtflits in de richting loodrecht op de richting waarin het systeem waarin die lichtklok is geplaatst beweegt. b Met tijddilatatie wordt bedoeld dat voor een waarnemer in een bepaald referentiesysteem alle processen langzamer lijken te lopen in een ander referentiesysteem dat zich met grote snelheid beweegt ten opzichte van het referentiesysteem van de waarnemer. c Om tijddilatatie te kunnen meten moet je experimenten doen met snelheden in de buurt van de lichtsnelheid en die zijn niet gemakkelijk te doen. d Alleen als de lichtsnelheid in beide inertiaalsystemen gelijk is en dezelfde natuurwetten gelden in beide systemen zal dit gevolgen kunnen hebben voor de tijd en de afstand. 29 a Bij een horizontale lichtklok beweegt een lichtflits in dezelfde richting als het systeem waarin de lichtklok is geplaatst. b Met lengtecontractie wordt bedoeld dat voor een waarnemer in een bepaald referentiesysteem de lengtes kleiner lijken in een ander referentiesysteem dat zich met grote snelheid ten opzichte van de waarnemer beweegt. c Lengtecontractie is te meten aan het verval muonen. De muonen die hoog in de dampkring ontstaan zouden allang allemaal vervallen zijn op het moment dat ze de aarde bereiken, maar toch blijken ze de aarde te bereiken. Dit komt omdat de afstand tot de aarde voor de muonen kleiner lijkt dan voor een waarnemer op aarde. 30 a Tijdens hun reis van 0 km wordt het aantal muonen 0 03 660 blijft dan ( 2 )5,5 00 % 0,0027 % van de muonen over. 5,5 x gehalveerd. Er 0 b,0 km 0 c Elke 660 m halveert het aantal muonen dus na,0 km is meer dan de helft van de muonen vervallen. d Na 0 km in de dampkring zou er volgens de klassieke theorie vrijwel geen enkel muon meer over zijn, maar toch bereiken veel muonen het aardoppervlak. Dit is te verklaren door de tijddilatatie voor de muonen. 3 Eigen antwoord van de leerling 32 De snelheid van de jodiumkernen komt in de buurt van de lichtsnelheid, dus zal er voor de jodiumkernen sprake zijn van tijddilatatie en is de halveringstijd van de jodiumkernen groter. ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pagina 6 van 25
33 a Voor waarnemer B loopt de klok gewoon goed, maar voor waarnemer A lijkt het of de klok van waarnemer B te langzaam loopt. b Hoe groter het onderlinge snelheidsverschil, hoe groter de tijddilatatie, dus als het snelheidsverschil tussen A en C groter is dan tussen B en C loopt voor C de klok van A langzamer dan de klok van B. c Als de onderlinge snelheid tussen C en A groter is dan de onderlinge snelheid tussen C en B moet de snelheid van B tussen die van A en C in zitten. De onderlinge snelheid tussen A en C is dus groter dan de onderlinge snelheid tussen A en B zodat voor A de klok van C langzamer loopt dan de klok van B. 34 a L v2 c2 L. Als de snelheid groter is dan de lichtsnelheid, dan is v > c en dan zou v2 c2 >. Er komt dan een negatief getal onder het wortelteken te staan en dan is er geen L te berekenen. b t v2 t. Als de snelheid groter is dan de lichtsnelheid, dan is v > c en dan zou v2 c2 >. Er komt dan een negatief getal onder het wortelteken te staan en dan is er geen t te berekenen. 35 De 00 m lijkt voor jou ook 50 m, dus je vliegt in lengterichting over het veld. L L γ 00 50 γ 2,0 invullen in γ geeft γ v2 2,0 v2 v2 0,502 v ( 0,50 2 ) (3,0 0 8 ) 2 ( 0,50 2 ) 2,6 0 8 m/s. 36 a In bewegingsrichting is b L v2 L (30 03 ) 2 299792458 2,274 07,2739999,94 m, dat is,274 0 7 m. Loodrecht op bewegingsrichting vindt er geen lengtecontractie plaats dus is de diameter gewoon,274 0 7 m. 37 L 0 m in L γ L geeft 0 γ 5 γ,5 v2,5 v (,5 ) (3,0 08 ) 2 (,5 ) 2,2 08 m/s. ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pagina 7 van 25
,55 v2 (0,50 c)2 0,50 2 t 20 s t γ t,55 20 39 s,4 0 2 s 38 v 0,50 c γ 39 a De muonen kunnen niet sneller dan de lichtsnelheid gaan. Stel nu dat v c s v t c t /2 3,0 0 8 2,2 0 6 6,6 0 2 m 0,66 km. b Als de muonen met de lichtsnelheid zouden gaan, dan is t s 9,5 03 3,2 2 c 3,0 0 8 0 5 s. De muonen zullen minder snel gaan dus is dit de maximale halfwaardetijd. 40 4 a t s v 2 0 03 25/3,6 2,88 03 s 48 min b t s v + s 2 v 2 0 03 20/3,6 + 0 03 30/3,6 3,0 03 s 50 min c De vergelijking met de lichtklok gaat niet op want het licht kan niet sneller gaan op de heenreis en langzamer op de terugreis. d Volgens eigen waarneming van de man op de boot: t s v 2 00 5 40 s. Volgens de waarnemer op de kant zijn de loopsnelheden verschillen: 7 m/s en 3 m/s maar de af te leggen weg verandert ook omdat de boot met 2 m/s verder vaart. Dus op de heenweg moet de man 00 + 2 20 40 m afleggen en op de terugweg 00 2 20 60 m. De totale tijd is dan: t s + s 2 40 + 60 40 s. v v 2 7 3 e De vergelijking met de lichtklok gaat hier niet op omdat de man niet sneller maar juist langzamer loopt dan dat de boot vaart. f In het dagelijks leven kun je de verschillende snelheden gewoon bij elkaar optellen of van elkaar afhalen, maar bij de lichtsnelheid kan dit niet. a r aarde 6,37 0 6 m dus de straal van de grootcirkel is R r aarde + 00 0 3 6,37 0 6 + 0,00 0 6 6,38 0 6 m s 2π R 2π 6,38 0 6 4,009 0 7 m. b t s 4,009 07,80 v 800/3,6 05 s 50, h c γ,0000000000003 v2 (800 3,6 )2 299792458 2 t t (γ ) t 0,0000000000003,80 0 5 5 0 8 s ( 50 ns). 42 Het tijdverschil dat gemeten zou worden is ontzettend klein. Om de kans op een meetfout te minimaliseren werden er meerdere klokken gebruikt. 43 a R r aarde + 20200 0 3 6,37 0 6 + 20,2 0 6 26,57 0 6 m en T 2 h v 2π R b γ v2 T 2 π 26,57 06 2 3600 (3,9 03 ) 2 (3,0 0 8 ) 2,000000000 3,9 0 3 m/s 3,9 km/s ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pagina 8 van 25
c Na uur is t γ t,000000000 3600 3600,0000004 s. De klok loopt dus 4 0 7 s 0,4 μs achter. d L L ( γ ) L (,000000000 ) 20,2 06 0,0202 m e De afstand (L) tot de satelliet is groter dan 20.200 km, dus is de fout ook groter. Zie figuur. K4.4 RUIMTETIJDDIAGRAM EN GELIJKTIJDIGHEID 44 Waar of niet waar? a Waar b Niet waar: In een ruimtetijddiagram betekent een beweging in de negatieve ruimte dat het voorwerp in negatieve richting beweegt. c Niet waar: ls is ongeveer 300 miljoen meter. d Waar e Niet waar: In een ruimtetijddiagram is de eenheid van ruimte de lichtseconde en de eenheid van tijd de seconde. 45 a In een ruimtetijddiagram staat langs de verticale as de tijd. b De tijd kan alleen maar vooruit gaan dus in een ruimtetijddiagram kan een wereldlijn niet van boven naar beneden lopen (wel van beneden naar boven). c d e Het lichtsignaal legt in s een afstand van ls af, dus is de helling van de wereldlijn van het lichtsignaal precies en de hoek 45. 46 a Bij de horizontale as hoort de plaats (in ls). b Omdat er met heel grote snelheden gewerkt wordt, zouden er bij een normale schaalverdeling langs de ruimte-as heel grote waarden moeten staan. Bovendien beweegt bij de verdeling van s en ls per hokje een lichtsignaal zich altijd langs een diagonaal in het ruimtetijddiagram. c Bij een stilstaande waarnemer hoort een verticale lijn. ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pagina 9 van 25
d Een voorwerp met een snelheid van 0,60 c legt een afstand van 0,60 ls af in s. De helling van deze lijn is dan /0,60. Een voorwerp met een snelheid van 0,80 c heeft een helling /0,80. 47 a Na de knik loopt de lijn minder stijl, dus neemt de snelheid toe. b Na 3 s is een afstand afgelegd van ls, dus is de snelheid c. 3 c Na de knik wordt in 3 s een afstand van 2 ls afgelegd, dus is de snelheid 2 c 0,67 c. 3 d De snelheid van B is hoger dan de lichtsnelheid en dat kan niet. 48 a Gebeurtenis A vindt op 3 s plaats en gebeurtenis B op s. b Gebeurtenis A vindt ls van de oorsprong plaats en gebeurtenis B vindt 2 ls van de oorsprong plaats. c d Ja, iemand kan bij beide gebeurtenissen aanwezig zijn geweest want A bevindt zich in de lichtkegel van B. e Teken een lijn door A en B, zie figuur. f De snelheid is naar links dus in negatieve richting. In 2 s wordt een afstand van ls afgelegd, dus is de snelheid v 2 c. g De lichtkegels van de gebeurtenissen A en B raken ook de plaats waar de waarnemer is, dus de waarnemer in de oorsprong kan deze gebeurtenissen allebei waarnemen als de waarnemer maar lang genoeg in de oorsprong blijft. h Het licht dat komt van gebeurtenis B zal op t 3 s bij de waarnemer zijn, dus neemt de waarnemer gebeurtenis B 2 s later waar. ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pagina 0 van 25
49 a Zie de rode pijl in de figuur rechts b Zie de blauwe pijl in de figuur rechts c Zie de groene pijl in de figuur rechts 50 De lichtsnelheid in het water is 0,75 c dus na 4 s is het lichtsignaal 3 ls verplaatst. Zie de figuur hieronder. 5 a Zie de blauwe lijn in de figuur rechts b Zie de rode lijn in de figuur rechts 52 [W] Afleiding van de formule voor het optellen van relativistische snelheden 53 Eigen antwoord van de leerling 54 a Lijn b is de wereldlijn van Tim. b Lijn e is de tijdlijn van Tim. c Lijn c hoort bij een lichtsignaal. 55 a Waarnemer A zendt een lichtsignaal naar waarnemer B, dat waarnemer B onmiddellijk terugkaatst. Hierdoor weet waarnemer A de afstand tot waarnemer B. Hierna synchroniseren B en C hun klokken: waarnemer B zendt een lichtsignaal naar waarnemer C die het ontvangt op tijdstip tc en meteen stuurt waarnemer C de stand tc van zijn klok met een lichtsignaal terug naar waarnemer B. Waarnemer B geeft nu zijn tijd tc door aan waarnemer C zodat waarnemer C zijn klok bij kan stellen met tc -tc. Tot slot zendt waarnemer B nog een keer een lichtsignaal met de stand van zijn klok naar waarnemer A. Omdat waarnemer A weet hoe lang dit onderweg was kan waarnemer A zijn klok ook gelijk zetten met die van waarnemer B. ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pagina van 25
b Zie figuur 56 a Alle punten op de tijdlijn van Sander vinden voor Sander gelijktijdig plaats, dus moet de paarse lijn in figuur 4 de ruimte-as van Sander zijn. b In een rechthoekige driehoek is het lijnstuk dat het hoekpunt van de rechte hoek verbindt met het midden van de tegenoverliggende zijde gelijk aan de helft van die zijde. Als we dit toepassen in driehoek OAB betekent dit dat OC AC. Driehoek OAC is dan een gelijkbenige driehoek, dus is COA CAO α, dus is de hoek tussen de wereldlijn van een lichtsignaal en de ruimte-as even groot als de hoek tussen de wereldlijn van een lichtsignaal en de tijd-as. Zie onderstaande figuur (figuur 37). c Elke tijdsduur in het systeem van Sander is een factor γ groter dan gerekend in het systeem van Yvonne. De zijde van een ruit van de schaalverdeling van het systeem van Sander is dus een factor γ langer dan de overeenkomstige zijde van een rechthoek van het systeem van Yvonne. ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pagina 2 van 25
57 a Voor Sander lijkt het of Yvonne naar achteren beweegt, dus beweegt Yvonne met dezelfde snelheid in de negatieve ruimte-richting. De wereldlijn en de tijdlijn van Yvonne zijn dan de in de tijd-as gespiegelde wereldlijn en tijdlijn van Sander. b Nu is elke tijdsduur in het systeem van Yvonne een factor γ groter dan gerekend in het systeem van Sander, dus is een zijde van een ruit van de schaalverdeling van het systeem van Yvonne een factor γ langer dan de overeenkomstige zijde van een rechthoek van het systeem van Sander. 58 a De drie stippen bevinden zich op dezelfde tijdlijn van het systeem van het ruimteschip, dus vinden deze 3 gebeurtenissen gelijktijdig plaats. b De helling van de wereldlijn van het ruimteschip is precies 2x zo steil als die van de lichtflits (het ruimteschip legt ls af in 2 s), dus is de snelheid van het ruimteschip de helft van de lichtsnelheid. c Als het projectiel zich rechts van de wereldlijn van de lichtflits zou bevinden, zou de snelheid van het projectiel groter zijn dan de lichtsnelheid en dat is onmogelijk. 59 a De lichtflits heeft er 44 s over gedaan, dus 22 s heen en 22 s terug. Het ruimtestation P is 22 ls verwijderd van ruimtestation Q. Dat is 22 3,0 0 8 6,6 0 9 m. b Toen de klok in Q 2.30 uur aangaf, had de klok in P ook 2.30 uur aan moeten geven, maar deze gaf 2.22 uur aan. De klok in P moet dus 8 s vooruit gezet worden. 60 a Eva legt ls af in 3 s, dus v 3 c. b Zie de figuur rechts c Zie de figuur rechts d De volgorde waarin Eva de gebeurtenissen ziet is A C B. e γ 9 3 v2 ( 8 2 2,06. 3 )2 Aflezen t B 2,0 s t B γ t B,06 2,0 2, s. Aflezen t C,7 s t C γ t C,06,7,8 s. f Spiegel eerst de wereldlijnen van figuur 44 in de tijdas en verwissel de namen. In het systeem van Eva is t B 2, s, teken een tijdlijn vanaf dit punt, het snijpunt met de wereldlijn van Bert geeft punt B. Punt C ligt op de tijdlijn van Eva op,8 s. De afstand tot het systeem van Eva is 4 γ,06 4 3,8 ls. Zie de figuur rechts. 6 a Voor Yvonne vindt N plaats op 2,4 s en F op 3,0 s dus is Fenna na Nora de kamer in gekomen zodat Nora het geld gestolen kan hebben voordat Fenna de kamer in kwam. b Volgens de tijdlijn van Sander is Fenna eerder in de kamer dan Nora dus kan Nora het geld niet gestolen hebben voordat Fenna de kamer in kwam. ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pagina 3 van 25
c d De gebeurtenissen N en F liggen buiten elkaars lichtkegel dus kan Nora het geld niet van Fenna gestolen hebben. e Als Nora de mogelijkheid had om het geld van Fenna te stelen, zou F binnen de voorwaartse lichtkegel van N moeten liggen. 62 a b c d ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pagina 4 van 25
63 v2 tussen twee opeenvolgende lichtflitsen van Castor. c a γ b,25 dus in het referentiesysteem van Pollux zit er,25 s 0,602 d In het systeem van Castor zit er 3,2,6,6 s tussen twee ontvangen blauwe lichtsignalen bij Pollux. In het systeem van Pollux is dat γ,6,25,6 2,0 s. e Zie de figuur hieronder f In het systeem van Castor zitten er 8,0 4,0 4,0 s tussen de twee ontvangen groene lichtsignalen. 64 a De snelheid van het ruimteschip is 0,50 c dus γ 0,50 2 4 3,5. v2 b Lees het tijdstip bij A in het systeem van het ruimtestation af op de verticale as: t A 3,0 s. Gebruik de gammafactor om dit tijdstip om te rekenen naar het systeem van het ruimteschip: t A γ t A,5 3,0 3,5 s. c Zie de figuur rechts d Bepaal het snijpunt van de getekende tijdlijn met de verticale as. Het tijdstip dat bij punt B in het ruimtestation hoort is t B 4,5 s. Voor het ruimteschip is dat t B γ t B,5 4,5 5,2 s. e De afstand voor het ruimteschip is te berekenen met x C x C 4,0 3,5 ls. γ,5 ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pagina 5 van 25
65 a De wereldlijnen van waarnemer A en B lopen evenwijdig aan elkaar. Ze bewegen dus met dezelfde snelheid en hun onderlinge afstand is constant. b Op t 0 s is A bij C en B op een afstand van 3,0 ls, dus is hun onderlinge afstand 3,0 ls. c De waarnemers leggen,0 ls af in 3,0 s dus hun snelheid is v 3 c 3 3,0 08,0 0 8 m/s. 9 v2 ( 8 3 )2 Dat is in het systeem van A en B: γ AB,06 3,0 3,2 ls. d γ e Zie de figuur hieronder,06. In het systeem van C is de afstand AB 3,0 ls. f Aflezen t B 3,0 s t B γ t B,06 3,0 3,2 s 66 a De waarnemer legt 3 ls af in 5 s, dus is de snelheid v 3 5 c γ v2 25 ( 3 )2 5 6,25. b t 2,0 s en t γ t geeft t t 2,0,6 s γ,25 c d ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pagina 6 van 25
e Voor de wereldlijnen in het stilstaande systeem vindt er lengtecontractie plaats, dus als x 2,0 ls, dan is dat op de ruimte-as van het stilstaande systeem x x 2,0,6 ls. γ,25 67 a Voor het projectiel in voorwaartse richting is u 0,60 c en v 0,50 c w u+v + u v (0,60+0,50) c 0,85 c. +0,60 0,50 Voor het projectiel in achterwaartse richting is u 0,60 c en v 0,50 c w u+v + u v (0,60 0,50) c 0,4 c. 0,60 0,50 b Teken eerst de tijd-as en ruimte-as van het ruimteschip en de wereldlijn van een lichtflits. Teken vanaf een punt op de tijd-as van het ruimteschip een tijdlijn en meet hierlangs de afstand tot de wereldlijn van de lichtflits. De snelheid van het projectiel is 0,5 c ten opzichte van het ruimteschip, dus nu kun je bepalen waar op de tijdlijn het projectiel is. Bij de voorwaartse lancering bevindt dit punt zich rechts van het ruimteschip (zie de linker figuur) en bij de achterwaartse lancering bevindt dit punt zich links van het ruimteschip (zie rechter figuur). De snelheid bij voorwaartse lancering is 7,0 8,2 lancering is de snelheid,0 7, c 0,4 c. c 0,85 c en bij achterwaarse 68 Dit is wel mogelijk: de ouders zijn minder verouderd dan hun kinderen en wel zo veel minder dat het leeftijdsverschil dat aan het begin van de reis bestond (meer dan) teniet gedaan is. ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pagina 7 van 25
69 Nee, dat kan niet. De tweelingparadox staat toe dat het verouderen langzamer loopt, het is niet toegestaan om terug in de tijd te gaan. K4.5 NIETS SNELLER DAN HET LICHT 70 Waar of niet waar? a Niet waar: Protonen kunnen niet harder dan de lichtsnelheid gaan. Bij nadering van de lichtsnelheid neemt de massa van de protonen sterk toe. b Niet waar: In een deeltjesversneller nemen de snelheid en de massa van de deeltjes toe. c Niet waar: De rustmassa van een proton is,007276 u. d Waar 7 a Bij gebruik van een weegschaal staat het voorwerp (vrijwel) stil dus bepaal je dan de rustmassa van het voorwerp. b In het dagelijks leven zijn de snelheden van voorwerpen erg klein ten opzichte van de lichtsnelheid en is de massa vrijwel gelijk aan de rustmassa van het voorwerp. c De rustmassa van het elektron is bekend en zijn snelheid kun je meten. Met behulp van de gammafactor is vervolgens de massa van het relativistisch elektron te berekenen want m γ m 0. 72 In water gaat het licht langzamer dan in vacuüm dus kunnen deze deeltjes in het water sneller gaan dan het licht zonder in tegenspraak te zijn met de theorie van Einstein. 73 a Zie de figuur rechts b Zie de figuur rechts c Zie de figuur rechts d Zie de figuur rechts e Zie de figuur rechts f v AB c 0,95 c AC g v DE c 0,95 c DF h De snelheid waarmee RS zich verwijdert van RS2 is gelijk aan de snelheid waarmee RS2 zich van RS verwijdert. 74 [W] Afleiding van de formule voor de onderlinge snelheid van relativistisch bewegende deeltjes 75 Eigen antwoord van de leerling ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pagina 8 van 25
76 a F mpz m v2, dus door r te veranderen kun je de benodigde middelpuntzoekende r kracht aanpassen. b Om de benodigde middelpuntzoekende kracht te verkleinen moet r groter gemaakt c worden. 77 a Als de ene ster naar je toe draait, draait de andere ster van je af en als de snelheid waarmee de ster naar je toe draait groter is dan de snelheid waarmee de dubbelster van je af beweegt zie je een blauwverschuiving van deze ster en een roodverschuiving van de ster die van je af beweegt. b Een verre dubbelster beweegt sneller van je af, dus zie je in plaats van een blauwverschuiving en een roodverschuiving twee verschillende roodverschuivingen. Omdat de periodetijd van de twee sterren gelijk is, is de periode van de twee roodverschuivingen ook gelijk. c Als de sterren in een vlak loodrecht op de zichtlijn bewegen draaien de sterren niet steeds naar je toe en van je af, dus zie je geen fluctuerende roodverschuiving maar alleen maar een constante roodverschuiving die veroorzaakt wordt doordat de dubbelster zich van je verwijdert met een bepaalde snelheid. d Als de dubbelster ver weg staat zijn de twee afzonderlijke sterren niet te onderscheiden en omdat er geen fluctuerende roodverschuiving is te zien is de dubbelster daar ook niet aan te herkennen. 78 γ v2 0,80 2 25,67 9 en van een proton is m 0,673 0 27 kg en E 0 938,27 MeV m γ m 0,67,673 0 27 2,8 0 27 kg en E γ E 0,67 938,27 0 6,6 0 9 ev. 79 E m 8,0 0 27 (3,0 0 8 ) 2 7,2 0 0 J γ m 8,0 0 27 m 0,673 0 27 4,78 en γ v2 v2 γ 2 v c γ 2 3,0 08 4,78 2 2,9 08 m/s. 80 Van een proton is E 0 938 MeV E γ E 0,5 938 407 MeV. Dus er moet E E 0 407 938 469 MeV worden toegevoegd. 8 a γ + 2 v2 + 2 0,02,005 ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pagina 9 van 25
b γ werkelijk v2 De afwijking is,00504,005,00504 0,0 2 00 99,00504 00% 0,004%. c E γ m 0 ( + v2 2 ) m 0 m 0 + m 2 0 v 2 d Voor niet-relativistische snelheden geldt: E totaal m + E k m + m v2 2 waarbij m de rustmassa m 0 is dus dit komt overeen met de bij vraag c afgeleide formule. 82 83 a u 0,6 c en v 0,6 c geeft w u+v + u v (0,6+0,6) c 0,88 c +0,6 2 b Ja, er is communicatie mogelijk tussen de satellieten want de onderlinge snelheid is kleiner dan de lichtsnelheid. a Voor een elektron en een positron is E 0 0,5 MeV dus is er voor de creatie van een elektron-positron-paar een foton nodig met een energie van 2 0,5,02 MeV,64 0 3 J nodig. b Uit Binas, tabel 9B volgt dat straling met een energie van,0 MeV behoort tot de zachte gammastraling. 84 Oriëntatie: Uit het gegeven dat de het licht er 8 minuten over doet om de aarde te bereiken is de afstand tussen de zon en de aarde te berekenen. Deze afstand is ook de straal van het boloppervlak (4π R 2 ) waarover de energie van de zon zich verdeelt, dus hiermee is de totale uitgestraalde energie van de zon per seconde te berekenen. Met de formule van Einstein (E m ) is deze energie om te rekenen naar massa. Uitwerking: R 8 60 c 480 c. De uitgestraalde energie per seconde is nu: E,4 0 3 4π R 2,4 0 3 4π (480 c) 2 4, 0 9. Omgerekend naar massa: m E 4, 09 kg. 85 a E 0 0,5 MeV (zie Binas tabel 7) b γ v2 c E k E E 0 5, 0,5 4,6 MeV d γ v2 E k E E 0 8, 0,5 7,6 MeV 0,995 2 0,0 E γ E 0 0,0 0,5 5, MeV 0,998 2 5,8 E γ E 0 5,8 0,5 8, MeV 86 m < 2 ev c 2 2,6 0 9 (3,0 0 8 ) 2 3,6 0 36 kg 87 a v s t 2,5 Mlj 4 Gj 2,5 06 3,0 0 8 4 0 9 2 0 5 m/s ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pagina 20 van 25
b De snelheid is 0,007% van de lichtsnelheid dus kan de klassieke benaderingsformule voor het dopplereffect gebruikt worden: v λ c λ λ v 2 05 λ c 3 08 656 0,4 nm. De Andromedanevel beweegt naar ons toe dus de golflengte van de waterstoflijn verschuift naar het blauw: λ 656 0,4 655,6 nm. 88 [W] Relativistische effecten bij versnellers en mogelijke oplossingen K4.6 AFSLUITING 89 Eigen antwoord van de leerling 90 a Michelson en Morley deden hun experiment om na te gaan of de lichtsnelheid misschien afhing van de richting waarin licht loopt. Dit bleek niet zo te zijn en dus bleek het bestaan van de ether niet aan te tonen. b Volgens Einstein heeft de lichtsnelheid een absolute waarde. c Een referentiesysteem is een assenstelsel ten opzichte waarvan bewegingen worden beschreven. d Inertiaalsystemen zijn referentiesystemen die onderling eenparig rechtlijnig bewegen. e In een s,t-diagram wordt de tijd standaard op de horizontale as geplaatst, in een ruimtetijddiagram geeft de horizontale as de ruimte (plaats) weer en de verticale as de tijd. f Bij twee inertiaalsystemen die ten opzichte van elkaar bewegen is er sprake van lengtecontractie: voor een waarnemer in het ene systeem zijn alle lengtes in het andere systeem in de bewegingsrichting korter. Een experimentele bevestiging hiervoor is de onverwacht lange halfwaardetijd van muonen in de dampkring. Voor de muonen is de afstand tot het aardoppervlak veel kleiner als gezien door een waarnemer op aarde. g Bij twee inertiaalsystemen die ten opzichte van elkaar bewegen is er sprake van tijddilatatie: voor een waarnemer in het ene systeem loopt de klok in het andere systeem trager. Ook hier is de verklaring van de onverwacht lange halfwaardetijd van muonen in de dampkring van de aarde een bevestiging van het bestaan van tijddilatatie. Voor een waarnemer op aarde loopt de klok in het systeem van de muonen tien of meer keer zo langzaam als de klokken op aarde. In 97 is tijddilatatie ook aangetoond door Keating en Hafele die een paar atoomklokken plaatsten in een straalvliegtuig dat een rondje om de aarde vloog. Na terugkomst bleken de atoomklokken in het vliegtuig achter te lopen ten opzichte van de atoomklokken die op aarde waren gebleven. h Voor het optellen van relativistische snelheden geldt de volgende formule: w u+v + u v. Hierin is v de onderlinge snelheid van beide inertiaalsystemen, u de snelheid van een voorwerp in het ene systeem, w de snelheid van dit voorwerp gezien door een waarnemer in het andere systeem en c de lichtsnelheid (alles in m/s). i Een andere manier is het optellen van de snelheden met behulp van een ruimtetijddiagram, zie hiervoor voorbeeld 0 op bladzijde 35 van het katern. Met snelheden zijn relatief wordt bedoeld dat snelheden altijd worden gemeten ten opzichte van een referentiestelsel. Meting ten opzichte van een ander referentiestelsel kan een andere snelheid opleveren. ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pagina 2 van 25
j De klassieke manier van snelheden optellen is: w u + v. Hierin is v de onderlinge snelheid van beide voorwerpen, u de snelheid van het ene voorwerp en w de snelheid van het andere voorwerp gezien door een waarnemer in het andere systeem (alles in m/s). k Ja, de tijddilatatie die een andere waarnemer waarneemt geldt voor alle processen. l Voor de persoon zelf loopt de klok volkomen normaal en dus ook zijn hartslag. m In de relativiteitstheorie wordt vaak met grote snelheden gewerkt. Om te vermijden dat er langs de ruimte-as heel grote waarden moeten staan en om de lichtsnelheid ook visueel constant te laten zijn gebruiken we bij de horizontale as de lichtseconde (ls) als eenheid in plaats van de meter. n Een gebeurtenis hoort bij één plaats en één tijdstip, het is dus een punt in een ruimtetijddiagram. o Een wereldlijn is de lijn in een ruimtetijddiagram die hoort bij een eenparig rechtlijnig bewegend voorwerp (een rechte lijn schuin omhoog). p Op een tijdlijn in een ruimtetijddiagram vinden alle gebeurtenissen op hetzelfde tijdstip plaats. q De ruimte-as is een tijdlijn die door de oorsprong loopt. Alle tijdlijnen van een inertiaalsysteem lopen evenwijdig aan elkaar dus lopen de tijdlijnen ook evenwijdig aan de ruimte-as. r Gebeurtenissen die op dezelfde tijd gebeuren voor een bepaalde waarnemer moeten op de tijdlijn liggen van deze waarnemer, want op deze lijn vinden alle gebeurtenissen op hetzelfde tijdstip plaats. s Bekijk een ruimtetijddiagram (bijvoorbeeld figuur 37) van waarnemer met daarin een ruimte- en tijdas van een tweede waarnemer die met een bepaalde snelheid beweegt ten opzichte van waarnemer. Hierin maken de ruimte- en tijdas van waarnemer 2 allebei dezelfde hoek met de assen van waarnemer, én met de wereldlijn van een lichtsignaal, dus is de wereldlijn van een lichtsignaal in beide coördinatenstelsels de bissectrice. t Bij een constante kracht op een voorwerp zal de snelheid in het begin gelijkmatig toenemen, maar zodra de snelheid in de buurt van de lichtsnelheid komt blijkt niet alleen de snelheid maar ook de massa van het voorwerp toe te nemen. Het voorwerp krijgt dan een grotere traagheid en is daardoor moeilijker te versnellen en dus zal de snelheid dan steeds minder snel toenemen. u Equivalentie van massa en energie betekent dat massa en energie in elkaar om te zetten zijn. Je kunt massa in energie omrekenen met de formule van Einstein: E m. v De rustmassa m 0 is de massa die een voorwerp heeft als het voorwerp geen snelheid heeft. Bij grote snelheden neemt de massa van een voorwerp toe met de gammafactor volgens m γ m 0. Je noemt deze massa m de relativistische massa. w Ja, in water is de snelheid van het licht 75% van de lichtsnelheid in vacuüm, dus dan is het mogelijk dat een deeltje sneller gaat dan het licht in dat water. x Uit de steilheid van een wereldlijn is de snelheid van het voorwerp ten opzichte van het referentiesysteem af te leiden, dus als meerdere wereldlijnen evenwijdig lopen zullen deze dezelfde snelheid ten opzichte van het referentiesysteem hebben. y In een ruimtetijddiagram staat op de horizontale as niet de afstand in meters, maar in lichtseconde (de afstand die het licht aflegt in s). Om de afstand in meters te krijgen zou je de afgelezen waarde met de lichtsnelheid moeten vermenigvuldigen. De materiële snelheid die je in een ruimtetijddiagram bepaalt is dus een snelheid uitgedrukt in verhouding tot de lichtsnelheid c. ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pagina 22 van 25
9 a De agent en de auto zijn twee inertiaalsystemen die zich met een bepaalde snelheid ten opzichte van elkaar bewegen en dan treden er relativistische effecten op. b De snelheid die de agent meet is de snelheid in het inertiaalsysteem van de agent, terwijl de snelheidsmeter in de auto de snelheid in het inertiaalsysteem van de auto weergeeft. c De snelheid van de auto is ongeveer 00 km/h, dat is 28 m/s, dus γ v2 282 (3,0 0 8 ) 2,000000000000004. d Het relativistisch effect is veel kleiner dan een paar km/h. 92 a t s v b n t t 2 20 03 0,995 3,0 0 8 6,7 0 5 s 6,7 0 5 2,2 0 6 30 n 2 30,5 0 9 x verzwakt d γ v2 e t γ t 0,0 2,2 22 μs 2 2 f 0,995 2 0,0 n t 6,7 0 5 3,0 t 22 0 6 2n 2 3,0 8,0x verzwakt 2 93 a w u+v + u v (5/8+0,50) c 0,86 c +(5/8) 0,50 b Zie de figuur hieronder. AB 5 AC 8 c De snelheid van de blauwe lijn is in het referentiestelsel w 6 c 0,86 c. 7 94 a w u+v + u v ( 2 + 3 ) c + 2 3 5 6 c 7 5 c 0,7 c 7 6 b De snelheid van de vluchtauto is 3 c dus gaan de boeven sneller dan de kogel en 4 zullen ze ontsnappen. ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pagina 23 van 25
c Als de politie met c ten opzichte van de grond gaat, zal de grond met c ten 2 2 opzichte van de politie gaan. Op deze manier zijn alle snelheden in het vak linksonder te bepalen. Voor de tweede rij (ten opzichte van de politie) geldt: De snelheid van de grond ten opzichte van de politie is c en de snelheid van de boeven ten opzichte van de 2 grond is 3 c dus is de snelheid van de boeven ten opzichte van de politie: 4 w u+v + u v ( 2 +3 4 ) c 2 3 4 4 c 5 2 c 0,40 c. 5 8 Voor de derde rij (ten opzichte van de boeven) geldt: De snelheid van de grond ten opzichte van de boeven is 0,75 c en de snelheid van de kogel ten opzichte van de grond is 0,7 c, dus is de snelheid van de kogel ten opzichte van de boeven: w u+v + u v 3 4 +5 7 ) c ( 3 28 4 5 3 7 28 c 0,077 c. 3 snelheid van grond politie boeven kogel ontsnappen de boeven? ten opzichte van grond 0 c 3 c 5 c ja 2 4 7 politie c 0 2 c c ja 2 5 3 boeven 3 c 2 c 0 c ja 4 5 3 kogel 5 c c c 0 ja 7 3 3 95 Zie de figuur hieronder ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pagina 24 van 25
96 De aarde lijkt platter door de lengtecontractie. L γ L γ L L 0,8 5,3 2,04. γ v2 v2 γ 2 v c γ2 c 2,042 0,87 c 97 a r m v r B e v 0,080 46 0 3,6 0 9 6,5 0 8 m/s B e m 9, 0 3 b v 2,7 0 8 m/s c γ 2,3 m γ m 0 2,3 9, 0 3 2, 0 30 kg v2 2,72 3,0 2 d E m 2, 0 30 (3,0 0 8 ) 2,9 0 3 J,2 MeV E k 2 m v2 2 2, 0 30 (2,7 0 8 ) 2 7,6 0 4 J 0,48 MeV e E k 0,48 + 0,08 0,56 MeV ThiemeMeulenhoff bv CONCEPT Pagina 25 van 25