Algemene relativiteitstheorie

Algemene relativiteitstheorie HOVO cursus Jo van den Brand Les 5: 26 november 2015 Copyright (C) Vrije Universiteit 2015

Inhoud Speciale relativiteitstheorie Inertiaalsystemen Bewegende waarnemers Relativiteitsprincipe Ruimtetijd Minkowski ruimtetijd Tensoren Gekromde ruimtetijd Algemene coördinaten Covariante afgeleide Algemene relativiteitstheorie Einsteinvergelijkingen Newton als limiet Toepassingen ART Zwarte gaten Kosmologie Gravitatiestraling Copyright (C) Vrije Universiteit 2009

Schwarschild ruimtetijd Schwarzschild ontdekte in 1916 de eerste exacte oplossing van de Einstein vergelijkingen. Het is een vacuümoplossing voor de metriek van ruimtetijd buiten een sferisch symmetrische massaverdeling: ds 2 = 1 2GM c 2 r We zien de Schwarzschild coördinaten en metriek g μν x De metriek hangt niet van de tijd t af c 2 dt 2 1 + 1 2GM dr 2 + r 2 dθ 2 + sin 2 θdφ 2 c 2 r De metriek is sferisch symmetrisch en voor constante r en t geldt dσ 2 = r 2 dθ 2 + sin 2 θdφ 2 Limiet voor zwakke velden ds 2 = 1 2GM c 2 r c 2 dt 2 + 1 + 2GM c 2 r dr 2 + r 2 dθ 2 + sin 2 θdφ 2 Dit is conform de limiet voor een statisch, zwak veld met een Newtoniaanse gravitatiepotentiaal gegeven door Φ = GM r We associeren de constante M in g μν x met de totale massa en de bron van kromming We gebruiken de baan van een testmassa en de wet van Kepler om de bron van kromming M te bepalen (materie, straling, etc.). Er geldt v 2 R = 2πR P 2 1 R = GM R 2 P 2 = 4π2 GM R3 M = 4π2 G R 3 P 2

Geometrische eenheden Schwarzschild metriek in [ kg m s ] eenheden ds 2 = 1 2GM c 2 r c 2 dt 2 + Als we c = 1 gebruiken, dan krijgen we [ kg m ] eenheden en hebben ruimte en tijd dezelfde eenheid: [ m ] Voorbeeld: de massa van de Zon is M = 1.47 km en van de Aarde M = 0.44 cm 1 1 2GM c 2 r Er geldt dan de conventie t m = ct s = 3 10 8 t [ s ] Deze natuurlijke eenheid is gebruikelijk in de SRT dr 2 + r 2 dθ 2 + sin 2 θdφ 2 Als we ook G = 1 gebruiken, dan kunnen we massa uitdrukken in lengte Er geldt dan de conventie M [ m ] = G M [ kg ] = 6.674 10 11 N m 2 kg 2 M kg = 7.416 10 28 M [ kg ] c 2 3 10 8 m/s 2 Dergelijke geometrische eenheden zijn gebruikelijk in de ART

Singulariteiten in de Schwarzschild metriek Schwarzschild metriek in [ kg m s ] eenheden Schwarzschild metriek in geometrische eenheden De limiet M = 0 or r levert de Minkowski metriek in sferische coördinaten Veel bronnen zijn sferisch symmetrisch: sterren, zwarte gaten, neutronensterren Metriek singulier op r = 0 en r = 2M r = 0 r = 2M ds 2 = 1 2GM c 2 r ds 2 = 1 2M r c 2 dt 2 + dt 2 1 + 1 2M r : Echte singulariteit met oneindige ruimtetijdkromming : Blijkt singulier vanwege keuze coördinatensysteem 1 1 2GM c 2 r dr 2 + r 2 dθ 2 + sin 2 θdφ 2 dr 2 + r 2 dθ 2 + sin 2 θdφ 2 Straal ster Ster binnengebied

De hoeken en Interpretatie van de coördinaten In 2D hypervlakken met r = constant en t = constant schrijven we Identiek aan beschrijving van een bol met constante straal in SRT De hoeken en zijn de hoeken op een bol De straal r Oppervlak in gekromde ruimte wordt gegeven door (g (2) is gereduceerde metriek) Straal r wordt gegeven door oppervlak van een bol Moeilijk om de tijd te meten Eigenschappen 1. Tijdsonafhankelijke afstanden tussen lijnen van constante 2. Orthogonaliteit met t = constant hypervlakken 3. Asymptotisch equivalent met Minkowski-tijd

Interpretatie van de coördinaten We onderzoeken nu het verband tussen de waarden van coördinaten en de fysisch relevante intervallen van tijd en afstand Als we in een uitdrukking geconfronteerd worden met de variabelen t en r, dan is het verleidelijk om direct te denken aan tijd en afstand tot de oorsprong In de ART zijn coördinaten slechts markeringen om gebeurtenissen aan te duiden. Ze hebben geen directe metrische significantie We onderscheiden drie locale referentiesystemen: 1. Dat van een vrij-vallende waarnemer: hierin is gravitatie uitgezet en geldt de SRT met bijbehorende Minkowski metriek 2. Een systeem dat in rust is op een bepaalde locatie. Deze waarnemer moet iets doen om te voorkomen dat hij vrij valt. SRT kan locaal gebruikt worden, maar er moet dan wel een fictieve gravitatiekracht ingevoerd worden 3. Het systeem van een waarnemer die zich op grote afstand van M bevindt. Hier is ruimtetijd weer vlak en geldt de SRT

Gravitationele roodverschuiving Beschouw twee gebeurtenissen met Schwarzschild coördinaten t E, r E, θ E, φ E t E +dt E, r E, θ E, φ E waarbij er licht wordt uitgezonden. Gebeurtenissen zijn gescheiden door dt E terwijl dr E = dθ E = dφ E = 0 De ruimtetijd afstand is dan De proper time tussen de events zoals gemeten door een klok in rust ter plaatse is ds 2 = c 2 dτ 2 = 1 2GM c 2 r E c 2 dt 2 dτ E = 1 2GM c 2 r E dt E en Tijdverschil gemeten met een plaatselijke klok is minder dan het coördinatenverschil dt E Een waarnemer in rust op een andere locatie r O vindt voor het coördinatenverschil dt O dezelfde waarde dt O = dt E De ruimtetijd afstand op die locatie is dan ds O 2 = c 2 dτ O 2 = 1 2GM c 2 r O De proper time tussen de waarnemingen van beide signalen is Voor een waarnemer op r = vinden we dt E = dτ c 2 dt O 2 = 1 2GM c 2 r O c 2 dt E 2 dτ O = 1 2GM c 2 r O dt E We vinden de gravitationele roodverschuiving dτ = dτ E 1 2GM c 2 r E

We kunnen het vinden van oplossingen simplificeren door gebruik te maken van bewegingsconstanten of van een Lagrangiaanse behandeling Geodetische beweging We vinden de wereldlijn van een testmassa uit de vergelijking voor een geodeet We dienen alle connectiecoëfficienten te bepalen (huiswerk) Hiermee vinden we de volgende vier differentiaalvergelijkingen

Bewegingsconstanten De norm van de raakvector blijft behouden langs een geodeet. Er geldt Voor een massief deeltje met snelheid U μ geldt μ,ν g μν U μ U ν = c 2 We vinden dan n 2 = c 2 Metriek invullen levert Er zijn diepe relaties tussen symmetrieën en behouden grootheden. Zo hangt bijvoorbeeld de Schwarzschild metriek niet van de tijd af en dit leidt tot behoud van energie Invariantie onder rotaties geeft sferische symmetrie en leidt tot behoud van impulsmoment Een behouden grootheid met de rol van totale energie Behoud van impulsmoment (een vector) leidt tot drie behouden scalaire grootheden. Typisch gebruikt met de grootte per massa eenheid J/m en twee hoeken voor de richting Wij kiezen de coördinaten zo dat en dus voor de richting De derde conditie is dan We vinden

Baanbeweging We vinden de baan in het vlak door r uit te drukken als functie van φ We hebben een differentiaalvergelijking voor r(τ) Gebruik en Invullen Verandering van variabele Baanvergelijking Newtoniaanse analyse levert De relativistische term kan verwaarloosd worden voor kleine u en we vinden hiermee weer Newtoniaanse banen als de afstand tot de ster groot is Dicht bij de horizon spelen relativistische effecten een grote rol

Effectieve potentiaal We herschrijven En benadrukken de rol van energie Bewegingsconstante bepaald door baanenergie We vinden Kinetische term Effectieve potentiaal Newtoniaanse analyse: met Vergelijken levert Relativistische term

Effectieve potentiaal Effectieve potentiaal voor baanbeweging van een deeltje met impulsmoment J relativistisch Newtoniaans In de klassieke mechanica is impulsmoment J de bron van een oneindig hoge potentiaalbarrierre die deeltjes verbiedt r = 0 te bereiken In de Schwarzschild metriek is er ook een ondergrens voor de straal van een stabiele cirkelvormige baan (ISCO Innermost Stable Circular Orbit), die overeenkomt met Ook vinden we een perihelium verschuiving (de baan is geen ellips). Mercurius: 43 /eeuw Dat zijn 12 miljoen omwentelingen per rozet

Zwarte gaten Een zwart gat is een gebied in ruimtetijd waar materie en straling in kunnen gaan, maar waaruit ze niet kunnen ontsnappen. Het is een structuur in ruimtetijd en verschilt hiermee aanzienlijk van materiele objecten zoals (neutronen)sterren, etc. Een zwart gat is omgeven door een event horizon: een gesloten oppervlak waardoor licht naar binnen kan vallen, maar niet meer ontsnappen Het meest eenvoudige zwarte gat wordt beschreven door de Schwarzschild metriek, waarbij de event horizon zich bevindt op Merk op dat dezelfde uitdrukking volgt uit een klassieke berekening, waarbij we de escape velocity gelijkstellen aan de lichtsnelheid Landau voorspelt (1932) neutronensterren Object v escape > c Chandrasekhar vond in 1931 dat er een bovenlimiet van ongeveer 1.4 zonnemassa s voor de massa van een witte dwerg vanwege de druk door ontaardheid van elektronen. Boven deze limiet volgt gravitationele ineenstorting Oppenheimer voorspelt (1939) dat neutronensterren een maximum massa van ongeveer 3 zonnemassa s hebben: de ontdekking van zwarte gaten Straal (in m) Massa (in kg) Aarde 6,3 10 6 6,6 10 24 1 cm Schwarzschild straal Jupiter 7,0 10 7 2,1 10 27 3 meter Zon 7,0 10 8 2,0 10 30 3 kilometer

Klassificatie van zwarte gaten Eigenschappen van het zwarte gat Enkel massa Massa en impulsmoment Massa en elektrische lading Massa, impulsmoment en elektrische lading Metriek Schwarzschild Kerr Reissner-Nordstrom Kerr-Newman We verwachten dat fysische zwarte gaten impulsmoment hebben, maar waarschijnlijk geen elektrische lading (vanwege de vorming door neutrale atomen) We kunnen zwarte gaten ook klassificeren op basis van astrofysische eigenschappen Klasse Micro zwarte gaten Sterrenmassa zwarte gaten Intermediaire zwarte gaten Supermassieve zwarte gaten Massagebied 0 tot 0.1 M 0.1 tot 300 M 300 tot 10 5 M 10 5 M tot 10 10 M

Soorten zwarte gaten Supermassieve ZG 10 5 M tot 10 10 M Intermediaire-massa ZG 300 tot 10 5 M Sterrenmassa ZG 0.1 tot 300 M Micro ZG 0 tot 0.1 M - Gevonden in centrum meeste sterrenstelsels - Verantwoordelijk voor Active Galactic Nuclei - Kunnen direct en indirect gevormd worden - Mogelijk gevonden in dichte sterrenclusters - Mogelijke verklaring voor Ultra-luminous X-Rays - Moeten indirect gevormd worden - Resten van zeer zware sterren - Verantwoordelijk voor Gamma Ray Bursts - Direct gevormd - Quantumeffecten worden relevant - Voorspeld door enkele inflatiemodellen - Misschien geproduceerd in kosmische straling - De reden dat LHC de aarde zal vernietigen

Numerieke relativiteitstheorie Vorming van een zwart gat uit samensmelting van neutronensterren. Merk op dat er een accretieschijf ontstaat Credit: Luciano Rezzolla Coalescense van twee zwarte gaten: een zuiver ruimtetijd proces

Nabij een zwart gat wordt veel straling geproduceerd

Microquasar, quasar, en gamma-flits ~ 10 5 jaar ~ 10 8 jaar < 1 minuut/ 1 uur / 100 dagen

Burst bronnen: gamma-ray bursts Recente satelliet missies tonen reeks explosieve gebeurtenissen in Universum die enorme hoeveelheden energie genereren De oorsprong van GRB is nog steeds onbekend. Er zijn diverse modellen

Radiostelsel Cygnus A De jets hebben een totale lengte van ongeveer 500.000 lichtjaar, waarbij de orientatie van het zwarte gat gefixeerd is door haar spin Radio opname

Supermassieve zwarte gaten In vele sterrenstelsels schuilt een zwart gat Ons eigen melkwegstelsel: M ~ 10 6 MZon Actieve Sterrenstelsels: M ~ 10 8 MZon

1 galactisch jaar: 250 Mjaar 230 km/s (0.00077c)

Kern van ons melkwegstelsel wordt verduisterd door stof

Infrarood telescopen kijken door het stof heen

Röntgenstraling Gammastraling

Kern van melkwegstelsel (radio) Sterke radiobron: Sagittarius A

Sterbanen in de directe omgeving van Sagittarius A *

600 km/s 5000 km/s

Ingesloten massa (in zonsmassas) Massaverdeling in melkwegkern Afstand tot Sagittarius A* (in parsec)

Massaverdeling in melkwegkern X-ray beeld van Sagittarius A* (Oktober 2012)

Supermassieve zwarte gaten D. Richstone et al., Nature 395, A14, 1998 MBH = 0.005M bulge

Massive black hole mergers Several observed phenomena may be attributed to MBH binaries or mergers X-shaped radio galaxies (see figure) Periodicities in blazar light curves (e.g. OJ 287) X-ray binary MBH: NGC 6240 See review by Komossa [astroph/0306439] [Merritt and Ekers, 2002]

Hubble space telecope

Spitzer space telecope

GPS (Global Positioning System) Friedwardt Winterberg (1955): gebruik atoomklokken in orbit om ART te testen Sputnik (1957): Doppler effect geeft lokatie (20 en 40 MHz radiosignalen) GPS (1973 bedacht, 1978 eerste satelliet, 1993 operationeel) Precisie: atoomklokken 1 ns/dag) (licht legt 30 cm per ns af) ART 45.900 ns/dag sneller dan op Aarde SRT 7,200 ns/dag langzamer Een test van ART voor statische effecten in zwakke gravitievelden

Apollo Lunar laser ranging Test van EP tot 1,5 x 10-13 Rotaties van maan: 20% vloeibare kern G niet tijdafhankelijk tot 1:10 11 sinds 1969 Maan verwijdert zich met 3,8 cm/jaar Aardprecessie volgens ART Wie twijfelt eraan of we op de maan zijn geweest?

Gravitatielensen Sferische lens geeft Einstein ring Platte lens geeft Einstein kruis Banaanachtige vervorming

LRG 3-757 Hubble Space Telescope's Wide Field Camera 3

Cluster of galaxies C10024+1654, Hubble Space Telescope Najaar 2009 Jo van den Brand

Abell 2218 Cluster van sterrenstelsels op 2 Glichtjaar afstand werkt als een sterke Einstein lens oranje: elliptisch stelsel (z = 0.7), blauw: stervorming (z = 1.5) en rood (z = 7) 13 Gjaar oud Najaar 2009 Jo van den Brand 46

Gravitationele lens Najaar 2009 Jo van den Brand 47

In een zwart gat vallen We gaan nu door de horizon en reizen naar r = 0 De radiële bewegingsvergelijking is We starten vanuit rust op grote afstand r 0 waar geldt Omdat energie E constant is, vinden we hiermee Dus We gebruiken de negatieve wortel om de invallende beweging te beschrijven (waarom?) We integreren over r van r 0 tot een punt r Dit levert

In een zwart gat vallen De tijd die verstrijkt op de klok van de vrij vallende waarnemer bedraagt Als we onze val op grote afstand van het zwarte gat beginnen, geldt We kunnen de rechterkant van de vergelijking dan in Taylor expansie schrijven Dus Als we geïnteresseerd zijn in de tijd tot we in de centrale singulariteit aankomen, kunnen we de limiet beschouwen. Dat levert Eveneens kunnen we uitrekenen hoelang het duurt voordat we de event horizon bereiken. We vinden Het verschil in beide uitdrukkingen geeft de tijd die verstrijkt om van de horizon de singulariteit te bereiken De figuur toont dat er niets bijzonders bij de horizon gebeurt

Vallen gezien vanuit grote afstand Voor een waarnemer op grote afstand is er geen verschil tussen de proper tijd gemeten met zijn locale klok en zijn coördinaten tijd. We gebruiken t om zijn tijd aan te geven We willen weten hoelang het duurt voordat licht deze waarnemer bereikt Voor twee events op de wereldlijn van een naar buiten reizend foton met Voor een radieel naar buiten reizend foton kiezen we het + teken (waarom?_ Voor een radieel foton uitgezonden door een vallend lichaam op t 1 en r 1 en dat wordt geobserveerd door een verre waarnemer op t 2 en r 2 bedraagt de vluchttijd We vinden We vinden niet De vluchttijd is groter dan omdat coördinaten geen metrische betekenis hebben en nadert oneindig als r 1 het punt met R S nadert Het verschil in coördinaten tijd hangt enkel af van de posities van emissie en observatie

Vallen gezien vanuit grote afstand We kunnen meer inzicht krijgen in wat de verre waarnemer ziet door de positie r van het vrij vallende object als functie van de tijd t te bepalen We hebben reeds afgeleid dat We hadden ook Verder hadden we reeds Vermenigvuldigen levert We zijn enkel geïnteresseerd in effecten nabij de horizon, waar r r 0 Dat levert We integreren over r vanaf r op grote afstand van de horizon tot een punt r Er geldt

Vallen gezien vanuit grote afstand Als we de grenzen invullen, vinden we De groene lijn in de figuur toont het resultaat De blauwe lijn geeft de tijd die verstrijkt op de vallende klok Volgens de verre waarnemer duurt het oneindig lang voordat het vallende lichaam de horizon bereikt Merk op dat ook het lichtsignaal van een vallend object er een oneindige tijd over deed, maar dat was toch een andere relatie Voor licht van een stationair object: En dus De horizon is het oppervlak van oneindige roodverschuiving Voor de luminositeit geldt als

Realistische graphics in Interstellar Afbuigen van licht door zwart gat Banen van licht voor verschillende botsingsparameters b (impact parameter) Licht met wordt gevangen in een cirkelvormige baan met straal Deze baan is instabiel en dit gebied rond een zwart gat noemt men de photon sphere Elk vrij vallend foton dat door de photon sphere gaat wordt gevangen door het zwarte gat

Voorbij de event horizon Er bestaan Schwarzschild coördinaten voor de hele vrije val We zien een coördinaten singulariteit bij de horizon Het lijkt alsof de tijd afneemt als we de horizon passeren (de oranje curve), maar coördinaten hebben geen metrische betekenis We krijgen meer inzicht door lichtkegels te construeren langs het pad van een invallende waarnemer In de ART is ruimtetijd gekromd en dienen we kleine locale kegeltjes te tekenen De kegels volgen uit de inkomende en uitgaande nul-geodeten die horen bij de banen van lichtstralen De kegels vertonen opmerkelijk gedrag voorbij de horizon. We zullen dat nader bekijken

Voorbij de event horizon De curven voor in- en uitgaand licht volgen uit vergelijking Merk op dat de richtingscoëfficient gegeven wordt door Op grote afstand van de horizon vinden we consistent met SRT Verleden kegeldeel omsloten door ingaande nul-geodeten, toekomst kegeldeel omsloten door uitgaande lichtbanen Als we de horizon van buiten benaderen Net binnen de horizon worden de lichtkegels heel breed en wordt hun tijd-achtig deel horizontaal: deeltjes kunnen nu enkel richting de singulariteit bewegen Het omklappen van de lichtkegels is het gevolg van de keuze van coördinaten

Eddington-Finkelstein coördinaten We introduren een nieuwe tijd-coördinaat Het lijn-element wordt nu Er geen singulariteit bij en voor deze coördinaten worden ingaande nul-geodeten gegeven door rechte lijnen Dat volgt eenvoudig uit het lijn-element voor het geval van radieel invallend licht: de oplossing met dt = 0 en dus t = constant De gekromde uitgaande geodeten volgen hier ook uit. Ze eindigen iets later in de singulariteit

Algemene metriek Beschouw statische sterren; enkel Energie-impuls tensor (perfecte vloeistof) Relativistische sterren Introduceer Einsteinvergelijkingen Er geldt Energie en impulsbehoud Druk-dichtheidsrelatie Tolman-Oppenheimer-Volkof vergelijking Dit geeft

Hawking straling Hawking publiceerde in 1975 dat zwarte gaten een bron van straling zijn ten gevolge van quantumeffecten Een zwart gat straalt als een lichaam met temperatuur T die omgekeerd evenredig is met de massa M van het zwarte gat Er geldt Voor een Schwarzschild zwart gat is het uitgestraalde vermogen Massa ZG Temperatuur Vermogen Verdampingstijd 1 M zon (2 10 30 kg) 6 x 10-8 K 10-28 W 6 x 10 68 yr 1 M aarde (6 10 24 kg) 0.02 K 10-17 W 2 x 10 52 yr 1 kg 1.2 x 10 23 K 4 x 10 32 W 2 x 10-16 s