Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Voorkennis: ijzondere figuren ladzijde 30 V-a 50 60 = 80 50 60 = 70 d Ja, de zwaartelijnen gaan door één punt: het zwaartepunt Ja, de hoogtelijnen gaan door één punt: het hoogtepunt V-a e zwaartelijnen gaan door één punt en ook de hoogtelijnen gaan door een punt, maar het hoogtepunt ligt nu uiten de driehoek. 83
Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen e zwaartelijnen gaan weer door één punt. Ook de hoogtelijnen gaan door één punt, namelijk punt. V-3a, 5 d 8 Nee want de figuur is niet symmetrish in of 5 5 Ja want een ruit is symmetrish in de diagonalen 84
Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen e 5 8 Nee want de figuur is niet symmetrish in of ladzijde 3 V-4a Ruit, vlieger, vierkant Ruit, parallellogram, rehthoek, vierkant eide diagonalen delen de hoeken middendoor: Ruit, vierkant én diagonaal deelt de hoeken middendoor: Vlieger V-5a, R Q 5 5 P d PQR is een rehthoek, want: P // en RQ // dus P // RQ PQ // en R // dus PQ // R Omdat geldt P PQ en dus is QP = 90 Ook de overige hoeken van PQR zijn reht. R 7 Q 70 P 5 PQR is een parallellogram, want: P // en RQ // dus P // RQ PQ // en R // dus PQ // R 85
Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen V-6a, Parallellogram, parallellogram, ruit en vlieger K M K M L K L K L M Rehthoek KLK M, vlieger KLK M V-7a d e Ja want in een ruit zijn de overstaande zijden evenwijdig. Ja want alle hoeken zijn reht (rehthoek) en alle zijden zijn even lang (ruit). Ja, spiegelen in de diagonalen laat zien dat alle zijden even lang zijn. Ja want een ruit is symmetrish in eide diagonalen. Nee, zie ovenstaande tekening met en dus is vierhoek geen vlieger. 5. Gelijkvormigheid 86 ladzijde 3 a 3 = 38 = = 80 4 38 = 4
Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen = = = = 80 38 78 = 64 3 3 = = = = 80 64 = 6 4 4 = = = = 78 4 4 = = = = 80 78 = 0 3 3 Overstaande hoeken zijn gelijk. en gestrekte hoek is 80. F-hoeken zijn gelijk. Z-hoeken zijn gelijk. a Overstaande hoeken zijn gelijk. en gestrekte hoek is 80. = = 80 4 = 38 3 = = 4 4 = = = = 7 4 3 = = = = 80 7 = 09 3 4 ladzijde 33 3a Fator 4 want = 3 = 4 4 4 = 8 = en = met als gevolg // 4a = = ~ en dus Fator 4 = en dus is = 8 = 7 en is = 5: = 0 6 F F d e F F = = 0 5 = 3 87
Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen 5a = = en = dus ~ = 7 5 = 8 en 7 = 8 5 (via oppervlakte van) dus is = 8 5 = 7 7 7 4 4 3 = 5 ( 7 ) = 3 en = 7 3 = 3 d = = = 90 7 7 en 90 dus is ~ 7 7 5. tellingen en definities ladzijde 34 6a Z-hoeken = 3 + + = + + = 80 3 d e drie hoeken van een driehoek zijn 80 ladzijde 35 7a Teken vanuit één hoekpunt de eide diagonalen. r ontstaan dan drie driehoeken. e hoekensom van een vijfhoek is dus 3 80 = 540 Teken vanuit één hoekpunt de vier diagonalen. r ontstaan dan vijf driehoeken. us is de hoekensom van een zevenhoek 5 80 = 900 Voor een n-hoek is de hoekensom ( n ) 80 8a + = 80 (gestrekte hoek) = 80 = ( + + ) = + 9 = + (stelling van de uitenhoek ij) = + = + = + ( + ) = + + 0a = + = + = α+ γ = 360 = 360 β ( α+ γ) ( α+ γ) = 360 β α γ = en + = = α (uitenhoek) dus = = α = en + = = β (uitenhoek) dus = = β = α+ γ + β 4 5.3 ongruente driehoeken ladzijde 36 a Nee, 3+ 7< 88
Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen 5 m 7 m 9 m Ja 3a 50 30 5 m = 00 ; is ongeveer 3,9 m en is ongeveer,5 m F 4 m 60 5 m ladzijde 37 4a M M 4 m 4 m K 30 6 m L Nee, alleen de volgende figuur is mogelijk. M 8 K 6 L 89
Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen lleen de volgende figuur is mogelijk M 57 K 30 93 L 5a 5 m 83 7 m ZHZ 6 = en = en = us ( ZZZ) = is issetrie. 7 M = = = dus is een ruit en delen de diagonalen elkaar loodreht middendoor. aarmee is de rode lijn de middelloodlijn van lijnstuk. 90
Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen 5.4 en ewijs aanpakken ladzijde 38 8a - Met = en de gegevens vind je dat RP TQ ( ZHH) e hoeken van de driehoeken zijn gelijk dus moet er nog een tweetal gelijke zijden zijn. d Uit RP TQ volgt dat T = R Omdat P = Q moet gelden PT = RQ want PT = P T en RQ = Q R e ewijs: T = R ( = 90 ) P = Q ( = 90 ) PT PT = QR ( opdraht d) QR ( HZH) us P = Q ladzijde 39 9 Gegeven: met = en punt P op issetrie van Te ewijzen: R = Q ewijs: = ( gegeven) P = P ( P op issetrie) P P ( ZHZ)...( ) P = P P = P ( overstaande hoeken) P = P () RP QP ( HZH) R = Q P = P () 0 R T P Q Gegeven: PQR met hoogtelijnen P = QT Te ewijzen: PQR is gelijkenig 9
Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen ewijs: P = QT ( gegeven) = T ( = 90 ) PR QTR ( ZHH) R= R us PR = QR en is PQR gelijkenig a - Gegeven: Trapezium met // en = Te ewijzen: = ewijs: Teken // dan is een parallellogram en = an is = = en dus = 80 = 80 = = ( gegeven) = ( ZHZ) = = ( ewezen) a Vermenigvuldigen vanuit met fator geeft dat het eeld van samenvalt met en dat het eeld van samenvalt met. us is ~ en // an is = en = waarmee ~ Omdat : = : is : = : = : Omdat = = = is gelijkenig en is 3 3 = = ( gegeven) = ( ewezen) ( ZHZ) = = us geldt = = = en daarmee is gelijkenig. 9
Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen 5.5 Gelijkwaardige definities ladzijde 40 3a en ; en ; en komt in eide driehoeken voor = en = (Z-hoeken) us (HZH) geldt = en = d Gegeven: Vierhoek met = en = Te ewijzen: evenwijdig en evenwijdig ewijs: Uit het gegeven volgt (ZZZ) us is = en dus is // (Z-hoeken) Ook is = en dus is // (Z-hoeken) ladzijde 4 4 Gegeven: Vierhoek met vier hoeken van 90 en vier gelijke zijden Te ewijzen: In zijn de diagonalen even lang, delen elkaar middendoor en staan loodreht op elkaar. ewijs: Vier gelijke zijden dus is een ruit. In een ruit delen de diagonalen elkaar loodreht middendoor. Omdat ( ZHZ)geldt = Gegeven vierhoek waarvan de diagonalen even lang zijn, elkaar middendoor delen en loodreht op elkaar staan. Te ewijzen: e vier hoeken zijn 90 en de zijden zijn even lang. ewijs: 93
Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen e diagonalen zijn even lang en delen elkaar loodreht middendoor. us zijn de hoeken ij allemaal 90 en geldt = = = an is ( ZHZ Hieruit volgt dat = = =, dus alle zijden van vierhoek zijn even lang. Omdat = is = = 45 naloog is = 45 en dus is = 90 naloog = = = 90 us eide definities zijn equivalent. 5a - In een ruit snijden de diagonalen elkaar loodreht, dus wanneer de issetries niet loodreht op elkaar staan kan PQR zeker geen ruit worden. Noem het snijpunt van de diagonalen T. an geldt PT RT en QT T ( HZH en ruit is een vierhoek waarvan alle zijden even lang zijn d Te ewijzen: PQR is een ruit ewijs: Uit PT RTvolgt PT = RT Uit QT T volgt T = QT Verder is T = 90 us is PT RT PTQ RTQ( ZHZ us zijn alle zijden van PQR even lang is dus is PQR een ruit 6a P R Q Gegeven: is een parallellogram Te ewijzen: e vier issetries sluiten een rehthoek in. ewijs: // + = 80 us α+ δ = 90 en moet = 90 naloog ewijs je dat de overige hoeken van PQR elk ook 90 zijn en daarmee is PQR een rehthoek. Gegeven: en vierhoek waarvan de issetries een rehthoek insluiten Te ewijzen: Vierhoek is een parallellogram ewijs: Omdat = 90 geldt α+ δ = 90 en dus + = 80 zodat // naloog geldt ook dat en evenwijdig zijn us is een parallellogram 94
Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen 7a Via de hoekensom ( 360 ) in een vierhoek ewijzen dat = = = 90 dus moet + = 80 Ook is + = 80 us geldt = ewijs: = ( gegeven) = ( gegeven) ( ZHZ ) = ( ewezen) us = 5.6 Vermoeden en ewijzen ladzijde 4 8a - 8d Het vermoeden is: = ladzijde 43 9a Trapezium want // - r zijn twee mogelijkheden. d an geldt = en = omdat een parallellogram is Omdat en op de irkel liggen geldt ook = us zijn alle zijden even lang en is een ruit 95
Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen 30a, R Q P Parallellogram - d ewijs: Teken de diagonalen en an geldt PQ// en R// dus PQ//R, want P en Q zijn middens. Ook geldt P// en QR// dus P//QR In vierhoek PQR zijn de overstaande zijden evenwijdig en dus is PQR een parallellogram e an moeten de diagonalen van vierhoek loodreht op elkaar staan want de zijden van een rehthoek staan loodreht op elkaar f an moeten de diagonalen van vierhoek even lang zijn want P en RQ zijn elke de helft van en PQ en R zijn elk de helft van 3a HPQ = HQP FQen P heen gelijke hoeken want eide heen een hoek van 90 en een hoek gelijk aan dus heen ze ook de derde hoek gelijk ewijs: HPQ = P = 90 = FQ = HQP us is driehoek PHQ gelijkenig met PH = HQ 3 ewijs: = ( Z hoeken) = ( = 90 ) ( HZH ) = ( gegeven) us is = en daarmee is gelijkenig met = 5.7 Met de omputer ladzijde 44 33a, m l 96
Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen d 34a- e issetries snijden elkaar loodreht ewijs: + = 80 want l // m,, Gegeven is dat = en = us + = 90 en daarmee is = 90 F 3 G d - e Het vermoeden is : FG = G f Gegeven: = = en = 3 Te ewijzen: FG = G ewijs: Volgens de stelling van de uitenhoek geldt FG = + Ook is GF = + = + = + 3 us FG = GF en dus is FG gelijkenig met FG = G 35a, - = d Te ewijzen: = ewijs: = ( is symmetrieas) en = ( Z hoeken ) us = en dus is gelijkenig met = 97
Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen ladzijde 45 36a - e issetries zijn evenwijdig d F Te ewijzen: F // ewijs: Met de hoekensom in een vierhoek vind je + = 80 us + = 90 Ook geldt + = 90 Uit het voorafgaande volgt = en dus (Z-hoeken) is // F 37a - r zijn nog vershillende mogelijkheden: is de tophoek en = = 65 In dit geval is = 90 is de tophoek en = = 50 In dit geval is = 75 is de tophoek en = = 50 In dit geval is = 05 e onstrutie voltooi je door voor elk van deze gevallen een lijn door met de juiste hoek te tekenen en deze lijn te snijden met de enen van. 50 65 80 50 65 80 50 50 98
Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen 38a Vermoeden: e sherpe hoeken ij en zijn even groot, dus is gelijkenig, dus = ewijs: = 90 en = 90 dus = = = ewijs: = 80 = 80 Omdat = volgt uit ovenstaande dat = = = d ewijs: = 80 = 80 Omdat = volgt uit ovenstaande dat = = = 99
Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen 5.8 Gemengde opdrahten ladzijde 46 39 ewijs: Vierhoek R is een parallellogram want de diagonalen R en delen elkaar middendoor. us R// Ook vierhoek is een parallellogram (diagonalen en delen elkaar middendoor) dus // us is R een gestrekte hoek en liggen, en R op één lijn 40a Gegeven: < 90, < 90, Q Q en P P Te ewijzen: = ewijs: = 90 = 90 = Ze zijn gelijk (opdraht a) of samen 80 zoals in de volgende figuur T Geruik de hoekensom van een vierhoek + = 360 T = 360 90 90 = 80 00
Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen 4a Q P e driehoeken en heen zijde gemeenshappelijk. Omdat de oppervlakten van eide driehoeken gelijk is moet gelden P = Q an geldt = ( overstaande hoeken ) P = Q ( ewezen) P Q ( ZHH) P = Q ( = 90 ) us geldt = en is het midden van Zowel voor als voor is Q de hoogte op respetievelijk. ls de eide driehoeken dezelfde oppervlakte heen dan moet ook de asis dezelfde lengte heen. us = In opdraht a is ewezen dat het midden is van, nu is ewezen dat het midden is van. us delen de diagonalen van vierhoek elkaar middendoor en daarmee is een parallellogram 4a, a K Omdat = is = = Ook is = us ~ an geldt = = Gegeven is dat = dus = : = : K d sinα = K = sin α e Oppervlakte = K = sinα = sin α e hoogte van eide driehoeken is gelijk, namelijk de afstand van tot zijde, dus K us verhouden de oppervlakten zih als de lengten van en 0
Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen f Oppervlakte = sin en Oppervlakte = a sin Geruik makend van het resultaat van opdraht e vind je: Opp. sin = = Opp. a = : = : sin a ladzijde 47 43a R y ky x P kx Q R y ky x Q kx P In eide gevallen toon je gelijkvormigheid aan door driehoek vanuit met fator k te vermenigvuldigen waardoor driehoek ontstaat an zijn driehoek en driehoek PQR twee ongruente driehoeken (geval ZHZ of ZZR) en dus zijn de driehoeken en PQR gelijkvormig Q P P = Q = 90 en Q : = P : = : dus volgens het tweede kenmerk zijn de driehoeken Q en P gelijkvormig 0
Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen 44a ewijs: M = M ( straal) TM = TM ( = 90 ) TM TM ( ZZR) TM = TM TM = TM T = T = M ( gegeven) T = MT ( = 90 ) T TM ( ZHZ) T = TM Uit ovenstaande volgt T = T 3 Leg het apparaat zoals in de figuur in een hoek neer en teken een eerste punt Noem dit punt Keer het apparaat om en leg het op dezelfde manier neer en teken weer een punt Noem dit punt Teken T en T, de trisetries van T 0 y y y x 0 x x Verdeel eerst, de stompe hoek in drie gelijke delen zoals ij opdraht e gezohte driedeling van de overstrekte hoek geeft x+ y=0 onstrueer zoals aangegeven linksom en rehtsom twee hoeken van 0 om de trisetries van de overstrekte hoek te vinden 45a 60 F Het vermoeden is : = = Mogelijk en 03
Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen d = = + 60 = ( in gelijkzijdige driehoek) = ( in gelijkzijdige driehoek) ( ZHZ ) = ( ewezen) Uit deze ongruentie volgt dat = e Via de ongruentie van en F = ( in gelijkzijdigedriehoek) = F ( in gelijkzijdigedriehoek) F ( ZHZ ) = F ( = + 60 ) Uit deze ongruentie volgt dat = F f = en = F dus = F g Vermoeden: de hoeken zijn 60 h ij een rotatie van 60 om gaat over in en in. us gaat over in. ij deze rotatie gaat lijnstuk over in lijnstuk dus maken deze twee lijnstukken een hoek van 60 met elkaar. Op dezelfde wijze kun je ewijzen dat de andere hoeken 60 zijn. Test jezelf ladzijde 50 T-a ewijs: H = H ( overstaande hoeken) = ( = ) H 90 ~ H ( hh) Omdat de driehoeken en gelijkvormig zijn ( gemeenshappelijk en eide heen een hoek van 90 ) geldt: = en dus geldt ook = T- Gegeven: met middelloodlijn m van en issetrie van Te ewijzen: = + 90 ewijs: = + (stelling uitenhoek) dus = = 90 = 90 ( 80 ) = + 90 T-3a 80 35 4 04
Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen Ja, ongruentiegeval ZHH 4 4 40 5 F e driehoek ligt niet eenduidig vast, want F en F voldoen eide aan alle gegevens. ZZH is geen ongruentie geval. T-4a - Nee, ongruentie is geen optie want je weet niets over zijden. Overstaande hoeken zijn gelijk. F = H en GF = GH d Te ewijzen: F = GF ewijs: F = H = 80 H = 80 HG = GH = GF ladzijde 5 T-5 Noem de definities van links naar rehts X, Y en Z ( X Y) tel heeft vier rehte hoeken Omdat = = 90 geldt // Omdat = = 90 geldt // us is een parallellogram met een rehte hoek ( Y Z) tel is een parallellogram met een rehte hoek Veronderstel dat = 90 Omdat // is ook = 90 = ( gemeenshappelijk) = ( is parallellogram) ( ZHZ ) = ( = 90 ) n dus geldt = en daarmee zijn de diagonalen even lang. ( Z X) tel is een parallellogram met = an ( ZZZ) en dus = Omdat // geldt + = 80 us = = 90 naloog = = 90 ewezen is nu dat X Y Z X en daarmee de equivalentie van de drie definities 05
Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen T-6a Twee lijnen zijn evenwijdig als er geen gemeenshappelijk punt is s l Q m P Gegeven: Twee lijnen l en m worden gesneden door een derde lijn s waarij er gelijke Z-hoeken zijn, dus Q = QP Te ewijzen: e lijnen l en m zijn evenwijdig ewijs: Veronderstel dat l en m snijpunt heen. Volgens de stelling van de uitenhoek geldt dan: Q = QP + dus geldt Q > QP it is in tegenspraak met het gegeven Q = QP onlusie: l en m heen geen snijpunt en dus zijn l en m evenwijdige lijnen T-7a - Vierhoek KLMN lijkt een parallellogram Je lijft steeds een parallellogram zien d Gegeven: Vierhoek KLMN volgens de opgave met KL//MP Te ewijzen: KLMN is een parallellogram ewijs: Neem MPQ = α Omdat NP = NK ( stralen ) is NPK gelijkenig en dus NPK = NKP = α Omdat MP = MQ ( stralen ) is MPQ gelijkenig en dus MPQ = MQP = α Uit het voorafgaande volgt: NKP = MQP en dus (F-hoeken) is MQ//NK Tenslotte is gegeven dat KL//MN us zijn in vierhoek KLMN de overstaande zijden evenwijdig en daarmee is KLMN een parallellogram T-8 Q R P Gegeven: Parallellogram met middens P en Q op respetievelijk 06
Hoofdstuk 5 - efinities en stellingen a d e Te ewijzen: PQ is een parallellogram ewijs: PQ is een parallellogram als de overstaande zijden even lang zijn = ( overstaande zijden in parm.) Q = P ( helftoverstaande zijden in parm. ) Q P ( ZHZ) Q = P ( overstaande hoekeninparm. ) us Q = P Ook geldt P = = = Q us zijn in vierhoek PQ de overstaande zijden even lang en daarmee is PQ een parallellogram Te ewijzen: PQ is een parallellogram ewijs: P = Q P = P P QP ( ZHZ) = PQ P = QP ( Z-hoeken) Ook geldt P = Q en dus zijn in PQ de overstaande zijden gelijk en daarmee is PQ een parallellogram Te ewijzen: PR is een parallellogram ewijs: naloog aan opdraht a is PQ een parallellogram dus zijn R en P evenwijdig en even lang. an is PR RP ( ZHZ) en dus PR = RP en (Z-hoeken) daarmee P//R onlusie: in vierhoek PR zijn de overstaande zijden evenwijdig en dus is PR een parallellogram Te ewijzen: PRQ is een parallellogram ewijs: Uit opdraht a volgt dat PR//Q naloog aan opdraht a kan aangetoond worden dat PQ een parallellogram is en dus dat P//QR us is PRQ een parallellogram Gegeven: PRQ is een ruit Te ewijzen: is een rehthoek ewijs: ls PQR een ruit is dan staan PQ en R loodreht op elkaar Omdat PQ//// en R//// staan ook en loodreht op elkaar aarmee is een rehthoek T-9a an is een rehthoek. an is een ruit. 07